2020年高考数学冲刺卷02(山东专版)(含解析)

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冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷(山东专版)(解析版)

冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷（山东专版）一、单选题 1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，集合{}21,B x x n n A ==+∈，则A B =I（）A ．{}1 B ．{}1,3C ．{}2,4D ．{}0,1,3【答案】B 【解析】【分析】先根据{}0,1,2,3,4A =，化简{}{}21,13579B x x n n A ==+∈=，，，，，再求交集. 【详解】因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}{}21,13579B x x n n A ==+∈=，，，，，所以A B =I {}1,3.故选：B 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，复数1111i i--+的共轭复数是（） A ．i B ．i -C ．1D ．-1【答案】B 【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数. 【详解】因为()1i 1i 11i 1i 1i 2+---==-+, 所以共轭复数就是i -. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．命题p ：对任意x R ∈，210x +>的否定是( ) A ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +≤ B ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +> C ．p ⌝：不存在0x R ∈,0210x +≤ D ．p ⌝：对任意x R ∈，210x +≤【答案】A 【解析】试题分析：所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在0x R ∈，0210x +≤. 考点：全称命题的否定4．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（） A ．521B ．715C ．1115D ．221【答案】B 【解析】【分析】由组合数公式求出从10个球中任取2个球的取法个数，再求出有1个红球1个白球的取法个数，即可求出结论. 【详解】从10个球中任取2个球共有210C 种取法，其中“有1个红球1个白球”的情况有1137C C （种），所以所求概率1113277C 15p C C ==. 故选:B. 【点睛】本题考查利用组合数公式求古典概型的概率，属于基础题.5．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，过点P 作直线l 分别交边AB 、AC 于M 、N ，若AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u ur u u u r ，则mn 的最小值为（）A ．49B ．53C ．43D ．3【答案】A 【解析】根据在ABC ∆内有一点，0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，点P 为重心，有()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再根据,,M N P 共线，有()1AM AN AP λλ+-=u u u u r u u u r u u u r ，得到11313m n+=，然后用基本不等式求解. 【详解】因为在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC++=u u u r u u u r u u u rr，且,PB PA AB PC PA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以30PA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，因为,,M N P 共线，所以()1AM AN AP λλ+-=u u u u r u u u r u u u r ，又因为AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u ur u u u r ，所以()1nAC mAB AP λλ+-=u u u u r u u r u u u r，所以()1,1133n m λλ==-，所以11313m n+=，所以11133m n =+≥=，所以49mn ≥，当且仅当1133m n =，11313m n +=，即23m n ==时，取等号. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．在数列{}n a 中，12a =，1212n n na a a ++=()*n ∈N ，若对*n N ∈，不等式2122312n n a a a a a a m m ++++<-+L 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(,1)(2,)-∞-+∞UB ．(,1][2,)-∞-+∞UC ．(,2)(1,)-∞-+∞UD ．(,2][1,)-∞-+∞U【答案】B 【解析】先利用递推公式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消和放缩求出数列的和，最后再利用恒成立问题和不等式进行求解。

高考数学【山东卷】全真模拟卷2解析版

A ． y 3x
B． y 3x
C． y 2x
D． y 2x
【答案】 C
【解析】设 F1 ( c,0) ， F2( c,0) ，由 F1O
2 | OM | ，
OMF1 与
PF2 F
相似，
所以
F1O | OM
|
PF1 PF2
2，
即 PF1 2 PF2 ，又因为 PF1 PF2 2a ，所以 PF1 4a ， PF2 2a ，所以 4c2 16a2 4a2 ，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符
合题目要求的．
1．已知复数 z 2i ，则 z 在复平面对应的点位于 1i
A ．第一象限
20.2 最大．
14．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA BC 5, PB AC 13, PC AB 2 5 ，
则球 O 的表面积为 ________．
【答案】 29 【解析】如图所示，将三棱锥 P ABC 补成长方体，
球 O 为长方体的外接球，
a 2 b2 25 则 a 2 c2 13 ，
7．图 1 是我国古代数学家赵爽创制的一幅 “勾股圆方图 ”( 又称 “赵爽弦图 ”) ，它是由四个全等的直角三角
形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，
受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的
钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，
如图 2 所示，若 AD 5， BD 3 ，则在整

2020年高考数学冲刺逆袭必备卷(山东、海南专用)(解析版)

