3.1空间向量及其运算导学案

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高二数学(新课标人教A版)选修2-1《3.1空间向量及其运算(练习)》导学案

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1．直三棱柱 ABC —A 1B1C1 中，若 CA a ， CB b ， CC1 c ，则 A1B （
.
(2) 当 λ＞ 0 时， λa 与 A.
；
当 λ＜0 时， λa 与 A.
；
当 λ＝0 时， λa＝
.
4. 向量加法和数乘向量运算律：
交换律： a＋ b＝
结合律： (a＋ b)＋ c＝
数乘分配律： λ(a＋ b)＝
5.① 表示空间向量的
所在的直线互相
或
，则这些向量叫共
线向量，也叫平行向量 .
，r 有 b
.
8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相做单位正交基底，通常用｛ i,j,k｝表示 .
，长度都为，则这个基底叫
9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量r a，r且设r i、 jr、 k 为 x 轴、 y
轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 { x, y, z} ，使得 a xi y j zk ，则称有序实
确命题的个数为（
）
A ．0
B. 1 C. 2
D. 3
uuuur uuuur uuuur
2．在平行六面体 ABCD － A 1B 1C1D 1 中，向量 D1 A 、 D1 C 、 A1C1 是（
）
A ．有相同起点的向量
B ．等长向量
C ．共面向量

高二数学选修2-1§3.1.1空间向量及其加减运算导学案

§3.1.1 空间向量及其加减运算10分钟阅读教材84~85页，并完成本学案班级：姓名：一、学法指导结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算。

通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想。

二、知识要点1.空间向量的概念（1）空间向量的定义在空间，把具有和的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的或 .（2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的表示向量的模。

如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作，其模记为或 . （3）特殊向量零向量：规定长度为0的向量叫做，记为 .其方向 . 单位向量：的向量叫做单位向量. 相反向量：与向量a 长度而方向的向量，记为 .相等向量：长度而方向的向量称为相等向量，且的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的加法、减法类似平面向量（三角形法则、平行四边形法则、多边形法则），定义空间向量的加减法运算：OB OA OC =+= ；CA OA OC =-= ；3.空间向量加法的运算律（1）交换律 a b += ；（2）结合律 ()a b c ++= ；三、典型例题例1.下列说法中错误的是．①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③零向量没有方向；④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；⑤若a b =，则a 与b 的长度相等，方向相同或相反；⑥若,a b b c ==，则a c =；⑦若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB CD =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件.例2. 如图所示，在长、宽、高分别为3,2,1AB AD AA '===的长方体ABCD A B C D ''''-且以八个顶点的两个为始点和终点的向量中：①单位向量共有多少个，分别是哪些？②试写出模为5的所有向量；③试写出与AB 相等的所有向量；④试写出AA '的相等向量；⑤化简DA DB B C B B A B A B '''''-+-+-.例3.请完成下面的选填题(1)在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心，若z y x ++=1，则z y x ,,的值分别是 . B a =++++-n n A A A A A A A A 1433221(2)直三棱柱111C B A ABC -中，若CC ===1,,，则1A B = ( )A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-(3)在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若===,,，则=（） A.c b a 212121+- B.c b a 212121-- C.212321+- D.232121+- (4)已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是BC OA ,边的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=，用向量,,表示向量是（） A.OC OB OA OG 313161++= B.OC OB OA OG 323161++= C.3232++= D.323221++= 例4.若点G 是ABC ∆的重心，求证0GA GB GC ++=．变式：如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证)(21+=．。

选修2-1第三章_空间向量与立体几何_导学案-推荐下载

2014 年理科选修 2-1◆高二
第三章空间向量与立体几何月日
班级：姓名：
⑴ AB BC CA ; ⑶ AB AC BD CD;
⑵ AB MB BO OM ; ⑷ OA OD DC .
⑵；AB AD AA'
⑶ AB

AD

1
CC '
2
⑷．1 (AB

AD

AA' )
2
二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，
单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线0产中不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资22负料，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看2与全22过，22度并22工且22作尽2下可护1都能关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编5试技写、卷术重电保交要气护底设设装。备备4置管高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并3技试资件且、术卷料拒管中试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高中数学 3.1空间向量及其运算学案苏教版选修2-1(2)

3.1.1空间向量及其线性运算一、学习目标：1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线的充要条件重点难点：1 空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；2 空间向量的线性运算及其性质。

