第6章 运输问题

主讲：赵观兵
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§1
运 输 模 型
解： 产销平衡问题：
总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下
列运输量表：
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§1
运 输 模 型
Min Z= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
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§1
运 输 模 型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、 B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往 各个销地每件物品的运费如下表所示， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
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第六章 运 输 问 题
• • • • §1 §2 §3 §4* 运 输 模 型 运输问题的计算机求解 运输问题的应用 运输问题的表上作业法
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§1
运 输 模 型
问题的提出:
一般的运输问题就是要解决把某种产品（或原 料、资源等）从若干个产地调运到若干个销地，在 每个产地的供给量与每个销地的需求量已知，并知 道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
一季度 二季度 三季度 四季度 生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3
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§3 运输问题的应用
解： 设 xij为第 i 季度生产交付第 j 季度销售的柴油机数目，那 么应满足：
最低要求必须满足，因此把假想产地到1’、2和4’的相应单位 运价设定为M ；而最高要求与最低要求的差额按需要安排，因 此把假想产地到1’’、3和4’’的相应单位运价设定为 0。 4’’的销量50是考虑问题本身适当取的数据，是根据产销平 衡要求（实际总产量减去最低需求量，即：160-110＝50），确 定 4’’的销量为 50。D的产量50也是根据产销平衡要求适当取的 数据，即最大总需求量减去实际总产量（210-160＝50）。
销地 产地

第一季度 10.80 M M M 10
第二季度 10.95 11.10 M M 15
第三季度 11.10 11.25 11.00 M 25
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§2 运输问题的计算机求解
例2、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、 B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地物品的 单位运价如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
销地 产地
B1 6 6 150
销地 产地
B1 6 6 250
B2 4 5 200
B3 6 5 200 650
产量 200 300 500
A1 A2 销量
解：增加一个假想的产地A*3，由该产地到任意销地的单位 运价为0， A*3的产量为150（650-500＝150）。
销地 产地
B1 6 6 0 250
B2 4 5 0 200
B3 6 5 0 200
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§3 运输问题的应用
案例2、石家庄北方研究院有一、二、三共三个区。每年 分别需要用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西盂县两 处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为1500、 4000吨，运价为：
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产 量 4000 1500
∑ xij = dj
xij ≥ 0
i=1 j=1 m
i = 1,2,…,m
j = 1,2,…,n (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
• 在实际问题建模时，经常会出现如下一些变化（很值得关注）： 1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额最大等； 2）产销不平衡时，可增加一个假想的产地（销大于产时）或销 地（产大于销时），从而使得总产量＝总销量（因为计算机求 解时需要保持是产销平衡的状态）。
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§1 运 输 模 型
• 一般运输模型：
（1）A1、A2、…、Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、…、Bn 表示某物质的n个销地； （2）si 表示产地Ai的产量； dj 表示销地Bj 的销量； （3）cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。 xij 表示从产地Ai运往销地Bj的运输量。 （4）Z 表示总的运输费用 如果：
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§3 运输问题的应用
二、生产与储存问题
案例4、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、 15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产 能力及生产每台柴油机的成本如下表。如果生产出来的柴 油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费 用0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总 费用为最小的决策方案。
试建立平衡的运价表？
甲（豪华） 到B1城市（元/人） 到B2城市（元/人） 80 65 乙（中档） 60 50 丙（普通） 50 40
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§3 运输问题的应用
• 解：由于每辆车额定40人，所以到B1和B2两个城市各需要10 辆车和15辆车。把豪华、中档和普通三种型号的客车看成是产 地，把B1和B2两个城市看成是销地，总产量比总销量多出5， 所以要假设一销地B*3。
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个产地的产量； 把第 j 季度销售的柴油机数目看作第 j 个销地的销量。 把单位成本加上单位储存、维护等费用看作单位运价，可 构造下列产销平衡的单位运价表：
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§3 运输问题的应用
目标函数：Min Z= 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
产地
一区’ 1.80 1.60 M 2700
一区’’ 1.80 1.60 0 300
二区 1.70 1.50 M 1000
三区’ 1.55 1.75 M 1500
三区’’ 1.55 1.75 0 500
产 量
山西盂县 河北临城 假想生产点 需要量
4000 1500 500 6000 6000
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。在计算机求解时，可把M设定成106或以上的数。 根据计算结果知道，一区只能得到2700吨煤，二区得到1000 吨煤，三区只能得到1800吨。
试求总费用为最低的化肥调拨方案。
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§3 运输问题的应用
解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
A B C D（假想产地） 销 量 1’ 16 14 19 M 30 1’’ 16 14 19 0 20 2 13 13 20 M 70 3 22 19 23 0 30 4’ 17 15 M M 10 4’’ 17 15 M 0 50 210 产量 50 60 50 50 210
销地 产地
B1
B2
B*3
产 量
甲
乙 丙 销 量
80
60 50 10
65
50 40 15
0
0 0 5
5
10 15
• 通过软件求解，甲每天发5辆车到B1城市，乙每天发5辆车到B1 城市，5辆车到B2城市，丙每天发10车辆到B2城市，多余5辆， 最大收入为Z=40（5×80+5×60+5×50+10×40）=54000（元）
B1
c11 c21 ┇ cm1 d1
B2
c12 c22 ┇ cm2 d2
… Bn
… c1n … c2n ┇ ┇ … cmn … dn
产 量
s1 s2 ┇ sm
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§1 运 输 模 型
运输问题变量表
销地 产地 A1 A2 ┇ Am 销量 B1 x11 x21 ┇ xm1 d1 B2 x12 x22 ┇ xm2 d2 … Bn
产 量 200 300 150 650 650
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A1 A2 A*3 销 量
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§3 运输问题的应用 一、产销不平衡的运输问题
案例1、汽车客运公司有豪华、中档和普通三种型号的客车 5辆、10辆和15辆，每辆车上均载客40人，汽运公司每天要 送400人到B1城市，送600人到B2城市。每辆客车每天只能送 一次，从客运公司到B1和B2城市的票价如下表所示：
s.t.
x11 + x12 + x13 = 200 x21 + x22 + x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0 (i=1、2；j=1、2、3）