第二十二章一元二次方程精品讲义
第22章一元二次方程复习课课件概要
(92 2x)60 x 6885.
整理得: x2 106 x 105 0,
解得: x1 1; x2 105(不合题意,舍去).
答 : 水渠的宽度为1m.
甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税 的年平均增长率为多少?
解: 设每年平均增长率为 x,根据题意,得
如果关于x的一元二次方程有k2x2 (2k 1)x 1 0
两个不相等的实数根，那么k 的取值 范围是
1. 若关于x的一元二次方程x2 －4x + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
已知关于x的一元二次方程
x2-（m+2）x+
1 4
m2-2=0
当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根?并求出 这两个相等的根。
(40 x)(20 2 x ) 1200. 1
整理得 : x2 30 x 200 0.
解这个方程 ,得
x1 20, x2 10. 20 2x 60,或20 2x 40.
答 :为了尽快减少库存 ,应降均结1000个桃子,现准备多 种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵 桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应 多种多少棵桃树?
解得:
x1
5 10
7
0.2
20%; x2
5 10
7
1.2
0(不合题意, 舍去).
答: 该厂今年产量的月平均增长率为20%.
某水果批发商场经销一种高档水果, 如果每千克盈利10元,每天可售出 500千克,经市场调查发现,在进货价 不解变:设的每情千克况水果下应,若涨价每x元千, 克涨价1元,日 销依售题量意得减: 少(5020-020千x)(1克0+x,现)=60该00 商场要保证 每整天理盈得:利6x02-0150x元+50,=同0 时又要使顾客得 到解实这惠个方,那程得么:x每1=5千克x2=应10 涨价多少元?
人教版九年级数学上册精品教学课件22.2二次函数与一元二次方程
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
0个 1个 2个
0 -2, 1 y = x2－x＋1
相应的一元二次 方 程 的 根 x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3
0 个交点； 那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解； （2）当a＜0时, ax2+bx+c<0 的解集是一切实数.
-1
O
3
x
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x=2 y
第二十二章
二次函数
22.2二次函数与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式） 之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等
式的解集.（重点）
《二次函数与一元二次方程》PPT课件
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．【注意】根据实际问题，讨论h的取值．
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
思考
判别式(△)b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
图象
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
b2-4ac>0
（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（4）当h=0时，20t-5t2=0，化简得t2-4t=0， t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 . 考虑下列问题:（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?
第22章一元二次方程讲义
22.1一元二次方程学习要求: 了解一元二次方程及整式方程的意义；掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项，理解一元二次方程根的意义. 问题（根据实际问题设出未知数，列方程）：1.星河湾小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
列方程：【例1】下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由.21252x x -=-，220x x y +-=，20ax bx c ++=， ()2242x x -=+， 20x =，2112x x x =-+-【例2】将方程化成一元二次方程的一般形式，并填表.【例3】若关于x 的方程（m+3）27m x-+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．【例4】已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋3x －5m ＋4＝0有一根为2，求m【思考】求证：关于x 的方程（m 2－8m ＋17）x 2＋2mx ＋1＝0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．22.2.1配方法解一元二次方程学习要求:利用直接开平方法和配方法解一元二次方程. 根据平方根定义写出下列方程的根.()()()()2221252169334x x x ==+=观察下列式子，你能发现其中的规律吗？（1）()22112+=++x x x （2）()22244+=++x x x（3）()22396-=+-x x x （4）()2252510+=++x x x（5）()22____6+=++x x x （6）()22____10-=+-x x x（7）()22____8+=++x x x （8）()22____14-=+-x x x（9）()22____12-=+-x x x （10）()22____+=++x x x（11）()22____+=++x ax x （12）()22____34+=++x x x 规律：解方程：（1）522=+x x （2） x x 7322=+该怎么办？你能想出办法吗？【例1】用直接开方法解下列关于x 的一元二次方程（1）22120x -= （2）()()32328x x +-=（3） ()()225293x x -=+【例2】利用配方法解下列关于x 的方程（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0【思考】求证：二次三项式2243x x -+的值永远大于0，当x 取何值时二次三项式2243x x -+的值最小，是多少？。
