高等数学(同济五版)-第四章-不定积分-练习题册
高等数学 第四章不定积分课后习题详解.doc
第4章不定积分
内容概要
课后习题全解
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1)
思路: 被积函数5
2
x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5
322
23x dx x C --==-+⎰
★(2)dx
-
⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）
★(4)3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 1
1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2
21x dx x +⎰
思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22
2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习
5
5
5
=
1 5
e5x
sin
4x
4 5
e5x
5
cos4x
e5x
5
d(cos4x)
= 1 e5x sin 4x 4 e5x cos4x 16 e5x sin 4xdx ,
5
25
25
移项合并，得 e5x sin 4xdx 1 e5x (5sin 4x 4 cos4x) C . 41
（5）
1 5
6
（2） 2 x dx 2 x C . ln 2
（3） e x1dx e e xdx ee x C e x1 C .
（4） (cos x sin x)dx cosxdx (sin x)dx sin x cosx C .
1
（5）
2 dx 2 1 x2
1 1 x2
习作题一
1. 已知曲线 y f (x) 过点（0，0）且在点（ x, y ）处的切线斜率为 k 3x2 1 ，求该
曲线方程.
解：依题意，y k 3x2 1，故 y (3x2 1)dx x3 x C ，又 y(0) 0 ，故 C 0 ，
从而曲线方程为 y x3 x .
2. 计算下列不定积分：
(6) x arctan 2xdx .
4
解：（1） ln 2xdx x ln 2x xd(ln 2x)
高等数学 第五版 上册
y = f (x)
f (x)
-x o 偶函数 x
f (x)
x
29
设D关于原点对称, 对于x ∈ D, 有
f ( x) = f ( x), 称 f ( x)为奇函数 .
y
y = f (x)
f (x)
-x o
f (x)
x
x
奇函数
30
(4) 函数的周期性 函数的周期性:
f D 设函数 ( x)的定义域为 , 如果存在一个不为零的
C = {x x2 3x + 2 = 0}, 则 A= C. =
不含任何元素的集合称为空集 不含任何元素的集合称为空集. (记作) 空集 例如, 例如 { x x ∈ R, x + 1 = 0} =
2
空集为任何集合的子集. 规定 空集为任何集合的子集
5
2. 集合的运算 .
设 A, 是两集合,则 B
交 A∩ B {x | x ∈ A且x ∈B} : 并 A∪ B {x | x ∈ A或x ∈B} : 差 A \ B {x | x ∈ A且x B} : 补 余):AC I \ A, ( 其中I为 全集
6
运算律:
(1)交换律 A∩ B = B ∩ A A∪ B = B ∪ A (2)结合律 ( A∪ B) ∪C = A∪(B ∪C) ( A∩ B) ∩C = A∩(B ∩C) (3)分配律 ( A∪ B) ∩C = ( A∩C) ∪(B ∩C) ( A∩ B) ∪C = ( A∪C) ∩(B ∪C) (4)对偶律 ( A∪ B) = A ∩ B
大学高等数学B(1)第四章 不定积分自测题(A)
不定积分自测题（A)
一、判断题
1. 在区间I 上，函数)(x f 的一个原函数称为函数)(x f 在区间I 上的不定积分.（ × ）
2. 若函数()f x 在（a,b ）上连续，则()f x 在（a,b ）上有原函数. (√ )
3. 函数的原函数若存在则必有无数个. （ √ ）
4. 已知
(arcsin )x π'+=，则⎰π+=-x dx x arcsin 112．（ × ）
5．ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数．（ √ ）
二、选择题
1. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为常数，则（ D ）也是)(x f 的一个原函数。
（A ）、)(C x F +； （B ）、)(Cx F ； （C ）、)(x CF ； （D ）、)(x F C + 2. 设()f x 可导，则（ C ）
(A)、()()f x dx f x =⎰ (B)、()()f x dx f x '=⎰
(C)、(())()f x dx f x '=⎰ (D)、(())()f x dx f x C
'=+⎰ 3. 如果()f x =cos x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为( D ).
