2014年清华大学高中生金秋营数学试题(扫描版)
(word版)2024年清华大学暑假文科营数学试题
2024 年清华大学暑假文科营数学试题2024 年7 月23 日一、填空题(每小题3.5分)1. 已知复数满足,则_________.2. 若不等式对任意均成立,则实数的取值范围是_________.3. “ ”的充要条件是_________.4. 已知4 个男生和3 个女生排成一圈, 则3 个女生不相邻的概率是_________.5. 已知双曲线经过点,某条斜率为1 的直线既经过点又经过双曲线的一个顶点，则此双曲线的标准方程为_________.6. 平面直角坐标系中满足约束条件的整点个数为_________.7. 已知复数,则当取得最大值时, _________.8. 已知不等式的解集为,若,则实数的取值范围是_________.二、多选题(每小题 6 分)9. 已知函数,则下列判断正确的是( )A. 是周期函数B. 的值域是C. 的图像关于直线对称D. 在上有3 个零点10. 已知实数满足,若增加一个条件,使得的最大值不变,则下列选项中符合条件的有( )A. B. C. D.三、解答题(每小题15分)11. 在中,角所对的边分别为,且.（1）若,①求; ②求边的中线长；（2）求面积的最大值.12. 已知公差不为0 的等差数列满足且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,①求证: ; ②是否存在,使得.13. 如图,直线平面, 点为中点.（1）若,求的长;（2）若,求直线与平面所成的角.14. 已知椭圆,直线经过坐标原点. 与平行的直线与椭圆交于两点,其中点,当直线轴时,直线经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的方程;（2）若点满足,直线交于点,直线交于点,求面积的取值范围.。
专题21 数列解答题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共84页)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1十年（2014－2023）高考真题分项汇编—数列解答题目录题型一：数列的概念和通项公式...............................................................1题型二：等差数列的定义与性质...............................................................9题型三：等比数列的定义与性质.............................................................12题型四：数列的求和..................................................................................13题型五：数列中的新定义问题.................................................................15题型六：数列中的证明问题.....................................................................45题型七：数列与其他知识的交汇.............................................................62题型八：数列的综合应用. (81)题型一：数列的概念和通项公式1．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．【答案】122,5b b ==；300．解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-．(2)设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．2．(2014高考数学湖南理科·第20题)已知数列{}n a 满足*+∈=-=N n p a a a nn n ,,111，(Ⅰ)若{}n a 是递增数列，且3213,2,a a a 成等差数列，求p 的值；(Ⅱ)若21=p ，且{}12-n a 是递增数列，{}n a 2是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)13p =(2)141(1)332nn n a --=+⋅解析：(I)因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=。
2014北京高考数学试题及答案word
2014北京高考数学试题及答案word一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a+b=（）A. 2B. 3C. 4D. 8答案：C2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,3}答案：B3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=100，则a_7+a_8=（）A. 18B. 20C. 22D. 24答案：B4. 已知函数y=f(x)的图象关于点(2,3)对称，则函数y=f(4-x)的图象关于点（）对称。
A. (2,3)B. (0,0)C. (4,6)D. (6,0)答案：C5. 已知函数y=x^3-3x+1，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a+b=（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D6. 已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a与向量b的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B7. 已知函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递增，若f(2)=3，则f(1)与f(3)的大小关系为（）A. f(1)<f(3)B. f(1)>f(3)C. f(1)=f(3)D. 不能确定答案：A8. 已知函数y=x^2-6x+8，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a-b=（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
）9. 已知函数y=x^2-4x+c，若其图象与x轴有两个交点，则c的取值范围是______。
答案：(-∞,4)∪(4,+∞)10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=24，则a_4+a_5+a_6=______。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 2 页 共 11 页
2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 4 页 共 11 页
而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编专题04 函数解答题(理科)(解析版)
2k
0 故 x11 D
结合 D , x4 x2, x1 x3, 和函数的图像
可得 f (x) f (1) 的解集为 x11, x4 x2 , x9 x8, x1 x3, x10
附
：
g x 的
大
致
图
像
为
-1
x4
x 2
x6
f x 的大致图像为
x 1 x3 x 5
x1 1 2 k 1, x2 1 2 k 3 ，故 x8, x9 D
