二阶电路响应及其状态轨迹
(完成)二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。
2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（ 此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。
3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。
这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关S 闭合已久。
t=0时将S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。
2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的C U 的波形。
波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。
3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
二阶电路响应的三种(欠阻尼过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。
2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（ 此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。
3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。
这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关S 闭合已久。
t=0时将S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。
2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的C U 的波形。
波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。
3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
二阶电路响应的三种状态轨迹和特点
二阶电路响应的三种状态轨迹和特点二阶电路是指由两个电感和两个电容元件构成的电路，它是电路中的一种常见类型。
在二阶电路中，电感和电容的存在导致电路的自然频率，从而影响电路的响应特性。
在电流或电压变化的情况下，二阶电路的响应可以分为三种状态：欠阻尼、过阻尼和临界阻尼。
下面将详细介绍这三种状态的轨迹和特点。
1.欠阻尼状态：
欠阻尼状态的特点包括：
-振荡幅度逐渐减小，最终稳定在一些特定值。
-振荡周期较长。
-被激励信号的频率在自然频率的附近。
2.过阻尼状态：
过阻尼状态的特点包括：
-响应快速收敛到稳定状态，没有振荡。
-没有振荡的存在使得响应更加平滑。
-被激励信号的频率通常远离自然频率。
3.临界阻尼状态：
临界阻尼状态的特点包括：
-响应最快地收敛到稳态，没有振荡。
-没有过冲和回弹的存在。
-被激励信号的频率通常接近自然频率。
综上所述，二阶电路的响应可以分为欠阻尼、过阻尼和临界阻尼三种状态。
每种状态具有不同的响应轨迹和特点，这取决于电路的自然频率和被激励信号的频率。
深入了解这些状态对于分析和设计电路至关重要。
(完成)二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点
真验二之阳早格格创做二阶电路赞同的三种（短阻僧、过阻僧及临界阻僧）状态轨迹及其特性一、真验手段1、流利掌握二阶电路微分圆程的列写及供解历程；2、掌握RLC二阶电路整输进赞同及电路的过阻僧、临界阻僧战短阻僧状态；3、教会利用MULTISIM仿真硬件流利分解电路，更加是电路中各电压电流的变更波形.二、真验本理用二阶线性常微分圆程形貌的电路称为二阶电路，二阶电路中起码含有二个储能元件.二阶电路微分圆程式一个含有二次微分的圆程，由二阶微分圆程形貌的电路称为二阶电路.分解二阶电路的要领仍旧是修坐二阶微分圆程，并利用初初条件供解得到电路的赞同.二阶圆程普遍皆为齐次圆程.齐次圆程的通解普遍分为三种情况：（RLC串联时）1、为二个没有等的真根（称过阻僧状态）此时，，二阶电路为过阻僧状态.2、为相等真根（称临界状态）此时，，二阶电路为临界状态.3、为同轭复根（称短阻僧状态）此时，二阶电路为短阻僧状态.那三个状态正在二阶电路中式一个要害的数据，它决断了电路中电流电压关系以及电流电压波形.三、真验真质电路中启关S关合已暂.t=0时将S挨启，并丈量.1、短阻僧状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH）如图所示，为短阻僧状态时的二阶电路图.