黑龙江省哈尔滨高一上学期期末考试数学试卷

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【数学】黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年高一上学期期末考试试题(解析版)

又 y log2 t 在 (0, ) 上单调递增， ∴函数 f (x) log2 (x2 2x 3) 的单调递增区间为 (1, ) ，
故选：B
7.函数 f (x) sin x ln x2 的部分图象大致是图中的（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】函数 f (x) sin x ln x2 的定义域为 R，
2．
∵
4
2
,∴
tan
2．
2cos2 sin 1
2
∴
2sin
4
cos sin
cos sin
2
sin
4
cos
cos
4
sin
cos sin cos sin
cos cos sin
cos
1 tan 1 1 tan 1
2 2 2
23
．
故选 C．
12.已知
0
，函数
f
(x)
sin( x
）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不含 60 角的等腰三角形
【答案】B
【解析】由题意可得 sin（A﹣B）＝1+2cos（B+C）sin（A+C），
∴sin（A﹣B）＝1﹣2cosAsinB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB＝1﹣2cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB＝1，
黑龙江省哈尔滨市 2019-2020 学年
高一上学期期末考试试题
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.已知集合 A y y log3 x, x 1 , B x x 2 2x 3 0 ，则 A B ( )

黑龙江省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．集合，全集，则的所有子集个数（） {}{}N |38,6,7,8A x x B =∈<<=U A B =⋃()U A B ⋂ðA ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C【分析】根据给定的条件，用列举法表示集合A ，再求出即可作答.()U A B ⋂ð【详解】依题意，，而，则，，因此{4,5,6,7}A ={}6,7,8B ={4,5,6,7,8}U ={6,7}A B ⋂=，(){4,5,8}U A B = ð所以的所有子集个数是.()U A B ⋂ð328=故选：C2．已知角的终边经过点，则（）α(-()tan cos 2ππαα⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭A ． BC ．D ．12-12【答案】A【分析】根据三角函数的定义式可得各三角函数值，再利用诱导公式进行化简求值. 【详解】由已知角的终边经过点，α(-得sinα=tan α==又由诱导公式得，()tan cos tan sin 2ππαααα⎛⎫-++-=+== ⎪⎝⎭故选：A.3．若，则（） 01,1a b c <<<>A ． B ．C ．D ．()0a b c ->c c a b <c ca b<log log c c a b >【答案】B【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】A ，，，则，即，故A 错误； 01a b <<<1c >0a b -<()0a b c -<B ，，则，故B 正确； 01,1a b c <<<>c c a b <C ，，则，又，所以，故C 错误； 01a b <<<11a b >1c >c c a b>D ，由，则为增函数，由，所以，故D 错误. 1c >log c y x =01a b <<<log log c c a b <故选：B4．函数在上的值域为（）()πsin(2)3f x x =+ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ． (]0,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．D ．⎛⎤⎥⎝⎦[]1,1-【答案】C【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.【详解】当时，，当时，即时，取ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ππ232x +=π12x =()πsin(23f x x =+最大值1，当，即时，取最小值大于，故值域为 ππ233x +=-π3x =-()πsin(2)3f x x =+⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：C5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数的解析式可判断其在区间的图象大致1cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[],ππ-为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.【详解】当时，令，得或，[],x ππ∈-1cos 0y x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2x π=-2x π=且时，；时，，故排除选项B.0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 0y x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1cos 0y x x x ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，故排除选项C ；cos y x =1y x x =+1cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为时，函数无意义，故排除选项D ；0x =1cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A.6．已知函数是定义域为R 的偶函数，当时，，如果关于x()f x 0x ≥()221,0245,21x x x f x x x x ⎧-++≤≤⎪=⎨->⎪+⎩的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（） ()()210m f x nf x ++=⎡⎤⎣⎦m n -A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1【答案】A【分析】画出偶函数在R 上的图象，数形结合得到的解得情()221,0245,21x x x f x x x x ⎧-++≤≤⎪=⎨->⎪+⎩()f x t =况，从而确定关于的方程要有两个不同的解，且，由韦达定理得到t 210mt nt ++=122,1t t ==,m n 的值，进而求出的值. m n -【详解】当时，， 2x >()()4194594111x x f x x x x +--===-+++且当时，， 2x =4511x x -=+又为R 上的偶函数，则函数图象如下所示：()f x当时，有2个解， 2t >()f x t =当时，有4个解， 2t =()f x t =当时，有6个解， ()1,2t ∈()f x t =当时，有3个解， 1t =()f x t =当时，无解，1t <()f x t =要想关于x 的方程恰有7个根，()()210m f x nf x ++=⎡⎤⎣⎦则关于的方程要有两个不同的解，设出， t 210mt nt ++=12,t t 则，由韦达定理得：，， 122,1t t ==12nm +=-112m⨯=解得：，13,22m n ==-故. 13222m n ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭故选：A7．已知，则的大小关系为（）3142342,3,log 4,log 5a b c d ====a b c d ,,,A ． B ． C ． D ．b a dc >>>b c ad >>>b a c d >>>a b d c >>>【答案】C【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得314222)a ==y =[0,)+∞934<<，即，112232)32<<32b a >>函数在单调递增，并且有， 4log y x =(0,)+∞44log30,log 50>>则44442log 16log 15log 3log 5=>=+=2+>于是得，即，则，44log 3log 51⨯<4341log 5log 4log 3<=c d >又函数在单调递增，且， 3log y x =(0,)+∞4<333log 4log 2<=所以. 32b acd >>>>故选：C【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较，如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.8．已知函数的定义域为,图象恒过点,对任意,都有则不等式()f x R ()1,112x x <()()12121f x f x x x ->--的解集为（）()()22log 212log 21x xf ⎡⎤-<--⎣⎦A ． B ． C ． D ．()0,∞+()2,log 3-∞()()2,00,log 3-∞ ()20,log 3【答案】D【解析】判断出是增函数，又()()R x f x x =+()()()2222log 1log 12(1)1x xf f -+-<=+，求得，从而求得的范围。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一上册期末学业质量检测数学模拟试题(含解析)

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一上册期末学业质量检测数学模拟卷（含解析）一、单选题1．设U =R ，{}0A x x =>，{}1B x x =≤-，则()U A B = ð（）A ．{}10x x -≤<B ．{}0x x >C ．{}10x x -<≤D ．{}1x x >-【答案】B【分析】先求出C U B 然后再求()U A B ∩ð.【详解】{}(){}11U B x x B x x =≤-∴=>- ð又{}(){}{}{}0010U A x x A B x x x x x x =>∴⋂=>⋂>-=> ð故选：B2．命题“R x ∀∈ðQ ，3x ∉Q ”的否定是（）A ．R x ∃∉ðQ ，3x ∈QB ．R x ∀∈ðQ ，3x ∈QC ．R x ∃∈ðQ ，3x ∈QD ．R x ∀∉ðQ ，3x ∈Q【答案】C【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“R x ∀∈ðQ ，3x ∉Q ”的否定是“R x ∃∈ðQ ，3x ∈Q ”.故选：C.3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎛ ⎝⎭，则sin cos αα+=（）A ．10-B ．10C ．10D ．10【答案】A【分析】利用角的终边与单位圆相交来定义任意角的三角函数值.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点1010P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，令1010x y =-=，所以0sin c ,101os y x αα====-，所以sin cos αα+==故选：A.4．哈尔滨地铁某环线12月份地铁票销售总量()f t 与时间()030t t <≤的关系大致满足()22020100f t t t =++，则地铁3号线东南环线前t 天平均售出（如前10天的平均售出为()1212f ）的张数最少为（）.A ．2019B ．2040C ．2021D ．2022【答案】B 【分析】求出()f t t，再根据基本不等式可求出结果.【详解】地铁3号线东南环线前t 天平均售出的张数为()1002020f t t t t=++(030)t <≤,由基本不等式可得100202020202020202040t t ++≥+=+=，当且仅当10t =时，等号成立.所以地铁3号线东南环线前t 天平均售出的张数最少为2040张.故选：B5．已知函数()31,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．2-B ．12CD ．4【答案】D【分析】根据x 的范围代入到对应的函数求值即可.【详解】由题意可得，311log 299f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2112422-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f .故选：D.6．设x ∈R ，则“1x <”是“220x x --<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件【答案】A【分析】解出不等式，结合充分条件不必要条件的概念可得到结果．【详解】若1x <，则11x -<<，若220x x --<，则12x -<<，∵{}|11x x -<<{}|12x x -<<，则“1x <”是“220x x --<”的充分不必要条件.故选：A.7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数43x y x =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可排除D,根据函数经过的特殊点可排除A,B,进而可求解C.【详解】由于()43x f x x ，=-定义域为R ,且()()()43=x f x x f x --=--，故43x y x =-为偶函数，故图象关于y 轴对称，故排除D,当0x =时，1y =，故排除A,当2x =时，9160y =-<，故排除B,故选：C8．计算)sin 40tan10︒-︒=（）A ．1B ．2C D ．3-【答案】A【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.【详解】解：因为)sin10sin 40tan10sin 40cos10︒⎫︒︒=︒⎪︒⎭sin10sin 40cos10⎫︒-︒=︒⎪⎪︒⎝⎭2cos(1030)2sin 40cos 40sin 80sin(9010)cos10sin 401cos10cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒-︒︒=︒⋅=====︒︒︒︒︒.故选：A.二、多选题9．下列说法中正确的有（）A ．奇函数的图象一定经过原点B ．若偶函数的图象不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数C ．偶函数的图象关于y 轴对称D ．图象过原点的奇函数必是单调函数【答案】BC【分析】通过反例可知AD 错误；根据偶函数的对称性可知BC 正确.【详解】对于A ，1y x=为奇函数，但不经过原点，A 错误；对于B ，若偶函数图象不经过原点，则其与x 轴的交点必关于y 轴对称，则交点个数必为偶数个，B 正确；对于C ，由偶函数定义知其图象关于y 轴对称，C 正确；对于D ，sin y x =图象过原点且为奇函数，但其在R 上不单调，D 错误.故选：BC.10．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 的图象关于点(),0π对称B ．函数()g x 在区间[]0,4π上有4个零点C ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．函数()g x 在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值是12-【答案】BC【分析】由已知变换得()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用整体法结合三角函数性质逐个比较判断即可.【详解】()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π得()sin 2sin 2666f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()1sin 2sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对A ，由ππ6x k -=()k ∈Z ，即ππ6x k =+，则函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫ ⎪⎝⎭()k ∈Z 对称，A错；对B ，[]0,4x π∈，则ππ23,666πx 轾-Î-犏犏臌，则函数()g x 在区间[]0,4π上的零点π7π13π19π,,,6666，共四个，B 对；对C ，22πsin sin cos 3362g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，为偶函数，C 对；对D ，30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4,663πx 轾-Î-犏犏臌，则当π463πx -=时，函数()g x 在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最小值，为D 错.故选：BC11．已知实数a ，b ，c 满足10a b c >>>>，则下列结论正确的是（）A ．b c a a >B ．log log b c a a>C ．1133b c --<D ．log ab c b>【答案】ACD【分析】A 选项，根据x y a =()1a >单调递增，得到b c a a >；B 选项，根据ln y x =单调性得到0ln ln b c >>，ln 0a >，ln ln ln ln a ab c<，结合换底公式得到B 错误；C 选项，根据13y x -=的单调性得到1133b c --<；D 选项，根据log b y x =和x y b =的单调性，结合中间值比较大小.【详解】A 选项，因为x y a =()1a >单调递增，又b c >，所以b c a a >，A 正确；B 选项，因为ln y x =在()0,∞+单调递增，因为10a b c >>>>，所以0ln ln b c >>，ln 0a >，故110ln ln b c <<，ln ln ln ln a a b c<，即log log b c a a <，B 错误；C 选项，13y x -=在()0,∞+上单调递减，而0b c >>，所以1133b c --<，C 正确；D 选项，因为log b y x =在()0,∞+单调递减，而0b c >>，故log log 1b b c b >=，因为x y b =单调递减，而0a >，故001a b b <<=，所以log ab c b >，D 正确.故选：ACD12．已知函数()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，则下列结论正确的是（）A ．函数()y f x x =-有两个零点B ．若函数()y f x t =-有四个零点，则[]1,2t ∈C ．若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1234,,,x x x x ，则12342x x x x +++=D ．若关于x 的方程()()230f x f x α-+=有8个不等实根，则92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】A 选项，画出()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象，在同一坐标系内作出y x =的图象，可看出两函数图象有3个交点，A 错误；B 选项，数形结合得到()1,2t ∈，B 错误；C 选项，可看出四个实根有两个根关于=1x -对称，另外两个根关于2x =对称，从而得到12342x x x x +++=，C 正确；D 选项，令()f x t =，则230t t α-+=要有2个不相等的实数根12,t t ，()12,1,2t t ∈，得到两根之和，两根之积，化简得到221222239324t t t tt α⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，结合()21,2t ∈，求出92,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，结合940α∆=->，求出92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【详解】A 选项，当2x ≥时，()2e xf x -=单调递增，当02x <<时，()2e xf x -=单调递减，画出()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象，可以看出2e x y -=关于2x =对称，当2x =时，2e x y -=取得最小值为1，在同一坐标系内作出y x =的图象，可看出两函数图象有3个交点，所以函数()y f x x =-有3个零点，A 错误；数形结合可得：函数()y f x t =-有四个零点，则()1,2t ∈，B 错误；由上图可知：若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<其中12,x x 关于=1x -对称，34,x x 关于2x =对称，则12342,4x x x x +=-+=，所以12342x x x x +++=，C 正确；D 选项，令()f x t =，则230t t α-+=要有2个不相等的实数根12,t t ，()12,1,2t t ∈，且123t t +=，12t t α=，221222239324t t t t t α⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，因为()21,2t ∈，所以223992,244t α⎛⎫⎛⎤=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，由940α∆=->，解得：94α<，综上：92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()230f x f x α-+=有8个不等实根，则92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，D 正确.三、填空题13．已知3sin 2cos 7sin 3cos 6θθθθ-=+，则tan θ=______.【答案】3【分析】利用弦化切即可求出tan θ的值.【详解】由3sin 2cos 7sin 3cos 6θθθθ-=+，所以3sin 2cos 7cos sin 3cos 6cos θθθθθθ-=+即3tan 27tan 36θθ-=+，解得tan 3θ=.故答案为：3.14．函数()ln 21y x =-的定义域为______.【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据被开方数大于等0，分母不为0及对数函数的定义域列出不等式组，求解即可.【详解】由10210x x ->⎧⎨->⎩得112x x <⎧⎪⎨>⎪⎩，解得112x <<，所以函数()ln 21y x =-的定义域为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭.15．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是______．【答案】04a ≤<【分析】依题意可得210ax ax ++>恒成立，再分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时0a >⎧⎨∆<⎩，即可得到不等式，解得即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为函数()f x =R ，即210ax ax ++>恒成立，当0a =时10>恒成立；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<；综上可得04a ≤<故答案为：04a ≤<16．已知函数()f x 满足()()0f x f x +-=，对任意的()12,0,x x ∈+∞，都有()()1221210x f x x f x x x -<-恒成立，且()20f =，则关于的不等式()0f x <的解集为______.【答案】()()2,02,-+∞ 【分析】由题知以函数()f x y x=为偶函数，且在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增，再根据()20f =讨论求解即可.【详解】解：因为函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-所以函数()f x 为奇函数，不妨设21x x >，因为对任意的()12,0,x x ∈+∞，都有()()1221210x f x x f x x x -<-恒成立，所以，()()12210x f x x f x -<，即()()2121f x f x x x <，所以，函数()f x y x=在()0,∞+上单调递减，因为函数()f x 为奇函数，所以函数()f x y x=为偶函数，且在(),0∞-上单调递增，因为()20f =，所以，当(),2x ∞∈--时，()0f x y x=<，()0f x >；当()2,0x ∈-时，()0f x y x =>，()0f x <；当()0,2x ∈时，()0f x y x =>，()0f x >；当()2,x ∈+∞时，()0f x y x=<，()0f x <；所以，关于的不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞ 故答案为：()()2,02,-+∞ 四、解答题17．（1）()())2401133230.252217-⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()2lg 2lg5lg 20+⋅.【答案】（1）62-；（2）1.【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接求解即可；（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.【详解】（1）原式()())241130.52216462222⎫=--⨯-+-=-+=-⎪⎭；（2）原式()()()()()2222lg 2lg 52lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 5lg 2lg 51=+⋅+=+⋅+=+=.18．已知函数()21cos 2cos f x x x x =-++.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 图象的对称轴方程；(3)求函数()f x 的单调递减区间.【答案】(1)π(2)()ππ62k x k =+∈Z (3)π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【分析】（1）化简()f x 的解析式，然后求得()f x 的最小正周期.（2）利用整体代入法求得函数()f x 图象的对称轴方程.（3）利用整体代入法求得函数()f x 的单调递减区间.【详解】（1）()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）令()ππ2π62x k k +=+∈Z 得()ππ62k x k =+∈Z ，即函数()y f x =图象的对称轴方程为()ππ62k x k =+∈Z .（3）令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，k ∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+，k ∈Z ，所以函数的单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .19．几年国家出台的惠民政策越来越多，政府出资的“旧房改造”工程使得许多老旧校区旧貌换新颜，从根本上提高了百姓的生活质量.如图，在改造某小区时，要在一处公共区域搭建一间背面靠墙（墙长7米）的房屋，图形所示为房屋俯视图，房屋地面面积为224m 房屋正面的造价为600元2/m ，侧面的造价为200元2/m ，顶部总造价为4800元，如果墙面高为3m ，不计房屋背面和地面的费用，设总造价为z 元.(1)请将总造价z 表示为正面边长x 的函数，怎样设计房屋边长能使总造价最低？最低总造价是多少？(2)如果所需总费用不超过22800元，求房屋正面边长x 的取值范围是多少？【答案】(1)()161800480007z x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭，当正面墙长为4m 时造价最低，最低总造价为19200元.(2)[2,7]【分析】（1）写出函数后运用基本不等式可得结果.（2）解分式型不等式可得结果.【详解】（1）设房屋正面墙长为x m ，侧面边长为y m ，总造价为z 元，则24xy =，∴120024360023200480018004800z x y x x⨯=⨯+⨯⨯+=++()161800480007x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭∴16180048001800480019200z x x ⎛⎫=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当16x x=即“4x =”时上式取等号.答：当正面墙长为4m 时造价最低，最低总造价为19200元.（2）∵161800480022800z x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭∴1610x x+≤，又∵07x <≤∴不等式变为：210160x x -+≤，07x <≤，∴27x ≤≤答：房屋正面边长x 的取值范围是[2,7].20．已知函数()22376f x x mx m =+-（其中m ∈R ）.(1)解关于x 的不等式()0f x ≤；(2)若不等式()2360f x m ++>在()1,4x ∈内恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)6,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分0m =，0m >，0m <三种情况讨论，从而可得出答案；（2）()2360f x m ++>在()1,4x ∈内恒成立，即2337x m x +>-，利用函数的单调性求得2337x x +-的最大值即可得解.【详解】（1）不等式()0f x ≤，即223760x mx m +-≤，当0m =时，230x ≤，不等式的解集为{}0x x =，当0m ≠时，223760x mx m +-≤，可得()()3230-+≤x m x m ，当0m >，则233m m >-，所以不等式的解集为23,3m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若0m <，则233m m <-，所以不等式的解集为2,33m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，综上所述，当0m =时，不等式的解集为{}0x x =，当0m >时，不等式的解集为23,3m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当0m <时，不等式的解集为2,33m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不等式()2360f x m ++>在()1,4x ∈内恒成立，即23730x mx ++>，有2337x m x+>-在()1,4x ∈内恒成立，即求2337+=-x y x 在()1,4x ∈的最大值，令()1f x x x=+，()1,4x ∈，设1214x x <<<，则()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=+-+=- ⎪⎝⎭，因为1214x x <<<，所以120x x -<，121x x >，所以()12121210--<x x x x x x ，即()()12f x f x <，所以()1f x x x =+在()1,4x ∈上单调递增，()1724<<f x ，所以2333177+⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭x y x x x 在()1,4x ∈的最大值为67-，故67m ≥-，所以实数m 的取值范围是6,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.21．()()2cos cos sin f x x x x x=+-(1)若()1f x =，求2πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)34(2)(],2-∞【分析】（1）先化简()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把待求式2πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化为2π1sin 2π6sin 32x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭，代入求值；（2）利用单调性求出()max f x ，即可求解.【详解】（1）()22cos cos sin f x x x x x=+-2cos2x x+122cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若()1f x =，即π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2ππ2π1cos 21cos 262π3sin 322x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+== ⎪⎝⎭π11sin 21362224x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===.（2）由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即()max m f x ≤，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因为2sin y t =在ππ,62t ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增，在π7π,26t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故当ππ262x +=，即π6x =时()f x 取得最大值，且最大值π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2m ≤.即实数m 的取值范围为(],2-∞.22．已知函数()()2224f x ax a x =+--，其中R a ∈.(1)设1a =.若对任意实数[]0,1x ∈，()243f x x n n >--+恒成立，求实数n 的取值范围；(2)是否存在实数0x ，使得00ax <且()00522f x x a +=-+，若存在，求0x 的取值范围；若不存在说明理由.【答案】(1)()(),14,-∞-⋃+∞(2)存在0112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）问题转化为()22min 243x x n n +->-+，[]0,1x ∈，根据函数224y x x =+-的单调性求出最小值为-4，故得到不等式，求出实数n 的取值范围；（2）考虑00x =，00x >，00x <三种情况，前两种情况不合要求，00x <时，转化为()()2002110ax a x a +--+=有负实数解，()20002121a x x x +-=+，分200210x x +-=与200210x x +-≠，求出0x 的取值范围.【详解】（1）依题[]0,1x ∀∈，222443x x x n n -->--+恒成立，∴()22min 243x x n n +->-+，[]0,1x ∈，∵()222415y x x x =+-=+-在[]0,1上单调递增，∴0x =时，()2min 244x x +-=-，∴243n n ->-+，即()()410n n -+>，∴1n <-或4n >故实数n 的取值范围是()(),14,-∞-⋃+∞；（2）①当00x =时，00ax =与00ax <矛盾，∴00x =舍去，②当00x >时，由00ax <，得a<0，此时020x a ->，∴0022x a x a -=-，∴()()()2000002006132231021x f x x a ax a x a a x x ++=-⇔+-+-=⇔=++，∵00x >，∴020061021x x x +>++，又a<0，∴00x >时()0032f x x a +=-无解，∴00x >时，不存在实数0x ，使得00ax <且()0032f x x a +=-成立；③当00x <时，由00ax <，得0a >，此时020x a -<，∴0022x a a x -=-，∴若()0032f x x a +=-有解()()2002110ax a x a ⇔+--+=有负实数解，设()()()2000211g x ax a x a =+--+，∵0a >且()()010g a =-+<，∴()()2002110ax a x a +--+=必有负实数解，对于()()2002110ax a x a +--+=可化为()20002121a x x x +-=+，当200210x x +-=，即1x =-±时，()20002121a x x x +-=+不成立；当200210x x +-≠时，()20002121a x x x +-=+可化为02002121x a x x +=+-，∵0a >，∴020021021x x x +>+-，即()()200021210x x x ++->，∴()((00021110x x x ⎡⎤⎡⎤+----+>⎣⎦⎣⎦，且00x <，∴0112x -<<-，综上所述，存在实数0112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得00ax <且()0032f x x a +=-.。

