北师版初三数学九年级上册数学补课讲义及练习

C
【例15】如图， ABC 中， ACB 90 ， AD 是 BAC 的平分线，交 BC 于 D ， CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB 于 E ，求证：四边形 CDEF 是菱形．
4．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
二． 典例分析。
板块一、菱形的性质
【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
【例2】 ⑴ 如 图 2 ， 一 活 动 菱 形 衣 架 中 ， 菱 形 的 边 长 均 为 16 cm 若 墙 上 钉 子 间 的 距 离
AB BC 16 cm ，则
1
C． 40 cm2
D． 80 cm2
D
A
C
图1
B
【例7】 已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形 的一个钝角的大小是
【例8】 如图，菱形花坛 ABCD 的周长为 20m ， ABC 60 ，沿着菱形的对角线修建了 两条小路 AC 和 BD ，求两条小路的长和花坛的面积．
A
G
D
B
EF
C
【例14】如 图 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， M 是 BC 的 中 点 ． 分 别 作 MD AB 于 D ， ME AC 于 E ， DF AC 于 F ， EG AB 于 G ． DF、EG 相交于点 P ．求证： 四边形 DMEP 是菱形．
A
GP F
D
E
B
M
【例9】 已知，菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，若 AE AF EF AB ， 求 C 的度数．
A
B E
D F
C
4
板块二、菱形的判定
【例10】如图，如果要使平行四边形 ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添
加的条件是
．
A
D
B
C
【例11】☆如图，在 ABC 中， BD 平分 ABC ， BD 的中垂线交 AB 于点 E ，交 BC 于点 F ， 求证：四边形 BEDF 是菱形
九年级上学期补习目录
第一讲： 菱形的性质和判定 第二讲： 矩形的性质和判定 第三讲： 正方形的性质和判定 第四讲 一元二次方程的定义及解法（1） 第五讲 一元二次方程及解法（2） 第六讲 一元二次方程的根的判别式 第七讲 一元二次方程的根与系数的关系 第八讲 一元二次方程应用题 第九讲： 一元二次方程巩固提高训练 第十讲： 相似三角形的性质与判定（1） 第十一讲：相似三角形的性质与判定（2） 第十二讲 反比例函数（一） 第十三讲 反比例函数综合训练（二） 第十四讲 反比例函数综合应用 第十五讲 期末复习（测试卷）
EP CD 于点 P ，则 FPC （ ）
A． 35
B． 45
C． 50
D． 55
D
A
E
P
C
B
F
图3
3
【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为 60
的菱形，剪口与折痕所成的角 的度数应为（ ）
A．15 或 30 B． 30 或 45
C． 45 或 60
D． 30 或 60
【巩固】菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 的中点，且 AE BC ， AF CD ，那么
EAF 等于
．
【巩固】如图，将一个长为10 cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中
点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10 cm2
B． 20 cm2
D
E
H
A
C
P
B F
【例4】 如图 1 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， H 为 AD 边中点，
菱形 ABCD 的周长为 24 ，则 OH 的长等于
．
A
H
B
D
O
C 图1
【巩固】如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC 8cm，BD 4 cm，DE BC 于点 E ，则 DE 的 长为
A C'
D
B
E
C
【例13】☆如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点， EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ， 交 AB 于 P ，证明： AB 与 EF 互相平分
A
E
D
A
E
D
P
P
F
B
CF
B
C
5
【巩固】☆已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，将 ABE 沿 BC 方 向平移，使点 E 与点 C 重合，得 GFC ．若 B 60 ，当 AB 与 BC 满足什么数量 关系时，四边形 ABFG 是菱形？证明你的结论．
度．
A
B
C
1
图2
⑵ 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， A 60 ， E 、 F 分 别 是 AB 、 AD 的 中 点 ， 若 EF 2 ，则菱形 ABCD
的边长是______． A
E
F
B
D
C
2
【例3】 如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点， EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ， 交 AB 于 P ， 证明： AB 与 EF 互相平分．
【例5】 菱形的周长为 20 cm ，两邻角度数之比为 2 :1 ，则菱形较短的对角线的长度为
【巩固】如图 2，在菱形 ABCD 中， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（ ）
A． 5
B． 10
C． 6
D． 8
A
D
B
C
图2
【巩固】如 图 3 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， A 110 ， E 、 F 分 别 是 边 AB 和 BC 的 中 点 ，
1
第一讲：菱形的性质和判定
一.基础知识。
1．菱形的的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2．菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质． （2）菱形的四条边相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直平分；并且每一条对角线平分一组对角．
3．菱形的识别方法:（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形为菱形． （3）四条边相等的四边形是菱形．
A
E
D
B
F
C
【巩固】已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直分线与边 AD 、 BC 分别相
交于 E 、 F .求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
E
D
O
B
F
C
【例12】如图，在梯形纸片 ABCD 中， AD / /BC ， AD CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠， 使点 C 落在 AD 上的点 C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连结 CE . 求证：四边形 CDCE 是菱形．