等差数列知识点总结最新版

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等差数列知识总结

一、等差数列的一般概念

1、定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数．．．．．

，称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d 表示。

表示为：1()n n

a a d n N *+-=∈ 2、通项公式：

①：1(1)n

a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 ②：()(,)n

m a a n m d n m N *=+-∈ ③：n a An B =+（关于n 的一次表达式）

3、等差中项：

如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，表示为：2

a b A +=。二、等差数列的性质（若数列{}n a 是公差为d 的等差数列）

1、1()1、、n m k a a a a d m n k N n m k

--==∈*--； 2、若()、、、m n p q m n p q N +=

+∈*⇒m n p q a a a a +=+； 3、若2m n k +=⇒2()、、m n k a a a m n k N +=∈*；

4、下标成等差数列且公差为m 的项()23，，，，、k k m k m k m a a a a k m N +++⋅⋅⋅

∈*组成公差为md 的等差数列；

5、()232,,,m m m m m S S S S S m N --⋅⋅⋅∈*也成等差数列，公差为2m

d ；

6、①若项数为2n+1，则()21中S n a =+且奇偶中S S a -= ()1偶中奇中S na S n a =⎧⎪⎨=+⎪⎩，1奇偶

等差数列知识点总结及考点练习

等差数列知识点总结

一、等差数列知识点回顾与技巧点拨

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．

2．等差数列的通项公式

若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －

m )d ＝p .

3．等差中项

如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和

y 的等差中项，则A ＝x ＋y

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *

)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，

则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *

)．

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *

)是公差为md 的等差数列．

(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .

(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd

；

若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式

若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n

2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是

d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －1

等差数列知识点归纳总结

等差数列是数学里最基本的概念之一，是定义数轴上元素排列方式的基础。一个等差数列是从第二项开始，后一项减去前一项的差都是固定值的数列，称为等差数列。等差数列的特点是可以求出中间的项，预测后面的项，计算等差数列的和等。

第一，等差数列的定义。等差数列，也称等差级数，是由一系列等差的数构成的数列，也就是前面两项的差相同，且为有限数，叫做等差数列。

第二，等差数列的特点。等差数列的特点是，前一项与下一项的差是一个固定的值，也就是等差数列的公差，从而可以从其中推测出等差数列中的其他数。

第三，等差数列的公式。等差数列的通用公式为：Sn = a1 + (n - 1) d,其中，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数，Sn表示等差数列中第n项的值。

第四，等差数列的求和计算。等差数列的求和计算有两种方法，一种是利用求和公式，一种是利用构造法来求和。求和公式是：Sn = a1 + a2 + a3 + + an = n(a1 + an) / 2。构造法是把等差数列分成两半，把两半数列的首项和末项相乘，得到的积叫做构造法的和。

第五，等差数列的应用。等差数列广泛应用于数学、计算机、统计学和其他学科，如时间序列分析、有限项计算、数列递推、方程定义等，这些都可以利用等差数列的特性加以计算。

综上所述，等差数列是数学里最基本的概念之一，包括定义、特

点、公式、求和计算、应用等。它在数学、计算机、统计学和其他学科有着广泛的应用，是这些学科里重要的基础概念，也是几乎所有数学计算研究的基础。

等差等比数列知识点总结

1.等差数列：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；. 2.等差中项：

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

a A +=或

b a A +=2 （

）

等

差

中

项

：

数

列

{}

n a 是等差数列

)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 3.等差数列的通项公式：

一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：

()d n a a n 11-+=

推广： d m n a a m n )(-+=．从而m

n a a d m

n --=； 4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列

)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．

（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法

等差数列知识点总结及练习(含答案)

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）

（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m

n a a d m

n --=；

3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

a A +=

或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)

n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

等差数列知识点归纳总结

等差数列（ArithmeticSequence）是指一组有序的满足规定的数据，通常按公差d（即每一项与其前一项的差值）来进行排列，即形如a1,a1+d,a1+2d,a1+3d.....an-1,an的数列，其中a1是等差数列的第一项，d是等差数列的公差，而an是等差数列最后一项。