波形图展示了短阻僧状态下的战波形(橙色线条为电容电压衰减波形，白色线条为电感电压衰减波形).2、临界阻僧（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH）如图所示，为临界状态的二阶电路图.图展示了临界状态下的的波形.波形图展示了临界状态下的战波形.3、过阻僧状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH）如图所示，为过阻僧状态下的二阶电路图.波形图展示了临界状态下的战波形图.四、真验分解由本理公式以及仿真截止，咱们不妨考证得出1）当二阶电路为短阻僧状态时，其特性圆程特性根为一对于复根，且为同轭复根.2）当二阶电路为过阻僧状态时，其特性圆程特性根为二个没有等的真根.3）当二阶电路为临界阻僧状态时，其特性圆程特性根为相等真根五、真验报告1、归纳、分解真验要领取截止正在真验历程中，真验需要举止多次电路的变换.真验时需要留神审慎，以预防堕落.正在真验截止中，大部分取表面相切合，但是仍存留些微缺面（简略定量分解）.2、心得体验及其余通过本次真验的教习，尔认识了二阶电路微分圆程的列写及供解历程，认识了RLC二阶电路整输进赞同及电路的过阻僧、临界阻僧战短阻僧状态，更流利天力用仿真仪器分解电路，那将对于以来的仿真正在验有要害的前提效率.。
电路实验八 二阶电路的响应与状态轨迹
1实验八 二阶电路的响应与状态轨迹一、实验目的1.学习用实验方法研究二阶动态电路的响应，了解电路元件参数对响应的影响。
2.观察、分析二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点，以加深对二阶电路响应的认识与理解。
二、实验原理一个二阶电路在方波正、负阶跃信号的激磁下，可获得零状态与零输入响应，其响应的变化轨迹决定于电路的固有频率，当调节电路的元件参数值，使电路的固有频率分别为负实数、共轭复数及虚数时，可获得单调地衰减、衰减振荡和等幅振荡的响应。
在实验中可获得过阻尼，欠阻尼和临界阻尼这三种响应图形。
简单而典型的二阶电路是一个RLC 串联电路和GCL 并联电路，这二者之间存在着对偶关系。
本实验仅对GCL 并联电路进行研究。
三、实验仪器及设备四、实验内容与步骤利用动态线路板中的元件与开关的配合作用，组成如图8-1所示的GCL 并联电路。
令R 1＝10KΩ，L ＝10mH ，C ＝1000PF ，R 2为10KΩ可调电阻器，令函数信号发生器的输出为Um ＝3V ，f ＝1KHz 的方波脉冲信号，通过同轴电缆线接至上图的激励端，同时用同轴电缆线将激励端和响应输出端接至双踪示波器的Y A 和YB 两个输入口。
图 8-1 GCL 并联电路1.调节可变电阻器R 2之值，观察二阶电路的零输入响应和零状态响应由过阻尼过渡到临界阻尼，最后过渡到欠阻尼的变化过渡过程，分别定性地描绘、记录响应的典型变化波形。
2.调节R 2使示波器荧光屏上呈现稳定的欠阻尼响应波形，定量测定此时电路的衰减常数α和振荡频率ωd 。
3.改变一组电路参数，如增、减L 或C 之值，重复步骤2的测量，并作记录。
随后仔细观察，改变电路参数时，ω与α的变化趋势，并作记录。
五、实验注意事项1.调节R2时，要细心、缓慢，临界阻尼要找准。
2.观察双踪时，显示要稳定，如不同步，则可采用外同步法（看示波器说明）触发。
六、预习思考题1.根据二阶电路实验线路元件的参数，计算出处于临界阻尼状态的R2之值。
二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点
二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点二阶电路是指由电感、电容和电阻组成的电路，是一种常见的电路形式。
在二阶电路中，电流和电压的变化随时间的推移会形成一种特定的响应，即响应的三种状态轨迹。
这三种状态轨迹分别是欠阻尼状态、临界阻尼状态和过阻尼状态。
下面将分别介绍这三种状态轨迹的特点。
1.欠阻尼状态：在欠阻尼状态下，电路中的阻尼比ζ<1，电路会出现周期性振荡的现象。
响应的状态轨迹呈现出振荡的形式，振幅逐渐减小，但不会衰减至零。
欠阻尼状态下的二阶电路响应具有以下几个特点：(1)振荡频率：欠阻尼状态下的振荡频率与电路的固有频率有关，频率较高。
(2)衰减时间：欠阻尼状态下的衰减时间较长，振幅不会很快减小，会持续振荡一段时间。
(3)最大振幅：欠阻尼状态下的振幅会有一个最大值，然后逐渐减小。
(4)超调量：欠阻尼状态下的超调量较大，即振幅的最大值与稳态值之间的差异较大。
2.临界阻尼状态：在临界阻尼状态下，阻尼比ζ=1，电路的响应会趋于稳定，不会出现振荡的现象。
响应的状态轨迹呈现出指数衰减的形式，振幅会很快减小到零。
临界阻尼状态下的二阶电路响应具有以下几个特点：(1)振荡频率：临界阻尼状态下没有振荡，所以没有特定的振荡频率。
(2)衰减时间：临界阻尼状态下的衰减时间最短，振幅会很快减小到零。