2020年高考数学冲刺逆袭必备卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<≤，则A =R ð（） A ．{|1x x <-或2}x > B ．{|1x x ≤-或2}x > C ．{|1x x <-或2}x ≥ D ．{|1x x ≤-或2}x ≥【答案】B 【解析】【分析】根据补集的定义，即可求得A 的补集. 【详解】∵{|12}A x x =-<≤，∴A =R ð{|1x x ≤-或2}x >，故选：B 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题. 2．设3i12iz -=+，则z =A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．3．“方程221 71x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据方程表示椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得m的取值范围，由此判断充分、必要条件. 【详解】由于方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆，所以701071mmm m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得17m<<且4m≠.所以“方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查方程表示椭圆的条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．若函数()f x的导函数()f x'的图象如右图所示，则函数()y xf x'=的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据导函数()f x'的零点和函数值的符号，判断出()y xf x'=的图象.由于()f x '的图象可知2x =-是()f x '的零点，所以()y xf x '=的零点为0和2-.当2x <-时，()'0f x >，所以()'0xf x <；当20x -<<时，()'0f x <，所以()'0xf x >；当0x >时，()'0f x <，所以()'0xf x <.由此可知正确的()y xf x '=的图象为D.故选：D 【点睛】本小题主要考查主要考查导函数图象的运用，属于基础题. 5．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（） A ．12 B ．12-C．2D．【答案】A 【解析】【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案. 【详解】因为sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以2cos 2126πα⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.6．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（） AB ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+ 整理得到2c a =，故双曲线C 的离心率为2ce a==. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题. 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]【答案】C 【解析】【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF Q 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD I 平面11BDD B BD =，GE Ì平面ABCD //GE BD ∴E Q 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max AF AH ==min EF ∴==max EF ==则线段EF 长度的取值范围为：本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.8．若直线2x y m =-+与曲线y =m 的取值范围是（）A ．B ．11)C ．(11)+D ．1) 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，曲线y =的图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成，故直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点的临界直线有：当直线2xy m =-+过点()2,0时，即01m =-+，故1m =；当直线2xy m =-+与椭圆的上部分相切，即'12y ==-，即x y ==时，此时m =，故实数m 的取值范围是，选项A 为正确答案．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、数形结合的思想．【易错点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题；要求满足条件：直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点，实数m 的取值范围，可以转化为直线2x y m =-+的图象与曲线y =m 的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线y =的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．二、多选题9．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】AB D【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：AB D. 【点睛】本题主要考查扇形统计图的识图及应用，属基础题.10．关于函数()1f x cosx +=，,23x pp 骣琪Î琪桫的图象与直线y t =（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A ．当0t <或2t ≥时，有0个交点B ．当0t =或322t ≤<时，有1个交点 C ．当302t <≤时，有2个交点 D ．当02t <<时，有2个交点【答案】AB 【解析】【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果．【详解】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A ：当0t <或2t ≥时,有0个交点,故正确．②对于选项B ：当0t =或322t ≤<时,有1个交点,故正确． ③对于选项C ：当32t =时,只有一个交点,故错误． ④对于选项D ：当322t ≤<,只有一个交点,故错误．故选：AB【点睛】函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有78S S > D ．若67S S >，则必有56S S >【答案】AB C 【解析】【分析】直接根据等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+逐一判断．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+，若59S S =，则11510936a d a d +=+， ∴12130a d +=，∴1132da =-，∵10a >，∴0d <， ∴1140a a +=，∴()1141407a a S +==，A 对；∴() 112nn n dS na-=+()11322n n dnd-=-+()27492d n⎡⎤--⎣⎦=，由二次函数的性质知7S是n S 中最大的项，B对；若67S S>，则7160a a d=+<，∴16a d<-，∵10a>，∴0d<，∴615a a d=+6d d<-+0d=->，8770a a d a=+<<，∴5656S S S a<=+，7878S S S a>=+，C对，D错；故选：AB C．【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，属于中档题．12．如图，在四边形ABC D中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且3BC EC=u u u r u u u r，F为AE的中点，则（）A．12BC AB AD=-+u u u r u u u r u u u rB．1133AF AB AD=+u u u r u u u r u u u rC．2133BF AB AD=-+u u u r u u u r u u u rD．1263CF AB AD=-u u u r u u u r u u u r【答案】AB C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．【详解】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u uv u u u v ，A 对；∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u uv u u u v ，∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ，又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u u v u u u v，B 对；∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v ，C 对；∴CF CB BF =+u u u v u u u v u u u v BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u uv u u u v ，D 错；故选：AB C ．【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．第II 卷（非选择题)三、填空题13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --= 【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可. 详解：由题可得：1'()2f x x x=+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y -1=3（x -1）即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题. 14．已知向量a r、b r满足|a r|＝2，且b r 与b a rr-的夹角等于6π，则|b r |的最大值为_____．【答案】4 【解析】【分析】在OAB V 中，令,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，可得6π∠=OBA ，可得点B 在半径为R 的圆上，22sin R A=，可得R ，进而可得||b u u r的最大值．【详解】∵向量a r 、b r 满足|a r |＝2，且b r 与b a -r r 的夹角等于6π，如图在OAB V 中，令OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r ，可得6π∠=OBA可得点B 在半径为R 的圆上，2R 2sinA==4，R ＝2．则|b r|的最大值为2R ＝4【点睛】本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．15．设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是_____. 【答案】192-【解析】由题意设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是.因为a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值所以2a =代入到二项式6a x x ⎛⎝中，得62x x ⎛⎝，其第1r +项为(616rrr r T C-+⎛= ⎝()63612rr rr C x --=-⋅⋅⋅含2x 项，则1r =其系数是()151612192C -⋅⋅=-【点睛】本题考查三角函数化简，二项式展开式中指定项的系数.16．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线1ln()y x b y x b '⎛⎫=+=⎪+⎝⎭相切于点()00x y ，，则11a b+的最小值是______. 【答案】4 【解析】【分析】利用切点和斜率列方程组，化简求得,a b 的关系式，进而利用基本不等式求得11a b+的最小值. 【详解】依题意令11y x b '==+，解得01x b =-，所以()00001ln ln10y x a b a y x b =-=--⎧⎨=+==⎩，所以10b a --=，所以1a b +=，所以()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当12a b ==时等号成立，所以11a b+的最小值为4. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查导数与切线有关的计算问题，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.四、解答题17．若向量,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()f x 的单调递增区间．【解析】（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 2sin 22223)32x x x t x x t x tωωωωωπω=+⋅+=-++=-++ ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=. 3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +max ()1,31,21()).32f x t t f x x π=∴+=∴=-∴=--Q （II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈.55222,2612125()[,]()1212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈函数的单调递增区为18．定义：对于任意*n N ∈，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列. （1）若()2*8n a n n n =-+∈N，证明：数列{}na 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为502n b n =- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（3）设数列()*1,12n pc n p n=-∈<<N ，若数列{}n c 是T 数列，求p 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；（3）615p <≤. 【解析】【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出.（2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥，代入通项3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解不等式组，使()max n M b ≥即可求解.（3）首先根据12p <<可求1n =时，11c p =-，当2n ≥时，1n pc n=-，根据题中新定义求出13220c c c +-≤成立，可得615p <≤，再验证2120n n n c c c +++-<恒成立即可求解. 【详解】（1）Q ()22841616n a n n n =-+=--+≤，且()()()()22221282822116120n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-<，则满足212n n n a a a +++≤，则数列{}n a 是T 数列. 综上所述，结论是：数列{}n a 是T 数列. （2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥则()()11335050122335050122n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫-≥+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-≥-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，得3322log 1001log 100n ≤≤+，n N *∈Q ，12n ∴=，则数列{}n b 的最大值为126002b =- ⎪⎝⎭，则1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（3）Q 12p <<112n pc ∴=-<，当1n =时，11c p =- 当2n ≥时，1n p c n=-，由132521122033p p c c c p p +-=-+--+=-+≤，得615p <≤，当2n ≥时，()()2122211202112n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+--+=<++++恒成立，则要使数列{}n c 是T 数列，则p 的取值范围为615p <≤. 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）34. 【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥. 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =，所以四边形11ACC A 是菱形，则11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C =I ，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . （2）如图，取AC 的中点M ，连接1A M ，因为四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，所以1△ACA 是正三角形，所以1A M AC ⊥，且132A M AC =. 令122AA AC CB ===，则13A M =.以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()11,0,3C -，()0,1,0B，()11,0,3A ，()2,0,0CA =u u u r，()()111111,0,30,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r ()1,1,3=-，()11,0,3CA =u u u r.设平面1ACB 的法向量为(),,x y z =n ，则100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，所以2030x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，则3y =-，所以()0,3,1=-n .由（1）知1A C ⊥平面11AB C ，所以()11,0,3CA =u u u r是平面11AB C 的一个法向量，所以111cos ,CA CA CA ⋅<>=⋅u u u ru u u r u u u r n n n 3341331==+⨯+. 所以二面角11C AB C --的余弦值为34. 20．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A 农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从A 农场存储的优质棉花中随机抽取了100朵棉花，分别测量了其纤维长度（单位：cm ）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：（1）求这100个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中22,x s ≈≈μσ.①利用正态分布，求()2P X >-μσ；②纺织厂将A 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20朵测量其纤维均值()1,2,,20y i =L 的数据如下：若20个样本中纤维均值2Y >-μσ的频率不低于①中()2P X >-μσ，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断A 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由. 附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827,P Z -<<+=μσμσ()220.9543.P Z -<<+=μσμσ12.28 3.504≈.【答案】（1）平均数为31，方差为12.28；（2）①0.97715；②该批优质棉花合格，理由见解析.【解析】（1）1(4249261628100x =⨯⨯+⨯+⨯2430183214341036+⨯+⨯+⨯+⨯538)31+⨯=， 22221(4795163241100s =⨯⨯+⨯+⨯+⨯22218114310557)12.28+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中31,12.28 3.504=≈≈μσ，①利用正态分布，则()()12110.95432P X >-=-⨯-μσ0.97715=. ②因为2312 3.50423.992-=-⨯≈μσ，故()()223.9921P Y P Y >-=>=μσ>0.97715，故满足条件，所以认为该批优质棉花合格.21．如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A 、B （均与P 不重合），直线PA 、PB 分别交l 于点M 、N 求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）()2,0F ，准线l 的方程为2x =-；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据抛物线C 的标准方程可得出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出点M 、N 的坐标，计算出0MF NF ⋅=u u u r u u u r，即可证明出MF NF ⊥. 【详解】（I ）抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，由根与系数的关系得：1216y y =-.直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y xy x y y -+=-+=+-，当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r ,()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++u u u r u u u u r ()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++，FN FM ∴⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥.【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点坐标和准线方程，同时也考查了直线与抛物线的综合问题，涉及到两直线垂直的证明，一般转化为两向量数量积为零来处理，考查计算能力，属于中等题. 22．已知1()ln mf x x m x x-=+-，m ∈R . （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <≤时，证明：2()1x e x xf x m >-+-.【答案】（1）()f x 在(1,1)m -上单调递减；在(0,1)和(1,)m -+∞上单调递增.（2）见解析【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再进行求导得2(1)[(1)]()x x m f x x---'=，对m 分成1m £，12m <<，2m =三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由2()1xe x xf x m >-+-，等价于证明ln x e mx x >，再对x 分01x <≤，1x >两种情况讨论；证明当1x >时，不等式成立，可先利用放缩法将参数m 消去，转化成证明不等式2ln 2xe e x x >成立，再利用构造函数22()ln x e g x x x -=-，利用导数证明其最小值大于0即可。

