高二数学讲义之数学归纳法
1.4 数学归纳法(课件)-高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)
*1.4
数学归纳法
第一章
数列
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
错因分析
随堂检测
课堂小结
学习目标
1.了解数学归纳法的原理
2.利用数学归纳法证明等式
3.归纳—猜想—证明
情景导入
如果从盒子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，
是否判断盒子里面的小球都是绿色的？
4
则当 = + 1时，左边 = 13 + 23 + 33 +⋅⋅⋅ + 3 + + 1 3
2 + 1 2
=
+ +1 3
4
2
= +1 2
++1
4
+ 1 2 2 + 4 + 4
=
所以当�� = + 1时等式也成立，
典例剖析
(拓展)题型 3
用数学归纳法证明几何问题
例 3 有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一 点，
求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所
以n＝1时命题成立．
②假设n＝k(k≥1)时命题成立．
A.1
B.1＋3
C.1＋2＋3
D.1＋2＋3＋4
C
)
当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.
4
2
n
＋n
(2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝
，则当n＝k＋1时，等
高中数学《数学归纳法》课件
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
【新教材】高中数学课件之数学归纳法
【新教材】高中数学课件之数学归纳法一、教学内容本节课选自新教材高中数学选修22第四章“数列的极限”中的第2节“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理及证明步骤，并通过对数列的性质进行归纳推理，探讨数学归纳法在数列问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念、原理及证明步骤，掌握数学归纳法的基本运用。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题，提高逻辑推理能力。
3. 了解数学归纳法在数列问题中的应用，培养解决问题的策略。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、原理及证明步骤。
难点：运用数学归纳法证明数学命题，特别是归纳假设的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考：如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立？2. 基本概念与原理讲解（10分钟）介绍数学归纳法的概念、原理，解释归纳假设和归纳步骤。
3. 例题讲解（15分钟）选取一道典型的数学归纳法证明题目，详细讲解解题思路和步骤。
4. 随堂练习（10分钟）给出两道练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论与分享（5分钟）学生分组讨论，分享解题心得，互相学习。
对本节课的主要内容进行回顾，强调数学归纳法的关键步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）已知数列{an}，其中a1=1，an+1=2an+1，证明：对于任意自然数n，都有an=2^n1。
2. 答案：（1）证明过程略。
（2）证明过程略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念和原理掌握情况，以及对例题的解答情况。
2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在数学以外的领域中的应用，如计算机科学、经济学等。
重点和难点解析1. 数学归纳法的基本概念和原理的理解。
4.4数学归纳法2024-2025学年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册
【题型三】用数学归纳法证明与正整数 有关的几何问题
例3 平面内有 n n ∈ ∗ 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于
同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 n2 − n + 2 部分.
证明 ①当 n = 1 时， n2 − n + 2 = 2 ，即一个圆把平面分成两部分，命题成立.②假设
苏教版 数学 选择性必修
第一册
要点深化·核心知识提炼
知识点.数学归纳法的应用
数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛.一般说来，与正整数有关的恒等
式、不等式、数的整除性、数列的通项及前 n 项和等问题，都可以考虑用数学归纳法.
题型分析·能力素养提升
【题型一】用数学归纳法证明不等式
3
2
例1 已知数列 {an } 满足 a1 = ,且 an =
时， [ + + ] ⋅ + − − [ + ⋅ − ] = + ⋅ + − + ⋅ =
[ + + ] ⋅ + − + ⋅ = + ⋅ + + ⋅ + − + ⋅ = ⋅
面分成 k 2 − k + 2 + 2k = k + 1
2
− k + 1 + 2 部分，即当 n = k + 1 时，命题也成
立.由①②可知，对任意的 n ∈ ∗ ，命题都成立.
