2014年清华大学高中生金秋营数学试题(扫描版)
高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题
高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________
常用的三角恒等公式
1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
,
相关变式：
①和差为积：sin sin 2sin
cos
22
αβαβαβ+-+=；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ-+-=；
cos cos 2cos
cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22
αβαβ
αβ+--=- ②积化和差：1sin sin [cos()cos()]2
αβαβαβ⋅=--+；
1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-；1
sin cos [sin()sin()]2
αβαβαβ=++-；
tan tan tan()(1tan tan ),αβαβαβ+=+- tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+
③辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+
，其中sin ϕϕ=
或者sin cos )a b αααφ+=-
，其中sin φφ==
注意特殊角的三角函数：11sin
,cos ,sin 62623232
ππππ====. 2.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=；22
2014年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试
一、填空题
1. 若正数b a ,满足()b a b a +=+=+632log log 3log 2，则b a 11+的值为________.
2. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+213b a b a 中的最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值为__________.
3. 若函数()12-+=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.
4. 数列{}n a 满足21=a ，()()
*+∈++=N n a n n a n n 1221，则=+++2013212014a a a a Λ . 5. 正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是__________.
6. 设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,.若212F F PF =，且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.
7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则APB ∆与APC ∆的面积之比的最大值为__________.
8. 设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以2
1的概率在每对边之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________.
二、解答题
9. 平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
b = 2 6 ，因此椭圆Г的短轴与长轴的比值为 b 2 6 ． a7
7. 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2，圆心为 I ．若点 P 满足 PI 1 ，则△APB 与
△APC 的面积之比的最大值为
．
答案： 3 5 ． 2
解：由 PI 1 知点 P 在以 I 为圆心的单位圆 K 上．
，
所以
2Sn = 2× 2 + 22 × 3 + 23 × 4 + + 2n (n +1) ，
1
将上面两式相减，得
S=n
2n (n +1) − (2n−1 + 2n−2 + + 2 + 2)
= 2n (n +1) − 2=n 2n n ．
故
a2014
a1 a2 a2013
22013 22013
2
设 BAP ．在圆 K 上取一点 P0 ，使得 取到最大值 0 ，此时 P0 应落在 IAC 内，
且是
AP0
与圆
K
的切点．由于
0
0
3
，故
SAPB
1 AP AB sin 2
sin
sin 0
sin
6
2014年高中数学联赛试题及其解答
a的取值范围为 −2，0 。
4、数列{a }满足a = 2，a = (
解答：根据条件知
=
·( )
·(
从而
=
×
。
⋯
∑
()
令S = ∑ 2 (i + 1)，则2S = ∑
) · a ，则
⋯
，故
=
)
·( )
·(
2 (i + 1)，于是
S = 2S − S = ∑ 2 (i + 1) − ∑ 2 (i + 1)
=
=
= log 108ab，
故a + b = 108ab，即得 + = 108。
2、设集合 + b|1 ≤ a ≤ b ≤ 2 中的最大元素与最小元素分别为M、m，则M − m的值
为
。
解答：显然 + b ≤ + 2 = 5，当a = 1，b = 2时，即得M = 5。又根据均值不等式知
+ b ≥ + a ≥ 2√3，当a = b = √3时，即得m = 2√3。于是知M − m = 5 − 2√3。
所以tan a = n − 1 + = 。从而知sin a = 1 − cos a = 1 −
= ( )。
于是知： sin a · sin a · … · sin a = ∏ sin a = ∏
2015年清华大学金秋营数学进阶试题及解答
2015年清华大学金秋营数学进阶试题
在清华大学金秋营比赛中，来自全国众多竞赛优秀学子获得了一等奖降至一本线、二等奖降60分、三等奖降40分的2016年自主招生降分优惠。下面为清华大学数学金秋营数学进阶试题。
本试卷共六题，其中第1，2，3，4题每题15分，第5，6题每题20分．
1、给定正整数n，设实数a1,a2,⋯,a n；x1,x2,⋯,x n；y1,y2,⋯,y n满足
a⩽a i⩽b, i=1,2,⋯,n,
且
证明：
2、设凸五边形A1A2A3A4A5的面积为S，三角形△A5A1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，△A3A4A5，△A4A5A1的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，证明：S1+S2+S3+S4+S5>S．
3、给定正整数n．设实数x1,x2,⋯,x n满足
,∀i≠j,|xi−xj|⩾1,
证明：所有n3个表达式x i x j+x k（其中1⩽i,j,k⩽n）至少能取到n(n−1)/2个不同的值．
4、设a,b,n与n!/a!b! 都是正整数，证明
a+b<n+1+2log2n.