A. cos x +1
B. -cos x + C
C. cos x + C
D. sin x +C
4．若()f x 的一个原函数是2x ，则不定积分2()d xf x x =⎰
（ D ）． (A) 3x C +； (B) 4x C +； (C) 5x C +； (D) 412
x C +． 5. 若,u v 都是x 的可微函数，则udv ⎰
高等数学(同济第6版习题课4-1)
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
x＋
C．
３
x２
１
－ ２x２
＋
x－
１ ２
dx
∫ ∫ ∫ ＝
３
１
x２ dx － ２ x２ dx ＋
x－
１ ２
d
x
＝
２ ５
５
x２
－
４ ３
３
x２
１
＋ ２ x２
＋
C．
∫ ∫ ∫ （１３）
２ex
＋
３ x
dx ＝ ２
exd x ＋ ３
dx x
＝
２ex
＋
３ln｜ x｜
＋
C．
∫ ∫ ∫ （１４）
３ １ ＋ x２
－
２ １ － x２
１
x －
x都是
１的 x － x２
《高等数学第五版》(黄立宏)(上)第4章习题详解附答案
习题4-1
1. 利用定义计算下列定积分： 定积分 定积分的概念
定积分的定义
(1) d ();b a
x x a b <⎰ 10
(2)e d .x x ⎰
解：(1)将区间[a , b ]n 等分，分点为()
, 1,2,,1;i i b a x a i n n
-=+=-L 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b a
x n
-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==L 则得和式
2
1
1
()2(1)
()[()]()2n
n
i i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑
∑ 由定积分定义得
220
1
22()(1) d lim ()lim[()]21
().
2
n
b
i i a
n i b a n n x x f x a b a n
b a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑
⎰
(2) 将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==-L 记每个小区间长度1,i x n
∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==L 则和式
1
1
1()i
n
n
n
i i i i f x e
n
ξ==∆=∑
∑ 1
21
011
11111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)
lim
lim 1e e 11
e (e 1)1lim e 1.1
i n
n x
n n n n n n i n n n n
n n n n n x n n n n
n n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰L
高等数学_第四章习题课
lna( sinxbco sx)C2
1
I
[xlna(sinxbcoxs)]C
a2 b2
Ja2
1 b2
[xlna(sinxbcoxs)]C
例11 求[f(x)f2(x)f(x)]d.x
f(x) f3(x)
解 原式 f(x)f2(x f) 3(x f)2(x)f(x)dx
ff((x x))f2(x) f2 f((x x))f(x)dx
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
5、第一类换元法
定 理 1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1.f(xn1)xnd;x 3. f(lnx)dx;
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R(x,nax b) R(x,n axb) cxe
解决方法：作代换去掉根号．
令 tna xb;
令t n axb; cxe
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
解 原式
(3)x
2 ( 3)2 x
dx 1
1 3
ln
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲
⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲
⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提
纲
第⼀章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限第⼆章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算
第三章微分中值定理与导数的应⽤：熟练掌握本章的实际应⽤，研究函数的性态，证明相关不等式
第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，尤其要⽤凑微分以及⼀些需⽤⼀定技巧的函数类型第五章定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，有变限函数参与的各种运算
第六章定积分的应⽤：掌握定积分的实际应⽤
第七章空间解析⼏何和向量代数：熟练掌握本章的实际应⽤
⾼等数学（1）期末复习要求
第⼀章函数、极限与连续函数概念
理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。
2．函数的性质
知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的⽅法。
3．初等函数
了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。
4．建⽴函数关系
会列简单应⽤问题的函数关系式。
5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。
6．极限四则运算
掌握⽤极限的四则运算法则求极限. 7．⽆穷⼩量与⽆穷⼤量
了解⽆穷⼩量的概念、⽆穷⼩量与⽆穷⼤量之间的关系，⽆穷⼩量的性质。 8．两个重要极限
了解两个重要极限，会⽤两个重要极
限求函数极限。
9．函数的连续性
了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；
会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；
知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的⼏个性质
高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
第四章 不定积分
一、学习要求
1、理解原函数与不定积分的概念及性质。
2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。
二、练习
1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A.'()()f x dx f x =⎰ B.()()df x f x =⎰ C.()()d f x dx f x dx =⎰
D.[()]()d f x dx f x =⎰ 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2
x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）；
A. 2x e -
B. 22x e --
C. 24x e --
D. 24x e -
4．''
()xf x dx =⎰（ C ）.