二、课前自学回顾平面向量的概念及其运算法则；平面向量共线定理 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：⑴ 空间的一个平移就是一个向量；⑵ 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； ⑶ 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a +=+=b a -=-= )(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于b 记作b a //.1/B 规定：当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4．共线向量定理：三、问题探究例1、如图，在三棱柱111CBAABC-中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA+；（2）121AACBAC++；（3）AA--1例2、如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F分别是//,BDDB的中点，设kOKjOJiOI===,,，试用向量kji,,表示和四、反馈小结课本83页练习1－6小结：3.1.2 共面向量定理一、学习目标：1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题重点难点：1 共面向量的含义，理解共面向量定理；2 利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。

空间向量及其运算(一)导学案

空间向量及其运算(一)导学案【学习目的】：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题【学习重点】：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律【学习过程】：一、内容分析：本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题二、先让我们复习一下以前学过的平面向量的知识：向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积。

重要定理、公式：(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+=(2)两个向量平行的充要条件 a ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b ＝O ⇔02121=+y y x x(4)线段的中点坐标公式： OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x三、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB +=+= b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量：(1)．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

(新课程)高中数学《3.1.1空间向量及其运算》导学案新人教a版选修2-1

§3.1.1空间向量及其运算1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8486复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- a .2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则 AC = AB , BC = AB .反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ；⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )；⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．※ 典型例题例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴；'AB AD AA ++ ⑵；1'2AB AD CC ++ ⑶ 1(')2AB AD AA ++ ⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．例2 化简下列各式： ⑴ AB BC CA ++ ; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC -- .变式：化简下列各式： ⑸ OA OC BO CO +++ ; ⑹ AB AD DC -- ; ⑺ NQ QP MN MP ++- .小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.※ 动手试试练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式： ⑴ 111AA A B + ; ⑵ 11111122A B A D + ; ⑶ 111111122AA A B A D ++ ⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++ .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法中正确的是（） A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同; B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += . 2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++ =3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（） A. 00a b = B. 00a b = 或00a b =- C. 01a = D. ∣0a ∣=∣0b ∣ 4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ,则四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量1. 在三棱柱中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子： ⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a = ，AD b = ，1A A c = ，则下列向量中与1B M 相等的是（）A. 1122a b c -++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+。

选修2-1第三章空间向量及其运算(精品课程导学案).

§3.1.1空间向量及其加减运算班级：高二( )班姓名：学号：三维目标：知识与技能：理解空间向量及其相关概念；理解空间向量加减法的含义。

过程与方法：会判断两向量是否相等，是否相反；会对两向量进行加减运算。

情感与价值观：通过学习，体会空间向量与平面向量的异同, 学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物.学习重难点：重点：空间向量加减法难点：空间向量与平面向量的不同点学习过程：【课前热身】1．作出平面向量-+及向量。

归纳：向量加法：首尾相连，由始至终；向量减法：起点重合，终点反向。

2．填空：=++ ； =+- ；=++ ；【探索新知】学点一：空间向量的有关概念与平面向量一样，在空间，把具有和的量叫做空间向量。

空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的，向量表示起点是，终点是。

||表示向量的规定，长度为0的向量叫做，记为。

模为1的向量称为。

称为a 的相反向量，记为称为相等向量。

注意：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。

即任意两个空间向量共面。

学点二：空间向量的加减法与平面向量加减法类似，即AB OA += ；-= 。

与平面向量加法类似，空间向量的加法也满足交换律及结合律，即：，【示例点拨】例１. 已知平行六面体''''D C B A ABCD -．写出分别与向量',,AA AD AB 相等的向量．ab ab D 'A 'B 'C 'D试一试１.在上面这个平行六面体中，写出分别与向量',,AA AD AB 相反的向量例２. 已知平行六面体''''D C B A ABCD -，以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于：（1）'C B +；（2）'A -；（3）'++；试一试２.在四面体ABCD 中，DA BC CD AB +++= ，BC DC AB +-= 。

