2016-2017年北京市怀柔区高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

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【精品】2016-2017学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(理科)

2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l?βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l?βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0 5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“ｍ⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．48．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为．13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E 是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．16．（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．17．（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．18．（13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x 轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．19．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px （其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e==．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l?βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l?βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】在A中，l?β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l⊥β；在C 中，l与β相交、平行或l?β；在D中，l与β相交、平行或l?β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l?β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l?β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l?β，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m 没有实根，则m＜0”，故选：D．【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“ｍ⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“ｍ⊥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a 和b的值，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．7．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．4【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．8．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论．【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．故选：D．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定．【解答】解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础．10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于1．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3），∴k MN==2，∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，∴2×=﹣1，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD，BD1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，﹣1，1），设异面直线AD，BD1所成角为θ，则cosθ＝=．∴异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为8．【分析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，由此能求出该三棱柱的侧视图的面积．【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为：=2，底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为S=2×4=8．故答案为：8．【点评】本题考查三棱柱的侧视图的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3求得P 点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，∴x P=2，代入抛物线方程得：|y P|=2，∴S△POF=×|OF|×2=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题的关键．第11页（共20页）。

2016怀柔区高二(上)期末数学(理科)

2016怀柔区高二（上）期末数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1 B．￢p：∃x∈R，x≤1 C．￢p：∀x∈R，x＜1 D．￢p：∃x∈R，x＜1 2．（5分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．13．（5分）点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2 B．C．1 D．4．（5分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3 B．﹣C．﹣6 D．5．（5分）下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．168．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．直线y=2x+1的斜率为．9．（5分）直线y=2x+1的斜率为．10．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是．11．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．13．（5分）一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为．14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）15．（13分）已知正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．（Ⅰ）求点A，B，C，D，P，E的坐标；（Ⅱ）求．16．（13分）已知点A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D为线段AB的中点．（Ⅰ）求中点D的坐标；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线的方程．17．（13分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求向量和所成角的余弦值．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．19．（14分）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．（I）求证：MN⊥CD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣M的余弦值大小；（Ⅲ）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点c 的位置．20．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若．（1）求的取值范围；（2）证明：四边形ABCD的面积为定值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【解答】命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤1，故选：A2．【解答】双曲线﹣y2=1的a=2，则双曲线的实轴长为2a=4，故选A．3．【解答】点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离：d==，故选B．4．【解答】由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得a=﹣6，故选C．5．【解答】①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选B6．【解答】若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数，当常数小于等于两定点的距离时，轨迹不是椭圆，若平面内一动点P的轨迹为椭圆，则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立，即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．7．【解答】圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，根据图形得到P与A（4，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=42=16．故选D8．【解答】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．直线y=2x+1的斜率为．9．【解答】直线y=2x+1的斜率为2．故答案为：2．10．【解答】命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是：若﹣1＜x＜1，则x2＜1，故答案为：﹣1＜x＜1，则x2＜1．11．【解答】抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）12．【解答】由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：故答案为4．13．【解答】设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πR2．∴R=6．故答案为：614．【解答】由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡15．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）∵正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．（Ⅱ）∵=（﹣2，﹣1，1），∴||==．16．【解答】（Ⅰ）∵A（0，﹣6），B（1，﹣5），∴AB的中点D坐标为（，﹣），（Ⅱ）k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率是﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y+=﹣（x﹣），整理，得x+y+5=0．17．【解答】（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D﹣xyz．依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），C1=（0，2，4），D（0，0，0）=（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4），∴•=﹣2×2+2×2+0×（﹣4）=0，•=0+4﹣4=0∴A1C⊥BD，A1C⊥DE又DB∩DE=D，∴A1C⊥平面DBE．（Ⅱ）∵=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4），∴•=﹣2×0+2×2+（﹣4）×4=﹣12，||==2，==2∴cos＜，＞===．18．【解答】（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．19．【解答】（I）证明：设PA=AB=2AD=2，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），N（1，0，0）∴，∴，∴MN⊥CD；（Ⅱ）解：由（I）知，M（1，，1），=（1，，1），=（2，0，0），设平面ABM的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0，∴，∴=（2，0，﹣1），∵平面APB的法向量=（1，0，0），∴二面角P﹣AB﹣M的余弦值==；（III）解：假设线段AD上是存在一点G（0，λ，0）（0＜λ＜1），使GM⊥平面PBC，则=（1，﹣λ，1），=（0，1，0），=（2，1，﹣2）由，可得，解得∴线段AD的中点G，使GM⊥平面PBC．20．【解答】（本小题满分14分）（I）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为，∴由已知，，，a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，∴椭圆的方程为．（5分）（II）（1）当直线AB的斜率不存在时，=2．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，（m2≠4）∵k OA•k OB=k AC•k BD，∴=﹣，∴=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==+km•+m2=，∴﹣=，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，∴4k2+2=m2，（9分）=x1x2+y1y2===2﹣，∴﹣2=2﹣4≤＜2，且的最大值为2∴∈[﹣2，0）∪（0，2]．（10分）证明：（2）设原点到直线AB的距离为d，则S=|AB|•d=•|x2﹣x1|•△AOE====2=2，=4S△AOB=8为定值．（14分）∴S四边形ABCD。

北京市怀柔区高二数学上学期期末考试试题(含解析)

北京市怀柔区2019—2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题,共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1。

抛物线y 2=4x 的焦点坐标是 A. （0，2) B 。

(0,1）C 。

（2,0）D 。

(1,0）【答案】D 【解析】试题分析：24y x =的焦点坐标为(1,0),故选D 。

【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支,圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．2。

如果0a b <<，那么下面一定成立的是（ ) A 。

a c b c ->- B 。

ac bc <C. 22a b >D.11a b< 【答案】C 【解析】【分析】根据0a b <<及不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确的选项．【详解】∵0a b <<，∴a c b c -<-,∴A 错误；∵当0c >时,且0a b <<，∴ac bc <成立；当0c <时，且0a b <<,ac bc >成立，当0c 时，且0a b <<，ac bc =.∴B 错误；∵0a b <<，∴22a b >正确，∴C 正确; ∵0a b <<,∴11a b>，∴D 错误．故选:C【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了计算能力，属于基础题．3。

双曲线2219x y -=的渐近线方程为A 。

3y x =±B 。

13y x =±C 。

y =D 。

y = 【答案】B 【解析】焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由2219xy -=得3a =，1b =，则双曲线的渐近线方程为13y x =±，故选B. 4。

北京市怀柔区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 (word版含答案)

怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在空间，可以确定一个平面的条件是 A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．三个点 D ．一个三角形 2．直线10x y --=的倾斜角是A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3. 若椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离为 A ．7B ．5C ．3D ．24．在空间，下列结论正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行5．已知双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m =A ．7B ．6C ．9D ．86．已知(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅= ，则动点P 的轨迹为A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条平行直线7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A ．8B ．主视图左视图4C ．10D ．8．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[1,1]-B ．11[,]22-C ．[D ．[22-第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．原点到直线4310x y +-=的距离为___________． 10．抛物线22y x =的准线方程是___________．11．已知(1,=a ，(1=-b ，则⋅+=a b b ___________． 12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________． 13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面A B C D ，底面A B C D 为正方形，2PD DC ==，G ，F 分别是,AD PB 的中点．（Ⅰ）求证：CD PA ⊥；（Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ． .16．（本题满分13分）已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线012=--y x ．（Ⅰ）求交点P 的坐标；（Ⅱ）求直线l 的方程．17．（本小题满分13分）如图，正方体1111ABCD A BC D 的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点．（Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值．18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3)．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程．19．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=．F 为PA中点，PD 112AB AD CD ===．四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：AC // 平面DEF ；（Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值．高二数学理科参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9.15； 10. 12x =-； 11. 1；12. x-2y-1=0； 13. 16π； 14. 22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面A B C D ，底面A B C D 为正方形，2PD DC ==，G ，F 分别是,AD PB 的中点．（Ⅰ）求证：CD PA ⊥；（Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ．.解法一：（Ⅰ）证明：因为ABCD 是正方形，所以 CD AD ⊥.又PD ⊥底面ABCD ，所以PD CD ⊥.又AD PD D = ,所以CD ⊥平面PAD .而PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥. -------------------------------------6分（Ⅱ）取PC 的中点M ，连结,DM FM ,所以FM ∥BC ，12FM BC =，因为GD ∥BC ，12GD BC =，所以四边形FMDG 为平行四边形，所以GF ∥DM . 又易证⊥BC 平面PDC ，所以DM BC ⊥,又PD DC =,M 为PC 的中点，所以DM PC ⊥.则GF BC ⊥且GF PC ⊥ . 又BC PC C ⋂=, 所以GF ⊥平面PCB ---------------------------------------------13分解法二：（Ⅰ）证明：以D 为原点建立如图空间直角坐标系则(2,0,0)(2,2,0)(0,2,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C P F所以(2,0,2)PA =- ,(0,2,0)DC =.则0PA DC ⋅=，所以PA CD ⊥. --------------------------6分（Ⅱ）设(1,0,0)G 则(0,1,1)FG =-- ，(2,0,0)CB = ，(0,2,2)PC =-.又0,0,FG CB FG PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故GF ⊥平面PCB . ------------------------------------------------13分16.（本题满分13分）已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线012=--y x .（Ⅰ）求交点P 的坐标；（Ⅱ）求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，，得22x y =-⎧⎨=⎩，，所以P (2-，2). --------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为直线l 与直线012=--y x 垂直，所以2-=l k ，所以直线l 的方程为022=++y x .---------------------------------------13分 17.（本小题满分13分）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点. （Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值.（Ⅰ）如图，建立坐标系A-xyz,则A(0，0，0)，E （1，0，21），A 1（0，0，1）F （21，1，0） =(1，0，21),A 1=(21，1，-1)F A AE 1⋅=0 所以F A AE 1⊥所以AE 与A 1F 所成角为90°-------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：∵1111ABCD A BC D -是正方体，∴BB 1⊥平面ABCD∴∠EAB 就是AE 与平面ABCD 所成角，又E 是BB 1中点，在直角三角形EBA 中，tan ∠EAB =21.-------------------------------------13分解法2：设AE 与平面ABCD 所成角为α平面ABCD 的一个法向量为n =(0,0,1) 则 sin α=cos<AE ,n51, 可得 tan α=21 ∴AE 与平面ABCD 所成角的正切等于21. ----------------------------------13分 18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3). （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程.解：（Ⅰ）由已知，直线l 的斜率31142k -==-，所以，直线l 的方程为10x y --=. --------------------6分（Ⅱ）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(,1)a a -，因为圆C 与y 轴相切于(0,3)点，所以圆心在直线3y =上. 所以4a =.所以圆心坐标为(4,3)，半径为4.所以，圆C 的方程为22(4)(3)16x y -+-=. ---------------------------13分19.（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，PD 11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小； (III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面所以//DEF AC 平面 ----------------------------------5分(Ⅱ)如图以D轴，建立空间直角坐标系.D xyz -则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,(1,1,0).P B C PB BC ==-所以设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即0,0x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得,x x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得11,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(1,1m =因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量所以cos ,n m n m n m⋅==⋅由图可知二面角A BC P --为锐二面角，所以二面角A BC P --的大小为.4π-----------------------------10分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件，且Q 点与E 点重合.由1(2F E 设(01)FQ FE λλ=≤≤ ，整理得1)(,2,)22Q λλλ-+，1)(,21,),22BQ λλλ++=-- 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅，则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. -------------------14分20．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以c e a ==．所以椭圆C-----------------------------------5分（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±．不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-= ．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥．若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+ 221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m km k km m k k -=+-+++ 2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ----------------------------------------------10分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高，当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ===223131k k==++231k=+所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k kABk k k k k++++===++++++24222164164164419613396kk k kk=+⋅=+≤+=++++（当且仅当3k=±时，等号成立）．所以AB≤．此时,max(S)OAB∆=.综上所述，当且仅当k=时，OAB∆-------------------14分。

