14.4(1)全等三角形的判定(1) (DEMO)

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直角三角形全等的判定(1)

切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 即(SSA)是一个假冒产品!!!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果
相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
； qq红包群；
求证:△ABC≌△A′B′C′.

B
B′
C
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理
定理: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵ AC=A′C ′
AB=A′B′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形.
A
F
E
B
D
C
老师期望:请将证明过程规范化书写出来 .
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF.
求证:(1)AE=AF (2)AB∥CD.
B
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等. 一个角和一条直角分别相等的两个直角三角形全等.
两个三角形全等的识别方法：
A
A`
B
C B`
C`
① 边边边（S S S）

全等三角形的判定(一)

14.2 三角形全等的判定（一）教学目标】知识技能：1、理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边” 。

2 、经历探究“边角边”判定方法的过程，能运用“ SAS”判定方法解决有关问题。

数学思考：经历探究三角形全等的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动，学习有条理的思索方式。

问题解决：使学生充分经历探索的过程，进一步培养学生合作交流与自主探究的能力。

情感态度：通过几何证明的学习，培养学生严谨的分析能力，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。

【教学重、难点】1 ．应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等（重点）2 ．能运用“ SAS”证明简单的三角形全等问题，寻找判定三角形全等的条件（难点）。

【教学准备】1.教师准备：课件2.学生准备：剪刀、白纸、作图工具。

【学情介绍】这节课是探究三角形全等条件的第一课，学生已了解全等三角形的概念及特征，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。

另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这为学生主动参与本节课的操作和探究做好了准备。

“SAS”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。

【内容分析】教材通过尺规作图作出一个与已知三角形的两边及其夹角对应相等的三角形，发现这两个三角形能够重合，从而归纳出判定三角形全等的第一种方法“ SAS” 。

【教学过程】一、温故知新1．什么叫全等三角形?2、全等三角形的性质是什么？二、探究新知：问题：1、如何判定连个三角形全等？2、三角形中共有几个元素？3、三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？分类讨论、探究：1、只给定一个元素（一边或者一角）学生验证。

2、只给定两个元素（请学生画图验证）①两条边长分别为4cm,5cm;②一条边长为4cm，一个角为45°；③两个角分别为45°,60 °。

教师几何画板演示，得出结论：一个或者两个元素不能判定两个三角形全等。

14.4全等三角形的判定(解析版)

14.4全等三角形的判定一．填空题1. 在ΔABC 和ΔDEF 中，若已知∠A=∠E,∠B=∠F,AC=DF,则____(填“能”或“不能”判定这两个三角形全等。

易错点：∠A=∠E,∠B=∠F,则∠C=∠D,AC 对应的边是DE,本题错误率很高。

解析：判定两个三角形全等，不是有两个角，一条边就全等了，边一定要对应相等，故答案为不能.2. 如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，∠A=∠D,要使ΔABC ≅ΔDCB ，需要添加一个条件____或______(只要填两种情况）易错点：隐藏条件是BC=BC,已知∠A=∠D,不能添加AB=CD 或AC=BD,边边角不能证明全等。

解析：添加∠ABC=∠DCB 或∠ACB=∠DBC,可使ΔABC ≅ΔDCB 。

3. 已知两边对应相等，若要判定这两个三角形全等，则还需要的条件是______________________________________________.易错点：两边对应相等是指一个三角形中两条边与另一个三角形的两条边对应相等，不是指一个三角形中一条边与另一个三角形的一条边DC A B对应相等，很多同学理解错误。

解析：还需要的条件是第三条边对应相等，或这两条边的夹角对应相等。

4.已知一角和这个角的对边对应相等，若要判定这两个三角形全等，则还需要的条件是_________________________________________.易错点：这个角的对边不能理解，在ΔABC中，∠A所对的边就是BC.类同第二题。

解析：还需要的条件是另一个角对应相等。

5.已知一角和这个角的邻边对应相等，若要判定这两个三角形全等，则还需要的条件是______________________________________.易错点：1.表述不清，2漏解。

解析：还需要的条件是这个角的邻边对应相等，或这条边的对角对应相等，或这条边相邻的另一个角相等。

二．选择题6.满足下列哪种条件时，就能判定ABC DEF∆≅∆( )A.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠DB.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FC.AB=DE, BC=EF,∠A=∠ED.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E易错点：判定ABC DEF∆≅∆的方法有SAS,ASA,AAS,SSS;要对应相等，SSA不能证明全等。

全等三角形的判定 (1-5课时)Microsoft Word 文档

全等三角形的判定第一课时：SSS教学目标知识与能力：（1）经历探索三角形全等条件的过程，掌握三角形全等的“边边边”条件并初步学会运用，了解三角形的稳定性及其应用。

过程与方法：在探索三角形全等条件的过程中，让学生学会有条理地思考、分析、解决问题的能力，培养学生推理意识和能力，发展学生的空间观念。

情感态度与价值观：培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

教学重点：经历探索三角形全等条件的过程。

教学难点：对三角形全等条件的分析和探索。

教学过程引入：三角形全等的判定是中学数学重要内容之一，是证明线段相等、角相等的重要方法，是今后几何学习的基础。

本节课是探索三角形全等条件的第一课时，学好了将为下节课探索三角形全等的其他条件打下坚实的基础；同时为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好模式和方法，因此本节课占有相当重要的地位和作用。

