高三数学难题及答案
高考最难的数学题及答案
高考最难的数学题及答案高考数学最难的题目及答案(1)1、利用数学归纳法证明平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)满足如下不等式:a1/b1 + a2/b2 > 0答案：设a=(a1, a2), b=(b1, b2)，由数学归纳法，令n∈N，先给出基本情形：当n=1时：a1/b1 + a2/b2 = (a1 + a2)/(b1 + b2)，由a1 + a2 > 0, b1 + b2 > 0可知a1/b1 + a2/b2 > 0进行归纳：假设n时成立，即a1/b1 + a2/b2 > 0，当n+1时，a1/b1 + a2/b2 > 0，根据a1/b1 + a2/b2 = [a1 + (n+1)a2]/[b1 + (n+1)b2]，有[a1 + (n+1)a2]/[b1 + (n+1)b2] > 0，由a1 + (n+1)a2 > 0, b1 + (n+1)b2 > 0可知a1/b1 + a2/b2 > 0，因此，证明平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)满足a1/b1 + a2/b2 > 0。
2、求x的集合：A={x| x^2 + 6x + 9 ≠ 0 }答案：界说明：x∈R分析：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2，表述：A={x| x^2 + 6x + 9 ≠ 0 } 等价于A={x| (x + 3)^2 ≠ 0 }，即A={x| x ≠ -3 }答案：A={x| x ≠ -3 }3、求一元二次方程ax^2+bx+c=0中，b^2-4ac < 0时实根的取值范围答案：界说明：x∈R分析：b^2 - 4ac < 0⇒Δ= b^2 - 4ac < 0，表述：b^2-4ac < 0时实根没有解，取值范围为空集，即实根的取值范围为：空集。
答案：实根的取值范围为：空集。
4、设弦AB=12，角A=30°，则角C的度数为多少？答案：界说明：C∈[0,360]（度）分析：弦AB=12，角A=30°，表述：根据余弦定理可得：cosC=12^2/2/2^2=12/4，即cosC=3/2，由cosC=3/2可以求出角C的度数。
高三一轮复习 函数的性质(偏难题)含答案
函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f （0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。
2023年全国高中生数学奥赛高难题目
2023年全国高中生数学奥赛高难题目难题一：立体几何
已知一个右方金字塔的顶点A位于平面xOy上，A的坐标为(5,6,0)，底面是一个边长为10的正方形，且底面中心O的坐标为(5,6,0)。
金字
塔的高度为12，求：
1. 金字塔底面四个顶点的坐标；
2. 金字塔的体积。
难题二：复数运算
若复数z满足z^4 + 15z^2 + 36 = 0，则求z的所有可能值。
难题三：概率与统计
已知A、B两个事件的发生概率分别为P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，且
P(A∪B) = 0.7。
求：
1. P(A∩B)的值；
2. 若事件A和事件B相互独立，求P(A|B)和P(B|A)的值。
难题四：数列
已知数列{an}满足a1 = a2 = 1，且an+2 = an+1 + 2an对于n≥1成立。
求：
1. a5的值；
2. 数列{an}的通项公式；
3. 求该数列的前10项和。
难题五：函数与导数
已知函数f(x) = (x+1)e^x，在定义域上是递增函数。
求：
1. f'(x)的值；
2. 函数f(x)在定义域上的最小值点；
3. 函数f(x)的图像在x轴和y轴上与坐标轴围成的面积。
注意：以上题目均为高难度题目，需要运用数学知识和思维能力进行解答。
考生可以根据自己的实际情况选择解答题目，建议合理分配时间，不要卡在某一道题目上耽误整体答题进度。
祝各位考生取得优异成绩！。
高三数学试卷特别难题
一、填空题（每空5分，共20分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，若$f(x)$的图像与x轴相切于点$A$，则$A$点的坐标为______。
2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_4 = 14$，若$a_{10} + a_{15} =50$，则该数列的公差$d$为______。
3. 已知向量$\vec{a} = (1, -2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，若$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta$的值为______。
4. 若圆$C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的圆心到直线$3x - 4y + 5 = 0$的距离为$\sqrt{5}$，则该圆的半径$r$为______。
二、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，定义域为$\mathbb{R}$的是（）A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$C. $f(x) = \ln(x^2 + 1)$D. $f(x) = \sqrt[3]{x - 1}$2. 已知函数$f(x) = 2^x - 3$在区间$[0, +\infty)$上的最大值为______。
A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$3. 在$\triangle ABC$中，若$\cos A = \frac{1}{3}$，$\cos B = \frac{2}{3}$，则$\sin C$的值为______。
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$C. $\frac{\sqrt{2}}{6}$D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，若$f(x)$的图像关于点$(2, 0)$对称，则$f(x)$的图像的对称轴方程为______。
高三数学难题及答案
1.在平面上向量AB1垂直向量AB2，向量OB1的模等于向量OB2的模=1，向量AP等于向量AB1+向量AB2,若向量OP的模＜1/2，则向量OA的模的取值范围是解：以点O为圆心，分别以1为半径作单位圆大⊙O、以1/2为半径作小⊙O，线段B1B2是大⊙O的一条弦，以B1B2为直径的圆是⊙C，由向量AB1⊥向量AB2知点A在⊙C上，由向量AP等于向量AB1+向量AB2知点P也在⊙C上，且点P和点A关于点C对称（即PA是⊙C的直径）。
设⊙C与小⊙O的公共点为D.令⊙C半径为r=|B1B2|/2(即半弦长)，|OC|=d(即弦心距)，则考虑到|OP|<1/2，于是⊙C的圆周上必须有点落在小⊙O内部，由图1可知，当⊙C和小⊙O外切时，r最小（即图1中⊙C）；当⊙C和小⊙O内切时，r最大（即图1中⊙C‘）。
（取开值）下面先求出最值，由图1——r²+d²=1d=r±1/2(外切时，d=|OC|=|CD|+|OD|=r+1/2；内切时，d=|OC’|=|C‘D|-|OD|=r-1/2.)于是r²+(r±1/2)²=1整理得8r²±4r-3=0解得r=(√7±1)/4（负根已舍去）于是(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，以此为前提(重点)，我们来研究|OA|的取值——【易得此前提即(√7-1)/4<d<(√7+1)/4）】先研究最大值，由图1，直线OC与⊙C有两个交点，取近O的一个为P，P必在小⊙O内部满足题设要求，这时远O的一个为A，最大值必在此时取得，此时|OA|=d+r.(参见图1和图2)由r²+d²=1，令r=sina，d=cosa，a为锐角，于是|OA|=d+r=sina+cosa=√2sin(a+b)=√2sin(a+45°)，tanb=1可取b=45°.(辅助角公式)a+45°=90°时取最大值，即a=45°，此时r=sina=√2/2，d=cosa=√2/2.r=√2/2满足(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，此时|OA|=d+r=√2取最大值，即|OA|≤√2.再研究最小值，如图2，P的范围是图2中弧D1D2，于是A的范围是图2中弧AA'，过A 作OA垂线，垂线在⊙C内部，以OA为半径O为圆心的圆还在垂线内部，故|OA|最小值必在图2中A(或A')处，通过计算得知此时|OA|是定值√7/2(与图2中d或r的取值无关).在△OCD2中，|OC|=d，|OD2|=1/2，|CD2|=r，于是cos∠OCD2=(d²+r²-1/4)/(2dr)=(1-1/4)/(2dr)=3/(8dr)|EC|=|CD2|·cos∠OCD2=r·3/(8dr)=3/(8d)|AF|²=|ED2|²=|CD2|²-|EC|²=r²-9/(64d²)|OF|=|OC|+|CF|=|OC|+|EC|=d+3/(8d)|OA|²=|AF|²+|OF|²=r²-9/(64d²)+[d+3/(8d)]²=r²-9/(64d²)+d²+3/4+9/(64d²)=r²+d²+3/4=1+3/4= 7/4|OA|=√7/2段首已证无论d或r如何取值，A点在图2中的A点位置时，|OA|最小(取开值)，于是|OA|>√7/2.综合上述，由连续性可知|OA|属于(√7/2,√2].。
高三数学选择填空难题突破 立体几何中最值问题
高三数学选择填空难题突破立体几何中最值问题高三数学选择填空难题突破——立体几何中的最值问题一、方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题。
此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练。
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面，此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合。
解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。
二、解题策略类型一：距离最值问题例1：如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）解：建立空间直角坐标系，设CG长度为a及点P的坐标，求BP与GP的坐标，得到函数关系式，利用函数求其最值。
举一反三：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A中，点E、F分别是棱BC、CC'的中点，P是侧面BCC'B内一点，若A'P⊥平面AEF，则线段A'P长度的取值范围是_____。
二、改写后的文章高三数学选择填空难题突破——立体几何中的最值问题一、方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目。
而几何问题中的最值与范围类问题，不仅可以考查学生的空间想象能力，还可以考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此这类问题将是有中等难度的考题。
上海市学校2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编——平面向量
2021-2022上海市学校——高中数学填选难题——平面向量专题练习汇编一、平面向量1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P 在圆222x y +=上，已知(4,0)A ，(0,4)B -，则PA PB ⋅的最小值为___________.2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足4a b -=，且()()1a c b c -⋅-=-，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是___________.3．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.4．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________5．（2022·上海·高三专题练习）半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =120°，C 为弧上的动点，已知·0m n ≥，记||||M mOC OA nOC OB =-+-，则（ ）A ．若m +n =3，则M 的最小值为3B ．若m +n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 C ．若m ·n =3，则M 的最小值为3D ．若m ·n =3，则有唯一C 点使M 取最小值6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a c b c ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t++的最小值是_______.7．（2022·上海）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.8．（2022·上海·高三专题练习）已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足5||7a =､||b =(,){(,)||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>∣，都有|x +y |≤1成立，则a b ⋅的最小值为___________.9．（2022·上海交大附中高三开学考试）若圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为2，P 是圆O 上任意一点，点P 满足12BP PQ =，则AB AQ ⋅的最大值为_________. 10．（2022·上海·高三专题练习）已知边长为2的正方形ABCD 边上有两点P ､Q ，满足1PQ ≥，设O 是正方形的中心，则OP OQ ⋅的取值范围是___________.11．（2022·上海·高三专题练习）设向量,OA OB 满足||=||=2OA OB ，2OA OB ⋅=，若,R m n ∈，1m n +=，则1||||2mAB AO BO nBA -+-的最小值为_______ .12．（2022·上海）如图，若同一平面上的四边形PQRS 满足(13)(1)mnRP n m QP m n SP =-+-（0m >，0n >），则当△PRS 的面积是△PQR 的面积的13倍时，1m n+的最大值为________13．（2022·上海·高三专题练习）如图，P 为ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式PBC S PA +△0PAC PAB S PB S PC +=△△成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=；②若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心； ③若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△； ④若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n ⎡+∈⎣.则正确的命题有___________.14．（2022·上海·高三专题练习）已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________. 15．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 为不等式0200y x y y -≥+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域内任意一点，点(A -，O 为坐标原点，则||OA OP OP ⋅的最大值为________16．（2022·上海·高三专题练习）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______17．（2022·上海·高三专题练习）如图，在△ABC 中，2Cπ=，AC =1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．18．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______.19．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量a 、b 、c 满足1a =，2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---的取值范围是_______20．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量PA 、PB 满足22||4PA PB +=，2||2=AB ，设2=+PC PA PB ，则PC ∈________.21．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________22．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC AP 的最小值为__________.23．（2022·上海·高三专题练习）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，则x y xy ++的取值范围为______.24．（2022·上海）若平面向量1e ，2e ，c 满足12121e e e e ==-=，2123(2)02c e e c -+⋅+=，则对任意的R t ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为________.25．（2022·上海）已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使·PE PF λ=，则λ的取值范围为_____________.26．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．27．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．28．