随机微分方程在经济中的应用

［摘 要］文章把随机微分方程应用到社会经济领域中，分别给出了人口出生与死 亡、产 品 推 销 的 数
学模型。并通过对随机微分方程的 求 解 和 推 演，结 合 具 体 的 社 会 经 济 实 际 意 义 进 行 了 分 析、比 较 和 推
断。
［ 关 键 词 ］随 机 变 量 ；微 分 方 程 ；概 率 ；概 率 密 度 函 数
随机微分方程在经济中的应用
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
姜秀英， 李明哲， JIANG Xiu-ying， LI Ming-zhe 哈尔滨学院,数学与计算机学院,黑龙江,哈尔滨,150080
哈尔滨学院学报 JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY 2005,26(10)
［3］常大勇 . 经济 管 理 数 学 模 型［M］. 北 京：北 京 经 济 学 院出版社，l996 .
责 任 编 辑 ：李 新 红
Random Differential Eguation’s Application in Economy
JIANG Xiu-ying，LI Ming-zhe
（Harbin University，Harbin l50080，China）
人口总数 （X t）。
类 似 地 ，可 得 方 差 随 时 间 的 变 化 式 为
D（t）=
n0
!+ !-
"e（!"
"）〔t
e（!-
"）t
-
l〕
（7）
D（t）的 大 小 表 示 了 人 口 X（ t）在 期 望 值 E
（t）附近的 波 动 范 围，（7）式 说 明 这 个 范 围 不 仅
随 着 时 间 的 延 续 和 净 增 长 率 的 增 加 而 变 大，而
人 ，副 教 授 ，主 要 从 事 应 用 数 学 研 究 。
ll4
哈尔滨学院学报
2005 年
=
!〔!（n
n= l
-
l）Pn
-（l t）+ "（n
+
l）Pn
+（l t）-
（!+"）nP（n t）〕n
=!! n（n n= l
-
l）Pn
-（l t）+
"n!= ln（n
+ l）Pn +（l t）-（!+ "）n!= ln2 P（n t）=（!- "）n!= lnpn
件产 品 赚 钱 与 赔 钱 之 比 越 大 时，推 销 员 进 购 数
就应该越多。
［参 考 文 献］
［l］姜启源 . 等 . 数 学 模 型［ M］. 北 京：高 等 教 育 出 版 社， 2003（3）.
［2］周义仓，等 . 数学建模实验［M］. 西安：西安 交 通 大 学 出版社，l999 .
（3）
若初始 时 刻（t = 0）的 人 口 为 确 定 数 量 H0，
则 P（H t）的初始条件为
{1
P（H 0）= 0
H = H0 H! H0
（4）
（3）式对于不同的 H 是一组逆推方程，在条
件（4）下 的 求 解 过 程 非 常 复 杂 ，这 里 只 讨 论 数 学
期 望 和 方 差 这 两 个 指 标 ，由 定 义
（1）
由此可得关于 P（H t）的随机微分方程为
dPH dt
= "（ H
-
1）PH - （1 t）+
dH + 1 PH + （1 t）-（ bH
+ dH）P（H t） 特别地，在假设 2 下方程为
（2）
dPH dt
="（H
-
1）PH -（1 t）+ #H
+
1PH +（1 t）-（"
+#）HP（H t）
参考文献(3条) 1.常大勇 经济管理数学模型 1996 2.周义仓 数学建模实验 1999 3.姜启源 数学模型 2003
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hebxyxb200510028.aspx
（#）d#- #（0n b - c）（f #）d#
（2）
令 dGn dn
=
0，得
#0n（f #）d# = #n （f #）d#
a b
-
b c
（3）
由于 （f #）满足#n （f #）d#= l，所以（3）式 变 为
#0n（f #）d#=
a a
-
b c
（4）
由（3）式 和（4）式 可 以 确 定 最 优 的 购 进 量， 在（3）式中，#0n（f #）d# 是 需 求 量 # 超 过 n 的 概 率，#n （f #）d#是需求 量 #不 超 过 n 的 概 率，从 而推销员购进产品的数量 n 应该使卖不完与卖 完的概率之比，恰 好 等 于 卖 出 一 件 赚 的 钱（a b）与退回一 份 赔 的 钱 b - c 之 比。 当 推 销 员 每
piaining and counting the random differentiai eguations，anaiyse，compare and deduce corubining the
concrete reaiity meaning of sociai economy .