《空间向量及其加减运算〉导学案

3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入：_______________________________________________________________________;:(2)空间任意两个向量是否可能异面→讨论：相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→讨论：空间任意两个向量是否共面2. 空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算一样：…OB →＝OA →＋AB →＝________；AB OB OA =-＝________.（指向被减向量），思考:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．（如右图所示）：12231________;n nA A A A A A！$⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： 12233411______;n n n A A A A A A A A A A -+++++=；3. 空间向量的加法的运算律．⑴加法交换律：a +b r = b + a； \⑵加法结合律：(a + b ) + =a + (b+ c )；典例精析：例1如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个(2)试写出模为5的所有向量． (3)试写出与AB →相等的所有向量．(4)试写出AA1→的相反向量．解析：…规律总结：(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．变式1：下列说法中正确的是( )A ．若|a|＝|b|，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反'B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a|＝|b|C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →例2空间向量的加减运算如图，已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式． (1)AB →＋BB′→－D′A′--→＋D′D --→－BC →；(2)AC′→－AC →＋AD →－AA′→.解析：/规律总结：(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．…变式2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B -→＝________.课堂小结：1.空间向量的加法符合交换律，结合律.2.平面向量与空间向量. 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.巩固提升：1.下列说法中正确的是( ) 《A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC 2．判断下列说法是否正确：（1）零向量没有方向 ( )(2)零向量的方向不确定，所以任何两个零向量不相等（）（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量（）：（4）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同（）(5)对于空间任意两个向量，它们可能共面，也可能异面（）3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1DD AB BC -+化简后的结果是（） A. 1BD B.1D B C ．1B D D.1DB4. 如图所示 a ，b 是两个空间向量，则AC 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．空间向量及其加减运算:制作：王志刚审核：贾秋福学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．复习引入讲授新课：1．空间向量的数乘运算 (1) 数乘向量：结果实数λ与空间向量a 的乘积是一个_____ λ的范围方向关系模的关系λ>0 】方向_____λa 的模是a 的模的_______ λ=0 λa=0,其方向是任意的 λ<0方向_____(2)运算律:①分配律:λ(a+b)=________; ②结合律:λ(μa)=________. 2．空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系如何判定它们的位置关系新知：（1）空间向量的共线：如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.(2) 空间向量共线： ,定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是》试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线. 3.空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b 有怎样的位置关系空间三个向量又有怎样的位置关系[新知：(1)共面向量：同一平面的向量.(2). 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有$￥试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式111236OP OA OB OC=++,则点P与A,B,C共面吗/反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OP xOA yOB zOC=++,且点P与A,B,C共面，则x y z++=.典例精析：例1：化简：1．（1）5（32a b-）+4（23b a-）；⑵()()63a b c a b c-+--+-.-2．(2014·上海高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=EF,则等于()11A.AA AB AD22111B.AA AB AD222111C.AA AB AD266111D.AA AB AD366''''＋＋＋＋＋＋＋＋解析：【变式1：如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C.12a－12b＋c D．－12a－12b＋c ,.2ABCD AC O OA OB OC OD 例　如，已知平行四形，平面外一作射，，，，在四射上图边过点线条线、变式2：已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝__________.课堂小结：1。

精品导学案：空间向量及其运算

精品导学案：第三章间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算知识点一空间向量概念的应用给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ; ④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；与A 1C 1→与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→；④真命题．向量的相等满足递推规律；⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.答案 C知识点二空间向量的运算化简：（ -）- ( -)解方法一（AB -CD ）-(AC -BD )=AB -CD -AC +BD =AB +DC +CA +BD =（AB +BD ）+（DC +CA ）=AD +DA =0。

方法二（AB -CD ）-(AC -BD )=AB -CD -AC +BD=（AB -AC ）+（DC -DB ）=CB +BC =0。

在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，BC 、CD ，BM ，DM 和。

解如图所示=+=d -b, =BA +=c -b,=+AD =d -c,DM =21(+)=21(b -d+c -d)= 21(b+c -2d), AQ =AD +DQ =d+32DM ,=d+31( b+c -2d)=31(b+c+d).知识点三证明共线问题已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =32CD .求证：四边形EFGH 是梯形. 证明 ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点所以 AE =21AB ,AH =21AD , =AH -=21 -21=21(-)=21=21（CD -CB ）=21{32CG -32CF } =43（）=43,∴四边形EFGH 是梯形. 知识点四证明共面问题正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点. 证明：向量A 1，B 1，是共面向量.证明方法一如图所示.=+1BA +A 1=21B 1 -A 1+2111D A - =21（C B 1 -B A 1）。

3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)

设点),(y x P 按向量),(k h a平移后得到点),(y x P ，则OP u u u r ＝OP uuu r +a 或.,k y y h x x ，曲线)(x f y 按向量),(k h a平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y(6)正、余弦定理正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a 余弦定理：A bc c b a cos 2222bca cb A 2cos 222B ac a c b cos 2222cab ac B 2cos 222C ab b a c cos 2222abc b a C 2cos 222 .二、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示. 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）OB OA AB a b u u u r u u u r u u u r v rBA OA OB a b u u u r u u u r u u u r r r ()OP a R u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a⑵加法结合律：)()(c b a c b a⑶数乘分配律：b a b a)(C BAOb b baa aC'B'A'D'DABC。