x10 x3 1
2k 4 1
2k
2k 4
2k=
k 6 2k 4
2k
0 ，故 x10 D
x4 x11
2k 4
2 k 2k 4 2 k
2k 4 2 k
k 6 2k 4
令 M (x) x2 2tx 3t2 2 ，当 0 t2 1， 8t2 8 0, 1 t 1 ，
此时 n m 2 t 2 1 7 ，当1 t2 2 ， 8t2 8 0 ，
但 4x2 8 4 t3 t x 3t4 2t2 对任意的 x [m, n] [ 2, 2] 恒成立．
1
，其中 k 2 ，
(x2 2x k)2 2(x2 2x k) 3
(1)求函数 f (x) 的定义域 D ；(用区间表示)
(2)讨论 f (x) 在 D 上的单调性； (3)若 k 6 ，求 D 上满足条件 f (x) f (1) 的 x 的集合(用区间表示)．
【答案】解：(1)依题意有 (x2 2x k)2 2(x2 2x k) 3 0
, x4 x2, x1 x3, ，即 D , x4 x2, x1 x3, (2)令 g x =(x2 2x k)2 2(x2 2x k) 3, x D
进入清华北大的捷径 全国高中生竞赛汇总
进入清华北大的捷径全国高中生竞赛汇总----0487421a-6ebd-11ec-b91a-7cb59b590d7d进入清华北大的捷径-全国高中生竞赛汇总（竞赛导论系列1）随着高校招生改革，高中是否有必要学习竞赛？是否学竞赛是很多中学家长和同学纠结的问题。
尤其是高考改革之后，自主招生形势变的不再明朗，竞赛在高中还有必要学么？对于那些对这些科目感兴趣并有余力的学生来说，高中一年级是值得学习的。
高一的主要困难是科目多、数学和物理和初中风格迥异，如果能很快的适应和解决这两个问题，并且学有余力的同学，完全可以在高一阶段，学1门竞赛，锁定在自己最感兴趣的科目。
这样才能事半功倍，为将来的自主招生、各种大学招生的夏令营、乃至出国求学，做多一手的准备。
如果到了高二，还能保持这种全科成绩还不错，一个科目有优势的情形，就可以继续拼一个比较大的奖。
如果到了高二，竞赛学习牵扯精力过多，耽误了其他科目的学习，就得早点收手。
毕竟现在影响最大的还是全科的成绩、和最终高考的成绩。
对于那些在进入顶尖高中方面没有什么问题的初中优秀学生，他们可以提前参加高中学习竞赛。
因为这些孩子的目标应该是锁定在名校的实验班和竞争班。
许多学校，如RDF和第四中学，经常设计高中竞赛的内容和方法。
提前学习的好处会更大。
从长远来看。
如果孩子将来计划在科学和工程方面取得成就。
高中阶段的竞争性学习也是一个很好的提前准备。
例如，参加物理竞赛的孩子在普通物理和高等数学方面往往有很大的优势。
化学生物学竞赛基本上是提前学习大学课程。
这样一来，孩子们进入大学后，在头两年他们将有很多时间用于更深入的学习和研究。
对于那些希望直接加分并通过比赛的学生来说，比赛就快结束了。
竞赛现在加分保送的影响范围缩小到了国家级一等奖，换句话讲，也就是孩子得考到全国前50名左右才能获得保送的资格。
算到北京也一般一科只有个位数。
所以绝大多数孩子希望渺茫。
长话短说。
如果竞争性学习的目标是行走并赢得奖励，那么这确实是一个很大的风险，所以我们应该谨慎学习。
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)_PDF压缩
2
，
即 tan an
3n 2 ． 3
…………………10 分
因此
sin
a1
sin
a2
sin
am
tan sec
a1 a1
tan sec
a2 a2
tan sec
am am
tan a1 tan a2 tan am （利用①） tan a2 tan a3 tan am1
……………8 分
(2)
因 为 a = −2
b
b
，故直线
PO
的斜率
k1
2
，直线
PR
的斜率
k2
4
．设
OPR ，则 为锐角，且
PQ QR
1 1 k1k2 tan k1 k2
1 b2 b4 b b
8 b2 2 8b2 2
5 ．
8. 设 A ， B ， C ， D 是空间四个不共面的点，以 1 的概率在每对点之间连一条边，任 2
意两对点之间是否连边是相互独立的，则 A ， B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间
折线连接的概率为
．
答案： 3 ． 4
解：每对点之间是否连边有 2 种可能，共有 26 64 种情况．考虑其中 A ， B 可用折线
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
2011年清华大学金秋营数学试题及解答
2011年清华金秋营数学试题及解答1.求sinn πsin Λn π2sin nn π)1(-的值。
解：设ni n ππεsin cos +=（i 为虚数单位）,则1,)1(22,,-n εεεΛ为012=-nx 的根。
kk k k i i n k εεεεπ212sin 2-=-=-，sin n πsin Λn π2sin nn π)1(-=)1(2111)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεεΛ =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεεΛ=1)1(2422)1()1)(1(-----n n εεεΛ,而)())(()1(224222----n x x x εεεΛ=12)2(2)1(2+++--x x x n n Λ,n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεεΛ12)1(sin 2sinsin-=-∴n n n n n nπππΛ 2.定义符号Ord p (n)(其中n 为整数，p 为素数）满足：若Ord p (n)= m ，则表示p m|n,并且p1+m ҂n ,定义S p (n)表示n 在p 进制表示下各位数字之和.（1)求证：Ord p (n!)=1)(--P n S n P（2)利用（1）的结论证明：)!1(!)!2(+n n n 为整数.（3)利用（1）的结论证明：)!1()!())!1((++n mn m n 为整数.证明：（1）设n=a k p k+11--k k pa +Λ+a 0,a i ∈{0,1,Λ,p-1}则Ord p （n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞+=i p n i 1=a k p1-k +21--k k pa +Λ+a 2p+a 1 +a k p2-k +31--k k pa +Λ+a 2+Λ+a k=11--p p a k k +1111----p p a k k +Λ+1122--p p a +1111--p p a=1)()(0110111-+++-+++---p a a a a a p a p a p a k k k k k k ΛΛ=1)(--P n S n P(2)设p α||(n+1) (P 为n+1的任一素 因子) 即n+1=a k p k+ a 1-k p 1-k +Λa αp α(0≤a i ≤p-1,且1≤a α≤p-1)则n=a k p k+a 1-k p1-k +Λ+(a α-1)p α+(p-1)p1-α+(p-1)p2-α+Λ+(p-1)2n=2a k p k +2a 1-k p1-k +Λ+2(a α-1)p α+2(p-1)p1-α+2(p-1)p2-α+Λ+2(p-1)显然*∈+=+N C n C n n n n n n n 22,1)!1(!)!2(S p (n)=a k +a 1-k +Λ+(a α-1)+α(p-1)S p (2n)=2(a k +a 1-k +Λ+(a α-1))-α(p-1)-t(p-1) (t ≥0)Ord p （C nn 2)=Ord p （2n!)-2Ord p （n!)=1)2()(2--p n S n S p p =1)1()1(--+-p p t p α=αα≥+tnn C p 2|α∴, 即)!1(!)