复习回顾1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？2．创设情景，提出问题大家知道:一个三角形有三个角与三条边,那么两个三角形全等是否一定要三个角与三条边都对应相等,即这六个条件都成立。

如果满足这六个条件中的一个或两个，那么两个三角形会全等吗?小组合作完成课本第六页探究1。

通过探究可以发现满足上述条件中的一个和两个两个三角形不一定全等。

满足上述六个条件中的三个，能保证两个三角形全等吗？需分境况来讨论。

探究2：先画出一个三角形△ABC，你能画一个△A′B′C′，使AB= A′B′，AC= A′C′，BC= B′C′吗？教师介绍尺规作图。

师生一起完成：A B C D EF并△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 拼一拼，他们是否全等？4．归纳总结，得出新知三边对应相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS ”用符号语言表达为：在∆ABC 和∆DEF 中AB=DE∵AC=DFBC=EF∴∆ABC ≌∆DEF5．应用新知，体验成功要证明这两个三角形的三条边是否对应相等，从题目中得知，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，所以有BD=DC ，而AD=DA 是公共边，这样根据“SSS ”，所以题目所求证的这两个三角形就全等了。

初中数学公式之全等三角形的判定最新

初中数学公式之全等三角形的判定最新初中数学公式之全等三角形的判定最新全等三角形的判定公式1边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等2 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等3 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等5斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等6 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等7 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上8角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中数学几何公式大全之全等三角形的判定公式，看过的同学请认真记忆了。

接下来还有更多更全的初中数学知识讯息尽在。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。

全等三角形判定(HL)(一)

全等三角形判定(HL)（一）引言概述：全等三角形判定是在几何学中一项基本的判定方法。

本文主要介绍全等三角形判定的基本原理以及应用。

在以下正文内容中，将会详细阐述全等三角形判定的基本理论和判定条件。

正文内容：一、全等三角形的定义1. 两个三角形的边长和角度完全相等时，可以判定它们为全等三角形。

2. 全等三角形具有相同的形状和大小，但可能有不同的方向。

二、全等三角形的判定方法1. HL（斜边-直角边相等）法：当两个三角形中的一个直角边和斜边分别相等时，可以判定它们为全等三角形。

2. SSS（三边相等）法：当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定它们为全等三角形。

3. SAS（两边一角相等）法：当两个三角形中的一对边和夹角分别相等时，可以判定它们为全等三角形。

4. ASA（两角一边相等）法：当两个三角形中的一对角度和夹边分别相等时，可以判定它们为全等三角形。

5. AAS（两角一边相等）法：当两个三角形中的两对角度和一边分别相等时，可以判定它们为全等三角形。

三、全等三角形判定实例1. 使用HL法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。

2. 使用SSS法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。

3. 使用SAS法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。

4. 使用ASA法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。

5. 使用AAS法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。

四、全等三角形判定的应用1. 在工程建模和设计中，全等三角形判定可用于测量和构建不同物体的几何形状。

2. 全等三角形判定也可用于计算三角形的面积和周长。

3. 在解决几何问题和证明几何定理时，全等三角形判定常作为基本工具。

五、总结：全等三角形判定是几何学中一项重要且基础的判定方法。

通过判定两个三角形的边长、角度和夹边的关系，我们可以确定它们是否为全等三角形。

全等三角形判定具有广泛的应用，可用于测量和设计物体的几何形状，计算三角形的面积和周长，同时也为解决几何问题和证明几何定理提供了基础工具。

全等三角形的判定(1)

全等三角形的判定（2）沂水县高庄镇第一初级中学胡发伟课题：全等三角形的判定（2）课型：新授课教学目标：1、知识与技能目标：（1）掌握“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(边角边)”的内容,并能应用这种判定方法进行简单的证明;（2）理解“两边及其中一边的对角对应相等”是不能证明两个三角形全等的。

2、过程与方法目标：使学生经厉探索三角形全等的条件的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程。

培养学生严谨求实的学习态度，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳思想的认识。

3、情感与价值观目标：（1）通过探索三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质以及发现问题的能力。

（2）在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。

教学重难点：重点：掌握“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”难点：理解“两边及其中一边的对角对应相等”是不能证明两个三角形全等的教材分析：学生在参与了上节课的探究活动后，对数学的探究方法有了一定的认识，此时，不失时机地引导学生继续探索新知，是符合学生的心理特点的。

让学生动手操作,亲自体验知识的产生过程,并在探索中产生思维的碰撞,这样更能激发学生的学习兴趣。

教学方法和手段：师生互动讲练结合合作探究研讨总结1、基于本节课的特点和八年级学生的心理及思维发展特征，在教学中选择激趣法讨论法总结法相结合，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习，采用“自主合作严谨求实探究交流”的体验式教学，调动学生的主观能动性2、采用多媒体教学演示，增强直观性，提高学生学习的趣味性和积极性，从而提高教学效率，在研究判定定理的过程中，采用小组讨论、学生动手操作和合作探究等方法，培养学生互助、协作的精神。