3.1空间向量及其运算教学设计教案

3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

空间向量及其运算导学案

《空间向量及其运算》导学案班级：____________ 组别：________________ 姓名：______________【学习目标】1.掌握向量的加法、减法法则，理解平行四边形法则与三角形法则.2.掌握向量的数乘运算，理解空间向量数乘的几何意义.3.理解直线的方向向量，掌握共线向量、共面向量的概念，并会判定共线向量和共面向量.【学习重难点】重点：空间向量的有关概念，空间向量的加、减、数乘运算及其几何意义，共线向量和共面向量的判定方法.难点：如何判断共线向量和共面向量.【学习情景设置】一块均匀的正三角形面的钢板质量为500kg ，在它的顶点处分别受力F 1、F 2、F 3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，这样的力F 1、F 2、F 3是什么量？【知识链接】问题1：空间向量的有关概念有哪些？问题2：你能说出空间向量的加、减、数乘运算的运算法则及满足的运算律吗？问题3：什么是共线向量？什么是共面向量？你能说出有关的定理吗？（1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________，则这些向量叫作共线向量或平行向量.读作a 平行于b .记作a ∥b .共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使_________.（2）共面向量：通常把_________于同一平面的向量，叫作共面向量. 共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，p 与向量b a ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对),(y x ，使____________.问题4：什么是直线的方向向量？三点共线的条件是什么？四点共面的条件是什么？（1）如果l 为经过已知点A 且________已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式ta OA OP +=，其中向量a 叫作直线l 的____________.（2）A 、B 、P 三点共线，则OP =________.当21=t 时，点P 是线段AB 的_______，则)(21OB OA OP +=. （3）M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对y x ,，使_________，或对空间任一定点O ，有___________或___________.【学习过程】问题1：下列各式中，化简后等于0的是（）A.CD BC AB ++B.DC DA BC AB -++C.DC BD CB AB +++D.DA DC BC AB ---问题2：设非零向量c b a ,,，若||||||c c b b a a p ++=，则|p |的取值范围是（） A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[3-，3]问题3：已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，c AA b BC a AB ===1,,，则c b a ++的模等于__________.问题4：请回答“学习情景设置”中的问题.【典例剖析】例1：如图，已知平行六面体D C B A ABCD ''''-，化简下列向量表达式，并在几何体中标出化简结果的向量.（1）BC AB +；（2）A A AD AB '++；（3）C C AD AB '++21；（4）)(31A A AD AB '++变式：已知平行六面体D C B A ABCD ''''-，求证：C A D A B A AC '='+'+2例2：已知A 、B 、C 三点不共线，对平面外任一点O ，点P 满足OB OA OP 5251+=OC 52+，那么点P 与A 、B 、C 三点是否共面？变式：对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，问满足向量式OC z OB y OA x OP ++=（其中1=++z y x ）的四点P 、A 、B 、C 是否共面？例3：有下列命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量c b a ,,共面，则它们所在直线也共面；③若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使a b λ=；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OC OB OA OM 313131++=，则点M 一定在平面ABC 内.其中真命题的是____________（填序号）变式：已知A ，B ，C 三点不共线，D 在平面ABC 内，且对空间任意一点O ，存在三个实数n m ,,λ，使OD OC n OB m OA =++λ，求n m ++λ的值.【基础达标】1.在平行六面体D C B A ABCD ''''-中，与向量A A '相等的向量（不含A A '）的个数是（）A.1B.2C.3D.42.给出下列命题：①若|a |=|b |，则b a =；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若c b b a ==,，则c a =；④b a =的充要条件是|a |=|b |，其中正确命题的序号是_________.3.已知两个非零向量21,e e 不共线，如果212182,e e AC e e AB +=+=，2133e e AD -=.求证：A 、B 、C 、D 四点共面.【反思小结】______________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算教案新人教A版选修2_1

