2安培环路定理教程
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02安培环路定理及其应用
dl
B2
2r2
I
B dl 0
L
对一对线元 B1 dl B2 dl B1dl cos 1 B2dl cos 2 0 Ir1d 0 Ir2d 0 2r1 2r2
L
I
r2
B2
dl2
B1
d 环路不包围电流， 则磁场环流为零
B2
dl2
LB dl 0 Ii
i 1
i 1
dl1
L
k k I 0 0 I i ( L内） B d l B d ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ B d l 0 i i L L L i
则磁场环流为
磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分, 等于路径 L 包围 的电流强度的代数和的0倍 安培环路定理
安培环路定理
推广到一般情况 I1 ~ I k —— 在环路 L 中 I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
In
B dl 0 I
L
I
L
B
dl
L I I 0 B dl
B
dl B1
L
I2
I1
Ii
Ik
L
I k 1
LB dl 0 I
Fan
思考：如图环路 L 包围直电流 I1，在 L 上有一点 P，如另一直电流 I2 在 L 外移近 I1 的过程中， P点磁场是否发生变化？ I 2 I1 B dl 是否发生变化？
安培环路定理
环路上的磁感应 强度由环路内、 外电流产生 由环路内 电流决定 环路所包 围的电流
P
L
9-2 安培环路定理
4
如果闭合曲线L不在一个平面内
B d l B (d l d l// )
B cos90 d l B cos d l// 0 I 0 I 0 rd d 2 r 2
式中“±”号 取决于积分回 路绕行方向与 电流方向的关 系
注意
电流 I 正负的规定 ： I 与 则时，I 为正；反之为负.
第9章 稳恒磁场
（0 真空的磁导率）
L 符合右螺旋法
9–2 安培环路定理
6
二、安培环路定理的应用 1.长直载流螺线管内磁场分布
设每单位长度上密绕n匝线圈， 通过每匝的电流强度为I，求管 内某点P的磁感应强度.
b c d a Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl
9–2 安培环路定理
1
一、安培环路定理
无限长直电流产生的 磁场中，闭合曲线L与I垂 直，在P点
0 I B 2 r
r为P点离导线的垂直距离.B的方向 在平面上且与矢径r垂直.
dl cos rd
0 I L B dl L B cos dl Brd 2
L a b c d
外部磁场很弱，可忽略。
L
B d l B d l Bab
ab
Bab 0 abnI
第9章 稳恒磁场
B 0nI
9–2 安培环路定理
7
2.环形载流螺线管内磁场分布 解 1）对称性分析；管内 B 线为同心圆，管外 B 为零. 2）选回路.
L L
2 rB 0 I
0 I B (r R) 2 r
2）圆柱体内任一点Q
I 2 L B d l 2 rB 0 R2 r 0 Ir B (r R) 2 2 R
安培环路定理
安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。
它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。
安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。
根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。
安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。
根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。
通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。
安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。
例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。
此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。
综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
10.5 真空中的安培环路定理 (2)
R
L
P
r
I
B dl LBdl B Ldl
L
B 2r 0 I
圆柱体外 (r
R)
B
I I
圆柱体内 (r R)
0 I B 2r
B
I 2 I r R 2
0 I
2R 2
r
r
例2 求无限大均匀载流平面磁场分布 解 积分环路 abcd 关于平面对称 B dl B dl B dl
B
i
b
P d l
B
a
B dl B dl
cd daabbc Nhomakorabealc