教学准备：电脑课件、常用教学具圆规，直尺等。

教学时间：45分钟。

人教版八年级数学公开课三角形全等的判定(1)说课稿

三角形全等的判定（1）说课稿各位老师你们好：今天我说课的内容是：人教版九年制义务教育课程标准实验教科书八年级上册数学课本第12章第2节《三角形全等的判定》第一课时，我将从教材分析、教学方法、教学流程三个方面进行说明：一、教材分析（一）本节内容在教材中的地位和作用全等三角形是平面几何的重要内容。

学生在七年级已经学习了直线和对三角形的初步知识，在上一节学习了全等三角形的定义和性质。

本节内容既是前面所学知识的延伸与拓展，也是学习四边形、相似形等内容的基础，同时本节课的探究方法也为以后的学习研究提供了借鉴。

因此，本节课无论是从知识的连贯性，还是从对学生能力的培养方面，都将起到承上启下、举足轻重的作用。

（二）学情分析八年级学生已经具备了一定的三角形全等方面的知识，但是对于如何判断两个三角形全等及利用全等三角形进行证明还是比较陌生的，因此在组织教学时教学时，教师要运用激励的语言来激发学生的学习热情。

（三）教学目标根据课程标准的要求、教材内容的特点及学生的认知水平，我确定本节课的教学目标是：1.知识技能：（1）掌握“边边边”公理的内容：三边对应相等的两个三角形全等。

（2）能初步应用“边边边”公理判定两个三角形全等。

2.过程与方法：学生经历探索三角形全等的条件的过程，领悟分类讨论的数学思想方法。

3.情感态度价值观：通过探索三角形全等的条件的一系列探活动，培养学生合作交流、大胆猜想、乐于探究的良好品质。

（四）教学重难点：我把“边边边”公理及应用作为本节课的教学重点，把“边边边”条件的探究作为教学难点。

（五）教学手段：多媒体辅助教学，圆规，三角板。

二、教学方法本节课内容具有很强的实践性，学生的认识应该是在充分的实践操作基础上归纳得出的，并将小组合作、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，充分发挥学生的主体作用。

使学生在合作中解决问题，在探索中发展思维能力。

这种探究发现式的学习方式依据实践性原则，也符合学生的认知规律和年龄特点，有利于兴趣的激发和创新精神的培养。

人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教案

人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教案一. 教材分析《三角形全等的判定(1)SSS》是人教版数学七年级上册的一章，主要介绍了三角形全等的判定方法之一——SSS(Side-Side-Side)。

本节课通过讲解和实例分析，让学生理解并掌握SSS判定方法，能够运用SSS证明两个三角形全等。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别和判断三角形的类型。

但是，对于三角形全等的判定方法，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握SSS判定方法。

三. 教学目标1.让学生理解三角形全等的概念，掌握SSS判定方法。

2.培养学生运用SSS判定方法解决实际问题的能力。

3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：SSS判定方法的理解和运用。

2.教学难点：对于复杂图形的SSS判定方法的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生自主探究和小组讨论，培养学生的解决问题能力和团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备一些实际的三角形图形，用于讲解和练习。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题引出三角形全等的概念，例如：“在拼图游戏中，如何判断两个三角形是否完全一样？”让学生思考和讨论，引导学生认识到三角形全等的重要性。

2.呈现(10分钟)讲解三角形全等的定义和SSS判定方法。

通过PPT和实物图形，让学生直观地理解SSS判定方法。

举例说明SSS判定方法的应用，让学生初步掌握如何判断两个三角形全等。

3.操练(10分钟)让学生分组练习，每组提供一些实际的三角形图形，要求学生运用SSS判定方法判断两个三角形是否全等。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固(10分钟)通过一些综合性的题目，让学生运用SSS判定方法解决问题。

教师引导学生思考和讨论，帮助学生巩固所学知识。

14.4 全等三角形的判定(1)

14.4 全等三角形的判定（1）[全等三角形的判定方法1（S.A.S ）]第一组 14-151、下列说法正确的是（）A 、两条边对应相等的两个三角形全等B 、两条边及一个角对应相等的两个三角形全等C 、两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等D 、两个角对应相等的两个三角形全等2、下列说法错误的是（）A 、两个全等三角形的面积相等B 、面积不相等的两个三角形不全等C 、不全等的两个三角形的面积可能相等D 、面积相等的两个三角形全等3、图14-15-1中△ABC 与△ADC 有公共边AC ，若（），则△ABC ≌△ADC 。