2020年高考数学金榜冲刺卷(山东专用)(二)

__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A. 270,75x s =<B. 270,75x s =>C. 270,75x s ><D.270,75x s <>2．实数x ，y 满足x y >，则下列不等式成立的是（） A.1yx< B. 22x y --< C. lg lg x y >D. 22x y >3．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A.B. C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题4．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高，由此判断，来自1班的同学为三、解答题5．(本小题满分12分)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99％的把握认为“月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a= c=不赞成b= d=合计不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n＝a＋b＋c＋d.参考值表：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 K00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.8286．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·广州一模)已知函数f (x)＝|x＋2|－|ax－2|.(1)当a＝2时，求不等式f (x)≥2x＋1的解集；(2)若不等式f (x)＞x－2对x∈(0,2)恒成立，求a的取值范围．7．已知函数()[]222,5,5f x x ax x=++∈-．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使()y f x=在区间[]5,5-上是单调函数．8．已知函数()1xf x ae x=--（1）若()0f x≥对于任意的x恒成立，求a的取值范围（2）证明：1111ln(1)23nn++++≥+对任意的n N+∈恒成立9．如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA AD=，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：平面ANB⊥平面PCD；（2）若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C--的正弦值.10．已知向量(2,1)a =-，(,)b x y =.（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b ⋅=的概率；（2）若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足1a b ⋅<的概率.11．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．四、单选题12．公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =，若24m n +=2的值为（） A. 4B.12C.18D. 2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案．【详解】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦，()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦，故275s <．选A ．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．2．B解析：B 【解析】【分析】对于ACD 选项，当x<0,y<0时，显然不成立；对于B 可根据指数函数的单调性得到结果.【详解】由题意，当x<0,y<0可得到1yx >，而lg ,lg x y 没有意义，此时22x y < 故A 不正确CD 也不对；指数函数2xy =是定义域R 上的单调递增函数，又由x y >，则x y -<-，所以22x y --<.故B 正确；故选B.【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.3．D二、填空题4．无三、解答题5．无6．(1)当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|－|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－2，3x ，－2＜x ＜1，－x ＋4，x ≥1，当x ≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x ≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x ≥2x ＋1，解得x ∈∅；当x ≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1. 综上可得，原不等式的解集为{x |x ≤－5或x ＝1}． (2)因为x ∈(0,2)，所以f (x )＞x －2等价于|ax －2|＜4，即等价于－2x ＜a ＜6x，所以由题设得－2x ＜a ＜6x 在x ∈(0,2)上恒成立，又由x ∈(0,2)，可知－2x ＜－1，6x ＞3，所以－1≤a ≤3，即a 的取值范围为[－1,3]． 7．⑴当1a =-时22()22(1)1f x x x x =-+=-+，函数图象对称轴1x =[]min max 5,53,()(1)1,()(5)37x f x f f x f ∈-∴===-=分⑵[]222()22()2,5,5f x x ax x a a x =++=++-∈-，对称轴x a =-，当5a -≤-，即5a ≥时，()f x 在[]5,5-上单调递增当5a -≥，即5a ≤-时，()f x 在[]5,5-上单调递减【解析】（1）max ()37f x =，min ()1f x = （2）55a a ≤-≥或8．（1）[1,)+∞；（2）见解析【解析】分析】（1）由题，()0f x ≥转化为1x x a e +≥，令1()xx G x e+=求导求得()G x 的最大值即可得到答案；（2）由由（1）可得ln(1)x x ≥+，再令1x n=，可得11ln n n n +≥，利用累加的思想可证得题干.【详解】（1）若()0f x ≥，故1x ae x ≥+，即1xx a e +≥ 即1()x x G x e +=，()xxG x e-='，令()0G x '=可得：()G x 在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减，故()G x 的最大值为(0)1G =，故a 的取值范围为[1,)+∞（2）由（1）可得：当1a =时，e 1x x ≥+，即ln(1)x x ≥+ 令1x n=可得：11ln(1)n n ≥+，即11ln n n n +≥故12ln 1113ln 22...11ln n n n≥≥+≥ 累加可得：1111ln(1)23n n++++≥+ 【点睛】本题考查了导函数的应用，熟悉导数的应用，单调性和极值，以及利用导数证明不等式是解题的关键，属于难题. 9．（1）见解析（2）36【解析】【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ，又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由10PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =. 由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则3cos 3AP m AP m θ⋅==， ∴6sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题. 10．（1）118；（2）91100. 【解析】【分析】（1）设事件{(,)|21}A x y a b x y =⋅=-+=，利用古典概型概率公式求满足1a b ⋅=的概率；（2）利用几何概型的概率公式求满足1a b ⋅<的概率.【详解】（1）基本事件如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个.设事件{(,)|21}A x y a b x y =⋅=-+=，则事件A 包含2个基本事件（1,3），（2,5），所以1()18P A =，即满足1a b ⋅=的概率是118. （2）总的基本事件空间{(,)|[1,6],[1,6]}x y x y Ω=∈∈，是一个面积为25的正方形，事件{(,)|21}A x y a b x y =⋅=-+<，则事件A 所包含的基本事件空间是{(,)|[1,6],[1,6],21}A x y x y x y =∈∈-+<，是一个面积为914的多边形，所以91()100P A =，即满足1a b ⋅<的概率是91100. 【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．无评卷人得分四、单选题12．B解析：B【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求n＝4cos218°，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【详解】∵m＝2sin18°，若m2+n＝4，∴n＝4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，2361 418182sinsin cos︒==︒︒故选：B．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．。