第二十二章 一元二次方程全章讲学稿
22.1一元二次方程一、学习目标:1．进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2．正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
理解方程的解的概念，二、学习重难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式。
难点：建立一元二次方程的数学模型。
三、学习过程：（一）课前预习根据题意列方程：（1）某公园要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，求雕像下部的高度.（2）有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（二）探究新知1：（１）问题：上述3个方程是不是一元一次方程？有何共同点？①；②；③。
（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____ ，只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___ 的方程叫做一元二次方程。
（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为(a,b,c为常数，）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。
a为，b为，c为。
注意：⑴一元二次方程必须满足三个条件：①；②；③。
⑵任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：. 二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
⑶二次项系数0a≠是一个重要条件，不能漏掉，为什么？（三）学以致用例1：下列列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？（1）250x-=；（22x-=；（3）21230x x+-=；（4）330x x-=；（5）230x xy+-=例2．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．例3．已知关于x的方程27(3)410mm x x m-+-++=是一元二次方程，则m的值为（）A．任何实数 B．3m=± C．3m= D．3m=-练一练：1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）3= B.2221x x x+=- C.20ax bx c++= D.23(1)2(1)x x+=+2.方程2(1)4(1)x x x-=-的一次项是（）A. 2xB. 4xC. 6-D. 6x-3.当a_______时，关于x的方程（a-1）x2+3x-5=0是一元二次方程4.已知方程22(1)30kk x kx k+++=是关于x的一元二次方程，那么k的值是（）A．±1 B．1 C．—1 D．任何实数5. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数一次项系数和常数项。
九年级数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版知识精讲
初三数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：用因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会解决问题方法的多样性．二. 知识要点： 1. 因式分解法解方程x 2－x ＝0．方程左边x 2－x 可以分解因式：x 2－x ＝x （x －1），于是： x ＝0或x －1＝0．所以x 1＝0，x 2＝1． 上述解法过程中，不是不用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法． 2. 因式分解法解一元二次方程的主要步骤： （1）将方程化成右边等于0的形式；（2）将方程左边分解因式（两个一次因式的积），方程化成（ax ＋m ）（bx ＋n ）＝0的形式；（3）由ax ＋m ＝0或bx ＋n ＝0得出方程的根．3. 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比形如x 2＝a （a ≥0）或（ax ＋b ）2＝c （c ≥0）的用直接开方法解．因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的，对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根，可考虑因式分解法或公式法．三. 重点难点：因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想，这种思想不但是本节的重点，而且在以后处理其他方程时也是非常重要的．【典型例题】例1. 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2＋3x ＝0；（2）7x （3－x ）＝4（x －3）；（3）9（x －2）2＝4（x ＋1）2． 分析：（1）左边＝x （5x ＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x （3－x ）－4（x －3）＝0，找出（3－x ）与（x －3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x （5x ＋3）＝0， 于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35；（2）原方程化为7x （3－x ）－4（x －3）＝0， 因式分解，得（x －3）（－7x －4）＝0， 于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47；（3）原方程化为9（x －2）2－4（x ＋1）2＝0， 因式分解，得[3（x －2）＋2（x ＋1）][3（x －2）－2（x ＋1）]＝0， 即（5x －4）（x －8）＝0， 于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8．