5、给定正整数n．称集合{1,2,⋯,n}的子集族D是“向下封闭”的，如果它满足如下条件：如果A是子集族D的成员，B是A的子集，则B也是D的成员．对于“向下封闭”的子集族（集合的一个子集族是指由若干个的子集所构成的集合），求表达式
所能取到的最大值．
6．设p>5是素数且p≡1(mod4)．对于整数a，如果存在整数x使得
x2≡a(mod p),
则称a是“模p二次剩余的”．证明：对每个整数a，存在整数b, c，使得a=b+c且b, c都不是“模p二次剩余的”．
2012清华大学金秋营试题及解答
―。十V。 - 4。 ~| ―
2
^
~
| ，则易知
2
2
" - 均 为 正 无 理 数 ， 且 1 5 ^ ^ = 2 ， 1 + ^ = 1， ^ + ^ 。
设^ ：―]'、：[解下以数学归纳法证明、^
、 且 ^ 二力
当"二1时，需证明^^&，由于&二1，只需证^^[^二】
由15^^=2，此式成立 假设对于一切不大于1的正整数^， 4 =1 ， 对 于 一 切 小 于 1 的 正 整 数 乃 ^ 二 则 ^ 二 & ， &十八二。^-1，而^ + &
， + ― 二 ― 十 " 一 ！) I ^ - ！ , ^ ！ . 1 乙 1 一 V 、4^-11 1"^化-1 ~ 7 ^777 ：乙、—'-'~~7~ ^ (^-！) 1(^-1)1^ "+化
^ 、 -
\广^-^一、"同理有
卩 ？ - & , 则
！^'"力'
卩 』0 厂―)!^)』。 二
^ + ？ — ) " " 广 ？ 、 厂'^^'"、 1， 厂―)！^)
^^^^十[^：】，又由于"^均为正无理数 =^^ — 1=^ — 1
2014年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
一试
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11
a b
+的值为________．
答案：设连等式值为k ，则2
3
2
,3
,6k k k
a b a b --==+=，可得答案108
分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过
2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫
+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．
答案：33251b a +≤+=
，33
b a a a
+≥+≥
，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．
答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-
分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过
4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则
2014
122013a a a a =+++______． 答案：()1221
n n n a
a n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，
乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为2015
2013
．
分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含
答案)
2014-2015学年度高一数学竞赛试题
一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案。
1.已知集合$M=\{x|x+3<0\}$，$N=\{x|x\leq -3\}$，则集合$M\cap N$=（）
A。$\{x|x0\}$ D。$\{x|x\leq -3\}$
2.已知$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，则$(1-\tan\alpha)(1-
\tan\beta)$等于（）
A。2 B。$-\frac{2}{3}$ C。1 D。$-\frac{1}{3}$
3.设奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，且$f(1)=0$，则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为（）
A。$(-\infty,-1)\cup (0,1)$ B。$(-1,0)\cup (1,+\infty)$ C。$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ D。$(0,1)$
4.函数$f(x)=\ln|x-1|-x+3$的零点个数为（）
A。3 B。2 C。1 D。0
5.已知函数$f(x)=\begin{cases}1/x。& x\geq 4 \\ 2.&
x<4\end{cases}$，则$f(\log_2 5)$=（）
A。$-\frac{11}{23}$ B。$\frac{1}{23}$ C。
$\frac{11}{23}$ D。$\frac{19}{23}$
2014年高考数学真题汇编(含答案)：数列
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 十一、数列（逐题详解）
第I 部分
1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）
139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列
【答案】D
【解析】设{}n a 公比为q ，因为
336936
,a a
q q a a ==，所以369,,a a a 成等比数列，选择D
2.【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，S 3=12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
【答案】C
【解析】由题意可得S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=12，解得a 2=4，∴公差d=a 2﹣a 1=4﹣2=2，
∴a 6=a 1+5d=2+5×2=12，故选：C ．
3.【2014年辽宁卷（理08）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a
为递减数列，则（ ）
A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d >
【答案】C
【解析】∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n+1﹣a n =d ，又数列{2
}为递减数列，
∴
=
＜1，∴a 1d ＜0．故选：C
4.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）
高校自主招生数学讲义 初等数论
第一讲.方程与多项式
知识要求
1.因式分解方法
2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法
例题分析
1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）
2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题
（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.n
n n x
y -+≥ （2009年清华大学）
（2）已知a 、b 为非负实数，4
4
M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.