（2022·上海·）已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111mOM OP OQ m m =+++，定义点集{|}FP FM FQ FM A F FPFQ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为________29．（2022·上海）已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若223c a c b -+-=，则2c a +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[2,3]D ．30．（2022·上海·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，已知ABC ∆的面积是ACD ∆的面积的3倍，若存在正实数x y 、使得1131⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AC AB AD x y 成立,则x y +的最小值为A B C D 31．（2022·上海）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当{}()1,11,2,3,4,5i i λ∈-=时，12345AB AC AD AE AF λλλλλ++++的最大值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．8+32．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ） A ．9B ．10C ．12D ．1433．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A ．45B ．54 C ．56D ．122021-2022上海市学校——高中数学填选难题——平面向量专题练习汇编一、平面向量1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P 在圆222x y +=上，已知(4,0)A ，(0,4)B -，则PA PB ⋅的最小值为___________. 【答案】6-2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足4a b -=，且()()1a c b c -⋅-=-，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是___________.【答案】2⎡⎣3．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.【答案】(1,2]4．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________ 【答案】14-5．（2022·上海·高三专题练习）半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =120°，C 为弧上的动点，已知·0m n ≥，记||||M mOC OA nOC OB =-+-，则（ ）A ．若m +n =3，则M 的最小值为3B ．若m +n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 C ．若m ·n =3，则M 的最小值为3D ．若m ·n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 【答案】A6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a c b c ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t++的最小值是_______.7．（2022·上海）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】258．（2022·上海·高三专题练习）已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足5||7a =､||b =(,){(,)||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>∣，都有|x +y |≤1成立，则a b ⋅的最小值为___________.【答案】179．（2022·上海交大附中高三开学考试）若圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为2，P 是圆O 上任意一点，点P 满足12BP PQ =，则AB AQ ⋅的最大值为_________. 【答案】1010．（2022·上海·高三专题练习）已知边长为2的正方形ABCD 边上有两点P ､Q ，满足1PQ ≥，设O 是正方形的中心，则OP OQ ⋅的取值范围是___________. 【答案】[2,1]-11．（2022·上海·高三专题练习）设向量,OA OB 满足||=||=2OA OB ，2OA OB ⋅=，若,R m n ∈，1m n +=，则1||||2mAB AO BO nBA -+-的最小值为_______ .12．（2022·上海）如图，若同一平面上的四边形PQRS 满足(13)(1)mnRP n m QP m n SP =-+-（0m >，0n >），则当△PRS 的面积是△PQR 的面积的13倍时，1m n+的最大值为________【答案】10-13．（2022·上海·高三专题练习）如图，P 为ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式PBC S PA +△0PAC PAB S PB S PC +=△△成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=； ②若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心； ③若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△； ④若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n ⎡+∈⎣.则正确的命题有___________.【答案】①②④14．（2022·上海·高三专题练习）已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________. 【答案】1215．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 为不等式0200y x y y -≥+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域内任意一点，点(A -，O 为坐标原点，则||OA OP OP ⋅的最大值为________【答案】116．（2022·上海·高三专题练习）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______【答案】617．（2022·上海·高三专题练习）如图，在△ABC 中，2C π=，AC =1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．【答案】4:2:118．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______. 【答案】319．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量a 、b 、c 满足1a =，2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---的取值范围是_______【答案】1,3]20．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量PA 、PB 满足22||4PA PB +=，2||2=AB ，设2=+PC PA PB ，则PC ∈________.【答案】⎣⎦21．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】3422．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC AP 的最小值为__________.23．（2022·上海·高三专题练习）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，则x y xy ++的取值范围为______.【答案】[]1,324．（2022·上海）若平面向量1e ，2e ，c 满足12121e e e e ==-=，2123(2)02c e e c -+⋅+=，则对任意的R t ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为________.25．（2022·上海）已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使·PE PF λ=，则λ的取值范围为_____________. 【答案】18-,（） 26．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．【答案】11⎤⎦，. 27．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB ===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】28．（2022·上海·）已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}FP FMFQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为________【答案】3429．（2022·上海）已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若223c a c b -+-=，则2c a +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[2,3]D ．【答案】B30．（2022·上海·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，已知ABC ∆的面积是ACD ∆的面积的3倍，若存在正实数x y 、使得1131⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AC AB AD x y 成立,则x y +的最小值为A B C D 【答案】D31．（2022·上海）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当{}()1,11,2,3,4,5i i λ∈-=时，12345AB AC AD AE AF λλλλλ++++的最大值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．8+【答案】B32．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．14 【答案】C33．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A ．45B ．54C ．56D ．12 【答案】A。
上海市学校2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编
2021-2022上海市学校——高中数学填选难题专题练习汇编一、第一部分 集合1．（2021·上海市松江二中高二阶段练习）设集合S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：()i {}(),T y y f x x S ==∈， ()ii 对任意1x ，2x S ∈，当12xx <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（ ） ①A N *=，B N =②{}{}13,8010A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 ③{}05,A x x B R =<<= ④,A N B Q == A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A2．（2022·上海·闵行中学高一阶段练习）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”． 其中正确的命题有（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③ D ．①②④【答案】D3．（2021·上海交大附中高一期中）已知x ∈R ，则“()()230x x --≤成立”是“3|21|x x +-=-成立”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】C4．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合10.,A n ab n n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N *，其中a 和b 是不同的数字，则A 中所有元素的和为（ ）. A ．44 B ．110C ．132D ．143【答案】D5．（2022·上海·高三专题练习）已知命题P ：“存在正整数N ，使得当正整数n N >时，有111112020234n+++++>成立”，命题Q ：“对任意的R λ∈，关于x 的不等式10011.0010x x λ->都有解”，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A ．P Q ∧为真命题 B ．()P Q ⌝∨为真命题 C ．()P Q ∨⌝为真命题 D ．()()P Q ⌝∨⌝为真命题【答案】D6．（2020·上海市建平中学高三期中）设定义在R 上的函数()f x 的值域为A ，若集合A 为有限集，且对任意12x x R ∈、，存在3x R ∈使得()()()123f x f x f x =，则满足条件的集合A 的个数为（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．无穷个【答案】B7．（2020·上海市嘉定区第二中学高一期中）若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（ ） A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B8．（2022·上海市控江中学高一期末）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞【答案】D9．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.10．（2020·上海市行知中学高一阶段练习）设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________； 【答案】1011．（2021·上海交大附中高一期中）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___． 【答案】2±12．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是_________． 51+或3. 13．（2021·上海交大附中高二期末）对任意集合M ，定义1,()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅；（4）()()1()[]2S S T T f x f x f x ++=（其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）【答案】（1）（2）（3）（4）14．（2022·上海交大附中高一期末）设函数3()22,||1x x f x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ） A ．12p p ､中仅1p 是q 的充分条件 B ．12p p ､中仅2p 是q 的充分条件 C ．12p p ､都不是q 的充分条件 D ．12p p ､都是q 的充分条件15．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知平面上两个点集(){},112,,M x y x y x y x R y R =++++->∈∈，(){},11,,N x y x a y x R y R =-+-≤∈∈，若M N ⋂=∅，则实数a 的取值集合是___________． 【答案】{}1-16．（2022·上海市松江二中高三开学考试）设集合,,,,,S T S N T N S T ⊆⊆中，至少有两个元素，且,S T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈.若S 有4个元素，则S T 有___________个元素.【答案】717．（2020·上海中学高一期中）若集合{}2(2)20,x x a x a x N -++-<∈中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦18．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集{}(,)1D P d P C =≤所表示的图形的面积为________________． 【答案】5433π+-19．（2020·上海·高一专题练习）{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q +=_____． 【答案】-1或520．（2021·上海·复旦附中高二期中）设{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，若A C U ⊆⊆，B C U ⊆⊆，则不同的有序集合组(,,)A B C 的总数是___________.【答案】10521．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是集合{0s t e e t s -<<，且},s t N ∈(其中e 为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若2lg 10m a <，则m 的最大值为___________.二、函数22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____. 