2020年高考数学临考押题卷(山东专版)(解析版)

2020年高考临考押题卷（六）数学（山东卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．设集合(){}30S x x x =-≤，1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则S T =U ( )A ．[)0,+∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．(](),01,-∞+∞U 【答案】D【解析】Q (){}30S x x x =-≤{|3x x =≥或}0x ≤， 1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}|1x x =>，{|0S T x x ∴⋃=≤或}1x >(](),01,=-∞⋃+∞，故选D.2．设312iz i-=+，z 的虚部是（） A ．75i B ．75C ．75i -D ．75-【答案】B 【解析】因为()()()()31231717=121212555i i i i z i i i i ----===-++- 所以z 的虚部是75故选：B3．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，4．在△ABC 中,AB c AC b ==u u ur r u u u r r ,若点D 满足3,BC BD =-u u u r u u u r 则AD =u u ur （）A ．4133c b -r rB ．1334c b -r rC ．4133c b -+r rD ．3143c b -+r r【答案】A【解析】ABC ∆中，点D 满足3BC BD =-u u u r u u u r ，AB c =u u ur r ，AC b =u u u r r ，则1141()33333413AD AB BD AB BC AB AC c A AC b B AB =+=-=--=--=r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 5．关于函数tan |||tan |y x x =+有下述四个结论：①y 是偶函数；②y 在(,0)2π-上是减函数；③y 在[,]-ππ上有三个零点；④y 的最小值是0.其中所有正确结论编号是（）A ．①②④B ．②③C ．①③D ．①④【答案】A【解析】作出函数()tan |||tan |f x x x =+的图象如图，由图可知，()()tan |||tan |tan |||tan |()f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，故①正确；()f x 在区间(,0)2π-上单调递减，故②正确；y 在[,]-ππ上有无数个零点，故③错误；y 的最小值是0.，故④正确．故选：A ．6．已知函数()422(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数()()4221f x x ax a x =-++-为偶函数，则()()f x f x -=，即：()()42422121x ax a x x ax a x -+--=-++-，据此可得：10,1a a -=∴=，函数的解析式为：()422f x x x =-+，其导函数()3'44f x x x =-+，二阶导函数()()22''124431f x x x =-+=--，()'f x 在3,3⎛-∞- ⎝⎭ 递减，在3333⎛- ⎝⎭递增，在3⎫∞⎪⎪⎝⎭递减，所以函数()'f x 的极大值为：33338'44329f =-=<⎝⎭，观察所给的函数图象，只有A 选项符合题意.7．已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，过点2F 的直线与双曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，23PMF M=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．53y x =±B ．35y x =±C ．43y x =±D ．34y x =?【答案】D【解析】由题意，在直角2OMF ∆中，可得2F M b ==，所以21cos b PF F c∠=，又因为23PMF M=，所以3PM b =，所以24PF b =，且142PF b a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理可得222212121212cos 2PF F F PF b PF F c PF F F +-∠==⨯⨯()()()2224242242b c b a b c+--=⨯⨯，代入222+=a b c ，解得34a b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x =?. 8．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,3【答案】D【解析】（1）当1x ≤时,()222f x x kx k =-+，∴()f x 的对称轴为x k =,开口向上①当1k <时,()f x 在(),k -∞递减,(),1k 递增 ∴当x k =时,()f x 有最小值,即()0f k ≥,∴01k ≤< ②当1k ³时,()f x 在(),1-∞上递减 ∴当1x =时,()f x 有最小值,即()10f ≥ ∴10≥显然成立,此时1k ³， ∴当1x ≤时, 0k ≥.（2）当1x >时,()()31xf x x k e e =--+,∴()()xf x x k e '=-①当1k ≤时,()f x 在()1,+∞上递增∴()()310f x f ke e >=-+≥,∴2k e ≤,∴此时1k ≤.②当1k >时,()f x 在()1,k 递减,()k +∞递增∴()()30kf x f k e e ≥=-+≥,∴3k ≤,∴此时13k <≤∴当1x >时, 3k ≤. 综上：0k ≤≤3. 二、多选题9．下列判断正确的是（） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()1E ξ=； D ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的系数为20. 【答案】AC【解析】对于A ，随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，所以图象关于1x =对称，根据(4)0.79P ξ=…，可得(4)1(4)0.21P P ξξ=-=厔，所以(2)(4)0.21P P ξξ-==剠，故A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，若//αβ，则l m ⊥是真命题；若l m ⊥，则//αβ是假命题；所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件”，故B 错误；对于C ，随机变量ξ服从二项分布：1~(4,)4B ξ，则1()414E ξ=⨯=，故C 正确；对于D ，若5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则展开式的通项为()515122rrr r T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3r =，则()232334502212T y x y C x ⎪=⎛-⎫=- ⎝⎭，故D 错误． 10．已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式为（）A ．a b++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；C．124aa+≥-+；D22a b≥+【答案】ABCD【解析】对A，0,0,a b a b>>∴+≥≥= Q，当且仅当a b=⎧⎪⎨=⎪⎩，即a b==时，等号成立.故A正确；对B，()110,0,224b aa b a ba b a b⎛⎫>>∴++=++≥+=⎪⎝⎭Q，当且仅当b aa b=，即a b=时等号成立. 故B正确；对C，10,024a aa>∴+>≥-+Q，故C正确；对D，()()()()()()2222233220,0,0a b a b ab a b a b a b a b a ab b>>∴+-+=--=-++≥Q，()()()()2222222222a ba b ab a b a b a bab+∴+≥+∴≥+≥+，，.故D正确.11．将曲线()23sin sin2y x x xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x的图象，则下列说法正确的是（）A．()g x的图象关于直线23xπ=对称B．()g x在[]0,π上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．()g x的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称D．()g x的图象可由1cos2y x=+的图象向右平移23π个单位长度得到【答案】ABD【解析】()231cos2sin sin cos22xy x x x x xππ-⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭1112cos2sin22262x x xπ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭.()1sin 62g x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，对于A ，当23x π=时，62x ππ-=，()g x ∴关于直线23x π=对称，A 正确；对于B ，当[]0,x π∈时，7,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，B 正确；对于C ，当6x π=时，06x π-=，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x ∴关于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误；对于D ，1cos 2y x =+向右平移23π个单位得：21cos 32y x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭cos 62x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()11sin 262x g x π⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，D 正确. 12．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论中正确的是（）A ．PB AE ⊥B ．平面ABC ⊥平面PBC C ．直线//BC 平面PAED ．