黑龙江省高一上学期期末数学试题(解析版)

黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集，，则（） {}1,2,3U ={}1,2A =U A =ðA ． B ． C ． D ．{}1{}2{}3{}1,3【答案】C【解析】对集合进行补集运算即可求解. 【详解】因为，， {}1,2,3U ={}1,2A =所以， {}U 3A =ð故选：C 2．是（） 365︒A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】A【解析】由即可得到答案.3653605︒=︒+︒【详解】因为，所以为第一象限角. 3653605︒=︒+︒365︒故选：A.3．命题“”的否定是（） R,12x x ∃∈->A ． B ． R,12x x ∃∈-<R,12x x ∃∈-≤C ． D ．R,12x x ∀∈-<R,12x x ∀∈-≤【答案】D【分析】由特称命题的否定判断，【详解】由题意得“”的否定是“” R,12x x ∃∈->R,12x x ∀∈-≤故选：D4．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果【详解】半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（其中为扇形所22111121222S lr r α===⨯⨯=l对应的弧长，为半径，为扇形所对应的圆心角）. r α故选：A.5．已知，，，则，，的大小关系是（）21log 2a =212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭122c =a b c A ． B ． b c a <<<<b a c C ． D ．a cb <<a bc <<【答案】C【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.a b c 【详解】因为，，，221log log 102a =<=221242b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭12124c <=<所以. a c b <<故选：C.6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：A7．函数的零点所在的区间为（） ()cos f x x x =+A ．B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先判断在上恒成立，排除CD ；再判断在上单调，计()0f x >(]0,1()cos f x x x =+[]1,0-算出，，，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.()1f -12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0f【详解】当时，，所以恒成立，故和01x <≤0cos1cos cos 01x <≤≤=()cos 0f x x x =+>10,2⎛⎫⎪⎝⎭内不可能存在零点；排除CD. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭当时，单调递增，也单调递增，所以在上单调递10x -≤≤y x =cos y x =()cos f x x x =+[]1,0-增；又在上为连续函数，且， ()cos f x x x =+R ()()11cos 11cos10f -=-+-=-+<，111111cos cos cos 02222226f π⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，，()0cos 01f ==()1102f f ⎛⎫-⋅-< ⎪⎝⎭()1002f f ⎛⎫-⋅> ⎪⎝⎭由函数零点存在性定理可得，仅区间内有零点，即A 正确，B 错.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：A.8．设函数的定义域为，，当时，.若存在()f x R ()()112f x f x +=(]0,1x ∈()()1f x x x =-[),x m ∈+∞，使得有解，则实数的取值范围为（） ()364f x =m A ．B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】根据，可知，可得函数解析式并画出函数图象，由图象()()112f x f x +=()()112f x f x =-可得的取值范围. m 【详解】根据，可知， ()()112f x f x +=()()112f x f x =-又当时，，(]0,1x ∈()()110,4f x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦所以时，，，(]1,2x ∈(]10,1x -∈()()111(1)(1)20,228f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦时，，， (]2,3x ∈(]11,2x -∈()()111(1)(2)30,4416f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦时，，，即恒成立， (]3,4x ∈(]12,3x -∈()()111(1)(3)40,2832f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦3()64f x <可画出函数图象，L当时，，解得或，(]2,3x ∈13(2)(3)464x x --=94x =114x =故若存在，使得有解，则实数， [),x m ∈+∞()364f x =114m ≤故选：D.二、多选题9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上()0,∞+单调递增且图象关于轴对称的是（）y A ．B ．()3f x x =()2f x x =C ． D ．2y x -=()f x x =【答案】BD【解析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.【详解】A 选项，定义域为，在上显然单调递增，但，即()3f x x =R ()0,∞+()()3f x x f x -=-≠不是偶函数，其图象不关于轴对称，A 排除；()3f x x =y B 选项，定义域为，在上显然单调递增，且，()2f x x =R ()0,∞+()()()22f x x x f x -=-==所以是偶函数，图象关于轴对称，即B 正确；()2f x x =y C 选项，定义域为，在上显然单调递减，C 排除；2y x -=()(),00,-∞⋃+∞()0,∞+D 选项，的定义域为，在上显然单调递增，且，所以()f x x =R ()0,∞+()()f x x x f x -=-==是偶函数，图象关于轴对称，即D 正确.()f x x =y 故选：BD.10．设，，则下列不等式一定成立的是（） ,,a b c R ∈a b <A ． B ． a c b c +<+a b e e -->C ． D ．22ac bc <a b b a<【答案】AB【解析】根据已知条件，结合不等式的性质，对选项进行逐一判断即可. 【详解】因为，a b <对A ：根据不等式的可加性，即可得，故A 一定成立； a c b c +<+对B ：由，则，所以，故B 一定成立； a b <a b ->-a b e e -->对C ：因为，故可得，故C 一定不成立；2c ≥022ac bc ≤对D ：， ()()22a b a b a b a b b a ab ab-+--==因为，但的正负不确定，故D 不一定成立.0a b -<a bab +故选：AB.11．将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭3π数的图象，则下列结论中正确的有（） ()h x A ．的图象关于点对称B ．的图象关于对称()h x ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭()h x 2x π=C ．在上的值域为D ．在上单调递减()h x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡-⎢⎣()h x ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】通过函数图象的伸缩平移变换可得的值，以及与解析式，再根据三角函数图ϕ()f x ()h x 象性质判断各个选项.【详解】函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭3π得，()2sin 23h x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又为偶函数，故轴为的对称轴，()h x y ()h x即，解得，2,32k k Z ππϕπ-+=+∈,6k k Z πϕπ=-∈，，02πϕ<<6πϕ∴=，()2sin 2()sin 2cos 2663f x x h x x x πππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的对称中心：令，即对称中心为， ()h x 2242k x k k Z x k Z ππππ=+∈=+∈，，，,042k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当时，对称中心为，故A 选项正确；1k =-,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称轴：令，当时，对称轴为，故B 选项正确；()h x 2,,,2k x k k Z x k Z ππ=∈=∈1k =2x π=，，故C 选项错误；2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 2,,()cos 263x h x x ⎡π4π⎡⎤∴∈=∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣的单调递减区间：令，即，()h x 222k x k k Z πππ≤≤+∈，2k x k k Z πππ≤≤+∈，又，故函数在上单调递减，D 选项正确；,,622k k πππππ⎡⎤⎡⎤⊆+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()h x ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：ABD.12．若函数对，，不等式成立，则称在()f x ()12,1,x x ∀∈+∞()12x x ≠()()1222121f x f x x x -<-()f x ()1,+∞上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（） A ．B ．()21f x x =-+()221f x x x =++C ．D ． ()22log f x x x =-()22f x x x x=-+【答案】ACD【解析】令，题中条件转化为判断在上是减函数，再逐项构造函数，进2()()g x f x x =-()g x (1,)+∞行判断即可．【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，()f x 1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠122212()()1f x f x x x -<-则， 2211221222121212()()()()10()()f x x f x x f x f x x x x x x x ⎡⎤⎣⎡⎤----⎣⎦⎦-=<--+令，因为，则，，且恒成立，2()()g x f x x =-122x x +>1212()()0g x g x x x -<-1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠在上是减函数，2()()g x f x x ∴=-(1,)+∞对于A 选项，，则，对称轴是，开口向下，所以()21f x x =-+22()()12g x f x x x x =--=-+=1x -()g x 在递减，故A 正确；(1,)+∞对于B 选项，，则在上单调递增，故B 错；()221f x x x =++2()()21g x f x x x =-=+(1,)+∞对于C 选项，，则在上显然单调递减，故C 正确；()22log f x x x =-22()()log g x f x x x =--=(1,)+∞对于D 选项，，则，因为与在都是减函()22f x x x x =-+22()()g x f x x x x =-=-+y x =-2y x=(1,)+∞数，所以在递减，故D 正确； ()g x (1,)+∞故选：ACD【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满足122212()()1f x f x x x -<-2()()g x f x x =-()()12120g x g x x x -<-上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.三、填空题13．已知幂函数的图像过点，则___________. ()y f x =(4)f =【答案】2【分析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出的解析式，进而求得. ()y f x =(4)f【详解】设，()y f x x α==幂函数的图像过点，，，， ()y f x =(2)2f α∴==12α∴=12()f x x ∴=12(4)42f ∴==故答案为： 214．已知，则_______________. 5sin 13α=3cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】513【解析】利用诱导公式直接求解.【详解】由诱导公式可知， 35cos sin 213παα⎛⎫+==⎪⎝⎭故答案为：51315．若，则不等式的解集为_____________.()2,021,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩()4f x >【答案】()3,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数解析式，讨论或，将解析式代入不等式，解不等式即可.0x ≥0x <【详解】由，()2,021,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩当时，则，解得，此时； 0x ≥24x >2x >2x >当时，则，解得，此时，0x <214x -+>32x <-32x <-所以不等式的解集为.()3,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()3,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭16．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则log ba a Nb N =⇔=3log 6a =236b =______________. 123aba b ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由题，分别化简的值代入即可.22log 362log 6b ==12,3aba b+【详解】因为，所以， 236b =22log 362log 6b ==所以， 66321212log 3log 21log 62log 6a b+=+=+=3332ln 6ln3log 6ln 22ln 611log 2log 22log 62ln3ln 22233333332ab=====⨯==所以.1231abab ⎛⎫+⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.四、解答题17．已知集合，. {}2A x x =≥{}35B x x =<≤(1)求；A B ⋃(2)定义且，求. {M N x x M -=∈}x N ∉A B -【答案】(1){}2A B x x ⋃=≥(2)或 {23A B x x -=≤≤}5x >【分析】（1）根据并集的定义可求得集合； A B ⋃（2）根据题中定义可求得集合.A B -【详解】（1）解：因为，，则. {}2A x x =≥{}35B x x =<≤{}2A B x x ⋃=≥（2）解：由题意可得：且或.{A B x x A -=∈}{23x B x x ∉=≤≤}5x >18．已知()()221010xx f x log x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，（1）作出函数的图象，并写出单调区间；()f x （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围 ()y f x m =-m 【答案】（1）见解析；（2）12m <≤【分析】（1）根据函数的表达式，作出函数的图象即可；()f x （2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，由数形结合得出即可．【详解】解：（1）画出函数的图象，如图示：()f x ，由图象得：在，单调递增；()f x 0]∞-（，0∞+（，）（2）若函数有两个零点， ()y f x m =-则和有2个交点， ()f x y m =结合图象得：．12m <≤【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题． 19．已知函数， ()2f x x x=-（1）判断的奇偶性；()f x （2）用定义证明在上为减函数. ()f x ()0,∞+【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析. 【详解】试题分析：(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇()()f x f x -=-()f x 函数.(2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论12,x x ()0,+∞12x x <()()12f x f x -的符号即可证明函数在上为减函数. ()f x ()0,+∞试题解析：（1）函数的定义域为， ()2f x x x=-{|0}x x ≠又 ()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭∴是奇函数.()f x （2）证明：设是上的任意两数，且， 12,x x ()0,+∞12x x <则()()12f x f x -=121222x x x x --+()()2121122x x x x x x -=+-()211221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵且， 120,0x x >>12x x <∴ ()2112210x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭即.()()12f x f x >∴在上为减函数.()f x ()0,+∞点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位xOy Ox αβ圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为，.3545（1）求的值；sin α（2）求.αβ+【答案】（1）；（2）. 352π【解析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出、、的值，再计算的值即可出cos αsin βcos β()cos αβ+αβ+的值.【详解】（1）因为点的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为， P α35将代入，因为是锐角，，所以， 35y =221x y +=α0x >45x =43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：， 3sin 5α=（2）由，是锐角，可得， 3sin 5α=α4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为， β45将代入，因为是锐角，，可得， 45y =221x y +=β0x >35x =34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， 4sin 5β=3cos 5β=所以， ()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=因为，，所以， 02πα<<02βπ<<0αβ<+<π所以. 2παβ+=21．已知函数．()2sin cos ,f x x x x x R =∈求函数的最小正周期与对称中心；()1()f x求函数的单调递增区间．()2()f x 【答案】（1）最小正周期，对称中心为；（2） π()1,2122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步()1求出函数的最小正周期和对称中心；直接利用整体思想求出函数的单调递增区间．()2【详解】函数，()1()2sin cos f x x x x =+， 1cos22x x -=， 1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为， 22ππ=令：，解得：， ()26x k k Z ππ-=∈()212k x k Z ππ=+∈所以函数的对称中心为． ()1,2122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭由于， ()2()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令：，()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈解得：，()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以函数的单调递增区间为． (),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调()sin y A x ωφ=+基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()sin y A x ωφ=+，然后利用三角函数的性质求解.sin y A u =22．已知函数.()23f x x ax =-+(1)若的解集为，求实数、的值；()3f x ≤-[],3b a b (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭x ()21f x x ≥-a 【答案】(1)，5a =2b =(2){}4a a ≤【分析】（1）分析可知、为关于的方程两根，且，利用根与系数的关系可b 3x 260x ax -+=3b <求得实数、的值；a b （2）由参变量分离法可知，对任意的恒成立，结合基本不等式可求得实数的2a 2x x≤+12x ≥a 取值范围.【详解】（1）解：由题意可知、为关于的方程两根，且， b 3x 260x ax -+=3b <所以，，解得. 2336036a b ⎧-+=⎨=⎩52a b =⎧⎨=⎩此时方程为，，合乎题意， 2560x x -+=25460∆=-⨯>因此，，.5a =2b =（2）解：当时，由，可得，， 12x ≥()2231f x x ax x =-+≥-222ax x ≤+22a x x ∴≤+由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故， 224x x +≥=1x =4a ≤所以实数的取值范围为a {}4a a ≤。

