中考专题待定系数法应用
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式(含答案)
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式（含答案）一、单选题（共有3道小题）1.函数20y ax a =≠,（）的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ）A.±2B.－2C.2D.32.二次函数()21,0y ax bx a =+-≠的图象经过点(1，1)，则1a b ++ 的值是（ ）A.-3B.-1C.2D.33.若抛物线2＝＋＋y x ax b 与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1＝x ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A ．(－3，－6)B ．(－3，0)C ．(－3，－5)D ．(－3，－1)二、填空题（共有11道小题）4.已知二次函数2y ax =. 若当1x =-时，2y =，那么a =______ 5.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，3），则m 的值为 6.二次函数2ax y =的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________. 7.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-4,0），则该抛物线的关系式是 .8.若二次函数的图象开口向下，且经过（2,﹣3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为 .9.若抛物线c bx ax y ++=2的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 .10.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（3,0），则该抛物线的关系式是 .11.将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A(0，3)，则所得新抛物线的表达式为 12.如图，已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式为13.一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.这个函数解析式为 .(写出一个即可) 14.已知抛物线()k m x a y +-=21与()k m x a y ++=22关于y 轴对称，我们称1y 与2y 互为“和谐抛物线”．请写出抛物线7642++-=x x y 的“和谐抛物线” ．三、解答题（共有9道小题）15.某二次函数图象如图，试计算其表达式。
初二函数专题5--用待定系数法求解析式+答案
初二函数专题6--用待定系数法求解析式一、用待定系数法求解析式 1、已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A.2y x =- B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<2、已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点． 求这个一次函数的解析式．3、已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．4、一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C (a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．二、根据位置关系求解析式5、已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数的解析式．6、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．三、根据函数定义求解析式7、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．8、已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。
（1）求a b 、的取值范围；（2）a b 、为何值时，此函数的图象过一、三象限。
9、已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式．y xO3214321A四、根据增减性求解析式10、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式。
11、已知函数(2)31y a x a =---，当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为 ．12、已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.13、一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.14、⑴已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.⑴已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.参考答案用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2y x =-B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为2y x =-，同时根据图象看出自变量的取值范围为10x -<<答案：B【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】 设这个一次函数的解析式为：y kx b =+，由题意可知322k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数的解析式为：24y x =-．【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【例3】 (09四川泸州)已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【解析】 ⑴根据已知()023A -，，()143B -，，求出一次函数解析式为223y x =+-，再把C 点坐标代入得23c =+．⑴()()()222222192a b c ab ac bc a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦∵【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C(a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A 、B 在直线l 上．⑴b ka ta kb t =+⎧⎨=+⎩，⑴a b =/，解得：1k =-,故直线l 的解析式为y x =-+t ． 又点C 在直线l 上．⑴()b a a b t -=--+，得0t =．即直线l 的解析式为y x =-，可知l 经过二、四象限．2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数 的解析式．【解析】 根据题意可设此函数解析式为2y x b =+，过点P (-1，2)，解得4b =，解析式为24y x =+.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【解析】 根据题意可得OA 的解析式为2y x =，向上平移一个单位以后，可得：12y x -=，即21y x =+3、根据函数定义求解析式【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．【解析】 根据已知条件，设11y k x =，22k y x = (1k ，2k 均不为零)，于是，得：2221212k y y y k x x=+=+将2x =，3x =代入212y y y =+得：22122121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之：122536k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，⑴2365y x x =+【补充】已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。
中考辅导第三讲待定系数法及方程的思想
第3讲：待定系数法及方程的思想★【概述】待定系数法指的是：为了达到解决的问题的目的，先假定、构想一个问题模式，其中存在一个或一个以上的未知字母，通常把这些未知字母称为待定系数，综合利用问题中的条件和已知的定理、公理、法则来求出未知系数的方法，就是待定系数法。
待定系数法在初中范围里主要用途是解决“因式分解”、“方程” 和“函数”问题，成都市的中考，重点放在函数题中考察，分值一般在15分左右。
I、运用在因式分解时，通常利用____________________ 给予解决；U、运用在方程问题时，通常利用______________________________ 给予解决；川、运用在函数问题时，分三种情况区别对待：(1)正比例、反比例函数：因为只有一个待定系数，所以利用或挖掘题目中个已知条件即可解决问题；(2)一次函数：因为y=kx・b中有两个待定系数k、b，所以利用或挖掘题目中____ 个已知条件即可解决问题；(3)二次函数：因为二次函数有 _种表达式，所以利用或挖掘题目中—个或个已知条件即可解决问题。
W、中考在给出求函数解析式的条件时，一般有三种设置：①、直接给出一一没有难度；②、间接给出(如交点的坐标、与坐标轴围成图形的面积等) 稍有难度；③、利用几何要素通过计算或推理给出——难度较大。
★★【典例精析与运用】一、待定系数法运用举例1. 在整式乘法与因式分解中的运用【例1】是否存在常数p,q使得x4 px q能被x2 2x 5整除？如果存在，求出p,q的值，否则请说明理由;【例2](成都市理科实验班考题)如果x3 - ax2 bx 8有两个因式x 1和x 2，♦目标训练一:1、已知2x ： x_11 =△ £ 2，其中A 、B 、C 为待定系数，求AW 的 X （x —1） x x X —1值。
2、（成都市理科实验班考题）：k 为何值时，多项式x 2 -2xy • ky 2 3x-5厂2能 分解成两个一次因式的积？★ 2、在方程或不等式中的运用 x 15 x 3【例3】（江苏）已知关于x 的不等式组 2只有4个整数解，则a 的x + 2x a .3 ★ 3.用函数思想解决几何问题【例4】如图，A 、B 、C 是一条公路上的三个村庄， A 、B 间的路程为100千 米，A 、C 间的路程为40千米，现在A 、B 之间设一个车站P ，设P 、C 之间 的路程为x 千米。
中考专题---较难的待定系数法求函数解析式
二次函数与几何综合1朝阳区25．已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y轴交于点C （0，3），过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线y= x+5经过D 、M 两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较∠MAB 和∠ACB 的大小，并说明你的理由.2崇文区25．已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，直线3y kx =+与该二次函数的图象交于D 、B 两点，其中点D 在y 轴上，点B 的坐标为（3，0）.（1）求k 的值和这个二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，点F 为线段DB 上的一点，且使得∠DCF =∠ODB ，求出此时点F 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点P 为直线DB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E .问：是否存在这样的点P ，使得以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.3昌平24.已知抛物线y= - x 2 + m x – n 的对称轴为x = -2，且与x 轴只有一个交点.（1）求m ，n 的值；（2）把抛物线沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C ，求抛物线C 的解析式；（3）已知P 是y 轴上的一个动点，定点B 的坐标为（0，1），问：在抛物线C 上是否存在点D ，使△BPD 为等边三角形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.4朝阳区24. 抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.5、（广东省深圳市）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.6、（四川资阳）如图，已知点A 的坐标是（－1，0），点B 的坐标是（9，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠CBD?如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．7（2009年广东广州）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
待定系数法
2.抛物线的顶点在y轴上:设y＝ax2＋k (a≠0) 3.抛物线的顶点在x轴上:设y＝a(x－h)2 (a≠0)
4.抛物线经过原点：设y＝ax2＋bx (a≠0)
考点3:求图形的面积
求图形的面积方法: 1.直接法 2.割补法(应用的条件:直接法求解比较困难时，通常用割补法,常 把图形分割为:三角形，四边形面积求解）
考点7:分类思想问题
1.图形变化中的分类讨论常见题型: (1)当点的运动路线发生改变则就有可能产生分类问题
(2)背景图形发生改变则产生分类问题.