二、等差数列的性质

1、如果等差数列的公差不为0，则等差数列中任意两项的差值均相等，即d=a2-a1=a3-a2=a4-a3=....an-1-an-2=an-an-1；

2、如果等差数列的公差为0，则等差数列的所有数据均相等，即a1=a2=a3=...=an-1=an；

3、等差数列的每一项与等差数列的第一项和项数都有关，即

a3=a1+2d,a4=a1+3d......an=a1+(n-1)d；

4、等差数列的和 Sn=a1+a2＋a3＋....an-1＋an＝n/2（a1＋an）；

5、等差数列中任一项的平方和与项数有关，即

a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2=n(2a1a2+(n-1)d^2)/3；

三、等差数列的特殊性质

1、等差数列的四项和

等差数列a1，a2，...，an中任意四项的和都是一定的，即

a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5=......an-3+an-2+an-1+an；

2、等差数列的两项之积

等差数列a1，a2，...，an中任意两项的乘积也是一定的，即

a1×a2=a2×a3=......an-1×an；

3、等差数列的总和

等差数列的总和Sn=a1+a2+a3+......an-1+an可表示为

等差数列知识点总结

等差数列

知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

根据定义，当我们看到形如：、、、、时，应能从中得到相应的等差数列。

等差数列的判定方法

1. 定义法：若或(常数) 是等差数列．

2.等差中项：数列是等差数列．

3.数列是等差数列（其中是常数）。

4.数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

例1．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则{a n}是（）

A.等比数列，但不是等差数列

B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列

D.既非等比数列又非等差数列

2．等差数列通项公式：

，首项:，公差:d，末项:

推广：．从而；

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：

为递增数列，为常数列，为递减数列。

例2．等差数列{a n}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，a n＝33，则n为( ) A．48 B．49 C．50 D．51

如(1)等差数列中，，，则通项；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；

例3.设{a n}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15,a1a2a3＝80,则

a11+a12+a13等于（）

A.120

B.105

C.90

D.75

例4：已知数列{a n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n>0的n的最大值为( )

等差数列知识点复习总结含习题.doc

AP等差数列1:(概念\通项公式)

定义\等差中项\等差数列的通项公式\・

等差数列的通项公式:a n =血+ (?1 - l)d 等差数列通项公式的推导：

①归纳法(由特殊到一般的思想)

l)d

②逐差法

③累加法

④迭代法

等差数列通项公式的变形：

对任意正整数m, 71 6叭有％ = a m + (ji- m)d,即d = Cln~am

等差数列的性质(重点)：

设｛aj是公爭为d的等莽数列■那么

(1)在等差数列｛。訂中,若m + n = p + q(m, n, p f q E AT),则

Q/n + a?i = Qp +

注：①若m + n = 2k(m,n, k G N*),贝hm + 知=a2fc-

②若｛aj是有穷等差数列，则与首尾两项等距离的两项之和都相等，且等于首位两项之和，即a± + a n = a2 + a n_± =・••・

(2)数列仇窃+ b｝(入b为非零常数)是公差为久d的等差数列.

(3)若数列｛b n｝也是等差数歹山则数^J｛a n ±b n], ｛ka n + mb^Cm, k E

R)是等差数列.

(4)等差数列的单调性：(三种情况)

1 •等差数列的判定:

方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法.(不再举例)

还是举一个例子吧：

例15:已知各项均为正数的两个数列｛%｝和｛%｝满足:尙+]=半坐皿G J醯+

处N* •设也 =l+^,ne AT,求证:数列｛住)｝是等差数列.

2.灵活设项求解等差数列问题：

方法：⑴ 若所给等差数列为2n(n G N J项,则这个数列可设为:a-(2n- l)d, ...,a — 3d, a + d,a + 3d, ...,a + (2n — l)d,此数列公差为2d.