(3)没有超调量：临界阻尼状态下没有超调量，即振幅的最大值与稳态值之间的差异为零。
3.过阻尼状态：在过阻尼状态下，阻尼比ζ>1，电路的响应会趋于稳定，并且不会出现振荡的现象。
响应的状态轨迹呈现出更加缓慢的衰减形式，振幅会逐渐减小到稳态值。
过阻尼状态下的二阶电路响应具有以下几个特点：(1)振荡频率：过阻尼状态下没有振荡，所以没有特定的振荡频率。
(2)衰减时间：过阻尼状态下的衰减时间较长，振幅会逐渐减小到稳态值。
(3)没有超调量：过阻尼状态下没有超调量，即振幅的最大值与稳态值之间的差异为零。
总的来说，二阶电路的响应状态轨迹可以通过阻尼比ζ来判断。
完成二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼与临界阻尼状态轨迹和特点
完成二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼与临界阻尼状态轨迹和特点二阶电路是指由两个电感和两个电容构成的电路，常见的二阶电路包括二阶低通滤波器、二阶高通滤波器、振荡器等。
二阶电路的响应包括三种状态：欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
1.欠阻尼状态欠阻尼状态是指二阶电路的阻尼比小于临界阻尼时的状态。
在欠阻尼状态下，电路的阻尼比大于1，电路会发生振荡。
欠阻尼状态下的二阶电路的特点是：振荡频率为固定值，振荡衰减的幅度随时间增大而减小。
2.临界阻尼状态临界阻尼状态是指二阶电路的阻尼比等于1时的状态。
在临界阻尼状态下，电路不会发生振荡，且电路的响应最快。
临界阻尼状态下的二阶电路的特点是：响应时间最短，过渡过程最平稳。
3.过阻尼状态过阻尼状态是指二阶电路的阻尼比大于1时的状态。
在过阻尼状态下，电路不会发生振荡，且电路的响应速度较慢。
过阻尼状态下的二阶电路的特点是：响应时间较长，过渡过程较缓慢。
在二阶电路中，三种状态的轨迹可以通过绘制相应的阻尼比图来表示。
对于欠阻尼状态，阻尼比小于1，而相位角是一个正弦曲线。
对于临界阻尼状态，阻尼比等于1，相位角是一个直线。
对于过阻尼状态，阻尼比大于1，而相位角是两个阶梯曲线。
从特性角度来看，欠阻尼状态下的二阶电路是有振荡的，可以用于振荡器的设计；临界阻尼状态下的二阶电路响应最快，过渡过程最平稳，适用于需要快速响应的系统；过阻尼状态下的二阶电路响应时间较长，过渡过程较缓慢，适用于需要较长时间稳定的系统。
总结起来，二阶电路的响应包括欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种状态。
不同状态下的响应轨迹和特点有所不同，分别适用于不同的应用场景。
在实际设计中，需要根据系统需求选择合适的阻尼比来获得所需的响应特性。
二阶电路响应
二阶电路响应实验目的：1.测定二阶动态电路的零状态响应和零输入响应，了解电路元件参数对响应的影响。
2.观察、分析二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点，以加深对二阶电路响应的认识与理解。
实验原理：RLC 串联电路，无论是零输入响应，或是零状态响应，电路过渡过程的性质 ，完全由特征方程决定，其特征根： d o LCL R LR p ωαωαα±-=-±-=-±-=22222,1)1()2(2其中: LR 2=α称为衰减系数，LC10=ω称为谐振频率，220αωω-=d 称为衰减振荡频率 C L R 2>电路过渡过程的性质为过阻尼的非振荡过程。
C L R 2=电路过渡过程的性质为临界阻尼的非振荡过程。
CL R 2=电路过渡过程的性质为欠阻尼的振荡过程。
0=R 等幅振荡例：电压为15V ，L=10mH,C=1F μ，以电容两端的电压为响应，通过改变R 的大小来验证欠阻尼、过阻尼及临界阻尼三种响应的触发条件，并观察三种情况的输出波形。
解：我们取ΩΩΩΩΩ=500,300,200,100,10RΩ=2002CL仿真图如下以下为波形图：上图为Ω=10R ，所得波形 (欠阻尼)上图为Ω=100R ，所得波形 (欠阻尼)=200R，所得波形(临界阻尼)R，所得波形(过阻尼)=300上图为Ω=500R ，所得波形(过阻尼)综上由5副波形图可知，对于理论分析出的： C L R 2>电路过渡过程的性质为过阻尼的非振荡过程。
C L R 2=电路过渡过程的性质为临界阻尼的非振荡过程。
CL R 2=电路过渡过程的性质为欠阻尼的振荡过程。
与实际的仿真波形图相同，验证了二阶电路响应的问题。
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点