d
Bdl Bdl B1 dl B2 dl ( B1 B2 ) ab 0 i ab a c a c
积分环路关于平面对称 B1 B2 B
圆柱体外 (r
R)
I I
圆柱体内 (r R)
0 I B 2r
B
dl
dI '
dB '
o rr
dI
P
I 2 I r R 2
0 I
2R
2
r
B B dl Bdl
二、 安培环路定理的应用
例 1求无限长圆柱体电流的磁场分布。 解 电流分布具有轴对称性，故磁场分 布也是轴对称的
§10.5
真空中安培环路定理
一、安培环路定理 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度沿任一闭 合路径的积分，等于该闭合曲线所包围的电流 的代数和与真空中的磁导率的乘积。 I1 I
l 说明： 1、电流的流向与环路的 环绕方向成右旋关系的电 流为正 , 否则为负。 如图 B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 ) 2、B 与 B 的环流是两个不同的概念。
安培环路定理课件
电磁感应的概念
电磁感应是指因磁通量变化而引起感应电动势的现象，它是 能量转换的一种形式。
电磁感应在安培环路定理中扮演着重要的角色，它可以解释 磁场和电流之间的相互作用和变化规律。
03
CATALOGUE
安培环路定理的证明
证明方法一：利用积分
总结词
通过在闭合曲线上的积分，我们可以证明安培环路定理。
实验二：电磁力测量
总结词
电磁力测量是研究安培环路定理的重要实验，通过测量通电导线在磁场中所受的力，可 以验证安培环路定理的推论。
详细描述
该实验采用电磁力测量仪和不同大小的电流源，通过测量通电导线在磁场中所受的力， 可以验证安培环路定理的推论。在实验过程中，需要注意保持电流的稳定和避免空气阻
力的影响。
安培环路定理的应用场景
要点一
总结词
安培环路定理的应用场景广泛，包括电力工程、电子设备 、磁力设备和科学研究等。
要点二
详细描述
在电力工程中，安培环路定理可以用于计算电流产生的磁 场，从而设计合适的磁路和电磁铁。在电子设备中，安培 环路定理可以用于分析电磁干扰和射频干扰等问题。在磁 力设备中，安培环路定理可以用于设计磁力控制器和磁力 泵等装置。此外，安培环路定理也是科学研究的重要工具 ，可以用于研究电磁场和电磁波等物理现象。
有节点电流的求和。
基尔霍夫定律的应用
03
基尔霍夫定律在电路理论、电子工程、电力工程等领域都有广
泛的应用。
06
CATALOGUE
安培环路定理实验及解析
实验一：磁场分布测量
总结词
磁场分布测量是研究安培环路定理的基础实 验，通过测量不同电流下磁场的分布情况， 可以验证安培环路定理的正确性。
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
《安培环路定理》课件
安培环路定理的应用实例
应用实例
在复杂电路中，可以利用安培环路定理来计算磁场分布和电流之间的关系，从而确定电流的大小和方向，为电路设计和分析提供重要的理论支持。
总结词
安培环路定理在电路分析中具有重要应用，能够简化复杂电路的分析过程。
详细描述
在电路分析中，安培环路定理可以用来计算磁场分布和电流之间的关系，从而确定电流的大小和方向，为电路设计和分析提供重要的理论支持。
《安培环路定理》PPT课件
目录
CONTENTS
安培环路定理的概述安培环路定理的公式及推导安培环路定理的应用实例安培环路定理的深入思考习题与思考
安培环路定理的概述
安培环路定理是描述磁场与电流之间关系的物理定理。
安培环路定理表述为在磁感应线圈中，磁场与电流之间的关系满足闭合回路的定律，即磁场沿闭合回路的积分等于穿过该回路的电流代数和。
安培环路定理是麦克斯韦方程组中的一个组成部分，它描述了磁场与电流之间的关系。
随着科学技术的发展，安培环路定理的应用范围越来越广泛，特别是在新能源、新材料等领域中有着广泛的应用前景。
发展趋势
未来对于安培环路定理的研究将更加深入，需要进一步探索其在复杂电磁场问题中的应用，以及与其他物理场的相互作用机制。同时，也需要加强与其他学科的交叉研究，推动安培环路定理在各个领域中的应用和发展。
总结词
总结词
安培环路定理公式中的物理量包括磁感应强度B、电流I、半径r等。
详细描述
磁感应强度B是描述磁场强弱的物理量，其单位是特斯拉（T）。电流I是指穿过导体的电流大小，其单位是安培（A）。半径r是指环绕导线的圆心到导线之间的距离，其单位是米（m）。这些物理量在安培环路定理公式中具有特定的数学关系，反映了磁场与电流之间的相互作用。
2安培环路定理
L
I
此线积分为磁感应强度沿闭合曲线 L 在垂直直电流 的平面内的投影曲线的线积分
讨论
r r ∫ B ⋅ d l = µ 0 ∑ I i内
L i
1) 等式左边是空间所有电流产 v 生的合磁感应强度 B ， 等式右边 ∑ I i 只是闭合 回路所围电流， 回路所围电流，闭合回路 外的电流对环流无贡献
i
8.3 安培环路定理
一、安培环路定理 静电场理论中，有“静电场的环路定理”： 静电场理论中， 静电场的环路定理”
r v ∫ E⋅ dr = 0
L
对于稳恒磁场，相应的“稳恒磁场的环路定理”? 对于稳恒磁场，相应的“稳恒磁场的环路定理”
r v ∫ B⋅ dr = ?