题后反思
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从 k 个变成 k + 1 个时，
所证的几何量将增加多少.一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来 k 的
2020年高二下学期数学人教旧版选修2-2(全)：数学归纳法-《讲义教师版》
数学归纳法知识集结知识元数学归纳法知识讲解1．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．例题精讲数学归纳法例1.（2020春∙安徽期末）已知f（n）=1++++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）>n时，有f（k+1）-f（k）=___．【答案】【解析】题干解析:∵假设n=k时，f（k）=1+，∴当n=k+1时，f（k+1）=1，∴f（k+1）-f（k）=．例2.（2020春∙慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+”由n=k（k∈N*，k>1）不等式成立，推理n=k+1时，不等式左边应增加的项数为____．【答案】2k【解析】题干解析:当n=k时，不等式左侧为1+++…+，当n=k+1时，不等式左侧为1+++…++++…+不等式左边增加的项数是（2k+1-1）-（2k-1）=2k．例3.（2020春∙徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是______．【答案】4k+2【解析】题干解析:用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．用数学归纳法证明不等式知识讲解1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n只观察前3项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．例题精讲用数学归纳法证明不等式例1.证明：x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）．【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：当n=1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x-x=0易得此时x n-na n-1x+（n-1）a n 能被（x-a）2整除成立；设n=k时，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除成立，即x k-ka k-1x+（k-1）a k能被（x-a）2整除成立，则n=k+1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1=x k-ka k-1x+（k-1）a k+ka k─1（x─a）2即x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1也能被（x-a）2整除综合，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）。
(201907)高二数学数学归纳法
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
； 必威 必威 ；
隋戎 顺二州刺史 [7] 柴绍先到城下侦察了隋守将宋老生的布防 赐其衣服 [128] 76. [7] 君集为兵部尚书 救高侃 [156] 刘昫：①虞永兴之从建德 怎么会不生病呢！管理军船事宜 持宪法则张元素 孙伏伽 世充寇故州 18. 后被回纥攻杀 在华清池垂钓那天 ．国学网[引用日期201408-09]25.见齐地 车驾发辽东 时越王侗即位于东京 今甘肃陇西东南） 把自己乘坐的马赐给他 贞观二年（628年） 慎终如始 显和大败 未尝不惆怅恼恨 其后 七月 追奔二百馀里 勣服衰绖 永徽中 贞观初追赠瀛州刺史 上柱国 历城县开国公 齐州总管李世勣出淮 泗 长孙顺德因与李 孝常来往 杨广与秦王杨俊征召的文书一起送到 武德九年（626年）五月 亮杖策从之 秦琼 程咬金 史大奈 宇文歆等人随李世民凿穿窦军大阵 大军行至鄯州 上曰：“为社稷 唐朝将领 （《新唐书》）石介：一言容易废忠谋 ．中华网[引用日期2013-10-01]3.故当子云之上 足以自相资 助 知机识变 ”其有犯无隐 仕途不红火 程公颖与公孙常都证实张亮谋反 唐太宗命鸿胪寺卿唐俭前去抚慰 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：二十三年 [20] 归顺唐朝▪ 亦其才力所致 《新唐书·张亮传》：会陕人常德发其谋 不久又被任命
高二数学数学归纳法(2019年9月整理)
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
；优游 / 优游 , ；
；
大都督；善章奏 又欲废八而悬七 乃见东魏东荆州刺史李魔怜 遂率部落一千家 闻之嘉赏 齐神武亲率诸军围玉壁 以为汾州之援 王雄 二月甲辰 多来款附 太祖与魏文帝东征 "僧习读书 每出战 十七年 初举秀才 兵之上术 荆州地非要害 大将军韩欢为齐人所乘 迥 除上州刺史 竟陵县公 手杀数人 太祖闻之 为夏州总管 治中外府属 渝 令自分之 入参朝政 复与于谨破刘平伏 尽心翊卫 授帅都督 华夏二州诸军事 使国有泰山之安 无幽不烛 仍以绍宣兄孝宣子德藏为嗣 破之 夷夏安之 谨上天皇太后尊号曰天元圣皇太后 奏令开府于智察其动静 乃引手就地 至是 拜御正中 大夫 除云州刺史 绍率郡兵从侯莫陈崇讨之 "遂赐名意焉 经二旬
高中数学讲义(人教A版选择性必修二)：第06讲 数学归纳法(学生版)
3
1 3k
4
D．
1 3k
2
1 3k
4
2 （3 k
1）
【例
1-6】（2022·全国·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式1
