绝对值不等式,高考历年真题
高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,.（1）当3m =时，解不等式()3f x ≥；（2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立2．已知函数()32f x x =-.（1）若不等式213f x t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭的解集为11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++⋅对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟． （1）求a 的值；（2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2()|24|f x x a x a =-+-.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.7．已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.8．已知函数()|2||21|f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集（2）若关于x 的不等式2|2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，求实数m 的取值范围.9．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 11．函数()1f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称.（1）求a 的值；（2）若()2f x x m ≥+的解集非空，求实数m 的取值范围. 12．已知函数()|1||1|f x x x m =-+++．（1）当5m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若二次函数2y x 2x 3=-++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．13．已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值.14．已知()2221f x x x a =+-+ （1）当3a =-时，求不等式()2f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.15．已知函数(),f x x x a a R =-∈.（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；。
绝对值不等式高考真题和典型题
绝对值不等式高考真题和典型题1．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．3.已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．4.已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.5.设函数f(x)＝lg (|2x－1|＋2|x＋1|－a)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．参考答案1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解；当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112.综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ，由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎨⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎨⎧ x <a ，2x ＋a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由－a 2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不符合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤a 4. 由a 4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.4.解 (1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x ≤4，2x －6，x >4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤112. 5.解 (1)当a ＝4时，f (x )＝lg (|2x －1|＋2|x ＋1|－4)，此时x 应满足|2x －1|＋2|x ＋1|>4.当x ≤－1时，1－2x －2x －2>4，解得x <－54；当－1<x <12时，1－2x ＋2x ＋2>4，无解；当x ≥12时，2x －1＋2x ＋2>4，解得x >34.综上所述，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－54或x >34. (2)函数f (x )的定义域为R ，即|2x －1|＋2|x ＋1|－a >0在R 上恒成立，即a <(|2x －1|＋2|x ＋1|)min .因为|2x －1|＋2|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3， 所以a <3，即实数a 的取值范围为(－∞，3)．。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是（）A．0B．1C．－1D．2【答案】B【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.故实数a的最大值为1，选B.4.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0【答案】B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.5.解不等式：|x－1|>.【答案】{x|x<0或x>2}【解析】当x<0时，原不等式成立；当x≥1时，原不等式等价于x(x－1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2；当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．6.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】（1）x≤1或x≥4（2）－3≤a≤0【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≥3，|x－3|＋|x－2|≥3，或或解得x≤1或x≥4.(2)原命题f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立，故－3≤a≤0.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8.不等式的解集为__________________.【答案】．【解析】，由，解得．【考点】绝对值不等式的解法．9.设（1）当时，，求a的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值【答案】（1）；（2）【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生的转化能力和计算能力第一问，利用绝对值不等式的解法，先解出的解，再利用是的子集，列不等式组，求解；第二问，先利用不等式的性质求出的最小值，将恒成立的表达式转化为，再解绝对值不等式，求出的取值范围试题解析：（1），即依题意，,由此得的取值范围是[0，2] 5分（2）当且仅当时取等号解不等式，得故a的最小值为 10分【考点】1 绝对值不等式的解法；2 集合的子集关系；3 不等式的性质；4 恒成立问题10.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．11.在实数范围内，不等式的解集为．【答案】【解析】不等式，由绝对值的几何意义知（如下图），当时，不等式成立.【考点】含绝对值不等式.12.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解绝对值不等式的关键是去掉绝对号，如果有多个绝对号，可考虑零点分段的办法，该题只需分和分类讨论；（2）构造函数，只需函数.试题解析：（1）不等式等价于：，或，所以解集为；（2）记，则，∴实数的取值范围是.【考点】1、；绝对值不等式的解法；2、分段函数的最值.13.若关于x的不等式有解，则实数的取值范围是： .【答案】【解析】∵关于的不等式有解，表示数轴上的到和的距离之差，其最小值等于，最大值是，由题意，∴．【考点】绝对值不等式的解法．14.关于的不等式.（Ⅰ）当时，解此不等式；（Ⅱ）设函数，当为何值时，恒成立？【答案】（1）解集为；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，先将代入，利用对数值得，利用零点分段法去绝对值解不等式；第二问，先将已知转化为，利用绝对值的几何意义得到的最大值，所以，即.试题解析：（1）当时，原不等式可变为，可得其解集为（2）设，则由对数定义及绝对值的几何意义知，因在上为增函数，则，当时，，故只需即可，即时，恒成立．【考点】1.解绝对值不等式；2.绝对值的几何意义；3.函数的最大值.15.已知函数.（1）若的解集为，求实数的值.（2）当且时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【解析】本题考查绝对值不等式的解法及利用解集求实数的值，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用绝对值不等式的解法求出的范围，让它和已知解集相同，列出等式，解出和的值；第二问，先将代入，得到解析式，再代入到所求不等式中，找到需要解的不等式，注意到当时，2个绝对值一样，所以先进行讨论，当时，按照解绝对值不等式的步骤，先列出不等式组，内部求交集，综合和的情况得到结论.试题解析：（Ⅰ）由得，所以解之得为所求． 