评析：（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．例2. 选择合适的方法解下列方程．（1）2x 2－5x ＋2＝0； （2）（1－x ）（x ＋4）＝（x －1）（1－2x ）；（3）3（x －2）2＝x 2－2x ． 分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x ）与（x －1）的关系用因式分解法；（3）题中x 2－2x ＝x ·（x －2）用因式分解法．解：（1）a ＝2，b ＝－5，c ＝2， b 2－4ac ＝（－5）2－4×2×2＝9＞0， x ＝－（－5）±92×2＝5±34，x 1＝2，x 2＝12；（2）原方程化为（1－x ）（x ＋4）＋（1－x ）（1－2x ）＝0， 因式分解，得（1－x ）（5－x ）＝0， 即（x －1）（x －5）＝0， x －1＝0或x －5＝0， x 1＝1，x 2＝5；（3）原方程变形为3（x －2）2－x （x －2）＝0， 因式分解，得（x －2）（2x －6）＝0， x －2＝0或2x －6＝0， x 1＝2，x 2＝3． 评析：（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．例3. 已知（a 2＋b 2）2－（a 2＋b 2）－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把（a 2＋b 2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a 2＋b 2）为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0．a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×（－6）×1＝25＞0， x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2．即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2， ∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3．评析：（1）本题求的是a 2＋b 2，而题中条件是关于a 2＋b 2的，把a 2＋b 2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．（2）根据非负数的性质有a 2＋b 2≥0，在做题时要注意隐含条件．例4. （1）当代数式x 2＋7x ＋6的值与x ＋1的值相同时，x 的值为多少？（2）方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为几？分析：（1）两个代数式值相等，即x 2＋7x ＋6＝x ＋1，解这个方程可得x 的值；（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．解：（1）x 2＋7x ＋6＝x ＋1， x 2＋6x ＋5＝0，a ＝1，b ＝6，c ＝5，b 2－4ac ＝16＞0．所以x ＝－6±162，x 1＝－1，x 2＝－5，所以x 的值为－1或－5．（2）解方程x 2＋2x －8＝0， a ＝1，b ＝2，c ＝－8，b 2－4ac ＝22－4×1×（－8）＝36＞0， x ＝－2±362＝－1±3， x 1＝2，x 2＝－4．所以方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为2．评析：（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．例5. 用一根长40cm 的铁丝围成一个面积为91cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？分析：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由相等关系长×宽＝面积列出方程．解：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由矩形面积等于91cm 2，得x ·（402－x ）＝91，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13．当x ＝7cm 时，402－x ＝20－7＝13（cm ）（舍去）；当x ＝13cm 时，402－x ＝20－13＝7（cm ）．当围成正方形时，它的边长为404＝10（cm ），面积为102＝100（cm 2）．答：矩形的长为13cm ，若围成正方形，则这个正方形的面积为100cm 2．评析：有一些几何面积问题用到一元二次方程，解这类题时要注意一些条件，如习惯上矩形中较长的边称为长，而较短的边称为宽，故本题中取长为13cm ，宽为7cm 较合适．例6. 解方程2（12－x ）2－（x －12）－1＝0．分析：因为（12－x ）2＝（x －12）2，如果把（x －12）看成一个整体，并设x －12＝y ，则原方程化为2y 2－y －1＝0，先求出y 的值，再反过来求x 的值． 解：设x －12＝y ，原方程化为2y 2－y －1＝0，a ＝2，b ＝－1，c ＝－1，b 2－4ac ＝9＞0，y ＝－（－1）±92×2＝1±34．y 1＝1，y 2＝－12．当y ＝1时，x －12＝1，x ＝32；当y ＝－12时，x －12＝－12，x ＝0．所以原方程的解是x 1＝32，x 2＝0．评析：本题如果化成一般形式再求解可能要麻烦些，这里使用了把x －12设为y 的做法，回避了很多计算，这种方法叫做换元法．【方法总结】1. 对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．2. 注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．【预习导学案】（实际问题与一元二次方程） 一. 预习前知1. 两个数的差等于3，积等于18，则这两个数是__________．2. 三个连奇数的平方和等于155，则这三个数是__________．3. 矩形的长比宽大4厘米，面积等于60厘米2，则它的周长为__________．4. 经实验，某物体运动规律满足等式s ＝40t －5t 2，问t ＝__________时，s ＝60． 二. 预习导学1. 两个数的和为2，且积为－15，那么求其中一个数x ，列方程为（ ）A ．x 2－2x －15＝0B ．x 2＋2x ＋15＝0C ．x 2－2x ＋15＝0D ．x 2＋2x －15＝02. 