L
——考虑到磁力线总是闭合曲线的特点，上式显然不会是0。 考虑到磁力线总是闭合曲线的特点，上式显然不会是 。 考虑到磁力线总是闭合曲线的特点
δ
o
dl
v dB
在平面上任取一平行电流方向， dl 平面上任取一平行电流方向， 上任取一平行电流方向
1
2
v v 长直电流在线元 d l 1 和 d l 2
v B1
2
1
1
●
2
1
v v µ 0 I dl1 cosθ1 B1 ⋅ dl1 = 2π r1
v v µ 0 I dl2 cos θ 2 B2 ⋅ dl2 = 2π r2
dl 1 cos θ 1 = r1 d α dl 2 cos θ 2 = − r2 d α
L2
v d l1
r1
dα
v dl2
v v ∫ B ⋅ dl =
L
I
L1 L2
v v v ∫ B1 ⋅ d l 1 + ∫ B 2 ⋅ d l 2
I
此线积分为磁感应强度沿闭合曲线 L 在垂直直电流 的平面内的投影曲线的线积分
讨论
r r ∫ B ⋅ d l = µ 0 ∑ I i内
L i
1) 等式左边是空间所有电流产 v 生的合磁感应强度 B ， 等式右边 ∑ I i 只是闭合 回路所围电流， 回路所围电流，闭合回路 外的电流对环流无贡献
i
8.3 安培环路定理
一、安培环路定理 静电场理论中，有“静电场的环路定理”： 静电场理论中， 静电场的环路定理”
r v ∫ E⋅ dr = 0
L
对于稳恒磁场，相应的“稳恒磁场的环路定理”? 对于稳恒磁场，相应的“稳恒磁场的环路定理”
r v ∫ B⋅ dr = ?
L
——考虑到磁力线总是闭合曲线的特点，上式显然不会是0。 考虑到磁力线总是闭合曲线的特点，上式显然不会是 。 考虑到磁力线总是闭合曲线的特点
δ
o
dl
v dB
在平面上任取一平行电流方向， dl 平面上任取一平行电流方向， 上任取一平行电流方向
1
2
v v 长直电流在线元 d l 1 和 d l 2
v B1
2
1
1
●
2
1
v v µ 0 I dl1 cosθ1 B1 ⋅ dl1 = 2π r1
v v µ 0 I dl2 cos θ 2 B2 ⋅ dl2 = 2π r2
dl 1 cos θ 1 = r1 d α dl 2 cos θ 2 = − r2 d α
L2
v d l1
r1
dα
v dl2
v v ∫ B ⋅ dl =
L
I
L1 L2
v v v ∫ B1 ⋅ d l 1 + ∫ B 2 ⋅ d l 2
安培环路定理证明
安培环路定理证明
安培环路定理是应用物理学中重要的定理，它有助于我们理解定义和计算电路中电流的大小。
在本文中，我们将使用数学证明的方法来证明安培环路定理。
安培环路定理的公式是：
∑I = 0
其中I指的是在一个回路中的电流。
证明：
步骤一：假设一个回路中有n条分支，分别标记为I1,I2,…,In，满足
I1 + I2 + … + In = 0
步骤二：将上式改写为
I1=–I2--I3--…--In
此处我们使用双等号（=），表明左右两边的表达式是等价的。
步骤三：将上式再次改写为
I1–I2+I2–I3+I3-…+In–In = 0
此处我们使用双等号（=），表明左右两边的表达式是等价的。
步骤四：将上式简化为
I1+I2+I3+…+In=0
此处我们使用双等号（=），表明左右两边的表达式是等价的。
因此，我们可以得出安培环路定理的公式：
∑I = 0
以上就是安培环路定理的数学证明。
安培环路定理2
大小：dB
q q q I T 2 2
0 q B 2R 4R
0 I
0 dq
4 R
q
所有电荷元产生磁场方向一致
B dB
0 dq
4 R
0 q
4R
例2、 均匀带电圆盘 已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。 求圆心处的 B 及圆盘的磁矩 解：如图取半径为r,宽为dr的环带。 dq dq 元电流 dI dq T 2 2 q dq ds 2rdr 其中 R 2
dr
B r
R
q
dI rdr
dB
0 dI
2r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2r
rdr
B dB
0dI
2r
0
R
0
2r
dr
rdr
0R
2
0q 2R
B r
R
线圈磁矩 如图取微元
m ISn
2
dm SdI r rdr
B
0 nI
2
cos 2 cos 1
B 0 nI
五.运动电荷的磁场
0 Idl er dB 2 4 r
P 电荷密度
dQ n svdt q I nsqv dt dt 0 (nsqv )dl er dB 4 r2
电流元内总电荷数
例一： 如图载流长直导线的电流为 I 试求通过矩 , 解 先求 B ，对变磁场 形面积的磁通量. 给出 dΦ 后积分求 Φ
B
0 I B 2π x
B // S
I
l
d1 d2
q q q I T 2 2
0 q B 2R 4R
0 I
0 dq
4 R
q
所有电荷元产生磁场方向一致
B dB
0 dq
4 R
0 q
4R
例2、 均匀带电圆盘 已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。 求圆心处的 B 及圆盘的磁矩 解：如图取半径为r,宽为dr的环带。 dq dq 元电流 dI dq T 2 2 q dq ds 2rdr 其中 R 2
dr
B r
R
q
dI rdr
dB
0 dI
2r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2r
rdr
B dB
0dI
2r
0
R
0
2r
dr
rdr
0R
2
0q 2R