!2(+n n n *∈N .(3).由题知：若p 为n+1的素因子，且)1(||+n p α,则（p,m)=(1,(p,n))=1, 设n+1=a k p k+ a 1-k p1-k +Λa αp α(a α)1≥mn=b k p k + b 1-k p1-k +Λb 0(b 0)1≥ 则，n=a k p k+ a 1-k p1-k +Λ(a α-1)p α+(p-1)p1-α+Λ+(p-1)mn+n=(a k +b k )p k+(a 1-k +b 1-k )p1-k +Λ(a α+b α-1)p α+(b 1-α+p-1)p1-α+Λ(b 0+p-1)S p (n)=a k + a 1-k +Λ(a α-1)+α(p-1)S p (mn)=b k + b 1-k +Λb 0,10≥b Θ,S p (mn+n)=(a k +b k )+(a 1-k +b 1-k )+Λ(a α+b α-1)-)1()1(---p t p α (其中a k +b k ,a 1-k +b 1-k ,+Λa α+b α,共有t 次进位）显然1)!1()!())!1((+=+++n C n mn m n n n mn ，=∴+)(nn mn p C Ord Ord p （（mn+n)!)-Ord p （n!)-Ord p （(mn)!) =1)()()(-+-+p n mn S n S mn S p p p=αα≥+tnn mn C p +∴|α,即)!1()!())!1((++n mn m n *∈N 。
2011年清华大学金秋营数学试题及答案
y
k
n
=
k 0
a n, k x
n k
y (x+y)
k
an
1, k
an ,k
1
pan,k ,且 a k ,0 =a k,k =1
.
a n,k (2)
是以 p 为变元的整系数多项式
an
1 ,k
an,k
0
1
pan, k
1, k 2
=C 1 (a n =C 2 a n = =C
0 k 0
+pa n
1
1 1,k 1 )+C 1 (a n 1, k 1 +pa n 1, k
1 k
+C )p a n +
2 k
2
k ,2 +
+C k p an
k
k 1
an
k ,k
1 k 1
pa n
k ,1 +C
2 k 1
p an
k,2
+C k
k 1 k 1 1p
k, k
1 +C k 1
p+C
2 k 2
2
p +
+C
n k 1 n
p
n k 1
a n,k =1+C p+C
1 k
2 k 1
2
p +
)p
1,k 2
+C 2 pa n
2 1 ,k 1 +C 2
an
1, k
p
2
1 a n k 1,1 +C k
pa n
k
1, 2 +C
2 k
专题04 函数解答题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(原卷版)(共4页)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数解答题目录题型一：函数概念及其性质 (1)题型二：函数的零点问题 (2)题型三：函数的应用 (3)题型一：函数概念及其性质1．(2020江苏高考·第19题)已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．(1)若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求()h x 的表达式；(2)若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；(3)若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[], D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤2．(2014高考数学上海理科·第20题)设常数0a ≥，函数()22x x a f x a+=-．(1)若4a =，求函数()y f x =的反函数()1y f x -=；(2)根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．3．(2014高考数学广东理科·第21题)设函数()f x =，其中2k <-，(1)求函数()f x 的定义域D ；(用区间表示)(2)讨论()f x 在D 上的单调性；(3)若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合(用区间表示)．4．(2015高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值．(1)证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；(2)当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值．5．(2015高考数学上海理科·第23题)对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，()00f =，()4f T π=；(1)验证()sin3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；(2)设a b <，证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；(3)证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+．6．(2017年高考数学上海(文理科)·第21题)设定义在R 上的函数()f x 满足:对于任意的1x 、2x ∈R ,当12x x <时,都有12()()f x f x ≤．(1)若3()1f x ax =+,求a 的取值范围;(2)若()f x 为周期函数,证明:()f x 是常值函数;(3)设()f x 恒大于零,()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数,M 是()g x 的最大值．函数()()()h x f x g x =．证明:“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．7．(2016高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知3a ≥，函数{}2()min 21,242F x x x ax a =--+-，其中,min{,},.p p q p q q p q ≤⎧=⎨>⎩，．(Ⅰ)求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；(Ⅱ)(ⅰ)求()F x 的最小值()m a ；(ⅱ)求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．8．已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+．(1)当5a =时，解不等式()0f x >；(2)若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．题型二：函数的零点问题1．(2020年浙江省高考数学试卷·第22题)已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2．71828…为自然对数的底数．(Ⅰ)证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；(Ⅱ)记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：(ⅰ)0x ≤；(ⅱ)00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．2．