3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养．1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB→，其模记为|a|或|AB→|．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aAB→的相反向量：BA→相等向量相同相等a＝b3空间向量的运算加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b减法CA→＝OA→－OC→＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考1：(1)空间中，a，b，c为不共面向量，则a＋b＋c的几何意义是什么？(2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？ [提示] (1)以a ，b ，c 为相邻棱的平行六面体的体对角线．(2)任意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似．4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a ． 5．共线向量和共面向量 (1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb ．③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →． (2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →．思考2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条：AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1．]2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c C [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c ．]3．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0．]4．在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AF →－12(AB →＋AC →)的化简结果为________．EF → [12(AB →＋AC →)＝AE →，AF →－12(AB →＋AC →)＝AF →－AE →＝EF →．]空间向量的有关概念【例①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ．其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．](2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→．与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→．]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. (2)注意点：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.[跟进训练]1．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] (1)与向量AB →相等的向量有A 1B 1→，DC →，，D 1C 1→，共3个； (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个； (3)|AC 1→|2＝22＋22＋12＝9，所以|AC 1→|＝3．空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②A 1N →； ③MP →＋NC 1→．思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解． (2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解． (1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→，对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→，对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→，对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．](2)解：①∵点P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b ，②∵点N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ，③∵点M 是AA 1的中点，∴MP →＋NC 1→＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＋NC →＋CC 1→＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c ．1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．[解] (1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →，由向量加法的平行四边形法则可得PO →＝12(PC →＋P A →)，∴OP →＝－12PC →－12P A →，∴OQ →＝PQ →＋OP →＝PQ →－12PC →－12P A →，∴x ＝－12，y ＝－12．(2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO →＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →， ∴x ＝2，y ＝－2．共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________．(2)如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为A 1C 上一点，且A 1O ＝23A 1C →，BD 与AC 交于点M ．求证：C 1，O ，M 三点共线．思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解． (2)用向量AB →，AD →，AA 1→分别表示MO →和MC 1→．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2．设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1．](2)解：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MO →＝MC →＋CO →＝12AC →＋13CA 1→＝12(AB →＋AD →)＋13(CA →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋13(CB →＋CD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →－13AD →－13AB →＋13AA 1→ ＝16AB →＋16AD →＋13AA 1→＝16a ＋16b ＋13c ， MC 1→＝MC →＋CC 1→＝12AC →＋AA 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→，＝12a ＋12b ＋c ，∴MC 1→＝3MO →，又直线MC 1与直线MO 有公共点M ， ∴C 1，O ，M 三点共线．1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b ．(2)判断向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DA [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b 所以AD →＝3AB →．又直线AB ，AD 有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．](2)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c ．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．向量共面问题[1．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →．(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)P A →∥BC →．2．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c ．因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，即p ，m ，n 不共面．【例4】如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：向量MN →，CD →，DE →共面．思路探究：可通过证明MN →＝xCD →＋yDE →求证．[证明] 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →．所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →．又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．1．利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．2．证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．[跟进训练]4．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)，因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →．故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2．四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1．3．OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．4．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．5．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．1．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >cB [对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．]2．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ A [①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A ．] 3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________． 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝⎛⎭⎫12＋103－3a ＋⎝⎛⎭⎫1－52＋6b ＋⎝⎛⎭⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c ．] 4．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ．试用a ，b ，c 表示B 1M →，C 1M →．[解] B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－a ＋c ＋12AC →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c ，C 1M →＝C 1B 1→＋B 1M →＝D 1A 1→＋B 1M → ＝－b －12a ＋12b ＋c＝－12a －12b ＋c ．。

3.1空间向量导学案

鹿邑二高导学案高二年级数学学科编写人：紫气东来审核人：-----备课组长签字：课题：3.1.1课时：1本期总课时：3.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学过程：Ⅰ.复习引入复习平面向量的基础知识：1、的量叫向量．向量的表示方法有：①用线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的字母：AB．2、的向量叫相等向量.二、1、向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a ；当λ＜0时，λa 与a ；当λ＝0时，λa ＝ . 向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb预习课本p84－85页新知识.空间中具的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是．空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB +；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．⒈课本P86，1、2、 ⒉预习课本P86～P87，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？ ⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？鹿邑三高导学案高二年级数学学科编写人：朱永波审核人：刘雪纯备课组长签字：毛新正课题：3.1.2 课时：2 本期总课时：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解： 1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

高中数学《空间向量及其加减法运算》导学案 (2)