B r
R
线圈磁矩 如图取微元
m ISn
2
dm SdI r rdr
B
0 nI
2
cos 2 cos 1
B 0 nI
五.运动电荷的磁场
0 Idl er dB 2 4 r
P 电荷密度
dQ n svdt q I nsqv dt dt 0 (nsqv )dl er dB 4 r2
电流元内总电荷数
例一： 如图载流长直导线的电流为 I 试求通过矩 , 解 先求 B ，对变磁场 形面积的磁通量. 给出 dΦ 后积分求 Φ
B
0 I B 2π x
B // S
I
l
d1 d2
安培环路定理
11
例1 求长直密绕螺线管内磁场
解 1) 对称性分析螺旋管内为均匀场,方向沿轴向,
外部磁感强度趋于零，即
. B0
2 ) 选回路 L .
磁场 的B方向与电流
成右螺I 旋.
M
NB
++++++++++++
P
LO
B dl B dl B dl B dl B dl
l
MN
NO
OP
PM
oR r
解
0rR
Bdl L1
2 rB 0
B0
r R
Bdl
L2
2 rB 0I
B
0I
2π r
总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
➢ 对称性分析
➢ 选环路 L并规定绕向
➢ 由LB dl
0
求I内
。B
dl
磁感线
l与 成I 右螺旋
B dl
0I
rd
0I
d
2π r
2π
B dl
l
0I
（3）电流在回路之外
d
I
B1
r1
dl1
B2
dl2
r2
l
B1
0I
2π r1
，
B2
0I
2π r2
B1
dl1
B2
dl2
0I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
（4）如果闭合回路L不在垂直于电流的平面 内，而是任意形状的空间曲线
第四节 安培环路定理
本讲主要内容: 一.安培环路定理的表述
安培环路定理
v 解 1） 对称性分析；环内 B ） 对称性分析； v 线为同心圆， 为零. 线为同心圆，环外 B 为零
例2 求载流螺绕环内的磁场
v v ∫l B ⋅ d l = 2π RB = µ0 NI µ0 NI B= 2π R
令 当
2）选回路 . ）
d
R
L = 2 πR
B = µ0 NI L
2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
右螺旋. I 成右螺旋
v B
v v v v v v v v v v ∫ B ⋅ d l = ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l +∫ B ⋅ d l
l MN
B ⋅ MN = µ 0 n MN I
B = µ 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零. 为零
µo j
2
方向如图所示。 方向如图所示。
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
（1） ） I （2 ）
v R B x 0 µ0 I o B0 = 2R
I R o
（4） ）
BA =
d （5） ） I *A
R1
µ0 I
4π d
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）
I
r>R
2π rB = µ0 I
v v ∫ B ⋅ d l = µ0 IlR RL Nhomakorabear
2π r 2 v v πr 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR 2 µ0r µ0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π R
大学物理下-2安培环路定理-精选文档
• 管内的磁场
取过场点的的矩形环路abcda
l B
I
cd da
B d l B d l B d l B d l 内 外 B dl
L
ab bc
B内ab
由安培环路定理
N 0 abI l
N n l
B 0nI
i
安培环路定理
L1
I2
分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 0 倍。 质的场称为涡旋场。 静电场 ---- 有源 无旋; 稳恒磁场----无源 有旋。
在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭合环路的线积
磁场 B 沿任意闭合路径的线积分不恒等于零，具有这种性
d r II B
L 0
i i
ii
I1
正向穿过以L为边界的任意曲面的电 流的代数和。
I3
L1
d l ( I I) B
L 1 0 2 3
L 2
B d l ( I I ) 0 1 2
L2
空间任意一点的磁感应强度 B 由 所有的电流贡献，而 B 的环流由 环路所围绕的电流贡献！
I2
二、安培环路定理的证明
1
d
r
I
L1
1
2、 证明L2路径
L 2
B d l Bdl cos Bdl cos
L 2 L 2
L2
I I 0 0 d d 0 2 2 r L L 2 2
L2
L2
3、证明L3路径
d l I 0 i 内 B
磁场2(安培环路定理)
方法： 1、根据磁场对称性选一闭合回路通过
所求场点，并满足： （1）环路上各点的磁场大小相等，方向 与环路切线方向夹角处处相等。 （2）闭合环路曲线的形状简单，其长度 可用简单的几何方法算出。
2、 对所取环路应用安培环路定理：
H dl I
L i
i
或
B dl I
2 2