(全优试卷)版黑龙江省哈尔滨市高一上学期期末考试数学试题Word版含答案

哈尔滨市第六中学2017-2018学年度上学期期末考试高一数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1.已知集合}5,4,3,2,1{=A ,}03|{2<-=x x x B ,则B A I 为（）A.}3,2,1{B.}3,2{C.}2,1{D.)3,0(2.已知角α在第三象限，且32sin -=α，则=αtan （） A.25 B.25- C.552 D.552-3.οοοο35sin 35cos 80sin 10sin 22-⋅的值为（） A.21-B.21C.1D.1- 4．已知ABC ∆的三边,,a b c 满足ab c b a +=+222，则ABC ∆的内角C 为（）A.︒150B.︒120C.︒60D.︒305.设函数⎩⎨⎧≤>=-0,20,log )(2x x x x f x，则)3log ()2(2-+f f 的值为（） A.4 B.34C. 5D. 6 6.若32)6sin(=-απ,则)62sin(πα+的值为（）A.95 B. 95- C. 97 D. 97- 7. 已知x x x f cos 2sin )(2+=，则)(x f 的最大值为（）A ．1-B ． 0C ．1D ．28.已知函数21()cos 2f x x =-，则下列说法正确的是（） A.)(x f 是周期为2π的奇函数 B.)(x f 是周期为2π的偶函数 C.)(x f 是周期为π的奇函数 D.)(x f 是周期为π的偶函数9．已)(x f 定义R 的偶函数，且满)()6(x f x f =+)3,0(∈x ，2)(x x f =，则=)64(f（）A.4-B.4C.98-D.9810.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的图象如图所示，为了得到)453sin()(π+=x x g 的图象，只需将()f x 的图象( ) A.向右平移π个单位长度 B.向左平移π个单位长度C.向右平移3π个单位长度 D.向左平移3π个单位长度11.集为（）A．B．C．D12.所得图象关）二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13.14._________15._________16.已知中，内角的对边分别为，且三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17.（I（II.18.（I（II.19.（I（II.20.函数的图象（I（II.21..22..2的取值范围.期末考试答案：17.(Ⅰ分分分(Ⅱ)分分18.(Ⅰ分分分(Ⅱ分分----12分19.(Ⅰ分(Ⅱ分周长----9分分周长的最大值为6----12分20.(Ⅰ)----1分分分分(Ⅱ)----6分----8分分分21.(Ⅰ分(Ⅱ分分----10分分22.(Ⅰ----2分(Ⅱ分，设分分分----9分----10分----11分分全优试卷。

哈尔滨市高一上学期数学期末考试试卷

哈尔滨市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .2. （2分）已知集合，，则等于（）A . (-2,2)B .C .D .3. （2分）已知点P在曲线y=上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为（）A . 12B . 10C . -8D . -65. （2分） (2019高一上·蒙山月考)A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·中山期末) 空间四点的位置关系式（）A . 共线B . 共面C . 不共面D . 无法确定7. （2分）已知直线a,b,平面，且，则 a与b（）A . 相交B . 平行C . 异面D . 共面或异面8. （2分）(2018·茂名模拟) 如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2015高三上·来宾期末) 已知P是直线；“3x+4y+13=0的动点，PA是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的一条切线，A是切点，那么△PAC的面积的最小值是（）A . 5B . 4C . 3D . 210. （2分）下列说法中正确的是（）A . 三点确定一个平面B . 两条直线确定一个平面C . 两两相交的三条直线一定在同一平面内D . 过同一点的三条直线不一定在同一平面内11. （2分）在空间直角坐标系中，点M(3,0,2)位于（）A . y轴上B . x轴上C . xOz平面内D . yOz平面内12. （2分）已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于（）A .B .C .D .13. （2分） (2017高二下·保定期末) 定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）的对称轴为x=1，f（x+1）=（f（x）≠0），且在区间（1，2）上单调递减，已知α、β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（）A . f（sinα）＞f（cosβ）B . f（sinα）＜f（cosβ）C . f（sinα）=f（cosβ）D . 以上情况均有可能14. （2分）已知l1的斜率是2，l2过点A(-1，-2)，B(x，6)，且l1∥l2 ，则lo x=（）A .B . -C . 2D . -215. （2分）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）A . 6π+12B . 10π+36C . 5π+36D . 6π+18二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2017高一下·石家庄期末) 已知直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为1，则直线l的方程为________．17. （1分）(2018·兴化模拟) 经过点且圆心是直线与直线的交点的圆的标准方程为________．18. （1分） (2017高一下·定州期末) 若点P在圆上，点Q在圆上，则|PQ|的最小值是________．19. （1分） (2016高二上·金华期中) 过平面外一点可以作________直线与已知平面平行．20. （1分）已知点，点，那么两点间的距离为________.三、解答题 (共5题；共24分)21. （2分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：（1） E、C、D1、F、四点共面；（2） CE、D1F、DA三线共点．22. （10分） (2018高二上·睢宁月考) 已知：中，顶点，边AB上的中线CD所在直线的方程是，边AC上的高BE所在直线的方程是．（1）求点B、C的坐标；（2）求的外接圆的方程．23. （5分） (2016高二下·静海开学考) 已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0，（1）求l2的方程，使得：①l2与l1平行，且过点（﹣1，3）；②l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程．24. （2分） (2019·天津) 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.25. （5分） (2016高二上·怀仁期中) 已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O．（1）设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（2）在（1）的条件下，设B（0，2），且P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共24分) 21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、第11 页共11 页。

黑龙江高一上学期期末数学试题(解析版)