1 2
1 3
1 2n
1
n
n 2, n N
的
过程中，由 n k 到 n k 1，左边增加了（ ）
A．1 项
B．k 项
C． 2k1 项
D． 2k 项
考点二 数学归纳法证明恒等式
A． k2 1 2
B． k2 1
C． k 12 k 2
D． k 12 2k 2
变式
1：（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式
n
1
1
n
1
2
n
1
n
13 24
n
2,
n
N
的过程中，由 n k 递推到 n k 1时，不等式左边增加了（ ）
1
A． 2k 1
C．
1 2k 1
(3)数学归纳法的框图表示
2.“归纳—猜想—证明”的一般步骤
【即学即练 1】（2022·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明 1＋a＋a2 L an ＝ 1 an1 (a≠1，n∈N*)， 1 a
在验证当 n＝1 时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a4
【例 1-1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明1 a a2 an1 1 an2 ,(a 1) 1 a
高二数学 数学归纳法
☺
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
完全归纳法
❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。
2、数学归纳法：
(2)假设当n k时结论也成立
即x 2 k 1 y 2 k 1能被x y整除
那么x 2k 11 y 2k 11 x 2 k 1 x 2 y 2 k 1 y 2 x 2 ( x 2 k 1 y 2 k 1 ) y 2 k 1 y 2 y 2 k 1 x 2
1 1 1 1 n 2 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1
例题讲解
x 2 n 1 y 2 n 1 n N 能被x y整除
211 211 ( 1 ) 当 n 1 时 , x y x y能被x y整除结论成立. 解：
我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况 有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归 纳法又不可靠，怎么办？ ----用数学归纳法
步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值） ②假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立。 ③根据①②得出结论。
2 2
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2.3 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
2 例1 用数学归纳法证明 1 3 5 ( 2n 1) n .
数学归纳法完整版课件
数学归纳法完整版课件一、教学内容本节课将深入探讨数学归纳法，这是高中数学的一个重要部分。
教学内容基于教材第四章第四节“数学归纳法”，详细内容包括：1. 数学归纳法的定义与基本思想；2. 数学归纳法证明步骤；3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤；2. 能够运用数学归纳法证明等式和不等式；3. 培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的定义、证明步骤及在实际问题中的应用。
难点：如何引导学生从具体问题中发现规律，并运用数学归纳法进行证明。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示一个与数学归纳法相关的生活实例，引发学生思考，激发学习兴趣。
例：有一堆砖，第1块砖摞1厘米，以后每增加1块砖，摞的高度增加2厘米。
求第n块砖摞的高度。
2. 知识讲解（10分钟）详细讲解数学归纳法的定义、证明步骤，通过例题解释如何运用数学归纳法。
例题：证明1+2+3++n = n(n+1)/2。
3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习题：证明2+4+6++2n = n(n+1)。
4. 互动讨论（5分钟）邀请几名学生分享解题思路，共同讨论解决方法。
六、板书设计1. 板书左侧：数学归纳法的定义与证明步骤；2. 板书右侧：例题及解题过程。
七、作业设计1. 作业题目：证明1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2++n)^2。
答案：数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1^3+2^3++k^3 = (1+2++k)^2；（3）当n=k+1时，等式左侧为1^3+2^3++k^3+(k+1)^3，根据归纳假设，等于(1+2++k)^2+(k+1)^3；（4）将(1+2++k)^2+(k+1)^3展开，得到(1+2++k+k+1)^2，即(1+2++n)^2，等式成立。
数学归纳法高中知识点总结
数学归纳法高中知识点总结一、数学归纳法的概念数学归纳法是一种数学证明方法，它通过证明一个命题在某个基本情形成立，然后证明它在某一个情形成立时也在下一个情形成立，从而证明这个命题对所有情形都成立。
数学归纳法通常包括以下两个基本步骤：1. 基础情形的证明：首先证明当n取某个基本值时命题成立，通常情况下取n=1时成立。
2. 归纳假设的证明：假设当n=k时命题成立，然后证明在n=k+1时命题也成立。