二阶电路响应的三种（欠阻尼 【2 】.过阻尼及临界阻尼）状况轨迹及其特色一、 试验目标1.懂得二阶电路响应的三种（欠阻尼.过阻尼及临界阻尼）状况轨迹及其特色.2控制二阶电路响应的三种（欠阻尼.过阻尼及临界阻尼）状况轨迹及其特色的测试办法.二、 试验道理二阶电路是含有立个自力储能元件的电路,描写电路行动的方程是二阶线性常系数微分方程. 运用经典定量剖析开封闭合后U C .i 等零输入响应的变化纪律0=++-L R C u u u将如下R.L.C 元件的电压电流表达式dtdu C i C C -= dtdu RC Ri u C R == dtu d LC dt di L u C L 2-== 代入KVL 方程,可得022=++C C C u dtdu RC dt u d LC 由数学剖析可知,要肯定二阶微分方程的解,除应知道函数的初始值外,还应知道函数的一阶导数初始值,它可依据下列关系求得 因为c i dt du C-= 所以"+'=u u u C C C 所示二阶微分方程的解可设为st C C Ae u u ="=012=++RCs LCs特点根为LC L R L R S 1222-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-= 是以 t t C e A e A u 21s 2s 1+=由初始前提Uc(0+)=Uo,可得 A1+A2=Uo又t t C e A e A dtdu 21s 2s 1+= 可求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=1201212021s s U s A s s U s A（1） CL R 2>,S1和S2为不相等的负实数,暂态属非振荡类型,称电路是过阻尼的. （2） CL R 2=,S1和S2为两相等的负实数,电路处于临界阻尼,暂态长短振荡的. （3） C L R 2<,S1和S2为一对共轭复数,暂态属振荡类型,称电路是欠阻尼的. 三、 仿真试验设计与测试解：800LC 1_)2L R (2L R s2200LC 1_)2L R (2L R s1240010*5.125.022226———特征根程。
二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼及临界阻尼状态轨迹及其特点仅供借鉴
二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼及临界阻尼状态轨迹及其特点仅供借鉴在二阶电路中，欠阻尼、过阻尼和临界阻尼是描述系统阻尼情况的三个概念。
根据阻尼比的不同取值，系统的响应会表现出不同的特点和轨迹。
1.欠阻尼状态：在欠阻尼状态下，阻尼比小于1，系统的特征方程解有一对复根。
此时，系统的响应过程中振荡频率为无阻尼自然振荡频率ωn，振幅逐渐减小但不会衰减到零。
欠阻尼状态的轨迹特点：-响应过程中存在振荡，且振动频率恒定，不衰减。
-振幅逐渐减小，但不会衰减到零。
-在相图上，轨迹呈螺旋状，逐渐靠近原点。
2.过阻尼状态：在过阻尼状态下，阻尼比大于1，系统的特征方程解为两个实根。
此时，系统的响应过程中没有振荡，系统会更快地达到稳定状态。
过阻尼状态的轨迹特点：-响应过程中不存在振荡，系统直接趋于稳定状态。
-响应过程中振幅迅速衰减。
-在相图上，轨迹呈二维指数衰减曲线。
3.临界阻尼状态：在临界阻尼状态下，阻尼比等于1，系统特征方程解为重根。
此时，系统的响应在振荡和快速稳定之间达到平衡状态。
临界阻尼状态的轨迹特点：-响应过程中有一次完整的振荡周期，随后趋于稳定状态。
-响应过程中振幅的衰减速度较快。
-在相图上，轨迹呈阻尼振荡曲线，逐渐向稳定状态收敛。
总结起来，欠阻尼状态下的二阶电路具有振荡现象，振幅逐渐减小但不衰减到零；过阻尼状态下的二阶电路没有振荡，系统直接趋于稳定状态；临界阻尼状态下的二阶电路在振荡和稳定之间达到平衡状态。
掌握这三种状态的特点及其在相图上的轨迹有助于我们深入理解二阶电路的响应情况。
仿真实验二 二阶电路响应的三种
仿真实验二 二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点实验目的：（1）、测试二阶动态电路的零状态响应和零输入响应，了解电路元件参数对响应的影响。
（2）、观察、分析二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点。
加深对二阶电路响应的认识与 理解。
实验原理：二阶电路零输入响应：以电容电压为变量，电路的微分方程为：022=++c tc c ud du RC dt u d LC 以上二阶微分方程的特征方程为： 012=++RCp LCp 方程的特征根为： LCL R L R p 1)2(2212-±-= (1)p 1和p 2为不相等的负实根（CL R 2>）应显示过阻尼状态； (2)p 1和p 2为共轭复根 （C L R 2< ）应显示欠阻尼状态； (3)p 1和p 2为相等的负实根 （CL R 2= ）应显示临界阻尼状态。
仿真例题分析：如图： L=10mH,C=100μF ，R 2为20Ω，电源V=5V 。