(2019·上海·第18题)已知1()1=f x ax x ++()a R ∈.(1)当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；(2)若[]1,2x ∈时，()f x 有零点，求a 的范围.3．(2016高考数学江苏文理科·第19题)已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．(1)设2a =，12b =．①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；(2)若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．题型三：函数的应用1．(2020江苏高考·第17题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+．已知点B 到OO '的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中,C E 在AB 上(不包括端点)．桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(0k >)．问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?2．(2018年高考数学上海·第19题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()()30,0301800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩单位：分钟≤，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．3．(2015高考数学上海理科·第20题)(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t (单位：千米)．甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后在原地等待，设1t t =时，乙到达C 地．ABC (1)求1t 与()1f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由．。
高2014级零诊文科数学练习题(五)(DOC)
高2014级零诊文科数学练习题（五）一．选择题(60分。
)1．集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，则集合PQ 为 （ ）（A ）{1,2} （B ）{1} （C ）{2} （D ）{0,1}2．已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2πθ-的值为（ ） （A ）49 （B ）29 （C ）29- （D ）49- 3．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）（3题） （4题） （7题） （A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）804．如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+， 则)5(')5(f f += （ ）A ．2B ．12C ．8D ．45．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )（A ）若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α （B ）若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β（C ）若a ⊥β，α⊥β，则 a ∥α（D ）若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β 6.极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） （A ）()2sin()33f x x ππ=- （B ）()2sin(1)6f x x π=- πππy8+8．对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A) )2,(--∞(B) ),2[+∞-(C) ]2,2[-(D) ),0[+∞9它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）（A（B ）（C（D10．定义运算()()a a b a b b a b ⎧≤⊗=⎨>⎩，则函数1()(0)f x x x x =⊗>的图象大致为（ ）11．.已知命题“∀a ，b ∈R ，如果ab ＞0，则a ＞0”，则它的否命题是( ) A ．∀a ，b ∈R ，如果ab ＜0，则a ＜0 B ．∀a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a ，b ∈R ，如果ab ＜0，则a ＜0 D ．∃a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤012．已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}0123b ,c ∈，，，，记“该方程有实数根1x ，2x 且满足1212x x -≤≤≤”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )（A ）14 （B ）34 （C ）78 （D ）1516 二、填空题（20分）13．已知数列{}n a 的前n 项和332n n S =-⨯，则n a = ． 14．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 ．15．如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．侧视图俯视图16．设m 是一个正整数，对两个正整数a 、b ，若(,0)a b km k Z k -=∈≠，我们称a 、b 模m 同余，用符号(Mod )a b m =表示； 在6(Mod )b m =中，当bN m∈，且1m >时，b 的所有可取值为 ．三、解答题（70分）17．（12分）如图，四棱锥S －ABCD 的底面是矩形，SA ⊥底面ABCD ，P 为BC 边的中点，AD ＝2，SA ＝AB ＝1. (1)求证：PD ⊥平面SAP ； (2)求三棱锥S －APD 的体积18．（12分）驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属酒后驾车，血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车．市交警一队对过往的车辆进行抽查共查出喝过酒的驾车者60名，下图是这60名驾车者血液中酒精浓度的频率分布直方图．(1) 求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点) (2) 求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；(3) 将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x ，y(单位： mg/100 ml)，则事件|x －y|≤10的概率是多少？19．（12分）设数列{}n a 为单调递增的等差数列，11a =，且1263,,a a a 依次成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）若2n an n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ；20．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上．若椭圆上的点1F 、2F 的距离之和等于4． （1）写出椭圆C 的方程和焦点坐标．（2）过点(1,0)Q 的直线与椭圆交于两点M 、N ，当OMN ∆的面积取得最大值时，求直线MN 的方程．21．(12分) （1）0,a y x b ==+若时直线为函数y=f(x)的一条切线,求实数b 的值; （2）是否存在实数a ，使()f x 在[1,]e ，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。