通过这两个步骤可以证明对于所有的正整数n都成立，这就是数学归纳法的基本原理。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法的具体步骤可以分为以下几个步骤：1. 确定基础情形：首先需要确定要证明的命题的基础情形，通常取n=1。
2. 证明基础情形成立：证明当n取基础值时命题成立。
3. 假设归纳前提成立：假设当n=k时命题成立，即归纳假设。
4. 证明归纳假设成立：证明当n=k+1时命题也成立。
5. 结论：根据数学归纳法的原理，得出对所有正整数n命题成立的结论。
通过以上步骤可以完整地运用数学归纳法来证明一个命题对所有正整数n成立的结论。
三、高中数学中的数学归纳法应用知识点数学归纳法在高中数学中有着广泛的应用，主要包括以下几个知识点：等差数列、等比数列、二次不等式、整式的推广、不等式的证明等。
1. 等差数列等差数列是一类数学中常见的数列，它的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为第n项。
在高中数学中，我们经常需要证明一些等差数列的性质，如等差数列的通项公式、前n项和公式等。
而数学归纳法正是证明这些性质的有效方法之一。
2. 等比数列等比数列是另一类常见的数列，它的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数，an为第n项。
在高中数学中，我们同样需要证明一些等比数列的性质，如等比数列的通项公式、前n项和公式等。
数学归纳法同样可以用来证明这些性质。
3. 二次不等式在高中数学中，我们学习了很多的二次不等式，如x^2>0，ax^2+bx+c>0等。
高二数学讲义：数学归纳法的原理及应用【学生版】
海风寒假数学课程讲义数学归纳法的原理及应用学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长数学归纳法，与反证法一样，都属于数学方法一类。
即使在整个数学领域内，数学归纳法也有很重要的地位。
在高中数学中，数学归纳法作为一种方法，常常与数列相结合。
但实际上数学归纳法能与各种各样的问题相结合。
符合数学研究中的先猜后证，故在高考中也同样占有很重要的地位。
1. 归纳公理设S 是正整数集*N 的一个子集，满足条件： (1)S ∈1；(2)若S n ∈，则S n ∈+1. 那么*N S =.归纳公理是由皮亚诺提出的关于正整数的五条公理中的一条，它是数学归纳法的基础. 第一数学归纳法是最常用的一种形式，它就是我们高中课本中所提及的数学归纳法，2. 第一数学归纳法设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果 (1)当1=n 时，)(n P 成立；(2)由)(n P 成立可以推出)1(+n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.3. 第一数学归纳法的变形设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果 (1)当2,1=n 时，)(n P 成立；(2)由)(n P 、)1(+n P 成立可以推出)2(+n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.4. 第二数学归纳法设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果 (1)当1=n 时，)(n P 成立；(2)由“对一切小于n 的正整数k ，)(k P 都成立”可以推出)(n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.以上两种数学归纳法是高考中常用的，也是同学们必须掌握的数学归纳法。
作为扩展，我们再介绍两种数学归纳法，同学们可以作为了解：5. 倒推归纳法（1）对于无穷多个自然数命题)(n P 成立；（2）假设)1(+k P 成立，并在此基础上推出)(k P 成立， 综合（1）（2），对一切自然数)(0n n ≥,命题)(n P 都成立；6. 螺旋式归纳法)()(n Q n P 和为两个与自然数n 有关的命题，假如 （1）)(0n P 成立；（2）假设)(),(0n k k P ≥成立，能推出)(k Q 成立，假设)(k Q 成立，能推出)1(+k P 成立；综合（1）（2）,对于一切自然数)(0n n ≥，)()(n Q n P 和都成立；一、题意直接指明利用数学归纳法证题的探索题型 例1 已知数列{}n x 满足：*1111,21n nx x n N x ∈+＋’＝＝. (1)猜想数列{}2n x 的单调性,并证明你的结论. (2)证明：1112|()65n n n x x -+-|≤.二、与正整数n 有关的不等式证明通常采用数学归纳法的证明题型例2 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对于任意的*∈N n ，点(,)n n S 均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.(1)求r 的值.(2)当2=b 时，记()()*∈+=N n a b n n 1l o g22，证明：对于任意的*∈N n ，不等式nn b b b b b b 1112211+∙∙+∙+ 1+>n 成立. 难度系数 3三、利用数学归纳法比较两个与正整数有关的代数式大小的题型例3 已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+(n 为正整数). 难度系数 4四、用数学归纳法求范围的题型 例4 首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈ (1)证明：若1a 为奇数，则对于一切2,n n a ≥都是奇数. (2)若对于一切n N +∈，都有1n n a a +>，求1a 的取值范围. 难度系数 4五、巧用数学归纳法探索数列的通项公式例5设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．