数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上．2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区城内，写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，集合，则（）{}1,0,1,2,3A =-{}1,0,2,4B =-A B = A. B.C.D.{}1,0,2-{}1,0-{}1,2-{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，. {}1,0,2A B =- 故选：A2. 命题“”的否定是（） 2,0x x ∃∈<R A. B. 2,0x x ∀∈<R 2,0x x ∃∈≥R C. D.2,0x x ∀∈>R 2,0x x ∀∈≥R 【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以D 选项正确. 故选：D3. 是的（） 38x >0x >A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由不等式性质及充分必要条件判断即可．【详解】由不等式性质可知：，而， 382x x >⇔>20x x >⇒>反之，不能推出成立， 0x >2x >所以是的充分不必要条件， 38x >0x >故选：B4. 不等式的解集为（） 23210x x --+<A. B. 1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 或D. 或 {|1x x <-13x ⎫>⎬⎭1|3x x ⎧<-⎨⎩}1x >【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】不等式，即， 23210x x --+<23210x x +->即，解得或， ()()1310x x +->1x <-13x >所以不等式的解集为或. 23210x x --+<{|1x x <-13x ⎫>⎬⎭故选：C5. 计算：（）151lg 4lg 22-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A. 0B. 6C.D.1-103【答案】C 【解析】【分析】根据对数与指数运算得出答案.【详解】，1515lg 4lg lg 42lg102121222-⎛⎫⎛⎫+-=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.6. 若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（）()4,2P ()f x ()f xA. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．【详解】设幂函数，将点代入，得，解得， ()a f x x =()4,2P 42a =12a =所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B ， 12()f x x =[0,)+∞故选：B ．7. 函数的最小值为（） ()()1411f x x x x =+>-A. 12 B. 10C. 8D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，1,10x x >->， ()()1414481f x x x =-++≥=-当且仅当时等号成立. ()1341,12x x x -==-故选：C8. 关于函数，给出以下四个命题：①当时，严格单调递减且没有最值；②()1x f x x =-0x >()y f x =方程一定有解；③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；④()()0f x kx b k =+≠()f x k =()y f x =是偶函数且有最小值，其中真命题是（） A. ②③ B. ②④C. ①③D. ③④【答案】B 【解析】【分析】分类讨论，特别是时，由函数的单调性判断①，判断函数的奇偶性，确定函数的单调01x <<性，并确定函数的变化趋势后判断②，结合偶函数的性质及的值，判断③，由函数的单调性，奇偶(0)f 性判断④．【详解】时，，时，是减函数，时，0x >()1x f x x =-1x >1()111x f x x x ==+--01x <<是增函数，无最值，①错； 1()111x f x x x =-=----的定义域是，，是偶函数，()f x {|1}x x ≠±()()11x x f x f x x x --===---()f x 时，，时，，1x →()f x →+∞x →+∞()1f x →时，直线与的图象在第一象限内一定有交点，0k >y kx b =+()y f x =由偶函数的对称性，时，直线与的图象在第二象限内一定有交点， 0k <y kx b =+()y f x =所以方程一定有解，②正确；()(0)f x kx b k =+≠是偶函数，且，所以时，函数的图象与直线只有一个公共点，所以方()f x (0)0f =0k =()y f x =y k =程只有一个解，③错；()f x k =是偶函数，时，，时，是增函数，是最()f x 1x>1()111f x x =+>-01x ≤<1()11f x x =---(0)0f =小值，所以在上，的最小值是，④正确．R ()f x (0)0f =故选：B ．【点睛】难点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查方程根的个数问题，难点在于含有多个绝对值，可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断函数的单调性，确定函数的变化趋势，然后根据函数的性质可得结论．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知，则下列计算正确的是（） ()1sin π2α+=-A. B. ()1sin 5π2α-=πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭C. D. 3π1cos 22α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πtan 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】依题意，， ()11sin πsin ,sin 22ααα+=-=-=所以，cos α==所以，A 选项正确； ()1sin 5πsin 2αα-==，B 选项错误；πsin cos 2αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，C 选项正确.3π1cos sin 22αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭D 选项错误.πsin π2tan π2cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭故选：AC10. 已知函数下列叙述正确的是（）()222,38,3x x x f x x x ⎧-+≤=⎨-+>⎩A. ()35f =B. 的零点有3个 ()()12g x f x =-C. 的解集为或()2f x <{|02x x <<}6x >D. 若a ，b ，c 互不相等，且，则的取值范围是 ()()()f a f b f c ==a b c ++()5,9【答案】ACD 【解析】【分析】根据分段函数值、零点、不等式、图象等知识确定正确答案.【详解】A 选项，，A 选项正确.()2332325f =-⨯+=B 选项，当时，方程的， 3x ≤2213222022x x x x -+-=-+=344202∆=-⨯=-<无实数根；当时，由解得， 3x >1158022x x -+-=-+=152x =所以的零点有个，B 选项错误. ()()12g x f x =-1C 选项，当时，由得，解得； 3x ≤2222x x -+<()2220x x x x -=-<02x <<当时，由得，3x >82x -+<6x >所以的解集为或，C 选项正确. ()2f x <{|02x x <<}6x >D 选项，画出的图象如下图所示， ()f x 不妨设，则，a b c <<212a b +=⨯=，由解得，()2222111x x x -+=-+≥81x -+=7x =所以，所以，D 选项正确. 37c <<()5,9a b c ++∈故选：ACD11. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移()cos f x x =12个单位长度后得到函数的图象，则下列叙述正确的是（） π12()g x A. 函数是偶函数 B. 函数的一个对称中心是 ()f x ()f x ()π,0C. 若，则 D. 函数的一个对称中心是 12π6x x +=()()12g x g x =()g x π,06⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数图象变换的知识求得，根据函数的奇偶性、对称性等知识求得正确答案.()g x【详解】函数，所以是偶函数，A 选项正确.()cos f x x =()f x ，所以B 选项错误.()πcos π1f ==-函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的， ()cos f x x =12再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数， π12()ππcos 2cos 2126g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，πππcos 2666g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()ππcos 2cos 266x x g x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 选项正确.，所以D 选项正确. ππcos 062g ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：ACD12. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实根，221,0()43,0x x f x x x +<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩x ()(2)0f x f x m +--=则的值可以是（） m A. B.C. D. 02-1-12-【答案】BC 【解析】【分析】由题设求的解析式，进而可得的解析式，并画出其函数图象，将问题(2)-f x ()(2)f x f x +-转化为与有4个交点，应用数形结合判断的范围，即知的可能值.()(2)f x f x +-y m =m m 【详解】由题设，，2221,0()1,027,2x x f x x x x x +<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩∴，2252,2(2)34,0243,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪-=-+-≤<⎨⎪--<⎩∴，可得函数图象如下：22222,0()(2)242,0222,2x x x f x f x x x x x x x ⎧--≥⎪+-=-+-≤<⎨⎪--≥⎩要使有四个不相等的实根，即与有4个交点， ()(2)f x f x m +-=()(2)f x f x +-y m =由图知：. 20m -<<故选：BC三、填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分．13. _________． 2sin3π=【答案】【解析】【详解】试题分析：．考点：三角函数14. 函数的定义域为__________． ()3()log 3f x x =+-【答案】 (3,4]【解析】【分析】根据对数函数的定义域和二次根式的定义列出不等式组，求解即可．【详解】由题意得，，82030x x -≥⎧⎨->⎩解得，即函数定义域为， 34x <≤(3,4]故答案为：．(3,4]15. 已知定义在R 上的函数满足，设，()f x ()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦30.3220.3,log 0.3,2a b c ===则的大小顺序是__________．（用“>”号连接） ()()(),,f a f b f c 【答案】 ()()()f c f a f b >>【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数在R 上为增函数，又由，分()f x 01b a c <<<<析可得答案.【详解】定义在R 上的函数满足，则函数在R 上为增函数， ()f x ()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x 又由，，，即，，， 30200.30.31<<=22log 0.3log 10<=0.30221>=01a <<0b <1c >则有，则. b a c <<()()()f c f a f b >>故答案为：．()()()f c f a f b >>16. 已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短sin cos y a x b x c =++11π,16⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原来的，再将所得图象向左平移1个单位得到的图象，又的所有根从小到大依次3π()y f x =()1f x =相差3个单位，则的解析式为_________． ()f x ()f x =【答案】ππ2sin 133x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的最值、图象变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式. ()f x 【详解】，()sin cos y a x b x c x c ϕ=++=++其中sinϕϕ==由于图象上有一最低点，()y x c ϕ=++11π,16⎛⎫--⎪⎝⎭所以，， 11ππ2π,621k k Z c ϕ⎧-+=-∈⎪⎨⎪+=-⎩4π2π,31k k Z c ϕ⎧=+∈⎪=+根据三角函数图象变换的知识可知()()π13f x x c ϕ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ππ33x cϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭ππ4π2π333x k c⎛⎫=++++⎪⎝⎭π5π33x c⎛⎫=++⎪⎝⎭，ππ33x c⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最小正周期为，()f x2π6π3T==的所有根从小到大依次相差3个单位，即半周期，()1f x=所以，10,1c c-==12c=+=所以.()ππ2sin133f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭故答案为：ππ2sin133x⎛⎫-+⎪⎝⎭【点睛】对于的化简，主要利用的是两角与差的正弦、余弦公式，化为sin cosy a x b=+，也可以化为，可根据题意选择合适的一个来对问题进()y xϕ=+()y xϕ=+行求解.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知，为第二象限角．4sin5θ=θ（1）求的值；sin2θ（2）求的值．πcos6θ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】（1）2425-（2【解析】【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；cosθ（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.【小问1详解】，为第二象限角， 4sin 5θ= θ， 3cos 5θ∴===-则； 4324sin 22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭【小问2详解】. πππ341cos cos cos sin sin 666552θθθ⎛⎫-=+=-+⨯= ⎪⎝⎭18. 已知关于的不等式．x 240ax ax --<（1）若不等式的解集为，求的值；{}12x x -<<a （2）若不等式的解集为，求的取值范围．R a 【答案】（1）2（2）(]16,0-【解析】【分析】（1）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据一元二次0a =a 0a =4<0-0a ≠不等式解集与一元二次方程韦达定理列式即可解出答案；（2）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据已知得出一元二次0a =0a ≠0a =4<0-0a ≠不等式在上恒成立，即可列式解出答案.R 【小问1详解】当时，为，不满足题意；0a =240ax ax --<4<0-当时，若的解集为，0a ≠240ax ax --<{}12x x -<<即的两个解为与，240ax ax --=1-2则，解得； 412a--⨯=2a =【小问2详解】当时，为，在上恒成立，满足题意，0a =240ax ax --<4<0-R当时，的解集为，0a ≠240ax ax --<R 即在上恒成立，240ax ax --<R 则，解得， ()()20Δ440a a a <⎧⎪⎨=--⨯-<⎪⎩160a -<<综上：，160a -<≤故的取值范围.a (]16,0-19. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定x 162x 宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可5x a 能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）当该商品改革后的销售量10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投a 入之和，此时该商品的每件定价为30元【解析】【分析】（1）设每件定价为元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收t 2580.21t --⨯入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，25x >21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+25x >有解，利用基本不等式，可以求得结论． 1501165a x x ≥++【小问1详解】解：设每件定价为t 元，依题意得， 25(80.2)2581t t --⨯≥⨯整理得，26510000t t -+≤解得.2540t ≤≤所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.【小问2详解】解：依题意，时，25x >不等式有解 21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+等价于时，有解 25x >1501165a xx ≥++（当且仅当时，等号成立） 1501106x x +≥=x =30．此时该商品的每件定价为30元10.2a ∴≥当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，∴a 此时该商品的每件定价为30元．20. 已知函数上满足，其中为实数 ()21log 1ax f x x +=-()31f =a （1）求的值，判断函数的奇偶性并证明；a ()f x （2）若函数，求在上的值域．()()()()2log 17g x f x x x =+--⎡⎤⎣⎦()g x [)2,7【答案】（1），函数为奇函数，证明见解析1a =()f x （2）(],4∞-【解析】【分析】（1）根据已知代入函数根据对数运算解出，即可得出函数解析式，根据解析式得出其()31f =a 定义域判断是否关于原点对称，根据函数解析式得出，再根据奇偶性的定义判断其奇偶()()f x f x -=-性；（2）根据已知结合对数运算得出函数的解析式，即可根据复合函数值域的求法结合二次函数与对数()g x 函数在区间上的值域得出答案.【小问1详解】，()31f =Q ，解得：， ()2313log 131a f +∴==-1a =则，定义域为，解得或，关于原点对称， ()21log 1x f x x +=-10101x x x -≠⎧⎪+⎨>⎪-⎩1x <-1x >则， ()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-则函数为奇函数，()f x 【小问2详解】当时，，，，[)2,7x ∈10x +>10x ->70x ->则， ()()()()()()22221log log 17log 1log 17g x f x x x x x x x =+--=-+-⎡⎤⎣+-⎦+，()()()()2222log 1log 1log l 7og 1x x x x =+-+--+-，()()22log og 17l x x +=-+，()()2log 17x x =+-⎡⎤⎣⎦，()22log 67x x =-++当时，， [)2,7x ∈(]2670,16x x -++∈则， ()(]22log 67,4x x -++∈-∞则在上的值域为.()g x [)2,7(],4∞-21. 已知函数对任意的x ，，都有，且当时． ()f x y ∈R ()()()f x y f x f y +=+0x >()0f x <（1）求的值，判断并证明函数的奇偶性；()0f ()f x （2）试判断函数在上的单调性并证明；()f x (,)-∞+∞（3）解不等式．()()2140f x f x ++->【答案】（1），是奇函数，证明见解析()00f =()f x （2）在上单调递减，证明见解析()f x (),-∞+∞（3）(),1-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性.()0f ()f x （2）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性.()f x (,)-∞+∞（3）根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.()f x ()()2140f x f x ++->【小问1详解】依题意，函数对任意的x ，，都有，()f x y ∈R ()()()f x y f x f y +=+令，得，0x y ==()()()()000,00f f f f =+=是奇函数，证明如下：()f x 用代替，得，则，x -y ()()()f x x f x f x -=+-()()f x f x -=-所以是奇函数.()f x 【小问2详解】在上单调递减，证明如下：()f x (),-∞+∞任取， 12x x <()()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-，()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦由于，所以，210x x ->()210f x x -<所以，()()()()12120,f x f x f x f x ->>所以在上单调递减.()f x (),-∞+∞【小问3详解】，，()()2140f x f x ++->()()()2144f x f x f x -->=+-由于在上单调递减，()f x (),-∞+∞所以，214,33,1x x x x +<-<<所以不等式的解集是.()()2140f x f x ++->(),1-∞22. 设函数是偶函数．()()()212R x x f x k x -=+-⋅∈（1）当时，解关于的不等式 x ∈R x ()112x a f x a +>-+（2）设函数，若不等式对任意的恒成立求实数()()()1222x g x n f x f x -⎡⎤=---⎣⎦()0g x <()1,x ∈+∞的取值n （3）设，当时，讨论关于的方程()()2log h x f x =R m ∈x 的根的个数． ()()211420h x m h x m m m -+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣++=⎦【答案】（1）当时，；当时，；0a ≤x ∈R 0a >2log x a >（2） 4n <（3），当时，方程无实数根；当时，方程有1个根；当或40,17m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0m =()1,0,2m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程有4个根； 417m =12m =41,172m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值，再将原不等式转化为k 解的范围即可；()()()22122210x x x x a a a --⋅-=-+>x （2）原不等式可转化为在上恒成立，即求的最小值即可；()2222222x x x x n --++<-()1,x ∈+∞()2222222x x x x --++-（3）利用换元法令，，将原问题转化为关于的一元二次方程的解的个数()1p h x =-0p ≥p ()0F p =即可.【小问1详解】由偶函数的定义可得，解得，()()()212x x f x k f x --=+-⋅=2k =所以，()22x x f x -=+所以由得，即()112xa f x a +>-+()221121x x a a +>-⋅++()()()22122210x x x x a a a --⋅-=-+>，当时，由解得， 0a ≤()()2210x x a-+>x ∈R 当时，由解得， 0a >()()2210x x a-+>2log x a >【小问2详解】由（1）可得， ()()()()1222222222222222x x x x x x x x x g x n n -----=+----=--+-因为当时，()1,x ∈+∞220x x -->则条件等价于在上恒成立， ()2222222x x x x n --++<-()1,x ∈+∞所以小于的最小值即可，n ()2222222x x x x --++-因为， ()()222222224422222222x x x x x x x x x x x x ------++-+==-+---令，因为单调递增，单调递减，所以在上单调递增，则， 22x x t -=-2x 2x -t ()1,x ∈+∞32t >由对勾函数的性质可得在处取得最小值，最小值为， 4t t+2t =4所以的最小值为，()2222222x x x x --++-4所以.4n <【小问3详解】令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 2x u =0u >1u =1u u +2所以，则，()222x x f x -=+≥()()2log 1h x f x =≥令，，由对勾函数的图象和性质可得当时，关于的方程有1个解，当()1p h x =-0p ≥0p =x ()1h x -时，关于的方程有2个解，0p >x ()1h x -则原问题转化为关于的方程的根的个数，p ()()22242320p m p m m m p mp m m +-++=--+=令，表示开口向上的抛物线，()2232F p p mp m m =--+()F p ， ()()2223412174m m m m m ∆=--⨯⨯-+=-当，即时，无解， Δ0<4017m <<()0F p =当时，由解得，关于的方程有1个解； 0m =()20F p p ==0p =x 当时，，的对称轴， 417m =Δ0=()2232F p p mp m m =--+302m p =>所以有唯一解，且，关于的方程有2个解；()0F p =p 0p >x 当时，有两不等实根，0m <()2232F p p mp m m =--+12,p p 因为的对称轴，且， ()F p 302m p =<21220p p m m =-+<所以有1个正数解，关于的方程有2个解；()0F p =x当时，有两不等实根， 417m >()2232F p p mp m m =--+34,p p 因为的对称轴， ()F p 302m p =>所以当，即时，有两不相等的正数解，此时关于的方程有23420p p m m =-+>41172m <<()0F p =x 4个解；当，即时，有一个零解，一个正数解，此时关于的方程有3个23420p p m m =-+=12m =()0F p =x 解；当，即时，有一个正数解，此时关于的方程有2个解； 23420p p m m =-+<12m >()0F p =x 综上所述，当时，方程无实数根；当时，方程有1个根；当或40,17m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0m =()1,0,2m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程有4个根； 417m =12m =41,172m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】思路点睛：本题的难点在于需利用换元法将复杂的问题转化为一元二次函数的形式，第（3）问注意换元后关于的方程需有非负根，可利用对称轴和韦达定理分析根的符号情p 22320p mp m m --+=况，降低计算难度.。