第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减法运算一、学习目标 1.理解空间向量的有关概念； 2.掌握空间向量的加减运算法则及运算律；【重点、难点】重点：空间向量的有关概念及其加减运算的运算法则；难点：空间向量的加减运算在空间几何体中的应用；二、学习过程【复习回顾】知识点1:平面向量的概念问题1.（1）向量的概念是什么？（2）向量如何表示？（3）什么是向量的长度？（4）有哪些特殊的向量？问题2.平面向量的加减法运算法则是什么？【探究新知】1. 空间向量（1）定义：在空间，把具有和的量叫做空间向量；（2）长度：向量的叫做向量的长度或；（3）表示法：⎧⎨⎩几何表示法：用表示；字母表示法： . 2. 几类特殊向量(1)零向量：的向量叫做零向量，记为0.(2)单位向量：的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向且模的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度而方向的向量，称为a 的相反向量，记为2．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 【典型例题】例1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．① 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；② 单位向量都相等；③ 任一向量与它的相反向量不相等；④ 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤ 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥ 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.例2．如图所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，M 为11AC 与11B D 的交点，化简下列向量表达式．（1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2111D A ；（3）1AA +2111B A +11D A ；（4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;例3. 在平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=【变式拓展】1. 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC2. 已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式:(1)';AA CB - (2)'''''AB B C C D ++3. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段.（1） AB ＋AD →＋1AA ;；（2）11AB CC DD +-;.三、总结反思1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a b -表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．四、随堂检测 1．判断下列各命题的真假：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．在三棱柱ABCA′B′C′中，AC →与A′C′→是________向量；AB →与B′A′→是________向量．3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD + BC DA +的结果为________．4. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN = 1()2AB CD +。