某厂2008年总产值达1493万元，比2007年增长11.8%，下列说法： ①2007年总产值为1493（1－11.8%）万元； ②2007年总产值为1493÷（1－11.8%）万元； ③2007年总产值为1493÷（1＋11.8%）万元；④若按11.8%的年增长率计算，2010年总产值预计为1493（1＋11.8%）万元．其中正确的是（ ） A ．③④ B ．②④ C ．①④ D ．①②③3. 在一块长12m ，宽10m 的长方形平地中央划出一块地，砌成面积为48m 2的长方形花台，使花台四周的空地的宽度一样，①则花台面积占长方形平地面积的__________；②空地面积与花台面积的比是__________；③如果求花台四周空地的宽度x ，则所列方程为__________． 反思：（1）列一元二次方程解实际问题的一般步骤是怎样的？（2）用一元二次方程解实际问题应该注意什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x （x －1）＝0的根是（ ） A. 0 B. 1 C. 0，－1 D. 0，12. 方程9（x ＋1）2－4（x －1）2＝0的正确解法是（ ） A. 直接开方得3（x ＋1）＝2（x －1）B. 化为一般形式13x 2＋5＝0C. 分解因式得[3（x ＋1）＋2（x －1）][3（x ＋1）－2（x －1）]＝0D. 直接得x ＋1＝0或x －1＝03. 解方程（5x －1）2＝3（5x －1）的适当方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 4. 若实数x 、y 满足（x ＋y ＋2）（x ＋y －1）＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 1 B. －2 C. 2或－1 D. －2或1 5. 方程3x （x －2）＝0的解是（ ）A. x 1＝3，x 2＝2B. x 1＝0，x 2＝2C. x 1＝13，x 2＝2 D. x 1＝0，x 2＝－2*6. 若a 使得x 2＋4x ＋a ＝（x ＋2）2－1成立，则a 的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2*7. 如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值是（ ） A. 6 B. 8 C. －6 D. －8 **8. 已知（x ＋y ）（1－x －y ）＋6＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 2 B. －3 C. －2或3 D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是__________． 2. 方程（x －1）（x ＋2）＝2（x ＋2）的根是__________． *3. 方程 （x －1）（x ＋2）（x －3）＝0的根是__________． 4. 方程x （2x －1）＝3（2x －1）的根是__________．*5. 使代数式x 2＋x －2的值为0的x 的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若b ＝a ＋c ，则这个方程必有一根为__________．三. 解答题1. 用因式分解法解下列方程：（1）（x －2）2－9＝0；（2）3y 2＋y ＝0；（3）2x （3x ＋2）＝9x ＋6；（4）（3x －1）2＝4（x ＋2）2．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x ）2＝2；（2）x 2＋8x ＝20；（3）3x 2＋2x －3＝0；（4）（x －1）（x ＋2）＝70．3. 试求使代数式（x －7）（x ＋3）的值比（x ＋5）大10的x 的值．4. 审查下面解方程（x －1）2＝2（x －1）的过程回答问题． 方程两边都除以（x －1）得x －1＝2， ∴x ＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．试题答案一. 选择题1. D2. C3. D4. D5. B6. C7. C8. C二. 填空题1. x 1＝0，x 2＝22. x 1＝－2，x 2＝33. x 1＝1，x 2＝－2，x 3＝34. x 1＝12，x 2＝3 5. x 1＝－2，x 2＝1 6. 0或72 7. 24 提示：方程的解为2或10，当x ＝2时，与另两边8和6不能组成三角形应舍去．所以x ＝10，三角形周长为24． 8. x ＝－1三. 解答题1. （1）x 1＝－1，x 2＝5；（2）y 1＝0，y 2＝－33；（3）x 1＝32，x 2＝－23；（4）x 1＝5，x 2＝－35． 2. （1）x 1＝5－28，x 2＝5＋28；（2）x 1＝2，x 2＝－10；（3）x 1＝－1＋103，x 2＝；（4）x 1＝8，x 2＝－9．3. 根据题意（x －7）（x ＋3）－（x ＋5）＝10，解得x 1＝9，x 2＝－4．4. 不对．当x －1＝0时，原方程成立，此时x ＝1；当x －1≠0时，两边同除以x －1得x －1＝2．即x ＝3．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝3．5. 设斜边长为x ，则两直角边分别为x －2，x －1．根据题意可得（x －2）2＋（x －1）2＝x 2，解得x 1＝1，x 2＝5．当x ＝1时x －2＝－1，x －1＝0，不符合题意舍去；当x ＝5时x －2＝3，x －1＝4，所以三角形的斜边长为5．。
第二十二章一元二次方程精品教案-3.doc
人教版九年级上册第22章一元二次方程第3节实际问题与一元二次方程（第1课时）精品教案教学目标知识技能:能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.数学思考:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述.解决问题:通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性发展实践应用意识.情感态度:通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点:列一元二次方程解应用题.教学难点:发现问题中的等量关系.教学内容:课本第45至46页.教学过程设计活动一.复习回顾,引入新课.1.解一元二次方程都是有哪些方法？2.列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答（学生口答，教师点评）复习解一元二次方程的基本方法活动二.阅读思考,自主学习.1.探究1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？2. 学生自学课本探究1思考下列问题：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感.