2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案

2016-2017高二年级第一学期期末考试数学（理科）本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01=+-y x 的斜率是（）A ．1B ．1-C ．4π D ．43π 2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（）A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，43．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=垂直，则a 的值为（）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于坐标平面xOy 的对称点为（）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面说法正确的是（）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6．“直线l 的方程为)2(-=x k y ”是“直线l 经过点)0,2(”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A ．53B ．103C ．203D ．2538．实数x ，y 满足10,1,x y x y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，若2u x y =-的最小值为4-，则实数a 等于（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线2214y x -=的渐近线方程为_________．10．点P 是椭圆22143x y +=上的一点，1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，则∆21F PF 的周长是_________． 11．已知命题p ：1x ∀>，2210x x -+>，则p ⌝是_________．12．在空间直角坐标系中，已知点)1,,0(),0,1,2(),2,0,1(a C B A ，若AC AB ⊥，则实数a 的值为_________． 13．已知点P 是圆221x y +=上的动点，Q 是直线:34100l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为_________．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知圆M 过点A ，(1,0)B ，(3,0)C -．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且32=DE ，求直线l 的方程．16. （本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点(5,0)M . （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（Ⅱ）若AMB ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．17. （本小题满分12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC -中，D 为PC 的中点，1PA AB ==，PB PC ==．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D AB C --的余弦值．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，△12BF F 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点2F 的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得1//PA QF ，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．高二年级第一学期期末练习参考答案数学 (理科)阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 2y x =±10. 6 11. 1x ∃>，2210x x -+≤ 12. 1- 13. 114.43三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：（Ⅰ）设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，则3021009303F D D F E D F F ⎧+==⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩………………………………………………………………（3分）故圆M ：22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++= …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1,0)M -.设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅=5分）此时||1MN ==. …………………………………（6分）当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1MN =，符合题意 …………（7分）当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，由题意1= ……………………………（8分）解得：34k =， ……………………………（9分）故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=………………………………（10分）综上直线l 的方程为0x =或3480x y -+=16. 解：（Ⅰ）解法1：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2244401y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩………………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->故121244y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ……………………………………………………………（3分）有12||y y -==………………………………………（4分）有121211||4||42||22AMB AMF BMF S S S y y y y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅-=…………………………（5分）解法2：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2246101y xx x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩……………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->126x x +=，1228AB x x =++= ……………………………………（3分）点M 到直线AB的距离d ==4分）182ABM S ∆=⨯⨯…………………………………（5分）（Ⅱ）解法1：易得，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+2244401y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ………………………………………………………（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由216160m ∆=+>，得121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=， ………………（8分）即1212(4)(4)0my my y y --+=整理得：21212(1)4()160m y y m y y +-++=此时有：2(1)(4)4(4)160m m m +⋅--⋅+=，解得m =9分）故l 的方程为15x y =+或15x y =-+即550x -=或550x -=………………………………………（10分）解法2：易知直线l x ⊥时不符合题意.可设直线l 的方程为)1(-=x k y .⎩⎨⎧=-=x y x k y 4),1(2，消去y ，可得0)42(2222=++-k x k x k . …………………………（6分）则0)1(162>+=∆k .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22142k x x +=+，121=x x . …………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=，………………………（8分）即：0425)(5212121=-++-x x x x x x ，即：0425)42(512=-++-k ，解得315±=k . …………（9分）故l 的方程为0535=--y x 或0535=-+y x .………………………………………（10分）17.解：（Ⅰ）∵ 1PA AB ==，PB =∴ PA AB ⊥ ……………………………………………（1分） ∵ 底面是正三角形 ∴ 1AC AB ==∵ PC =∴ PA AC ⊥ ……………………………………（2分） ∵ AB AC A = ,AB AC ⊂平面ABC ∴ PA ⊥平面ABC ．………………………………………（3分）（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 中垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，1(,22C ，(0,0,1)P …………………………………………………………………………………………（4分）所以11()42D ，31()42BD =- ． ………………………………（5分）平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，…………………………………（6分）记BD 与平面ABC 所成的角为θ，则1sin cos ,BD θ=<> n =12……………………………（7分） ∴ 6πθ=．…………………………（8分）（Ⅲ）设平面ABD 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n AD ⊥ 得：11042x y z ++=， ……………………………（9分）由2n AB ⊥得：0x =代入上式得，z y =． ………………………（10分）令2y =，则z =2(0,2,n =． …………………………………（11分）记二面角D AB C --的大小为α，则12cos |cos ,|n n α=<>= ．………（12分）18. 解：（Ⅰ）由题意可得2,1a b c === ……………………………………（2分）所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，……………………………………（3分）椭圆的离心率12c e a ==.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，则 ……………………………（5分）222213(1)412431x y my y x my ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩………………（6分）整理得：22(34)690m y my ++-=，此时21441440m ∆=+>，故122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩……………………………………（7分）注意到1111(2,)(1,)AP x y my y =-=- ，12222(1,)(2,)FQ x y my y =+=+…………………………（8分）若1//PA QF ，则1221(1)(2)my y my y -⋅=+⋅，即212y y =- ……………（9分）此时由21212122212222627234612(34)3434m y y y m m y y m m m y y y m m ⎧=-=⎧⎪⎪⎪+⇒⇒=-⎨⎨++=-⎪⎪=-+⎩⎪+⎩， ………………………（10分）故2222729(34)34m m m -=-++，解得254m =，即m =……………（11分）故l的方程为1x y =+或1x y =+，20y -=20y += …………………………………（12分）解法2：由（Ⅰ）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A . 直线l x ⊥时，212221F F AF QF PF ≠=，则1//PA QF 不成立，不符合题意..………………………………（5分）可设直线l 的方程为)1(-=x k y . .……………………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134),1(22y x x k y ，消去y ，可得()01248342222=-+-+k x k x k ………………（7分）则0)1(1442>+=∆k .设11(,)P x y ，22(,)Q x y则3482221+=+k k x x ①，341242221+-=k k x x ② .…………………（8分）),2(11y x -=，),1(221y x F +=. 若1//PA QF ，则F 1//，则0)1)(1()1)(2(1221=-+---x x k x x k .化简得03221=-+x x ③. ………………………（9分）联立①③可得3494221++=k k x ，3494222+-=k k x ， ………………………（10分）代入②可以解得25±=k . …………………………（11分）故l20y -=20y +=. ……………（12分）。