45PDA ∠=︒【答案】AD【解析】对于A ，PA ⊥Q 平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，PA AE ∴⊥，又底面ABCDEF 为正六边形，AE AB ∴⊥，AB PA A ⋂=Q ，,AB PA ⊂平面PAB ，AE ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，PB AE ∴⊥，A 正确；对于B ，PA ⊥Q 平面ABC ，PA ⊂平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，同理可得：平面PAB ⊥平面ABC ，则在五棱锥P ABCDE -中，只有侧面PAE ､侧面PAB 与底面ABC 垂直，B 错误；对于C ，//BC AD Q ，AD ⋂平面PAE A =，BC ∴与平面PAE 也相交，C 错误；对于D ，2PA AB =Q ，底面ABCDEF 为正六边形，22AD BC AB ∴==，∴在Rt PAD V 中，PA AD =，45PDA ∴∠=o ，D 正确.三、填空题13．过原点()0,0作函数()322f x x x =+图象的切线，则切线方程为______．【答案】0y =或0x y +=【解析】()322f x x x =+,则2()34f x x x '=+,设切点为32000(,2)x x x +,则切线的斜率2000()34k f x x x '==+, 故切线方程为:3200(2)y x x -+=2000(34)()x x x x +-, 因为切线过点(0,0),所以3200(2)x x -+=2000(34)()x x x +-, 即320002200x x x +=⇒=或01x =-,故当00x =时,切线方程为0y =, 当01x =-时,切线方程为0x y +=, 14．若二项式（x ﹣）6（a ＞0）的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 _________ ．【答案】2 【解析】展开式的通项为令得r=2，所以A= 令得r=4，所以B=∵B=4A ，即=4，解得a=215．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中(20)A -，，0(2)B ，，动点P 满足(0)PA PB λλ=>，若点P 的轨迹为一条直线，则λ=______；若2λ=，则点P 的轨迹方程为_______________；【答案】1 22332040x y x +-+=【解析】设(),P x y ，由222PA PB PA PB λλ=⇒=，()()()2222221141440x yx λλλλ-+-+++-=，1λ=时，轨迹方程为0x =，表示直线，2λ=时，轨迹方程为22332040x y x +-+=，16．函数y=f （x ），x ∈[1，+∞），数列{a n }满足()*n a f n n N ，=∈，①函数f （x ）是增函数； ②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f （x ）的解析式______．写出一个满足②但不满足①的函数f （x ）的解析式______．【答案】f （x ）=x 2 ()24()3f x x =-【解析】由题意可知：在x ∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f （x ）=x 2．第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．则这个函数在[1，43]上单调递减，在[43，+∞）上单调递增， ∴()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1，+∞）上不是增函数，不满足①．而对应的数列为：243n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在n ∈N*上越来越大，属递增数列．四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC V 内角A ，B ，C 的对边，2sin a B =. （1）求角A ；（2）若6a =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）3A π=（2）【解析】（1）由题意，在ABC V 中，因为2sin a B =根据正弦定理，可得2sin sin A B B ，因为ABC V 是锐角三角形，可得sin 0B >，所以2sin A =sin A =，又由三角形是锐角三角形，则(0,)2A π∈，所以3A π=.（2）由（1）和三角形的面积公式，可得1sin 24ABC S bc A ==△，由余弦定理得2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥，所以036bc <≤（当且仅当6b c ==时等号成立），所以ABC S V 36=18．已知各项均为正数的数列{}n a ，满足()22*1120n n n n a a a a n N++--=∈，且12a=．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设12n n n b a log a =⋅，若nb 的前n 项和为n S ，求n S ；()3在()2的条件下，求使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．【答案】（1）2nn a =；（2）()n 11n 22+-⋅-；（3）5.【解析】()2211120n n n n a a a a Q ++--=，()()1120n n n n a a a a ++∴+-=，Q 数列{}n a 的各项均为正数，10n n a a +∴+>， 120n n a a +∴-=，即()*12n n a a n N+=∈，∴数列{}n a 是以2为公比的等比数列．12a =Q ，∴数列{}n a 的通项公式2n n a =；()2由()1及12n n n b a log a =得，2n nb n =-⋅，n 12n S b b b =++⋯+Q ，23n 22232n 2n S ∴=--⋅-⋅-⋯-⋅ ①()2345n n 1n 2S 2223242n 12n 2+∴=--⋅-⋅-⋅-⋯--⋅-⋅ ②-②①得，2345n n 1n S 222222n 2+=+++++⋯+-⋅()()n n 1n 1212n 21n 2212++-=-⋅=-⋅--；()3要使n 1n S n 250++⋅>成立，只需n 12250+->成立，即n 1252+>，n 5∴≥．∴使n 1n S n 250++⋅>成立的正整数n 的最小值为5．19．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ；（2）求证： BC ⊥平面BDE ；（3）求CD 与平面BEC 所成角的正弦值.【解析】(1)证明：取中点，连结.在中，分别为的中点，所以,且. 由已知,所以四边形为平行四边形.所以. 又因为平面,且平面，所以平面.(2)证明：在正方形中， ,又因为平面平面，且平面ADEF I 平面ABCD AD =, 所以平面.所以在直角梯形中，,可得. 在中，.所以. 所以平面.(3)作于点，连接,则为所求的角由(2)知，所以,又因为平面又.所以，.20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的短轴长为2，且椭圆C 过点212⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为1k -，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，求k 的取值范围.【解析】（1）∵椭圆C 的短轴长为2，∴22b =，即1b =.又点212⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，∴21112a +=，∴22a =，∴椭圆C 的方程为2212y x +=.（2）由题意设直线AB 的方程为()0y kx mk =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由2212y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，()2222220k x kmx m +++-=， ∴>0∆，即222m k -<，① 且1222kmx x k 2+=-+， ∴线段AB 中点的横坐标022km x k =-+，纵坐标00222my kx m k =+=+，即线段AB 的中点为222,22km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，将222,22km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭代入直线112y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得，222k m k+=-，② 由①，②可得，223k >，∴,33k ⎛⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 21．已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.【解析】（1）()()2x f x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意.当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意.综上，a 的取值范围为[)1,+∞.22．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在l 至11kg ）频数分布表如下（单位: kg ）：以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（1）由种植经验认为，种植园内的水果质量Z 近似服从正态分布()2,N Sμ，其中μ近似为样本平均数2,Z S 近似为样本方差222.1S ≈.请估算该种植园内水果质量在()4,8.2内的百分比；（2）现在从质量为[1,3),[3,5),[5,7) 的三组水果中用分层抽样方法抽取14个水果，再从这14个水果中随机抽取3个．若水果质量[1,3),[3,5),[5,7)的水果每销售一个所获得的的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的3个水果总利润为ξ元，求ξ的分布列及数学期望. 附：Z ()2,N Sμ~，则()0.6826,(22)0.9544P S Z S P S Z S μμμμ-<<+=-<<+=.【解析】（1）20.140.1560.4580.2100.1 6.1Z =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，()2,Z N Sμ: ，μ近似为Z ，222.1S ≈，由正态分布P(4Z 8.2)P(μσZ μσ)0.6826<<=-<<+=，所以该种植园内水果质量在()4,8.2内的百分比为68.26%. （2）ξ的可能取值为：8,10,12,14,16，18.()2123314C C 3P ξ8C 364===；()21122923314C C C C 15P ξ10C 364+===；()11132393314C C C C 55P ξ12C 364+===； ()21123929314C C C C 99P ξ14C 364+===； ()1239314C C 108P ξ16C 364===； ()39314C 84P ξ18C 364=== ；分布列为E ξ15364364364364364364364=+++++==.。