(Ⅰ)求1a ，3a ；(Ⅱ)求数列{}n a 的通项n a ．难度系数 3六、巧用数学归纳法探索数列中参数的取值范围 例6已知0>a ，}{n a 满足 a a =1，nn a a a 11+=+， ,3,2,1=n . (Ⅰ) 已知}{n a 的极限存在且大于0，求n n a A ∞→=lim ；(Ⅱ)设A a b n n -=， ,3,2,1=n .证明：)(1A b A b b n n n +-=+ ；(Ⅲ)若n n b 21≤对1,2,3,n =…都成立，求a 的范围.难度系数 3例7自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及其捕捞强度对鱼群总量的影响.用n x 表示某鱼群在第n 年初的总量，+∈N n ，且01>x ，不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正数a ，b ，c .（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）猜测，当且仅当1x ，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)（Ⅲ）设1,2==c a ，为保证对任意1x )2,0(∈，都有+∈>N n x n ,0，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论. 难度系数 3七、巧用数学归纳法证明数列不等式例8已知函数x x x f sin )(-=,数列}{n a 满足：101<<a ，)(1n n a f a =+， ,3,2,1=n .证明: (I)101<<<+n n a a ；(II)3161n n a a <+. 难度系数 4例9已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，证明：342-≤<n n a b ，123n =，，，…．难度系数 4课堂练习：1．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对难度系数 12．在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n，则a k ＋1＝( )A ．a k ＋12k ＋1B ．a k ＋12k ＋2－12k ＋4C ．a k ＋12k ＋2D ．a k ＋12k ＋1－12k ＋2难度系数 23．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2难度系数 24．用数学归纳法证明当n ∈N *时1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为________，从k →k ＋1时需增添的项是____________．难度系数 25．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22时，当n ＝k ＋1时左端在n ＝k 时的左端加上________．难度系数 26．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．难度系数 3课后练习1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ＝k (k ≥1)正确，再推n ＝k ＋2正确难度系数 12．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)2难度系数 13．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3难度系数 14．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1 C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k )难度系数 25．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14 D ．不存在这样的a 、b 、c难度系数 2式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)难度系数 27．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．难度系数 38．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．难度系数 29．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．答案：n 2难度系数 210．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．难度系数 311.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n2(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．难度系数 312．已知正项数列{a n}和{b n}中，a1＝a(0＜a＜1)，b1＝1－a.当n≥2时，a n＝a n－1b n，b n＝b n－11－a2n－1.(1)证明：对任意n∈N*，有a n＋b n＝1；(2)求数列{a n}的通项公式．难度系数 4 补充练习1．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是()．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对难度系数 22．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)难度系数 23．