高数4.2 换元积分法(2)
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高等数学(大农类)4.2换元法
例5. 求
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
机动
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
机动
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
机动
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
高等数学课件--D4_2换元积分法
1 dx dx ∴ 原式 = x a x a 2a
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
2013-8-9 同济高等数学课件
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( x 1) e x dx xe x dx e x dx
2013-8-9 同济高等数学课件
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例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
x
x
ln(1 e x ) ln[e x (e x 1)] 两法结果一样
2013-8-9 同济高等数学课件
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
解法2
e d(1 e ) dx x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2013-8-9 同济高等数学课件
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2. 求 提示:
法1 法2
法3
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
高等数学 第4章 第二节 换元积分法
2
2 lna
1
（2）凑线性式
调整系数时，只管a不管b. ∵d(b)=0
(ax b)5 dx 1 (ax b)5 d(ax b) 1 (ax b)6 C
a
6a
补充例题
s in(3 x
2)dx
1 3
sin(3
x
2)d
(3 x
2)
1 3
cos(3
x
2)
C
sec2 (2x
1)dx
1 2
3
3
( ) ( ) (3)
x2
2x 6x
6
13
dx
x2
1d 6x 13
x2
6x 13
ln
x2
6x 13
C
( ) ( ) (4)
x 3 dx 1 x2
x2 11d x2 1 1 x2
x2 1
x
1
2
1
d
x2
1
(5) cost t dt 2 cos td t 2sin t C
f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d (arcsin
x)
f
(arctan
x)
1
1 x2
dx
f
(arctan
x )d (arctan
x)
7
练习：
(1)
1
1
3
x
dx
1 3
1 d(1 3x) 1 2 1 3x C
1 3x
3
( ) (2) x 2 x 3 1dx 1 x 3 1d x 3 1 1 x 3 1 C
sin cos
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
2第二节换元积分法
2 sin 2
x 2
1 cos x
csc x cot x.
2 cos x sin x
sin x
2
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解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
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例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
1 2
1du u
1 ln u 2
C
1 2
ln(3
2x)
C.
一般地
f
(ax b)dx
例5 求
1 dx a 0.
a2 x2
解
1 dx 1
a2 x2
a
1 dx
1
x a
2
1
1
x a
2
d
x a
arcsin x C a
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例6 求 tan xdx.
解
tan xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d
cos
x
ln cos x C.
x4
高等数学 4-2换元积分法
说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分 说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
《高等数学》第四章 4.2 换元积分法
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P193-6
dx
例8 求 a2 x2
解
dx a2 x2
1 a2
dx
1
x
2
a
1 a
1
1 x
2
a
d x a
1 arctan x C.
a
a
所以
dx 1
x
a2
x2
arctan a
a
C.
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(1) m为奇数时
I tanm1 x secn1 xd secx f secxd secx.
(2) n为偶数时
I tanm x secn2 xd tan x f tan xd tan x.
(m为偶数且n为奇数时，可用分部积分法)
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P197-19
2a(m 1)
一般地，有
xn f axn1 b dx 1
f axn1 b d axn1 b .
a(n 1)
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例5 求 ln 2 x dx ln2 xd ln x x 令u ln x
原式 u2du 1 u3 C 1 ln3 x C.
1 2a
x
1
a
x
1
a
.
所以
x2
1 a2
dx
1 2a
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.2 换元积分法
如果由基本积分公式可以求得
න = +
那么
⋅ ])([ ′ ()＝[()] +
将上述过程联立起来，写成下面四个步骤:
න
⋅ ′
= )(])([
凑微分
令=
=
换元
න
= () +
回代
])([ ′ () = [ + ]ȁ=−1() = −1
这种方法称为第二类换元积分法.
+ .
忽略变量符号的不同,下列示意图反映了这两类换元法之间的关
系,从左到右就是第一类换元法,从右到左则是第二类换元法.
第
类
一
元
换
法
令=()
′
)( = )(])([ = )( ])([
（8） = (− ) = −
（9） 2 =
（10）
1
1+ 2
=
在熟练掌握了上述四个步骤以后，我们可以省略第二步“换元”,从而把
这四个步骤简化为两步:
න
∙ ′ = න
=
+
例3 求
( )3
.
解法一
( )3
) (= 3
令=ln
回代 1
1 4
3
=
= 4 + = 4 ( )4 +
解法二
( )3
) (= 3
1
= ( )4
分析
( 3 + 1) ≠ ( 3 + 1) + ,因为[( 3 + 1)]′ ≠ ( 3 + 1).