理论计算过程：1、临界状态： 根据公式得： Ω=⨯⨯==--201010010102263C L R 则当R=20Ω时，为临界状态，此时模拟波形为：2、阻尼状态：当R=100Ω，即为C L R 2>时，为过阻尼状态，模拟波形为:3、欠阻尼状态：则若R=1Ω，即为CL R 2<,应该为欠阻尼状态，此时模拟波形为：四、结果与误差分析仿真结果为：在RCL 串联电路中，当 CL R 2> 显示过阻尼状态； C LR 2< 显示欠阻尼状态； C LR 2= 显示临界阻尼状态。
理论计算结果与仿真测量结果有一定的误差。
主要原因有：（1）本实验中具体实验值与理论值比较的部分较少，主要通过肉眼观察波形，此时若 在波形上得出数据，则会产生较大误差。
（2）观测误差；我们通过观测得到的数值会受各种因素限制，如在观察示波器时，由于 是肉眼观察，相位差有误差，但是我们只要精心准备仿真试验，尽力减小各种因素 的影响，就可以得到较好的仿真结果。
二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点
二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点二阶电路是指由两个能存储电能的元件（电感和电容）组成的电路，它具有比一阶电路更复杂的动态特性。
对于二阶电路的输入信号，存在三种不同的状态轨迹：欠阻尼状态、过阻尼状态和临界阻尼状态。
本文将分别介绍这三种状态轨迹及其特点。
首先是欠阻尼状态。
当二阶电路处于欠阻尼状态时，电路中的阻尼系数小于临界值。
此时电路的响应呈现出周期性的振荡。
在过渡过程中，振荡的幅值逐渐减小，并最终稳定在一个恒定值上。
欠阻尼状态下的响应特点是振荡频率高、振荡幅度逐渐衰减，并最终达到稳定。
接下来是过阻尼状态。
当二阶电路处于过阻尼状态时，电路中的阻尼系数大于临界值。
此时电路的响应呈现出过度衰减的特点，没有振荡。
过阻尼状态下的响应特点是衰减的速度比欠阻尼状态更快，且没有振荡。
最后是临界阻尼状态。
当二阶电路的阻尼系数等于临界值时，电路处于临界阻尼状态。
在临界阻尼下，电路的响应呈现出最快的衰减速度，但没有振荡。
临界阻尼状态下的响应特点是衰减的速度最快，且没有振荡。
需要注意的是，欠阻尼、过阻尼和临界阻尼是理想化的状态，实际中很难达到严格的临界值。
实际的二阶电路往往处于欠阻尼或者过阻尼的状态，而临界阻尼往往只是理论分析和设计中的重要参考。
总结起来，二阶电路响应的三种状态轨迹具有不同的特点：欠阻尼状态下呈现出振荡的特点，振荡频率高、幅度逐渐衰减；过阻尼状态下呈现出过度衰减的特点，没有振荡；临界阻尼状态下响应最快，但没有振荡。
这三种状态轨迹在实际电路设计和分析中，有助于我们理解和控制电路的响应特性。
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点教学教材
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、 实验目的1.了解二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点。
2掌握二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点的测试方法。
二、 实验原理二阶电路是含有立个独立储能元件的电路，描述电路行为的方程是二阶线性常系数微分方程。
应用经典定量分析开关闭合后U C 、i 等零输入响应的变化规律0=++-L R C u u u将如下R 、L 、C 元件的电压电流表达式dtdu C i C C -= dtdu RC Ri u C R == dtu d LC dt di L u C L 2-== 代入KVL 方程，可得022=++C C C u dtdu RC dt u d LC 由数学分析可知，要确定二阶微分方程的解，除应知道函数的初始值外，还应知道函数的一阶导数初始值，它可根据下列关系求得由于ci dt du C -= 所以"+'=u u u C C C 所示二阶微分方程的解可设为st C C Ae u u ="=012=++RCs LCs特征根为LC L R L R S 1222-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-= 因此 t t C e A e A u 21s 2s 1+=由初始条件Uc(0+)=Uo,可得 A1+A2=Uo 又t t C e A e A dtdu 21s 2s 1+= 可求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=1201212021s s U s A s s U s A（1） CL R 2>，S1和S2为不相等的负实数，暂态属非振荡类型，称电路是过阻尼的。
（2） CL R 2=， S1和S2为两相等的负实数，电路处于临界阻尼，暂态是非振荡的。
（3） CL R 2< ，S1和S2为一对共轭复数，暂态属振荡类型，称电路是欠阻尼的。
二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼及临界阻尼状态轨迹及其特点
二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼及临界阻尼状态轨迹