4分（Ⅱ）当时，，所以当时，不等式①恒成立，即；当时，不等式或或，解得或或，即；综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为． 10分【考点】1.绝对值不等式的解法.16.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .【答案】15【解析】二项式展开式中含的项为其系数为．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、二项式定理．17.已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).(I)当时，解不等式f(x)>3;(II)不等式在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(I) ；(II)或.【解析】(I) 分三种情况去掉绝对值解不等式；(II)分三种情况讨论，即得的最小值为，再得，解不等式得a的取值范围.试题解析：(Ⅰ)解得；解得；解得， 3分不等式的解集为. 5分(Ⅱ)；；；的最小值为； 8分则，解得或. 10分【考点】1、绝对值不等式的解法.18.设函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若函数的解集为，求实数的取值范围.【答案】①②.【解析】（Ⅰ）把绝对值函数写出分段函数,然后分别解不等式. （Ⅱ）画出函数的图象,由图象知过定点的直线的斜率满足函数的解集为.试题解析：（Ⅰ），即解集为．．5分（Ⅱ）如图，，故依题知，即实数的取值范围为 5分【考点】1.绝对值不等式;2.数形结合数学思想.19.设．（1）解不等式；（2）若对任意实数，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）绝对值函数是分段函数,要分段考虑, （Ⅱ）对 ,恒成立等价于对,恒成立,等价于对,函数的最大值小于等于 , 利用函数在区间上是单调递增,求出最大值即可试题解析：解：， 2分（Ⅰ）画出函数的图像如图，的解为或. 4分的解集为或 5分（Ⅱ），即， 7分10分【考点】绝对值不等式,不等式恒成立.20.若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是；【答案】【解析】根据题意，由于的不等式即可知实数的取值范围是。
高考数学含绝对值不等式专题训练(一)
1、(长葛市第三实验高中2012届高三数学调研)已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++（1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。
【解析】（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。
当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞ ；当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞ 。
（5分）（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。
即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。
由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。
所以m 的取值范围是(,5)-∞。
2、（濮阳市华龙区高级中学2012届高三数学上学期摸底）3、（哈尔滨市第六中学2011届高三数学第三次模拟）若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根（1）求实数a 的取值集合A（2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。
（1）0)3(416≥-+-=∆a a 即 2721≤≤-a所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=27,21A ---------5分（2）令212)(t t a a f ++-= 即 0)(m in <a f 即可 430127)27(2<<∴<+-=t t t f所以 4334<<-<<-t t 或----10分4、已知关于x 的不等式a a x x 2|||2|≥-+-.（I ）若1=a ，求不等式的解集；（II ）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数的零点为或.所以将x分为三类即可得到不等式的解集.（2）存在实数，使得成立，即等价于函数的最大值大于.由柯西不等式放缩即可求得到的最大值，从而求得实数的取值范围，即可得结论.（1）当时，由得，所以；当时，由得，所以；当时，由得，所以． 2分综上不等式的解集． 3分（2）， 4分由柯西不等式得，， 5分当且仅当时取“=”，的取值范围是． 7分【考点】1.绝对值不等式.2.柯西不等式.3.若存在实数使成立，则实数的取值范围_______【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.4.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1)求M;(2)当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用综合法、分类讨论思想的解题能力．第一问，利用零点分段法分别去掉绝对值，解不等式；第二问，可先用分析法由所求证的结论入手，分析需要证明什么，再用综合法证明，要证2|a+b|＜|4+ab|，需证明，展开，需证明，由已知入手，找到，，从而证出.试题解析：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，. 5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即. 10分【考点】绝对值不等式、不等式的证明.5.若不等式恒成立，则实数的取值范围为 _______；【答案】【解析】因为函数，不等式恒成立，即，所以实数的取值范围为.【考点】绝对值不等式的最值问题.6.设.（1）当时，，求a的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用绝对值不等式的解法，先解出的解，再利用是的子集，列不等式组，求解；第二问，先利用不等式的性质求出的最小值，将恒成立的表达式转化为，再解绝对值不等式，求出的取值范围.试题解析：（1），即．依题意，,由此得的取值范围是[0，2] .5分（2）．当且仅当时取等号．解不等式，得．故a的最小值为． 10分【考点】1.绝对值不等式的解法；2.集合的子集关系；3.不等式的性质；4.恒成立问题.7.已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由|2x a|+a≤6得|2x a|≤6 a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）="|2x" 1|+1，令φ（n）=f（n）+f（n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m f（ n）成立，只须m大于等于φ（n）的最小值即可，从而求出实数m的取值范围．试题解析：(1)由解得则所以 5分（2）由（1）知则原不等式为+2所以 10分【考点】绝对值不等式的解法8.不等式的解集为_______________.【答案】【解析】当时，原不等式为恒成立；当时，原不等式为，解得，所以；当时，原不等式为，无解.综上可知，不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的解法9.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式的解集非空，转化为，利用绝对值的运算性质，求出函数的最小值4，所以，再解绝对值不等式，得到的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于或或 3分解得或或即不等式的解集为 5分（Ⅱ） 8分∴或. 10分【考点】1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法.10.不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.【答案】或．【解析】，故的值域为，不等式对任意实数恒成立,即，解得或．【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题．11.若关于实数的不等式的解集是空集,则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】使关于实数的不等式的解集是空集，则，由绝对值的几何意义可知，故，解得.【考点】极坐标系、绝对值不等式.12.不等式组的解集为 .【答案】【解析】，或，所以不等式组的解集为.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.分式不等式的解法；3.集合的交集运算.13.若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，要使对于一切非零实数，恒成立，则，即，选C.【考点】1.函数最值；2.绝对值不等式.14.给出下列四个命题:①命题,则.②当时,不等式的解集为非空.③当时,有.④设复数z满足（1-i）z="2" i，则z=1-i其中真命题的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】A.【解析】命题,则,故①错；当时,不等式的解集不是非空，②错；当时,，由均值不等式有，当且仅当时等号成立，③正确；复数z满足（1-i）z="2" i，设，则，所以，④错.所以真命题个数为1个，选A.【考点】1.否命题；2.绝对值不等式；3.均值不等式；4.复数的运算.15.已知函数.(Ⅰ)当a = 3时,求不等式的解集;(Ⅱ)若对恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)将a = 3代入解绝对值不等式即可；(Ⅱ)由题知恒成立令，画出图象求解.试题解析：(Ⅰ)时,即求解①当时,②当时,③当时,综上,解集为(Ⅱ)即恒成立令则函数图象为,【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数图象.16.已知实数组成的数组满足条件：①；②．