北京市怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学文试卷

绝密★启用前北京市怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学文试卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：63分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、在空间，下列命题正确的是 A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行2、设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．3、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为Array A．8 B． C． D．4、“” 是“方程表示双曲线”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5、已知命题：若，则，那么的逆否命题为A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6、抛物线的准线方程是A． B． C． D．7、下列语句为命题的是A． B．是一个大数C．三角函数的图象真漂亮! D．指数函数是递增函数吗?8、直线的倾斜角是（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、命题：的否定是___________.10、过点（1，0）且与直线平行的直线方程是11、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．12、大圆周长为的球的表面积为____________．13、椭圆的离心率为________.14、圆的圆心坐标是___________．三、解答题（题型注释）15、如图所示，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．求证:（1）直线平面；（2）平面平面．16、已知直线经过点和点.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，并且与轴相切于点，求圆的方程．17、如图，在四棱锥中，，平面，平面，．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18、已知椭圆C 的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y=kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l 斜率k=1，求△ABP 的面积；（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为，，求证：为定值．19、已知直线经过直线与直线的交点，并且垂直于直线．（Ⅰ）求交点的坐标；（Ⅱ）求直线的方程．20、如图，已知直三棱柱中，AB=AC ，D 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．参考答案1、D2、A3、B4、C5、D6、C7、A8、B9、10、11、12、13、14、15、见解析16、（Ⅰ）x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）（x+2）2+（y﹣3）2=4．17、（1）详见解析；（2）在线段上存在一点，且．18、(1) (2) (3)19、(Ⅰ) ；（Ⅱ）.20、(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】1、试题分析：A选项直线可能平行；B选项平面可能相交；C选项正确；D选项有可能异面和相交.考点：空间直线与平面的位置关系.2、当时，过作圆的两条切线，画图图像如下图所示，，符合题意，选项.当时，同样过作圆的两条切线，由图可知，在直角三角形中，，故，最大张角不符合题意，排除B选项，故选A.点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相切时最大张角问题.首先注意到点的特殊性，由于点的纵坐标恒为，所以点在直线上，这条直线恰好和圆相切，由此想到过作圆的另外一条切线，根据最大张角和比较大小，解题选项用排除法很快可以得出答案.3、由三视图可知，侧面的高为主视图的腰长，故侧面的高为，故侧面积为.点睛：本题主要考查由三视图求几何体的侧面积. 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4、当时，方程是焦点在轴上的双曲线；方程是双曲线，则，故为充要条件.5、逆否命题是交换条件和结论并且都否定，故选.6、根据抛物线的概念，可得准线方程为7、命题是可以判断真假的陈述句，选项无法判断大小，选项是感叹句，选项是疑问句，故选项正确.点睛：在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．命题分为四种：原命题、逆命题、否命题和逆否命题，原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同.8、，斜率为，故倾斜角为.9、试题分析：其否定为“”.考点：全称命题的否定.10、试题分析：直线x－2y－2＝0的斜率为，所以所求直线为考点：直线方程11、依题意有体积为，故一共有（斛）米.12、依题意可知，故求得表面积为.13、依题意，故离心率为.14、根据圆的概念可知，圆心为.15、试题分析：（1）由分别为棱的中点，所以，利用线面平行的判定定理，即可证得直线平面；（2）根据勾股定理证得，利用几何体的结构特征得到，得到面，即可证明平面平面．试题解析：（1）因为分别为棱的中点，所以．又因为平面平面，所以直线平面．（2）因为分别为棱的中点，，所以．又因为，即．又平面平面平面．又平面所以平面平面．考点：空间中的直线与平面的位置关系的判定与证明．16、试题分析：（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l 上，且与y轴相切于点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程试题解析：（Ⅰ）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为.（Ⅱ）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上.所以.所以圆心坐标为，半径为4.所以，圆的方程为.考点：直线、圆的方程17、试题分析：（1）首先证明平面，再根据面面垂直的判定即可得证；（2）在线段上存在一点，且，再利用线面平行的判定与性质加以求解．试题解析：（1）因为平面，平面，所以，又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面；在线段上存在一点，且，使平面，设为线段上一点，且，过点作交于，则，因为平面，平面，所以，又，所以，因为，所以．所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．考点：立体几何综合．18、试题分析：解（1）椭圆的标准方程为3分（2）（Ⅰ）设，解得4分P到直线的距离为，则6分7分（或）（Ⅱ）消去得8分10分定值12分考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系点评：解决的关键是对于椭圆的性质的熟练运用，以及联立方程组的思想，结合斜率公式得到证明，属于基础题。

怀柔区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)【精校】.doc

怀柔区2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在空间，可以确定一个平面的条件是 A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．三个点 D ．一个三角形 2．直线10x y --=的倾斜角是A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3. 若椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离为 A ．7 B ．5 C ．3 D ．24．在空间，下列结论正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行5．已知双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m =A ．7B ．6C ．9D ．86．已知(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条平行直线7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A ．8 B．C ．10 D．8．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=o ，则0x 的取值范围是A ．[1,1]-B ．11[,]22- C．[ D．[第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．原点到直线4310x y +-=的距离为___________． 10．抛物线22y x =的准线方程是___________．11．已知(1,=a，(=-b ，则⋅+=a b b ___________． 12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________．俯视图主视图左视图13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）-中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，如图，在四棱锥P ABCDAD PB的中点．PD DC2==，G，F分别是,⊥；（Ⅰ）求证：CD PA（Ⅱ）证明：GF⊥平面PBC．.16．（本题满分13分）已知直线l经过直线02=2+yx的交点P，并且垂直于直线x与直线0++y243=--yx．-2=1（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线l 的方程．17．（本小题满分13分）如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点．（Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值．18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3)．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程．19．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=．F 为PA中点，PD =112AB AD CD ===．四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：AC // 平面DEF ；（Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出 Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值．高二数学理科参考答案及评分标准 2017.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9. 15； 10. 12x =-；11. 1；12. x-2y-1=0； 13. 16π； 14. 22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PD DC ==，G ，F 分别是,AD PB 的中点．（Ⅰ）求证：CD PA ⊥；（Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ． . 解法一：（Ⅰ）证明：因为ABCD 是正方形，所以 CD AD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ，所以PD CD ⊥.又AD PD D =I , 所以CD ⊥平面PAD .而PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥. -------------------------------------6分（Ⅱ）取PC 的中点M ，连结,DM FM ,所以FM ∥BC ，12FM BC =，因为GD ∥BC ，12GD BC =，所以四边形FMDG 为平行四边形，所以GF ∥DM . 又易证⊥BC 平面PDC ，所以DM BC ⊥,又PD DC =,M 为PC 的中点，所以DM PC ⊥.则GF BC ⊥且GF PC ⊥ . 又BC PC C ⋂=,所以GF ⊥平面PCB ---------------------------------------------13分解法二：（Ⅰ）证明：以D 为原点建立如图空间直角坐标系则(2,0,0)(2,2,0)(0,2,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C P F 所以(2,0,2)PA =-u u u r ,(0,2,0)DC =u u u r. 则0PA DC ⋅=u u u r u u u r，所以PA CD ⊥. --------------------------6分（Ⅱ）设(1,0,0)G 则(0,1,1)FG =--u u u r ，(2,0,0)CB =u u u r ，(0,2,2)PC =-u u u r.又0,0,FG CB FG PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r 故GF ⊥平面PCB . ------------------------------------------------13分 16.（本题满分13分）已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线012=--y x .（Ⅰ）求交点P 的坐标；（Ⅱ）求直线l 的方程.解：（Ⅰ）由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，，得22x y =-⎧⎨=⎩，，所以P (2-，2).--------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为直线l 与直线012=--y x 垂直，所以2-=l k ，所以直线l 的方程为022=++y x .---------------------------------------13分17.（本小题满分13分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点. （Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值.（Ⅰ）如图，建立坐标系A-xyz,F C1CAA1则A(0，0，0)，E （1，0，21）， A 1（0，0，1） F （21，1，0） =(1，0，21),A 1=(21，1，-1) F A AE 1⋅=0 所以F A AE 1⊥所以AE 与A 1F 所成角为90°-------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：∵1111ABCD A B C D -是正方体，∴BB 1⊥平面ABCD∴∠EAB 就是AE 与平面ABCD 所成角，又E 是BB 1中点，在直角三角形EBA 中，tan ∠EAB =21.-------------------------------------13分解法2：设AE 与平面ABCD 所成角为α平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1) 则 sin α=cos<,51, 可得 tan α=21 ∴AE 与平面ABCD 所成角的正切等于21.----------------------------------13分 18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3). （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程. 解：（Ⅰ）由已知，直线l 的斜率31142k -==-，所以，直线l 的方程为10x y --=. --------------------6分（Ⅱ）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(,1)a a -，因为圆C 与y 轴相切于(0,3)点，所以圆心在直线3y =上. 所以4a =.所以圆心坐标为(4,3)，半径为4.所以，圆C 的方程为22(4)(3)16x y -+-=. ---------------------------13分19.（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，PD =11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小；(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面所以//DEF AC 平面 ----------------------------------5分(Ⅱ)如图以Dx,y,z 轴，建立空间直角坐标系.D xyz -则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,(1,1,0).P B C PB BC ==-u u u r u u u r 所以设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =u r则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r即0,0x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,x x z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，得11,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以m =u r因为平(0,0,1),ABC n =r 面的法向量所以cos ,2n m n m n m⋅==⋅r u r r u r r u r ，由图可知二面角A BC P --为锐二面角，所以二面角A BC P --的大小为.4π -----------------------------10分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件，且Q 点与E 点重合.由1(,0,),(0,22F E 设(01)FQ FE λλ=≤≤u u u r u u u r ，整理得1)(,2,)22Q λλλ-+，1)(,21,),22BQ λλλ++=--u u u r 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u r u u u r u r u u u r u r ，则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. -------------------14分20．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以3ce a ==．所以椭圆C 的离心率为-----------------------------------5分（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±．不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=u u u r u u u r ．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥．若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++ 2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ----------------------------------------------10分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高，当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB =====231k =+．所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以3AB ≤．此时, max (S )3OAB ∆=. 综上所述，当且仅当k =时，OAB ∆．-------------------14分。