高数4.2(2)有理函数的积分。。
解
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
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分部积分法
分部积分过程： 例1 x sin xcos xC . 例2 例3
使用经验 “反对幂指三”
x2ex2xex2exC ex(x22x2 )C.
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在后的凑微分
分部积分过程：
分部积分法
第四章
§5.2 有理函数的积分
• 基本积分法:直接、换元、分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数
积分
一、分部积分公式
二、积分方法比较
三、有理函数的积分
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分部积分法
一、分部积分公式
•分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv)uvuv, 移项得 uv(uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
1 x3 x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
难点 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数的积分 三角函数有理式的积分 简单无理函数的积分 小结与作业 练习题
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ln
x C1 a
t a
(C C1 ln a)
x
2016年1Βιβλιοθήκη 6日星期三5目录上页
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例3 （课本 例23）求
解: 当x a 时, 令 则
x 2 a 2 a 2 sec 2 t a 2 a tan t dx a sec t tan t d t
a sec t tan t d t sec t d t ∴ 原式 a tan t ln sec t tan t C1
例7（补充题）求
1 d (2 x) 1 2 解: I ln 2 x 4 x 9 C 2 2 2 (2 x) 3 2
(补充 公式 (23) )
2016年1月6日星期三 14
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例8 （课本 例27）求 解: 原式 =
d( ( )2 (
) )2
(补充公式 (22) )
(6)
f ( a x ) dx , 令
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
2. 常用基本积分公式的补充
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例6（课本 例25） 求
1 dx 解: 原式 2 ( x 1) 2 ( x 1) ( 22 ) 1 x 1 C (补充公式 (20) ) arctan 2 2
1 n ln |1 t | C n 1 1 ln 1 n C. n x
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1 t t
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
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例4 （补充题）求 解: 令 原式 则
1 t2
a x dx . 4 x
2
2
a2
1 t4
当 x 0时,
原式
1 1 2 2 2 d t (a t 1) 2 t d t t
2 2
1 (a 2t 2 1) 2
2
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定理2 设
是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1 ( x) 是 x (t ) 的反函数 .
证: 设 f [ (t )] (t ) 的原函数为 令
(t ) f [ (t )] (t )
则
d dt 1 F ( x) f [ (t )] (t ) f ( x) d t dx (t )
2 2 2 2
则
a x a a sin t a cos t dx a cos t d t
2 2 a cos a cos t a cos t d t ∴ 原式 tdt
2
a t
x
a2
C
x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
f ( x) dx F ( x) C [ 1 ( x)] C
1t ( C ( [ t )] t) d t (x ) 1 ( x ) [ft ] t
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例1（课本 例21）求 a 2 x 2 dx (a 0) . 解: 令
3 2
(a t 1) C 2 3a 当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
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例5（补充题）求
1 x( x 1)
n
dx
1 1 解： 令 x dx 2 dt , t t n 1 1 1 t 1 2 dt dt x( xn 1)dx 1 1 n n t 1 t
x ln a
t
x2 a2
x2 a2 C 1 a
(C C1 ln a)
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当x a 时, 令
du
则 u a , 于是
u2 a2
ln u u 2 a 2 C1
ln x x 2 a 2 C1
第四章
第二节 换元积分法(2)
一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 三、小结与思考题
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二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题 难求
f (u )d u
易求
若所求积分
f (u )d u 难求，
易求,
则用第二类换元积分法 .
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a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 四 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
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或
或
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2. 已知 解: 两边求导, 得
求 则
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(代回原变量)
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3. 求不定积分
解: 令
原式
分子分母同除以
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例9 （补充题）求 解: 原式
de x 1 e
2 x
arcsin e C
(补充公式 (22) )
x
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课后练习
思考与练习
习题4-2 2（19）～（22）
1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?
令 令
令
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ln a2 x x2 a2 C1
(C C1 2 ln a)
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说明: 被积函数含有 三角代换外, 还可利用公式： 采用双曲代换： 或
或
x 2 a 2 时, 除采用
消去根式 , 所得结果一致 . 1 例如， x2 a 2 dx (a 0) 中, 令 x asht dx achtdt 1 acht x2 a2 dx acht dt dt t C 2 2 2 x x a x x x 1 C C .. arsh C ln a a a a a
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例2 （课本 例22） 求 解: 令
2
则
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
dx a sec t d t a sec2 t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t ln sec t tan t C1