2014年高中数学计算题4
2014年高中数学计算题4计算题专项练习1．计算：（1）；（2）．2．计算：（1）lg1000+log342﹣log314﹣log48；（2）．7．（1）计算．（2）若，求的值．8．计算下列各式的值（1）0.064﹣（﹣）0+160.75+0.25（2）lg5+（log32）•（log89）+lg2．9．计算：（1）lg22+lg5•lg20﹣1；（2）．10．若lga、lgb是方程2x2﹣4x+1=0的两个实根，求的值．11．计算（Ⅰ）（Ⅱ）．12．解方程：．13．计算：（Ⅰ）（Ⅱ）．14．求值：（log62）2+log63×log612．15．（1）计算（2）已知，求的值．16．计算（Ⅰ）；（Ⅱ）0.0081﹣（）+••．17．（Ⅰ）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，4，5}，B={2，3，5}，记M=（∁U A）∩B，求集合M，并写出M的所有子集；（Ⅱ）求值：．18．解方程：log2（4x﹣4）=x+log2（2x+1﹣5）19．（Ⅰ）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25；（Ⅱ）已知a=，求÷．20．求值：（1）lg14﹣+lg7﹣lg18 （2）．21．计算下列各题：（1）（lg5）2+lg2×lg50；（2）已知a﹣a﹣1=1，求的值．22．（1）计算；（2）关于x的方程3x2﹣10x+k=0有两个同号且不相等的实根，求实数k的取值范围．23．计算题（1）（2）24．计算下列各式：（式中字母都是正数）（1）（2）．25．计算：（1）；（2）lg25+lg2×lg50+（lg2）2．26．已知x+y=12，xy=27且x＜y，求的值．27．（1）计算：；（2）已知a=log 32，3b=5，用a，b表示．28．化简或求值：（1）；（2）．29．计算下列各式的值：（1）；（2）．30．计算（1）lg20﹣lg2﹣log23•log32+2log（2）（﹣1）0+（）+（）．1．（1）已知x+y=12，xy=9，且x＞y，求的值．（2）．2．计算下列各题：（1）﹣lg25﹣2lg2；（2）．3．计算下列各题：（Ⅰ）；（Ⅱ）．4．（1）化简：，（a＞0，b＞0）．（2）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，求的值．5．解方程．6．求下列各式的值：（1）lg﹣lg+lg （2）．7．求值：（1）（lg5）2+lg2•lg50；（2）．8．计算的值．9．计算：（1）已知x＞0，化简（2）．10．计算：（1）（0.001）+27+（）﹣（）﹣1.5（2）lg25+lg2﹣lg﹣log 29•log32．11．（1）求值：（2）解不等式：．12．化简：．13．（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知2lg （x﹣2y）=lgx+lgy，求的值．14．计算：（1）（）﹣×e++10lg2（2）lg 25+lg2×lg500﹣lg﹣log29×log32．15．化简或求值：（1）（2）16．（1）计算：；（2）已知2a=5b=100，求的值．17．（1）计算（2）已知log189=a，18b=5，试用a，b表示log365．18．计算：（1）（lg50）2+lg2×lg（50）2+lg22；（2）2（lg）2+lg•lg5+；（3）lg5（lg8+lg1000）+（lg2）2+lg+lg0.06．19．化简下列式子：（1）；（2）．20．化简下列式子：（1）；（2）；（3）．21．化简求值：．22．化简下列式子：（1）；（2）；（3）．23．化简下列式子：（1）；（2）；（3）．24．化简下列式子：（1）；（2）．25．解方程：（1）3x﹣5x﹣2=3x﹣4﹣5x﹣3；（2）log x （9x2）•log32x=4．26．计算下列各式（Ⅰ）（lg2）2+lg5•lg20﹣1（Ⅱ）．27．计算：lg2+﹣÷．28．解关于x的不等式log a[4+（x﹣4）a]＜2log a（x﹣2），其中a∈（0，1）．29．解不等式组：．30．当a＞0且a≠1时，解关于x的不等式：2log a﹣2≥2log a（x﹣1）1．已知tanθ=a，（a＞1），求的值．2．已知，求的值．3．已知﹣＜x＜0，则sinx+cosx=．（I）求sinx﹣cosx的值；（Ⅱ）求的值．4．已知α为锐角，且tanα=，求的值．5．已知．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．6．已知tan（+α）=2，求的值．7．已知sin（+2α）•sin（﹣2α）=，α∈（，），求2sin2α+tanα﹣cotα﹣1的值．8．已知sin 22α+sin2αcosα﹣cos2α=1，α∈（0，），求sinα、tanα的值．9．cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．10．求tan20°+4sin20°的值．11．求sin的值．12．已知，求的值．13．已知的值．14．不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．15．解方程sin3x﹣sinx+cos2x=0．16．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．17．求证：=sin2α．18．已知sin﹣2cos=0．（I）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．19．已知cos（α﹣）=，α∈（，π）．求：（1）cosα﹣sinα的值．（2）cos（2α+）的值．20．已知A为锐角，，求cos2A及tanB 的值．21．已知α为第二象限角，且sinα=的值．22．已知（）．（Ⅰ）求cosx的值；（Ⅱ）求的值．23．已知α为钝角，且求：（Ⅰ）tanα；（Ⅱ）．24．已知，，求tanθ和cos2θ的值．25．已知tanθ=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．26．已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．27．已知，求tg2x的值．28．已知，求：（1）的值；（2）的值．29．已知，求下列各式的值：（1）tanα；（2）．30．（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知α为第二象限角，化简cosα+sinα．1．化简：（1）mtan0°+xcos90°﹣psin180°﹣qcos270°﹣rsin360°（2）tan20°+tan40°+tan20°tan40°（3）log 2cos．2．求值．3．已知3sinα+cosα=0．求下列各式的值．（1）；（2）sin2α+2sinαcosα﹣3cos2α．4．已知sinθ=（n＞m＞0），求的值．5．计算：sin10°cos110°+cos170°sin70°．6．若1+sinθ﹣25cos 2θ=0，θ为锐角，求cos的值．7．已知cosx+3sinx=，求tan2x．