Key words：differentiai eguation；random variabie；probabiiity；probabiiity denisity function
（ t）=（!- "）E（ t）
故 E（t）= E（0）e（!-"）t
பைடு நூலகம்
（5）
由初始条件 E（0）= n0，得
E（t）= n0 e（!-"）t
（6）
这里出生概率!与死亡概率 "之并!-"
称为净 增长概率，则人 口的期望值 E（t）呈 指 数
增长。当人口数 量 很 多 时，E（ t）就 可 以 看 成 是
G（n）= #〔0n（a - b）#-（b - c）（n -#）〕（f #） d#+ #0（a - b）n（f #）d#
这里 （f #）是 需 求 量 的 概 率 密 度 函 数，对 G （ X）求 导
dGn dn
=（a
-
b）n（f #）-
#（0n b
-
c）（f #）d#-（a
- b）n（f n）+ #n（ a - b）（f #）d# = #n（ a - b）f
Abstract：This paper appiys random differentiai eguation into the fieid of sociai economy；
buiids three modeis in order about popuiation’s borning and dying and promoting saies through eX-
第 26 卷 第 10 期 2005 年 10 月
哈尔滨学院学报 JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY
［ 文 章 编 号 ］1004— 5856（2005）10— 0113—02
Vol . 26 No . 10 Oct . 2005
随机微分方程在经济中的应用
姜秀英，李明哲
（哈尔滨学院 数学与计算机学院，黑龙江 哈尔滨 150080）
［中图分类号］O211 . 63
［ 文 献 标 识 码 ］A
在 社 会 经 济 领 域 中，很 多 现 象 都 具 有 随 机 性 ，如 ：人 口 的 出 生 与 死 亡 ，产 品 的 销 售 ，市 场 价 格 等 ，在 数 学 上 称 之 为 随 机 事 件 ，这 些 随 机 事 件 虽 然 无 法 确 定 ，但 我 们 可 根 据 大 量 的 试 验 数 据 ， 确 定 某 个 随 机 变 量 ，并 附 加 初 始 条 件 ，建 立 随 机 微分 方 程 的 数 学 模 型，从 而 推 断 出 总 体 的 发 展 变 化 规 律 ，为 优 化 经 济 管 理 提 供 可 靠 的 依 据 。
2 . 设 bH 与 dH 均 与 H 成 正 式，记 为 bH ="H， dH =#H，"、# 分 别 是 单 位 时 间 内 一 个 人 出 生 和 死亡的概率。
根据全概率公式有
P（H t
+ !t）=
PH -（1 t）bH P（H t）（1 -
- 1!t bH!t
+ -
PH +（1 t）dH + 1!t + dH!t）+ O（!t）
E（t）= " HP（H t） H= 0
D（t）= " H2 P（H t）- E（2 t） H= 0
对 E（t）求导，再用方程（3）代入得
dE（dtt）=
"H
H= 0
dP（H t） dt
［收稿日期］2005 - 01 - 25 ［作者简介］姜秀英（1957 - ），女，哈尔滨人，副教 授，主 要 从 事 经 济 应 用 数 学 研 究；李 明 哲（1971 - ），女，哈 尔 滨
G（n）= !〔（a - b）#-（b - c）（n - #）〕（f #） #= 0
+ !（a - b）n（f #） #= n + l
（l）
若产品是小 件 物 品，则 需 求 量 # 与 购 进 量
n 都相当大，从概率论大 数 定 律 的 观 点，把 #取 作 连 续 随 机 变 量 ，则（l）式 可 转 化 为
一 、人 口 出 生 与 死 亡 模 型
时 刻 t 的 人 口 用 随 机 变 量 X（t）表 示，X（t）
只取整数，记 P（H t）为 X（t）= H 的 概 率，H = 0，1， 2，…，对人口在 t 到 t + !t 的出生和死亡 作 如 下 假设：
1 . 出生与死亡一人的概率与 !t 成 正 比，分 别记为 bH!t，dH!t，出生 与 死 亡 二 人 及 以 上 的 概 率为 O（!t），是 !t 的高阶无穷小量。
且既 使 净 长 率 不 变 时，它 也 随 !和 " 的 上 升 而 增长。这表明 当 出 生 和 死 亡 频 繁 时，人 口 的 波
动范围就大一些。
二 、产 品 推 销 模 型
有些产品的销售是通过推销员在厂家购进 后，再批发 卖 给 零 售 商 的。假 设 销 售 员 每 天 购 进 n 件产品时的平均收入为 G（n），当天 的 需 求 量#"n，考虑 到 需 求 量 为 # 的 概 率 是 （f #），所 以有