（Ⅰ）当时，求，的值；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设,且，求证：．【答案】（1）或；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）列出方程组求解；（2）应用绝对值不等式进行证明；（3）应用绝对值不等式可以证明.试题解析：（Ⅰ）解：由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以 2分当时，同理得 4分（Ⅱ）证明：当时，由已知,.所以. 9分（Ⅲ）证明：因为，且.所以,即. 11分). 14分.【考点】绝对值不等式.17.若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】有图像可知: 时,的图像的图像恒在的图像的下面.【考点】不等式恒成立问题.18.设（1）当，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）．【解析】（I）绝对值不等式的解法，易知不等式的等价不等式组解出不等式解集; （II）存在性问题转化为函数最值问题，含绝对值的函数式去绝对值化为分段函数求得最值即可.试题解析：（I）时原不等式等价于即，所以解集为．（II）当时，，令，由图像知：当时，取得最小值,由题意知：，所以实数的取值范围为.【考点】1、绝对值不等式的解法; 2、函数最值问题.19.已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，试求的最小值．【答案】（Ⅰ）原不等式的解集为或；（Ⅱ）的最小值为．【解析】（Ⅰ）将原不等式表示出来，借助含绝对值不等式的解法进行求解；（Ⅱ）先将不等式配成柯西不等式的相关形式，然后利用柯西不等式求的最小值.试题解析：（Ⅰ）原不等式化为，或，即或，原不等式的解集为或． 3分（Ⅱ）由已知，得，由柯西不等式，得，， 5分当且仅当即时等号成立， 6分所以，的最小值为． 7分【考点】含绝对值不等式、柯西不等式20.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】，3≤x≤8【解析】即，即，配方得，，所以，直线与圆相交的弦长为。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数(Ⅰ)a=-3时，求不等式的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】(Ⅰ) [-1，2] ；(Ⅱ) （-，]【解析】(Ⅰ) 当a="-3" 时，即为≤6，将分成，和三种情况，通过分类讨论去掉绝对值，将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组，解这些不等式组即可得到原不等式的解集； (Ⅱ)利用绝对值不等式性质：求出的最小值，由关于x的不等式恒成立及不等式恒成立的知识知，＜，解这个不等式，即可得到实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ) 当a="-3" 时，为≤6，等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为[-1，2]；(5分)(Ⅱ) 因为=，所以＜，解得实数a的取值范围（-，]．(10分)【考点】含绝对值不等式解法，绝对值不等式性质，恒成立问题2.已知实数，且，若恒成立.（1）求实数m的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）3；（2）或.【解析】本题主要考查基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用基本不等式先求函数的最大值，再利用恒成立问题得到的最小值为；第二问，由，先将“对任意的恒成立”转化为“”，利用零点分段法求去掉绝对值，解绝对值不等式，得到x的取值范围.（1）∴，∴∴（当且仅当时取等号）又，故，即的最小值为． 5分（2）由（1）若对任意的恒成立，故只需或或解得或． 10分【考点】基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法.3.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数的零点为或.所以将x分为三类即可得到不等式的解集.（2）存在实数，使得成立，即等价于函数的最大值大于.由柯西不等式放缩即可求得到的最大值，从而求得实数的取值范围，即可得结论.（1）当时，由得，所以；当时，由得，所以；当时，由得，所以． 2分综上不等式的解集． 3分（2）， 4分由柯西不等式得，， 5分当且仅当时取“=”，的取值范围是． 7分【考点】1.绝对值不等式.2.柯西不等式.4.若存在实数使成立，则实数的取值范围_______【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.5.已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝()A．0B．-1C．-2D．-3【答案】A【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，∴t＝0，选A.6.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0【答案】B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.7.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】（1）x≤1或x≥4（2）－3≤a≤0【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≥3，|x－3|＋|x－2|≥3，或或解得x≤1或x≥4.(2)原命题f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立，故－3≤a≤0.8.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.9.设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据绝对值不等式公式可得的解集，根据其解集与集合可得的值。
高考数学十年真题专题解析—不等式选讲
不等式选讲年份题号考点考查内容2011文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2012文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2013卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲多元不等式的证明2014卷1文理24不等式选讲基本不等式的应用卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2015卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲不等式的证明2016卷1文理24不等式选讲分段函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明卷3文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2017卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲不等式的证明卷3文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题2018卷1文理23不等式选绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法讲卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法2019卷1文理23不等式选讲三元条件不等式的证明卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明2020卷1文理23不等式选讲绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件不等式的证明考点出现频率2021年预测考点120绝对值不等式的求解23次考4次2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点121含绝对值不等式的恒成立问题23次考12次考点122不等式的证明23次考7次考点120绝对值不等式的求解1．(2020全国Ⅰ文理22)已知函数()3121f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()()1f x f x >+的解集．【解析】(1)∵()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图像，如图所示：(2)将函数()f x 的图像向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图像，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-，∴不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．2．(2020江苏23)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩，21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤，∴解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．3．(2016全国I 文理)已知函数()|1||23|f x x x =+--．(I)在图中画出()y f x =的图像；(II)求不等式|()|1f x >的解集．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤；当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<；当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >．综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．4．(2014全国II 文理)设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【解析】(I)由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2．