人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案

2015～2016学年度第一学期期末考试试卷高二（理）数学座位号第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与（） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是（）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是（） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（）条件（） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为。

2016-2017年北京市怀柔区高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列语句为命题的是（）A．lg100=2 B．20172017是一个大数C．三角函数的图象真漂亮! D．指数函数是递增函数吗？2．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．x= B．x=1 C．x=﹣D．x=﹣14．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行5．（5分）已知命题p：若x＞10，则x＞1，那么p的逆否命题为（）A．若x＞1，则x＞10 B．若x＞10，则x≤1 C．若x≤10，则x≤1 D．若x ≤1，则x≤106．（5分）“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（）A．8 B．16C．10 D．68．（5分）设点M（x 0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）命题：∀x∈R，x＞0的否定是．10．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心坐标是．11．（5分）椭圆的离心率为．12．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是．13．（5分）大圆周长为4π的球的表面积为．14．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面AC1D．16．（13分）已知直线经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线的方程．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．19．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（14分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为（1，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；②若直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列语句为命题的是（）A．lg100=2 B．20172017是一个大数C．三角函数的图象真漂亮! D．指数函数是递增函数吗？【解答】解：A是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，B、C、D均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题；故选：A．2．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线y=x﹣1的斜率是1，所以倾斜角为．故选：B．3．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．x= B．x=1 C．x=﹣D．x=﹣1【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程为y2=2x，则其焦点在x轴正半轴上，且p=1，则其准线方程为x=﹣，故选：C．4．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．故选：D．5．（5分）已知命题p：若x＞10，则x＞1，那么p的逆否命题为（）A．若x＞1，则x＞10 B．若x＞10，则x≤1 C．若x≤10，则x≤1 D．若x ≤1，则x≤10【解答】解：∵命题p：若x＞10，则x＞1，∴命题p的逆否命题是：若x≤1，则x≤10．故选：D．6．（5分）“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=1表示双曲线，则m＜0，则“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的充要条件，故选：C．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（）A．8 B．16C．10 D．6【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则四棱锥的斜高为=2，∴四棱锥的侧面积为S==16．故选：B．8．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）命题：∀x∈R，x＞0的否定是∃x∈R，x≤0．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x∈R，x≤0．故答案为：∃x∈R，x≤0．10．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心坐标是（1，1）．【解答】解：根据题意，圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则其圆心坐标是（1，1）；故答案为：（1，1）．11．（5分）椭圆的离心率为．【解答】解：由题意，a=3，b=，∴，∴=故答案为：12．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是x﹣2y﹣1=0．【解答】解：直线x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直线的斜率是所以所求直线方程：y=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0故答案为：x﹣2y﹣1=013．（5分）大圆周长为4π的球的表面积为16π．【解答】解：设球的半径为R，则∵球大圆周长为4π∴2πR=4π，可得R=2因此球的表面积为S=4πR2=16π故答案为：16π14．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有22斛（结果精确到个位）．【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，则×2πr=8，解得：r=所以米堆的体积为V=××πr2×5≈35.56，所以米堆的斛数是≈22，故答案为22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面AC1D．【解答】证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．…（2分）因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．…（4分）因为BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，所以AD⊥平面BB1C1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以E为A1C中点．…（10分）因为D为BC中点，所以DE∥A1B．…（12分）因为DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）16．（13分）已知直线经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由得所以P（﹣2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为直线与直线x﹣2y﹣1=0垂直，所以k l=﹣2，所以直线的方程为2x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．19．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）20．（14分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为（1，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；②若直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【解答】解：（1）依题意椭圆的焦点在x轴上，且c=1，，…（1分）∴，b2=a2﹣c2=1．…（2分）∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）①…（5分）∴或，…（7分）即，，．所以．…（9分）②证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）．椭圆的右顶点为联立方程，消y整理得（2k2+1）x2=2，不妨设x1＞0＞x2，∴，；，．…（12分）…（13分）==∴k AP•k BP为定值．…（14分）。

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理科试卷

北京市西城区2016— 2017学年度第一学期期末试卷高二数学〔理科〕试卷总分值：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.6. 已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线210x y -+= 平行，则双曲线的标准方程为〔〕〔A 〕2214-=x y 〔B 〕2214-=y x 〔C 〕22331205-=x y 〔D 〕22331520-=x y7. 已知(3,0)A ，(0,4)B ，动点(,)P x y 在线段AB 上运动，则xy 的最大值为〔〕〔A 〕5〔B 〕4〔C 〕3〔D 〕28. 用一个平面截正方体和正四面体，给出以下结论：① 正方体的截面不可能是直角三角形； ② 正四面体的截面不可能是直角三角形； ③ 正方体的截面可能是直角梯形；④ 假设正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形. 其中，所有正确结论的序号是〔〕〔A 〕②③〔B 〕①②④〔C 〕①③〔D 〕①④二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否认是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1,AD BD 所成角的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如下图，则该三棱柱的侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点. 假设3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如下图的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及正〔主〕视图俯视图242进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________〔所有测量数据用小写英文字母表示〕，算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．〔本小题总分值13分〕如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．〔本小题总分值13分〕如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．〔本小题总分值13分〕已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线ll 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.A BCDPEA BCPM18．〔本小题总分值13分〕已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . 〔Ⅰ〕假设直线l 的倾斜角为45，求PQ ；〔Ⅱ〕设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 假设2k '=，求k 的值.19．〔本小题总分值14分〕如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.〔Ⅰ〕求证:BD ⊥平面ADE ；〔Ⅱ〕求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；〔Ⅲ〕在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.20．〔本小题总分值14分〕如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =〔其中p 为常数，0p >〕分别交于四个点1122,,,A B A B . 〔Ⅰ〕求抛物线12,W W 准线间的距离；〔Ⅱ〕证明：1122//A B A B ；〔Ⅲ〕假设12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学〔理科〕参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11.12.13.14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.〔本小题总分值13分〕解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥. ……………10分又因为ACPA A =，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.〔本小题总分值13分〕解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为BC AB ⊥，PAAB A =，ABCDPE O所以BC ⊥平面PAB . ……………2分所以AM BC ⊥. ……………3分因为PA AB =，M 为PB 的中点，所以AM PB ⊥. ……………4分所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量，设,AM n 的夹角为α，则1cos 5AM AMα⋅===n n . ……………12分因为二面角A PCB --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为10. ……………13分 17.〔本小题总分值13分〕解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分〔Ⅱ〕由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分所以2122834k x x k-+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12234x x k -==+， ……………11分结合2122834k x x k -+=+，可得k '=2=. ……………12分解得279k =，k = ……………13分19.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. (2)又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分〔Ⅱ〕如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，2,0)B ，(C ，(2,0,E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(2,2,0)DC =-. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n,0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n . ……………8分所以BE和平面CDE 所成的角的正弦值. ……………9分〔Ⅲ〕设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(2,2,0)DC =-,(22,CE =-,(0,BD =-.则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分假设平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p.……………4分〔Ⅱ〕设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OA OA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分〔Ⅲ〕设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+，同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l 之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B 的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。