A 、AB=AD ，∠B=∠D B 、AB=AD ，∠ACB=∠ACD C 、AB=AD ，∠BAC=∠DAC D 、BC=DC ，∠BAC=∠DAC4、如图14-15-2，△ ≌△ 。

（）5、如图14-15-3，△ ≌△ ，（）△ ≌△ 。

（）6、如图14-15-4，AB=BD ，添加条件，得到△ABC ≌△DBC 。

图14 - 15 - 17、如图14-15-5，已知AN=BM，∠1=∠2，说明△AMN≌△BNM的理由。

8、如图14-15-6，已知AD⊥BC，D是垂足，BD=DC，说明△ABD≌△ACD的理由。

9、如图14-15-7，已知ABDC于点B，且BD=BA，BE=BC，求证：DE=AC。

10、如图14-15-8，已知AE=CF，AD=CB，AD//BC，说明△ADF≌△CBE的理由。

11、如图14-15-9，BD平分∠ABC，BC=BE，∠C=90º。

求∠AED的度数。

12、如图14-15-10，AC//BE，AC=BE，点B是AD的中点，试说明△ABC≌△BDE的理由。

13、如图14-15-11，已知AB=AC ，BD=EC ，试说明∠BDC=∠CEB 的理由。

14、如图14-15-12，BD 垂直平分CE 。

（1）试说明△BCD ≌△BED 的理由；（2）在△ABE 和△ABC 中，相等的角和相等的边有哪几组？这两个三角形全等吗？15、把图14-15-13、14、15中的三个等边三角形分割成2、3、4个全等的三角形。

全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解

全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中90AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC⊥AC，PB⊥AB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】2、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【答案与解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中A CAD CBD B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF≌△CBE （ASA）∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE. 在△ABF 和△DCE 中，B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】3、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EADB ECB=DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中BED CFDBDE CDFBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO与△CDO中A C(AOB COD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等）AB=CD∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝CO ，BO=DO在△AEO和△CFO中A C(AOE COF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等）∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.在△ABD和△ABC中，ABD ABCAB ABBAD BAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD≌△ABC（ASA）∴BD＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.。