【答案】152- 23．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,1【答案】A24．（2021·上海市建平中学高三期中）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.现定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=.下列说法正确的是（ ）①函数3y x =是圆O 的一个“太极函数”； ②函数1sin 2y x π=是圆O 的一个“太极函数”；③函数()f x 的图像关于原点中心对称是()f x 为圆O 的“太极函数”的充要条件； ④圆O 的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数. A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②④【答案】A25．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设04,0b a b m <<<>，若三个数22,2a ba b ab m ab ++-m 的取值范围为（ ） A ．135,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．(1,3)C ．135,224⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．(3,2)【答案】C26．（2022·上海·高三专题练习）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A27．（2021·上海市向明中学高三阶段练习）已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论： ①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A28．（2021·上海金山·二模）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足21(1)()()2f x f x f x +=+-，则(0)(2021)f f +的最大值为（ ）A ．12B ．32C ．212-D ．2 【答案】D29．（2022·上海·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++存在实数0x ，且有0||3x ≥，使得0()0f x =，则224a b +的最小值是________.【答案】3243730．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）已知22,0()1,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，方程22()21|()21240f x x f x x ax +-+----=有三个实根123x x x <<，若32212()x x x x -=-，则实数=aA ．173a +=B ．173a -=C ．1a =-D ．1a =【答案】B31．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________． 【答案】()6,1032．（2021·上海南汇中学高三期中）对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①()21f x x x =++；②()f x x =③()()2sin f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C33．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数()2f x x ax b =++在[]2,2-上存在零点，且 022b a ≤-≤， 则 b 的取值范围是_____.【答案】(,426-∞-34．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论： ①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=； ③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C35．（2022·上海静安·二模）已知函数()2log ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若对任意1a ≤-，当1b m -<≤时，总有()()1a f b b -≥成立，则实数m 的最大值为__________. 【答案】136．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）函数f （x ）=3|x +4|﹣2|x +2|，数列a 1，a 2，…，an …，满足an +1=f （an ），n ∈N *，若要使a 1，a 2，…an ，…成等差数列．则a 1的取值范围______．【答案】{8}[2,)--+∞37．（2022·上海虹口·二模）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且图像关于直线1x =对称，当[]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，对于闭区间I ，用I M 表示()y f x =在I 上的最大值.若正数k 满足[][]0,,22k k k M M =，则k 的值可以是_________.（写出一个即可）. 22+102-38．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________． 【答案】3(,)32-∞ 39．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知函数()()2,log xa f x g x x ==，若对于()f x 图像上的任意一点P ，在()g x 的图像上总存在一点Q ，满足OP OQ ⊥，且OP OQ =，则实数=a ___________.【答案】12##0.540．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知椭圆2212x y +=，过左焦点F 任作一条斜率为k 的直线交椭圆于不同的两点M ，N ，点M '为点M 关于x 轴的对称点，若1[,1]3k ∈，则FM N '△面积的取值范围是_____．【答案】3[112 41．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知0x >，0y >，a x y =+，22b x xy y ++c m xy =若a ，b ，c 构成三角形的三边，则m 的取值范围是_______.【答案】(233，42．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a cbc ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t ++的最小值是_______.【答案】2243．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知函数()()10,0f x mx m n nx=+>>的定义域为()0,+∞，若1x =时，()f x 取得最小值，则22221122m n n m +++++的取值范围是___________． 【答案】4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭44．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(4]7,-∞45．（2022·上海·高三专题练习）对于定义域为D 的函数f (x )，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得()()()2212122f x f x f x x ==+，则称函数f (x )具有性质M ，若函数()2log 1g x x =-，(]0,x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为__．22+246．（2022·上海·高三专题练习）设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.【答案】54π47．（2022·上海市进才中学高三期中）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________ 【答案】15548．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 、Q 分别为函数2()1f x x =+(x ≥0)和()1g x x =-图像上的点，则点P 和Q 两点距离的最小值为____________． 3249．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C50．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B51．（2021·上海交大附中高三期末）已知函数22()6131029f x x x x x =-+-+，给出下列四个判断：①函数()f x 的值域是[0,2]；②函数()f x 的图像时轴对称图形；③函数()f x 的图像时中心对称图形；④方程3[()]2f f x =有实数解.其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B52．（2021·上海市延安中学高三期中）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D53．（2021·上海黄浦·一模）已知R k ∈，函数22()|4|f x x x kx =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是（ ） A ．72k -<<- B ．7k <-或2k >- C ．70k -<< D ．20k -<<【答案】A54．（2021·上海普陀·模拟预测）已知x ∈R ，符号表示不超过x 的最大整数，若函数[]()x f x a x=-(x ≠0)有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．45(,56] B ． 4554(,,)564][3⋃C ．34(,45] D ． 3443(,,)453][2⋃【答案】B55．（2022·上海·高三阶段练习）已知定义域为[5,5]-的函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x ．若(]12,0,5,x x ∀∈当12x x <时，总有2112()()f x f x x x >，则满足(21)(21)(4)(4)m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．[]1,5- C ．[]2,3- D ．[]2,1-【答案】A56．（2021·上海普陀·一模）设函数()()2,10.5log 2,1a x x a x f x x x ⎧-+<-⎪=⎨++≥-⎪⎩（0a >且1a ≠）在区间(),-∞+∞上是单调函数，若函数()()12g x f x ax =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,84⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D57．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）1a 、2a 与1b 、2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程1212x a x a x b x b -+-=-+-的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}2 D ．{}1,2【答案】B58．（2022·上海徐汇·三模）已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+，对于不相等的实数1x 、2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =； ②对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =-，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题【答案】D59．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，若前2022项和小于零，则122022()()()+++f a f a f a 的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负【答案】B60．（2021·上海普陀·模拟预测）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足44sin(1)250a a -+-=，88sin(1)210a a -++=，则下列结论正确的是( )A ．1111S =，48a a <B ．1122S =，48a a <C ．1122S =，48a a >D ．1111S =，48a a > 【答案】D三、三角函数61．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值为_____________． 【答案】262．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ）A ．27πB ．25π C ．2π D ．23π 【答案】A63．（2021·上海奉贤·一模）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C64．（2022·上海·高三开学考试）ABC 中，()sin sin sin A B A B ++的最大值为（ ）A 323+ B 43+C 15+ D ．32【答案】C65．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy（ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D66．（2021·上海·位育中学高三开学考试）在ABC 中，若2sin A =则cos 2B C 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对【答案】B67．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ； ③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】D68．（2021·上海·模拟预测）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得3cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 【答案】25π 69．（2021·上海青浦·一模）若数列：cos cos2,cos4,,cos2n αααα､､中的每一项都为负数，则实数α的所有取值组成的集合为__________.【答案】22,3k k Z πααπ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭70．（2021·上海·高三专题练习）已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a x -=有以下结论：①当0a ≥时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，内有两个不等实根； ③若方程()()210f x a x -=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程()()210f x a x -=在[]0,6π根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②④ B ．①④C ．①③D ．①②③【答案】C71．（2021·上海虹口·一模）已知函数()cos f x x =，若对任意实数1x ，2x ，方程()()()()()12f x f x f x f x m m R -+-=∈有解，方程()()()()()12f x f x f x f x n n R ---=∈也有解，则m n +的值的集合为______.【答案】{}272．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或322ω≤<或522ω<<. 73．（2021·上海市进才中学高三期中）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为________. 【答案】53⎫⎪⎪⎝⎭74．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0>ω的图像在区间[]1,1-上恰有三个最低点，则ω的取值范围为________． 【答案】11π13π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 75．（2021·上海奉贤·二模）函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，则非零整数n 的值是_________. 【答案】10±，11±76．（2021·上海闵行·二模）已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x x πππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 【答案】47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭77．（2021·上海市实验学校高三开学考试）对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭78．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________． 【答案】1312π 79．（2021·上海市建平中学模拟预测）设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________． 【答案】(1)2n n π- 80．