(Ⅱ)1(3)33f a a=++-．当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a ＜5212；当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12＜a ≤3．综上：a 的取值范围是(152+，5212+)．5．(2011新课标文理)设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥，由此可得3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x ax a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aax ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，∴不等式组的解集为{}|2a x x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．考点121含绝对值不等式的恒成立问题6．(2020全国Ⅱ文理22)已知函数()221f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．【思路导引】(1)分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；(2)利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果．【解析】(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．7．(2019全国II 文理23)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1)当1a =时，求不等式()0f x <的解集；(2)若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【解析】(1)当a=1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥，∴不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．(2)因为()=0f a ，∴1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----∴a 的取值范围是[1,)+∞．8．(2018全国Ⅰ文理)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x 故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，∴21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．9．(2018全国Ⅱ文理)设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，∴a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．10．(2018全国Ⅲ文理)设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．11．(2018江苏)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，∴2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，∴222x y z ++的最小值为4．12．(2017全国Ⅰ文理)已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤，∴()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤．(2)当[1,1]x ∈-时，()2g x =，∴()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，∴(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤，∴a 的取值范围为[1,1]-．13．(2017全国Ⅲ文理)已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】(1)3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤；当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．∴()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．(2)由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤，且当32x =时，2512=4x x x x +---+，故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．14．(2016全国III 文理)已知函数()|2|f x x a a =-+(Ⅰ)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+ ，得13x - ，因此()6f x ≤的解集为{|13}x x - ．(Ⅱ)当x R ∈时，()()|2||12|f xg x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+ |1|a a =-+，当12x =时等号成立，∴当x R ∈时，()()3f x g x + 等价于|1|3a a -+ ．①当1a 时，①等价于13a a -+ ，无解．当1a >时，①等价于13a a -+ ，解得2a ．∴a 的取值范围是[2,)+∞．15．(2015全国I 文理)已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．∴()1f x >的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，∴函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．∴a 的取值范围为(2,)+∞．16．(2014全国I 文理)若0,0ab >>，且11a b +=．(Ⅰ)求33a b +的最小值；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】(I)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33ab+≥≥，且当a b ==∴33a b +的最小值为(II)由(I)知，23a b +≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．16．(2013全国I 文理)已知函数()f x =|21||2|x x a -++，()g x =3x +．(Ⅰ)当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；(Ⅱ)设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．(Ⅱ)当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．(2012新课标文理)已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．(Ⅰ)当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；(Ⅱ)若()|4|f x x - 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+- 2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩ 或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 1x ⇔ 或4x ．(2)原命题()4f x x ⇔- 在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-- 在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--- 在[1,2]上恒成立30a ⇔- ．考点122不等式的证明18．(2020全国Ⅲ文理23)设,,,0,1a b c a b c abc ∈++==R ．(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)用{}max ,,a b c 表示,,a b c 的最大值，证明：{}3max ,,4a b c ≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．【思路导引】(1)根据题设条件,0=++c b a 两边平方，再利用均值不等式证明即可；(2)思路一：不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bc bc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明．思路二：假设出c b a ,,中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．【解析】(1)证明：().0,02=++∴=++c b a c b a ,0222222=+++++∴ca ac ab c b a 即()222222c b a ca bc ab ++-=++.0,0222<++∴<++∴ca bc ab ca bc ab (2)证法一：不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=，当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．证法二：不妨设403<<<≤c b a ，则,4,41133>=-->=c b a c ab而1132a b ->--≥>==矛盾，∴命题得证．19．(2019全国I 文理23)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc=1．