（2）在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.（3）根据等量关系列方程并求解.为什么要舍去一解？（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？（5）完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？3.学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；思考题可让学生试试独立完成.要教给学生如何审题，分析题.(设每轮传染中平均一个人传染了x个人.则第一轮的传染源就是这一个人,经过第一轮的传染后共有(x+1)人,经过第二轮的传染后共有(1+x+x(1+x))人.)根据情况教师可作重点点拨,再让学生独立完成，来检查对此探究的掌握程度.4.探究2.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？5.自学课本探究2思考下列问题： （1）正确理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x ，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元.（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大.（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解列一元二次方程解应用题的基本思路.此探究是平均增长率（下降率）问题，是中考考点，要引起同学们注意.活动三.知识巩固,课堂练习1.课本第48页第4题2.引导学生归纳列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路.活动四.知识梳理,课堂小结.1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.探究2是平均增长率或降低率问题.若平均增长（降低）率为x ，增长（或降低）前的基数是a ，增长（或降低）n 次后的量是b,则有：b x a n =±)1(（常见n=2）.活动五.知识反馈,作业布置.课本第48页第6,7题和课本第53页第9题.。
第二十二章《一元二次方程》
第二十二章：一元二次方程一、一元二次方程的有关概念 1、一元二次方程的三个特点： ①只含有一个未知数 ②未知数的最高次数是2 ③必须是整式方程2、一般形式：02=++c bx ax （0≠a ）其中2ax 为 ； bx 为 ； c 为 a 是 ； b 是 ；3、条件：02=++c bx ax （1）⇔≠0a 一元二次方程（2）⎩⎨⎧≠=00b a ⇔一元一次方程4、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根常用思路： 若a x =为某方程的根，一般我们把a x =代入该方程中，然后寻找等量关系 例如：1)已知m ，n 是一元二次方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，求a 的值2)若关于x 的一元二次方程()0112=-++-m x x m 有一个根为0，求m 的值二、一元二次方程的解法：直接开平方法；配方法；公式法，因式分解法 1、直接开平方法：2≥0） 练习：025)1(32=-+x 81692=++x x2、配方法：02=++c bx ax （0≠a ） 的步骤 ①化a 为1： ②移项：③配方： ④用直接开平方法求解 练习：0352=++x x )14(392+=x x 证明：代数式11652+-x x 的值恒大于03、公式法：①将原方程整理成一般形式： ②准确确定a 、b 、c③计算∆=ac b 42-，并判断根的情况 ④求根公式： 练习：5672=-x x x x x 85)42(-=- x x 11)2(32=+4、因式分解法：①将原方程整理成一般形式：②将左边分解因式：（提公因式、公式法、十字相乘法） ③化：将原方程转化为两个一元一次方程 练习：)3(2)3(7-=-x x x 432412522+-=--x x x x5、解一元二次方程解法选择的一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→求根公式法。
九年级数学上册第22章一元二次方程：一元二次方程上课pptx课件新版华东师大版
问题1
推进新课
绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之 间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析 我们已经知道可以运用方程解决实际 问题．
设长方形绿地的宽为 x 米，不难列出方程： x ( x + 10 ) = 900，
整理得 x2 + 10x – 900 = 0 . （1）
解 把 x = 0 代入原方程得m2 – 4 = 0，即 m = ± 2. 又 m – 2 ≠ 0，∴ m = – 2.
随堂演练
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，
并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）5x2 – 1 = 4x
（2）4x2 = 81
（3）4x(x+2)= 25
（4）(3x – 2)(x+1)= 8x – 3
2.根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将 其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形的边长 x ；
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100， 求长方形的长 x ；
解：（1）4x2 = 25；一般形式:4x2 – 25 = 0； （2）x（x – 2）= 100；
• 学习重点：
判定一个数是否是方程的根.
• 学习难点：
由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还 要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
复习导入
什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做
方程的解. 什么叫做一元一次方程？
只含有一个未知数，并且未知数的次数为 “1”的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般 形式是：ax﹢b﹦0(a，b为常数，a ≠ 0).