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.【答案】(1,2]81．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>中a 、b 、c 成等比数列，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线P A 、PB 倾斜角分别为α、β，则()()cos cos αβαβ-=+________．5282．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）设0≤α≤π，不等式8x 2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 _________ ． 【答案】[0，6π]∪[56π，π] 83．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知函数sin 1,0()2log ,0ax x f x x x π⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰有9对,则实数a 的取值范围_________.【答案】2117⎝⎭， 84．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________【答案】14-##0.25-85．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123212222n n x x x x x --+++++832n x π+=，则θ=__________. 【答案】9π 86．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.【答案】151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦##151773|1416167a a a ⎧⎫-≤≤--<≤-⎨⎬⎩⎭或87．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()*21N n n n k παϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值为__________． 【答案】1939π##1939π 88．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞是增函数，且()()22241f x ax b f x x ++≤++恒成立，则不等式2sin 222x x x a b π--≥的解集为___________. 【答案】{}189．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】3490．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．【答案】211⎡⎤⎣⎦，. 91．（2022·上海·高三专题练习）设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于________【答案】4π 92．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C93．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且124F F =，1223F PF π∠=，则12PF PF →→⋅的取值范围为（ ）A．3⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．4323⎛⎝⎭C．43⎛⎫⎪⎪⎝⎭D．8,03⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D。
世界最难的10道数学题加答案高中
世界最难的10道数学题加答案高中1.求三角形三边a,b,c。
将任意两边的平方和加和求出：a²+b²=c²答案：即求三角形三边关系式，即勾股定理。
2.如果x的平方减2的平方等于4，求x的值？解：x²-2²=4x²=8x=√8答案：√83.如果一个等比数列的首项为a，公比为r，求该等比数列的前n项和？解：Sn=a[(1-rⁿ)÷（1-r)]a=首项，r=公比，n=项数答案：Sₙ=a[(1-rⁿ)÷（1-r)]4.以x，y，z三个变量来表示三条边，用何种等式表示三角形的充要条件？解：x+y > z, y+z > x, z+x > y答案：三角形充要条件等式为：x+y > z, y+z > x, z+x > y5.已知函数f(x)=2x⁴+5，求f(2)的值解：f(x)=2x⁴+5f(2)=2*2⁴+5f(2)=2⁵+5f(2)=33答案：f(2)=336.给定四边形ABCD的两个对角线，如何求出此四边形的周长？解：周长=AB+BC+CD+DA答案：先计算四边形各边的长度，然后求和即可求出四边形的周长。
7.已知一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等实根x₁和x₂，若其系数b处以解公式中的Δ，求ax²-2bx+2c=0的解？解：ax²-2bx+2c=0ax²-2bx+2c=0即可化为2x²-2(b/Δ)x+2c/Δ=0x₁= b/Δ+√(b²-4ac/Δ)/2x₂= b/Δ-√(b²-4ac/Δ)/2答案：x₁= b/Δ+√(b²-4ac/Δ)/2x₂= b/Δ-√(b²-4ac/Δ)/28.已知正太分布的数据有n个，求该数据的平均数和标准差？解：平均数：X¯=Σ(Xᵢ)/n标准差：σ=√((Σ(Xᵢ²)-nX¯²)/(n-1))答案：平均数X¯=Σ(Xᵢ)/n；标准差σ=√((Σ(Xᵢ²)-nX¯²)/(n-1))9.如果f(x)=4x²+2x+1，求函数f(x)的极值？解：f'(x)=8x+2f'(x)=0 -> 8x+2=0 ->x=-1/4在x=-1/4处取得极值，再代入f(x)求值f(-1/4)=4(-1/4)²+2(-1/4)+1f(-1/4)=1/2答案：f(x)在x=-1/4处取得极值，值为f(-1/4)＝1/210.三角形有三条边，求三角形的面积？解：三角形面积公式为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))其中p=(a+b+c)/2，a、b、c为三边答案：三角形面积公式为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，a、b、c为三边。
高三数学试卷难题汇总
一、函数与导数1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，求函数的极值点。
2. 设函数$f(x)=\ln(x^2+1)$，求函数的导数$f'(x)$。
3. 已知函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$，求函数的导数$f'(x)$。
4. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求函数的单调区间。
5. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，求函数的图像。
二、立体几何1. 已知一个正方体的边长为a，求其对角线的长度。
2. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其体积。
3. 已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，求其体积。
4. 已知一个球体的半径为R，求其表面积。
5. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其表面积。
三、概率与统计1. 已知某班级有50名学生，其中有30名男生，20名女生，求班级中男生和女生人数的概率。
2. 已知某次考试的成绩服从正态分布，平均分为70分，标准差为10分，求考试成绩在60分至80分之间的概率。
3. 已知某次考试的成绩服从二项分布，试验次数为10次，每次成功的概率为0.3，求考试至少成功6次的概率。
4. 已知某班级有50名学生，其中有30名男生，20名女生，求班级中男生和女生人数的期望。
5. 已知某次考试的成绩服从正态分布，平均分为70分，标准差为10分，求考试成绩的方差。
四、解析几何1. 已知直线方程为$x+y=2$，求该直线与坐标轴的交点。
2. 已知圆的方程为$(x-2)^2+(y-3)^2=16$，求圆心坐标和半径。
3. 已知两条直线的方程分别为$x+y=1$和$x-y=2$，求两条直线的交点。
4. 已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，求椭圆的长轴和短轴。
5. 已知双曲线的方程为$x^2-4y^2=1$，求双曲线的渐近线方程。
五、复数1. 已知复数$z=3+4i$，求$|z|$。
高中高三数学试卷复杂难题
一、选择题（每题10分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若存在实数a，使得f(a) = 0，则f'(a)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 22. 设向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，向量c = (x, y)，若向量a、b、c共面，则x + y的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 25，则数列{an}的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则数列{bn^2}的前n项和Tn为（）A. 5^n - 1B. 4^n - 1C. 6^n - 1D. 7^n - 15. 已知双曲线x^2/9 - y^2/16 = 1的渐近线方程为y = ±(4/3)x，则该双曲线的离心率为（）A. 5/3B. 3/5C. 4/3D. 3/4二、填空题（每题10分，共40分）6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x)在区间[1, 3]上的最大值为M，最小值为m，则M + m = _______。
7. 设复数z = a + bi（a，b∈R），若|z - 1| = |z + 1|，则a = _______。
8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 35，S10 = 100，则数列{an}的首项a1 = _______。
9. 设等比数列{bn}的首项b1 = 1，公比q = -2，则数列{bn^3}的前n项和Tn = _______。
10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1处取得极值，则a + b + c =_______。
三、解答题（共60分）11. （20分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求：（1）函数f(x)的单调区间；（2）函数f(x)的极值；（3）函数f(x)的拐点。
高三数学选择填空难题突破 与三角函数相关的最值问题
高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题一、方法综述三角函数相关的最值问题一直是高考数学的热点之一。
其中，三角函数的最值问题是三角函数的重要题型之一，主要包括考查三角函数图像和性质的最值问题，以及以三角函数的有界性为主的最值问题。
熟悉三角函数的图像和性质，掌握转化思想是解决这类问题的关键。
二、解题策略1.类型一：与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题例1】若将函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$的图像向左平移$\theta$（$\theta>0$）个单位，所得的图像关于$y$轴对称，则$\theta$的最小值是（）。
A。
$\frac{\pi}{3}$。
B。
$\frac{\pi}{5}$。
C。
$\frac{\pi}{4}$。
D。
$\frac{8\pi}{3}$解析】函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$为常数函数，其图像为一条直线。
将其向左平移$\theta$个单位，得到的图像仍然是一条直线，不可能关于$y$轴对称。
因此，该题没有解。
举一反三】1.【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数$y=2\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)+\cos x$的图像向左平移$3$个单位，所得图像对应的函数恰为奇函数，则平移量的最小值为（）。
A。
$\pi$。
B。
$\frac{\pi}{2}$。
C。
$\frac{\pi}{3}$。
D。
$\frac{\pi}{6}$解析】将函数$y=\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$的图像向左平移$3$个单位，得到的图像对应的函数为$y=-\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$，为奇函数。
根据奇函数的对称性可知，平移量$\theta$必须是$\frac{\pi}{2}$的倍数，且$\theta>0$。
高三数学试题大全
高三数学试题答案及解析1.点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略2.已知正数满足，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】略3.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率为（）．【答案】【解析】略4.有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确【答案】C【解析】略6.已知p:2+3=5,q:5<4,则下列判断错误的是( )A．“p或q”为真,“¬p”为假B．“p且q”为假,“¬q”为真C．“p且q”为假,“¬p”为假D．“p且q”为真,“p或q”为假【答案】D【解析】略7.已知向量，向量，且，则实数等于（A．9B．C．D．【答案】A【解析】略8.已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且（）A．4B．2C．－2D．【答案】C【解析】略9.若集合，则A∩B=（）A．[-1，0]B．[0，+）C．[1，+）D．（- ，-1）【答案】B【解析】略10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)【答案】D【解析】略11.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是（）A． 6cm3B． 12 cm3C． 16 cm3D． 18 cm3【答案】A【解析】略12.选修4－1：几何证明选讲如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，AH=2。
高三数学难题试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-1, 1]上的最大值和最小值分别为M和m，则M + m的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 62. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5。
若角A的余弦值为1/2，则角B的正弦值为（）A. √3/2B. √3/4C. √7/4D. √7/23. 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 + a4 = 10，a1 + a5 + a6 + a7 = 30，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2n + 1B. an = n + 1C. an = 3n - 2D. an = 2n - 14. 已知复数z = 1 + bi（b∈R），若|z - 3i| = |z + 2i|，则b的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 25. 在直角坐标系中，点A(1, 2)关于直线y = x + 1的对称点为B，则直线AB的方程为（）A. x - y = -1B. x + y = 3C. x - y = 3D. x + y = 1二、填空题（每题10分，共30分）6. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a1 + a2 + a3 = 3，a2 + a3 + a4 = 9，则a4的值为______。
7. 在平面直角坐标系中，点P(m, n)在直线y = 2x + 3上，且到点Q(2, 1)的距离为√5，则m + n的值为______。
8. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，则函数f(x)的值域为______。
三、解答题（每题15分，共45分）9. （15分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求：（1）函数f(x)的图像与x轴的交点坐标；（2）函数f(x)在区间[-2, 3]上的最大值和最小值。
高三的数学试卷难题及答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = (x+1)^2 - 2x，则f(x)的对称轴为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 2答案：C解析：f(x) = (x+1)^2 - 2x = x^2 + 2x + 1 - 2x = x^2 + 1，对称轴为x = -b/2a = -0/2 = 0，故选C。
2. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前10项之和S10为（）A. 40B. 100C. 210D. 340答案：D解析：S10 = a1 + a2 + ... + a10 = (1^2 - 31 + 2) + (2^2 - 32 + 2) + ... + (10^2 - 310 + 2) = (1 + 2 + ... + 10)^2 - 3(1 + 2 + ... + 10) + 210 = 55^2 - 355 + 20 = 3025 - 165 + 20 = 2880，故选D。