2020年山东高考专用系列押题卷数学试卷(二)(含答案及解析)

5
A．第一场得分的中位数为
2
C．第一场得分的极差大于第二场得分的极差
19
B．第二场得分的平均数为
3
D．第一场与第二场得分的众数相等
10．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐
美的结合产物，曲线 C : x2 y2 3 16x2 y2 恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是（）
2020 年高考山东专用系列押题卷
数学试卷（二）
（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）
姓名：
日期：
成绩：
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求．
1．已知集合 A x | 1 x 0 ，集合 B x | y lg 2x 1 ，则 A B （）
1
BE
3
2
B．
5
AD
BE
3
D．
5
AD
1
BE
3
2
5．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交
警劝导交通.现有甲、乙等 5 名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙
在同一路口的分配方案共有（）
A．12 种
B．24 种
意的实数 k ，直线 BC, BD 的斜率之积为定值．
21．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果
中随机抽取100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果

山东省2020年高考数学(理)冲刺卷及答案(二)

绝密★启用前试卷类型A山东省2020年高考模拟冲刺卷（二）理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（） A ．2B ．3C ．11D ．62、在ABC ∆中，设命题B cA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（） A ．22B ． 2C ．－ 22D ．－ 24、如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A ．52 B ．107 C ．54D ．109 5、在ABC ∆中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，︒=30B ，ABC ∆的面积为23，那么=b（） A 13+ B ．13 C 23+ D ．236、直线L 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M 的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为（）A ．2224y x y x ==或B ．2248y x y x ==或C ．2268y x y x ==或D ．2228y x y x ==或7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（） A ．3160B ．160C ．23264+D ．2888+8、．如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表x ()f x ()y f x =[0,]（）xO1 π yx OB1 π yxO1π y x O1 π y9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡，已知),10(mod ,22212020202202120b a C C C a ≡++++=且Λ则b 的值可为（）A ．2020B ．2020C ．2020D ．202010、若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()f x =则函数()()xH x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（） A ．4 B ．8 C ．6 D ．10第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知21k π-=⎰，直线1y kx =+交圆22:1P x y +=于,A B 两点，则AB = ．12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为．13、已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合B A ⋂= ．14、若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L ．15、给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数．则其中真命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，且m n ⊥u r r．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32Af =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30。

冲刺卷01-决战2020年高考数学冲刺卷(山东专版)(解析版)