8．已知：α、β∈，且．求证：α+β=．9．已知=2，求；（1）的值；（2）的值；（3）3sin2α+4sinαcosα+5cos2α的值．10．已知tanx=2，求+sin 2x的值．11．化简12．已知tanx=3，求下列各式的值：（1）y1=2sin2x﹣5sinxcosx﹣cos2x；（2）y2=．13．已知tanα=，计算：（1）；（2）．14．化简：（1）；（2）﹣．15．求cos271°+cos71°cos49°+cos249°的值．16．如果sinα•cosα＞0，且sinα•tanα＞0，化简：cos•+cos•．17．（1）若角α是第二象限角，化简tanα﹣1；（2）化简：．18．化简：（1）tan2α﹣tan2β；（2）1+cosα+cosθ+cos（α+θ）．19．求sin21°+sin22°+…+sin290°．20．（1）若，求值①；②2sin 2α﹣sinαcosα+cos2α．（2）求值．21．已知0＜α＜，若cos α﹣sin α=﹣，试求的值．22．求cos36°﹣sin18°的值．23．化简：．24．求和：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．求证：（sinα+tanα）（cosα+cotα）=（1+sinα）（1+cosα）．26．求下列各式的值（1）tan6°tan42°tan66°tan78°；（2）．27．已知sinθ+sin2θ=1，求3cos2θ+cos4θ﹣2sinθ+1的值．28．化简：（1）；（2）．29．深化拓展：求cot10°﹣4cos10°的值．30．化简：（1）；（2）．1．一个多项式若能因式分解，则这个多项式被其任一因式除所得余式为_________．2．变形（1）(a+b)(a-b)=a2-b2，（2）a2-b2=(a-b)(a+b)中，属于因式分解过程的是________．3．若a，b，c三数中有两数相等，则a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)的值为_________．4．12.718×0.125-0.125×4.718=_________．5．1.13×2.5+2.25×2.5+0.62×2.5=_________．6．分解因式：a2(b2-c2)-c2(b-c)(a+b)=_________．7．因式分解：(a-2b)(3a+4b)+(2a-4b)(2a-3b)=(a-2b)·()．8．若a+b+c=m，则整式m·[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]+6(a+b+c)(ab+bc+ca) 可用m表示为_______________．9．(2x+1)y2+(2x+1)2y=_________．10．因式分解：(x-y)n-(x-y)n-2=(x-y)n-2·_________．11．m(a-m)(a-n)-n(m-a)(a-n)=_________．12．因式分解：x(m-n)+(n-m)y-z(m-n)=(m-n)()．13．因式分解：(x+2y)(3x2-4y2)-(x+2y)2(x-2y)=________．14．21a3b-35a2b3=_________．15．3x2yz+15xz2-9xy2z=__________．16．x2-2xy-35y2=(x-7y)( )．17．2x2-7x-15=(x-5)()．18．20x2-43xy+14y2=(4x-7y)()．19．18x2-19x+5=()(2x-1)．20．6x2-13x+6=()( )．21．5x2+4xy-28y2=()()．22．-35m2n2+11mn+6=-()()．23．6+11a-35a2=()()．24．6-11a-35a2=()()．25．-1+y+20y2=()( )．26．20x2+()+14y2=(4x-7y)(5x-2y)．27．x2-3xy-()=(x-7y)(x+4y)．28．x2+()-28y2=(x+7y)(x-4y)．29．x2+()-21y2=(x-7y)(x+3y)．30．kx2+5x-6=(3x-2)()，k=______．31．6x2+5x-k=(3x-2)()，k=______．32．6x2+kx-6=(3x-2)()，k=______．33．18x2-19x+5=(9x+m)(2x+n)，则m=_____，n=_____．34．18x2+19x+m=(9x+5)(2x+n)，则m=_____，n=_____．35．20x2-43xy+14y2=(4x+m)(5x+n)，则m=_____，n=_____．36．20x2-43xy+m=(4x-7y)(5x+n)，则m=_____，n=_____．38．x4-4x3+4x2-1=_______．39．2x2-3x-6xy+9y=________．40．21a2x-9ax2+6xy2-14ay2=________．41．a3+a2b+a2c+abc=________．42．2(a2-3ac)+a(4b-3c)=_________．43．27x3+54x2y+36xy2+8y3_______．44．1-3(x-y)+3(x-y)2-(x-y)3=_______．45．(x+y)2+(x+m)2-(m+n)2-(y+n)2=_______．46．25x2-4a2+12ab-9b2=_______．47．a2-c2+2ab+b2-d2-2cd=_______．48．x 4+2x 2+1-x 2-2ax-a 2=________．50．a 2-4b 2-4c 2-8bc=__________．51．a 2+b 2+4a-4b-2ab+4=________．1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4.3、解方程：23log 1log 66-=x .4、解方程：9-x －2×31-x =27.5、解方程：x)81(=128. 6、解方程：5x+1=123-x .7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、计算：(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92).9、求函数121log 8.0--=x x y 的定义域.10、已知log 1227=a,求log 616.11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522-+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x).12、已知函数f(x)=321121x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-.(1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0.13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数.14、求log 927的值.15、设3a =4b =36,求a 2＋b 1的值.16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=117、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=018、解指数方程：24x+1－17×4x +8=019、解指数方程：22)223()223(=-++-x x ±220、解指数方程：01433214111=+⨯------x x21、解指数方程：042342222=-⨯--+-+x x x x22、解对数方程：log 2(x －1)=log 2(2x+1)23、解对数方程：log 2(x 2－5x －2)=224、解对数方程：log 16x+log 4x+log 2x=725、解对数方程：log 2[1+log 3(1+4log 3x)]=126、解指数方程：6x －3×2x －2×3x +6=027、解对数方程：lg(2x －1)2－lg(x －3)2=228、解对数方程：lg(y －1)－lgy=lg(2y －2)－lg(y+2)29、解对数方程：lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=030、解对数方程：lg2x+3lgx－4=0。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2014年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2014A1、若正数a 、b 满足)(log log 2log 2632b a b a +=+=+，则ba 11+的值为 ◆答案：108★解析：设k b a b a =+=+=+)(log log 3log 2632，则22-=k a ，33-=k b ，kb a 6=+，从而10832326113232=⨯=⨯=+=+--k k k ab b a b a 。