高中数学 3.1空间向量及其运算学案苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

第3章空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律．A B C O M N G (8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．2．预习提纲(1)回顾平面向量的相关知识：①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共线向量)?⑤什么是相等向量? ⑥什么是相反向量?⑦平面向量共线定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道吗?(2)请你填一填：①对平面内任意的四点A ，B ，C ，D ，则AB BC CD DA +++= ； ②设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==且，则C 、D 的坐标分别是____________； ③已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = ；④若三点(1,1),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x = ____________；⑤已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++的模等于____________；⑥已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = ； ⑦等腰Rt ABC ∆中，2,AB AC AB BC ==⋅则= ；⑧已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，则()a b c ⋅的值= ____________； ⑨63,1,9a b a b ==⋅=-，则a 与b 的夹角是____________；⑩已知,a b 是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+则与的夹角= ____________．(3)研读教材P71—P833．典型例题例1 如图，已知四面体OABC ，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG ．解：23OG OM MG OM MN =+=+ 121211()[()]232322111111()233633OA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+-=++-=++-=++ ∴OC OB OA OG 313161++= 点评：若变题为已知OG xOA yOB zOC =++，求,,x y z ﹒则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组),,(z y x 知111,,633x y z ===．例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=(其中1x y z ++=)．试问：,,,P A B C 四点是否共面? 解：由OC z OB y OA x OP ++=可以得到AC z AB y AP +=(见教材P75)由,,A B C 三点不共线，可知AB 与AC 不共线，所以AP ，AB ，AC 共面且具有公共起点A ．从而,,,P A B C 四点共面．点评：若,,M A B 三点不共线，则空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对,x y 使得：MB y MA x MP +=，或对空间任意一点O 有：MB y MA x OM OP ++=．例3 已知空间四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 中点，求证：1()2EF AB DC =+．证明：(法一)如图， 0EF FC CD DE +++=，0EF FB BA AE +++=，两式相加得： 2()()()EF FC FB CD BA DE EA ++++++，20EF BA CD =++= 所以，11()()22EF BA CD AB DC =-+=+，得证． (法二)如图，在平面上任取一点O ，作OE 、OF ， ∵1()2OE OA OD =+，1()2OF OB OC =+， ∴11()()22EF OE OF OB OC OA OD =-=+-+ 111()()()222OB OA OC OD AB DC =-+-=+．点评：若表示向量1a ，2a ，…，n a 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则210n a a a +++=．这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便．例4 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．BA B F分析：OA 与BC 的夹角即为OA 与BC 的夹角，可根据夹角公式求解．解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅，所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为35-．点评：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>= ．例5 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积．分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅来求面积解：∵(1,2,2)AB =-，(2,0,3)AC =--，∴2||13AB ==，||(AC =-=(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=，∴cos cos ,||||3AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>==⋅⨯ 213sin sin ,1cos ,A AB AC AB AC =<>=-<>=，∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=．例6 已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)C ，求满足//DB AC ，//DC AB 的点D 的坐标．分析：已知条件//DB AC ，//DC AB ，也即//DB AC ，//DC AB ，可用向量共线的充要条件处理．解：设点(,,)D x y z ，∴(,1,)DB x y z =---，(1,0,2)AC =-，∵//DB AC ，∴DB AC λ=，∴(,1,)(,0,2)x y z λλ---=-，∴102x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，∴12x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴(,1,2)D λλ-，∴(,1,22)DC λλ=--+，(1,1,0)AB =-，又∵//DC AB ，∴设DC u AB =，∴(,1,22)(,,0)u u λλ--+=-，∴1220u u λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩∴1u λ==-，所以，D 点坐标为(1,1,2)-．点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法．4．自我检测(1)已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为____________．(2)设(2,6,3)a =-，则与a 平行的单位向量的坐标为． (3)已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=，则||a b -的最小值是．(4)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c ．则M B 1= ．(用a ，b ，c 表示)﹒(5)已知四边形ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为．(6)设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-，若c ma nb =+，则t = ，m n += ．