2.把握特殊图形的分类方法:等腰三角形,直角三角形,平行四 边形等
考点8:图象信息问题
1.找图形上的关键点，把握实际含义，列适当的 函数解析式
2.注意自变量的取值范围 3.培养学生的几何直观以及数感，会从特殊到一般， 把握特殊界点的应用，充分利用数形结合法
三、函数及应用
相城区望亭中学 张春丽
一.常见考点及分析
考点1:求点的坐标
点的坐标是函数中最基础的内容,求点的坐标关键要 掌握点的坐标与点到坐标特殊点的坐标; 2.坐标平面内对称点的坐标 3.函数图像与坐标轴的交点坐标; 4.抛物线的顶点坐标; 5.两函数图象的交点坐标; 6.动点坐标
考点5:求最值问题 对于最大最小值问题，往往是转化为求函数的
最值问题.
实际问题中，首先明确变量的实际意义 以及自变量的取值范围，将其转化为函数 问题.借助函数图像和性质,解决最大(小)值 或最优解的问题,进而解决实际问题.
考点6:探索存在性问题
探索存在性问题是指在一定的条件下，判断某种数学对 象是否存在的问题.它有结论存在和结论不存在两种.
待定系数法
【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨锦元数学工作室 编辑在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x 2-3=（1-A ）·x 2＋Bx ＋C ，求A ，B ，C 的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A ，B ，C 的值。
这里的A ，B ，C 就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx ，将（2，﹣从而求得正比例函数解析式。
这里的k 就是有待于确定的系数。
代入所求，从而使问题获解。
b 2=k a 3=，则a=3k b=2k ，，；在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】A ．9B ．－9C ．±9D ．±3 【答案】A 。
待定系数法
中考数学专项讲解待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，kyx，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a(x－h)2+k(a、k、h为待定系数)，y=a(x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【例2】已知y与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．【例4】已知三次方程x3－6x2+11x－6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】 把分式21172x x x-+-化为部分分式．四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】 分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】 当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?综合训练1．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点A 、C 的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．。
中考考点复习之一次函数专题
中考考点复习之一次函数专题考点精讲1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
3.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式()0≠+=k b kx y 探索并理解0>k 和0<k 时，图象的变化情况。
4.理解正比例函数。
5.体会一次函数和二元一次方程的关系。
考点解读考点1：一次函数图像与性质（1）概念：一般来说，形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y ＝kx ＋b 是一条经过点（0,b ）和（-b /k ,0）的直线.特别地，正比例函数y ＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.(3)一次函数与坐标轴交点坐标1.求一次函数与x 轴的交点，只需令y =0,解出x 即可；2.求与y 轴的交点，只需令x =0,求出y 即可.故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴的交点是)0,(kb -，与y 轴的交点是(0，b )； 3.正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象恒过点(0，0)．考点2：一次函数解析式的确定（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y =2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ,再把点（0,1）的坐标代入即可.考点3：一次函数图像的平移规律：“左加右减，上加下减”①一次函数图象平移前后k 不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k 值相同. ②若向上平移h 单位，则b 值增大h ；若向下平移h 单位，则b 值减小h .考点4：一次函数与方程不等式的关系（1）一次函数与方程：一元一次方程kx +b =0的根就是一次函数y =kx +b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标.（2）一次函数与方程组：二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=bx k y b x k y 21的解⇔两个一次函数b x k y +=1和b x k y +=2图象的交点坐标.（3）一次函数与不等式（1）函数y =kx +b 的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx +b ＞0的解集（2）函数y =kx +b 的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx +b ＜0的解集 考点5：一次函数的应用.1.一般步骤：（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答.2.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.考点突破1．（2021秋•驻马店期末）若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．22．（2021秋•中原区校级期末）下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（）A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系3．（2021秋•驿城区校级期末）在同一直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2021春•新蔡县期末）正比例函数y＝kx（k≠0）和一次函数y＝k（1﹣x）在同一个直角坐标系内的图象大致是下图中的（）A．B．C．D．5．（2021秋•白银期末）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（）A．图象必经过（﹣2，1）B．y随x的增大而增大C．图象经过第一、二、三象限D．当x＞时，y＜06．（2021春•巨野县期末）已知正比例函数y＝kx（k≠0），函数值随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（）A．B．C．D．7．（2021秋•任城区校级期末）两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A．B．C．D．8．（2021秋•驿城区期末）一次函数y＝﹣2x+6的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A．6B．9C．12D．189．（2021秋•新郑市期末）若函数y＝（m﹣3）x|m﹣2|+m﹣1是一次函数，则m的值为．10．（2021秋•驿城区校级期末）当k＝时，函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1是一个正比例函数．11．（2021春•舞阳县期末）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是．（填字母代号）A．B．C．D．12．（2019春•安阳期末）函数y＝2x与y＝6﹣kx的图象如图所示，则k＝．13．（2021秋•东城区校级期末）请写出一个图象经过第一、第三象限的一次函数关系式．（写出一个即可）．14．（2021•河南）请写出一个图象经过原点的函数的解析式．15．（2018春•确山县期末）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设△OP A的面积为S．（1）用含x的解析式表示S为，其中x的范围是．（2）画出函数S的图象．（3）当点P的横坐标为5时，△OP A的面积为．（4）△OP A的面积能大于24吗？为什么？16．（2021春•会昌县期末）先完成下列填空，再在同一平面直角坐标系中画出以下函数的图象（不必再列表）（1）正比例函数y＝2x的图象过（0，）和（1，）；（2）一次函数y＝﹣x+3的图象过（0，）和（，0）．17．（2021秋•金水区校级期末）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y ＝﹣|x|+2的图象和性质，并解决问题．（1）填空：①当x＝0时，y＝﹣|x|+2＝；②当x＞0时，y＝﹣|x|+2＝；③当x＜0时，y＝﹣|x|+2＝；（2）在平面直角坐标系中作出函数y＝﹣|x|+2的图象；（3）观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，方程﹣|x|+2＝0有个解；②方程﹣|x|+2＝2有个解；③若关于x的方程﹣|x|+2＝a无解，则a的取值范围是．18．（2021•禹州市模拟）如图1，在菱形ABCD中，AB＝5，某数学兴趣小组从函数的角度对菱形ABCD的对角线长度进行如下探究：利用几何画板，测量出以下几组值：AC 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.007.008.009.009.549.809.95 BD9.959.809.549.168.668.007.14a 4.36 3.00 2.00 1.00（1）表格中a的值为．（2）设AC的长为自变量x，BD的长是关于自变量x的函数，记为y BD，现已在图2所示的平面直角坐标系中描出了表格中各组数据的对应点（x，y BD）．①画出函数y BD的图象；②请在同一平面直角坐标系中画出直线y＝x，结合所绘制的函数图象，写出函数y BD的一条性质．（3）在平面直角坐标系中，将三角板（含30°角的直角三角板）按如图3所示方式放置，顶点和坐标原点重合，斜边在x轴上，画出射线OA．若OA与绘制的函数图象交于点M，则此时菱形ABCD的面积为．。
中考分析数学;待定系数法
3=2k b 把A点的坐标(2,3)和B点的坐标为(3，-2)代入一次函数y kx b得， 2 3k b k 1 解得 一次函数解析式为：y x 1 b 1 m 6 把A点的坐标(2,3)代入y 得，m=6.反比例函数解析式为：y . x x
1 1 1 1 AD 2 2 3 2 5 CB CE CE 2 2 2 2
综合探究
通过本节课的学习，你有哪些 收获？有哪些疑问？请在学习小 组内交流讨论.
当堂达标
1
4
当堂达标
B
B
请你把本节课在学习过程 中未得到解决的疑惑，记录下 来，与同学或老师共同讨论解 决.