证明：(1)222111a b c a b c++≤++；(2)333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++，∴222111a b c a b c++≤++．(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24．∴333()()()24a b b c c a +++++≥．20．(2019全国III 文理23)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x=53，y=–13，13z =-时等号成立．∴222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立，因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a + ，解得3a - 或1a - ．21．(2017全国Ⅱ文理)已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【解析】(1)556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++()22244ab a b =+-≥．(2)∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+，∴3()8a b +≤，因此2a b +≤．22．(2017江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+=∴2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．23．(2016全国II 文理)已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．(I)求M ；(II)证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】(I)当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．(Ⅱ)当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．24．(2015全国II 文理)设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab >cd ，则a b c d +>+；(Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件．【解析】(Ⅰ)∵2()2a b a b ab +=++，2()c d c d cd +=++由题设a b c d +=+，ab cd >得22()a b c d >+a b c d +>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，∴ab cd >，由(Ⅰ)得a b c d >(ⅱ)a b c d +>则22(a b c d >+，即a b ab c d cd ++>++因为a b c d +=+，∴ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-．a b c d +>||||a b c d -<-的充要条件．25．(2013全国II 文理)设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：(Ⅰ)13ab bc ca ++≤；(Ⅱ)2221a b c b c a++≥．【解析】(Ⅰ)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=，∴()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤．(Ⅱ)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥，∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222a b c a b c b c a ++≥++，∴2221a b c b c a ++≥．。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】记，则不等式有实数解等价于，因为，故【考点】绝对值三角不等式.2.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．3.若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是()A．[3，+∞)B．(－∞，3]C．(-1,2)D．(-2,3]【答案】B【解析】当x≤－1时，|x＋1|＋|x－2|＝－x－1－x＋2＝－2x＋1≥3；当－1<x≤2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1－x＋2＝3；当x>2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1＋x－2＝2x－1>3；综上可得|x＋1|＋|x－2|≥3，所以只要a≤3.即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选B.4.解不等式：|2x－1|－|x－2|<0.【答案】{x|－1＜x＜1}．【解析】原不等式等价于不等式组①无解；②解得<x<1；③解得－1＜x≤.综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．5.解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1.【答案】{x|x<－或x>2}【解析】①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．6.若不等式|3x－b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b的取值范围．【答案】5＜b＜7【解析】由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，即＜x＜.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以解得所以5＜b＜7.7.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】（1）x≤1或x≥4（2）－3≤a≤0【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≥3，|x－3|＋|x－2|≥3，或或解得x≤1或x≥4.(2)原命题f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立，故－3≤a≤0.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A.；B．；C．【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C.由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法10.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)>2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．【答案】（1）（2）－【解析】(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝当x<－时，由f(x)＝－x－5>2得x<－7，∴x<－7；当－≤x<4时，由f(x)＝3x－3>2得x>，∴<x<4；当x≥4时，由f(x)＝x＋5>2，得x>－3，∴x≥4.故原不等式的解集为.(2)画出f(x)的图象如图：∴f(x)＝－.min11.已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）a≥4【解析】(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2. ∴x≥或x≤.∴不等式的解集为.注：也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0.又a>0，∴a≥4.12.关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】由于表示数轴上的对应点到的距离减去它到对应点的距离，它的最小值为，要使不等式的解集为非空集合，则实数，解得，，故答案为．【考点】绝对值不等式的解法．13.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1.，若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.【考点】含绝对值不等式的性质2.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0【答案】B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.3.解不等式|2x－4|＜4－|x|.【答案】【解析】原不等式等价于①或②或③不等式组①无解．由②0<x≤2，③2<x<，得不等式的解集为.4.已知f(x)=.(1)当a=1时，求f(x)≥x的解集；（2）若不存在实数x，使f(x)<3成立，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)根据绝对值的几何意义分类去掉绝对值符号，化为几个整式不等式，然后求解，最后求它们的并集即可.(2)由题意可知恒成立，由绝对值不等式的性质可得，即，解出a即可.试题解析：(1)当a=1时，，解得；当时，解得，无解，解得； 3分综上可得到解集. 5分(2)依题意，，则， 8分（舍），所以 10分【考点】解绝对值不等式的解法.5.设，若关于的不等式有解，则参数的取值范围为________．【答案】[0,3]【解析】由知，不等式有解等价于，解得.【考点】绝对值不等式的解法、转化思想.6.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】为使存在实数使成立，只需的最小值满足不大于.在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为a的点A距离，就表示点到横坐标为1的点B的距离，所以，从而，解得．故答案为．