0 I1I 2 cos 1 cos d 0 0 I1I 2 ( 1) 2
2
d
a
o
a
I2
x
三、平行电流的相互作用力 “安培”定义 dF = I dl × B 1、平行电流的相互作用
μ I1 f21 = B 1 I2 dl 2 sin( I2 d l 2 ,B 1) d B1= 2 a π μ I1 I2 d l 2 d f21 = B 1 I2 d l 2 = 2π a
M BPm sin BNIS sin
M Pm B
力矩总是使载流线圈转到它的磁矩和磁场同 方向的位置上，使通过线圈平面的磁通量增 加，当磁通量达到最大时，线圈所受力矩为 零，线圈达到稳定平衡状态。
( Pm NIS )
§11-6 磁力的功
1、载流导线在磁场中移动时 A = F Δ x = B I l Δ x = IΔ Φ l 2、 载流线圈在磁场 I B I F 中转动时 Δx M = pm × B . B . M = pm B sinθ = I S B sinθ θ d A = M d = B I S sinθ d θ θ θ = I d ( B S cos ) = I dΦ pm d A = I dΦ
L i
安培环路定理右手螺旋法则
安培环路定理右手螺旋法则
安培环路定理右手螺旋法则也被称为安培定则，是表示电流和电流激发磁场的磁感线方向间关系的定则。
具体来说，有以下三种情形：
- 通电直导线中的安培定则（安培定则一）：用右手握住通电直导线，让大拇指指向电流的方向，那么四指指向就是磁感线的环绕方向。
- 通电螺线管中的安培定则（安培定则二）：用右手握住通电螺线管，让四指指向电流的方向，那么大拇指所指的那一端是通电螺线管的N极。
- 判断环形电流的磁场方向的安培定则：让右手弯曲的四指与环形电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是环形导线轴线上磁感线的方向。
安培环路定理右手螺旋法则在电磁学中应用广泛，是理解电磁现象的基础。
安培环路定理
11.6 安培环路定理
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意
闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分
回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
B1 dl B1 2πr 0πr2J
3）计算
I i
4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
B1
μ0 Jr 2
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
B2 dl B2 2π(d r) 0π(d r)2 J
B2
μ0 J(d 2
r)
M点磁感强度为 B = B1＋B2
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意
闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分
回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
B1 dl B1 2πr 0πr2J
3）计算
I i
4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
B1
μ0 Jr 2
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
B2 dl B2 2π(d r) 0π(d r)2 J
B2
μ0 J(d 2
r)
M点磁感强度为 B = B1＋B2
安培环路定理(大学物理)
B
lI
2π r
哈尔滨工程大学 姜海丽
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
练习题 1、如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I， 则下述各式中哪一个是正确的？ (B) H d l I (A) H d l 2 I 答案：D L L
稳恒磁场安培环路定理16安培环路定理设闭合回路为圆形回路载流长直导线的磁感强度为哈尔滨工程大学稳恒磁场安培环路定理若回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路稳恒磁场安培环路定理稳恒磁场安培环路定理多电流情况以上结果对任意形状的闭合电流伸向无限远的电流均成立
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
1.6 安培环路定理 载流长直导线的磁感强度为
c a I c I⊙
．
I1 L
I1 I2
0 ( I 2 2I1 ) 4、如图所示，磁感强度沿闭合曲线L的环流________．
哈尔滨工程大学 姜海丽
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
5、半径为R的圆柱体上载有电流I，电流在其横截面上均 匀分布，一回路L通过圆柱内部将圆柱体横截面分为两部 dl 分，其面积大小分别为S1、S2如图所示，则 H _______．
安培环路定理
哈尔滨工程大学 姜海丽
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
注意 电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负.
PM
B MN 0 n MN I
B 0 nI
lI
2π r
哈尔滨工程大学 姜海丽
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
练习题 1、如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I， 则下述各式中哪一个是正确的？ (B) H d l I (A) H d l 2 I 答案：D L L
稳恒磁场安培环路定理16安培环路定理设闭合回路为圆形回路载流长直导线的磁感强度为哈尔滨工程大学稳恒磁场安培环路定理若回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路稳恒磁场安培环路定理稳恒磁场安培环路定理多电流情况以上结果对任意形状的闭合电流伸向无限远的电流均成立
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
1.6 安培环路定理 载流长直导线的磁感强度为
c a I c I⊙
．
I1 L
I1 I2
0 ( I 2 2I1 ) 4、如图所示，磁感强度沿闭合曲线L的环流________．
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安培环路定理
第1章 稳恒磁场
5、半径为R的圆柱体上载有电流I，电流在其横截面上均 匀分布，一回路L通过圆柱内部将圆柱体横截面分为两部 dl 分，其面积大小分别为S1、S2如图所示，则 H _______．
安培环路定理
哈尔滨工程大学 姜海丽
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
注意 电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负.
PM
B MN 0 n MN I
B 0 nI
第2次安培环路定理10
a
C q 20r L
U AB
ln b a
(2)
we
1 2
0 r E 2
Q2
8 2 0 r L2
1 r2
b
E
L
dWe
wedV
1 2
0
r
E
2
L2
rdr
Q2
4 0 r L
dr r
4
(3) 储存的总电能
方法1：
We dWe wedU
b
Q2 dr Q2 ln b
a 40r L r 40r L a
I
L
r P
I
r
B
L rd
dl
26
• 若环路方向反向，情况如何？
B dl
L
0I rd
L 2r
0I
L
• 若环路中不包围电流，情况如何？
I r' d
r
B
B1
0I
2r1
B2
0I
2r2
I dl
对 一对线元来 说
B1 dl B2 dl B1dl cos1 B2dl cos2
L
0Ir1d 0Ir2d
R
T 2 2
2R 4R
解法2：选取电荷元dq，产生的磁场：dB
方向：垂直于纸面向里
0
4
dqv er
R2
大小：dB 0 dq 所有电荷元产生磁场方向一致
4 R
B dB 0 dq 0q q 4 R 4R
15
*例 半径为R的带电薄圆盘的电荷面密度为， 并
以角速度ω绕通过盘心垂直于盘面的轴转动 ，求圆 盘中心的磁感强度及圆盘的磁矩。
R1R2 R2 R1
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8.2 磁场的高斯定理(Gauss Law for Magnetic Field)
一、磁感应线和磁通量 (Magnetic field lines and magnetic flux)
1、规定： • 方向：曲线上每一点的切线方向 表示该点磁感应强度的方向；
• 大小：该点附近磁力线的疏密 表示该点磁感应强度的大小。 2、特性
8.3 安培环路定理及其应用
一、安培环路定理（Ampere’s Law) 静电场
I1
0
E dl
L
I3
B dl
L
0
I
i
i
安培环路定理
L1
I2
分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 0倍。
在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭合环路的线积
磁场 B 沿任意闭合路径的线积分不恒等于零，具有这种性
L1 L1
dl
L1
L2 0 I 0 I rd 2 r 2
L1
d I
0
d
r
I
L1
2、 证明L2路径
L2
B dl Bdl cos Bdl cos
L2 0 0 2 r 2 L L 2 2
L2
空间任意一点的磁感应强度 B 由 所有的电流贡献，而 B 的环流由 环路所围绕的电流贡献！
I2
二、安培环路定理的证明
以无限长直载流导线为例证明
I
B L2
d
dl
r
L1
1、 证明L1路径
B dl I
0 L i
i
B
L1
B dl Bdl cos Brd
L2
L2
L2
3、证明L3路径
I
B dl I
0 L i
内
垂直
B
dl
水平
微元dl 总是可分解成垂直和水平两个分量，而B总是在 平面内(或平行平面 )，所以最后垂直分量的环流等于零， L3 只有在平面内的水平分量的环流，这和上面一样求得。
说明
1、对于闭合的稳恒电流，只有与L相绞链的 电流，才算被L包围的电流；
I2
B dl
L
0 I内
i
I3 I1
I4
L
2、安培环路定理表达式右端中的电流和只是闭合路径所包围 的电流；但左端中的B却是空间所有电流产生的磁场，其中也 包括那些不被L所包围的电流产生的磁场，只不过是后者的磁 场对沿 L 的 B 的环流无贡献。 三. 安培环路定理在解场方面的应用 步骤： 1) 由电流的分布来分析磁场分布的对称性； 2) 选择合适的闭合路径 L ，使得沿路径的矢量积分可化为标 量积分(具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解法)。
I
cd da
L
B dl B内 dl B dl B外 dl B dl
ab bc
B内ab 由安培环路定理 N N n 0 abI l l
B 0 nI
c d
管内是均匀场
r1 r2
r1
1 1 ( )dx 2 106 ln 3(Wb) x dx
二、磁场的高斯定理 通过任一闭合曲面的总磁通量必为零
S
B dS 0
S
磁场的高斯定理 静电场： 有源场 磁场：无源场
微分形式
B 0
E 0
说明： 1、磁场是无源场 ，磁感应线是闭合曲线，自然界不存在像 电荷那样的“磁荷”； 2、从闭合曲面穿进去多少磁感应线一定要从另一处穿出。
质的场称为涡旋场。
静电场 ---- 有源 无旋; 稳恒磁场----无源 有旋。
L
B d r 0 I Iii
i i
I1 I3
L1
正向穿过以L为边界的任意曲面的电 流的代数和。
L1
B d l 0 ( I 2 I 3 )
B d l 0 ( I1 I 2 )
L2
d A I1 x r1 dx l I 2 r2 r3
o
x
0 I 20 I B 2 2 d 2 d
方向向外
（2）通过所示微元面积的磁通量为： 0 I 0 I d Bds ( )ldx 2 x 2 ( d x ) 总的磁通量为：
r1 r2
r1
Il d 0 2
m B ds
S
磁通量 单位：韦伯(Wb) (1Wb 1T m2 )
例1 两平行长直导线相距d = 40cm，每根导线 载有电流 I1= I2= 20A ，电流流向如图示。 求 : （ 1 ）两导线所在平面内与两导线等距的 一点A处的磁感应强度。（2）通过图中斜线 所示面积的磁通量。(r1= r3= 10cm, l = 25cm) 解:(1) 两导线在中心点产生的B方向相同
例2 求密绕长直螺线管内部的磁感强度(总匝数N，总长L，通以稳 恒电流I） 分析：1、螺线管内外的磁感应强度的方向；
B
l
2、每一条磁感应线上的B处处相等； B
B
B
I
dS1
dS2
得： B1dS1
B dS 0
S
B2dS2 0
b
B内 a
例3 求：无限长直线电流的磁场 解：对称性分析——磁感应线是以电流为圆心 与电 流垂直平面上的同心圆。
I
选环路 r 确定环路方向 B
L
L
d l // B
B d l 0 I
B
B 2 r
B1 B2
• 管外的磁场
l
由磁场的安培环路定理可 得管外的磁场：
B B
I
L
B dl 0I 0
a
B1 b
B1 ab B2 cd 0 B1 B2
d
B2
c
管外的磁场是匀强磁场,且可近似看做是零。
• 管内的磁场 取过场点的的矩形环路abcda
l B
I
• 无头无尾闭合曲线 • 与电流相套连
• 与电流成右手螺旋关系
I S
I
I B r
N
B
I S N
3、磁通量
S
n
B
n
S
B
m BS
S θ
m BS cos BS
B
dS n
d m B dS
m B dS
S
一、磁感应线和磁通量 (Magnetic field lines and magnetic flux)
1、规定： • 方向：曲线上每一点的切线方向 表示该点磁感应强度的方向；
• 大小：该点附近磁力线的疏密 表示该点磁感应强度的大小。 2、特性
8.3 安培环路定理及其应用
一、安培环路定理（Ampere’s Law) 静电场
I1
0
E dl
L
I3
B dl
L
0
I
i
i
安培环路定理
L1
I2
分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 0倍。
在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭合环路的线积
磁场 B 沿任意闭合路径的线积分不恒等于零，具有这种性
L1 L1
dl
L1
L2 0 I 0 I rd 2 r 2
L1
d I
0
d
r
I
L1
2、 证明L2路径
L2
B dl Bdl cos Bdl cos
L2 0 0 2 r 2 L L 2 2
L2
空间任意一点的磁感应强度 B 由 所有的电流贡献，而 B 的环流由 环路所围绕的电流贡献！
I2
二、安培环路定理的证明
以无限长直载流导线为例证明
I
B L2
d
dl
r
L1
1、 证明L1路径
B dl I
0 L i
i
B
L1
B dl Bdl cos Brd
L2
L2
L2
3、证明L3路径
I
B dl I
0 L i
内
垂直
B
dl
水平
微元dl 总是可分解成垂直和水平两个分量，而B总是在 平面内(或平行平面 )，所以最后垂直分量的环流等于零， L3 只有在平面内的水平分量的环流，这和上面一样求得。
说明
1、对于闭合的稳恒电流，只有与L相绞链的 电流，才算被L包围的电流；
I2
B dl
L
0 I内
i
I3 I1
I4
L
2、安培环路定理表达式右端中的电流和只是闭合路径所包围 的电流；但左端中的B却是空间所有电流产生的磁场，其中也 包括那些不被L所包围的电流产生的磁场，只不过是后者的磁 场对沿 L 的 B 的环流无贡献。 三. 安培环路定理在解场方面的应用 步骤： 1) 由电流的分布来分析磁场分布的对称性； 2) 选择合适的闭合路径 L ，使得沿路径的矢量积分可化为标 量积分(具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解法)。
I
cd da
L
B dl B内 dl B dl B外 dl B dl
ab bc
B内ab 由安培环路定理 N N n 0 abI l l
B 0 nI
c d
管内是均匀场
r1 r2
r1
1 1 ( )dx 2 106 ln 3(Wb) x dx
二、磁场的高斯定理 通过任一闭合曲面的总磁通量必为零
S
B dS 0
S
磁场的高斯定理 静电场： 有源场 磁场：无源场
微分形式
B 0
E 0
说明： 1、磁场是无源场 ，磁感应线是闭合曲线，自然界不存在像 电荷那样的“磁荷”； 2、从闭合曲面穿进去多少磁感应线一定要从另一处穿出。
质的场称为涡旋场。
静电场 ---- 有源 无旋; 稳恒磁场----无源 有旋。
L
B d r 0 I Iii
i i
I1 I3
L1
正向穿过以L为边界的任意曲面的电 流的代数和。
L1
B d l 0 ( I 2 I 3 )
B d l 0 ( I1 I 2 )
L2
d A I1 x r1 dx l I 2 r2 r3
o
x
0 I 20 I B 2 2 d 2 d
方向向外
（2）通过所示微元面积的磁通量为： 0 I 0 I d Bds ( )ldx 2 x 2 ( d x ) 总的磁通量为：
r1 r2
r1
Il d 0 2
m B ds
S
磁通量 单位：韦伯(Wb) (1Wb 1T m2 )
例1 两平行长直导线相距d = 40cm，每根导线 载有电流 I1= I2= 20A ，电流流向如图示。 求 : （ 1 ）两导线所在平面内与两导线等距的 一点A处的磁感应强度。（2）通过图中斜线 所示面积的磁通量。(r1= r3= 10cm, l = 25cm) 解:(1) 两导线在中心点产生的B方向相同
例2 求密绕长直螺线管内部的磁感强度(总匝数N，总长L，通以稳 恒电流I） 分析：1、螺线管内外的磁感应强度的方向；
B
l
2、每一条磁感应线上的B处处相等； B
B
B
I
dS1
dS2
得： B1dS1
B dS 0
S
B2dS2 0
b
B内 a
例3 求：无限长直线电流的磁场 解：对称性分析——磁感应线是以电流为圆心 与电 流垂直平面上的同心圆。
I
选环路 r 确定环路方向 B
L
L
d l // B
B d l 0 I
B
B 2 r
B1 B2
• 管外的磁场
l
由磁场的安培环路定理可 得管外的磁场：
B B
I
L
B dl 0I 0
a
B1 b
B1 ab B2 cd 0 B1 B2
d
B2
c
管外的磁场是匀强磁场,且可近似看做是零。
• 管内的磁场 取过场点的的矩形环路abcda
l B
I
• 无头无尾闭合曲线 • 与电流相套连
• 与电流成右手螺旋关系
I S
I
I B r
N
B
I S N
3、磁通量
S
n
B
n
S
B
m BS
S θ
m BS cos BS
B
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S