人教版九年级上册第二十二章课件(共19张PPT) 二次函数与一元二次方程说课
?
讨论展示：
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能， 需要多少飞行时间？
你能结合图形指出：
20.5 h
为什么球不能达到20.5m的
高度?
O
t
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
你能结合图形指出： 为什么在两个时间球的高 度为0m吗?
?
归纳小结：
从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
2.已知：函数y＝ax²+(3a-1)x＋2a＋1 (a为常数)．
若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A(x1，0)， B(x2，0)两点，
AB＝2．求抛物线的解析式
设计意：
让学生既能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣， 并与中考题型接轨。
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
讨论展示
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，
需要多少飞行时间？
h
15
你能结合图形指出：
为什么在两个时间
O1
3t
球的高度为15m？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要 多少飞行时间？
你能结合图形指出：
为什么只在一个时间球的高 度为20m？
自学学习1：
自学课本P43页-44页思考以上内容
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行 h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
初中三年级数学上册第22章一元二次方程第一课时精品PPT课件
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
1）
2）（x-2）(x+3)=8 (3)2x(x-1)=3(x-5)-4
(4)
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
练习．方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？ 在什么条件下此方程为一元一次方程？
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
3.
4.
5 . 2x2=5y
6. -x2=0
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过
分析: 设有x人参加,每个人要与其他 (x-1) 个人各握手1
所以次全部次由数于共甲1与x(乙x 队 1握) 手 2和8乙与次甲握手是同一次, 2
即
x2 x 56
?
某青年创业，第一年收入5万元，第二年的收入 是第一年的x倍，第三年的收入是第二年的x倍， 第分三析年：收入为7.2万元，求X.
第一年收入是5万元，则第二年的收入是
解：a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 当 2a－4≠０，即a ≠2 时是一元二次方程；
将下列方程化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它 们的系数：a;b;c
第二十二章一元二次方程
一、知识性专题 专题1一元二次方程的定义【专题解读】 涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为 题目中的隐含条件. 例1已知（m — 1） x|m|+1+3x — 2= 0是关于X 的一元二次方程，求 m 的值.专题2 一元二次方程的解法【专题解读】 解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配 方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法 例2用配方法解一元二次方程 2X 2+I = 3 X.【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.例3 一元二次方程3X 2— x = 0的解是（）11C. X 1 = 0, X 2 = —D. x= —33【解题策略】 方程易转化为两个一次式乘积为 0的形式，可采用因式分解法来解方程 2 例4解方程X 2— 2x — 2= 0.分析结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解 .【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法 .专题3与方程的根有关的问题【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式 相联系的问题. 例5关于X 的一元二次方程（k — 2）X 2 + X + k 2— 4= 0的一个根是0,贝U k 的值为例6如果关于X 的一兀二次方程X + px + q = 0的两根分别为X i = 2, X 2= 1,那么P , q 的值分别是 ________ •例7若a 是关于X 的方程x 2+bx+a = 0的根，且a 工0,则由此可得求得下列代数式的值恒为 常数的是（）例9已知关于X 的一元二次方程X 2+ （2nr — l ）x + m = 0有两个实数根X I 和X 2.（ 1） 求实数m 的取值范围；（2）当^1^2= 0时，求m 的值.0，不要忽略某些 B.X 1 = 0, X 2= 3 A.x = 0A. ab.例8若一元二次方程 bB.-ax 2—(a + 2) x + 2a = 0的两个实数根分别是3, b ,则a + b C.a+b D. a 一 b.专题6 一元二次方程根的判别式 例10关于x 的一元二次方程一X 2+ (2m ^ 1) x + 1 — m = 0无实数根，则m 的取值范围是 _________ .二、规律方法专题专题7 一元二次方程的解法技巧【专题解读】 除了常见的几种一元二次方程的解法外， 对于特殊类型的方程， 可采用特殊的 方法.1.换元法例 11 如果(2m+2n+1) (2m+2n — 1 )= 63,那么 m+n 的值是 ______________ . 例 12 解方程(X+2) (X+3) (X — 4) (X — 5)= 44.分析 解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程 本题是一个一元四次方程， 我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解(方程的右边为0).先用配方法说明：无论 X 取何值，代数式 X 2— 6X+10的值部大于0;再求出当X 取何 代数式X 2— 6X+10的值最小，最小值是多少.例14 A. — 1 中考真题精选 一、 选择题1. 关于X 的一元二次方程 A 、一 1 若实数 m , n , p 满足 m — n = 8, mn+p 2+16= 0，则 m+ n+p 的值为( )B. 0C.1D.2B、 2. 若一元二次方程式 + 4b|之值为何( A . 2 B . ax ) 5 2 (a — 1) X +x + |a|— 1= 0的一个根是0，则实数a 的值为()C 、1D 、— 1 或 1 (x + 1 ) + (x + 1) (x +2)+ bx (x + 2)= 2 的两根为 0. 