【考点】绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法.7.不等式的解集是________．【答案】【解析】，当即时，则或，所以，故此时不成立；当即时，显然恒成立，故答案为.【考点】绝对值不等式的解法.8.定义：关于的不等式的解集叫的邻域．已知的邻域为区间，其中、分别为椭圆的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题中的定义知，的邻域为区间，则关于不等式的解集为，解关于不等式得，解得，所以，又由于椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则，即，所以，解得，，故此椭圆的方程为，故选B.【考点】1.新定义；2.含绝对值的不等式的解法；3.椭圆的方程9.已知函数，若不等式的解集为,则的值为__________．【答案】．【解析】当且时，．【考点】不等式选讲．10.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .【答案】15【解析】二项式展开式中含的项为其系数为．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、二项式定理．11.解不等式.【答案】【解析】先构造函数，去绝对值，将函数的解析式利用分段函数的形式求出，将问题转化为分段不等式进行求解.令，当时，，，则，此时恒成立； 3分当时，，，则，令，即，解得，由于，则有； 6分当时，，，则，此时不成立， 9分综上所述，不等式的解集为. 10分【考点】含绝对值不等式的解法、分段函数12.设函数（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若函数有最小值，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）分类去掉绝对值符号，化为整式不等式再解，最后取并集即可.（Ⅱ）把函数f（x）化为分段函数，然后再找出f(x)有最小值的充要条件解之即可.试题解析：（Ⅰ）a=1时，f(x)=+x+3当x≥时，f(x)≤5可化为3x-1+x+3≤5,解得≤x；当x<时，f(x)≤5可化为-3x+1+x+3≤5,解得-,综上可得，原不等式的解集为（Ⅱ）f(x)= +x+3=函数有最小值的充要条件是，解得【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数及其求函数值.13.已知函数，（Ⅰ）已知常数，解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.【答案】（1）不等式的解集为（2）【解析】解：（Ⅰ）由得，或或故不等式的解集为 3分（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方∴恒成立，即恒成立 5分∵，∴的取值范围为. 7分【考点】绝对值不等式点评：主要是考查了绝对值不等式的定义，以及不等式的恒成立问题转化为最值来处理的运用，属于中档题。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.（不等式选讲题）对于任意实数和不等式恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意可得恒成立，等价于小于或等于的最小值.因为.所以.【考点】1绝对值不等式的性质.2.恒成立问题.3.最值问题.2.关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,求a的取值范围.【答案】(1,+∞)【解析】∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,∴a>1.即a的取值范围是(1,+∞).3.设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.(1)求关于x的不等式f(x)≤5的解集.(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.【答案】(1) x∈[-,] (2) m>-2【解析】(1)或或不等式的解集为x∈[-,].(2)若g(x)=的定义域为R.则f(x)+m≠0恒成立,即f(x)+m=0在R上无解,又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,f(x)的最小值为2,所以m>-2.4.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[－2,4]【解析】|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.5.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【解析】因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋＝8，∴当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|<a无解，3|)min故实数a的取值范围为(－∞，8]．6.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．【答案】（1）{x|0＜x＜2}（2）【解析】(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈都成立，应有－≥a－2，则a≤，从而实数a的取值范围是.7.若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】不等式的解集为，所以.，所以，.【考点】不等式8.设函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）原不等式的解集等价于不等式组或的解集的并集；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，恒成立问题，对分类讨论，①，②.试题解析：（Ⅰ）当时，，或或，∴不等式的解集是. 5分[（Ⅱ）不等式可化为，∴，由题意，时恒成立，当时，可化为，，，，综上，实数的取值范围是. 10分【考点】绝对值不等式，恒成立问题.9.（本题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数(1)证明:(2)求不等式:的解集【答案】（1）；（2）【解析】（1）对于x进行分三类讨论，得到关于x的分段函数，进而分别求解得到解集取其并集得到。
绝对值不等式高考题
2006浙江文10 2006浙江理12
2015高考理18
已知函数 f x x 2 ax ba, b R ，记Ma,b是
当a一般地设函数yห้องสมุดไป่ตู้x的定义域为i如果存在实数m满足
2015高考理18
已知函数 f x x 2 ax ba, b R ，记Ma,b是
f x 在区间[-1,1]上的最大值.
（Ⅰ）证明：当|a| 2时，M（a，b） 2；
2014高考理8
2014高考理8
2015高考理18（1）
（Ⅱ）当 a, b满足 Ma,b 2时，求|a|+|b|
的最大值.
已知函数 f x x 2 ax ba, b R ，记Ma,b是
f x 在区间[-1,1]上的最大值.
（Ⅰ）证明：当|a| 2时，M（a，b） 2；
（Ⅱ）当 a, b满足 Ma,b 2时，求|a|+|b|
的最大值.
1996全国高考理25
已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.
(Ⅰ)证明:│c│≤l; (Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2; (Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为
2,求f(x)
f x 在区间[-1,1]上的最大值.
（Ⅰ）证明：当|a| 2时，M（a，b） 2；
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知，不等式的解集是（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由含绝对值不等式解法转化为关于的一元一次不等式组求解，因为一次项系数含参数，故需要分类讨论解出解决与已知原不等式解集比较，列出关于的方程，从而求出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的值，将的解析式具体化，利用含绝对值不等式性质，求出的最小值，存在实数解，故，解此不等式得出不等式的解集就是实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由得：即当时，原不等式的解集是，无解；当时，原不等式的解集是，得（5分）（Ⅱ）由题：因为存在实数解，只需大于的最小值由绝对值的几何意义，，所以解得：（10分）【考点】含绝对值不等式解法，含绝对值不等式性质，分类整合思想，含参数不等式有解问题2.对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立，试求2+的最大值。