全等三角形的判定(SSS)--教案

《全等三角形的判定(SSS)》教案第一课时一、内容和内容解析1．内容判定两个三角形全等的条件（SSS）．2．内容解析本节课的内容是探索三角形全等条件的第一课时，是在学习了全等三角形的概念，全等三角形的性质后展开的．它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法．因此本节课的知识具有承前启后的作用，占有相当重要的地位．边边边公理是通过学生探究获得的．用直尺、圆规画三角形，为了获得边边边公理，通过让学生动手作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性，归纳出“三边对应相等的两个三角形全等”这一判定公理．边边边公理也是证明线段相等、角相等的重要途径，关键是三角形全等条件的分析与探索．二、目标和目标解析1．目标（1）掌握边边边条件的内容；能初步应用边边边条件判定两个三角形全等．（2）会运用边边边条件证明两个三角全等．2．目标解析达成目标（1）的标志是：通过学生动手画一画，把所画的三角形剪下去与同伴所画的三角形进行比较，发现规律．得出判定两个三角形全等的条件（边边边公理），并运用它进行简单的说理和证明．达成目标（2）的标志是：要求学生能够熟练利用边边边条件证明两个三角全等．三、重点、难点教学重点：能应用边边边条件判定两个三角形全等．教学难点：探究三角形全等的条件．四、教学过程设计（一）知识回顾，提出问题已知△ABC≌△A′B′ C′,找出其中相等的边与角：思考：满足这六个条件可以保证△ABC ≌△A ′B ′C ′吗？师生活动：师提出问题，学生回答.问题1：当满足一个条件时, △ABC 与△ABC ′全等吗？师生活动：让学生经历画图的过程后，总结经验．达成共识：不一定全等．如图所示：一条边分别相等时：一个角分别相等时：问题2：当满足两个条件时, △ABC 与△A ′B ′C ′全等吗？师生活动：让学生通过画图、展示交流后得出结论．达成共识：不一定全等．如图所示：两条边分别相等时：45°BC AA ’B ’C ’45° ABC4cmA B C C ′B ′A ′A ’ C ’B ’4cmA ’A两个角分别相等时：一边一角分别相等时：问题3：当满足三个条件时， △ABC 与△A ′B ′C ′全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？师生活动：让学生交流讨论后、得到以下几种情况．师问：我们现在研究第①种情况．当两个三角形满足三边对应相等时，这两个三角形全等吗？设计意图：先提出“全等判定”问题，构建出三角形全等条件的探索路径，然后以问题串的方式呈现探究过程，引导学生层层深入地思考问题．（二）动手操作，感悟新知活动：尺规作图，探究“边边边”判定方法先任意画出一个△ABC ，再画出一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′= AB ，B ′C ′= BC ，A ′C ′= AC ．把画好的△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ABC45°65°ABCB ’C ’A ’ 45° 65°9cmB ’C ’A ’C ’B ’4cmACB4cm解：画法（1）画线段B ′C ′=BC ；（2）分别以B ′、C ′为圆心，BA 、BC 为半径画弧，两弧交于点A ′；（3）连接线段A ′B ′，A ′Ｃ′． ΔA ′B ′Ｃ′就是所求三角形．师生活动：教师引导学生用尺规作图作出△A ′B ′C ′．然后剪图、进而让不同小组的学生比较图的形状、大小．最后达成共识．探究（1）：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言概括吗？师生活动：学生回答，并归纳概括出边边边公理，教师加以补充，形成结论．归纳总结: 边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等．探究（2）：如何用符号语言表示边边边公理呢？师生活动：学生探讨，试写出表示边边边公理的符号语言，师巡视后在班内形成规范表达（先让出错的学生写，然后规范）．用符号语言表达:在△ABC 和△A ′B ′C ′中∵⎪⎩⎪⎨⎧==='B'BC 'A'AC ''C C B A AB ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）设计意图：教师引导学生动手作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性，获得三角形全等的“边边边”判定方法．在概括基本事实的过程中，引导学生透过现象看本质，锻炼学生用数学语言概括结论的能力．（三）初步应用，巩固知识问题：我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．你能解释其中的道理吗？C ′B师生活动：学生用“边边边”判定方法进行解释，感悟数学源于生活，数学又服务于生活．设计意图：用所学知识解释生活现象，进一步体会判定方法的作用，感悟数学的应用价值．例1：如图所示的三角形钢架中，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证△ABD ≌△ACD ．板书如下：证明：∵D 是BC 的中点． ∴BD=DC （线段中点的定义）．在△ABD 和△A CD 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已证）已知）AD D CD D AC AB A B ( ∴△ABD ≌△A CD （SSS ）师生活动：学生讨论思路后，让一个学生口述步骤，教师板演，强调每一步注明理由．设计意图：运用“边边边”判定方法证明简单的几何问题，感悟判定方法的简捷性，体会证明过程的规范性．例2：用尺规作一个角等于已知角．已知：∠AOB ．A OB A ’B ’O ’EDE ′求作： ∠A ′O ′B ′=∠AOB ．解：画法（1）画射线O ′B ′；（2）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ；（3）以点O ′为圆心，以OD 长为半径画弧，交O ′B ′于点E ′ ；（4）以点E ′为圆心，以ED 长为半径画弧，交前弧于点A ′ ；（5）连接线段O ′A ′． ∠A ′O ′B ′就是所求的角．师生活动：教师指导学生用尺规作图.学生动手作图，教师巡视指导．然后教师提出问题：为什么这样作出的两个角是相等的？理由：连接DE ，A ′E ′．在△DOE 和△A ′O ′E ′中∵⎪⎩⎪⎨⎧===''''''E A DE E O OE A O OD ∴△DOE ≌△A ′O ′E ′（SSS ） ∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ．设计意图：让学生运用“SSS ”条件进行尺规作图，同时体会作图的合理性，增强作图技能．（四）课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，请学生回答下列问题：（1）什么是边边边公理？三角形具有什么性？边边边公理是如何得到的的？（2）你是怎样用边边边公理进行计算和说理的？设计意图：通过问题对本节课内容进行梳理，巩固边边边公理及应用．（六）布置作业课本P43页习题12.2第1、9题. 五、目标检测1.当△ABC 和△DEF 具备（）条件时，△ABC ≌△DEF. ( ) A. 所有的角相等 B.三条边分别对应相等 C.面积相等 D.周长相等2.如图，已知B 、D 为AE 上的两点，AD=BE,AC=DF,BC=EF,则下列说法中错误的是（）A. AC ∥DFB.∠C=∠FC. BC ∥EFD.∠A=∠E3.如图，AF=CD ， AB=ED,EF=BC,那么△ABC ≌△DEF 的理由是__________.4.如图，若OA=OB,AC=BC,∠ACO=30O,则∠ACB=________.5.如图，已知AB=AC,AD=AE,BD=EC ，则△ABD ≌____，△ABE ≌____．6.如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC 与BD 相交于点O ， AB = DC ，AC = BD . 求证: △ABC ≌△DCB ；AOCBCAA DB EFCAFCDB E7.如图，已知AC 、BD 相交于O,且AB=DC,AC=BD,能得到∠A=∠D 吗？为什么？答案：1. B2. D3. SSS4. 60O5. △ACE ，△ACD6. 证明：在ΔABC 和ΔDCB 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已知）已知）CB BC DB AC (DC AB ∴ΔABC ≌ΔDCB （SSS ）7.解：能．理由如下：连接BC ．在ΔABC 和ΔDCB 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已知）已知）CB BC DB AC (DC AB ∴ΔABC ≌ΔDCB （SSS ）∴∠A=∠D （全等三角形的对应边相等）．ADB CO。

人教版数学八上第6讲全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解(1)