3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f(x)在x = 1处的导数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，f'(1) = 31^2 - 61 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1，故选B。
4. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3n - 4B. an = 4n - 5C. an = 5n - 6D. an = 6n - 7答案：B解析：a1 + a2 + a3 = 3a1 + 3d = 6，a4 + a5 + a6 = 3a1 + 9d = 18，解得a1 = 1，d = 2，故an = a1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 4n - 5，故选B。
高三数学难题
高三数学难题〔1〕求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；〔2〕设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值．[自主解答]〔1〕设 A〔x1，y1〕，B〔x1，－y1〕，又知A1〔－a,0〕，A2〔a,0〕，则直线A1A的方程为y＝〔x＋a〕，①直线A2B的方程为y＝〔x－a〕．②由①②得y2＝〔x2－a2〕．③由点A〔x1，y1〕在椭圆C0上，故＋＝1.从而y＝b2，代入③得－＝1〔x<－a，y<0〕．〔2〕证明：设A′〔x2，y2〕，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2|·|y2|，故xy＝xy.因为点A，A′均在椭圆上，所以b2x＝b2x.由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2，从而y＋y＝b2，因此t＋t＝a2＋b2为定值．3．〔2012·山东省实验中学模拟〕已知抛物线y2＝2px〔p≠0〕及定点A〔a，b〕，B〔－a,0〕，ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M，M1，M2，由点A，M，M1共线可知＝，得y1＝，同理由点B，M，M2共线得y2＝.设〔x，y〕是直线M1M2上的点，则＝，即y1y2＝y〔y1＋y2〕－2px，又y1＝，y2＝，则〔2px－by〕y02＋2pb〔a－x〕y0＋2pa〔by－2pa〕＝0.当x＝a，y＝时上式恒成立，即定点为.6．〔2013·长沙〕直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由得3x2＝2，∴x＝±，∴A，B，∴|AB|＝.设点C〔cos θ，sin θ〕，则点C到AB的距离d＝＝·sin〔θ－φ〕≤，∴S△ABC＝|AB|·d≤××＝.答案：28．〔2012·黄冈质检〕已知椭圆＋＝1〔a＞b＞0〕的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为＋1.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕已知点C〔m,0〕是线段OF上一个动点〔O为坐标原点〕，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l 与椭圆交于A，B点，使得|AC|＝|BC|？并说明理由．解：〔1〕∵，∴，∴b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.〔2〕由〔1〕得F〔1,0〕，∴0≤m≤1.假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y＝k〔x－1〕，代入＋y2＝1中，得〔2k2＋1〕x2－4k2x＋2k2－2＝0.设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1＋y2＝k〔x1＋x2－2〕＝.设AB的中点为M，则M.∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，∴·k＝－1，即〔1－2m〕k2＝m.∴当0≤m＜时，k＝±，即存在满足题意的直线l；当≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l.2．〔2012·郑州模拟〕已知圆C的圆心为C〔m,0〕，m＜3，半径为，圆C与离心率e＞的椭圆E：＋＝1〔a＞b＞0〕的其中一个公共点为A〔3,1〕，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．〔1〕求圆C的标准方程；〔2〕若点P的坐标为〔4,4〕，试探究直线PF1与圆C能否相切？若能，设直线PF1与椭圆E相交于D，B 两点，求△DBF2的面积；若不能，请说明理由．解：〔1〕由已知可设圆C的方程为〔x－m〕2＋y2＝5〔m＜3〕，将点A的坐标代入圆C的方程中，得〔3－m〕2＋1＝5，即〔3－m〕2＝4，解得m＝1，或m＝5.∴m＜3，∴m＝1.∴圆C的标准方程为〔x－1〕2＋y2＝5.〔2〕直线PF1能与圆C相切，依题意设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y＝k〔x－4〕＋4，即kx－y－4k＋4＝0，若直线PF1与圆C相切，则＝.∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝或k＝.当k＝时，直线PF1与x轴的交点的横坐标为，不合题意，舍去．当k＝时，直线PF1与x轴的交点的横坐标为－4，∴c＝4，F1〔－4,0〕，F2〔4,0〕．∴由椭圆的定义得：2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝5＋＝6.∴a＝3，即a2＝18，∴e＝＝＞，满足题意．故直线PF1能与圆C相切．直线PF1的方程为x－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋＝1.设B〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，把直线PF1的方程代入椭圆E的方程并化简得，13y2－16y－2＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，故S△DBF2＝4|y1－y2|＝4＝.3．〔2012·深圳模拟〕如图，已知椭圆C：＋＝1〔a＞b＞0〕的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：〔x＋2〕2＋y2＝r2〔r＞0〕，设圆T与椭圆C交于点M与点N.〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕求,·,的最小值，并求此时圆T的方程；〔3〕设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|·|OS|为定值．解：〔1〕依题意，得a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.〔2〕易知点M与点N关于x轴对称，设M〔x1，y1〕，N〔x1，－y1〕，不妨设y1＞0.由于点M在椭圆C上，∴y＝1－.〔*〕由已知T〔－2,0〕，则,＝〔x1＋2，y1〕，,＝〔x1＋2，－y1〕，∴,·,＝〔x1＋2，y1〕·〔x1＋2，－y1〕＝〔x1＋2〕2－y＝〔x1＋2〕2－＝x＋4x1＋3＝2－.由于－2＜x1＜2，故当x1＝－时，,·,取得最小值－.TM TN把x1＝－代入〔*〕式，得y1＝，故M，又点M在圆T上，代入圆的方程得r2＝.故圆T的方程为〔x＋2〕2＋y2＝.〔3〕设P〔x0，y0〕，则直线MP的方程为：y－y0＝〔x－x0〕，令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，故xR·xS＝.〔**〕又点M与点P在椭圆上，故x＝4〔1－y〕，x＝4〔1－y〕，代入〔**〕式，得xR·xS＝＝4＝4.所以|OR|·|OS|＝|xR|·|xS|＝|xR·xS|＝4为定值．5．〔2012·郑州模拟〕若双曲线－＝1〔a＞0，b＞0〕的左，右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为〔〕解析：依题意得，c＋＝×2c，即b＝c〔其中c是双曲线的半焦距〕，a＝＝c，则＝，因此该双曲线的离心率等于.6．设双曲线的左，右焦点为F1，F2，左，右顶点为M，N，若△PF1F2的一个顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是〔〕A．在线段MN的内部B．在线段F1M的内部或NF2内部C．点N或点MD．以上三种情况都有可能解析：选C若P在右支上，并设内切圆与PF1，PF2的切点分别为A，B，则|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝〔|PA|＋|AF1|〕－〔|PB|＋|BF2|〕＝|AF1|－|BF2|.所以N为切点，同理P在左支上时，M为切点．10．〔2012·南昌模拟〕已知△ABC外接圆半径R＝，且∠ABC＝120°，BC＝10，边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，则过点A且以B，C为焦点的双曲线方程为〔〕解析：∵sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，|AC|＝2Rsin∠ABC＝2××＝14，sin∠ACB＝sin〔60°－∠BAC〕＝sin 60°cos∠BAC－cos 60°sin∠BAC＝×－×＝，∴|AB|＝2Rsin∠ACB＝2××＝6，∴2a＝||AC|－|AB||＝14－6＝8，∴a＝4，又c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，∴所求双曲线方程为－＝1.11．〔2012·乌鲁木齐模拟〕已知抛物线y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是〔〕解析：依题意得F，设P，Q〔y1≠y2〕．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y＝y，所以y1＝－y2.又|PQ|＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P.又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝＋＝2，由此解得p＝2±.14．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1〔a＞b＞0〕的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，O是坐标原点，OP∥AB，PF1⊥x轴，|F1A|＝＋，则此椭圆的方程是_____________________ _．解析：由于直线AB的斜率为－，故直线OP的斜率为－，直线OP的方程为y＝－x.与椭圆方程联立得＋＝1，解得x＝±a.根据PF1⊥x轴，取x＝－a，从而－a＝－c，即a＝c.又|F1A|＝a＋c＝＋，故 c＋c＝＋，解得c＝，从而a＝.所以所求的椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝118．〔12分〕〔2012·南昌模拟〕已知圆C过点P〔1,1〕，且与圆M：〔x＋2〕2＋〔y＋2〕2＝r2〔r＞0〕关于直线x＋y＋2＝0对称．〔1〕求圆C的方程；〔2〕过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．解：设圆心C〔a，b〕，则解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.〔2〕由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k〔x－1〕，PB：y－1＝－k〔x－1〕，由得〔1＋k2〕x2＋2k〔1－k〕x＋〔1－k〕2－2＝0.因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝.同理可得xB＝，所以kAB＝＝＝＝1＝kOP，所以，直线AB和OP一定平行．20．〔12分〕〔2012·河南模拟〕已知椭圆＋＝1〔a＞b＞0〕的离心率为，短轴的一个端点为M〔0,1〕，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A，B.〔1〕若|AB|＝，求k的值；〔2〕求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.解：〔1〕由题意知＝，b＝1.由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝，∴椭圆的方程为＋y2＝1.由得〔2k2＋1〕x2－kx－＝0.Δ＝k2－4〔2k2＋1〕×＝16k2＋＞0恒成立，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则x1＋x2＝，x1x2＝－.∴|AB|＝·|x1－x2|＝·＝＝，化简得23k4－13k2－10＝0，即〔k2－1〕〔23k2＋10〕＝0，解得k＝±1.〔2〕∵,＝〔x1，y1－1〕，,＝〔x2，y2－1〕，∴,·,＝x1x2＋〔y1－1〕〔y2－1〕，＝〔1＋k2〕x1x2－k〔x1＋x2〕＋＝－－＋169＝0.∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.21．〔2012·广州模拟〕设椭圆M：＋＝1〔a＞〕的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A，若,＋2,＝0〔其中O为坐标原点〕．〔1〕求椭圆M的方程；〔2〕设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋〔y－2〕2＝1的任意一条直径〔E，F为直径的两个端点〕，求,·,的最大值．解：〔1〕由题设知，A，F1〔，0〕，由,＋2,＝0，得＝2，解得a2＝6.所以椭圆M的方程为＋＝1.〔2〕设圆N：x2＋〔y－2〕2＝1的圆心为N，则,·,＝〔,－,〕·〔,－,〕＝〔－,－,〕·〔,－,〕＝,2－,2NP NF＝,2－1.NP从而将求,·,的最大值转化为求NP―→,2的最大值．PE PF因为P是椭圆M上的任意一点，设P〔x0，y0〕，所以＋＝1，即x＝6－3y.因为点N〔0,2〕，所以,2＝x＋〔y0－2〕2＝－2〔y0＋1〕2＋12.因为y0∈[－， ]，所以当y0＝－1时，,2取得最大值12.NP所以,·,的最大值为11.PE PF22．〔2012·湖北模拟〕如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分．曲线C2是以O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝.〔1〕求曲线C1和C2的方程；〔2〕设点C是C2上一点，若|CF1|＝ |CF2|，求△CF1F2的面积．解：〔1〕设椭圆方程为＋＝1〔a＞b＞0〕，则2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝6，得a＝3.设A〔x，y〕，F1〔－c,0〕，F2〔c,0〕，则〔x＋c〕2＋y2＝2，〔x－c〕2＋y2＝2，两式相减得xc＝.由抛物线的定义可知|AF2|＝x＋c＝，则c＝1，x＝或x＝1，c＝.又∠AF2F1为钝角，则x＝1，c＝不合题意，舍去．当c＝1时，b＝2，所以曲线C1的方程为＋＝1，曲线C2的方程为y2＝4x.〔2〕过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作CC1⊥l于点C1，依题意知|CC1|＝|CF2|.在Rt△CC1F1中，|CF1|＝ |CF2|＝|CC1|，所以∠C1CF1＝45°，所以∠CF1F2＝∠C1CF1＝45°.在△CF1F2中，设|CF2|＝r，则|CF1|＝r，|F1F2|＝2.由余弦定理得22＋〔r〕2－2×2×rcos 45°＝r2，解得r＝2，所以△CF1F2的面积S△CF1F2＝|F1F2|·|CF1|sin 45°＝×2×2sin 45°＝2.。
高三函数难题22道20140921