（2006年清华大学）
3.设实数9k ≥，解方程322
29270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题
（1）.已知方程3
2
10x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥
（2008年南开大学）
（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程3
2
0x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.
（2013年清华大学夏令营）
4.已知方程3
2
0x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题
（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）
（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足
123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.
清华大学历届金秋营试题
两栖动物适应陆地生活的特点
鱼鳔的作用
群落
生态型的概念
各维生素的作用
海洋硬骨鱼肾小囊和肾小管的发达程度糖类与氨基酸间的转化关系
鸟氨酸循环
氨基酸间的转化关系
生酮氨基酸
增加尿液排酮的氨基酸
消化酶对氨基酸序列的相对选择性
谷氨酸等电点处形成螺旋结构
转录因子的作用
限制酶
PCR
圆二色谱仪的作用波长
固氮酶
疟原虫的生活周期及习性
神经干电位
细胞培养
丙酮酸脱羧14C标记
癌细胞的特征
真核基因载体基本组成
载体选择及宿主选择
基因分离定律
基因互作
基因频率
将外源基因导入受体细胞的途径
光反应
southern杂交
酶活力
酶促进反应公式及抑制剂
米氏常数（三道题，两英文一中文）
哪个不是生态型：A. 建群种 B. 优势种 C. 特有种 D. 亚优势种？
能增加尿液排酮的氨基酸是哪一种？
维持蛋白质三级结构的键是哪个？
如果一个人体蛋白在昆虫体内同源表达效果不好，需要截短，截断依据是什么？某同学pcr效果不好，跑出来的片段比预期的小，如何改进？
送外源基因入酵母方法有哪些？
圆二色性最常用波长是哪个范围？
后口、成对附肢、颌、背神经管哪个是最先在鱼类中出现的？
两栖动物适应陆地环境的特征是什么？
蛋白聚糖的糖可能是什么糖？
鳔和肺算不算同源器官？
两栖动物有没有荐椎？
英文题：
蛋白质primary structure取决于什么？
CNBr的作用是什么？
L-氨基酸组成的右手螺旋，换成D-氨基酸将是什么螺旋？
计算题：
最后的计算题，题目中会给出公式，中英文均有。
给出蛋白质a 螺旋的螺距和每圈aa数，问长度一定的 a 螺旋所需aa 数。
对米氏方程的全面考察，给出km 值后速度与底物浓度的互推。
北京清华大学附属中学2014届九年级数学第一学期10月月考试题 新人教版
Ａ．
Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
清华附中九年级月考试卷
数学
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下面四X 扑克牌中，图案属于中心对称的是（）B
2．若02)1(2
=+-+mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值X 围是（ ）A
A.1-≠m
B.1-=m
C.1-≥m
D.0≠m 3．下列计算中，正确的是（ ）B
A.532=
⨯ B.
2
2
2
1=
C.2223=-
D.532=
+
4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO =30º， 则∠ACB 的大小为（）D A ．50º B．45º C ．30ºD．60º
5．下列一元二次方程中没有．．
实数根的是（）D A ．0322
=-+x x B ．0962
=++x x C ．0522
=--x x D ．0432
=++x x
6．已知点A 的坐标为）（3,2，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按
逆时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为（ ）A
A ．）（2,3-
B ．）（2,3-
C ．）（3,2-
D ．）（3,2-
A
O
B
C
7．如图，每个正方形网格的边长为1个单位长度，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是（ ）C
A ．)4,4(--
B ．)3,3(--
C ．)3,4(--
D ．)4,3(--
8．如图，AC 、BD 为圆O 的两条垂直的直径，动点P 从圆心O 出发，沿线段OC -⋂
CD -线段DO 的路线作匀速运动．设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下
2014年全国高中数学联赛试题及答案
2014年全国高中数学联赛(B 卷)
一 试
一、填空题（每小题8分，共64分，） 1.
函数
x
x x f 3245)(---=的值域是 .
2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 .
3.
双曲线122
=-y x
的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个
数是 .
4.
已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中352211
3,,1,3b a b a b a ====，且存在常
数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .
5. 函数
)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值
是 .
6.
两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获
胜概率是 .
7.
正三棱柱
111C B A ABC -的
9条棱长都相等，
P 是1CC 的中点，二面角α
=--11B P A B ,则
=αsin .
8.
方程2010=++
z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 .
二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数
)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.
10.（20分）已知抛物线
x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB