数理方程课程总结 精简

9
第5章主要内容
3. 傅里叶-贝塞尔级数
f
(r)



Cm J n
m1

(n) m R
r ,
(42)
其中系数 Cm 由下式确定
Cm
R 0
rf
(r)J n

(n) m R
r dr
.
R2 2
J
2 n1
(
(n) m
)
(43)
4. 贝塞尔函数的应用(分离变量法)，书上例子
书上例子很重要
12
书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换
1.
F[ ( x)] 1
2.
F 1[sin m ] 1 , | x | m
2
3.
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t (t 0)
4t
4.
F 1[e ||y ] 1

y y2 x2
( y 0)
5.
u(M 0 )
1
4R

f (x, y, z)
R2
R 2 r02
r02 2Rr0 cos
3/ 2
dS.
(31)
u(M 0 ) 2


(x
f x0 )2
(x, y)z0dxdy (y y0 )2
z02
3/2 .
(26)
21
9 求解上半平面 y 0内的狄利克雷问题
u xx u yy 0 ( y 0), u | y0 f (x), x ,
(8’)
16
第4章主要内容
4 调和函数的基本性质
性质1


u dS n

0,
(12)
性质2 (平均值定理)
u(M 0 )
1
4a 2
a
udS.
(13)
性质3 设函数u(x, y, z)是区域 内的调和函数，
它在 上连续，且不为常数，则它的最大值、
最小值只能在边界上达到 (极值原理)。
固有值和固有函数分别为
( n ) m


(n) m R
2 ,
Fm (r)

Jn
(n) m R
r

(m 1, 2,).
8
第5章主要内容
2. n 阶贝塞尔函数的递推公式
d
dx
xn J n (x)

x n J n1 (x),
d
dx
xn J n (x)
上半平面的格林函数为
(22’) (23’)
G(M , M 0 )
1
2

ln
1 rMM0
ln 1 rMM1
,
(24’)
解的积分表达式
u(M
0
)

1


(
x
f
(x) y0dx x0 )2 y0
2
.
(26’)
22
精品课件！
精品课件！
10 求解球域上的狄利克雷问题：
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
固有函 数法
和
分离变 量法
vrr

1 r
vr

1 r2
v

F (r, ),(0 r r0 ),
(P1)
v |rr0 0.
wrr

1 r
wr
1 r2
w
0,
(0 r r0 ),
(P2)
w |rr0 f ( ).
F 1[cosa] 1 [ (x a) (x a)]
2
F 1[sin a] 1 [ (x a) (x a)]
2i
13
几类常见的拉普拉斯变换或逆变换 Re s 0
1.
L[ (t)] 1
2.
L[eat ] 1
特别的， L[1] 1
u(M
0
)


1
4

u(

M
)
n

1 rMM0


1 rMM0
u(M
)
dS.
n
(8)
二维情形下，调和函数的积分表达式
u(M
0
)


1
2
C
u(M

)
n

ln
1 rMM0


ln
1 rMM0
u(M
)
dS.
n
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
思路2 将问题(P)的解看成两部分， 令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
v(r,) 和 w(r, ) 分别满足
第2章主要内
容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
urr

1 r
ur

1 r2
u
F(r, ),
u xx u yy u zz 0 (z 0),
(22)
u |z0 f (x, y), x, y , (23)
上半空间的格林函数为
G(M , M 0 )
1
4
1 rMM0
1 rMM1
,
(24)
得到定解问题(22)(23)的解
1
7
第5章主要内容
(贝塞尔函数的应用)分 离变量法的想法
1. n 阶贝塞尔方程的固有值问题
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32
F(R) 0 | F(0) | ,
()33
n 阶贝塞尔方程的通解可表示为
)
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
(1)
u(0,t) u1(t),
u(l,t) u2 (t);
w(t, x)

x l
[u
2
(t
)
u1(t)] u1(t).
(2) u(0,t) u1(t), ux (l,t) u2 (t); w(x,t) u2 (t)x u1 (t).
(3) ux (0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t); w(x,t) u1(t)x u2 (t) lu1(t).
( )d.
(18
2
2a xat
其中方程(3)的通解形式为
)
u(x,t) f (x at) g(x at).
(13
行波法或达朗贝尔解法
)
11
第3章主要内容
2 无限长弦强迫振动问题
utt a 2uxx f (x, t) ( x , t 0), (1)
(19)
在 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 那么问题(19)的解可表示为
其中
u(M 0 )