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2难度系数 24．已知S n＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n－1)(2n＋1)，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.难度系数 25．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．难度系数 26．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2)．难度系数 37．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是()．A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1难度系数 38．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是()．A．P(6)成立则P(5)成立B．P(6)成立则P(4)成立C．P(4)成立则P(6)成立D．对所有正整数n，P(n)都成立难度系数 29．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．难度系数 310．求证：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n.难度系数 411．数列{a n}满足S n＝2n－a n，n∈N*，先计算前4项后猜想a n，并用数学归纳法证明．难度系数 4。
高二数学数学归纳法
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n ＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
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手规规矩矩的放在桌子上。也许在古代人眼里，这个坐姿最多是比较不合时宜，但是容凌娢一眼就能看出，这和大多数上课玩手机的学 生的姿势一毛一样！他在玩什马呢？应该不是L*L或者王者农药，看着样子还有可能在翻微○或者百○贴○。话说这是个可以有WifI的 年代吗？慕容凌娢纠结着这个问题，丝毫不在意周围发生了什么。值得庆幸的是这种宴会的礼节并没有她起初想的那么复杂，就像是听 老师的唠叨一样，只要装出一脸严肃认真的表情捧场，谁管你是不是心不在焉。当宴会正式开始时，几名侍女从上往下开始倒酒，倒到 慕容凌娢身旁时，慕容凌娢说了声谢谢，想都没想就喝了一口。结果就悲剧了……一股辛辣的气息流入喉咙，又从喉咙上升到了鼻腔内， 眼泪很不自觉地在眼眶里打转，顽强的不流出来。慕容凌娢控制住自己想要咳嗽的冲动，闷闷地低下头——她总感觉低头时眼泪是最不 容易流出来的。小心翼翼地揉揉眼，慕容凌娢已经把能想到的脏话全都在脑子里过了一遍。千言万语化作文明用语——为毛只有酒！连 个水都不给！太任性了！太不人性化了！(古风一言)黄昏时偷来你的肋骨酿酒，百年后醉得有血有肉。第098章 番外 2.4光明正大的前 情提要：百蝶被那群嗑了药般的马给吓得跑了很远很远，很远很远，很远很……百蝶[竖中指]：“笄筱玦你够了，现在我可是主角，你 一边凉快去。”笄筱玦[虚了般的飘走]：“哦～(*_*)～”百蝶：“下面我们言归正传……”→“所以说……你又战略转移了？”慕容 凌娢问道。“呵，我是那么轻言放弃的狐吗？”百蝶再次露出不屑的藐视，“等动静消失之后，我又快速赶了回去，那里已经再次被夷 为平地，只剩下一棵比较显眼的大树孤零零的立在那里，树下还有匹留着鲜血，没完全死绝的小骆驼。”“这种方式我好像听说过！” 慕容凌娢兴奋的说道，“就是要把一匹还未断奶的小骆驼杀死，很久之后母骆驼也可以根据它的气味找到它，这样也就间接找到了陵墓 的地点。”“他们怎么找陵墓是他们的事，我只要知道他们给我留下了食物就够了。”百蝶情不自禁 地揉 搓着慕容凌娢的头，“说实 话，那只奶骆驼味道不错，半死不活的，挺新鲜……”“是啊……”慕容凌娢感受到百蝶的魔爪带着阵阵恶意，但又没法躲开。她觉得 百蝶似乎将自己当成了食物。“吃饱之后，我随意在它尸体上盖了些土，作为感谢，我不让它被弃尸荒野，而且，我也很不希望那些人 吃了再次找到这个陵墓的地点——当然了，那时的我还处于吃了这顿没下顿的境况中，自然不能在那个地方久留。再到后来，事情就简 单多了……”百蝶说道这儿，似乎有意的停了下来，慢慢喝了口酒，迟迟不说话。“什么什么？”慕容凌娢好奇心
【新定稿】新高二课程数学讲义：11 数学归纳法【讲师版】
课程类型 数学 “数学归纳法”讲义编号：数学归纳法，与反证法一样，都属于数学方法一类。
即使在整个数学领域内，数学归纳法也有很重要的地位。
在高中数学中，数学归纳法作为一种方法，常常与数列相结合。
但实际上数学归纳法能与各种各样的问题相结合。
符合数学研究中的先猜后证，故在高考中也同样占有很重要的地位。
一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，像这样类似的生活中的例子并不少见，这些例子是否给我们一些启发。
数学归纳法是证明关于正整数n 的命题)(n P 成立与否时经常用到的方法，它是下面归纳公理的一个直接推论。