20170112高二理科答案

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有； 10. ； 11.； 12.13.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分所以AM BC ⊥. ……………3分0522≠++x x 1 ABCDPE O因为PA AB =，M 为PB 的中点，所以AM PB ⊥. ……………4分所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量，设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分因为二面角A PC B--为锐角，所以二面角A PC B --. (13)分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为. ……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分所以2122834k x x k-+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12234x x k -==+， ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分解得279k =，k = ……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. (2)又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,B ，(C ，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(2,2,0)DC =-. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n. ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n . ……………8分所以BE 和平面CDE . ……………9分（Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(2,2,0)DC =-,(22,CE =-,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p.……………4分（Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分12||||OA OA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分（Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+，同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l 之间的距离为d =所以梯形1221A A B B 的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。

北京市怀柔区高二数学上学期期末考试试题文

怀柔区2015-2016学年度高二年级第一学期期末统一考试数学文科试卷 2016.1（考试时间120分钟满分150分）第一部分（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．命题p :,1R x x ∃∈>的否定是A. :,1R p x x ⌝∀∈≤B. :,1R p x x ⌝∃∈≤C. :,1R p x x ⌝∀∈<D. :,1R p x x ⌝∃∈<2．双曲线2214x y -=的实轴长为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．123．点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为A ．2B ．72 C ．12D ．1 4．若直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则a 的值为A ．3-B ．23 C ．6- D ．32- 5．下列四个命题中错误．．的个数是 ① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行 ③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 ④ 垂直于同一个平面的两个平面相互平行 A. 1 B. 2 C. 3 D. 46． “平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点(,)P x y 为圆C :22680x y x +-+=上的一点，则22x y +的最大值是A. 2B. 4C. 9D.168．如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4（俯视图）2（左视图）22（主视图）A.1B.2C.3D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上) 9．直线21y x =+的斜率为． 10．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆命题是__________________ ． 11．抛物线24x y =的焦点坐标是__________． 12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．13．一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为________．14．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是_________ ．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上)15．（本题满分13分）如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，BC AC ⊥， D 、E 分别是SC 、BC 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面SAB ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面SAC .16.（本题满分13分）已知点(0,6)A -，(1,5)B -，且D 为线段AB 的中点. （Ⅰ）求中点D 的坐标；（Ⅱ）求线段AB 的垂直平分线的方程．17．（本题满分13分）如图，在三棱锥P —ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、PC 、BC 的中点，且PA=PB ，AC=BC 、（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB//平面FGHDE18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3). （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程.19．（本小题满分14分）已知：四棱锥P-ABCD,ABCD PA 平面⊥,底面ABCD 是直角梯形，︒=∠90A ，且AB∥CD,CD AB 21=, 点F 在线段PC 上运动。

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北京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为A. 220x y +-=B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12,则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π4. 在空间中，下列命题正确的是A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B. 31C. 3D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是 A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[- D. ]22,22[- 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a ，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =- 且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________.13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点.求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ）求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM ,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点.（I ）求证：AC ⊥PB ；（II ）求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ）求p 的值；（II ）设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：D O A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6.（I ）求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.北京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷参考答案一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =± 10. -4 11. (1,-2,0)12. 3 13. (-4,24±) 14. （13133，13132）说明：1.第9题，答对一个空给3分。