2，则 |3aC . 7D . 8 X 2 + 5x=0的较大根，b 是X 2-3X + 2=0较小根，那么a + b ( )3. 设a 是一元二次方程 的值是 (A ) -4 ( B ) -3 (C ) 14. 关于X 的方程a(x+ m)2+b=0的解是X 1= — 2, 程 a(x+m+2)2 +b=0 的解是 ___________________ . 25. 已知1是关于X 的一元二次方程(m - 1) X +x+1=0的一个根，则 m 的值是( A 、1B 、- 1C 、0D 、无法确定 6.下列方程中是关于 X 的一元二次方程的是()21 A . X +右=0 B .X二、 填空题1.已知关于X 的方程(D )2 X 2=1 (a , m , b 均为常数，aM 0),则方 2 2 2ax +bx + c = 0C . (xT)(x +2)=1 D . 3x -2xy-5y =02X +mx - 6=0的一个根为 2，则m= ______ ，另一个根是2.配方法 例13 值时，2 22.方程x -3x-6=0与方程x -6x + 3 = 0的所有根的乘积是 23. 一元二次方程 X +5x+6=0的根是 综合验收评估测试一、选择题 1. 将方程3x （ x+2） — 4x+6=6x 2+4化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数和一次系数 分别为（ ） A. 一 3, 一 6 2. 方程 2x （x — 3）=5 5 A. X =— 2 B.3 ，6 （X — 3）的根是（ C.3 D.3 5 C. X"! =3,卷=— 12 3. 若关于x 的一元二次方程kx 2— 2x — 1=0有两个不相等的实数根， A.kv — 1 B.k>— 1,且 kM0 C. k< 1 D. 4. 右 B x=3 5 D.为=——,X 2 = —3 2 2k 的取值范围是（）k < 1,且 kM 02元二次方程 ax +bx+c=0（a 丰0）中的a+b+c=0，则该方程必有一根为（ ） C. — 1 D. ± 1 A.0 B.1 5. 下列方程没有实数根的是（ ） 2 2 2 A.4 （x +2） =3x B.5（x — 1） — x=0 C.x — x=100 6. 若代数式x 2+8x+m 是一个完全平方式，则 m 的值为（ A.4 B. — 4 C.16 7. 三角形两边的长分别是 8和6,第三边的长是一元二次方程 则该三角形的面积是（ ） A.24 B.24 或 8^5C.482D.9x 2— 24x+16=0 D. —16 x 2— 16x+60=0的一个实数根, D. 8/58.实数b ±J b2-4ac 是方程2a 的根（A ） ax 2 +bx +c = 0 （B ） ax 2 -bx+c = 0 （C ） ax 29..已知acv 0，则方程ax 2— bx+c=0的根的情况是（ A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 10.若x 2+ 6x + m 是一个完全平方式，则 m 的值是（ 2 -bx-c = 0 (D ) ax +bx-c = 0 ) C.没有实数根D.只有一个实数根A . 3B . — 3C . ± 3 二、填空题 11. ____________________________ 方程x 2—2x — 3=0的根是 _____________________ 2 212. __________ x +6x+ =（x+3）. 13. 已知方程mx 2— mx+2=0有两个相等的实数根，则 以上都不对 m 的值为 14.当 x= ___ 时，分式2 X +2x-3砧/古斗C---------- 的值为0.X-1cm 的直角三角形，则两直角边长分别15. 要用一条长 30 cm 的铁丝围成一个斜边长为 13为 __________ . 216. 若关于x 的一元二次方程 x+（k+3）x+k=0的一个根是—2,则另一个根是 2 2 17.两个不相等的实数 m,n 满足m -6m=4 ,n -6n=4，则mn 的值为三、解答题18.请用两种不同的方法解方程(X+3)( X+1) =2x+6.19.已知关于X 的一元二次方程ax 2+bx+ 1=0(aH0)有两个相等的实数根，求2X+(m — 2)x — m — 1=0 ,试说明无论 m 取何值，这个方程总有J a 2 -6a +9 +b +4 +(c-1)2 =0，求方程 ax 2+bx+c=0 的22.设Xi,X 2是关于X 的一元二次方程 x 2+px + q =0的两个根，为+1, x 2 +1是关于X 的一元二次方程X 2+qx + P =0的两个根，则p,q 的值分别等于多少?ab 2(a -2)2 +b 2 -4 的值。
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初三数学第23章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例12的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4B ．0或2C ．1D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 2用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用 步骤:①审 ②设 ③列 ④解 ⑤答 应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
1、某工厂今年利润为a 万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。
2、某商品连续两次降价10%后的价格为a 元，该商品的原价应为 3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?2.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析] 例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm 3，求长方形铁皮的长与宽 。
1、要给一幅长30cm ，宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm ，•则依据题意列出的方程是_________．2、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m ），并在与墙平行的一边开一个宽1m 的门，现有能围成32m 的木板。
求仓库的长与宽各是多少？3.定价问题［提示：单位利润³销量＝总利润］例1：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。
为了扩大销售,增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。
经调查发现，如果每台电视机每降价 10元，平均每天可多售出5台。
专卖店降价第一天，获利30000元。