黑龙江省哈尔滨市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学含答案

哈尔滨市2023级高一上学期学业质量检测数学试卷（答案在最后）（本试卷满分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0A =-，{}21B x x ==，则A B = （）A.∅B.{}1-C.{}1D.{}1,0,1-2.命题“x ∃∈R ，20x +<”的否定是（）A.x ∃∈R ，20x +>B.x ∀∈R ，20x +>C.x ∃∈R ，20x +≥ D.x ∀∈R ，20x +≥3.“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.不等式()()370x x --≤的解集为（）A.{}37x x << B.{}37x x x <>或C.{}37x x ≤≤ D.{}37x x x ≤≥或5.1ln 3ln 3+=（）A.1- B.0C.1D.ln 96.已知幂函数()f x 的图象过点(，则()8f =（）A.2B. C. D.47.已知实数1x >，则121x x ---的（）A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为1- D.最大值为1-8.若函数()2f x x ax b =++，则下列不等式恒成立的是（）A.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭C.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（）A.()4sin 5πα-= B.()3tan 4πα+=-C.3sin 25πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭ D.33cos 25πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭10.已知函数()()24,0log 23,0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩，则下列说法正确的是（）A.()()26ff -= B.()6f x <的解集为{}26x x -<<C.()f x 在()2,6-上单调递增 D.当[]2,14x ∈-时，()f x 的值域是[]6,711.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），直线6x π=和点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（）A.()f x 的周期是πB.函数()f x 在区间,38ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数C.将()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到函数()g x，则62g π⎛⎫= ⎪⎝⎭D.将函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是6π12.设函数()2e ,0313,022x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，函数()()()222g x f x bf x b =-+-，则下列说法正确的是（）A.当1b =时，函数()g x 有3个零点B.当4140b =时，函数()g x 有5个零点C.若函数()g x 有2个零点，则2b <-或625b <<D.若函数()g x 有6个零点，则112b <<三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.sin15cos15︒︒=______.14.函数()()1lg 32f x x x =+++的定义域为______.15.指数函数()f x 过点()1,2-，()3.10.9a f =，()0.9log 1.7b f =，()0.31.7c f =，则a ，b ，c 的大小关系为______.（用“＜”号连接）16.函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++（0ω>，2πϕ<）的最小正周期为4，且()()f x f x -=-，则()()()122023f f f ++⋅⋅⋅+=______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知()()3sin cos cos sin 5αβααβα---=，β是第三象限角.（1）求5sin 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求tan 24πβ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.18.（本题满分12分）已知函数()24f x x ax =-+.（1）若关于x 的不等式()0f x ≥解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x ≤.19.（本题满分12分）如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角4POQ π∠=.C 是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记POC α∠=.（1）将矩形ABCD 的面积S 表示成关于α的函数()f α的形式；（2）求()f α的最大值，及此时的角α.20.（本题满分12分）已知函数()22xxf x a -=+⋅.（1）若()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）若()1724f =，求()f x 在[]1,2-上的值域.21.（本题满分12分）定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 不恒为0.（1）求()1f 和()1f -的值；（2）若()f x 在()0,+∞上单调递减，求不等式()()()122f x f f x ++>-的解集.22.（本题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x +-=，且对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（其中12x x ≠）均有()()121212f x f x x x x x ->+-.（1）判断并证明函数()()2g x f x x =-的奇偶性；（2）若()()22532322160f mx f mx m x mx +--+-->对所有[]1,1m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围；（3）若（1）中的函数()g x 的图象是经过()0,0和()1,1的一条直线，函数()h x m =-D ，若存在区间[],a b D ⊆，使得当()h x 的定义域为[],a b 时，()h x 的值域也为[],a b ，求实数m 的取值范围.参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.B7.D8.A9.A10.AB11.ABD12.ABC13.1414.{}32x x x >-≠-且15.c a b<<16.017.解：（1）由题意()()3sin sin 5αβαβ--=-=，………………1分3sin 5β∴=-，………………2分4cos 5β∴=-，………………3分555sin sin cos cos sin 333πππβββ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭ (4)分310-=；………………5分（2）由（1）得3tan 4β=，………………6分22tan tan21tan βββ∴=-………………7分247=，………………8分tan2tan4tan 241tan2tan 4πβπβπβ+⎛⎫+=⎪⎝⎭-………………9分3117=-.………………10分18.解：（1）由题意0∆≤，即2160a -≤，………………2分44a ∴-≤≤；………………4分（2）（ⅰ）当0∆<时，即44a -<<时，∴原不等式的解集为∅；………………6分（ⅱ）当0∆=时，即4a =-或4a =时，当4a =时，()220x -≤，∴原不等式的解集为{}2，………………8分当4a =-时，()220x +≤，∴原不等式的解集为{}2-；………………10分（ⅲ）0∆>时，即4a <-或4a >时，240x ax -+=，解得2a x +=或2a x =，∴原不等式的解集为2a x ⎧+⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.………………12分19.解：（1）在OBC △中，sin 1BCα=，sin BC α=，………………1分cos 1OBα=，cos OB α=，………………2分sin OA DA BC α===，………………3分cos sin AB αα=-，………………4分()()cos sin sin S f αααα==-（04πα<<）；………………5分（2）()11cos 2sin 222S f ααα-==-………………7分21sin 2242πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，………………9分因为04πα<<，32444πππα∴<+<，………………10分当242ππα+=，即8πα=时，………………11分()f α取得最大值12-.………………12分20.解：（1）由题意()()f x f x -=-，………………1分2222x x x x a a --∴+⋅=--⋅，………………2分()2222x x x x a --∴+=--，1a ∴=-；………………4分（2）()22172224f a -=+⋅=，1a ∴=，………………5分()22x x f x -=+，………………6分令2xt =，142t ≤≤，令()1h t t t =+，142t ≤≤，………………7分设12112t t ≤<≤，()()()1212121210t t h t h t t t t t -∴-=->，()()12h t h t ∴>，()h t ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………9分()()112h h t h ⎛⎫∴≤≤ ⎪⎝⎭，即()522h t ≤≤，………………10分同理可证()h t 在(]1,4上单调递增，()()()14h h t h ∴<≤，即()1724h t <≤，………………11分综上，()f x 在[]1,2-上的值域172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………12分21.解：（1）令1x y ==，()()121f f ∴=，()10f ∴=，………………2分令1x y ==-，()()121f f ∴=-，()10f ∴-=；………………4分（2）令1y =-，()10f -= ，()()f x f x ∴-=，即()f x 是偶函数，………………6分由()()()f xy f x f y =+，()()()122f x f f x ++>-，即()()212f x f x +>-⎡⎤⎣⎦，………………8分又()f x 是偶函数，所以上式可转化为()()222fx f x +>-，又()f x 在()0,+∞上单调递减，所以上式可转化为2221020x x x x ⎧+<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，………………10分故不等式的解集为{}401x x x -<<≠-且.………………12分22.解：（1）()g x 是奇函数，………………1分证明如下：()g x 的定义域为R ，()()()()()()()22220g x g x f x x f x x f x f x x ⎡⎤⎡⎤+-=-+---=+--=⎣⎦⎣⎦，()()g x g x ∴-=-，即()g x 是奇函数；………………2分（2）对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，12x x ≠，()()()()221122121212f x x f x xg x g x x x x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=--()()()()221212121212120f x f x x x x x x x x x x x --=->+-+=--，即()g x 在[)0,+∞上单调递增，………………3分又()g x 是奇函数，故函数()g x 在R 上单调递增，又()()22532322160f mx f mx m x mx +--+-->，即()()()()22553232f mx mx f mx mx +-+>---，即()()532g mx g mx +>-对所有[]1,1m ∈-恒成立，………………4分而函数()g x 在R 上单调递增，有532mx mx +>-，………………5分即320mx +>，令()32m mx ϕ=+，即()0m ϕ>对所有[]1,1m ∈-恒成立，()()13201320x x ϕϕ-=-+>⎧⎪⎨=+>⎪⎩，故2233x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；………………7分（3）由已知函数()g x 的图象是经过()0,0和()1,1的一条直线，可得()g x x =，………………8分()h x m =-的定义域是[)1,-+∞，()h x 在[)1,-+∞上单调递减，由已知当()h x 的定义域为[],a b 时，()h x 的值域也为[],a b ，故()h a m b ==①，()h b m a ==②，………………9分()()11a b a b =-=+-+=⋅，1+=③，………………10分将③代入②，1m a =+，令0λ=≥，得221124m λλλ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，又a b <<，1=，所以10,2λ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，………………11分。

2020-2020学年哈尔滨高一(上)期末数学试卷(2)含答案解析

2020-2020学年黑龙江省哈尔滨高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，1，2，2，3}D．{0，1，2，3} 2．（4分）函数y=sin（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π3．（4分）已知向量，则=（）A．4B．3C．2D．4．（4分）函数y=ln（x2﹣2x）的单调增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（2，+∞）5．（4分）下列函数定义域是（0，+∞）的是（）A．y=log5x B．y= C．y=D．y=e x6．（4分）函数f（x）=2x﹣5的零点所在的区间为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）7．（4分）求值：=（）A．B．C．D．8．（4分）函数y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位而得到的函数解析式可以是（）A．y=sin（x+）B．y=sin（x﹣）C．y=sinx+D．y=sinx﹣9．（4分）函数的最小正周期是π，且ω＞0，则ω=（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）sin70°cos20°+cos70°sin20°=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．sin50°11．（4分）sin210°+cos60°=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．（4分）已知在△ABC中，角A是三角形一内角，sinA=，则角A=（）A．30°B．60°C．150° D．30°或150°二、填空题（每空4分，共16分）13．（4分）函数f（x）=2sinx+cosx的最小值为．14．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=x+1，则f（2）=．15．（4分）sin15°•cos15°=．16．（4分）cos150°=．三、解答题：（共36分）17．（8分）画出函数y=2sin（x﹣）在一个周期内的简图：18．（8分）求函数y=sin2x﹣的最小正周期，最大值以及取最大值时x 的集合．19．（10分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．①求函数f（x）的最小值以及取最小值时x的集合．②求函数f（x）的单调递增区间．20．（10分）已知函数f（x）=sin（x﹣），x∈R①求f（）的值．②若sin，θ∈（0，）求f（）．2020-2020学年黑龙江省哈尔滨高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，1，2，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∩B={1，2}，故选：B．2．（4分）函数y=sin（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数y=sin（2x﹣）的最小正周期是=π，故选：C．3．（4分）已知向量，则=（）A．4B．3C．2D．【解答】解：由向量，则=．故选：B．4．（4分）函数y=ln（x2﹣2x）的单调增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：由x2﹣2x＞0，可得x＜0或x＞2∵t=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1的单调增区间是（1，+∞），y=lnt在（0，+∞）上单调增∴函数y=ln（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞），故选D．5．（4分）下列函数定义域是（0，+∞）的是（）A．y=log5x B．y= C．y=D．y=e x【解答】解：函数y=log5x的定义域为（0，+∞）；函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；函数y=的定义域为[0，+∞）；函数y=e x的定义域为R．∴函数定义域是（0，+∞）的是y=log5x．故选：A．6．（4分）函数f（x）=2x﹣5的零点所在的区间为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【解答】解：函数f（x）=2x﹣5是连续的单调增函数，f（2）=﹣1＜0，f（3）=1＞0，可得f（2）f（3）＜0，所以函数f（x）=2x﹣5的零点所在的区间为（2，3）．故选：B．7．（4分）求值：=（）A．B．C．D．【解答】解：==tan（45°﹣15°）=tan30°=．故选：C．8．（4分）函数y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位而得到的函数解析式可以是（）A．y=sin（x+）B．y=sin（x﹣）C．y=sinx+D．y=sinx﹣【解答】解：函数y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位而得到的函数解析式可以是y=sin（x+），故选：A．9．（4分）函数的最小正周期是π，且ω＞0，则ω=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函数的最小正周期是π，且ω＞0，可得=π，∴ω=2．故选：B．10．（4分）sin70°cos20°+cos70°sin20°=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．sin50°【解答】解：sin70°cos20°+cos70°sin20°=sin（70°+20°）=sin90°=1．故选：C．11．（4分）sin210°+cos60°=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：sin210°+cos60°=sin（180°+30°）+cos60°=﹣sin30°+cos60°=．故选：A．12．（4分）已知在△ABC中，角A是三角形一内角，sinA=，则角A=（）A．30°B．60°C．150° D．30°或150°【解答】解：在△ABC中，角A是三角形一内角，sinA=，即有0°＜A＜180°，sin30°=sin150°=，可得A=30°或150°，故选：D．二、填空题（每空4分，共16分）13．（4分）函数f（x）=2sinx+cosx的最小值为﹣．【解答】解：函数f（x）=2sinx+cosx=（sinx+cosx）=sin（x+α），其中，cosα=，sinα=，故f（x）的最小值为﹣，故答案为：﹣．14．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=x+1，则f（2）=﹣1．【解答】解：根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x+1，则f（﹣2）=（﹣2）+1=﹣1，又由函数为偶函数，则f（2）=f（﹣2）=﹣1；即f（2）=﹣1；故答案为：﹣1．15．（4分）sin15°•cos15°=．【解答】解：sin15°•cos15°=×2sin15°•cos15°=sin30°=×=．故答案为：16．（4分）cos150°=．【解答】解：cos150°=﹣cos30°=﹣．故答案为：﹣．三、解答题：（共36分）17．（8分）画出函数y=2sin（x﹣）在一个周期内的简图：【解答】解：列表如下…（2分）x﹣0π2πxy=2sin（x﹣）020﹣20描点连线，可得函数图象如下：…（5分）18．（8分）求函数y=sin2x﹣的最小正周期，最大值以及取最大值时x 的集合．【解答】解：函数y=sin2x﹣，=，=2sin（），则函数的最小正周期T=，令（k∈Z），解得：x=（k∈Z）．所以：当{x|x=}（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．19．（10分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．①求函数f（x）的最小值以及取最小值时x的集合．②求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：①函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．=2sin2x+2sinxcosx，=sin2x﹣cos2x+1，=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当{x|}（k∈Z），函数的最小值为：1﹣．②令：（k∈Z），整理得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：（k∈Z）．20．（10分）已知函数f（x）=sin（x﹣），x∈R①求f（）的值．②若sin，θ∈（0，）求f（）．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（x﹣），∴f（）=sin=•=1．（2）∵sin，θ∈（0，），∴cosθ==，∴f（）=sin（θ﹣﹣）=sin（θ﹣）=（sinθ﹣cosθ）=sinθ﹣cosθ=．。

2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷（含解析）

2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷（含解析）2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin 600°＋tan 240°的值为（?）A．B．C．D．2．已知集合，，则（?）A．B．C．D．3．角的终边经过点，且，则（?）A．B．C．D．4．已知函数，下列结论中错误的是（?）A．，B．函数最多两个极值C．若是的极值点，则D．若是的极小值点，则在区间上单调递减5．若，，，则，，的大小关系为（?）A．B．C．D．6．已知函数，则下列说法正确的是A．的最小正周期为B．的最大值为2C．的图像关于轴对称D．在区间上单调递减7．要得到函数的图像，只需把函数的图像（?）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位8．已知集合，，则，（?）A．B．C．D．二、多选题9．若，，则（?）A．B．C．D．10．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（?）A．B．若，且，则C．若，则D．的值域为11．下列说法正确的是（?）A．“”是“”的必要不充分条件B．“且”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“方程有解”的充要条件D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（?）A．B．C．D．三、填空题13．若是第三象限的角，则是第________象限角；14．以下说法正确的是______．①函数的定义域为②函数的值域为③函数的值域是④函数在上不具有单调性，则实数k的取值范围为．15．已知，则___________ ．四、双空题16．已知函数，则函数的最大值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______．五、解答题17．已知函数的图像经过点(1)求的值并判断的奇偶性；(2)判断并证明函数在的单调性，并求出最大值.18．（1）计算：（2）化简：19．求下列函数的值域：(1)；(2).20．设函数.(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值.参考答案：1．C【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案.【详解】解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－＋＝．故选：C.2．C【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】因为，则或，因此，.故选：C.3．A 【分析】利用三角函数的定义可求得的值，再利用三角函数的定义可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，则，解得，因此，.故选：A.4．D【分析】根据零点存在定理，导数与极值、单调性的关系判断．【详解】，最多有两个解，因此最多有两个极值点，B正确；根据极值的定义，是的极值点，则，C正确；设有两个解，且，则或时，时，，因此函数在和上递增，在上递减，是极小值点，D错误．由上分析，可得时，，时，，由零点存在定理知在上至少存在一个零点，A正确；故选：D．5．D【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，故选：D6．C【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．7．C【分析】根据函数图象满足“左加右减”进行求解平移后的解析式，得到正确答案.【详解】把函数的图象向右平移个单位得到把函数的图象向左平移个单位得到把函数的图象向右平移个单位得到，把函数的图象向左平移个单位得到，故C正确；故选：C8．D【分析】解一元二次不等式得到集合，再利用集合交集的定义进行运算求解即可.【详解】集合又，，故选：D9．BCD【分析】根据不等式的性质，并结合指数函数与幂函数的单调性依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于B选项，因为，所以，故B选项正确；对于C选项，由于函数是增函数，所以当，，故C选项正确；对于D选项，由于函数在单调递减，所以，，故D选项正确；故选：BCD10．ABD【分析】根据题意，由指数函数的性质分析、的值，即可得函数的解析式，根据函数的奇偶性以及单调性即可对选项逐一求解.【详解】函数的图像过原点，，即，，且的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，，，，故A确；由于为偶函数，故若，且，则，即，故B确，由于在上，单调递减，故若，则，故C错误，由于，，，，故D确；故选：ABD11．ABD 【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.故选：ABD.12 ．AC【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；故选：AC13．一或三【分析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案.【详解】依题意，，，所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限.故答案为：一或三14．②④【解析】根据函数的解析式求出函数的定义域与值域，再利用二次函数的性质即可得出结果.【详解】对于①，函数，则，解得且，所以函数的定义域为，故①错误；对于②，函数，令，则，所以，所以函数的值域为，故②正确；对于③，函数，由，所以函数的值域为，故③错误；对于④，函数在上不具有单调性，则，解得，实数k的取值范围为，故④正确；故答案为：②④15．【分析】将化为，再利用平方关系化弦为切，将代入即可求解.【详解】解：，因为，所以.故答案为：.16．3【分析】根据正弦函数值域即可求f(x)最大值；求出f(x)的增区间，则根据为其子集即可求出ω关于整数k的范围，令k为具体的整数即可求出ω的具体范围.【详解】当sin＝1时，取最大值3；函数在上为增函数，根据正弦函数的性质可知，区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，即.令，则，k∈Z；则，k∈Z；∵，∴时，；时，；时，∵，故不符题意；综上，ω∈.故答案为：3；.17．（1），奇函数；（2）函数在上递增，证明见解析，最大值为.【分析】（1）利用点列方程，解方程求得的值.根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.（2）首先判断出函数在上递增，然后利用单调性的定义，证明出单调性，并根据单调性求得函数的最大值.【详解】（1）由于函数过点，故，所以.函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.（2）函数在上递增，证明如下：任取，则，由于，所以，所以函数在上递增，且最大值为.【点睛】本小题主要求函数解析式，考查函数的奇偶性，考查利用定义证明函数的单调性，考查根据函数的单调性求最值，属于中档题.18．（1）；（2）.【分析】（1）根据对数的运算性质可知，，代入原式，可求出结果；（2）利用诱导公式可化简，约分，得出结果.【详解】（1）；（2）.19．(1) ；(2) .【分析】(1)根据函数的解析式的特征,利用换元法求解函数的值域；(2)根据函数的解析式的特征,进行常变量分离即可求出函数的值域.【详解】(1)令,因此有：,所以函数的值域为：；(2) ,所以函数的值域为：.【点睛】本题考查了利用换元法和常变量分离法求函数的值域,考查了数学运算能力.20．(1)，(2)时，最大值是2，时，最小值是1【分析】（1）利用正弦函数的性质求解；（2）由正弦函数的性质求解.(1)解：的最小正周期为，由，得，所以函数的对称轴方程为；(2)由（1）知，时，，则，即时，，，即时，，的最大值是2，此时，的最小值是1，此时.试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页。