2014A 2、设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+21|3b a b a 中最大元素与最小元素分别为N M ,，则N M -的值为 ◆答案： 325-★解析：由21≤≤≤b a 知，52133=+≤+b a ，当1=a ，2=b 时，得最大元素5=M ，又3233≥+≥+a ab a ，当3==b a 时，得最小元素32=m 。
因此，325-=-m M 。
2014A 3、若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为◆答案： ]0,2[-★解析：在),1[+∞上，a ax x x f -+=2)(单调递增，等价于12≤-a，即2-≥a 。
在]1,0[上，a ax x x f +-=2)(单调递增，等价于02≤a，即0≤a ，因此实数a 的取值范围是]0,2[-2014A 4、数列{}n a 满足21=a ，n n a n n a 1)2(21++=+，（*∈N n ）则=+++2013212014a a a a ◆答案：20132015★解析：由题设⋅⋅⋅=-⋅+=+=--2112)1(2)1(2n n n a n nn n a n n a)1(223212)1(211+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅+=-n a n n n n n 记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则)1(24232212++⋅⋅⋅+⨯+⨯+=-n S n n 所以)1(2423222232++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n S nn将上面两式相减，得n n S nn n n 2)2222()1(212=+⋅⋅⋅+++-+=-故201320152013220152...201320132013212014=⨯⨯=+++a a a a2014A 5、正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离为 ◆答案：42 ★解析：设底面对角线AC ，BD 交于点O ，过点C 作直线MN 的垂线，交MN 于点H 。
2011年清华金秋营答案
2011年清华金秋营数学试题及解答1.求nn n nπππ)1(sin2sinsin-⋅⋅⋅ 的值. 解：设ni nππεsincos+=(i 为虚数单位),则1,)1(22,,-n εεε 为012=-nx的根.k k k k i i n k εεεεπ212sin 2-=-=-，sin n πsin n π2sin nn π)1(-=)1(2111)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεε =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεε =1)1(2422)1()1)(1(-----n n εεε ,而)())(()1(224222----n x x x εεε =12)2(2)1(2+++--x x x n n ,n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεε ，12)1(sin 2sinsin-=-∴n nn n n nπππ.2.定义符号)(n ord p (其中n 为整数,p 为素数)满足:若m n ord p =)(,则表示n p m |,并且1+m p不能整除n ,定义)(n S p 表示n 在p 进制表示下各位数字之和.(1)求证:1)()!(--=p n S n n ord p p .(2)利用(1)的结论证明:)!1(!)!2(+⋅n n n 为整数.(3)利用(1)的结论证明:)!1()!())!1((++n mn m n 为整数.证明：(1)设n=a k p k+11--k k pa + +a 0,a i ∈{0, ,p-1}则Ord p (n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞+=i p n i 1=a k p 1-k +21--k k p a + +a 2p+a 1+a k p 2-k +31--k k p a + +a 2+ +a k =11--p p a k k +1111----p p a k k + +1122--p p a +1111--p p a=1)()(0110111-+++-+++---p a a a a a p a p a p a k k k k k k =1)(--P n S n P(2)设p α||(n+1) (P 为n+1的任一素因子)，即n+1=a k p k+ a 1-k p1-k + a αp α(0≤a i ≤p-1,且1≤a α≤p-1)则n=a k p k +a 1-k p1-k + +(a α-1)p α+(p-1)p1-α+(p-1)p2-α+ +(p-1)2n=2a k p k+2a 1-k p1-k + +2(a α-1)p α+2(p-1)p1-α+2(p-1)p 2-α+ +2(p-1)显然*∈+=+N C n C n n n n n n n 22,1)!1(!)!2(.故S p (n)=a k +a 1-k + +(a α-1)+α(p-1), S p (2n)=2(a k +a 1-k + +(a α-1))-α(p-1)-t(p-1) (t ≥0)Ord p (C nn 2)=Ord p (2n!)-2Ord p (n!) =1)2()(2--p n S n S p p =1)1()1(--+-p p t p α=αα≥+tnn C p 2|α∴, 即)!1(!)!2(+n n n *∈N .(3).由题知：若p 为n+1的素因子，且)1(||+n p α,则(p,m)=(1,(p,n))=1, 设n+1=a k p k+ a 1-k p1-k + a αp α(a α)1≥，mn=b k p k + b 1-k p1-k + b 0(b 0)1≥则n=a k p k + a 1-k p1-k + (a α-1)p α+(p-1)p1-α+ +(p-1)mn+n=(a k +b k )p k+(a 1-k +b 1-k )p1-k + (a α+b α-1)p α+(b 1-α+p-1)p 1-α+ (b 0+p-1)故，S p (n)=a k + a 1-k + (a α-1)+α(p-1)， S p (mn)=b k + b 1-k + b 0,10≥b ,S p (mn+n)=(a k +b k )+(a 1-k +b 1-k )+ (a α+b α-1)-)1()1(---p t p α(其中a k +b k ,a 1-k +b 1-k ,+ a α+b α,共有t 次进位), 显然1)!1()!