问：每台电视机降价多少元?1、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十²一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价？4.球赛问题（注：单循环必须除2）例：某校初二年级组织象棋比赛，每两个参赛选手之间都必须赛一场，全年级共进行了28场比赛，问这次参赛的选手有几位？1、新年到了，初三(2)班同学每人都互发贺卡祝福对方，共发了132张贺卡，问全班多少人？2、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？5.倍增问题例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几人？例2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分干总数是91，每个支干长出多少小分支？6.数位问题 [123=1³100+2³10+3³1;十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：10a+b]例：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
1、一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a，那么这个两位数可表示为，若这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，这个新数可表示为。
2、一个两位数，十位数字比个位数字小2，如果把这个数的十位数字和个位数字对调，那么得到的新两位数与原来两位数的积为1855，若设十位为数字为X，则可列方程为：3、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位是。
7. 中考题选讲1、如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。
问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？QC2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？3、云南省2006年至2007年茶叶种植面积．．．．．．与产茶面积．．．．情况如表所示，表格中的x、y 分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积：（1）请求出表格中x、y的值；（2）在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．（说明：茶叶种植面积=产茶面积+未产茶面积）4、2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？第22章一元二次方程复习题一、选择题1．下面关于x的方程中①a x2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=1x；④（a2+a+1）x2-a=0．一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠03．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（）A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-34．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（）A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤05．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为06．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x= a ；（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．•其中答案完全正确的题目个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，•而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（）A．500元 B．400元 C．300元 D．200元8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，•则第二季度共生产零件（）A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个二、填空题9．若a x2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．10．已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_______．11．若x2-4x+8=________．12．若（m+1）(2)1m mx+-+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．13．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______．14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．三、计算题（每题9分，共18分）16．按要求解方程：（1）4x2-3x-1=0（用配方法）；（2）5x2（精确到0．1）17．用适当的方法解方程：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）；（2）（2x+1）（x-4）=5；（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0．18．若方程x2=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．19．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，•其中a，b，c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC 的形状．20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11•公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N （N<12【中考真题】22.（2008广州）方程(2)0x x +=的根是（ ）A 2x =B 0x =C 120,2x x ==-D 120,2x x ==23.（2008襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81％，则平均每次降价（ ） A ．10％B ．19％C ．9.5％D ．20％24.（2008威海）关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定25．（2008四川省资阳）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2 + 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根26．（200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于x 的一元二次方程022=+-mmx x 的一个根为1，则方程的另一根为 .27.（2008江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x 2-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．28．(2008东莞市)在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。