黑龙江省哈尔滨市高一上册期末考试数学试题_有答案

哈尔滨市第六中学上学期期末考试高一数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案一律用2B 铅笔涂在答题卡上） 1．已知扇形的圆心角为2π3 弧度，半径为2，则扇形的面积是（）（A ）8π3 （B ）43 （C ）2π （D ）4π32．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于（）（A ）12 （B ）12- （C（D）3．已知θ为第二象限角，24sin()25πθ-=，则cos 2θ 的值为（）（A ）35 （B ）45 （C ）35± （D ）45±4．设函数3y x =与0，y 0），则0 所在的区间是（）（A ）（0，1）（B ）（1，2）（C ）（2，3）（D ）（3，4） 5．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝（）（A ）13 （B ）－13 （C ）223 （D ）－2236．比较112121,2,log 32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭的大小顺序为（）（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）b a c << 7．化简tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝（）（A ）－1 （B ）1 （C ） 3 （D ）－ 38．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为（）（A ）－2 （B ）2 （C ）1 （D ）－19．下列四个函数中是奇函数的个数为（）① f ()＝·cos(π＋)； ② f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2； ③ f ()＝cos(2π－)－3·sin ； ④ f ()＝lg(1＋sin )－lg(1－sin )．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个10．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数，又是周期函数，若()f x 的最小正周期为π，且当∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，()f x ＝sin ，则5()3f π等于（）（A ）－12 （B ）1 （C ）－32 （D ）3211．函数2()cos ln f x x x =-⋅的部分图象大致是图中的（）（A ）（B ）（C ）（D ）12．若A ，B 为钝角三角形的两个锐角，则tan A tan B 的值（）（A ）不大于1 （B ）小于1 （C ）等于1 （D ）大于1二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。

【数学】黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年高一上学期期末考试试题(解析版)1

【解析】
AC CP PD DB BA AB BA 0 ，故答案为 0 .
y sin x cos(x )
16.函数
6 的值域为_______________.
【答案】[ 3, 3]
y sin x cos(x )
tan tan tanαtanβ=2,则 tan（α+β）= 1 tan tan -3，故选 A. 12.已知 f (x) 在 R 上是奇函数，且满足 f (x 4) f (x) ，当 x (0, 2) 时， f (x) x2 ，则 f (7) （）
A. 49 B. -49 C. 1 D. -1 【答案】D
【答案】D
【解析】
a
(
x,
3)
，
b
(3,
1)
，且
a
b
r a
r b
0
3x 1 3 0 解得 x 1 ，故选：D.
5.要得到 y sin(2x 2π) 的图象，需要将函数 y sin 2x 的图象 (
)
3
2 A. 向左平移 3 个单位
2 B. 向右平移 3 个单位
C. 向左平移 3 个单位
sin 2 3 4 ，故选：B.
9.已知
a
，
b
满足：
|
a
|
3
，
|
b
|
2
，
|
a
b
|
4
，则
|
a
b
|
(
)
A. 16 B. 4 C. 10 D. 10
【答案】D
【解析】|
a
|
3
，
|
b
|
2
，

黑龙江省高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（） {}N |04A x x =∈≤<{}1,0,1,2,3B =-A B = A ． B ．C ．D ．{}0,1,2{}1,2,3{}0,1,2,3{}1,0,1,2-【答案】C【分析】确定集合A 中元素，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得集合，， {}N |04{0,1,2,3}A x x =∈≤<={}1,0,1,2,3B =-故， {0,1,2,3}A B = 故选:C. 2．已知：，：，则是的（）条件 p 11a<q 1a >p q A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【分析】求出命题对应的的取值范围，根据集合包含关系即可求出. p a 【详解】由可得，即，解得或，所以命题对应的的取值范围为11a<110a -<10a a ->a<01a >p a ，()(),01,-∞⋃+∞因为， ()1,+∞()(),01,-∞⋃+∞所以是的必要不充分条件. p q 故选：B.3．已知点在第三象限，则角的终边在第（）象限． (tan ,cos )M αα-αA ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】由点M 所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. α【详解】因为点在第三象限，所以，， ()tan ,cos M αα-t an 0α<cos 0α>所以的终边在第四象限. α故选：D.4．在流行病学中，把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本传染数为，0R1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么N ()0N R ≥N V VN1个感染者可传染的新感染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数()0R N V N-02log R =了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（） A ．30% B ．40%C ．50%D ．60%【答案】D【分析】由题意列不等式，即可求出结果 0R ()1N V N-≤【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1人，只需要， 0()1R N V N-≤所以，即， 0()1N V R N -⨯≤011V R N ⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭52022log log 2 2.5R === ，解得2.511V N ⎛⎫∴⨯-≤ ⎪⎝⎭0.660%V N ≥=则该地疫苗的接种率至少为60% 故选：D5．若不等式的解集为，则不等式解集为（） 20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+A ．B ．(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．D ．43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】利用二次不等式解集的性质，结合韦达定理将不等式化简为，从而得0ax c cx b +≥+3034x x +≥-解.【详解】因为由不等式的解集为， 20ax bx c ++≥[]1,3所以，方程的两根为1和3， a<020ax bx c ++=由根与系数的关系得，则，134,133b c a a-=+==⨯=4,3b ca a =-=所以不等式可化为，即， 0ax c cx b +≥+0cx a c b x a a +≥+3034x x +≥-所以且，解得或， ()()3340x x +-≥340x -≠3x ≤-43x >所以解集为. 0ax c cx b +≥+(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭故选：B ．6．已知函数，图象向左平移个单位后关于直线对称，则下列()sin(2)1f x x ϕ=++||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭3π0x =说法正确的是（）A ．在区间上有一个零点B ．关于对称4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．在区间上单调递增D ．在区间上的最大值为25,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】通过函数的平移变换后图象关于直线对称可求得值，从而可求出函数解析()f x 0x =ϕ式，然后使用换元法画出函数图象，再逐项判断即可.【详解】函数，图象向左平移个单位后的图象对应的解析式为：()sin(2)1f x x ϕ=++||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭3π；2()sin 21sin 2133f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦而图象关于直线对称，且，于是，； ()f x 0x =||2ϕπ<232ππϕ+=2236ππϕπ=-=- ；∴()sin(2)16f x x π=-+ ，所以不关于对称，故B 错误；012f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ ()f x ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，则，令，则，此时函数图象如图:433x ππ≤≤62225x πππ≤-≤26t x π=-()sin 1f t t =+结合图象可知，当时，即，与坐标轴只有一个交点，即只25226t x πππ=-≤≤433x ππ≤≤()f t ()f x 有一个零点，故A 正确；当时，则，结合图象可知，此时有增有减，故C 错误；51212ππx ≤≤20263x ππ≤-≤()f t 当时，则，结合图象可知，此时单调递增，所以，当时，即124x ππ≤≤0326x ππ-≤≤()f t 4x π=，函数取最大值，，故D 错误； 3t π=()sin 1133f t f ππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭故选：A.7．已知，给出下述四个结论:()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x①是偶函数; ②在上为减函数; ()y f x =()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭③在上为增函数; ④的最大值为. ()y f x =(,2)ππ()y f x =其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④ B ．①③④C ．①②③D ．①④【答案】D【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化()f x 简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断 0x ≥【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，()f x R 因为()()()sin |||sin |cos |||cos |sin |||sin |cos |||cos |f x x x x x x x x x -=-+-+-+-=+-++，所以是偶函数，故正确；()sin |||sin |cos |||cos |x x x x f x =+++=()y f x =对于②和③，因为， 55555sin |||sin |cos |||cos |044444f πππππ⎛⎫=+++==⎪⎝⎭， 7777711sin sin cos cos 06666622f πππππ⎛⎫=+++=-+= ⎪⎝⎭且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错753642ππππ<<<()y f x =3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭(,2)ππ误；对于④，当时，22,N 2k x k k πππ≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x，()sin sin cos cos 2sin cos 4x x x x x x x π⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭因为，所以， 22,N 2k x k k πππ≤<+∈322,N 444k x k k πππππ+≤+<+∈，所以； sin 14x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()2f x ≤≤当时，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2sin x x x x x =++-=因为，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以； 0sin 1x <≤0()2f x <≤当时，322,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ；sin sin cos cos 0x x x x =-+-=当时，3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2cos x x x x x =-++=因为， 3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以，0cos 1x ≤<0()2f x ≤<所以，综上所述，当时，的最大值为为偶函数，所以当时，的0x ≥()f x ()f x 0x <()f x最大值也为的最大值为④正确； ()y f x =故选：D【点睛】方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用()y f x =三角函数的性质进行求解值域8．已知函数（a >0，且a ≠1）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，若函数21log 2,1()(1)4,1a x x f x x a x ⎧+-≤=⎨-+>⎩y =|f （x ）|﹣x ﹣2有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦1[,1)41313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭1113,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【答案】C【分析】首先根据函数f （x ）的单调性求得a 的大致范围，然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再作出函数图象，利用数形结合思想求解即可.【详解】解：∵函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，且当x >1时，f （x ）=（x ﹣1）2+4a 在（1，+∞）上单调递增，∴，解得，011004a a<<⎧⎨+≤+⎩114a ≤<又函数y =|f （x ）|﹣x ﹣2有两个不同的零点等价于|f （x ）|=x +2有两个不同的实数根， ∴函数y =|f （x ）|的图象与直线y =x +2有两个不同的交点，作出函数y =|f （x ）|与直线y =x +2的图象，当x ≤1时，由1+log a |x ﹣2|=0得，易知函数y =|f （x ）|与直线y =x +2的图象在（﹣∞，1]上有121x a=-<唯一交点，则函数y =|f （x ）|与直线y =x +2的图象在（1，+∞）上有唯一交点，故4a ≤3或（x ﹣1）2+4a =x +2，即x 2﹣3x +4a ﹣1=0有唯一解，∴或△=9﹣4（4a ﹣1）=0， 34a ≤∴或， 34a ≤1316a =综上，实数a 的取值范围为.1313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的零点问题，解题的关键是将问题转化为函数y =|f （x ）|的图象与直线y =x +2有两个不同的交点，然后画出函数图象，根据图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题二、多选题9．下列等式成立的是（）A ．πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．cos73cos28sin73sin28︒︒+︒︒C ．tan152︒=D ．1sin40sin702︒︒︒=【答案】ABC【分析】根据诱导公式可判断A ；根据两角差的余弦公式可判断B ；根据两角差的正156045︒=︒-︒切公式可判断C ；根据两角和的正弦公式可判断D.【详解】，故A 正确；πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确； ()cos73cos28sin73sin28cos 732c 8os 45=︒-︒=︒︒+︒︒︒=C 正确； ()tan15tan 60452︒=︒-︒==1sin40sin40cos 60cos40sin 602︒︒=︒︒+︒︒，故D 错误. ()sin 4060sin100sin 80=︒+︒=︒=︒故选:ABC.10．下列命题中正确的是（） A ．若，则 B ．若且，则 0x <12x x+≤-x ∈R 0x ≠12x x+≥CD ． 2≥22111x x +≥+【答案】ABD【分析】将时，化为，利用均值不等式可判断A;利用，利0x <1x x +1[()(x x--+-11||||x x x x +=+用均值不等式可判断B C ；利用，结合均值不等式判断D. 2222111111x x x x ++=+-++【详解】当时，，则， 0x <0x ->11[()()]2x x x x +=--+≤-≤--当且仅当时取等号，故A 正确； =1x -若且，则， x ∈R 0x ≠11||||2x x x x +=+≥≥当或时取等号，B 正确； 1x ==1x -，0>2==≥等号取不到，C 错误；=21,1x =∴=-2≥，当且仅当时取等号，D 正确， 222211111111x x x x +=+-≥-≥+++0x =故选：.ABD 11．若定义在R 上的减函数y ＝f （x ﹣2）的图像关于点（2，0）对称，且g （x ）＝f （x ）+1，则下列结论一定成立的是（）A．g（2）＝1B．g（0）＝1C．不等式f（x+1）+f（2x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）D．g（﹣1）+g（2）＜2【答案】BCD【分析】由于y＝f（x﹣2）的图像关于点（2，0）对称，可得f（x）为奇函数，从而由奇函数的性质可判断AB，对于C，利用函数为奇函数将f（x+1）+f（2x﹣1）＞0化为f（x+1）＞f（1﹣2x），再利用其单调性可得答案，对于D，由于g（﹣1）+g（2）＝f（﹣1）+f（2）+2＝﹣f（1）+f（2）+2，再利用函数的奇偶性和单调性可判断【详解】解：∵定义在R上的减函数y＝f（x﹣2）的图像关于点（2，0）对称，∴f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，∵g（x）＝f（x）+1，∴g（0）＝f（0）+1，∴g（0）＝1，故A选项错误，B选项正确，∵y＝f（x﹣2）为减函数，∴f（x）为减函数，∴g（x）＝f（x）+1为减函数，∵f（x+1）+f（2x+1）＞0，即f（x+1）＞﹣f（2x+1），∵f（x）为奇函数，∴f（x+1）＞f（1﹣2x），∵f（x）为减函数，∴x+1＜1﹣2x，即x＜0，故C选项正确.g（﹣1）+g（2）＝f（﹣1）+f（2）+2＝﹣f（1）+f（2）+2，∵f（1）＞f（2），∴g（﹣1）+g（2）＜2，故D选项正确.