等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列

一．等差数列知识点：

知识点1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示

知识点2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列

③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列

知识点3、等差数列的通项公式:

④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数

知识点4、等差数列的前n 项和:

⑤2

)(1n n a a n S +=

⑥d n n na S n 2)

1(1-+

= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数

知识点5、等差中项:

⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2

b a A +=

或b a A +=2

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项

知识点6、等差数列的性质:

⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+

等差数列知识点总结

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a

推广： d m n a a m n )(-+=．从而m

n a a d m n --=

；

3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=

或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a

4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=1(1)2

n n na d -=+

特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．

（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。(K=d ，b=a1-d)

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

(完整版)数列知识点归纳

数列

一、等差数列性质总结

1. 等差数列的定义式：d a a n n =--1

（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：

*1(1) ()n a a n d n N =+-∈ ，首项:1a ，公差:d 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m

n a a d m

n --=； 3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b a A +=或b a A +=2

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a

4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22

d n a d n =+-2An Bn =+

（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项

()()()1212121212

n n n n a a S n a ---+=

-（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法

等差数列知识点总结和题型总结

的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项
的等差中项
知识点 6、等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果 an 是等差数列的第 n 项，am 是等差数列的第 m 项，且 m n ，公差为 d ，则有 an am (n m)d
8 对于等差数列 an ，若 n m p q ，则 an am a p aq
请说明理由。
5、已知二次函数 y f (x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ' (x) 6x 2 ，数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn )(n N ) 均在函数 y f (x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式；
(Ⅱ)设 bn
3 a n a n1
,Tn 是数列{bn} 的前
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
1
也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，

(完整版)等差数列知识点总结和题型分析

等差数列

一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列

知识点3、等差数列的通项公式:

④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数

知识点4、等差数列的前n 项和:

⑤2

)(1n n a a n S +=

⑥d n n na S n 2)

1(1-+

= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:

⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2

b a A +=

或

b a A +=2

知识点6、等差数列的性质:

⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+

等差数列知识点总结及练习

等差数列

【知识点】

1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）

⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，其中d 为公差

2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】∴ d=n

m a a n

m -- 3．等差中项

如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x

和y 的等差中项，则A ＝x ＋y

4．等差数列的前n 项和公式

1：

2)(1n n a a n S +=

2：2)1(1d

n n na S n -+

公式二又可化成式子：

n )2d a (n 2d S 12n -+=

，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式

5. 性质：

等差数列{an}中，公差为d ，若d ＞0，则{an}是递增数列；若d=0，则{an}是常数列；若d ＜0，则{an}是递减数列．

{}（）是等差数列，若1a m n p q

n +=+

⇒+=+a a a a m n p q

⇒+=+==+--+a a a a a a n n r n r 1211…

{}（）公差为的等差数列中，其子系列，，，…也

32d a a a a m N n k k m k m ++∈()

成等差数列，且公差为md 。

等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列

一．等差数列知识点：

知识点1、等差数列的定义:

知识点2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列

③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列

知识点3、等差数列的通项公式:

④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数

知识点4、等差数列的前n 项和:

⑤2

)(1n n a a n S +=

⑥d n n na S n 2)

1(1-+

= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数

知识点5、等差中项:

⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2

b a A +=

或b a A +=2

知识点6、等差数列的性质:

⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+

等比数列等差数列知识点归纳总结

等比数列等差数列知识点归纳总结等比数列和等差数列是数学中常见且重要的概念之一。在解决各种数学问题和应用中，它们都有着广泛的应用。本文将对等比数列和等差数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这两个数列的特点和应用。

一、等差数列

等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差保持恒定。具体来说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：

an = a₁ + (n-1)d

其中，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。等差数列的常用术语包括首项、公差、通项公式和项数等。

1. 首项（a₁）：等差数列的第一项称为首项。

2. 公差（d）：等差数列中相邻两项的差称为公差。公差可以是正数、负数或零。

3. 通项公式：等差数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。在通项公式中，n表示项数。

4. 项数：等差数列包含的项的个数称为项数。

等差数列的主要特点是任意两项之差相等，这使得我们可以根据已

知的条件，快速求解未知项的值。一些常见的应用包括求和公式、平

均数问题、等差数列的图像和几何问题等。

二、等比数列

等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比保持恒定。

具体来说，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表

示为：

an = a₁ * r^(n-1)

其中，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。等比数列的常用术

语包括首项、公比、通项公式和项数等。

1. 首项（a₁）：等比数列的第一项称为首项。

2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比称为公比。公比可以是正数、负数或零，但不能为1。