高一函数难题22道20140921高一函数难题22道20140921一．解答题（共22小题，满分264分，每小题12分）1．（12分）（2006•福建）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是12．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2．（12分）（2006•重庆）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式．3．（12分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．4．（12分）（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（﹣x）=．设F（x）=．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．5．（12分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．6．（12分）（2005•浙江）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．7．（12分）（2001•北京）设函数，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．8．（12分）（2014•徐汇区一模）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．9．（12分）（2014•唐山三模）函数f（x）=﹣++的最大值为_________．10．（12分）（2014•广州模拟）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．11．（12分）（2013•合肥二模）已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=x2•[f（x）﹣a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．12．（12分）（2012•卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．13．（12分）（2011•南昌模拟）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．（Ⅰ）求b，c的值．（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．14．（12分）（2005•广东）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上满足f（2﹣x）=f（2+x），f（7﹣x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[﹣2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．15．（12分）（2014•黄浦区一模）已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠﹣d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（﹣1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（﹣2）=﹣，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）恒成立，求负实数m的取值范围．16．（12分）（2014•崇明县一模）已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R恒有f（x）≤g （x）成立．（文1）记，如果h（x）为奇函数，求b，c满足的条件；（1）当b=0时，记，若h（x）在[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；（2）证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立；（3）（理3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式g（c）﹣g（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．17．（12分）（2012•山西模拟）定义域[﹣1，1]的奇函数f（x）满足f（x）=f（x﹣2），且当x∈（0，1）时，．（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）求函数f（x）的值域．18．（12分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．19．（12分）（2009•宁夏）如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C 与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和．（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？20．（12分）（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：（Ⅰ）a＞0且；（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．21．（12分）（2014•遂宁一模）已知f（x）=ax2﹣3x﹣4（1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立，求x的范围．（2）f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求a的范围．（3）解关于x的不等式：f（x）≥0．22．（12分）（2011•武进区模拟）设函数f（x）=ax2+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为﹣a，f（x）=0两个实根为x1、x2．（1）求x1﹣x2的值；（2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a的取值范围；（3）若﹣2＜x1＜0，求b的取值范围．高一函数难题22道20140921参考答案与试题解析一．解答题（共22小题，满分264分，每小题12分）1．（12分）（2006•福建）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是12．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数与方程的综合运用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据二次函数小于0的解集，设出解析式，利用单调性求得最大值，解出待定系数．（2）将方程等价转化h（x）=0，利用h（x）的导数判断其单调性，利用单调性判断h（x）=0的根的情况．解答：解：（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），∴可设f（x）=ax（x﹣5）（a＞0）．∴f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是f（﹣1）=6a．由已知得6a=12，∴a=2，∴f（x）=2x（x（x∈R）．（2）方程等价于方程2x3﹣10x2+37=0．设h（x）=2x3﹣10x2+37，则h'（x）=6x2﹣20x=2x（3x﹣10）．在区间时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；在区间（﹣∞，0），或上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（）是极小值．∵，∴方程h（x）=0在区间内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（﹣∞，0）上有唯一的零点．画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，所以存在惟一的自然数m=3，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不同的实数根．点评：本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．2．（12分）（2006•重庆）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：（I）由题意知f（f（2）﹣22+2）=f（2）﹣22+2，f（1）=1，由上（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0，因为f（x0）=x0，所以x0﹣x02=0，故x0=0或x0=1．由此可推导出f（x）=x2﹣x+1（x∈R）．解答：解：（I）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x所以f（f（2）﹣22+2）=f（2）﹣22+2又由f（2）=3，得f（3﹣22+2）=3﹣22+2，即f（1）=1若f（0）=a，则f（a﹣02+0）=a﹣02+0，即f（a）=a．（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0在上式中令x=x0，有f（x0）﹣x02+x0=x0又因为f（x0）=x0，所以x0﹣若x0=0，则f（x）﹣x2+x=0，即f（x）=x2﹣x但方程x2﹣x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故x0≠0若x0=1，则有f（x）﹣x2+x=1，即f（x）=x2﹣x+1，此时f（x）=x有且仅有一个实数1．综上，所求函数为f（x）=x2﹣x+1（x∈R）点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．（12分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题．分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1．要有明确的分类标准；2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．4．（12分）（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（﹣x）=．设F（x）=．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数奇偶性的判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）确定函数y=F（x）的解析式，利用值域为（0，+∞），即可求函数y=F（x）值域和零点；（2）利用奇偶性和单调性的定义，即可判断函数y=F（x）奇偶性和单调性．解答：解：（1）∵f（﹣x）=，∴F（x）==﹣1+，∵f（x）＞0，∴0＜＜1∴﹣1＜F（x）＜1，故y=F（x）的值域为（﹣1，1）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵f（﹣x）=，∴令x=0，f（0）=±1，∵f（x）＞0，∴f（0）=1．故y=F（x）的零点为x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）对任意的x∈R，F（﹣x）==﹣=﹣F（x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴y=F（x）是奇函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由已知，y=f（x）在定义域R上是增函数，∴对任意的x1，x2∈R，x1＜x2，都有f（x1）﹣f （x2）＜0．又F（x1）﹣F （x2）=﹣=＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴y=F（x）在定义域R上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5．（12分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．考点：复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．解答：解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，由②解得﹣＜x+1＜﹣1，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）．（2）=，由f'（x）＞0，即（x2+2x+k+1）（2x+2）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x ＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）．（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0 即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f （﹣1+），且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为：（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）．点评：本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．6．（12分）（2005•浙江）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x （Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；绝对值不等式的解法．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）在函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0），设关于原点的对称点为P（x，y），再由中点坐标公式，求得Q的坐标代入f（x）=x2+2x即可．（Ⅱ）将f（x）与g（x）的解析式代入转化为2x2﹣|x﹣1|≤0，再通过分类讨论去掉绝对值，转化为一元二次不等式求解．（Ⅲ）将f（x）与g（x）的解析式代入可得h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1，再用二次函数法研究其单调性．解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则即∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故g（x）=﹣x2+2x（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得．因此，原不等式的解集为．（Ⅲ）h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1①当λ=﹣1时，h（x）=4x+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1②当λ≠﹣1时，对称轴的方程为x=．ⅰ）当λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1．ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0．综上，λ≤0．点评：本题主要考查求对称区间上的解析式，解不等式及研究函数的单调性，属中档题．7．（12分）（2001•北京）设函数，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．考点：函数单调性的判断与证明．分析：判断函数的单调性可以通过定义做，也可利用导函数做．解答：解：函数的定义域为（﹣∞，﹣b）∪（﹣b，+∞）．f（x）在（﹣∞，﹣b）内是减函数，f（x）在（﹣b，+∞）内也是减函数．证明f（x）在（﹣b，+∞）内是减函数．取x1，x2∈（﹣b，+∞），且x1＜x2，那么=，∵a﹣b＞0，x2﹣x1＞0，（x1+b）（x2+b）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x）在（﹣b，+∞）内是减同理可证f（x）在（﹣∞，﹣b）内是减函数．点评：本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力．8．（12分）（2014•徐汇区一模）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）去掉f（x）的绝对值，由g（x）≥f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，求出即可．解答：解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x+5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．点评：本题考查了含有绝对值的函数的应用问题，解题时应先去掉绝对值，再进行讨论解答．9．（12分）（2014•唐山三模）函数f（x）=﹣++的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义；二次函数在闭区间上的最值．专题：转化思想．分析：设，将函数转化为关于t的二次函数，利用二次函数最值的求法进行求解．解答：解：设，那么，，当且仅当t=2即x=1时等号成立，故答案为．点评：本题考查了换元法的应用，利用换元法将函数转化为二次函数是求函数最值的一种重要的方法．10．（12分）（2014•广州模拟）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过图象直接得出，（2）将x分区间进行讨论，去绝对值写出解析式，求出单调区间，（3）将a分区间讨论，求出单调区间解出即可．解答：解：（1）当a=2，x∈[0，3]时，作函数图象，可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．（2）①当x≥a时，．因为a＞2，所以．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，．因为a＞2，所以．所以f（x）在上单调递增，在上单调递减．综上所述，函数f（x）的递增区间是和[a，+∞），递减区间是[，a]．（3）①当﹣2≤a≤2时，，，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，关于x的方程f（x）=t﹣f（a）不可能有三个不相等的实数解．②当2＜a≤4时，由（1）知f （x）在和[a，+∞）上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．即．令，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，故g（a）max=5．∴实数t的取值范围是．点评：本题考查了函数的最值，函数单调性的证明，渗透了分类讨论思想，综合性较强，是较难的一道题．11．（12分）（2013•合肥二模）已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=x2•[f（x）﹣a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：（I）先设f（x）的图象上任一点P（x，y），再由点点对称求出对称的坐标，由题意把对称点的坐标代入h（x）的解析式，进行整理即可；（II）由（I）求出g（x）的解析式，再求出导数，将条件转化为：3x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，再分离出常数a，利用函数y=在区间[1，2]上的单调性求出函数的最小值，再求出a的范围．解答：解：（I）设f（x）的图象上任一点P（x，y），则点P关于点A（0，1）对称P′（﹣x，2﹣y）在h（x）的图象上，∴2﹣y=﹣x﹣+2，得y=，即f（x）=，（II）由（I）得，g（x）=x2•[f（x）﹣a]=x2•[﹣a]=x3﹣ax2+x，则g′（x）=3x2﹣2ax+1，∵g（x）在区间[1，2]上为增函数，∴3x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，即a≤（）在区间[1，2]上恒成立，∵y=在区间[1，2]上递增，故此函数的最小值为y=4，则a≤4=2．点评：本题考查了利用轨迹法求函数解析式，导数与函数单调性、最值问题，以及恒成立问题，考查了转化思想．12．