())!1((+=+++n C n mn m n n n mn ，=∴+)(nn mn p C Ord Ord p ((mn+n)!)-Ord p (n!)-Ord p ((mn)!) =1)()()(-+-+p n mn S n S mn S p p p =αα≥+tn n mn C p +∴|α,即)!1()!())!1((++n mn m n *∈N .3.原有的乘法交换律为yx xy =,现定义新的乘法交换律为pxy yx =,而乘法结合律与分配率保持不变.例如:22222)1()(y xy p x y yx xy x y x +++=+++=+.设∑=-=+nk k k n kn ny x ay x 0,)(,求证:k n a ,是以p为变元的整系数多项式,并求k n a ,.解：(1)易知(x+y)1+n =kkn n k kn y xa-++=+∑11,1=k k n nk k n y x a -=∑0,(x+y)k n k n k n pa a a ,1,,1+=∴-+,且a 0,k =a k k ,=1，∴ a k n ,是以p 为变元的整系数多项式. (2)k n k n k n pa a a ,1,,1+=-+=C 01(a 2,1--k n +pa 1,1--k n )+C 11(a 1,1--k n +pa k n ,1-)p =C 02a 2,1--k n +C 12pa 1,1--k n +C 22a k n ,1-p 2 ==C 0ka 1,1+-k n +C 1kpa 2,1+-k n +C 2kp 2a 3,1+-k n + +C 1-k k p1-k a k k n ,1+- =C 0k +(C 0k +C 1k )pa 1,k n -+(C 1k +C 2k )p 2a 2,k n -+ +C k k p 1+k a k k n ,-=C 0k +C 11+k pa 1,k n -+C 21+k p 2a 2,k n -+ +C 11++k k p 1+k a k k n ,-==C 0k +C 11+k p+C 22+k p 2+ +C 1+-k n np1+-k n∴a k n ,=1+C 1k p+C 21+k p 2+ +C k n n --1pkn -4.设=n εeniπ2,试求：∑-=-1011n k k n t ε，∑-=-1111n k k n ε，∑-=---11)1)(1(1n k kn k n εε 解：nn eπε2= ,12,,1-∴n nn n εεε 为1=nx 的n 个根.由根与系数的关系知011=∏∑=i kn ni kn εε .)())()(1(112-----=-n nn n n x x x x x εεε )1()1)(1(11x x x x n nn n ----=-⇒εε∴∑-=-111n k kn t ε=∏∑∏-=-=≠--1010)1()1(n k k nn i i j jn t t εε=ntn -1 ∴∑-=-1111n k k n tε=nt n -1-t -11=n n t t t t n -++++--1)1(12 =n n t t t t --+-+--1)1()1()1(12 =122221)1()1()1(1--++++++++++++++n n tt t t t t t t t当t=1时，∑-=-1111n k knε=n n )1(321-++++ =21-n ， ∑-=---11)1)(1(1n k kn k n εε=∑-=+---11)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(1n k nk i n k n k i n k ππππ =∑-=+-11222sin )2cos 1(1n k nk n k ππ=∑-=-112cos 221n k n k π=∑-=112sin 41n k nk π=+-41n 41∑-=112cot n k nk π又 kn n k i n k )1()sin (cos -=+ππ=t t n nt t nn k i n k C )sin ()(cos 0ππ-=∑ 当n=2m 时，121221122)sin ()(cos -+-=-∑t t m mt t mn k i n k Cππ=0，0)1()(cot221122=--=-∑t t m mt t m n k C π nm n nπππ)1(cot ,2cot ,cot 222-∴ 为上式的根 )12)(1(31)1(cot 2cot cot 1232222--==-+++∴m m C C n m n n m m πππ)12)(22(31)1(cot 2cot cot 222--=-+++∴m m n n n nπππ=)1)(2(31--n n 当n=2m+1时，类似可得=-+++∴n n n n πππ)1(cot 2cot cot 2222112312++m m C C =32)12(m m -=)1)(2(31--n n ∴∑-=---11)1)(1(1n k kn k n εε=+-41n 41)1)(2(31--n n =)1(1212-n .。
清华金秋营试题
清华大学2013金秋营试题解答
这里提供另一种证明
熊昌进2015清华大学金秋营试题第1题的解
参考文献:宋庆2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55
熊昌进 2015清华大学金秋营试题第5题的证明
参考文献:宋庆2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55熊昌进 2015清华大学金秋营试题第4题的解
参考文献:宋庆2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55
2014清华大学金秋数学体验营试题及其解答(2014-11-14 08:59:04)
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2014年11月13日18：30 - 21：30
老广清华金秋营试题
转载]2015年清华大学金秋营第4题解答(2015-10-17 21:13:03)
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原文地址：2015年清华大学金秋营第4题解答作者：许康华
2015北大金秋营一道集合试题的解答
标签：高考教育。
2013清华金秋营试题
2013年清华金秋营试题
第一题、（1）分别记,,a b c 为一个直角三角形的两直角边的边长和斜边的边长，记d 为直角顶点到斜边的高线的长度，求证：222111a b d
+=； （2）试给出一个（1）中方程无穷多个整解的一般公式.
第二题、设S R ⊂是一个非空的有限子集，定义||S 为S 中元素个数，1()||x S m S x S ∈=∑，{()|,}S
m A A S A =⊂≠∅ ，证明()()m S m S = .
第三题、（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；
（2）证明：若x t =为p 的一个根，则22x t =-也是p 的一个根；
（3）定义映射2:{,,}(,,),2f a b c a b c t t →- ，求(),(),()f a f b f c .
第四题、设:(0,)f R +∞→是一个连续函数，如果f 满足：对任给,(0,)x y ∈+∞，都有
f =成立，求证：
f =对任给正整数n 和任给正实数12,,n x x x 成立.
第五题、如下定义一个数列2{}:{0,1,2}(1),(mod3)n
n n n n a a n a C ∈∀≥≡，证明：120.n a a a 是一个无理数.
第六题、设数列{}n a 如下定义(2):n n a ≥=
（1）证明这个数列严格单调上升且有上界；
（2）求lim n n a →∞.。