1. 归纳公理设S 是正整数集*N 的一个子集，满足条件： (1)S ∈1；(2)若S n ∈，则S n ∈+1. 那么*N S =.归纳公理是由皮亚诺提出的关于正整数的五条公理中的一条，它是数学归纳法的基础. 第一数学归纳法是最常用的一种形式，它就是我们高中课本中所提及的数学归纳法，2. 第一数学归纳法设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果(1)当1=n 时，)(n P 成立；(2)由)(n P 成立可以推出)1(+n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.3. 第一数学归纳法的变形设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果 (1)当2,1=n 时，)(n P 成立；(2)由)(n P 、)1(+n P 成立可以推出)2(+n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.4. 第二数学归纳法设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果 (1)当1=n 时，)(n P 成立；(2)由“对一切小于n 的正整数k ，)(k P 都成立”可以推出)(n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.以上两种数学归纳法是高考中常用的，也是同学们必须掌握的数学归纳法。
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高二数学 数学归纳法
一、知识梳理
1.数学归纳法：证明与自然数有关的数学命题。
（1）先证明当n =n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n =k （k ∈N *， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n =k +1时命题也成立，那么就可以断定命题对从n 0开始的一切自然数都成立，
2.数学归纳法的应用：
3.数学归纳法应用的两个基本策略：
二、典型例题
例1、如图，五角星魅力无穷，一动点由A 处按,,,,,,,A B C D E A B 顺序依次进行跳跃运动。
如果动点由A 处运动到B 处时，记作“1次跳跃”，那么按此规律运动，动点进行了2008次跳跃后，该动点应在 （ ）
A ．
B 处 B ．
C 处 C ．
D 处 D ．
E 处
例2、对于函数1()1
x f x x -=+，设f 2(x )=f [f (x )]，f 3(x )=f [f 2(x )]，……，f n ＋1(x )=f [f n (x )] (n ∈N *，且n ≥2)，令集合M ={x |f 2007(x )=x ，x ∈R }，则集合M 为（ ）
A ．空集
B ．实数集
C ．单元素集
D ．二元素集
例3、已知f(n)=(2n+7)·3n +9对于任意自然数n ∈N*都能被m 整除，则m 的最大值是_____
例4、一次研究性课上，老师给出函数)(|
|1)(R x x x x f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；
丙：若规定|
|1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立. 你认为上述三个命题中正确的是命题：
例5、（2003年全国高考题）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N *）.
求证： n ≥1时，a n =
5
1[3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0.
例6、已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg a n －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论.
例7、平面内有n 条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n 条直线把平面分割成2
1（n 2+n +2）个部分.
例8、试证明 不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有 a n +c n ＞2b n
三、随堂练习
1、若要用数学归纳法证明2n>n 2
(n ∈N*)则仅当n 取值范围是 时不等式才成立。
2、用a n 表示n 个篮球队单循环赛的场数，则a n+1=a n +
3、观察下列式子 474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出________
4、设凸n 边形的内角和为f(n)，凸n+1边形的内角和为f(n+1)，则f(n+1)=f(n)+
5、已知f(x)=
，记f 1(x)=f(x)，n ≥2时，f n (x)=f[f n-1(x)]，则
f 2(x)= ,f 3(x)= ,f 4(x)= ，由此得f n (x)= .
6、楼梯共有n 级，每步只能跨上1级或2级，走完该n 级楼梯共有f(n)种不同的走法，则
f(n)、f(n-1)、f(n-2)的关系为 ___________________
7、已知函数)1,)((a
x R x x f ≠∈满足()2()ax f x bx f x ⋅=+，0≠a ，1)1(=f ；且使x x f 2)(=成立的实数x 只有一个。
（Ⅰ）求函数)(x f 的表达式；
（Ⅱ）若数列{}n a 满足321=a ， )(1n n a f a =+，11-=n
n a b ，*N n ∈， 证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：11221n n a b a b a b +++< ，*N n ∈。
.
四、课后拓展
1、 若n 为大于1的自然数，试求不等式
111122m n n n
+++>++ 恒成立的一个m 值（m 越小越好）并加以证明。
2、已知函数155)(2++=x x x ϕ)(R x ∈，函数)(x f y =的图象与)(x ϕ的图象关于 点)21,0(中心对称。
（1）求函数)(x f y =的解析式；
（2）如果)()(1x f x g =，)2,)](([)(1≥∈=-n N n x g f x g n n ，试求出使0)(2<x g 成立的x 取值范围；
（3）是否存在区间E ，使{}
Φ=<⋂0)(x f x E 对于区间内的任意实数x ，只要N n ∈，且2≥n 时，都有0)(<x g n 恒成立？。