（12分）（2012•卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；综合题；新定义；开放型；分类讨论．分析：（1）根据均值的定义，要判断1是函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，即要验证；（2）函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，当a=0时，f（x）=﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，从而求得实数a的取值范围；（3）根据（1），（2）的结论对于当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”；当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f（x）不存在均值．解答：解：（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，当且仅当x2=﹣x1时，有，故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，所以1是函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．（2）当a=0时，f（x）=﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，故有或，解得a≥1或a＜0或，综上，a的取值范围是或a≥1．（3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f （x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当I=（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．点评：此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．13．（12分）（2011•南昌模拟）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．（Ⅰ）求b，c的值．（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．考点：函数奇偶性的性质．分析：（1）根据g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x2+2bx+c能够求出b与c的值．（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．g'（x）=0时的x函数g（x）取到极值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．从而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，由奇函数定义得b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，从而g'（x）=3x2﹣6，当g'（x）＞0时，x＜﹣或x＞，当g'（x）＜0时，﹣＜x＜，由此可知，的单调递增区间；的单调递减区间；g（x）在x=时取得极大值，极大值为，g（x）在x=时取得极小值，极小值为．点评：本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间，取到极值时导数为0．14．（12分）（2005•广东）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上满足f（2﹣x）=f（2+x），f（7﹣x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[﹣2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．考点：函数奇偶性的判断；函数的周期性；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用条件先求出函数的周期，再求出f（﹣3）=f（7）≠0，而f（3）=0，f（﹣3）≠﹣f（3）根据奇偶性的定义可知该函数为非奇非偶函数；（2II）根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[﹣10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[﹣2005.0]上有400个解．解答：解：由⇒⇒f（4﹣x）=f （14﹣x）⇒f（x）=f（x+10），又f（3）=0，而f（7）≠0，⇒f （﹣3）=f（7）≠0⇒f（﹣3）≠f （3），f（﹣3）≠﹣f（3）故函数y=f（x）是非奇非偶函数；（II）由⇒⇒f（4﹣x）=f （14﹣x）⇒f（x）=f（x+10）又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f （13）=f（﹣7）=f（﹣9）=0因为在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，又f（7﹣x）=f （7+x），故在[4，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解故f（x）在[0，10]和[﹣10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[﹣2005.0]上有400个解，所以函数y=f（x）在[﹣2005，2005]上有802个解．点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的周期性和根的存在性及根的个数判断，属于基础题．15．（12分）（2014•黄浦区一模）已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠﹣d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（﹣1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（﹣2）=﹣，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）恒成立，求负实数m的取值范围．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：综合题．分析：（1）利用反比例函数的对称性类比即可；（2）分情况讨论f（x）的范围；（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．解答：解（1）∵a=0，∴．类比函数的图象，可知函f（x）的图象的对称中心是（﹣d，b）．又∵函f（x）的图象的对称中心（﹣1，3），∴．（2）由（1）知，．依据题意，对任x0∈[3，10]，恒f（x0）∈[3，10]．①c=3，f（x）=3，符合题意．②c≠3，c＜3时，对任x∈[3，10]，恒，不符合题意．所c＞3，函[3，10]上是单调递减函数，且满f（x）＞3．因此，当且仅f （3）≤10，即3＜c≤31时符合题意．综上，所求实c 的范围3≤c≤31．（3）依据题设，解于是．由，得，∴（2x2﹣1）m2＞1∵m＜0∴m＜﹣．因此，．∵函数y=﹣在[1，+∞）是增函数，∴y min=y（1）=﹣1．∴所求负实数m的取值范围m＜﹣1．故答案为m＜﹣1．点评：本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解16．（12分）（2014•崇明县一模）已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R恒有f（x）≤g （x）成立．（文1）记，如果h（x）为奇函数，求b，c满足的条件；（1）当b=0时，记，若h（x）在[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；（2）证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立；（3）（理3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式g（c）﹣g（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（文1）因为对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，从而得到c≥，即c≥1．设h（x）=，因为h（x）是奇函数，h（﹣x）=﹣h（x）成立，解得b=0，从而得出结论．（1）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，可得c≥1．当b=0时，由于h（x）==，因为h（x）在[2，+∞）上为增函数，可得（1﹣）＞0 成立，故有c≤4，从而得到c的取值范围．（2）由（1）得2c﹣b=c+（c﹣b）＞0，当x≥0时，有（x+c）2﹣g（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0，证得不等式成立（3）由（2）知，c≥|b|，当c＞|b|时，有M≥=，求得M的取值范围是[，+∞）；当c=|b|，M的最小值仍是，从而得出结论．解答：解：（文1）因为对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而c≥，即c≥1．设h（x）=的定义域为D，因为h（x）是奇函数，所以对于任意x∈D，h（﹣x）=﹣h（x）成立，解得b=0，所以b=0，c≥1．（1）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立．所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而c≥+1，即c≥1．当b=0时，记h （x）===，因为h（x）在[2，+∞）上为增函数，所以任取x2＞x1≥2，f（x2）﹣f（x1）=（x2﹣x1）（1﹣）＞0 恒成立．即（1﹣）＞0 成立，也就是c＜x1•x2成立，所以c≤4，即c的取值范围是[1，4]．（2）由（1）得，c≥1且c≥+1，所以c≥2=|b|，因此2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．故当x≥0时，有（x+c）2﹣g（x）=（2c﹣b）x+c （c﹣1）≥0．即当x≥0时，g （x）≤（x+c）2．知，c≥|b|，当c＞|b|时，有M≥==，设t=，则﹣1＜t＜1，所以M≥2﹣，由于y=2﹣的值域为（﹣∞，）；当c＞|b|时，M的取值范围是[，+∞）；当c=|b|，由（1）知，b=±2，c=2，此时g（c）﹣g（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0，从而g（c）﹣g（b）≤（c2﹣b2）恒成立，综上所述，M的最小值为．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于中档题．（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）求函数f（x）的值域．考点：奇偶性与单调性的综合；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．专题：计算题．分析：（1）先利用奇函数的定义，求f（x）在（﹣1，0）上的解析式，再利用抽象表达式f（x）=f（x﹣2），求f（1）和f（﹣1）的值，即可得f（x）在定义域上的解析式；（2）先利用导数证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，再利用对称性证明函数在（﹣1，1）上的单调性，最后利用单调性和对称性求函数的值域即可解答：解：（1）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），则f（﹣x）=﹣2x+∵f（x）为[﹣1，1]的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）'∴f（x）=2x﹣又∵f（0）=﹣f（0），∴f（0）∵f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣1）=f（1﹣2）=f（1）∴f（﹣1）=0，f（1）=0∴f（x）=（2）∵x∈（0，1）时，．∴f′（x）=2+＞0∴f（x）在（0，1）上为增函数，f（x）∈（0，3）∵f（x）为[﹣1，1]的奇函数，∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数∴当x∈（﹣1，1）时，f（x）∈（﹣3，3），f（±1）=0∴函数f（x）的值域为（﹣3，3）点评：本题主要考查了函数奇偶性的定义及其运用，利用函数的奇偶性求函数解析式的方法，利用函数的奇偶性判断函数的单调性，利用单调性求函数值域的方法18．（12分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意可得P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数，可求解答：解（1）当n=4时，P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N*由条件可知，若⇔k为偶数不成立若m∉A，则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义19．（12分）（2009•宁夏）如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C 与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和．（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题设描述CO=x，CA=|10﹣x|，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和，直接建立函数关系即可，由于解析式含有绝对值号，故可以将解析式转换成分段函数．（2）对（1）中的函数进行研究利用其单调性与值域探讨x的取值范围即可．解答：解：（1）由题设，CO=x，CA=|10﹣x|，CB=|20﹣x|，故y=4×|10﹣x|+6×|20﹣x|，x∈[0，30]即y=（2）令y≤70，当x∈[0，10]时，由160﹣10x≤70得x≥9，故x∈[9，10]当x∈（10，20]时，由80﹣2x≤70得x≥5，故x∈（10，20]当x∈（20，30]时，由10x﹣160≤70得x≤23，故x∈（20，23]综上知，x∈[9，23]点评：本题考点是函数解析式的求解及常用方法，本题考查根据的关系建立函数解析式，然后再根据解析式解不等式，由于本题的解析式是一个分段型的，所以在解不等式时要分段求解，解出每一段上的不等式的解集，最后再将它们并起来．20．（12分）（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：（Ⅰ）a＞0且；（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．考点：二次函数的性质；不等式的基本性质．专题：计算题；证明题．分析：（I）先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和的范围即可．（II）欲证明方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根，根据根的存在性定理，只须证明某一个函数值小于0即可，最后只须证明在二次函数顶点处的函数值小于0即可．解答：解：证明：（I）因为f（0）＞0，所以c＞0，3a+2b+c＞0．由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．故．（II）抛物线f （x）=3ax2+2bx+c的顶点坐标为，在的两边乘以，得．又因为f（0）＞0，f（1）＞0，而，所以方程f（x）=0在区间与内分别有一实根．故方程f（x）=0两个实根．点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．21．（12分）（2014•遂宁一模）已知f（x）=ax2﹣3x﹣4 （1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立，求x的范围．（2）f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求a的范围．（3）解关于x的不等式：f（x）≥0．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）解不等式即可，（2）中将a转化为求函数y=的最值问题，（3）里的解不等式问题需将a分情况进行讨论．解答：解：（1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立令g（a）=ax2﹣3x﹣4，∴，即，解得：x≥4，或x≤。
高三数学难题精选