又 直线y kx b经过A、B两点，
-4 =2k +b k 1 可得 ，解之得 2=-4k+b b 2
这个一次函数的解析式为：y=-x-2
综合探究
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-3＜x＜0或x＞2
解：（） 一次函数y kx b与反比例函数y 1
m 的图像交于A(2,3), B(3，n)两点，
6 把B点的坐标(3，n)代入y 得,n=-2. B点的坐标为(3，-2) x
（3） 直线y x 1与x轴的交点E的坐标为（-1,0）， OE 1 ，
作AD x轴于D点，又 BC x轴,A(2,3)和B(3，-2),
OC 3，EC 2, CB 2，AD 3.S ABC S CEB S CEA
复习目标
知识回顾
B
把A点坐标代入函数解析式
1
-5
把B点坐标代入函数解析式
知识回顾
知识回顾
8 解： A、B两点在y 的图像上，且点A的 x 横坐标与点B的纵坐标都是2，
第12课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式) -2020年中考数学专项突破课之二次函数
中考专项突破课 二次函数第12课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式)一、典例分析例1：对称轴为2x =-，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点(0,3)的抛物线解析式为 ．【解析】设抛物线解析式为2(2)y a x =+，把(0,3)代入可得43a =，解得34a =， 所以抛物线解析式为23(2)4y x =+， 故答案为：23(2)4y x =+． 例2：已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(3,0)-、(1,0)，且与y 轴的交点为(0,3)-，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标．【解析】设抛物线解析式为(3)(1)y a x x =+-，把(0,3)-代入得3(1)3a -=-g g ，解得1a =，所以抛物线解析式为2(3)(1)23y x x x x =+-=+-，而2223(1)4y x x x =+-=+-，所以抛物线得顶点坐标为(1,4)-．二、知识点小结：三、知识点检测1．抛物线的顶点为(1,4)-，与y 轴交于点(0,3)-，则该抛物线的解析式为( )A ．223y x x =--B ．223y x x =+-C ．223y x x =-+D ．2233y x x =--【解析】设抛物线的解析式为2(1)4y a x =--，将(0,3)-代入2(1)4y a x =--，得：23(01)4a -=--，解得：1a =，∴抛物线的解析式为22(1)423y x x x =--=--．故选：A ．2．已知抛物线的顶点为(1,3)--，与y 轴的交点为(0,5)-，求抛物线的解析式．【解析】根据题意设2(1)3y a x =+-，将(0,5)-代入得：35a -=-，解得：2a =-，则抛物线解析式为222(1)3245y x x x =-+-=---．故抛物线的解析式为2245y x x =---．3．已知二次函数2286y x x =-+．（1） 把它化成2()y a x h k =-+的形式为： 22(2)2y x =-- ．（2） 直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ．（3） 求该抛物线于坐标轴的交点坐标 ．【解析】 （1）2222862(44)862(2)2y x x x x x =-+=-+-+=--；（2）22(2)2y x =--Q ， ∴抛物线的顶点坐标是：(2,2)-；对称轴是：2x =；（3）2286y x x =-+Q ， ∴当0y =时，22860x x -+=，解得11x =，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；当0x =时，6y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)．故答案为22(2)2y x =--；(2,2)-，2x =．4．已知抛物线2y ax bx c =++顶点坐标为(4,1)-，与y 轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式．【解析】设这条抛物线的解析式为2(4)1y a x =--，把点(0,3)代入2(4)1y a x =--得14a =， ∴这条抛物线的解析式为21(4)14y x =-- 即21234y x x =-+． 5．已知抛物线的顶点坐标是(3,1)-，与y 轴的交点是(0,4)-，求这个抛物线的关系式．【解析】根据抛物线的顶点坐标是(3,1)-，设抛物线解析式为：2(3)1y a x =--，把y 轴的交点是(0,4)-代入得：13a =-， ∴抛物线的关系式为21(3)13y x =---． 6．已知某二次函数图象与x 轴交于点(3,0)A 与点(2,0)B -，且函数图象与y 轴交于(0,3)，求二次函数的解析式．【解析】设抛物线解析式为(3)(2)y a x x =-+，把(0,3)代入得(3)23a -=g g ，解得12a =-， 所以抛物线解析式为2111(3)(2)3222y x x x x =--+=-++． 7．已知抛物线的顶点坐标为(1,2)M -，且经过点(2,3)N ，求此二次函数的解析式及抛物线与y 轴的交点坐标．【解析】设2()y a x h k =++过顶点(1,2)M -，得：2(1)2y a x =-- Q 经过点(2,3)N ，23(21)2a ∴=--，5a ∴=，25(1)2y x ∴=--，当0x =时，25(01)23y =--= ∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)．8．已知二次函数的图象以(1,4)A -为顶点，且过点(2,5)B -．（1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数图象与y 轴的交点坐标．【解析】（1）由顶点(1,4)A -，可设二次函数关系式为2(1)4(0)y a x a =++≠．Q 二次函数的图象过点(2,5)B -， ∴点(2,5)B -满足二次函数关系式， 25(21)4a ∴-=++，解得1a =-． ∴二次函数的关系式是2(1)4y x =-++；（2）令0x =，则2(01)43y =-++=， ∴图象与y 轴的交点坐标为(0,3)．。
待定系数法在中考中的应用
待定系数法在中考中的应用
邹兴平
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)014
【摘要】应用待定系数法解有关代数式变型的问题、相似形的比例式求值问题、解决求函数解析式问题、比例问题等,通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获解.
【总页数】2页(P14-15)
【作者】邹兴平
【作者单位】湖北省恩施市龙凤初中
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.待定系数法在数列中的应用
2.待定系数法在高等数学中的应用--培养高职学生的归纳及应用能力
3.待定系数法在三角函数积分计算中的应用
4.待定系数法在空间直角坐标系中的应用
5.待定系数法在不等式中的应用
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中考专题：待定系数法应用
中考专题之：待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k 的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过中考的实例探讨其应用。
一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式(含答案)
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式（含答案）一、单选题（共有3道小题）1.函数20y ax a =≠,（）的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ）A.±2B.－2C.2D.32.二次函数()21,0y ax bx a =+-≠的图象经过点(1，1)，则1a b ++ 的值是（） A.-3 B.-1 C.2 D.3 3.若抛物线2＝＋＋y x ax b 与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1＝x ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A ．(－3，－6) B ．(－3，0) C ．(－3，－5) D ．(－3，－1)二、填空题（共有11道小题）4.已知二次函数2y ax =. 若当1x =-时，2y =，那么a =______5.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，3），则m 的值为6.二次函数2ax y =的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________.7.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-4,0），则该抛物线的关系式是 .8.若二次函数的图象开口向下，且经过（2,﹣3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为 .9.若抛物线c bx ax y ++=2的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 .10.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（3,0），则该抛物线的关系式是 .11.将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A(0，3)，则所得新抛物线的表达式为12.如图，已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式为13.一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.这个函数解析式为 .(写出一个即可)14.已知抛物线()k m x a y +-=21与()k m x a y ++=22关于y 轴对称，我们称1y 与2y 互为“和谐抛物线”．请写出抛物线7642++-=x x y 的“和谐抛物线” ．三、解答题（共有9道小题）15.某二次函数图象如图，试计算其表达式。