数学-北京市怀柔区2016—2017学年度高一第一学期期末考试试卷

北京市怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|(1)0}M x x x =-=，那么 ( )A.0M ∈B.1M ∉C.1M -∈D. 0M ∉ 2．角90化为弧度等于( ) A.3πB.2πC.4πD.6π3．函数y ( )A.(0,)+∞B.C. [0,)+∞D. 4.下列函数中，在区间(,)2ππ上为增函数的是( )A. sin y x =B. cos y x =C. tan y x =D. tan y x =- 5．已知函数0x f (x )cos x,x ≥=<⎪⎩，则[()]=3f f π- ( )A.12cos B. 12cos -C. 2D. 2±6．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A. 向左平行移动1个单位长度B. 向右平行移动1个单位长度C. 向左平行移动π个单位长度D. 向右平行移动π个单位长度7．设12log 3a =，0.21()3b =，132c =，则( )A.c b a << .B.a b c << .C.c a b <<D.b a c << 8．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，点A的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是( ) A. []0,1 B. []1,7C. []7,12D. []0,1和[]7,12),1(+∞),1[+∞第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若00<>ααcos ,sin ，则角α在第____________象限． 10．函数2()2f x x x =--的零点是____________． 11．sin11cos19cos11sin19+的值是____________． 12．函数()21f x x =-在[0,2]x ∈上的值域为____________．13．已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f 的最大值是1，其图象经过点1(,)32M π，则3()4f π= ____________． 14．已知函数()f x 是定义在[3,0)(0,3]-上的奇函数，当(0,3]x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()21x f x ≥- 的x 的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3,5}A =，{3,5,6}B =．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）求()U C A B ．16．（本小题满分13分）求下列各式的值．（Ⅰ）11219()lg1002-+-；（Ⅱ）21113322(2)(6)a b a b -÷)3(6561b a -．17．（本题满分13分）已知2α3ππ<<，4sin 5α=-．（Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求sin 23tan αα+的值．18．（本小题满分14分）已知二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）证明()f x 在)0,(-∞上是减函数．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间20．（本小题满分13分）已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-．（Ⅰ）若{2,2}S -⊆，求使元素个数最少的集合S ；（Ⅱ）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．参考答案一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．9. 二； 10. 1,2-； 11. 12； 12. [1,3]-；13. - 14. [3,2](0,1]--． 15．（本小题满分13分）解：(Ⅰ) {3,5}AB =． ---------------------------------------------------5分（Ⅱ）{4,6}U C A =， (){3,4,5,6}U C A B =．----------------------------------------------------13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式=3+2-2 ------------------------------------------3分（每式1分）=3. ------------------------------------------------5分（Ⅱ）解：原式=653121612132)]3()6(2[-+-+-÷-⨯ba --------------------11分（每式2分）=4a. -----------------------------------------------------------13分17．（本题满分13分）解：(Ⅰ)因为2α3ππ<<，4sin 5α=-，故3cos 5α=-. -------------------------------------------------6分（Ⅱ）sin sin 23tan 2sin cos 3cos αααααα+=+⨯. 4()4352()()3355()5-=⨯-⨯-+⨯-24425=-------------------------------------13分 18．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -.∴31)1(2=+-a 即2=a∴函数的解析式为2()21()f x x x R =+∈-----------------------------------------6分（Ⅱ）证明：设x 1,x 2是)0,(-∞上的任意两个不相等的实数, 且x 1<x 2 则210x x x ∆=->222121()()21(21)y f x f x x x ∆=-=+-+=22212()x x - =21212()()x x x x -+)0,(,21-∞∈x x0,021<<∴x x 021<+∴x x又210x x x ∆=->0))((22112<+-∴x x x x即0<∆y∴函数f(x)在)0,(-∞上是减函数.----------------------------------------------14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为2()cos cos f x x x x=1cos 222x x +=+112cos 222x x =++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数的周期为22T π==π．由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得33k x k πππ-≤≤π+．所以()f x 的单调递增区间为()[,]33k k k πππ-π+∈Z ．------------- 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为63x ππ-≤≤，所以2666x ππ5π-≤+≤．所以1111sin 2122622x π⎛⎫-+≤++≤+ ⎪⎝⎭．即()302f x ≤≤．故()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值为32，最小值为0．--------------------------14分 20．（本小题满分13分）解：（(Ⅰ)()111121211211212S S S S ∈⇒=-∈⇒=∈⇒=∈----；()11131221312321132S S S S -∈⇒=∈⇒=∈⇒=-∈----，∴使{}2,2S -⊂的元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．------------------------5分（Ⅱ）非空有限集S 的元素个数是3的倍数．证明如下：⑴设,a S ∈则0,1a ≠ 且1111111111a a S S S a S a a a a a-∈⇒∈⇒=∈⇒=∈----- ()*假设11a a =-，则()2101a a a -+=≠。