高三数学难题(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程； (2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 2与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 2为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y1x1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y1x1－a (x －a )．②由①②得y 2＝－y21x21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x21a2＋y21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x21a2，代入③得x2a2－y2b2＝1(x <－a ，y <0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|， 故x 21y 21＝x 2y 2.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以 b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x21a2＝b 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x22a2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 2＝a 2，从而y 21＋y 2＝b 2， 因此t 21＋t 2＝a 2＋b 2为定值．3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝⎛⎭⎪⎫y202p ，y0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y212p ，y1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y222p ，y2，由点A ，M ，M 1共线可知y0－b y202p －a ＝y1－y0y212p －y202p，得y 1＝by0－2pa y0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y2－y1y222p －y212p ＝y2－yy222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by0－2pa y0－b ，y 2＝2pay0，则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b 时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .6．(2013·长沙)直线l ：x －y ＝0与椭圆x22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x22＋y2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63， ∴|AB |＝433. 设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·⎪⎪sin(θ－φ)⎪⎪≤32，∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝2.答案：28．(2012·黄冈质检)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1. (1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1.假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k22k2＋1，x 1x 2＝2k2－22k2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k2＋1，－k 2k2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k 2k2＋1m －2k22k2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ＜12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ； 当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l .2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0， 若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k2＋1＝5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝3＋42＋12＋3－42＋12＝52＋2＝62.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x218＋y22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4y1＋y22－4y1y2＝241013.3．(2012·深圳模拟)如图，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM u u u r ,·TN u u u r,的最小值，并求此时圆T 的方程； (3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a2－c2＝1. 故椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x214.(*)由已知T (－2,0)，则TM u u u r ,＝(x 1＋2，y 1)，TN u u u r,＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM u u u r ,·TN u u u r,＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎪⎫x1＋852－15.由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM u u u r ,·TN u u u r,取得最小值－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y0－y1x0－x1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x1y0－x0y1y0－y1，同理：x S ＝x1y0＋x0y1y0＋y1，故x R ·x S ＝x21y20－x20y21y20－y21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 代入(**)式， 得x R ·x S ＝41－y21y20－41－y20y21y20－y21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y20－y21y20－y21＝4.所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．5．(2012·郑州模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )解析：依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c2－b2＝35c ，则ca ＝53，因此该双曲线的离心率等于53.6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能 解析：选C若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|PA |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．10．(2012·南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )解析：∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314，∴cos ∠BAC ＝1114，|AC |＝2R sin ∠ABC ＝2×1433×32＝14，sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC ) ＝sin 60°cos ∠BAC －cos 60°sin ∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314， ∴|AB |＝2R sin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6，∴2a ＝||AC |－|AB ||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，∴所求双曲线方程为x216－y29＝1.11．(2012·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )解析：依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y212p ，y1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y222p ，y2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y212p ＋p 2＝y222p ＋p2，所以y 21＝y 2，所以y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3.14．已知F 1，F 2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是______________________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a ，故直线OP 的斜率为－b a ，直线OP 的方程为y ＝－ba x .与椭圆方程联立得x2a2＋x2a2＝1，解得x ＝±22a .根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c .又|F 1A |＝a ＋c ＝10＋5，故 2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x210＋y25＝1.答案：x210＋y25＝118．(12分)(2012·南昌模拟)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x2＋y2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k2－2k －11＋k2.同理可得x B ＝k2＋2k －11＋k2，所以k AB ＝yB －yAxB －xA ＝－k xB －1－kxA －1xB －xA＝2k －k xB ＋xAxB －xA＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．20．(12分)(2012·河南模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B . (1)若|AB |＝4269，求k 的值； (2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x22＋y2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 32k2＋1，x 1x 2＝－1692k2＋1.∴|AB |＝1＋k2·|x 1－x 2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝41＋k29k2＋432k2＋1＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0， 解得k ＝±1.(2)∵MA u u u r ,＝(x 1，y 1－1)，MB u u u r,＝(x 2，y 2－1)， ∴MA u u u r ,·MB u u u r,＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)， ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－161＋k292k2＋1－16k292k2＋1＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .21． (2012·广州模拟)设椭圆M ：x2a2＋y22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a2a2－2与x 轴交于点A ，若1OF u u u r ,＋21AF u u u u r,＝0(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE u u u r ,·PF u u u r,的最大值． 解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2a2－2，0，F 1(a2－2，0)，由1OF u u u r ,＋21AF u u u u r,＝0，得a2－2＝2⎝⎛⎭⎪⎫a2a2－2－a2－2，解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x26＋y22＝1.(2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，则PE u u u r ,·PF u u u r ,＝(NE u u u r ,－NP u u u r ,)·(NF u u u r ,－NP u u u r,) ＝(－NF u u u r ,－NP u u u r ,)·(NF u u u r ,－NP u u u r,)＝NP u u u r ,2－NF u u u r,2 ＝NP u u u r,2－1.从而将求PE u u u r ,·PF u u u r,的最大值转化为求NP ―→,2的最大值． 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x206＋y202＝1，即x 20＝6－3y 20.因为点N (0,2)，所以NP u u u r,2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2， 2]，所以当y 0＝－1时，NP u u u r,2取得最大值12.所以PE u u u r ,·PF u u u r,的最大值为11.22． (2012·湖北模拟)如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52.(1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)设点C 是C 2上一点，若|CF 1|＝ 2|CF 2|，求△CF 1F 2的面积． 解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减得xc ＝32. 由抛物线的定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32.又∠AF 2F 1为钝角，则x ＝1，c ＝32不合题意，舍去．当c ＝1时，b ＝22，所以曲线C 1的方程为x29＋y28＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3≤x≤32，曲线C 2的方程为y 2＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤32.(2)过点F 1作直线l 垂直于x 轴，过点C 作CC 1⊥l 于点C 1，依题意知|CC 1|＝|CF 2|. 在Rt △CC 1F 1中，|CF 1|＝ 2|CF 2|＝2|CC 1|，所以∠C 1CF 1＝45°，所以∠CF 1F 2＝∠C 1CF 1＝45°.在△CF 1F 2中，设|CF 2|＝r ，则|CF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝2. 由余弦定理得22＋(2r )2－2×2×2r cos 45°＝r 2， 解得r ＝2，11 / 11 所以△CF 1F 2的面积S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin 45°＝12×2×22sin 45°＝2.。
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1.在平面上向量AB1垂直向量AB2，向量OB1的模等于向量OB2的模=1，向量AP等于向量AB1+向量AB2,若向量OP的模＜1/2，则向量OA的模的取值范围是
解：以点O为圆心，分别以1为半径作单位圆大⊙O、以1/2为半径作小⊙O，线段B1B2是大⊙O的一条弦，以B1B2为直径的圆是⊙C，由向量AB1⊥向量AB2知点A在⊙C上，由向量AP等于向量AB1+向量AB2知点P也在⊙C上，且点P和点A关于点C对称（即PA是⊙C的直径）。
设⊙C与小⊙O的公共点为D.
令⊙C半径为r=|B1B2|/2(即半弦长)，|OC|=d(即弦心距)，则
考虑到|OP|<1/2，于是⊙C的圆周上必须有点落在小⊙O内部，由图1可知，当⊙C和小⊙O外切时，r最小（即图1中⊙C）；当⊙C和小⊙O内切时，r最大（即图1中⊙C‘）。
（取开值）
下面先求出最值，由图1——
r²+d²=1
d=r±1/2
(外切时，d=|OC|=|CD|+|OD|=r+1/2；内切时，d=|OC’|=|C‘D|-|OD|=r-1/2.)
于是r²+(r±1/2)²=1
整理得8r²±4r-3=0
解得r=(√7±1)/4（负根已舍去）
于是(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，以此为前提(重点)，我们来研究|OA|的取值——
【易得此前提即(√7-1)/4<d<(√7+1)/4）】
先研究最大值，由图1，直线OC与⊙C有两个交点，取近O的一个为P，P必在小⊙O内部满足题设要求，这时远O的一个为A，最大值必在此时取得，此时|OA|=d+r.(参见图1和图2)
由r²+d²=1，令r=sina，d=cosa，a为锐角，于是
|OA|=d+r=sina+cosa=√2sin(a+b)=√2sin(a+45°)，tanb=1可取b=45°.(辅助角公式)
a+45°=90°时取最大值，即a=45°，此时r=sina=√2/2，d=cosa=√2/2.
r=√2/2满足(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，此时|OA|=d+r=√2取最大值，即|OA|≤√2.
再研究最小值，如图2，P的范围是图2中弧D1D2，于是A的范围是图2中弧AA'，过A 作OA垂线，垂线在⊙C内部，以OA为半径O为圆心的圆还在垂线内部，故|OA|最小值必在图2中A(或A')处，通过计算得知此时|OA|是定值√7/2(与图2中d或r的取值无关).
在△OCD2中，|OC|=d，|OD2|=1/2，|CD2|=r，于是
cos∠OCD2=(d²+r²-1/4)/(2dr)=(1-1/4)/(2dr)=3/(8dr)
|EC|=|CD2|·cos∠OCD2=r·3/(8dr)=3/(8d)
|AF|²=|ED2|²=|CD2|²-|EC|²=r²-9/(64d²)
|OF|=|OC|+|CF|=|OC|+|EC|=d+3/(8d)
|OA|²=|AF|²+|OF|²=r²-9/(64d²)+[d+3/(8d)]²=r²-9/(64d²)+d²+3/4+9/(64d²)=r²+d²+3/4=1+3/4= 7/4
|OA|=√7/2
段首已证无论d或r如何取值，A点在图2中的A点位置时，|OA|最小(取开值)，于是
|OA|>√7/2.
综合上述，由连续性可知|OA|属于(√7/2,√2].。