冲刺卷01-决战2020年高考数学冲刺卷（山东专版）一、单选题 1．设全集U=R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()UC A B =I ( )A ．{3,1}--B ．{3,1,3}--C ．{1,3}D ．{}1,1-【答案】B 【解析】【分析】根据集合补集与交集定义求结果. 【详解】U C A = {|02}x x x 或≤≥，所以()U C A B ⋂= {}3,1,3--故选B 【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题. 2．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（） AB ．2C．10【答案】A 【解析】【分析】根据复数1z 的几何意义得出复数1z ，进而得出1z ，由122z z ⋅=-得出212z z =-可计算出2z ，由此可计算出2z . 【详解】由于复数1z 对应复平面上的点()1,1--，11z i ∴=--，则11z i =-+，122z z ⋅=-Q ，()()()2121221111i z i i i i z +∴=-===+--+，因此，2z ==故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A ．15B ．815C ．35D ．320【答案】D 【解析】【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可. 【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物，基本事件总数为：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种糖、烟、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为54336020=故选：D 【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.4．在ABC ∆中,2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ,20AE DE +=u u u r u u u r,若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,则( )A ．2y x =B ．2y x =- C ．2x y = D ．2x y =-【答案】D 【解析】【分析】依题可得，点D 为边BC 的中点，2AE DE =-u u u r u u u r ，从而可得出1()6DE AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ， 1()2DB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，2133EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，从而可得出21,33x y ==-，即可得到2x y =-．【详解】如图所示：∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，∴点D 为边BC 的中点，∵20AE DE +=u u u r u u u r ，∴2AE DE =-u u u r u u u r ，∴11()36DE AD AB AC =-=-+u u u r u u u r u u ur u u u r ，又11()22DB CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．又EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，∴21,33x y ==-，即2x y =-．故选：D ．【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 5．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（） A ．2018 B ．2019C ．4036D ．4037【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且201820190a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题. 6．已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据定义，可判断出()g x 为偶函数，根据其导数可得出，0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小．【详解】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()gx xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数．因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<．故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2303232221log 4--<<=< 所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题．7．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F ∆的面积是（） AB ．2C．D【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义得出124PF PF +=，结合122PF PF -=，可求出1PF 和2PF ，利用勾股定理可得出2222121PF F F PF +=，可得出212PF F F ⊥，然后利用三角形的面积公式可计算出12PF F ∆的面积.【详解】由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1231PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，12F F ==Q 2212212PF F F PF ∴+=，212PF F F ∴⊥.因此，12PF F ∆的面积为1212211122PF F S F F PF ∆=⋅=⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．已知对任意实数x 都有()()'2x f x f x e -=，()01f =-，若()()1f x k x >-，则k 的取值范围是（）A ．()1+∞，B ．32342e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．3214e ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】D 【解析】【分析】首先根题意构造函数()()xf x F x e=，并且求得函数()()21xf x e x =-，再讨论1,1x x >< 和1x =三种情况，参变分离后讨论k 的取值范围. 【详解】设()()xf x F x e=， ()()()()()()22x xxx f x e f x e f x f x F x e e ''--'===，()2F x x c ∴=+，即()()()22x xf x x c f x e x c e=+⇒=+， ()01f c ==-，()()21x f x e x ∴=-，不等式()()()()1211x f x k x e x k x >-⇒->-当1x >时，()211x e x k x -<-，即()min211x e x k x ⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦ ，设()()211x e x g x x -=-，()()()()222232311xx x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x > 当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< ，()g x 单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当32x =时，函数取得最小值，32342g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当1x >时，324k e <，当1x <时，()211x e x k x ->-，即()max211x e x k x ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦设()()211x e x g x x -=-，()()()()222232311xx x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x < ，当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，0x ∴=时，()g x 取得最大值，()01g =，1x ∴<时，1k >，当1x =时，()10f e =>恒成立，综上可知：3214k e <<.故选：D 【点睛】本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，()()()()xf x f x xf x ''=+，()()()2f x xf x f x x x ''-⎛⎫=⎪⎝⎭，()()()()222x f x xf x x f x ''=+ ()()()()()xx e f x e f x f x ''=+，()()()x xf x f x f x e e ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭.二、多选题9．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD 【解析】【分析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误．故选：ABD ．【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题． 10．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->-D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 【答案】BC 【解析】【分析】根据不等式的性质判断即可．【详解】解：若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错；若0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，化简得0c d a b->，故B 对；若c d >，则dc ->-，又a b >，则ad b c ->-，故C 对；若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错；故选：BC ．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，常结合特值法解题，属于基础题． 11．已知函数f （x ）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（） A ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称B ．f （x ）的周期为2πC ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心D ．f （x ）在区间42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AB 【解析】【分析】先根据二倍角公式化简变形函数f （x ），再作出其图象，即可判断各选项的真假．【详解】因为函数f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx |12=|sin 2x |，画出函数图象，如图所示；由图可知，f （x ）的对称轴是x 4k π=，k ∈Z ；所以x 2π=是f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；f （x ）的最小正周期是2π，所以B 正确； f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误；由图可知，f （x ）12=|sin 2x |在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，D 错误. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，以及利用函数图象研究其性质，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题． 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（）A ．AC AF ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF ∆的面积与BEF V 的面积相等【答案】AD 【解析】【分析】通过特殊化，点F 与点1B 重合可判定A 错误；正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，判定B 正确，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 距离是定值，可判定C 正确，△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，可判定D 错误. 【详解】A ．由题意及图形知，当点F 与点1B 重合时，160o CAB ∠=故选项A 错误； B ．//EF 平面ABCD ，由正方体1111ABCD A BCD -的两个底面平行，EF ⊂平面1111D C B A ，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确，不是正确选项；C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D ．由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，故D 是错误的．故选：AD 【点睛】本题考查直线与平面平行、垂直的判定、棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．三、填空题13．设曲线2y ax =在点()1,a 处的切线与直线260x y +-=垂直，则a = __________．【答案】1 【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1即可得a 值. 【详解】2y ax '=，所以切线的斜率2k a =，又切线与直线260x y +-=垂直得1212a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，解得1a =. 故答案为：1 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.14．在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.【答案】112 【解析】【分析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】2)n x的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r r rrrrr nTC xC x--+=-=-g g g g ，令8403r-=，求得2r =，可得二项展开式常数项等于284112C ⨯=，故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 作斜率为2的直线与y 轴及双曲线的右支分别交于,A B 两点，若1F A AB=u u u v u u u v，则双曲线的离心率为__．