用待定系数法求二次函数解析式(涵盖所有类型和考点)
求一次函数解析式的常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。
其中求一次函数解析式就是一类常见题型。
一. 定义型例1. 已知函数y m xm =-+-()3328是一次函数，求其解析式。
解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨⎩∴=±≠⎧⎨⎩m m 33∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33注意：利用定义求一次函数y k x b =+解析式时，要保证k ≠0。
如本例中应保证m -≠30 二. 点斜型例2. 已知一次函数y k x =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
解：Θ一次函数y k x =-3的图像过点（2，－1） ∴-=-123k ，即k =1故这个一次函数的解析式为y x =-3变式问法：已知一次函数y k x =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。
三. 两点型已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
解：设一次函数解析式为y k x b=+ 由题意得024=-+=⎧⎨⎩k bb∴==⎧⎨⎩k b 24 故这个一次函数的解析式为y x =+24四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
y2O 1 x解：设一次函数解析式为y k x b=+ 由图可知一次函数y k x b=+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+⎧⎨⎩k bb∴=-=⎧⎨⎩k b 22故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 斜截型例5. 已知直线y k x b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。
当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// Θ直线y k x b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。
初中数学解题中待定系数法的应用策略
初中数学解题中待定系数法的应用策略沈超雄(福建省莆田市秀屿区实验中学ꎬ福建莆田３５１１００)摘㊀要:解题教学是一个常规教学手段ꎬ在理科学科教学中占据着较为重要的地位ꎬ不仅可以帮助学生进一步巩固所学的理论知识ꎬ还能够锻炼他们的解题技巧ꎬ提升应试能力.在初中数学解题中ꎬ待定系数法是一种广泛应用的解题方法ꎬ其本质是方程思想ꎬ将未知数与已知数等同看待ꎬ构建相应的等式ꎬ得出相应的方程组ꎬ完成题目的解答.基于此ꎬ文章主要对初中数学解题中待定系数法的应用做探讨ꎬ同时结合具体例题分享一些解题策略.关键词:初中数学解题ꎻ待定系数法ꎻ应用方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００５３－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:沈超雄(１９８２.７－)ꎬ男ꎬ福建省莆田人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀待定系数法作为初中数学中重要的解题方法ꎬ是一种 执果索因 的思维方式ꎬ是判断所求结果的结构形式ꎬ根据题目条件列出待定系数的等式ꎬ得出待定系数的值.待定系数法的应用比较广泛ꎬ在初中数学解题训练中ꎬ教师围绕待定系数法安排专题训练ꎬ指导学生用于多项式除法㊁因式分解㊁解方程以及恒等式的证明等多方面的试题ꎬ帮助其学会借助待定系数法有效解答初中数学问题ꎬ不断提高他们的解题能力ꎬ为将来的中考做好充足准备[１].１用待定系数法解多项式除法问题在初中数学解题教学中ꎬ应用待定系数法能解答多项式除法类试题ꎬ包括多项式的余式㊁求商式和整除等[２].多项式除法属于除法的一种ꎬ在运算过程中还要用到减法与乘法ꎬ是代数试题中一类比较常用的算法ꎬ通常是用一个同次或者低次的多项式去除另一个多项式.教师可指导学生应用待定系数法解答多项式除法问题ꎬ让他们将一个相对复杂的除法问题分解成小问题ꎬ顺利解题[３].例１㊀求(３ｘ３－２ｘ２＋１)ː(３ｘ２－３ｘ＋１)的商式和余式.分析㊀此题中被除式的最高次项是３ｘ３ꎬ除式的最高次项是３ｘ２ꎬ所以商式的最高次数是１ꎬ且系数是１.因此ꎬ可以将商式设为ｘ＋ａꎬ余式设为ｐｘ＋ｑꎬ由此能够得出关于ｘ的恒等式３ｘ３－２ｘ２＋１＝(ｘ＋ａ)(３ｘ２－３ｘ＋１)＋ｐｘ＋ｑꎬ对于一切实数ｘ均成立ꎬ所以ꎬｘ为０㊁１㊁－１依然成立ꎬ从而得出关于ａ㊁ｐ㊁ｑ的方程组.详解㊀设所求的商式是ｘ＋ａꎬ余式是ｐｘ＋ｑꎬ由此得到３ｘ３－２ｘ２＋１＝(ｘ＋ａ)(３ｘ２－３ｘ＋１)＋ｐｘ＋ｑꎬ令ｘ＝０ꎬ则ａ＋ｑ＝１ꎻ令ｘ＝１ꎬ则(ａ＋１)＋ｐ＋ｑ＝２ꎻ令ｘ＝－１ꎬ则７(ａ－１)－ｐ＋ｑ＝－４ꎻ联立起来得到方程组ａ＋ｑ＝１ａ＋ｐ＋ｑ＝１７ａ－ｐ＋ｑ＝３ìîíïïïꎬ３５解之得ａ＝１３ｐ＝０ｑ＝２３ìîíïïïïïïꎬ所以所求的商式是ｘ＋１３ꎬ余式是２３.例２㊀已知ｘ４＋４ｘ３＋６ｐｘ２＋４ｑｘ＋ｒ可以被被ｘ３＋３ｘ２＋９ｘ＋３整除ꎬ那么ｐ㊁ｑ㊁ｒ的值分别是什么?分析㊀在解此题时ꎬ需要先把商式假设出来ꎬ根据ｘ４ːｘ３＝ｘ可以把商式假设成ｘ＋ｍꎬ故ｐ㊁ｑ㊁ｒ㊁ｍ都是待定系数ꎬ结合被除式恒等于商式乘以除式ꎬ以及对应系数的对比ꎬ能求得这几个待定系数的值.详解㊀设所得商式是ｘ＋ｍꎬ所以ｘ４＋４ｘ３＋６ｐｘ２＋４ｑｘ＋ｒ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ３＋３ｘ２＋９ｘ＋３)＝ｘ４＋(３＋ｍ)ｘ３＋(９＋３ｍ)ｘ２＋(３＋９ｍ)ｘ＋３ｍꎬ比较对应项系数ꎬ得出３＋ｍ＝４９＋３ｍ＝６ｐ３＋９ｍ＝４ｑ３ｍ＝ｒìîíïïïïꎬ求得ｍ＝１ｐ＝２ｑ＝３ｒ＝３ìîíïïïïꎬ所以ｐ＝２ꎬｑ＝３ꎬｒ＝３.２利用待定系数法解因式分解问题对初中数学解题教学来说ꎬ当因式分解中遇到一些较为复杂的二元二次多项式时ꎬ应把原多项式中的一部分进行因式分解ꎬ且转变成两个一次因式相乘的形式ꎬ就可以把整个解题过程处理的简单化.对此ꎬ初中数学教师在因式分解类试题教学中ꎬ由于二元二次多项式比较复杂ꎬ当要求学生进行因式分解时ꎬ可借助待定系数法将原多项式的一部分进行因式分解ꎬ由两个一次因式乘积代替ꎬ使其在分解中确定因式ꎬ将解题过程变得更加简捷.例３㊀已知２ｘ２＋ｘｙ－ｙ２－ｋｘ＋８ｙ－１５可以分解为两个一次因式的乘积ꎬ那么这个有理多项式是什么?分析㊀在解题时ꎬ可以将前三项进行分解ꎬ通过两个一次因式相乘的方式来表示ꎬ再对原式进行变形ꎬ就能够采取对应项系数比较的方式求得结果.详解㊀根据十字相乘法可以得到２ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝(２ｘ－ｙ)(ｘ＋ｙ)ꎬ设２ｘ２＋ｘｙ－ｙ２－ｋｘ＋８ｙ－１５＝(２ｘ－ｙ＋ｍ)(ｘ＋ｙ＋ｎ)＝２ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＋(２ｎ＋ｍ)ｘ＋(ｍ－ｎ)ｙ＋ｍｎ.比较对应项系数能够得到２ｎ＋ｍ＝－ｋｍ－ｎ＝８ｍｎ＝－１５ìîíïïïꎬ解得ｍ＝３ｎ＝－５ｋ＝７ìîíïïïꎬ或者ｍ＝５ｎ＝－３ｋ＝１ìîíïïïꎬ所以这个有理多项式是２ｘ２＋ｘｙ－ｙ２－７ｘ＋８ｙ－１５或者２ｘ２＋ｘｙ－ｙ２－ｘ＋８ｙ－１５.例４㊀已知等式ｐ２＋ｑ２＝７ｐｑꎬ且满足该等式的正实数ｐ㊁ｑꎬ能够让有关ｘ㊁ｙ的多项式ｘｙ＋ｐｘ＋ｑｙ＋１分解为两个一次因式之积ꎬ请问ｐ㊁ｑ的值分别是什么?分析㊀根据条件ｐ２＋ｑ２＝７ｐｑꎬ且ｐ㊁ｑ是正实数ꎬ利用配方法分析ｐ＋ｑ和ｐｑ的关系ꎬ因多项式ｘｙ＋ｐｘ＋ｑｙ＋１可以分解成两个一次因式之积ꎬ便可借助待定系数法把ｐｑ的值给求出来ꎬ并得到ｐ＋ｑ的值ꎬ顺利确定ｐ㊁ｑ的值.