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定. 举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE 在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90° ∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB【答案】证明：∵ AP 平分∠BAC ∴∠BAP ＝∠CAP 在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS) ∴ QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS) ∴∠DEH ＝∠DFH ．【总结升华】证明△DEH ≌△DFH ，就可以得到∠DEH ＝∠DFH ，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS ”定理就能解决问题. 举一反三：【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，边OB 上分别取OD ＝OE ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D 、E 重合，这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，你能先说明△OPE 与△OPD 全等，再说明OP 平分∠AOB 吗？【答案】证明：在△OPE 与△OPD 中∵OE OD OP OP PE PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △OPE ≌△OPD （SSS ）∴ ∠EOP ＝∠DOP(全等三角形对应角相等) ∴ OP 平分∠AOB.【巩固练习】一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .则（） A.△ABC ≌△'''A C B B. △ABC ≌△'''A B C C. △ABC ≌△'''C A B D. △ABC ≌△'''C B A2. 如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（） A.AB ∥DC B.∠B ＝∠D C.∠A ＝∠C D.AB ＝BC3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4. 如图，AB 、CD 、EF 相交于O ，且被O 点平分，DF ＝CE ，BF ＝AE ，则图中全等三角形的对数共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. 如图，将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，使'AA ，'BB 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△''OA B 的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边6. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（） A.EC ⊥AC B.EC ＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB二、填空题7. 如图，AB ＝CD ，AC ＝DB ，∠ABD ＝25°，∠AOB ＝82°，则∠DCB ＝_________.8. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相平分，则图中全等三角形共有_____对.9. 如图，在△ABC 和△EFD 中，AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时，就可得△ABC ≌△EFD （SSS ）10. 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．12. 已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌ .三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14. 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB∥CD （），∴∠______＝∠______ （），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （）． ∴ ∠______＝∠______ （）． ∴ ______∥______（）．15. 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE 求证：AE ＝DE.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置. 2. 【答案】D ；【解析】连接AC 或BD 证全等. 3. 【答案】D ； 4. 【答案】C ；【解析】△DOF ≌△COE ，△BOF ≌△AOE ，△DOB ≌△COA. 5. 【答案】A ；【解析】将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，说明OA ＝'OA ，OB ＝'OB ，再由对顶角相等可证.6. 【答案】D ；【解析】△ABC ≌△EDC ，∠ECD ＋∠ACB ＝∠CAB ＋∠ACB ＝90°，所以EC ⊥AC ，ED ＋AB ＝BC ＋CD ＝DB.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝82412︒=︒，所以∠DCB ＝ ∠ABC ＝25°＋41°＝66°8. 【答案】4；【解析】△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，△ABD ≌△CDB ，△ABC ≌△CDA. 9. 【答案】BC ＝ED ； 10.【答案】56°；【解析】∠CBE ＝26°＋30°＝56°. 11.【答案】20°；【解析】△ABE ≌△ACD （SAS ） 12.【答案】△DCB ，△DAB ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上. 三.解答题13.【解析】证明：在△ADC 与△BCD 中，,,,DC CD ADC BCD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()...ADC BCD SAS ACD BDC OC OD ∠=∠=∴△≌△∴∴ 14. 【解析】3，4； ABD ，CDB ；已知；1，2；两直线平行，内错角相等； ABD ，CDB ； AB ，CD ，已知； ∠1＝∠2，已证； BD ＝DB ，公共边； ABD ，CDB ，SAS ；3，4，全等三角形对应角相等； AD ，BC ，内错角相等，两直线平行.15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△DCB （SSS ） ∴∠ABC ＝∠DCB ，在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCE （SAS ） ∴AE ＝DE.DBA。

三角形全等的判定(1)

活动 3 问题你如何验证你的结论呢?（请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．）
提醒学生注意：已知三边画三角形是一种重要的作图，在几何中用途很多，所以这种画图方法一定要掌握．
2
活动 5 问题你如何进一步验证你的结论呢 ? （请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形有两边和这两边的夹角对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．）
在此活动中教通过观察和师应关注学生：实验我们得到一做一个角等于已知个规律：角的方法的进一步两边和它们掌握．的夹角对应相等的两个三角形全教师进一步引等（可以简写成导学生推出“SAS” “ 边角边 ” 或的结论． “SAS” ）．
活动 6 问题如果两边对应相等，其夹角不相等，而是一边的对角对应相等，这样的两个三角形全等吗？
教师：通过学生结论：两边及讨论及几何画板的一边的对角对应演示使学生认识到：相等的两个三角两边及一边的对角形不一定全等．对应相等的两个三角形不一定全等．
活动 7 练习 1．如图，在△ABC 和△DEF 中，使学生逐步掌 AB ＝ DE 、 AC ＝ DF 请你添加条握“SSS”“SAS” 、件，使△ABC≌ △DEF．公理．培养学生分析问题的能力．
11.2
三角形全等的判定（1）
教学任务分析
1．经历探索三角形全等的条件的过程．知识技能 2．掌握探究问题的一般方法． 3．初步掌握运用 SSS、SAS 判定两个三角形全等．使学生经历探索三角形全等的条件的过程，体验用操作、数学思考归纳得出数学结论的过程．会运用 SSS、SAS 条件证明两个三角形全等，并体会多解决问题种方法证明结论． 1．通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想的良好思维品质，以及发现问题的情感态度能力． 2．使学生了解通过观察和实验可以获得许多数学知识，并学会把这些数学知识应用于他们的日常生活中．通过观察和实验获得 SSS、SAS，会运用 SSS、SAS 条件证明两个三角形全等．认识两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．直尺、圆规、三角板、量角器、剪刀、硬纸片．