【答案】32+ 【解析】【分析】由1F A AB =u u u r u u u r 知A 为1F B 的中点，连接2BF ，利用中位线的性质得出2//OA BF ，利用直线1BF 的斜率得出2122BF F F =，可得出2BF ，由勾股定理得出1BF ，最后利用双曲线的定义得出a 与c 的等量关系，从而可求出双曲线离心率的值．【详解】设双曲线的右焦点为2F ，连接2BF ，1||||F A AB =，可得A 为1F B 的中点，即有2BF x ⊥轴，由题意可得21221tan 2BF BF F F F ∠==，即有2||22BF c =，可得221||8423BF c c c =+=，由双曲线的定义可得12|||23222BF BF c c a -=-=，可得3232c e a ===+-．故答案为32+．【点睛】本题考查双曲线的离心率，充分分析焦点三角形的性质、利用三角形中相关定理以及双曲线的定义来解题，是解本题的关键，综合性较强，着重考查学生分析能力和运算求解能力，属于中等题． 16．已知函数()222()31f x x a x b =----，当______时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有______.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①12a ≤-②3522a <<③1a =，20b -<<④1a =，924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点【答案】① ⑥ 【解析】【分析】本题为开放题型，根据选择的条件，把绝对值打开，求导研究函数单调性，继而研究函数的极值点，零点即可. 【详解】 .比如：当12a ≤-时， ()422222422(23)3,(,1][1,)()31(23)3,(1,1)x a x a b x f x x a x b x a x a b x ⎧-+++-∈-∞-⋃+∞=----=⎨--+--∈-⎩22(23)4[],(,1][1,)2'()(23)4[],(1,1)2a x x x f x a x x x +⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎪=⎨-⎪-∈-⎪⎩由于(23)12a +≤，故2(23)4[]2a y x x +=-在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞无零点，由于(23)22a -≤-，故2(23)02a y x +=->恒成立，2(23)4[],(1,1)2a y x x x -=-∈-有唯一零点x =0,且左负右正，故f (x )有唯一的极小值. 故答案为：①，⑥（答案不唯一）【点睛】本题为开放题型，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.四、解答题17．,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3Cπ=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.【答案】（1）1sin 8B =（2）5+【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3Cπ=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC V 的面积取得最大值时，ab 最大，结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC V 的周长．【详解】（1）由()sin 4sin 8sin aA B A +=，得()48a a b a +=，即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =.（2）因为48a b +=≥= 所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.因为ABC V 的面积11sin 4sin 223Sab C π=≤⨯⨯=所以当44a b ==时，ABC V 的面积取得最大值，此时22241241cos133cπ=+-⨯⨯⨯=，则c =，所以ABC V 的周长为5【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力． 18．在数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：12b =，()*1n n n b a a n N +=-∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若21log n n nc b b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）()*2nn b n N =∈；（2）()()1*122n nS n n N +=--⨯-∈.【解析】【分析】（1）由题意得出12n n a a k +=+，利用等比数列的定义可证明出数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，由此可求出数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法能求出n S .【详解】（1）Q 数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，12n n a a k +∴=+，12n n n n n n b a a a k a a k +∴=-=+-=+.()11222n n n n n b a k a k k a k b ++∴=+=++=+=，12n nb b +∴=， 12b =Q ，∴数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列. ∴数列{}n b 的通项公式为()*2n n b n N =∈；（2）由于2211log 2log 22n nn n n n c b n b ==⋅=-⋅， 231222322n n S n ∴-=⨯+⨯+⨯++⨯L ，①()23412122232122n n n S n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ，②①-②得()()2311121222222212212nn n n n nS n n n +++⨯-=++++-⨯=-⨯=--⨯--L .【点睛】本题考查利用等比数列的定义求数列的通项，同时也考查了利用错位相减法求数列的和，考查计算能力，属于中等题.19．如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长为2，11A B AC ==M 是棱BC 的中点.（1）求证：1A M ⊥平面ABC ；（2）求直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）4214. 【解析】【分析】（1）由题意证明1A M BC ⊥，1A M AM ⊥，即可证明1A M ⊥平面ABC ；（2）以点M 为坐标原点，分别以MA 、MB 、1MA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出向量1B C u u u r的坐标，求出平面11ABB A 的法向量n r ，计算1cos ,n B C u u u vv 即可.【详解】（1）连接AM ，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长为2，112A B AC == M 是棱BC 的中点；所以1A M BC ⊥，所以()222211211A M A B BM =-=-=.又3323AMAB ===12AA =，所以22211AM A M AA +=，所以1A M AM ⊥，且AM BC M =I ，所以1A M ⊥平面ABC ；（2）分别以MA 、MB 、1MA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则()0,0,0M，()3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()10,0,1A ，又()3,1,0AB =-u u u v ，()13,0,1AA =-u u u v，所以()())1110,2,03,0,13,2,1B C BC BB BC AA =-=-=---=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，设平面11ABB A 的法向量为(),,n x y z =v，则100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，即3030x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则3y z ==，所以()1,3,3n =v；所以111323342cos ,14133341n B C n B C n B C⋅--==-++⨯++⨯u u u v v u u u v vu u u v v ，所以直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为4214.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a ，b ，c 成等差数列且2c a =.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值. 【答案】（1）117.8（分）；（2）75分；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）根据频率之和等于1，a ，b ，c 成等差数列，2c a =，解出,,a b c 的值，利用频率分布直方图，求出平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值. 【详解】（1）根据频率分布直方图得，()20.0240.0200.04101a b c +++++⨯= 又因2,a cb +=2c a =，解得0.008,a =0.012,b =0.016c =，故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯117.8=（分），（2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)，所以物理成绩的中位数为75分.（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X 的取值为0、1、2、3.33361(0),20C P X C ===1233369(1),20C C P X C ===2133369(2),20C C P X C ===33361(3)20C P X C ===.所以分布列为：期望值为：1991()012320202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯32=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.21．给定椭圆C:22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O,的圆是椭圆C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率2,点(在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长MN 为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意列出222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩再结合222a b c =+即可解出a =2b =，从而得到椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；(2) 根据1l ⊥2l 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设1l 无斜率)，可知其方程为x =x =-，这样可求出MN =()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，与椭圆方程联立，由0∆=可得()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---，所以线段MN 应为“卫星圆”的直径，即MN =【详解】(1)由条件可得:222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b =所以椭圆的方程为22184x y +=，卫星圆的方程为2212x y +=(2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,Px y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， ∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-= ∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,Px y ，又分别交“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 是“卫星圆”220012x y +=的直径，∴MN 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题．22．已知函数()()1ln f x a x a x=+∈R . （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若存在两个不等正实数1x 、2x ，满足()()12f x f x =，且122x x +=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）单调减区间为()0,1，单调增区间为()1,+∞；（2）()1,+∞. 【解析】【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，求导，分别解不等式()0f x '<和()0f x '>可得出函数()y f x =的减区间和增区间；（2）根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数求解即可.【详解】（1）当1a =时()1ln f x x x=+，定义域为()0,∞+，则()22111x f x x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以，函数()y f x =的单调减区间为()0,1，单调增区间为()1,+∞；（2）设120x x >>，由()()12f x f x =得121211ln ln a x a x x x +=+，则112212ln x x x a x x x -=，0a ∴>，又122x x +=，2211212212212ln x x x x x a x x x x x -∴==-，设121x t x =>，则12ln a t t t=-，令()()12ln 1g t t a t t t =-->，则()2221t at g t t -+'=且()10g =，由题意可知，函数()y g t =在区间()1,+∞上有且只有一个零点，设函数()y g t =的两个极值点分别为1t 、2t ，则121t t =，∴函数()y g t '=在()1,+∞上有且只有一个实根，()1220g a '=-<，解得1a >.综上，实数a 的取值范围为()1,+∞.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。