详解㊀因为ｐ２＋ｑ２＝７ｐｑꎬ且ｐ㊁ｑ是正实数ꎬ所以ｐ＋ｑ＝３ｐｑꎬ又因为多项式ｘｙ＋ｐｘ＋ｑｙ＋１可以分解为两个一次因式的积ꎬ所以ｘｙ＋ｐｘ＋ｑｙ＋１＝(ａｘ＋ｂ)(ｃｙ＋ｄ)＝ａｃｘｙ＋ａｄｘ＋ｂｃｙ＋ｂｄꎬ通过对应项系数对比ꎬ可以得到ａｃ＝１ꎬｂｄ＝１ꎬａｄ＝ｐꎬｂｃ＝ｑꎬ所以ｐｑ＝ａｂｃｄ＝１ꎬ所以说ｐ＝３２＋５２ꎬｑ＝３２－５２ꎬ或者ｐ＝３２－５２ꎬｑ＝３２＋５２.３利用待定系数法解高次方程问题方程ꎬ作为学生从小学时期就接触和学习的一类知识ꎬ在整个数学课程体系中占据着极为关键的地位ꎬ既是一类特殊的理论知识ꎬ也是学生进行解题的一种常用工具ꎬ重要性不言而喻.不过对于初中学生而言ꎬ还没有学习到有关高次方程的解题方法ꎬ当４５遇到此类特殊的方程类试题时ꎬ教师可以指引他们采用待定系数法ꎬ找到这些一元高次方程中根存在的某种关系ꎬ从而将高次方程转变为低次方程ꎬ使其能够借助待定系数法的优势顺畅解这类方程.例５㊀已知方程２ｘ４－５ｘ３－２４ｘ２＋５３ｘ－２０＝０的两个根之积为２ꎬ那么该方程的解是什么?分析㊀通过分析方程根和系数之间的关系ꎬ发现两根之积是２的一元二次方程ꎬ假如二次项系数是１ꎬ则常数项为２ꎬ故应用待定系数法时能够搭配假设法完成求解.详解㊀设２ｘ４－５ｘ３－２４ｘ２＋５３ｘ－２０＝(ｘ２＋ａｘ＋２)(２ｘ２＋ｂｘ－１０)＝２ｘ４＋(２ａ＋ｂ)ｘ３＋(ａｂ－６)ｘ２＋(－１０ａ＋２ｂ)ｘ－２０ꎬ对应项系数比较ꎬ得到２ａ＋ｂ＝－５ａｂ－６＝－２４－１０ａ＋２ｂ＝５３ìîíïïïꎬ解之得ａ＝－９２ｂ＝４{ꎬ所以原方程可以转化为(ｘ２－９２ｘ＋２)(２ｘ２＋４ｘ－１０)＝０ꎬ求得ｘ１＝１２ꎬｘ２＝４ꎬｘ３＝－１＋６ꎬｘ４＝－１－６.例６㊀已知方程ｘ４＋(ｘ－４)４＝６２６ꎬ求该方程的实数解.分析㊀解答本道题目时ꎬ可以利用待定系数法ꎬ推导出方程的两个实数根ꎬ然后继续利用待定系数法进行因式分解ꎬ最终完成解题.详解㊀因为６２６＝５４＋１４ꎬ能够看出５和－１是该方程的两个根ꎬ令ｘ４＋(ｘ－４)４－６２６＝２(ｘ＋１) (ｘ－５)(ｘ２＋ｐｘ＋ｑ)ꎬ当ｘ＝０时ꎬｑ＝３７ꎬ当ｘ＝４时ꎬｐ＝－４ꎬ所以原方程可以变为２(ｘ＋１)(ｘ－５)(ｘ２－４ｘ＋３７)＝０ꎬ又因为(ｘ２－４ｘ＋３７)＝０没有实数根ꎬ所以原方程的解是ｘ１＝－１ꎬｘ２＝５.４应用待定系数法解代数式恒等变形问题代数式恒等变形属于解析式变换的一种ꎬ就是将一个代数式转变成另外一个同它恒等的代数式.在初中数学解题训练中ꎬ会经常安排几道有关代数式恒等变形类的试题ꎬ教师可提示学生应用待定系数法ꎬ按照实际要求对题目中的代数式进行恒等变形处理ꎬ让他们先把一个符合条件且含有待定系数的恒等式给假设出来ꎬ再借助恒等式的性质求出各个待定系数的具体值ꎬ也可以将待定系数消除掉ꎬ由此完成解题ꎬ这样解题过程显得十分清楚和简洁.例７㊀已知有一个多项式ｘｙ(３ｘ＋２)(５ｙ＋２)ꎬ请证明这个多项式是含有整数系数的两个多项式的平方差.分析㊀从本质看ꎬ本题需要把题设中的多项式通过两个整式的平方差形式表示出来ꎬ但是这两个整式属于未知条件ꎬ所以可设为Ａ和Ｂꎬ随后借助待定系数法进行证明.详解㊀设ｘｙ(３ｘ＋２)(５ｙ＋２)＝Ａ２－Ｂ２ꎬＡ㊁Ｂ均代表整式ꎬ则(３ｘｙ＋２ｙ)(５ｘｙ＋２ｘ)＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ－Ｂ)ꎬ令Ａ＋Ｂ＝３ｘｙ＋２ｙꎬＡ－Ｂ＝５ｘｙ＋２ｘꎬ解之得Ａ＝４ｘｙ＋ｘ＋ｙꎬＢ＝－ｘｙ－ｘ＋ｙꎬ所以说ｘｙ(３ｘ＋２)(５ｙ＋２)＝(４ｘｙ＋ｘ＋ｙ)２－(－ｘｙ－ｘ＋ｙ)２.例８㊀已知多项式ｘ４－６ｘ３＋１３ｘ２－１２ｘ＋４ꎬ请证明该多项式能够通过完全平方式来表示.分析㊀这道题目中出现的是四次多项式ꎬ其应该是二次三项式的平方ꎬ所以可以假设原代数式恒等于(ｘ２＋ｐｘ＋ｑ)２ꎬ该式子中的ｐ与ｑ便是待定系数.㊀详解㊀设多项式ｘ４－６ｘ３＋１３ｘ２－１２ｘ＋４＝(ｘ２＋ｐｘ＋ｑ)２ꎬ化简变形后为ｘ４＋２ｐｘ３＋(ｐ２＋２ｑ)ｘ２＋２ｐｑｘ＋ｑ２ꎬ通过对应项系数的比较可以得到２ｐ＝－６ꎬｐ２＋２ｑ＝１３ꎬ２ｐｑ＝－１２ꎬｑ２＝４ꎬ解之得ｐ＝－３ꎬｑ＝２ꎬ所以多项式ｘ４－６ｘ３＋１３ｘ２－１２ｘ＋４可以转变为(ｘ２－３ｘ＋２)２.参考文献:[１]黄华志.待定系数法在初中数学解题中的思路与方法[Ｊ].中学数学ꎬ２０２３(１０):７９－８１. [２]姜成胜.初中数学教学中提升学生解题能力的策略[Ｊ].理科爱好者ꎬ２０２３(０４):７７－７９. [３]林洁华ꎬ梁建新.浅析提高初中学生数学解题能力的有效途径[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２３(３０):８２－８５.[责任编辑:李㊀璟]５５。
2020年中考复习——常用解题方法【待定系数法】(一)讲义设计
2020中考复习——常用解题方法【待定系数法】（一） 知识点梳理： 待定系数法，一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等 。
使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
典型例题：【例1】已知y 与x 的函数关系式是由两部分的和组成，一部分与x 2成正比，另一部分是常数，且y 与x 的对应关系如表，则y 与x 的函数关系式为( )A. y =2x 2−5B. y =2x −1C. y =−25x 2+35D. y =2x +1【解】：由题意设y 与x 的解析式为y =ax 2+b ，把x =2，y =3和x =−1，y =−3代入得{4a +b =3a +b =−3，解得{a =2b =−5，∴y与x的函数关系式为y=2x2−5．【解题反思】本题考查了待定系数法求h函数的解析式.解题的关键是根据题意设函数解析式，然后将x、y的值代入所设解析式即可求出待定的系数即可作出判断．【例2】银行职员小吴观察了某一周五个工作日每天的存款人次x(百人次)与存款金额y(万元)后，获得如下表的数据：请你观察表中的数据，猜一下y与x之间可近似看成是________函数的关系．【解】：设解析式为y=kx+b，∴2k+b=30；2.4k+b=35.6；解得k=14，b=2，∴y=14x+2，当x=2.9时，y=42.6，基本适合，所以可能满足一次函数关系式．【解题反思】解决本题的关键是应先猜测相应的函数关系，进而把具体点的坐标代入进行验证．可假设为一次函数关系式，把任意两点代入，求得相应的函数解析式，看其余点的坐标是否适合即可．【例3】待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x 3−1．因为x3−1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3−1可以分解成x3−1=(x−1)(x2+ax+b)，展开等式右边得：x3+(a−1)x2+(b−a)x−b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a−1=0，b−a=0，−b=−1，可以求出a=1，b=1.所以x3−1=(x−1)(x2+x+1)(1)若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+(3−a)x+s恒成立，则a=_____；(2)已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．(3)请判断多项式x4−x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．【解】：(1)∵x2+2x+3=x2+(3−a)x+s，∴3−a=2，a=1；(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)=x4+(a+1)x3+(a+2)x2+(a+1)x+1，a+1=0，a=−1，多项式的另一因式是x2−x+1；(3)不能，理由：∵设x4−x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)=x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1，∴a+b=0，ab+2=−1，解得：a=√3或−√3，则b=−√3或√3，∴x4−x2+1=(x2+√3x+1)(x2−√3x+1)．而系数中有√3，∴多项式x4−x2+1是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积．【解题反思】此题考查因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．(1)直接对比系数得出答案即可；(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)，进一步展开对比系数得出答案即可；(3)设x4−x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)，进一步展开对比系数，系数有解则能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，否则不能．综合训练一、选择题1.如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的售价y(元)与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是()A. y=32x B. y=23x C. y=12x D. x=18x2.若x=2m+1，y=4m+3，则x与y之间的满足的关系式是()A. y=x2+2x−4B. y=x2+2x+4C. y=x2−2x−4D. y=x2−2x+43.