全等三角形的判定(1)边角边

A
D
B
C
3、如图，AB=AC，其中E、F两点分别是AC、AB的中点。小明说“线段BE和线段CF相等”，你认为他说得对吗？
A
Ｆ
Ｅ C
四、课堂小结：
B
1、本节课我们主要运用了平移、旋转和轴对称等知识推导出了判
定三角形全等的一种方法：边角边定理（SAS）；
2、边角边定理（SAS）：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∴△ABD≌△ACD（SAS）
问题回顾
某校八年级一班的学生到野外活动，为了测量某池塘两端AB
两地之间的距离，设计了如下方案：如图，先在平地上取一个
可以直接到达A、B两地的点C，再连结AC、BC并分别延长至点D和点E使DC=AC、EC=BC，则最后测得DE的距离就是AB 两地之间的距离。你认为这种方法是否可行？请说明理由。
则这两个三角形全等吗？
A A'
C'
变换演示：
变换演示：
思考：
B' B
．
C C'
A'
B'
能否通过图形的平移和旋转试试
？
（图②）
三角形全等的判定方法（1）
这是一个公理。
边角边定理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简记为SAS（或边角边）。几何表示：
A B D C
在△ABC与△DEF中 AB=DE ∵ ∠B=∠E BC=EF
求证：△ACO ≌ △BDO。分析：在 △ ACO 和 △ BDO 中： A O = B O （已知） ∠AOC=∠BOD （对顶角相等）（从图上可知：它们是对顶角， C O = D O （已知）且我们知道：对顶角相等。）

14.4全等三角形的判定(1)(1)

试说明△ABC ≌△EFD 的理由.
解：因为AC//DE（已知）,
A
所以∠ACB =∠EDF （两直线平行，内错角相等）.
因为BD=CF（已知），
B
所以BD+ DC=CF+ DC （等式性质）， A
D
即 BC=FD .
CF
在△ABC 与△EFD中，
E
AC=ED（已知）， ∠ACB=∠EDF，
B D
CF
BC=FD，
所以△ABC ≌△EFD（ S.A.S）.
E
例1 如图, 已知AB=AD, AC=AE,
∠∠BBAADC==∠∠CDAAEE, 的理由. A
说明△BAC与△DAE全等
E
D C
B
如图，把两根钢条AB、CD的中点合在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），只要测得AC的长，就可知工件的内径BD的长，你明白其中的道理吗？
——
确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况：（1）两边及其夹角（2）两角及其夹边（3）两角及其中一角的对边（4）三边
1.已知条件为：“两边及其夹角对应相等”的两个三角形
如图，在△ABC和△A'B'C'中, AB=A'B',∠A=∠A',
AC=A'C', 试说明△ABC ≌ △A'B'C'.
B
C
O
D
A
拓展题:如图，已知AB=AC， AD=AE，
∠BAE=∠CAD，你能得到哪两个三角形
全等？
A
BD
EC
全等三角形的判定方法1—S.A.S
校本作业：14.4（1）必做题：1-8 选做题：9

八上培优第7讲全等三角形的判定(一)

A DB C E F第七讲：全等三角形的判定（一）SAS【知识要点】1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL；需要三个边角关系；其中至少有一个是边；2．“SAS”定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；①求证全等的格式：（）如：②利用全等进行几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行”、全等应用；③“边边角”不能证明两个三角形全等；3．三角形全等的的应用：①证明线段相等；②证明角相等；4．注意不需要预备证明而直接利用的隐藏条件：公共边、公共角、对顶角. 【新知讲授】“SAS”公理的运用例1、已知：如图，C为AB的中点，CD∥BE，CD=BE，求证：∠D=∠E.巩固练习1.如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD，求证：BC=DE.2.已知：如图，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点，求证：∠B=∠C.在△ABC和△DEF中：AB DEA DAC DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC∽△DEF.（SAS）例2.已知：如图，AB=CD，∠ABC=∠DCB，求证：∠ABD=∠ACD.巩固练习：1.已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AE=DF，求证：CE∥BF.2．已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：∠DEB=∠2.例3.如图，BD、CE为△ABC的两条中线，延长BD到G，使BD=DG，延长CE到F，使CE=EF.（1）求证：AF=AG；（2）试问：F、A、G三点是否在同一直线线？证明你的结论.巩固练习：1.已知：如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB=CD，BE=DF，求证：∠EAF=∠ECF.2.已知：如图，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBE=∠DCE.A BC DEFABDEF例4.已知：如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠ACD=∠BDC. （提示：不能用等腰三角形的性质）巩固练习：1.已知：如图，OD=OE，OA=OB，OC平分∠AOB，求证：∠A=∠B.2.已知：如图，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求证：∠EAF=∠EDF.【课后作业】1．如图，已知点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，求证：BC∥EF．2．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DE，BE=CD，试判断△ACE的形状并说明理由.A B E D C A D B C E F A D B C E A D C B4．已知：如图，OD=OE ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.5．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AB ∥CD.6．如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE.（1）求证：BD=CE ；（2）若∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，则∠BPC 的度数为 .（用含α的式子表示）7．如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数．条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段)，并能用“SAS”公理进行证明．（1）你添加的条件是：；（2）证明：。