故选：BCD.12．已知函数的定义域为，且满足下列条件： ()f x []0,1①对于任意，总有，且；[]0,1x ∈()3f x ≥()14f =②若，则有. 12120,0,1x x x x ≥≥+≤()()()12123f x x f x f x +≥+-给出下列命题，其中正确的有（） A ．可能为区间内的任意值； ()0f []3,4B ．函数的最大值是4；()f x C ．函数是符合上述条件的一个函数；()[]e 3e 4,0,1e 1x g x x +-=∈-D ．当时，211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()33f x x <+【答案】BCD【分析】根据所给性质取特殊值求出判断A ，根据所给性质可推断出函数的单调性判断B ，对(0)f 所给函数验证性质判断C ，利用性质②推理可判断D.【详解】令，得，结合①知，故A 错误； 120x x ==()()()()0003,03f f f f ≥+-∴≤()03f =任取，则， []1212,0,1,x x x x ∈<()()()()212113f x f x f x x f x ≥+--≥所以在上单调递增，所以， ()f x []0,1()(1)4f x f ≤=即函数故的最大值为4，故B 正确； ()f x 易知，，()()03,14g g ==()e 3e 4e 13e 1e 1x x g x +--==+--所以任意，总有.[]0,1x ∈()3g x ≥，()1212e 13e 1x x g x x +-+=+-，()()121212e 1e 1e 1e 133333e 1e 1e 1e 1x x x x g x g x ----+-=+++-=++----则()()()12121212e 1e 1e 1333e 1e 1e 1x x x x g x x g x g x +⎡⎤---⎡⎤+-+-=+-++⎢⎥⎣⎦---⎣⎦， ()()1212121212e 1e 1e 1e 1e 1e e e 10e 1e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x x x ++--⎛⎫-----+=-+==≥ ⎪-----⎝⎭故是符合条件的函数，故C 正确；()g x 因为， ()1211113633333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+-≥++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，当时，， ()111163333f f ⎛⎫⎡⎤≤+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2113333333x +>⋅+=+所以当时，，故D 正确.211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()1133333f x f x ⎛⎫≤≤+<+ ⎪⎝⎭故选：BCD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）3ππ【答案】##32π32π【分析】首先根据弧长公式求半径，再根据扇形面积公式，即可求解. 【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径，33lr ππα===此扇形的面积.1133222s lr ππ==⨯⨯=故答案为：32π14．函数的值域为__________.()5πππ2,,1236f x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(【分析】根据求出，进而利用正弦函数图像即可求出结果.ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5ππ3π2,1244x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭【详解】因为，所以，ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5ππ3π2,1244x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭则由正弦函数图像可知，5πsin 212x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以. ()(f x ∈-故答案为：.(15．若函数在区间上为减函数，则a 的取值范围是________.()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】24(0,](1,)33⋃【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，2()2t x x ax =-1a >01a <<解得即可.【详解】解：令，则，2()2t x x ax =-()0t x >当时，是增函数，由在区间上为减函数，1a >log a y x =()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦则在上为减函数，故，即，解得；2()2t x x ax =-31,2⎛⎤⎥⎝⎦113021a t a ⎧≤⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1193041a a a ⎧≤⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩413a <<当时，是减函数，由在区间上为减函数，01a <<log a y x =()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦则在上为增函数，故，即，解得，2()2t x x ax =-31,2⎛⎤⎥⎝⎦()1321001a t a ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪<<⎪⎩1322001a a a ⎧≥⎪⎪-≥⎨⎪<<⎪⎩203a <≤综上，的取值范围是..a 24(0,](1,)33⋃故答案为：24(0,](1,)33⋃16．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是a R ∈3()f x ax x =-t R ∈2|(2)()|3f t f t +-≤a ____.【答案】 max 43a =【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-2364[1,)m t t =++∈+∞绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=∙[++++-=++-使得令，则原不等式转化为存在， 2364[1,)m t t =++∈+∞11,|1|3m am ≥-≤由折线函数，如图只需，即，即的最大值是11133a -≤-≤2433a ≤≤a 43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.四、解答题17．已知()()21R 21x x f x x -=∈+(1)判断函数的单调性，并用定义证明之．()f x (2)解关于t 的不等式．()()2320f t f t -+<【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 ()f x R (2) {}31t t -<<【分析】（1）由题意可知，对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解．【详解】（1）由题意，函数在上是增函数， ()21212121x x xf x -==-++()21x h x =+R 所以函数在上是增函数． ()f x R 证明如下：在上任取且，R 12,x x 12x x <所以 ()()()()()121212122222211,21212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由可知，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即． ()()120f x f x -<()()12f x f x <即在上单调递增．()f x R （2）易知，所以函数为奇函数；()()21122112x xx x f x f x -----===-++()f x 由（1）知，函数是上的增函数，()f x R 由可得，()()2320f t f t -+<()()()2322f t f t f t -<-=-所以，即，解得，232t t -<-2230t t +-<31t -<<即关于t 的不等式的解集为()()2320f t f t -+<{}31t t -<<18．（1）已知角终边所在直线经过点，求的值； α()1,2-sin()3sin()232cos()cos()2παπαπαπα+-+---（2）已知求的值. 233sin cos 3252ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，()sin αβ+【答案】（1）；（21-【分析】（1）利用诱导公式化简即可求解；（2）利用同角三角关系与和差公式即可求解. 【详解】（1）角终边所在直线经过点，α()1,2-，，.∴sinα=cos α=tan 2α=- ∴sin()3sin()232cos()cos()2παπαπαπα+-+---cos 3sin 2sin cos αααα+=-+13tan 2tan 1αα+=-+()()132221+⨯-=-⨯-+.1=-（2） 233sin cos 3252ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，∴cos α=4sin 5β=-∴()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ 234355⎛⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=19．设函数，．()22sin cos f x x x x =-x ∈R (1)求的最小正周期； ()f x (2)若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上的单调递()f x π6()g x ()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦增区间．【答案】(1) π(2) ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简解析式即可求出最小正周期； ()f x (2)根据图像平移求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求解.()g x【详解】（1），()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭故函数的最小正周期； 2ππ2T ==（2）将函数的图象左移个单位得到的图象，()y f x =6π()y g x =则，()ππ2sin 22sin263g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ππ2ππ,2,3432x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当即时，单调递增，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ∴在上的单调递增区间为：()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．1.已知数，函数. ()()22log log 28xf x x =⋅()1423x xg x +=--(1)求函数的值域；()f x (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数x 的取值. ()()0f x g a -≤[]0,2a ∈【答案】(1) [)4,-+∞(2)2【分析】（1）利用对数运算，把化为关于的二次函数，配方后求出的值域；（2）()f x 2log x ()f x 不等式对任意实数恒成立，只需，利用换元法求出，令()()f x g a ≤[]0,2a ∈()()min f x g a ≤()min g a ，求出实数x 的值为2.()4f x ≤-【详解】（1）， ()()()()()2222222log 3log 1log 2log 3log 144f x x x x x x =-+=--=--≥-即的值域为.()f x [)4,-+∞（2）∵不等式对任意实数恒成立，∴.()()f x g a ≤[]0,2a ∈()()min f x g a ≤， ()()()2214232223214a a a a a g a +=--=-⨯-=--令，∵，∴，2a t =[]0,2a ∈[]1,4t ∈设，，当时，取得最小值，即，()()214h t t =--[]1,4t ∈1t =()h t 4-()min 4g a =-∴，即，∴实数x 的值为2.()4f x ≤-()22log 144x --≤-21．已知二次函数.()()21,R f x x a x a a =-++∈(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；x ()1f x ≤-(]2,3x ∀∈a (2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范()1g x x =-[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥a 围.【答案】(1) 72a ≥(2)或 {1aa ≤-∣3}a ≥【分析】（1）分离参数得对恒成立，只需，利用对勾函数211x x a x -+≥-(]2,3x ∀∈2max 11x x a x ⎛⎫-+≥ ⎪-⎝⎭单调性求最大值即可；（2）由，，使不等式成立可得，是一元二1[0,1]x ∀∈2[1,2]x ∃∈-12()()g x f x ≥min min ()()g x f x ≥()f x 次函数，利用对称轴位置分类讨论求最小值即可.【详解】（1）因为二次函数，()()21,R f x x a x a a =-++∈所以关于的不等式对恒成立，x ()1f x ≤-(]2,3x ∀∈转化为对恒成立，()211a x x x -≥-+(2,3]x ∀∈即对恒成立，211x x a x -+≥-(]2,3x ∀∈令，记，因为，所以，()22(1)111111111x x x x y x x x x -+-+-+===-++---1t x =-(]2,3x ∈(]1,2t ∈则，因为在上单调递增，11,(1,2]y t t t =++∈11y t t =++(1,2]t ∈所以，，所以； 2t =max 72y =72a ≥（2）对，使不等式成立， [][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥转化为 min ()g x min ()f x ≥， ()[]1,0,1g x x x =-∈ 在上单调递增，()g x ∴[]0,1，()min ()01g x g ∴==-， ()()[]2221211,1,224a a a f x x a x a x x +-+-⎛⎫=-++=-+∈- ⎪⎝⎭ ①当，即时，在上单调递增， 112a +≤-3a ≤-()f x []1,2-，()min ()122f x f a ∴=-=+此时，且，解得； 122a -≥+3a ≤-3a ≤-②当，即时，在上单调递减， 122a +≥3a ≥()f x []1,2-()min ()22,f x f a ∴==-此时，且，解得； 12a -≥-3a ≥3a ≥③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 1122a +-<<33a -<<()f x 11,2a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2min121(),24a a a f x f +-+-⎛⎫∴==⎪⎝⎭此时，且，解得，22114a a -+--≥33a -<<31a -<≤-综上所述，实数的取值范围为或. a {1aa ≤-∣3}a ≥22．已知为偶函数，为奇函数，且满足.()f x ()g x ()()12xf xg x --=(1)求函数､的解析式； ()f x ()g x (2)已知函数，，求函数的值域； ()()()g x h x f x =[]0,1x ∈()h x (3)若关于的方程在内恰有两个不等实根，求实数的取值范围.x ()()()23g x f x λ+=⎡⎤⎣⎦()1,1-λ【答案】(1) ()()2222x x x x f x g x --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(2) 30,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3) 17,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）结合奇偶函数性质，令，两式联立可求､的解析式； x x =-()f x ()g x （2）化简得，结合单调性可求的值域； ()22121x h x =-+()h x （3）易得，令，结合奇偶性与单调性确定的取值()22222223x x x xλ---⋅+++=22x x t -=-()t x t范围，原方程等价为，分离参数得，令，结合单调性可()243t t λ++=234t t λ=--()234h t t t =--求的取值范围.λ【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，()f x ()g x ()()12xf xg x +---=即，所以，，解得； ()()12xf xg x ++=()()()()1122x x f x g x f x g x -+⎧-=⎪⎨+=⎪⎩()()2222x x x x f x g x --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（2）由题意，，因为单调递增， ()222222121222121x x x x x x xh x ----===-+++()h x ，所以值域为；()()300,15h h ==()h x 30,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由题知方程在区间内恰有两个不等实根.()22222223x x x xλ---⋅+++=()1,1-显然不是该方程的根，令，则原方程可变形为，0x =22x xt -=-()243t t λ++=由，所以为偶函数，()()()2222x x x xt x t x t x --=-⇒-=-=()t x 当时，单调递增，所以，()0,1x ∈()212x xt x =-30,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则题意转化为方程在区间内有唯一实根（因为每一个在区间内234t t λ=--30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭30,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,1-恰有两个值与之对应）.x 设，显然在区间内单调递减，()234h t t t =--()h t 30,2⎛⎫⎪⎝⎭又时，，当时，，所以.0t →()h t →+∞32t →()174h t →-174λ>-综上所述，所求常数的取值范围是.λ17,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭。