二次函数y=ax2+bx+c过点A(−3,5)，(−2,6)，(1,5)三点，则c的值为()A. 5.B. 6.C. 7.D. 8.4.已知x=2−a，y=3+2a，则y关于x的函数关系式是()A. y=−2x+7B. y=−2x+5C. y=−x+1D. y=2x−15.已知一次函数y=kx+b的图像如图，则下列说法：①k<0,b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若点A(x1,y1)，B(x2,y2)是这个函数的图像上的两点，且x1<x2，则y1−y2>0；④当−1≤x≤2时，1≤y≤4，则b=2.其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6.已知y与x成正比例，且x=2时y=−6，则y与x的解析式为_________．7.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为．8.若点(−3,2)、(a,a+1)在函数y=kx−1的图象上，则k=_______，a=______．9.已知y+5与3x+4成正比例，且当x=1时，y=2，则y与x的关系式为；10.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示，则旅客可免费携带的行李的质量是_______kg．三、解答题11.小明根据某个一次函数关系式填写了下面的这张表：其中有一格不慎被墨迹遮住了，想想看，该空格里原来填的数是多少⋅写出你的理由．12.已知函数y=2y1−y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式．13.如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点D(4,4)在反比例函数y=kx (x>0)的图象上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．(1)求k，b的值；(2)求△ACE的面积．14.舟山市最大的儿童游乐园2020年元月一日正式开放．如图所示，图中点的横坐标x表示儿童乐园从8：30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y表示到达儿童乐园的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y={ax2,0≤x≤30&b(x−90)2+n,30≤x≤90,10：00之后来的游客较少可忽略不计．(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证游乐园内游客的游玩质量，园内人数不超过684人，后来的人在园外休息区等待．从10：30开始到12：00园内陆续有人离园，平均每分钟离园4人，直到园内人数减少到624人时，园外等待的游客可全部进入．请问园外游客最多等待多少分钟？15. 如图，在直角坐标系中，直线y =−12x +3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x =1的抛物线过B ，C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接AC ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点D 为第一象限内抛物线上一点，使四边形ACDB 面积最大？求点D 的坐标；(3)在X 轴上是否在点P ，在抛物线上是否存在点Q ，使以A 、C 、P 、Q 为顶点四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|={a(a ≥0)−a(a <0)． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y =|kx −3|+b 中，当x =2时，y =−4;当x =0时，y =−1.(1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质；(3)已知函y =12x −3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx −3|+b ≤12x −3的解集．17.如图，抛物线y=ax2+2x+c经过A(−1,0)，B两点，且与y轴交于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与直线y=−x−1交于A，E两点，坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线与直线y=−x−1交于A，E两点，P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．答案和解析1. A解：依题意单价为18÷12=32元，∴y =32x. 2. D解：∵x =2m +1，y =4m +3=22m +3 又∵x 2=22m +2·2m +1，2x =2·2m +2 ∴x 2−2x =22m +2·2m +1−(2·2m +2) =22m −4=4m −4∴y =4m −4+4=x 2−2x +43. B解：把三个点的坐标代入，可得{9a −3b +c =54a −2b +c =6a +b +c =5，解得{a =−13b =−23c =6，4. A解：由x =2−x ，得到a =2−x ，代入y =3+2a ，得：y =3+2(2−x)=−2x +7．5. C解：∵图象过第一，二，四象限， ∴k <0，b >0，故①是正确的，符合题意； 根据图像可以直接得出x =m 时y =0，故②是正确的，符号题意， ∴y 随x 增大而减小，∵x 1<x 2∴y 1−y 2>0，故③是正确的，符号题意， 根据图像可知当x =−1时y =4， 当x =2时y =1，代入一次函数表达式为{−k +b =42k +b =1解得{k =−1b =3，故④错误的，不符号题意， 故①②③是正确的，故正确的有3个．6. y =−3x解：∵y 与x 成正比例，∴y 与x 的函数解析式为y =kx ， ∵当x =2时，y =−6，∴−6=2k ，解得：k =−3，∴y 与x 之间的函数解析式是y =−3x ，7. y =100x解：设y =k x ，∵200度近视眼镜镜片的焦距是0.5m ， ∴k =200×0.5=100，∴y =100x ，8. −1；−1解：把(−3,2)代入y=kx−1，得−3k−1=2，∴k=−1，∴解析式为：y=−x−1，把(a,a+1)代入y=−x−1，得：−a−1=a+1，解得a=−1．9.y=3x−1解：设y与x的函数关系式为y+5=k(3x+4)，∴5+2=k(3×1+4)，解得k=1，∴y+5=1(3x+4)，∴y=3x−1．∴y与x的函数关系式为y=3x−15．10.30解：设一次函数y=kx+b，∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10，∴{60k+b=680k+b=10∴{k=1 5b=−6,∴所求函数表达式为y=15x−6，当y=0时，15x−6=0，∴x=30，故旅客可免费携带的行李的质量是30kg．11.解：设y=kx+b，根据图中的信息得{3=−2k+b1=b，求得：k=−1，b=1，∴y=−x+1当y=−1时，−1=−x+1，x=2，所以空格里原来填的数是2．12.解：由题意得：y 1=k 1(x +1), y 2=k 2x ， ∵y =2y 1−y 2，∴y =2k 1(x +1)−k 2x ， ∴{4=4k 1−k 23=6k 1−k 22, 解得：{k 1=14k 2=−3, ∴y =12(x +1)−−3x 即y =12x +3x +12(x ≠0)．13. 解：(1)∵A(1,0)，D(4,4)∴AD =√(1−4)2+(0−4)2=5，∵ABCD 是菱形，∴AD =DC =BC =AB =5，且DC//AB ，AD//BC ，∴可得B(6,0)，C(9,4)，∵点D(4,4)在反比例函数y =k x (x >0)的图象上，∴k =16，将点C(9,4)代入y =23x +b ，∴b =−2；∴k ，b 的值分别为16和−2．(2)由(1)可知一次函数解析式为y =23x −2，∴E(0,−2)，令y =0，可得直线y =23x −2与x 轴交点为(3,0)，记作G ，过C 作CH 垂直x 轴，垂足为H ，EC 与x 轴交点为G ，则CH 为△AGC 的高，OE 为△AGE 的高，∴S △AEC =S △AGE +S △AGC=12AG ×OE +12AG ×CH ，∵AG =3−1=2，OE =2，CH =4，∴S △AEC =12×2×2+12×2×4=6，答：三角形ACE 的面积为6．14. 解：(1)由图象可知，当0≤x ≤30时，y =ax 2，300=a ×302，解得a =13， 当30≤x ≤90时，y =b(x −90)2+700，b ×(30−90)2+700=300，解得b =−19，∴图中曲线对应的函数解析式为y ={13x 2(0≤x ≤30),−19(x −90)2+700(30≤x ≤90).(2)由题意，得−19(x −90)2+700=684，解得x =78或x =102(舍去)．而684−6244=15(分钟)，∴15+30+(90−78)=57(分钟)．故馆外游客最多等待57分钟．15. 