全等三角形的判定AAS(一)

全等三角形的判定AAS（一）引言概述：全等三角形是指具有完全相同的形状和大小的两个三角形。

判定全等三角形可以通过多种方法，其中之一是利用AAS（角-角-边）的判定方法。

在本文中，我们将深入探讨AAS判定法，并介绍如何利用该方法判断两个三角形是否全等。

正文：1. 角-角-边（AAS）判定法- AAS判定法是一种基于三个已知条件的判定方法，它包括两个角度和夹角所对的边长。

- 两个三角形具有相等的两个角度和它们之间的边长，即两个角度和一个夹角边相等时，可以判定两个三角形全等。

2. AAS判定法的应用举例- 给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，以及边AC = DE。

- 利用AAS判定法，可以确定是否可以判定三角形ABC和DEF全等。

- 通过比较两个三角形的对应边长和对应角度，可以得出结论。

3. AAS判定法的正确性证明- 通过假设两个三角形具有相等的两个角度和夹角边长，利用三角形的性质和几何定理进行推导和证明。

- 采用反证法或其他几何推理方法，最终得出结论，证明AAS判定法的正确性。

4. AAS判定法的注意事项- 在应用AAS判定法时，需确保给定的两个角度与夹角边长满足相等关系，否则无法判定三角形全等。

- 应通过几何推理和计算方法验证所得出的结论，避免出现错判情况。

5. AAS判定法的实际应用- AAS判定法是几何学中经常应用的方法之一，可以用于解决实际生活和工程问题。

- 例如，在测量和建模领域，利用AAS判定法可以判断两个相似物体的尺寸和比例关系。

总结：通过本文的介绍，我们了解了AAS（角-角-边）判定法在判定全等三角形中的应用。

我们了解了AAS判定法的基本原理和正确性证明，并了解了其在实际应用中的一些注意事项。

通过灵活运用AAS判定法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等，从而拓展和应用到更广泛的领域中。

14.2.1三角形全等的判定(一)SAS

C F E
练习一 1.在下列图中找出全等三角形，并把它们用直
线连起来.
30º Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅳ Ⅳ 5 cm
30º
Ⅷ Ⅵ 30º Ⅶ
Ⅴ
选择：下列能证明两个三角形全等的是(
)
(1)AB=DE AC=DF ∠B=∠E
(2) AB=DE AC=DF ∠A=∠E (3) AB=DE AC=DF ∠A=∠D
45◦
30◦
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等
14.2 三角形全等的判定（一）
滁州二中钱立梅
请思考： 1、什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2、全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等；对应角相等
A D
B
C
E
F
∵△ABC≌△DEF(已知） ② BC=EF ③ CA=FD ∴ ①AB=DE ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F
说一说
今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？答：两边及其夹角分别相等的两个三角形
全等。
边角边（SAS） “边边角”不能判定两个三角形全等
注意哦！
开心练一练（课本100页练习）
1、已知：如图，AB=AC，AD=AE. 求证: △ABE≌△ACD.
A
D
E
C B
2、已知:如图,AC和BD相交于点 O,OA=OC,OB=OD. 求证:DC∥AB.
A
B
例2 如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难以直接量出A、B两点间的距离。你能设计一种量出A、B两点 E 之间距离的方案吗？

全等三角形的判定和性质(一)(人教版)(含答案)

使OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP.可证得△POM≌△PON,OP平分∠AOB.以上画法证明△POM≌△PON根据的是( )
A.SSS B.SAS
C.AAS D.HL
答案：D
解题思路：
1.思路点拨：
三角板说明∠PMO=∠PNO=90°，结合OM=ON，OP=OP,故判定三角形全等的方法是“HL”．
C.(4)(6)(1) D.(2)(3)(4)
答案：D
解题思路：
1.思路点拨：判定两个三角形是否全等，必须依据全等三角形的五种判定方法；且全等三角形的判定方法中必有一条边相等．
2.解题过程：
根据全等三角形的判定方法，对照图形和选项，注意验证：
选项A：符合判定方法SAS；
选项B：符合判定方法SSS
选项C：符合判定方法AAS；
A.AAS B.SAS
C.ASA D.SSS
答案：B
解题思路：
1.思路点拨：
等边三角形存在边相等，可以证全等．
2.解题过程：
∵△ABD和△ACE均为等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60°
∴DA=BA，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC
在△ADC和△AEB中
∴△ADC≌△ABE（SAS）
A.50° B.60°
C.62° D.64°
答案：B
解题思路：
1.思路点拨：
①把∠BDC看成△ACD的外角，只需求∠ACD；
②利用全等的性质，得到；求出即可．
2.解题过程：
∵∠ACB=90°，∠A=20°
∴∠CBA=70°
∵
∴ ，，
∴
∵
∴
∴∠BDC=∠A+∠ACD=20°+40°=60°，