应用数理统计 第5讲 假设检验(1)

3
(三) 检验的两类错误 称 H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称 H0假 而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。 记 p(I)=p{拒绝H0| H0真}; P(II)=p {接受H0| H0假} 奈曼—皮尔逊 准则： “在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下,
尽量使犯第二类错误概率小”按这种法则做出的检验
5
例3.1.2 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服 从正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳量如 下: 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如果标准差不变,该日铁 水的平均含碳量是否显著偏低? (取 =0.05)
解:
H 0 : 4 . 55
H 0下 U
数据统计分析
第5讲 假设检验
主讲教师：陈萍 教授
e-mail:prob123@mail.njust.edu.cn
1
分布
第三章 假设检验
3.1 假设检验的基本概念
例3.1.1. 设某种产品的次品率为q,若规定次品率不能超过 2%,现随机抽取10个产品进行检验，其中含有1个次品，可 否认为这批产品合格？ 求检验准则—10个产品中至少有几个次品则判断不合格？ 例如，约定α=0.1（小概率）,以X表示10个产品中的次品数， 思路1：假定q=2%, 记p=P{X1},若pα,则表明小概率事件 发生了，有理由认为q=2%的假定不合理，拒绝这批产品。 p=P{X1}称为“检验的p值”； 思路2：约定检验准则为“当Xk时，拒绝这批产品”。选取 k使P{Xk} α---显著性检验。
i
(包括 x i 自己），则称
xi
在（ x 1 , x 2 , , x n ）中的秩
为Ri 。
2012-9-25
9
设X
1
, , X
m
和 Y1 , , Y n分别为来自两个相互独立的连续
Yi
i
型分布 F ( x )和 G ( y ) 的样本，记
X 1 , , X m , Y1 , , Y n
称为“显著性检验”, 称为显著性水平或检验水平。
4
显著性检验的基本步骤： (1)根据实际问题作出假设H0与H1； (2)构造检验统计量（在H0真时其分布已知）； (3)给定显著性水平的值, 参考H1, 令 P{拒绝H0| H0真}= , (连续型总体) P{拒绝H0| H0真}≤, (离散型总体) 求出拒绝域W； (4) 计算统计量的值, 若统计量W, 则拒绝 H0, 否则接受H0
2012-9-25 11
因此，比较两个总体的分布函数的秩和检验法如下表所示：
H0
F ( x) G ( x)
H1
F ( x) G ( x)
拒 绝 域
W c
W d
W d .or .W c
F ( x) G ( x)
F ( x) G ( x)
F ( x) wenku.baidu.comG ( x)
F ( x) G ( x)
H 1 : 4 . 55
X 4 . 55 0 . 11 5 ~N( 0， 1)
由 p{U U ( ) } α
得水平为的拒绝域为
这里
u 4 . 364 4 . 55 0 . 11 5
U U ( 0 . 05 ) 1 . 645
3 . 78 1 . 645
在合样本
，Wilcoxon提
中的秩为 R
, i 1, 2 , , n
出，把 Y1 , , Y n 在合样本中的秩的总和 W
作为检验统计量，检验原假设：

n
Ri
i 1
H 0 : F ( x) G ( x)
10
若 F ( x) G ( x)
，则
P(X Y )




(
x

g ( y ) dy ) f ( x ) dx

1 0
G ( x) f ( x)dx F ( x) f ( x)dx


F ( x)dF x
zd z 1 2
这表明，在 F ( x ) G ( y ) 时 ，W的值应偏大才合 理。
(5) 为使(4)的P(II)<0.1, n至少取多大？
解
8
3.2秩和检验
一、基本概念
威尔柯克逊（Wilconxon）在1945年提出了比较两 个总体是否同分布的检验--秩和检验法。 定义3.2.1 设 x 1 , x 2 , , x n 为两两互不相等的实数，
若在 x 1 , x 2 , , x n中恰有 R 个元素的值不超过 x i
2 X i ~
i 1
n
2
2n
(2) 某元件寿命X服从上述指数分布，现从中抽取一容量为 n=16的样本，测得样本均值为5010小时，试在水平 0 .0 5 下检验假设：
H 0 : 1 5000 ;
(3) 求上述检验的p值。
H 1 : 1 5000
(4) 若 1 5 1 0 0 ，求检验犯第二类错误的概率。
MATLAB [p,h]=ranksum(x,y,alpha), h=1 X与Y分布显著不 同。
12
2
（一）原假设与备择假设：H0：…；H1：…
(二) 检验法则与拒绝域
假设检验的基本思想是”小概率准则”： 1.给定小概率α—显著性水平； 2.假定原假设成立，根据问题背景决定小概率事件W—拒绝 域； 3.若(x1, …, xn) 使事件W发生, 则拒绝H0；否则接受H0。 这种从样本出发制定的,参考H1,判断是否拒绝H0的法则 称为H0对H1的一个检验法则, 简称检验法
拒绝H0
注:上题中,用双边检验或右边检验都是错误的. 若用双边检验, H0：=4.55；H1：4.55,则拒绝 域为 U U ( ) 1 . 96 由|U|=3.78>1.96,故拒绝H0,说明可以认为该 日铁水的平均含碳量显著异于4.55.但无法说 明是显著高于还是低于4.55.不合题意 若用右边检验, H0：=4.55；H1：>4.55,
2
则拒绝域为
U U ( 0 . 05 ) 1 . 645
由U=-3.78<-1.96,故接受H0,说明不能认为该日铁 水的平均含碳量显著高于4.55.但无法区分是等 于还是低于4.55.不合题意.
例3.1.3设总体X服从参数为 的指数分布， 1， ， n为X的样 X X
本。
(1)证明