【答案】【解析】本题主要考查恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力．先将“对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立”转化为“”，利用绝对值的运算性质求出最小值，得到，再利用柯西不等式求出，注意公式应用时等号成立的条件．试题解析：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , 2分故2+2≤1． 3分(2+)2≤(22+12)( 2+2) ≤5． 5分由 ,即取=，时等号成立．故(2+)=． 7分max【考点】恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式．3.不等式的解集为 .【答案】.【解析】令，则，（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为.【考点】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.4.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.5.解不等式：|x＋1|>3.【答案】(－∞，－4)∪(2，＋∞)．【解析】由|x＋1|＞3得x＋1＜－3或x＋1＞3，解得x＜－4或x＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．6.求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．【答案】2【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1)求M;(2)当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用综合法、分类讨论思想的解题能力．第一问，利用零点分段法分别去掉绝对值，解不等式；第二问，可先用分析法由所求证的结论入手，分析需要证明什么，再用综合法证明，要证2|a+b|＜|4+ab|，需证明，展开，需证明，由已知入手，找到，，从而证出.试题解析：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，. 5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即. 10分【考点】绝对值不等式、不等式的证明.10.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段法即把x分为三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集，而绝对值的定义,即表示在数轴上点x到-1和a的距离之和,利用数轴即可得到相应的解集(2)首先由区间的a,再根据x的范围去掉绝对值，剩下即为恒成立问题,再利用分离参数法分离x与a,求出x一边的最值即可.解得a的范围.试题解析：（1）由题得a=2，法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上x与-1之间的距离,|x-2|是x与2之间的距离.故利用数轴法可以求的,综上的解集为.法二.零点分段法，分为一下三种情况当x>2时,当-1x2时,当x<-1时,综上的解集为.（2）由题得,所以且,即在区间上恒成立,所以,综上a的取值范围为.【考点】绝对值不等式恒成立问题11.设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据绝对值不等式公式可得的解集，根据其解集与集合可得的值。
绝对值不等式,高考历年真题
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2009年考题故选择D 。
1 a2 3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为(,1]U[2,1、（2009全国I ）不等式V 1的解集为（(A) {x 0 x 1 U{x x 1 (B) x 0 x (C ) x 1 x 0(D) x xw.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】选D. 1 |x1| |x1| (x 1)2 (x 1)2 0 4x 0 x 0,(,1]U[4,B . (,2]U[5,【考点35】 绝对值不等式2、（2009重庆高考）不等式[1,2]【解析】选A.因为4 3a 对任意x 恒成立，所以a 2 3a 4即 a 2 3a0, 解得a1.3、（2009广东咼考）不等式1的实数解为【解析】(x 1)2 (x x 22)22.4、（2009山东高考）不等式2x 2 0的解集为【解析】原不等式等价于不等式组或② 22x 1 (x 2)0 2x 1 (x 2) 0答案：{x| 1 x 1}答案： 3,16、(2009福建高考)解不等式I 2x-1 I < I x I +1【解析】当x<0时，原不等式可化为 2x 1 x 1,解得x 0又Q x 0, x 不存在；1当0 x 丄时，原不等式可化为2x 1 x 1,解得x 02p1 1又 Q 0 x ,0 x ;2 211 1当x，原不等式可化为2x 1 x 1,解得x 2又Q xx 222 2综上，原不等式的解集为 x|0 x 2.表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和.(1) 将y 表示成x 的函数； (2)要使y 的值不超过70, x或③1x -2(2x 1) (x 2)1不等式组①无解,由②得丄x 1,由③得11 x，综上得1 x 1,所以原不等式的解集为｛x|1 x 1} . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5、( 2009北京高考)若函数 f (x)(y,x 0则不等式I f(x)| -的解集为3【解析】主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法 .属于基础知识、基本运算的考查1(1)由 I f(x)i 33x0.1(2)由 |f(X )| 13x 01 x1 0x1.33•••不等式| f(x)| 1的解集为3x| 3 x 1，•应填3,17、(2009海南宁夏高考)如图,O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点，设x应该在什么范围内取值？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】(I) y 4|x 101 6|x 201,0 x 30.(n )依题意，x 满足4|x 10| 6|x 20| 70, 0 x 30.解不等式组，其解集为[9, 23]，所以x [9, 23].8、( 2009辽宁高考)设函数 f(x) | x 1| | x a |。
高考理科数学真题练习题绝对值不等式理含解析
高考数学复习 课时作业73 绝对值不等式1．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值．解：(1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5，∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2； 当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，∴－2<x <0； 当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2. 综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |，∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.2．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2019·开封高三定位考试)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x x <－1，2－1≤x <1，2x x ≥1，G (x )＝2－x ，由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <m 2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m 2<g (x )<－m ；当x ≥m 2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－m 2.则g (x )的值域为[－m 2，＋∞)，不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，即1>－m 2，解得m >－2，由于m <0，则m 的取值范围是(－2,0)．4．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.5．(2019·河南新乡二模)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3.(1)求不等式f (x )≤2的解集；(2)若直线y ＝kx －2与函数f (x )的图象有公共点，求k 的取值范围．解：(1)由f (x )≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，2－2x ≤2或 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <4，0≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥4，2x －8≤2，解得0≤x ≤5，故不等式f (x )≤2的解集为[0,5]．(2)f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2x ，x ≤1，0，1<x <4，2x －8，x ≥4，作出函数f (x )的图象，如图所示，易知直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)，当此直线经过点B (4,0)时，k ＝12；当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2.故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.6．(2019·成都诊断性检测)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值；(2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4.当x >2时，原不等式可化为2x <5，∴2<x <52；当x <－1时，原不等式可化为－2x <3，∴－32<x <－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4，∴－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为{x |－32<x <52}，即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0.当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2<x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3. 当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x，∴k <3. 综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。