(7)已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==，则向量a b +与a b -的夹角是．三、课后巩固练习A 组1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：(1)AB BC CD ++；BC DMG A(2)1()2AB BD BC ++； (3)1()2AG AB AC -+． 2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，设→---AB =a ，→---AD =b ，→---1AA =c ，E 、F 分别是AD 1、 BD 中点，试用a 、b 、c 表示下列向量：(1)→---B D 1；(2)→---AF ；(3)→---C D 1；(4)→---EF ．3．正方体OASB CQRP -中，→--OA = i ，→--OB =j ，→--OC =k ，→--OP =a ，→--OQ =b ，→--OS =c ，设→z =λa ＋μb ＋γc ，则→z = i ＋ j ＋ k ．4．设a 、b 、c 不共面，2,,453m a b n b c p a b c =-=+=--，判断m 、n 、p 是否共面．5﹒已知空间四边形ABCD ，AB a =，AC b =，AD c =，点M 在AB 上，且2AM MB =，N 为CD 中点，试用,,a b c 表示MN ．B 组6．已知,,A B C 三点不共线，O 为空间任意一点，若111333OM OA OB OC =++，试证：点M 与,,A B C 共面．7．证明四点()()()()1,0,1,4,4,6,2,2,3,10,14,17A B C D 在同一平面上．8．已知()()3,1,5,1,2,3a b ==-，若9,4a c b c ⋅=⋅=-，且→c 垂直于Oz 轴，求→c ．9．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，求：(1)()a b c ⋅+； (2)()()23a b b c -⋅+； (3)()()4332a b c a b c -+⋅+-．10．已知直角坐标系内的a 、b 、c 的坐标，判断这些向量是否共面?如果不共面，求出以它们为三邻边所作的平行六面体的表面积：(1)()()()3,4,5,1,2,2,9,14,16a b c ===；(2)()()()3,0,1,4,3,0,1,2,2a b c =-=-=--．11．已知()()322,0,4,2,1,2,2,4,a b c a c b θ-=-=-⋅==为,b c 夹角，求cos θ．12．已知()()1,0,2,2,1,0a b =--=--(1)求a 与b 夹角余弦值的大小； (2)若21c =，且c 分别与,a b 垂直，求c ．13. 平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求1AC 的长． 14．已知()()()1,2,3,2,1,5,3,2,5A B C --，求：(1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高．15．空间两个不同的单位向量()(),,0,,,0OA p q OB r s ==，都与()1,1,1OC =成4π角． (1)分别求出p q +和pq 的值；(2)若AOB ∠为锐角，求AOB ∠．四、学习心得五、拓展视野N 维向量空间的起源宇宙，一个人类永远的话题，也是人类永远探索的目标．“没人确切的知道宇宙是怎么开始的．有人推论是一场无序的灾难性爆炸使无尽的世界群不断旋转向黑暗--这些世界随后有了不可思议的生命形态和天差地别的炯异．也有人相信宇宙是被某个强大实体以整体形式创造出来的．”宇宙，是一个空间概念．它包括行星，星系等实体．宇宙同时也是一个时间概念．现代有人解释宇宙为“无限的空间与时间”，正好印证了中国的一本古书<淮南子>对宇宙的定义，其中说“四方上下谓之宇，古往来今谓之宙”． “四方上下”概括了所有空间， "古往来今"则概括了部分的时间．为什么说是部分的时间呢? “古往来今”的含义是从永远的过去到现在的今天．这样的定义没有把从现在到无限的未来包括进来．如果我们把时间用一个变量 t 表示．那么“古往来今”则表示的是 t 在负无穷大到零的区间，即(-∞， 0]，如果我们设定坐标零点为现在，负方向代表过去，正方向代表将来．对于无限的空间的定义(即，时间 t 从永远的过去到永远的将来)，就成为了(-∞，＋∞)．那么空间呢?同样我们可以用坐标系的方式来定义空间．问题的关键就在于，我们怎么看待我们生存的空间．我们不是生活在一个2维的平面上(而古代的中国人认为地是方的，就如同我小时候想得一样．)，而是生活在一个类似于球体的物体上．这样，很多人会说，我们生活在一个3维空间里面．这样一个3维空间由三个坐标轴 X ， Y ， Z 组成．在这样一个3维空间中，任何一个位置p都可以用三个数(x ， y ， z )表示，x 为位置p 在X 轴上的取值(也是投影)，同理，y 和z 也是．同时，这三条坐标轴是正交的．何谓正交，就是三条坐标轴互相垂直．在这个3维空间中，我们有两点111,,)P y z 1（x (可能是伦敦)和2222,,)P x y z （(可能是巴黎)，从1P 到2P 之间(伦敦到巴黎)的最小距离(直线距离)为D=||1P -2P ||=sqrt((1x -2x )2＋(1y -2y )2＋(1z -2z )2)．在一般情况，因为各种限制，我们可能用不了最小距离，但是最小距离给我们找到一个下限．宇宙不仅包括空间，而且包括时间，所以，我们的这个宇宙就变成了3＋1=4维的了．那么宇宙就可以描述为(),,,x y z t ，有了四条正交的坐标轴,,,X Y Z T ．比如说事件A 为(),,,x y z t 表示，事件A 发生在(),,x y z 地点，发生在t 时间．在这样一个4维空间中，两个事件之间的最小距离也可以表示出来．但是这个“距离”就不是空间上的相对位置的改变，而是表示两个事件之间的“关系”．跳出我们仅仅对宇宙作为时间＋空间的定义．如果我们将宇宙描述为包容万象的，我们就会看到仅仅用时间＋空间不能来完整来表示．比如说，如何表述一个人?如何表述我们情感?仅仅用四条坐标轴很难去表述这些东西．显然，我们需要更多的坐标轴．如果要表示我是高兴还是悲伤，我们可以加一条坐标轴e ，e=0表示我即不高兴也不悲伤，当e 取负值，越远离坐标原点，说明我越不happy ，相反，当e 取正值，越远离坐标原点，说明我越happy ．如果我们要描叙其他的属性，我们有加入了新的坐标轴．如果，要描述的属性不计其数，要加入的坐标轴也不计其数了．显然，这是有可能的，因为我们对事物的认识是没有止境的，所以，当我们要描叙一个事物时，其属性可能无限多．这也反过来说明了宇宙的包容一切．所以，宇宙是一个无限维的空间，定为n 维空间(n=∞)，其存在n 条正交的坐标轴．无数的基本元素组成了宇宙(注意，这里的元素与化学中提到的元素不同，这里的元素是指单元)．每个元素是一个向量v ， v = {v1， v2， v3，．．．， vn}， n =∞，(其实就相当于3维和2维空间中的一个点)．无数个向量组成的空间叫做向量空间．向量空间的维度就是坐标轴的个数．宇宙就是一个n 维向量空间3．1 空间向量及其运算1．略 2．(1) c b a -- (2) )(21b a + (3)c a - (4))(21c a - 3．μ+r ，λ+r，λ+μ4．共面，n m p 32-= 5、211322MN a b c =-++；6．略 7． AD ＝2AB ＋3AC 8．设c ＝（x ，y ，0），3x ＋y ＝9且x ＋2y ＝－4， c ＝（522，－521，0） 9． (1) 0 (2)- 2 (3) 710． (1) 共面 (2)不共面 S = 11．－41 12．（1）52；（2）（－2，4，1）或（2，－4，－1） 13. 6 14．（1）321；（2）3615．（1）26、41；（2）3。

(完整word版)选修2-1第三章空间向量及其运算(精品课程导学案)

§3。

1。

1空间向量及其加减运算班级:高二（）班姓名: 学号：三维目标:知识与技能:理解空间向量及其相关概念;理解空间向量加减法的含义。

过程与方法：会判断两向量是否相等,是否相反；会对两向量进行加减运算。

情感与价值观：通过学习，体会空间向量与平面向量的异同，学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物.学习重难点:重点：空间向量加减法难点：空间向量与平面向量的不同点学习过程：【课前热身】1．作出平面向量-+及向量。

归纳:向量加法：首尾相连，由始至终；向量减法：起点重合，终点反向.2．填空：=++ ； =+- ；=++ ;【探索新知】学点一：空间向量的有关概念与平面向量一样，在空间，把具有和的量叫做空间向量。

空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的，向量表示起点是 ,终点是 .||表示向量的规定,长度为0的向量叫做 ,记为。