北京市怀柔区2020学年高二数学上学期期末考试试题理

怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第n 卷3至8页,共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共40分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2•每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案，不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.4.在空间，下列结论正确的是A.平行直线的平行投影重合 B •平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D .垂直于同一平面的两条直线平行B.双曲线D.两条平行直线7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A. 8B.16.2A.两条直线 B .一点和一条直线 C .三个点 D.一个三角形2 .直线x y1 0的倾斜角是A.—B.—C.-643223.若椭圆xy1上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 25 16A . 7B . 5 C. 3D.—23，则P 到另一焦点的距离为D. 225.已知双曲线—16A . 7 2—1的离心率为5 ,则mm46.已知 A( 2,0),B. 6B(2,0)，动点 P(x, y)满足C. 9!IPA PBD. 82x ，则动点P 的轨迹为A .椭圆 C.抛物线1.在空间，可以确定一个平面的条件是1 1A [1,1]B • [ 2,2]C[一]D •[訂第n 卷(非选择题共110分)注意事项：1 •用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上.2 •答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分•把答案填在题中横线上. 9.原点到直线4x 3y 10的距离为 ____________210 •抛物线y 2x 的准线方程是 ________________11•已知 a (1,2,73) , b (1,73,0)，则 a b b ___________________ 12.过点(1,0 )且与直线x-2y-2=0平行的直线「方程是 ____________________ 13 .大圆周长为4 n 的球的表面积为 ______________ •14•《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？ ”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为 3，则堆放的米约有 ______________ 斛(结果|精确到个位|) • 三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC 2 ,G , F 分别是AD,PB 的中点.(I)求证：CD PA ; (n)证明：GF 平面PBC •16 •(本题满分13分)已知直线|经过直线3x 4y 2x 2y 1 0 •(I)求交点P 的坐标; (n)求直线l 的方程.C. 10D • 62&设点M(x 0,1)，若在圆O:x 2y 2 1上存在点N ，使得OMN45：，则X o 的取值范围是17. (本小题满分13分)(I)求椭圆C 的离心率；(n)求证：OA OB ；(川)求 OAB 面积的最大值.9. 1 ；510.1x2 ；11. 2、3 1 ； 12. x-2y-1=0；13.16n ；14.22 .、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.高二数学理科参考答案及评分标准2017.1 题号 1 23 4 5 6 7 8 答案D B A D C DBA题共6小题，每小题5分，共30 分.二、填空题：本大如图，正方体ABCDA 1B1GD 1的棱长为 1，E 、F 分别是BB 和CD 的中点.(I)求AE 与A iF 所成角的大小；(n)求AE 与平面ABCD 所成角的正切值.18. (本小题共13分)已知直线I 经过点(2,1)和点(4,3).(I)求直线l 的方程；(n)若圆C 的圆心在直线I 上，并且与y 轴相切于圆C的方程.(0,3)点，求19. (本小题满分14分)如图，PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ADC BAD 90 . F 为PA 中点，PD 2 ,AB AD -CD 1 .四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N . 2(I)求证：AC //平面DEF ； (n)求二面角 A BC P 的大小；(川)在线段EF 上是否存在一点 Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为？若存在，求出6Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分14分)2 2已知圆O : X y2 21的切线I 与椭圆C: X 3y4相交于A , B 两点.EC1BC ，GD严，所以四边形FMDG 为平行四边形，所以GF / DM .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本题满分13分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC 2 ,G , F 分别是AD,PB 的中点. (I)求证: CD PA ; (n)证明: GF 平面PBC . 解法一: (I)证明: 因为ABCD是正方形,所以CD AD . 又PD 底面ABCD , 所以PD CD .又 ADp所以CD 平面PAD .而PA 平面PAD ,所以CDPA .(n)取PC 的中点M ，连结DM , FM ,所以FM//BC , FM 1BC , 2因为GD // 又易证BC 平面PDC ，所以DM BC ,又PD DC , M 为PC 的中点,所以DMPC .则 GF BC 且 GF PC •又 BC PC C所以GF 丄平面PCB 13解法二:(I)证明:以D 为原点建立如图空间直角坐标系则 A(2,0,0)B(2,2,0) C(0,2,0) P(0,0,2)所以 PA (2,0, 2), DC F(1,1,1)(0,2,0).则PA DC 0，所以PACD .(n)设 G(1,0,0)则 FG(0, 1, 1)，CB(2,0,0) , PC(0,2, 2).(n)求AE 与平面ABCD 所成角的正切值 (I)如图，建立坐标系 A-xyz,则 A(0 , 0, 0),1E (1 , 0,—),2A 1 (0, 0, 1)1F (, 1 , 0)2— 1AE =(1 , 0 ,), 2—— 1AF=( — , 1, -1)2AE 时=0所以AE A FF G C B0, 0,故GF 丄平面PCB . ------------------------------------------------- 13 分16. (本题满分13分)已知直线I 经过直线3x 4y 20与直线2x y 2 0的交点P ，并且垂直于直线x 2y 1 0.(I)求交点P 的坐标； (n)求直线I 的方程.么3x 4 y 2 0, x 2, 解：(i )由y 得2x y 2 0,y 2,所以P ( 2 , 2). -------------------------------------------------------- 5分(n)因为直线|与直线x 2y 10垂直，所以k 2 ,所以直线l 的方程为2x y 2 0.13 分17. (本小题满分13分)如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为 1,E 、F 分别是BB 和CD 的中点.(I)求AE 与AF 所成角的大小;所以AE与AF所成角为90------------------------------------ 6分(n)解法i：v ABCD A1B1C1D1 是正方体,••• BB丄平面ABCD•••/ EAB就是AE与平面ABCD所成角，又E是BB中点,113在直角三角形EBA中，tan / EAB =.2解法2 :设AE与平面ABCD所成角为sin =cos< AE , n > = AE n 1AE n 一5’1• AE 与平面ABCD 所成角的正切等于 -2可得tan1318.(本小题共13分)已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3). 求直线l 的方程;若圆C 的圆心在直线I 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程. 解:3 1(I)由已知，直线I 的斜率k -— 4 21,所以，直线I 的方程为x y 1 0.因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(a,a 1),因为圆C 与y 轴相切于(0,3)点，所以圆心在直线 y 3上.所以a 4.所以圆心坐标为(4,3)，半径为4. 所以，圆C 的方程为(x 4)2 (y 3)2 16.1319.(本小题满分14分)如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面， ADC BAD 90 .为PA 中点，PD /2 , ABAD IcD 1.四边形PDCE 为矩形，线段 PC 交DE 于点2(I) 求证：AC // 平面DEF ;(II)求二面角ABC P 的大小;(III) 在线段EF 上是否存在一点 Q ，使得BQ 与平面ABCD 的一个法向量为n =(0,0,1) 平面BCP 所成角的大小为一？若存在，求Q 点6所在的位置；若不存在，请说明理由解：（I ）连接FN,在 PAC 中，F,N 分别为PA, PC 中点，所以因为FN 平面DEF , AC 平面DEF , 所以AC//平面DEFFN / /AC,N.EC所以cos n,m由卩（丄,0,巨），£（0,2八2）.设 FQF E（02 2整理得 Q(1,2 ‘丄21)) , BQ2 2因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为由图可知二面角所以二面角A（川）设存在点A BC P 为锐二面角, BC P 的大小为一.410Q 满足条件，且Q 点与E 点重合.所以 sin 6|cosE 点重合.2%19 2 107则2 1,由01|14（n ）如图以D 为原点，分别以DA, DC, DP 所在直线为x,y,z s. 2）, BC （则 P(0,0, -..2), B(1,1,0),C(0,2,0),所以 PB(1,1,轴，建立空间直角坐标系 D xyz. 1,1,0).设平面PBC 的法向量为m(x, y, z),则 mm (x,y,z) (1,1, ^2) (x,y,z) ( 1,1,0)即 x y 2zx y 0解得x x z 2xx令x 1，得 y所以m (1,仆 2).因为平面ABC 的法向量 n (0,0,1),1),),20.(本小题满分14分)已知圆O : x 2 y 2 1的切线I 与椭圆C: x 2 3y 2(I)求椭圆C 的离心率; (n)求证：OA OB ；(川)求 OAB 面积的最大值.2 卄x 在一4同理，当l : x 1时，也有OA OB .所以 y 1y 2 (kx 1 m)(kx 2 m) k 2x 1x 2 km(x 1 x 2) m 2. 2 2^x 2 y 1y 2 (k 1)x 1x 2 km(x i x 2) m所以OA OB .综上所述，总有 OA OB 成立.(川)因为直线 AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为 OAB 的高,解: (I)由题意可知a 24 , b 2b 2所以亡于.所以椭圆C 的离心率为(n)若切线 I 的斜率不存在，则4相交于A ， B 两点.0 .所以 OA OB .若切线I 的斜率存在，设l : y kx m ，依题意伕 1，即 k 21 m2., y kx m + 22 由 x 2 3y 24，得 (3k 1)x26kmx 3m 4 0 .显然 0.设 A(X 1,yJ , B(X 2,y 2),则为 x6 km 2 3k 2 1X-|X 23m 2 4 3k 2 14(k 21) 4k 2 4 03k 2 110不妨设 A(1,1),B(1, 1)，则1 1所以文档来源为：从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持11文档收集于互联网，已整理， word 版本可编辑当I 的斜率不存在时，由 (n)可知 AB 2 •则 S OAB 1当I 的斜率存在时，由（n ）可知,所以AB 2 J k 23k 2 1 .9k 2 1.2 2 4(1 k )(9k 1) (3k 2 1)2 16 k 2 9k 4 6k 2 1号成立） •所以AB 综上所述，当且仅当 4 2 4(9 k 10k 1) 9k 4 6k 214——9k 2 16 __ 右6 心•此时3 4(1，(S OAB ) max 16 （当且仅当 2、3 3 3 2 3 k 丁时，OAB 面积的最大值为T 14。

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写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形，侧棱
PA 底面 ABCD ， E 是 PA 的中点.
(Ⅰ)求证： PC // 平面 BDE ；
P
(Ⅱ)证明： BD CE .
E
A
D
B
C
16．（本小题满分 13 分）
如图 , PA 平面 , , , ABC AB BC AB PA 2BC 2 M 为
， x1 1
……………11 分
即
A(1,1)
或
A(1,1) .
……………12 分
所以，直线 l 的方程为 yx或
. y x
……………13
分
18.（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）设 P(x1, y1), Q(x2, y2) ，由已知，椭圆的左焦点为 (1,0) ，
又直线 l 的倾斜角为 45 ，所以直线 l 的方程为
16.（本小题满分 13 分）
解 : (Ⅰ) 因为 PA 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，所以
PA BC .
因为 BC AB ， PA AB A ，
所
以
BC 平
面
. PAB
……………2 分
所
以
AM BC .
……………3 分
因为 PA AB ， M 为 PB 的
中点，
2
( 8)2 4 8 24
7
77
…
…………5 分
（
Ⅱ
）
由
得 y k(x 1),
3x2 4 y2 12
， (3 4k 2 )x2 8k 2x 4k 2 12 0

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