解：(1)y =−12x +3，令x =0，则y =3，令y =0，则x =6，故点B 、C 的坐标分别为(6,0)、(0,3)，抛物线的对称轴为x =1，则点A(−4,0)，则抛物线的表达式为：y =a(x −6)(x +4)=a(x 2−2x −24)，即−24a =3，解得：a =−18，故抛物线的表达式为：y =−18x 2+14x +3…①；(2)过点D 作y 轴的平行线交BC 于点G ，连接CD ，DB ，将点B 、C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：y =−12x +3，设点D(x,−18x 2+14x +3)，则点G(x,−12x +3)，∴DG =−18x 2+14x +3−(−12x +3)=−18(x −3)2+98，∴S △DCB =12×DG ×OB =12×6×98=278，∴四边形ACDB 面积=S △ACO +S △BCO +S △BCD =12×4×3+12×6×3+278=1478此时面积最大，∴当x =3时，y =218， ∴点D(3,218)； (3)假设在X 轴上是否在点P ，在抛物线上是否存在点Q ，使以A 、C 、P 、Q 为顶点四边形是平行四边形，如果以AC 为对角线的平行四边形不符合题意，∴不存在这样的平行四边形；如果以AC 为边，存在这样的四边形CAP 1Q 1，如图，当y =3时，−18x 2+14x +3=3，解得x =0或2，∴点Q 1的坐标为(2,3)，如果以AC 为边，存在这样的四边形CAP 2Q 2，如图，当y =−3时，−18x 2+14x +3=−3，解得x =8或−6，∴点Q 1的坐标为(8,−3)，(−6,−3)综上，点Q 的坐标为：(2,3)或(8,−3)或(−6,−3)．16. 解：(1)∵在函数y =|kx −3|+b 中，当x =2时，y =−4；当x =0时，y =−1， ∴{|2k −3|+b =−4|−3|+b =−1，得{k =32b =−4， ∴这个函数的表达式是y =|32x −3|−4；(2)∵y =|32x −3|−4，∴y ={32x −7(x ≥2)−32x −1(x <2)， ∴函数y =32x −7过点(2,−4)和点(4,−1)；函数y =−32x −1过点(0,−1)和点(−2,2)； 该函数的图象如右图所示，性质是当x >2时，y 随x 的增大而增大；(3)由函数图象可得，不等式|kx −3|+b ≤12x −3的解集是1≤x ≤4．17. 解：(1)∵抛物线过点A(−1,0)，C(0,3)，将A(−1,0)，C(0,3)代入y =ax 2+2x +c ，得：{a −2+c =0c =3，解得：{a =−1c =3, ∴抛物线的函数表达式为y =−x 2+2x +3；(2)联立直线AE 和抛物线的函数关系式成方程组，得：{y =−x −1y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=−1y 1=0，{x 2=4y 2=−5， ∴点E 的坐标为(4,−5)，①Q 在x 轴上，设Q(x,0)，则AQ =EQ ，即x +1=√(4−x )2+52，解得x =4，故Q 点坐标为(4,0)；②Q 在y 轴上，设Q(0,y)，则AQ =EQ ，即√12+y 2=√42+(y +5)2，解得y =−4，故Q 点坐标为(0,−4)，故存在Q 点坐标，分别为(4,0)，(0,−4)．(3)由(2)得点E 的坐标为(4,−5)，∴AE =√[4−(−1)]2+(−5−0)2=5√2，∵点B 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，∴∠CBO =45°，BC =3√2，∵直线AE 的函数表达式为y =−x −1，∴∠BAE =45°=∠CBO ，设点P 的坐标为(m,0)，则PB =3−m ．∵以P 、B 、C 为顶点的三角形与△ABE 相似，∴PBBC =ABAE或PBBC=AEAB，∴3√2=5√2或3√2=5√24，解得：m=35或m=−92，∴点P的坐标为(35,0)或(−92,0)．。
2020中考复习《二次函数》—待定系数法求二次函数解析式(有答案)
2020中考复习《二次函数》—待定系数法求二次函数解析式姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(−1,3)，且过点(0,5)，那么二次函数y=ax2+bx+c的解析式为()A. y=−2x2+4x+5B. y=2x2+4x+5C. y=−2x2+4x−1D. y=2x2+4x+32.二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1,1)，则该二次函数的解析式为()A. y=2x2−1B. y=2x2+3C. y=−2x2−1D. y=−2x2+33.一个二次函数的图象经过点A(0,0)，B(−1,−11)，C(1,9)三点，则这个二次函数的关系式是()A. y=−10x2+xB. y=−10x2+19xC. y=10x2+xD. y=−x2+10x4.二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过(−2,8)，下列点中在该函数的图象上的是()A. (2,8)B. (1,3)C. (−1,3)D. (2,6)5.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为()A. ℎ=−316t2 B. ℎ=−316t2+tC. ℎ=−18t2+t+1 D. ℎ=−18t2+2t+16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是A. y=2x2+xB. y=3x2+3xC. y=x2−2xD. y=x2+2x7.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱距离是4m，则抛物线的函数关系式为()A. y=254x2 B. y=−254x2 C. y=−425x2 D. y=425x2二、填空题8.如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2−4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为______________．9.试写出一个图象开口向上，且经过点(0,1)的二次函数解析式：________．10.与抛物线y=2x2−4x的形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为(1,3)的抛物线解析式是____．11.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点分别为A(1,0)，B(−4,0)，则该抛物线所对应的函数表达式为___________________．12.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当x=3时，y=______．x…−3−2−101…y…73113…13.一个二次函数的解析式的二次项系数为1，一次项系数为0，这个二次函数的图象与y轴的交点坐标是(0,1)，这个二次函数的解析式是_________．14.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在抛物线y=ax2上，C，D在x轴上，AB的中点E在y轴上，AB=4AD.已知矩形ABCD的周长为10，若将抛物线的顶点平移到点C，则点E________(填“在”或“不在”)抛物线上．三、解答题15.二次函数y=ax2+2x+c的图象经过(−1,0)，(3,0)两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)求该二次函数图象与y轴交点的坐标．16.如图，二次函数y=ax2+bx−3a经过点A(−1,0)，C(0,3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．(1)求此二次函数表达式；(2)连接DC，BC，DB，求证：△BCD是直角三角形．17.已知，如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0, 5)，且经过点(1, 8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴．(3)求△ABC的面积S△ABC．18.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B点，与y轴交于C点，顶点为D，其中点A，C的坐标分别是(−1,0)，(0,3)．(1)求抛物线的表达式与顶点D的坐标．(2)连结BD，过点O作OE⊥BD于点E，求OE的长．19.甲，乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x−4)2+ℎ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．(1)若a=−1．24①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为12m5的Q处时，乙刚好打到球，求a的值．20.设抛物线y=mx2−2mx+3(m≠0)与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)．(1)若a=−1，求m，b的值；(2)若2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx+n上；(3)抛物线上有两点P(x1,p)和Q(x2,q)，若x1<1<x2，且x1+x2>2，试比较p与q的大小。
用待定系数法配平化学方程式
出其它未知数.
