第五章相交线与平行线5.3.2命题、定理、证明

5.3.2 命题、定理、证明
命题的定义：
判断一件事情的语句叫做命题。
1、只要对一件事情作出了判断， 不管正确与否，都是命题。 2、如果一个句子没有对某一件事情
作出任何判断，那么它就不是命题。
语句都是对某一件事情作出“是”或
“不是”的判断.其中问句，画图，感叹句， 祈使句不是命题！
下列语句是命题吗？ ①请你吃饭。 ②大象是红色的 ③同位角相等. ④连接A、B两点. ⑤你多大了？
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 题设是： 两个角是对顶角 结论是： 这两个角相等
④同位角相等. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
题设是：两个角是同位角 结论是：这两个角相等
★ 如：对顶角相等
题设
结论
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 题设 结论
问题5
下列语句是命题吗？如果是，请将它们 改写成“如果„„，那么„„”的形式.
（5）对顶角相等．
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
问题7 下列哪些命题是正确的， 哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0； （4）同旁内角互补； （5）对顶角相等．的真假
有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；
请同学们判断下列两个命题的真假
命题 :相等的角是对顶角． （3）你能举出反例吗？
如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也 能被2整除”对么？
如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角” 对么？ 确定一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、 举反例等方法。
问题1 请同学们判断下列命题哪些是真命题？
哪些是假命题？
1、数学中有些命题的正确性是人们在长期 实践中总结出来的，并把它们作为判断其 他命题真假的原始依据，这样的真命题叫 做公理。
用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且 可以进一步作为判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。
2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，
公理和定理都是真命题,但 它们的来历却不同。
句子 ② ③ 能判断一件事情. 是命题 句子 ① ④ ⑤ 不能判断一件事情. 不是命题
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作 了判断？哪些没有对事情作出判断？
1、对顶角相等；
2、画一个角等于已知角； 3、两直线平行，同位角相等； 4、a、b两条直线平行吗？ 5、温柔的李明明；
6、玫瑰花是动物；
是 否 是 否 否 是
垂直于两条平行线中的一条， 那么它也垂直于另一条．
（1）命题是真命题 , 还是假命题？
（2）你能将命题所叙述的内容
用图形语言来表达吗？
命题1 在同一平面内，如果一条直线 垂直于两条平行线中的一条，那么它也 垂直于另一条. （3）你能结合图形用符号语言 表述命题的题设和结论吗？
已知：b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c．
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
在数学中，这种方法称为“举
证明命题:
“一个锐角与一个钝角的和等于 一个平角”是假命题.
只需举出一个反例: “某一锐角与某一钝角的和不是180°”
即可．
判断下列命题是真命题还是假命题，
若是假命题则举一个反例加以说明.
(1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；
假，92°+ 30° ≠ 180°
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（5）请同学们思考如何利用已经学过的 定义定理来证明这个结论呢？
已知：b∥c，a⊥b ． 求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1=90º （垂直的定义）． 又∵ b∥c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠1=90º（等量代换）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
课堂小结
定理举例：
1、补角的性质： 同角或等角的补角相等。
2、余角的性质：
同角或等角的余角相等。
3、对顶角的性质： 对顶角相等。
4、垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直；
②垂线段最短。
5、平行公理的推论： 如果两条直线都和第三条 直线平行，那么这两条直 线也互相平行。
定理举例： 6、平行线的判定定理： 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
命题都可以写成下列形式：
.......... ........ .......... ........ 如果 · · · · · · ，那么· · · · · · 结论 题设
注意：添加“如果”、“那么”后，命 题的意义不能改变. 改写的句子要完整，语句要通顺， 使命题的题设和结论更明朗，易于分辨. 改写过程中，要适当增加词语，切 不可生搬硬套。
如命题：熊猫没有翅膀。改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。
下列命题中的题设是什么？结论是什么？
①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
题设是： 两个角是邻补角 结论是： 这两个角互补
② 如果a＞b，b＞c，那么a=c . 题设是： a＞b，b＞c 结论是：a=c
下列命题中的题设是什么？结论是什么？ ③对顶角相等．
1、命题：判断一件事情的语句叫命题。 （1）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成 “如果„，那么„”的形式。 （2）命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假 命题。 2、公理：人们在长期实践中总结出来的真命题叫做公理。 3、定理：经过推理证实的真命题叫做定理。 4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推 理的方法证明（公理和定理都是真命题）； 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不 成立就可以了，这种方法称为举反例。
7、平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。
课堂小结
1、命题：判断一件事情的语句叫命题。 （1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 （2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成， 常可写成“如果„，那么„”的形式。 2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断 其他命题真假的根据的命题，叫做公理。 3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。
也可作为继续推理的依据。 4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发， 用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子， 说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
问题 请同学们判断下列两个命题的真假， 并思考如何判断命题的真假．
命题1： 在同一平面内，如果一条直线
假，只有两条直线平行时才对
（3）两个锐角的和等于直角； 假 ， 30° + 50° ＝ 80° ≠ 90° （4）有三条边对应相等的两个三角形全等； 真
请同学们判断下列两个命题的真假
命题: 相等的角是对顶角．
（1）判断这个命题的真假． （2）这个命题题设和结论分别是什么？ 题设：两个角相等；
结论：这两个角互为对顶角．
前者来源于实践,后者通过 推理论证得来的.
公理和定理都可作为判断其
他命题真假的依据。
公理举例：
1、直线公理： 经过两点有且只有一条直线。 2、线段公理： 两点的所有连线中，线段最短。 3、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知直线平行。
4、平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行。
5、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。
问题4 请同学们观察一组命题， 并思考命题是由几部分组成的？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补； （3）如果两个角的和是90º， 那么这两个角互余；
命题是由题设(或条件)和结论 两部分组成。题设是已知事项（条
件），，结论是由已知事项推出的 事项。
而有些命题题设成立时，结论不一定成立。
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，
这样的命题叫做真命题．
假命题：如果题设成立时，不能保证结论
一定成立，这样的命题叫做假命题．
要判断一个命题是真命题，可 以用逻辑推理的方法加以论证；
而要判断一个命题是假命题，
只要举出一个例子，说明该命题不 成立，即只要举出一个符合该命题 题设而不符合该命题结论的例子就 可以了．