及其特点
1.欠阻尼状态：当阻尼比ξ小于1时，电路呈欠阻尼状态。
在欠阻尼状态下，电路的响应会在一段时间内发生振荡，并最终稳定下来。
欠阻尼状态下的响应特点如下：
a.振荡频率较高：欠阻尼状态下，电路中的振荡频率较高，振荡的周期较短。
b.振幅衰减较慢：由于欠阻尼状态下存在振荡，电路中信号的振幅衰减较慢。
c.最大振幅发生在峰值时间后：欠阻尼状态下，电路的振荡过程中，最大振幅会在峰值时间后达到。
2.临界阻尼状态：当阻尼比ξ等于1时，电路呈临界阻尼状态。
临界阻尼状态下，电路的响应既不会出现振荡，也不会过于迅速地收敛到稳定状态。
临界阻尼状态下的响应特点如下：
a.不出现振荡：临界阻尼状态下，电路的响应不会出现振荡现象。
b.受阻尼作用较快地趋于稳态：相较于欠阻尼状态，临界阻尼状态下电路响应的收敛速度更快。
3.过阻尼状态：当阻尼比ξ大于1时，电路呈过阻尼状态。
过阻尼状态下，电路的响应会迅速地收敛到稳定状态，不会出现振荡。
a.不出现振荡：过阻尼状态下，电路的响应不会出现振荡现象。
b.收敛速度较快：相较于欠阻尼和临界阻尼状态，过阻尼状态下电路响应的收敛速度最快。
c.没有峰值时间：过阻尼状态下，电路的响应不会出现峰值时间，最大振幅会在响应过程中逐渐减小。
总结起来，二阶电路的响应特点与阻尼比ξ的值有关，欠阻尼状态下会出现振荡，并且振荡频率较高；临界阻尼状态下电路响应收敛速度最快，不会出现振荡；过阻尼状态下电路响应迅速地收敛到稳定状态，不会出现振荡。
这些特点对于理解和分析二阶电路的行为和性能非常重要。
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点(仅供借鉴)
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。
2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（ 此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。
3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。
这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关S 闭合已久。
t=0时将S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。
2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的C U 的波形。
波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。
3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
阶电路响应的三种状态轨迹及其特点
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。
2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（ 此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。
3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。
这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关S 闭合已久。
t=0时将S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。
2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的C U 的波形。
波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。
3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
(完成)二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。
2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（ 此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。
3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。
这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关S 闭合已久。
t=0时将S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。