f
(x,
y, z)
GdS. n
G(M , M0 )
1
4rMM0
v,
(20) (17)
19
7 如果二维拉普拉斯方程的狄利克雷问题
u(x, y) 0, (x, y) D,
uxx uyy uzz 0 ( x, y, z) ,
(27)
u | f ( x, y, z).
(28)
其中 是以 o为心，R 为半径的球域，边界为.
球域上的格林函数为
G(M , M 0 )
1
4
1 rMM0
R
rOM 0
1 rMM1
.
(30)
解的积分表达式为
cos
nx
l

(n

0, 1,
2,
);
以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和
矩形域上的泊松方程是适用的。
(5) 圆域上的泊松方程对应的固有函数系为
1,cos,sin,cos2,sin 2,cosn,sin n,
2
几种非齐次边界条件相应的辅助函数 w(x,t) 的表达式：
(4) ux (0,t) u1(t),
ux (l,t) u2 (t);
w( x, t )

u2
(t) u1 (t) 2l
x2

u1 (t)x.
以上4种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热 传导方程都适用。
注意特殊情形：课件中2.5节的例
2’
3
第2章主要内 容 2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言： ● 对圆域采用极坐标 ● 对于矩形域 0 x a, 0 y b;采用直角坐标系
10
第3章主要内容 (适用无界区域)
1 无限长弦自由振动问题
utt a 2uxx ( x , t 0),
(3)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x)
(4)
的达朗贝尔解为公式
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
u(x,0) (x), ut (x,0) (x)
(2)
的解为公式
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
(26
1
t xa(t )
f ( , )d.d.
2a 0 xa(t )
)
3. 会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题
用分离变量法
4
第2章主要内
容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
urr

1 r
ur

1 r2
u
F(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
思路1 (1)找出此泊松方程的一个特解 w(r, ), 令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
U0

ln
1 r
U0

1 r
2 空间上格林第二公式
(r 0),

(uv

vu)d




u
v n

v
u n
dS.
(6)
平面上格林公式
(uv
D
vu)d


C

u
v n
v u dS. n
(6’)
15
第4章主要内容
3 调和函数的积分表达式(三维情形)
sa
s
3.
L[t n ]

n! s n1
4.
a L[sin at]
s2 a2
s L[cosat]
s2 a2
5.
L1[F (s)est0 ] f (t t0 )
(t t0 )
延迟定理的 逆变换形式
14
第4章主要内容
二维、三维拉普拉斯方程边值问题
1 二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为
x n J n1 (x).
J n1 (x)

J n1 (x)

2n x
Jn
(x),
J n1 (x) J n1 (x) 2J n (x).
(25) (26) (27) (28)
特别的，
J 0 (x) J1 (x);
d dx
xJ1 ( x)

xJ 0
(xΒιβλιοθήκη Baidu.
(29)
17
5 利用极值原理证明拉普拉斯方程或泊松方程 狄利克雷问题解的唯一性。
补充：学会结合极值原理和狄利克雷问题解的唯 一性处理问题（例如格林函数性质5、 习题四第8题等）
6 如果三维拉普拉斯方程的狄利克雷问题
u(x, y, z) 0, (x, y, z) ,
u | f (x, y, z)
sin
nx
l

(n

1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l

(n

1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l

(n

1,
2,
);
(4) ux (0,t) 0, ux (l,t) 0;
u |C f (x, y)
(19’ )
在D C 上具有一阶连续偏导数的解存在的话，
那么问题(19’)的解可表示为
u(M 0 )


C
f
(x,
y)
G n
dS.
(20’)
其中
11
G(M , M0 )
2
ln rMM0
v,
(17’)
20
8 求解上半空间 z 0内的狄利克雷问题
第2章主要内 (适用有界区域、两个变量) 容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
分离变量法、固有函数法、 作辅助函数法
方程和边界 条件齐次
方程非齐次， 定解条件齐次
边界条件非齐次
1
几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程
vrr

1 r
vr
1 r2
v
0,
(0 r r0 ),
v |rr0 f ( ) w(r0 , ). 可用分离变量法求解问题(Q)
(Q )
5
第2章主要内
容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
urr

1 r
ur

1 r2
u
F(r, ),