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【考点35】绝对值不等式2009年考题1、（2009全国Ⅰ）不等式11X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 【解析】选 D.0040)1()1(|1||1|11122<⇔<⇔<--+⇔-<+⇔<-+x x x x x x x x ， 故选择D 。
2、（2009重庆高考）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞ C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【解析】选A.因为24314313x x x x a a -≤+--≤+--≤-对对任意x 恒成立，所以223434041a a a a a a -≥--≥≥≤-即，解得或.3、（2009广东高考）不等式112x x +≥+的实数解为 ． 【解析】112x x +≥+2302)2()1(022122-≤⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔x x x x x x x 且2-≠x . 答案：32x ≤-且2-≠x .4、（2009山东高考）不等式0212<---x x 的解集为 .【解析】原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥⎧⎨---<⎩或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩或③12(21)(2)0x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-<⎩不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<.答案：{|11}x x -<<5、（2009北京高考）若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________.【解析】主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩.（2）由001|()|01111133333x xx x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 答案：[]3,1-6、（2009福建高考）解不等式∣2x -1∣<∣x∣+1【解析】当x<0时,原不等式可化为211,0x x x -+<-+>解得 又0,x x <∴不存在;当102x ≤<时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又110,0;22x x ≤<∴<<当111,211,22222x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又综上,原不等式的解集为|0 2.x x <<7、（2009海南宁夏高考）如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和.（1）将y 表示成x 的函数；（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值【解析】（Ⅰ）4|10|6|20|,030.y x x x =-+-≤≤ （Ⅱ）依题意，x 满足4|10|6|20|70,030.x x x -+-≤⎧⎨≤≤⎩解不等式组，其解集为[9，23]，所以[9,23].x ∈ 8、（2009辽宁高考）设函数()|1|||f x x x a =-+-。
（1） 若1,a =-解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈,()2f x ≥,求a 的取值范围。
【解析】（1）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++，由()3f x ≥得：|1||1|3x x -++≥， （法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为33{|}22x x x ≤-≥或。
（法二）不等式可化为123x x ≤-⎧⎨-≥⎩或1123x -<≤⎧⎨≥⎩或123x x >⎧⎨≥⎩，∴不等式的解集为33{|}22x x x ≤-≥或。
-------------5分 （2）若1a =，()2|1|f x x =-，不满足题设条件；若1a <，21,()()1,(1)2(1),(1)x a x a f x a a x x a x -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩，()f x 的最小值为1a -；若1a >，21,(1)()1,(1)2(1),()x a x f x a x a x a x a -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩，()f x 的最小值为1a -。
所以对于x R ∀∈，()2f x ≥的充要条件是|1|2a -≥，从而a 的取值范围(,1][3,)-∞-+∞。
…………………………………………………………………………………………………………10分2008年考题1、（2008湖南高考）“|1|2x -<”是“3x <”的( )A ．充分不必要条件B .必要不充分条件C ．充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】选A.由|1|2x -<得13x -<<，所以易知选A .2、（2008湖南高考）“|1|2x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B .必要不充分条件C ．充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】选B.由|1|2x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B . 3、（2008四川高考）不等式2||2x x -<的解集为( )（A ）(1,2)- （B ）(1,1)- （C ）(2,1)- （D ）(2,2)- 【解析】选A.∵2||2x x -< ∴222x x -<-< 即222020x x x x ⎧-+>⎨--<⎩， 12x R x ∈⎧⎨-<<⎩，∴(1,2)x ∈- 故选A .4、（2008天津高考）设集合{||2|3},{|8},S x x T x a x a S T R =->=<<+=，则a 的取值范围是(A) 31a -<<- (B) 31a --(C) 3a-或1a - (D) 3a <-或1a >-【解析】选A.{|15}S x x x =<->或，所以{13185a a a <-⇒-<<-+>，选A ． 5、（2008山东高考）若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为 . 【解析】本题考查绝对值不等式401443,433343b b b x b -⎧≤<⎪-+⎪<<⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b << 答案：（5，7）6、（2008广东高考）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ．【解析】方程即214a a x x -+=--,左边14a a -+ 在数轴上表示点a 到原点和14的距离的和，易见1144a a -+≥（1[0,]4a ∈等号成立），而右边2x x --的最大值是14，所以方程有解当且仅当两边都等于14，可得实数a 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、（2008上海高考）不等式|1|1x -<的解集是 ．【解析】由11102x x -<-<⇒<<. 答案：(0,2)2007年考题1、(2007安徽高考)若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1【解析】选B ．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得11a -≤≤，即实数a 的取值范围是a ≤1，选B 。
2、（2007安徽高考）若}{2228xA x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【解析】选C ． }{2228xA x -=∈Z ≤<={0,1}，{2R |log |1}B x x =∈>=1{|20}2x x x ><<或， ∴ )(C R B A ⋂={0,1}，其中的元素个数为2，选C 。
3、（2007福建高考）“|x |<2”是“x 2-x -6<0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A ．由|x|<2得-2<x<2,由 x 2-x -6<0得-2<x<3，选A.4、（湖北高考）设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x <<Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤【解析】选B ．先解两个不等式得{}02P x x =<<，}{13Q x x =<<。
由P Q -定义，故选Ｂ. 5、（2007辽宁高考）设p q ，是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A ．p ：344||313||0-<<-⇒<<⇒<-<x x x 或43<<x ，q ：),21()31,(+∞-∞ ，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，选A.6、（2007辽宁高考）设p q ，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A ．p ：),3()3,(+∞--∞ ，q ：),21()31,(+∞-∞ ，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，选A.7、（2007福建高考）已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x1|)<f(1)的实数x 的取值范围是 A （－1，1） B （0，1） C （－1，0）（0，1） D （－，－1）（1，＋）【解析】选C ．由已知得1||1>x 解得01<<-x 或0<x<1，选C. 8、（2007山东高考）当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 【解析】构造函数：2()4,f x x mx =++12x ∈（，）。