2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的C U 的波形。
波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。
3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
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的电感量为 50mH 时，对应的直流电阻，在可变电感箱上能直接对应读出。
图 10—2 按图示电容电压的参考方向，可以写出：
当电容上的电压为
，流过电感 L 的电流
，此时负脉冲作用
于图 10—1，二极管 D 截止，这时等效电路如图 10—3 所示，
图 10—3 按图示电容电压的参考方向，可以写出：
式(1)和(2)都是常系数、线性、二阶的微分方程，求解这两个方程，便可得到零状态响应和 零输入响应的 。由微分方程的理论可知，
些最少量的信息，显然，状态变量是一组独立变量，它们在任何时刻的值组成在该时刻的状 态。 系统的初始状态提供了分析系统今后性状的一组独立的初始条件。 由状态变量组成的一 组独立的一阶微分方程称为系统的状态方程。 因此若已知状态变量在 t0 时的值， 而且已知自 t0 开始的外加输入，则我们能唯一确定 t＞t0 后系统的全部性状。 若系统的状态由 n 个状态变量组成，则称该系统为 n 阶系数。n 阶系统所有状态的全体组 成的集合称为 n 维状态空间， 其中每一维表示一个状态变量。 系统在每一时刻的状态可以用 状态空间中的一个点来表示，随着时间的变化，点在状态空间中移动而形成一条轨迹，此轨 迹称为状态轨迹。 三阶系统的状态空间可用一个三维空间来表示， 而二阶系统的状态空间可 用一个平面来表示。 在电路理论研究的系统是电路， 电路的状态由电路中储能元件的储能情况所决定。 在线 性定常电路中，通常选电容电压 vc 和电感电流 iL 为状态变量，在非线性或时变电路中，则 宜选电容上的电荷 qc 和电感中的磁链 为状态变量。
(5)
图（一） 下面仍以 RLC 串联电路为例简单说明状态空间法的应用。图（一）所示电路中，电容 个数和电感个数为 NC=N1 =1, 无纯电容回路和纯电感割集，即 Cc=K1 =0, 于是电路的复杂度 n=NC+N1 -Cc-K1 =1+1-0-0=2, 即电路的阶数或状态变量数目为 2。我们选电容电压 vc 和电感电 流 iL (=i)为状态变量，可得出如下状态方程
实验十 二阶电路响应及其状态轨迹
一、 实验目的：
1． 研究 RLC 串联电路的零输入响应和阶跃响应。 2． 利用状态轨迹分析零输入和零状态响应。 3． 测量临界阻尼电阻的两个 R 值。 4． 研究欠阻尼时，元件参数对β和固有频率的影响。
二、 实验电路如图 10—1 所示
图 10—1
三、 实验原理
（一）含有两个独立贮能元件，能用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。当输入信号为 零，初始状态不为零时，所引起的响应称为零输入响应。当初始状态为零，输入信号不为零 时所引起的响应称为零状态响应，如其输入信号为阶跃信号，则称为阶跃响应，如其输入信 号为冲激信号，则称为冲激响应。 电容 C 上的初始电压和流过电感 L 的电流均为零，这时当正脉冲作用于电路图 10—1 时，二极管 D 导通， ，等效电路如图 10—2 所示，图 10—2 中， 为电感线圈
电路的初始状态 vc(0)及 iL (0)提供了确定积分常数所需的一组独立初始条件。把状态方程写 成矩阵形式。则有
（6） 比较式(6)和式(2)，可得
当采用逐步法进行数值计算时，可由式(5)得到下面的迭代计算式
二阶电路的状态空间可用一个平面来表示， 在阶跃电压 V0 U(t)激励下， 初始状态为零的 RLC 串联电路在过阻尼及欠阻尼时的状态轨迹分别示于图（二）(a)和(b)
值。 画图时， 可以固定其中的一个观察响应 3．过阻尼 取 出示意图）。
， 其它参数不变和条件不变， 观察响应
、
的波形图和状态轨迹 （画
要求：为了避免同学使用一组数据作理论计算，做欠阻尼时，
都取 200Ω，而
对
于每个电感箱都是不同的，要求如实记下，然后代入公式，用计算机作出理论曲线，计算出 ， ， ， ， ，和 及状态轨迹，并与实验结果比较，得出相结论。
式（1）的特征方程为：
其特征根为：
式（2）的特征方程为：
其特征根为：
1．欠阻尼，振荡充放电过程 （1）由式（3）可见，当 即 ，
， 则式(3)可以写成：
式中：
，称为阻尼常数 ，称为有衰减时的振荡角频率
，称为无衰减时的谐振(角)频率 为特征根，也称为电路的固有频率 可见， 的属性。 （2）由式（4）可见，当 即 ， ， ， ， 均是仅与电路结构和元件参数有关，完全表征了 RLC 串联电路
， 则式(4)可以写成：
式中：
，称为阻尼常数 ，称为有衰减时的振荡角频率