设方程①中
ｃ
＝
１ꎬ从而求得:ａ
＝
２
ꎬｄ
＝
４
ꎬｂ
＝
１１ ２
ꎬ化分
数系数为整数( 去分母) ꎬ各系数同时乘以 ２ꎬ即:ａ ＝ ４ꎬｂ ＝
高温 １１ꎬｃ ＝ ２ꎬｄ ＝ ８ꎬ４ＦｅＳ２ ＋ １１Ｏ２ ������������２Ｆｅ２ Ｏ３ ＋ ８ＳＯ２ .
△ 例 ４ ( ２０１２ 德 州 市) 配 平: ＫＭｎＯ４ ������������ Ｋ２ ＭｎＯ４ ＋ ＭｎＯ２ ＋ Ｏ２ ↑ 解 可先假设 ＫＭｎＯ４ 和 Ｋ２ ＭｎＯ４ 前的化学计量数分 别为 ｘ 和 ｙꎬ再由此配平 ＭｎＯ２ 和 Ｏ２ . 即得
ｂＯ２ － ｃＦｅ２ Ｏ３ ＋ ｄＳＯ２ ꎬ根据反应前后各种原子个数相等ꎬ建
{Ｆｅ∶ ａ ＝ ２ｃ
立数学方程组: Ｓ∶ ２ａ ＝ ｄ
① ②
Ｏ∶ ２ｂ ＝ ３ｃ ＋ ２ｄ ③
解此不定方程组时ꎬ任意假设某未知数为一常数( 一
般在其中最简单 方 程 中 假 设ꎬ且 设 为 较 小 整 数 ) ꎬ 然 后 求
此法要点是先假设配平系数ꎬ然后ꎬ根据化学反应前 后各种原子个数相等的原理建立数学方程组ꎬ再解出假 设的系数.
先将复杂化学式前的化学计量数设为 ｘ、ｙꎬ然后利用 元素守恒配平剩余物质前的化学计量数.
综上述可知ꎬ注意数理结合的数学渗透教学研究ꎬ对 于启迪学生思维、拓展视野、巩固“ 双基” ꎬ提高解题能力ꎬ 大有益处. 总面言之ꎬ注意上述专题研究ꎬ符合新课标准 关于“让学一的思维活跃起来” 的理念要求ꎬ利于培养学 生的思维能力和水平ꎬ利于学生理解课本内容ꎬ对于启迪 学生思维ꎬ拓 宽 视 野、 提 高 解 题 水 平 和 教 学 质 量ꎬ 均 颇 有 益处ꎬ为此ꎬ笔者提醒教师ꎬ在平时的教学过程中ꎬ有目的 地引导学生对课本知识进行专题研究是十分必要的.
待定系数法
待定系数法篇一：格式范文-待定系数法待定系数法在中学数学解题中的应用（小二黑体）苏奕婷（小三楷体）【摘要】待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用待定系数法更简捷明了。
文章简单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤，重点论述了待定系数法在分解因式、求数列通项公式中、解方程、求函数解析式以及几何证明中的应用。
（四号宋体）【关键词】待定系数法多项式恒等应用（四号宋体）做任何事情都要讲究方法。
方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。
解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。
波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。
”待定系数法是中学数学中的一种常用的解题方法，它在中学数学中起着至关重要的作用，其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，因此，认真学好并掌握待定系数法将大有裨益。
下面就待定系数法在中学数学解题中的应用进行论述。
一、对“待定系数法”的概述（小三黑体）1．待定系数法的概念及其理论依据（四号黑体）待定系数法是指利用已知条件确定一个解析式或某一个数学表达式中的待定参数的值，从而得到预期结果的方法。
更广泛地说，是要确定变量间的函数关系，设出某些未知数，然后根据所给条件来确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)?g(x)的充要条件：对于一个任意的a值，都有f(a)=g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
（小四宋体）2．待定系数法的解题步骤（四号黑体）利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题，是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
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知b的值”，解答此题，只需设定==k，则a=3k，b=2k，代入即可求解。
这(“·；，中考专题之：待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：已知x2-3=（1-A）x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k 的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已2a-b b2a-b=，求a3a+b a3a+b里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过中考的实例探讨其应用。
一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组）解出方程（组）即可求得答案。
典型例题：例：若x2+6x+k是完全平方式，则k=【】A．9B．－9C．±9D．±3练习题：1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【】A．64B．48C．32D．16例：已知 b 3 24D ． 4〗2.二次三项式 x 2﹣kx +9 是一个完全平方式，则 k 的值是▲ 。
3.将代数式 x 2 + 4x -1 化成 (x + p)2 + q 的形式为【】A. (x - 2)2 + 3B. (x + 2)2 - 4C. (x + 2)2 - 5 D . (x + 4)2 + 4二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。
典型例题：5 a - b= ，则 的值是【】 a 13 a + b 2 39 A ．B ．C ．9练习题：1.已知 a b= ≠ 0 ，求代数式2 35a －2b (a+2b)(a - 2b) ⋅ (a - 2b ) 的值。
2.若 a 2 b= ，则 = ▲ 。
2a - b 3 a三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x 3－6x 2+11x －6， 3x 2 + 5xy - 2y 2 + x + 9y - 4 ，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方 法）。
典型例题：例 1：分解因式： x 2 + x - 2 ＝▲ 。
〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。
例 2：分解因式： 3x 2 + 5xy - 2y 2 + x + 9y - 4▲ 。
练习题：1. 分解因式： x 2 - 4x -12 =▲ 。
2. 分解因式：x 3—4x 2—12x =▲ 。
3. 分解因式： x 2 - 2 x - 8 =▲。
yb c k h“四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。
确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。
这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。
初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设=kx，y=kx+b，ykx 的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。
而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、、为待定系数)，顶点式y=a(x－h)2+k(a、、为待定系数)，交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2为待定系数)三类形式。
根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。
典型例题：例1：无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于▲．例2：如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．例3：游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？例4：如图，抛物线y＝－x2＋b x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为与抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF ＝2，EF ＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ ABD 的面积；(3)将△ AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，点 A 对应点为点 G ，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由．练习题：1. 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y （万元/吨）与生产数量 x （吨）的函数关系式如图所示．（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）22. 如图，一次函数 y= - x + 2 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、B ，以线段 AB 为边在第一象限内作等3腰 △Rt ABC ，∠BAC =90°．求过 B 、C 两点直线的解析式．5. 如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线 y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0) y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于 A 、B 两点．(1)求抛物线的表达式；c学习必备欢迎下载(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD△，求ACD的面积；(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．五.待定系数法在求解规律性问题中的应用：近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。
对于等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量，a n看成函数，则a n是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…a n满足an-an-1=kn+b(其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。
它的通项a=an2+bn+是关于n的二次函数。
前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊n的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。
典型例题：例1：20XX年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份届数189611900219043……2012n 表中n的值等于▲．例2：如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是▲．例3：1，3，7，13，…的第五个数应是▲．练习题：1.问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？2.按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是▲.3.下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是▲．4.观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有▲个★．5.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．六.待定系数法在几何问题中的应用：在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等）对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
2 B.36D.3+16 C.23-1ctanα=角α的邻边典型例题：例1：如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，CFFD的值为【】A.3-18例2：如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果值是▲．AB2=，那么tan∠DCF的BC3例3：如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即AC=角α的对边BC（1）ctan30°=；，根据上述角的余切定义，解下列问题：（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．例4：等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。
3①若，BM=，求x的值；8②记四边形ADPE△与ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。