黑龙江省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

高一学年数学试题答题时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合，，则（）{}1,2,3A ={}0,1,2B =A B = A. B.C.D.{}0,1{}2,3{}0,3{}1,2【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义，即得解【详解】由题意，利用交集的定义，A B = {}1,2故选：D2. 设，则“”是“”的（） R a ∈2a <6a <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】，则当时，必有，222a a <⇔-<<2a <6a <反之当时，不一定成立，如，满足，而不满足， 6a <2a <3a =6a <2a <所以“”是“”的充分不必要条件. 2a <6a <故选：A3. 已知函数，若，则（）()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩()21f f =⎡⎤⎣⎦=a A. B. C. D.2-7-15【答案】B 【解析】【分析】先计算出，然后得出，即可求出实数的值.()23f =-()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦a【详解】，，()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()21233f -∴=-=-则，得，解得. ()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦92a +=7a =-故选：B.【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.4. 已知角终边上一点，则的值为 α(2,3)P -cos()sin()2cos()sin(3)παπαπαπα++--A.B. C.D. 3232-2323-【答案】A 【解析】【详解】角终边上一点，所以. α()2,3P -32tan α=-.故选A. ()()()()()cos sin 32cos sin 32sin sin tan cos sin παπααααπαπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-=---5. 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的,x y 2x y xy +=,x y 228x y m m +<+m 取值范围是（） A.B.()1,9-()9,1-C. D.()(),91,∞∞--⋃+()(),19,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后,x y 211x y+=2x y +解不等式即可.【详解】由得， 2x y xy +=211x y+=，()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，3x y ==则使不等式有解，只需满足即可， 228x y m m +<+289m m +>解得. ()(),91,m ∞∞∈--⋃+故选：C. 6. 函数的定义域为（）y =A. B.C. D.[)1,+∞3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎛⎤⎥⎝⎦30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域.【详解】解：函数，解得，y =()0.534304log 4301x x x x ⎧->⎧>⎪⇒⎨⎨-≥⎩⎪≤⎩314x <≤故函数定义域为.3,14⎛⎤⎥⎝⎦故选：C.7. 下列说法正确的是（） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同角60︒600︒C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角D. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 10π3【答案】D 【解析】【分析】举反例说明A 错误；由终边相同角的概念说明B 错误；由三角形的内角的范围说明C 错误；求出分针转过的角的弧度数说明D 正确．【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A 错误； A 120︒420︒120420︒<︒对于B ，，与终边不同，故B 错误；600360240︒=︒+︒60︒对于C ，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C 错误； y 对于D ，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转，602π钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D 正确． ∴101π2π63⨯=故选:D ．8. 设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足()f x [1,1]-(1)1f -=-[1,1]x ∈-[1,1]m ∈-，则t 的取值范围是（）2()21f x t mt ≤-+A.B. [2,2]-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.D.11,,{0}22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭(,2][2,){0}-∞-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由奇函数在上是增函数，且得最大值为1，则有对任意()f x [1,1]-(1)1f -=-()f x 220t mt -≥的成立，将m 看成变量，得出不等式组，解之可得结果． [1,1]m ∈-【详解】因为奇函数在上是增函数，且， ()f x [1,1]-(1)1f -=-所以的最大值为1． ()f x 所以只需2211t mt -+≥即对任意的恒成立即可， 220t mt -≥[1,1]m ∈-令，2()2g m t mt =-则，即 (1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩解得或或． 2t ≥2t ≤-0=t 故选：D ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9. 下列说法中，正确的是（） A. 若，，则B. 若，则 0b a >>0m >a m ab m b+>+22a b c c >a b >C. 若，，则 D. 若，，则a b >c d <a c b d ->-22a b >0ab >11a b<【答案】ABC 【解析】【分析】利用作差法可判断A ，再根据不等式的性质判断BC ，举反例判断D 即可.【详解】对A ，若，，则，故A 正确； 0b a >>0m >()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++对B ，因为，故，故，故B 正确； 22a b c c>20c >a b >对C ，若，，则，则，故C 正确； a b >c d <c d ->-a c b d ->-对D ，若，则，，但，故D 错误； 2,1a b =-=-22a b >0ab >11a b>故选：ABC10. 已知，则下列不等式成立的有（） e e a b >A.B. C.D.11a b<31a b ->20212021a b >lg()1a b -<【答案】BC 【解析】【分析】先由，得，再根据不等式的性质，指数函数、幂函数的单调性及特殊值法即可判e e a b >a b >断．【详解】由，得．当，时，，故选项A 不正确； e e a b >a b >2a =1b =-11112a b=>-=，，又在上单调递增，，故选项B 正确；a b > 0a b ∴->3x y =R 0331a b -∴>=在上单调递增，，，故选项C 正确； 2021y x = R a b >20212021a b ∴>当，时，，故选项D 不正确． 101a =1b =lg()21a b -=>故选：BC11. 下列结论正确的是（） A. 是第三象限角 76π-B. 若，则tan 2α=sin cos 3sin cos αααα+=-C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为3ππ32πD. 终边经过点的角的集合是()(),0m m m >2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BCD 【解析】【分析】直接利用象限角的定义，同角三角函数关系式，扇形面积公式的计算来判断各选项的结论．【详解】，是第二象限角，故A 错误； 766πππ-=--若，则，故B 正确；tan 2α=sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++==--圆心角为的扇形的弧长为，扇形的半径为，面积为，故C 正确；3ππ33ππ=13322ππ⨯⨯=终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故()(),0m m m >2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D 正确；故选：BCD12. 已知函数，方程有四个不同的实数根，从小()212,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()220(0)f x f x m m +-=>到大依次是则下列说法正确的有（） 1234,,,,x x x x A. B.C.D. 可以取到313x <-122x x +<-342x x =m 【答案】BD 【解析】【分析】由分段函数对应区间上指对数函数的性质画出函数图象，根据已知方程知两个零点、1()f x 分别在的两侧，结合图象及原方程根的个数确定、的范围，进而得到2()f x ()1f x =-1()f x 2()f x 的范围，即可确定答案.1234,,,x x x x 【详解】由题设，，其函数图象如下：2222,0()log ,01log ,1x x f xx x x x -⎧-≤⎪=-<<⎨⎪≥⎩而的对称轴为且，即，2()2()y f x f x m =+-()1f x =-440m ∆=+>1m >-所以必有两个零点、分别在的两侧， 0y =1()f x 2()f x ()1f x =-由上图知：且，满足原方程有四个实根， 10()1f x <≤23()2f x -≤<-故，则，D 正确； 123()()0f x f x m -≤=-<03m <≤所以：；且；13222x --≤-<-21log 52x -≤<-210x -<≤：；且：.；230log 1x <-≤3112x <≤240log 1x <≤412x <≤所以且，则， 212341log 5210122x x x x -≤<-<-<≤<≤<<≤341x x =122x x +<-故A 、C 错误，B 正确. 故选：BD【点睛】关键点点睛：根据分段函数上指对数函数的性质画出函数图象，由方程判断、的分1()f x 2()f x 布并结合函数图象确定它们的范围，进而确定根的范围.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为________．()222()1mmf x m m x+=--m 【答案】-1 【解析】【分析】根据函数是幂函数，由求得m ，再图象不经过原点确定. ()()2221m mf x m m x+=--211m m --=【详解】因为函数是幂函数，()()2221mmf x m m x+=--所以，解得或；211m m --=1m =-2m =当时，，图象不经过原点，满足题意；1m =-()1f x x -=当时，，图象经过原点，不满足题意；2m =()8f x x =所以. 1m =-故答案为：.1-14. 若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是____．2000R,22x x x m ∃∈++=m 【答案】 [)1,+∞【解析】【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题，再利用存在量词命2000R,22x x x m ∃∈++=题为真得关于x 的方程有实根，最后利用判别式计算得结论． 2220x x m ++-=【详解】因为“”的否定是假命题， 2000R,22x x x m ∃∈++=所以“”是真命题， 2000R,22x x x m ∃∈++=因此关于x 的方程有实根， 2220x x m ++-=所以，解得． 2241(2)0m ∆=-⨯⨯-≥1m ≥因此实数m 的取值范围是． 1m ≥故答案为：．[)1,+∞15. 已知函数是定义在上的偶函数，且()()2231f x ax b a x b =+--+23,2a a ⎡⎤-⎣⎦，则m 的取值范围的集合是______.()()2113f m f m -<+【答案】或. {|0m m >2}m <-【解析】【分析】利用已知求出，再利用函数的奇偶性和单调性得到，解不等式()25f x x =-|21||13|m m -<+即得解.【详解】解：由题得. 22320,132a a a a a⎧-+=∴=⎨-<⎩所以，()()2231f x x b x b =+--+因为函数是偶函数，所以.()()()22(),231231,2f x f x x b x b x b x b b -=∴---+-++=-∴=所以.()25f x x =-所以函数在单调递减，在单调递增. (,0)-∞(0,)+∞因为，所以， ()()2113f m f m -<+|21||13|m m -<+平方得或.220,0m m m +>∴>2m <-所以m 的取值范围的集合是或.{|0m m >2}m <-故答案为：或.{|0m m >2}m <-16. 已知，函数，，若0a ≠()2cos 2cos 1f x x x x a =+--()()2log 32g x a x =+-，，有，则实数a 的取值范围是______．1π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦[]21,5x ∀∈()()12f x g x =【答案】 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，由三角函数的性质求得，由题意得()f x ()[]11,2f x a a ∈---的值域是的子集，结合的单调性分类讨论求解即可．()[]15,,g x x ∈[]1,2a a ---()g x 【详解】，()2cos 2cos 12cos22sin 26f x x x x a x x a x a π⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭∵，∴，∴，∴． 1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]11,2f x a a ∈---∵，，有，1π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦[]21,5x ∀∈()()12f x g x =∴的值域是的子集．()[]15,,g x x ∈[]1,2a a ---①当时，，则，此时，解得；0a >[]1,5x ∈()[]22,32g x a a ∈--1223220a a a a a --≤-⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩113a ≤≤②当时，，则，此时，无解．0a <[]1,5x ∈()[]32,22g x a a ∈--1322220a a a a a --≤-⎧⎪-≤-⎨⎪<⎩综合①②，． 1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 化简与求值．（1）若, 3π2π2α<<．（2）已知,求. 1tan 3α=-22sin cos cos ααα⋅-【答案】（1） 2sin α-（2） 32-【解析】【分析】(1)根据,判断的正负,将原式进行化简,去绝对值即可; 3π2π2α<<sin α(2)将原式分母看为,分子分母同除以,原式即可化为关于的式子,将22sin cos αα+2cos αtan α1tan 3α=-代入即可求值. 【小问1详解】解:由题知, 3π2π,sin 02αα<<∴<原式 ∴=+=1cos 1cos sin sin αααα-+=+1cos 1cos sin sin αααα-+=--; 2sin α=-【小问2详解】由题知, 1tan 3α=-故原式 22222sin cos cos 2sin cos cos sin cos αααααααα⋅-⋅-=+22tan 1tan 1αα-=+ 53109-=.32=-18. 已知函数 ()2sin 23x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期()f x （2）求函数的对称轴方程和对称中心 ()f x （3）求的单调递增区间 ()f x 【答案】（1）T π=（2）对称轴方程为：，，对称中心为， 212k x π5π=+Z k ∈,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈（3）， 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【解析】【分析】（1）化简得，利用正弦函数的周期公式，计算可得答()2sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭案；（2）根据正弦函数对称轴方程和对称中心的公式，直接计算可得答案；（3）根据复合函数的单调性，得到，计算可得函数的单调递增区间. 32k 22k 232x πππππ+≤-≤+()f x 【小问1详解】由题意知：()2sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得函数的最小正周期为： 22T ππ==【小问2详解】由得函数的对称轴方程为：， 232x k πππ-=+212k x π5π=+Z k ∈由得，∴对称中心为， 23x k ππ-=26k x ππ=+,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈【小问3详解】由得，32k 22k 232x πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ+≤≤+Z k ∈∴函数的单调递增区间为：， ()f x 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈19. 已知函数． 21()cos cos 2f x x x x =+-（1）解不等式，其中． 1()2f x ≥ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）在锐角中，，求的取值范围． ABC A π3A =()()f B f C +【答案】（1） ,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦（2） 1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据得到()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式，可得求解即可；ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+ππ5π2266x <+≤（2）利用已知条件求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简得出，利B ()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. ()()f B f C +【小问1详解】()1cos 211π22cos 2sin 22226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭，ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，即，1()2f x ≥sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，解得 ππ5π2266x ∴<+≤ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式的解集为. 1()2f x ≥ππ,63⎛⎤⎥⎝⎦【小问2详解】由题意可得且，可得，π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩π3A =ππ62B <<∵， π,π3A ABC =++=∴， 2π3C B =-πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭，πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，则， ππ62B <<ππ5π2666B <-<∴． 1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故的取值范围为. ()()f B f C +1,12⎛⎤⎥⎝⎦20. 已知. π0,,sin 2cos 2ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭（1）求的值；2sin24cos 2tan ααα-+（2）若，且，求的值. ()0,πβ∈πsin 4β⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ+【答案】（1） 2425-（2）π4【解析】【分析】（1）利用换元法及同角三角函数的平方关系，结合二倍角的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；（2）利用两角差的正弦公式及换元法，结合同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】令则由于所以，cos ,t α=π0,,2α⎛⎫∈⎪⎝⎭(0,1)t∈sin α=从而，即于是有，即2t =2t =22154,t t-=+-2540t -+=解得 22)0,-=t ==所以，cos αα==所以，， 4sin 22sin cos 25ααα=⋅==sin 1tan cos 2ααα==所以. 244124sin 24cos 24555152tan 25222ααα-⨯-==-=-++【小问2详解】πsin cos )4βββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭从而，所以，从而，sin cos ββ-=sin cos ββ<π0,,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+令，则， sin t β=cos t β⎛=∈⎝从而，于是有，t =t +=22215t t ++=-即，即， 23205t +-=21030,Δ40410(3)160t +-==-⨯⨯-=从而（舍），t ===t ==即， sin ββ==所以. cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-==因为，所以. 3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+π4αβ+=21. 已知函数. ()222sin 14f x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（1）当，且的最大值为，求的值；5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭32m （2）方程在上的两解分别为、，求的值. ()32f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x ()12cos x x -【答案】（1）；（2）. 12m =()123cos 4x x -=【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，令()y f x =()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得，再令，可将问题转化为二次函数26s x π=-()22sin 4sin 1g x s m s =-++[]sin 0,1t s =∈在上的最大值为，利用二次函数的基本性质可求出实数的值；2241y t mt =-++[]0,1t ∈32m （2）设，由题意求得，12x x <123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的值，求出的取值范围，进而2cos 26x π⎛⎫-=⎪⎝⎭()12cos 22x x -12x x -利用二倍角余弦公式可求出的值. ()12cos x x -【详解】（1）()222sin 14f x x x π⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭， 1cos 21cos 22212cos 22sin 2226x x x x x ππ⎛⎫-+ ⎪-⎛⎫⎝⎭=+⨯-=-=- ⎪⎝⎭当时，令，则，则.5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦220,63s x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦26x s π=+[]sin 0,1s ∈，()24sin sin 2cos 24sin 2sin 4sin 12g x m s s s m s s m s π⎛⎫∴=++=+=-++ ⎪⎝⎭令，令，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线. []sin 0,1t s =∈2241y t mt =-++t m =①当时，二次函数在区间上单调递减， 0m ≤2241y t mt =-++[]0,1则，不合乎题意； max 312y =≠②当时，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则01m <<2241y t mt =-++[]0,m [],1m ，解得或（舍）；2max 3212y m =+=12m =12m =-③当时，二次函数在区间上单调递增， m 1≥2241y t mt =-++[]0,1则，解得（舍）. max 3412y m =-=58m =综上所述，； 12m =（2）设，，则， 12x x <0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， sin y x =,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由，得， ()32sin 262f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为方程在上的两解分别为、， ()32f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 则，必有，， 123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10262x ππ<-<252266x πππ<-<所以，，同理 1cos 26x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭2cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()1212cos 22cos 2266x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2121231cos 2cos 2sin 2sin 2666648x x x x ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝由于，且，，则，102x π≤≤202x π≤≤12x x <1202x x π∴-≤-<()12cos 0x x -≥由，可得.()()21212cos 222cos1x x x x -=--()123cos 4x x -==【点睛】本题考查利用二次型正弦函数的最值求参数，同时也考查了由正弦型函数的解求三角函数值，考查计算能力，属于中等题.22. 已知指数函数满足． ()f x ()()112f f --=（1）求的解析式；()f x （2）设函数，若方程有4个不相等的实数解()()()2g x f x kf x =+()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x ．（i ）求实数的取值范围；k （i i ）证明：． 12344x x x x +++<【答案】（1）())1xf x =+（2）（i ）；（i i ）证明详见解析 (6,--【解析】【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式.()f x （2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以k 及放缩法证得. 12344x x x x +++<【小问1详解】设（且），()xf x a =0a >1a ≠由于，所以， ()()112f f --=212,210a a a a -=--=由于且，所以解得，0a >1a ≠1a =+所以.())1xf x =+【小问2详解】（i ），()()()))2211xxg x f x kf x k=+=+++方程有4个不相等的实数解．()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x即①有4个不相等的实数解．))))221111100xx x xkk --+++++=1234,,,x x x x令，则， ))11xxt -=++))222112x xt -=++++，))112x x t -=+++≥=当且仅当时等号成立.))11,0xxx -+==所以①化为②， 2221080t kt t kt -++=++=对于函数，，()))11xxh x -=++()))()11xxh x h x --=+++=所以是偶函数，图象关于轴对称，()h x y 当时，令，，，0x >)1xv =+1v >()1m v v v=+任取，， 121v v <<()()()()121212121212111v v v v m v m v v v v v v v ---=+--=其中，()()121212120,1,10,0v v v v v v m v m v -<>->-<，所以在上递增，()()12m v m v <()m v ()1,+∞根据复合函数单调性同增异减可知在上递增； ()h x ()0,∞+由于是偶函数，所以在上递减. ()h x ()h x (),0∞-所以的最小值是.()h x ()02h =所以方程②在上有两个不同的实数根，()2,+∞所以，解得22Δ320222280k k k ⎧=->⎪⎪->⎨⎪++>⎪⎩6k -<<-所以的取值范围是.k (6,--（i i ）由于是偶函数，图象关于轴对称， ()h x y 所以不妨设， 31420,0x x x x =->=->所以要证明， 12344x x x x +++<即证明，即证明.()3424x x +<342x x +<设方程②的两个不同的实数根为，则，12,t t 1212,8t t k t t +=-⋅=，()2222121212216t t t t t t k +=+-=-由整理得，))()110xxt x -=++>))()211100xxt x +-⋅++=>解得，)1x+=34,x x 所以，1x =则， 3411x x+=+ 1⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎣⎦1=⎣⎦1=⎣⎦ 1<⎣⎦ 1=⎣⎦1=，1=由于，()2632,36k k -<<-∈所以11<，()2111312==+==即，所以．342x x +<12344x x x x +++<【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形：，右侧部分还可变形为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭a b +≤。

(完整word)黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题(数学)

黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题（数学）考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 A ．2 B ． 3 C ．6 D ．9 2．已知函数sin()3y x π=--，则函数的最小正周期为 A ．3 B ．π C ．2 D ．2π 3．已知ABC ∆中，a =，60B =o ，45A =o ，则b = A ．2 B． CD． 4．化简sin()cos()cos()22παπαπα+-+所得结果为A ．sin αB ．sin α-C ．cos αD ．cos α-5．已知cos sin 3αα=，则sin sin cos cos sin cos 3223αααααα-+= A ．13 B ．727 C ．19 D ．13276．函数log (sin 32y x =-的定义域为 A ．(,)2242k k ππππ++（k Z ∈） B ．(,)32244k k ππππ++（k Z ∈） C ．(,)32224k k ππππ++（k Z ∈） D ．(,)2244k k ππππ-+ （k Z ∈）7．已知函数254m m y x -+=（m Z ∈）为偶函数且在区间(,)0+∞上单调递减，则m =A ．2或3B ．3C ．2D ．1 8．已知函数sin sin 231y x x =-+（[,]6x ππ∈），则函数的值域为 A ．[1,1]- B ．1[,1]4-C ．1[1,]4-- D ．[1,5]-9．sin cos sin sin 44241αααα---=A ．32B ．2C ．3D ．1 10．设tan 1a =，tan 2b =，tan 3c =，tan 4d =，则,,,a b c d 大小关系为 A ．d a c b >>> B ．a d b c >>> C ．a d c b >>> D ．d a b c >>> 11．已知sin()12413πα+=，且(,)042ππα+∈，则sin α=A B C ．- D ． 12．已知,[,]22ππαβ∈-，tan ,tan αβ是关于方程2201120120x x ++=的两根，则αβ+= A ．4πB ． 34π-C ．4π或34π-D ．4π-或4π 第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．函数sin sin 22xy x =+的值域为__________________.14. ABC ∆中，若5a =，3b =，23C π=，则c =________________.15．已知(,)2πθπ∈，cos2a θ=+=________________. 16. 若函数()()221f x x m x m =+-+在区间[,]11-内有零点，则m 的取值范围是 ________________________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题10分）已知：函数()sin()32f x x ϕ=+（(,)0ϕπ∈-）的一条对称轴方程为712x π=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）利用五点作图法画出函数()y f x =在区间[,]433ππ内的图象.18．（本大题12分）求实数a 的取值范围使不等式sin cos sin cos 410x x x x a ++⋅+-≤恒成立. 19．（本大题12分）已知函数()sin()6g x x π=+，()cos ()122f x xg x =⋅-（1）求函数()f x 的最小正周期及其对称中心坐标；（2）当[,]02x π∈时，求函数()f x 的值域；（3）由sin y x =可以按照如下变换得到函数()y f x =， sin y x =()1→sin()6y x π=+()2→sin()26y x π=+，写出（1）（2）的过程.20．（本大题12分）在ABC ∆中，sin()1C A -=，sin 13B = （1）求sin A 的值；（2）设AC =，求ABC ∆的面积.21．（本大题12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,0002A πωϕ>>≤≤）在(,)05π内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时，函数取到最大值2，当4x π=时，函数取到最小值2-（1）求函数解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m 使得不等式f f >成立，若存在，求出m 的取值范围.22. （本大题12分）已知函数()lg ||11f x x p =-，()lg(||)222f x x p =-+（x R ∈，,12p p 为常数）函数()f x 定义为对每个给定的实数x （1x p ≠），()()()()()()()112221f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨≤⎩（1）当12p =时，求证：()1y f x =图象关于2x =对称；（2）求()()1f x f x =对所有实数x （1x p ≠）均成立的条件（用1p 、2p 表示）；（3）设,a b 是两个实数，满足a b <，且1p ，2p (,)a b ∈，若()()f a f b = 求证：函数()f x 在区间[,]a b 上单调增区间的长度之和为2b a-. （区间[,]m n 、(,)m n 或(,]m n 的长度均定义为n m -）高一数学答案一、选择题112- DCBCB BAABC BB二、填空题13．[,]223- 14．7 15．21a - 16．2m ≥或312m ≤- 三、解答题20．（1）sin 3A =（2）62ABC S ∆= 21．（1）()sin()1236f x x π=+ （2）单调增区间为[,]626k k ππππ-+（k Z ∈）（3）122m <≤ 22（1）当12p =时x x x f x x x f x x f -=--=-=-+=+∴-=lg 22lg )2(,lg 22lg )2(,2lg )(111)2()2(21x f x f -=+∴，所以对称轴为2=x（2）若对任意实数)()(,),()(211x f x f R x x f x f ≤∈∀∴=均成立即()2lg lg 21+-≤-p x p x ，由对数的单调性可知221+-≤-p x p x 均成立212121,2p p p x p x p x p x ----≤---∴的最大值为又Θ所以21,p p 满足221≤-p p（3）① 当221≤-p p 时，由（2）可知11lg )()(p x x f x f -==由（1）可知函数)()(1x f x f =关于1p x =对称，由)()(b f a f =，可知21ba p +=而⎩⎨⎧<->-=))(lg())(lg()(11111p x x p p x p x x f 由单调性可知，单调增区间长度为22ab b a b -=+-故由()1y f x =与()2y f x =单调性可知，增区间长度之和为()()012x p b p -+-，由于()()f a f b =，得122p p a b +=++所以()()1201212p p x p b p b +-+-=-+2b a-=. 当12p p >时，同理可证增区间之和仍为2b a-.。

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