，称为无衰减时的谐振(角)频率 有了固有频率，对于阶跃信号激励（零状态响应），式(1)的解为：
式中， 流过电感 L 的电流 为：
对于零输入响应，式(2)的解为：
式中， 流过电感 L 的电流 为：
式（5）、（6）、（7）、（8）表达式可以看出，电容上的
电路的状态变量数目即电路阶数也称为电路的复杂度。假定电路中电容的个数为 NC， 电感的个数为 NL ，独立的纯电容回路(由电容或电容和独立电压源构成的回路)个数为 Cc， 独立的纯电感割集(由电感或电感和独立电流源构成的割集)个数为 KL ，则电路的复杂度 n 为 n=Nc+NL -Cc-KL 对于含有受控源的电路，电路的复杂度没有明确的计算公式，但其状态方程的一般形式为 (1) 式中， X=[x1 x2 …，xn ]为 n 维状态向量，其中 x1 ,x２,…，xｎ即状态变量； Ｕ=[u1 u２…，uｍ]为 m 维输入向量，其中 u1 ,u２, …, uｍ 即输入(独立电源)； f(, ,) 为非线性向量函数。 对于线性定常电路，状态方程具有如下形式 =AX+BU (2)
图 10—6 3．临界阻尼，非振荡充放电过程 （1）由式（3）可见，当 ，即
， 固有频率 电容电压 为： 为两个相等的负实数，
流过电感 L 的电流 为：
响应
和 随时间的变化曲线与过阻尼时的零状态响应的相似，仍为非振荡波形。 ，即
（2）由式（4）可见，当
， 固有频率 电容电压 为： 为两个相等的负实数，
和流过电感的
的波形
将呈现衰减振荡的形状，在整个过程中，它们将周期性的改变方向，储能元件 L 和 C 也将 周期性地交换能量。在示波器上观察到的 和 波形如图 10—4(a)和(b)所示，
（a）
（b） 图 10—4 注意：示意图中的 和 ，在示波器观察时用 和 表示。
2．过阻尼，非振荡充放电过程 （1）由式（3）可见，当 ，即
反相。有的示波器将垂直移动旋钮拨出，有的
反相健）。由李沙育图形，可见如图 10—7 所示波形。要求在图中说
明：(1)原点？(2)零状态？(3)零输入？(4)两个稳态之间的值？
图 10—7
四、 实验内容
1．欠阻尼 按实验线中图 10—1 接线， ， ， ， ，
方波频率取 f=100Hz，由于函数信号发生器只能提供正、负交替的矩形波，故在实验中串联 一个开关二极管削去矩形波的负脉冲部分， 以获得所需的方波， 方波幅值取 3V(即 UR1 =3V)， 电阻 的接入是为了在二极管截止时给 RLC 串联电路构成一个闭合回路， 这样才能观察到
式中 A 为 n× n 阶方程， B 为 n×m 阶矩阵， A、 B 皆是系数矩阵，由电路的拓扑结构和元 件参数值共同决定。 状态空间法的优点不仅在于编写 n 个独立的一阶微分方程要比编写一个 n 阶高阶微分方程 (传统方法所要求的)容易得多，更重要的是，对于非线性或时变电路，状态空间法是最有效 的方法。 因为联立的一阶非线性微分方程组比一个高阶的非线性微分方程更便于采用数值方 法和编程上机，以及更利于进行其它动态特性的分析。 求解一阶微分方程的数值计算方法种类很多， 这里只介绍一种最简单的逐步法， 它极容 易编成计算机程序。 考虑一般形式的状态方程
(t)近似为定值，于是对应的这一段轨迹可近似
即
(0)= f(X(0),U(0),0)
X(Δt) X(0) +
(0)
t=X(0)+f(X(0),U(0),0)
t
在第二个时间间隔(Δt，2Δt)内，也作同样的处理，即
(Δt)=f(X( Δt),U(Δt), Δt) 因此 X(2Δt) X(Δt)+f(X( Δt),U(Δt), Δt)Δt 依次进行上述计算步骤，可得 X[(R+1) Δt] X(RΔt)+f(X(RΔt),U(RΔt),RΔt)Δt R=1,2, …,N (4) 显然，计算所得结果的精度取决于Δt 的大小，当Δt→0 时，将趋向于精确结果。在实际应 用中，Δt 的选值取决于得需的精度，计算中有效数的位数、问题中涉及的常数值以及计算 运算时间。 同样，把逐步法应用于线性定常动态电路时，可得出类似的迭代计算公式 X[(R+1) Δt] X(RΔt)+[AX(RΔt),BU(RΔt)]Δt R=1,2, …,N
(t)=
(t)=f(X(t),U(t),t) ……
(3)
式中 X(t)为 n 维状态向量， U(t)为 m 维输入向量。 对于某一个时间 t1 ,X(t1 )可看成 n 维状态空 间中的一个状态点，对于所有的时间 t,X(t)便对应于 n 维状态空间中的一条状态曲线——状
态轨迹。此外，我们把
(t)=
（a） 图（二）
（b ）
(t)看作状态轨迹上各点的速度(对应于所有的时间 t)，现
在从 t=0 时开始讨论，若初 X(0)及初始输入向量 U(0)已知，则式(3)给出了初始速度
(0)=
(0)。我们用简单的逐步法来近似计算状态轨迹。只要所取的时间间隔Δt 足够小，
则在此很短的时间间隔(0，Δt)内速度= 为一个直线段。由此可得
六、实验仪器
1． 双踪示波器 2． 函数信号发生器 3． 开关二极管 4． 可变电阻箱 5． 可变电容箱 6． 可变电感箱
附录：状态空间法