A.'()xf x C +
B. '()()f x f x C -+
C. '()()xf x f x C -+
D. '()()xf x f x C ++. 5
．将化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3
t B. 4t C. 7t D. 12t 6.dx = 1/7 ()73d x -，
2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，219dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1
33x e c ++.
8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ⎰为()f x C +.
高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1)
⎰
思路: 被积函数52
x
-
=，由积分表中的公式（2）可解。
解：
53
2
2
23x dx x C --==-+⎰
★(2)
dx
-
⎰
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+⎰⎰⎰⎰
★(3)22
x
x dx +⎰
（）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++⎰
⎰⎰（）
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰
★★(5)422331
1x x dx x +++⎰
思路:观察到422
22
3311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：422
32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2
21x dx x +⎰
思路:注意到
22222
111
1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：22
21
arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰
第四章___不定积分
第四章第1页第四章不定积分讲授内容§4-1不定积分的概念与性质教学目的与要求1、理解不定积分的概念理解不定积分与微分之间的关系. 2、掌握不定积分的性质会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分. 3、熟练掌握常用积分公式. 教学重难点重点——理解的概念与性质熟练掌握常用积分公式. 难点——不定积分的公式熟练掌握. 教学方法讲授法教学建议1、加深对原函数、不定积分的理解. 2、对15个积分公式要进行大量练习. 3、求不定积分一定注意不能漏C . 学时2学时教学过程第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题本章将讨论它的反问题即要寻求一个可导函数使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一. 一原函数与不定积分的概念1. 定义如果在区间I上函数Fx和fx使得F′xfx 或dFxfxdxx∈I. 称Fx为fx或fxdx在区间I上的原函数. 如sincosxx则cosx是sinx 的一个原函数. 第四章第2页1lnxx1x是lnx的一个原函数问ln2x是否是1x的原函数.
2. 定理原函数的存在定理连续函数必有原函数.即: 如果fx在I上连续则在I上必有Fx 使得: F′xfx. x∈I. 注①初等函数在定义区间上必有原函数但原函数并非都是初等函数. ②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件不连续的函数也可能有原函数.
3. 两个原函数的关系如果Fx为fx在区间I上的一个原函数则FxC为fx的原
函数. 因为FxC′fx 如果Fx和Gx为fx的两个原函数则有FxGxC. 因为Fx-Gx′0 FxGxC. 4. 定义在区间I上函数fx的带有任意常数项的原函数称为fx 或fxdx在I上的不定积分记为xxfd. 即∫ fxdxFxC. 其中∫为积分符号fx为被积函数fxdx为被积表达式x为积分变量. 注①不定积分∫fxdx可以表示fx的任意一个原函数. ②C 不能去掉5. 函数fx的原函数Fx的图形称为fx的积分曲线. 6. 微分与积分的关系: 1 dxfxxf 或xxfxxfddd. 2 CxFxxFd或dFxFxC. 例1 求2xdx 第四章第3页解Cxdxxxx333223 例2 求dxx1 解当xgt0时由于lnx′1/x ∫1/xdxlnxC. 当xlt0时由于ln-x′1/x ∫1/xdxln-xC. 因此∫fxdxlnxC x≠0 例3 设曲线通过点12且其上任意一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线方程. 解设所求曲线方程为yyx由题义有y′x2x y12. y′x2x
高等数学练习册（1-5章）带答案
高等数学习题册
（上册）
目录
习题1-1 函数 (1)
习题1-2 常用的经济函数 (5)
习题2-1 极限 (9)
习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)
习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)
习题2-4 函数的连续性 (21)
习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)
第二章综合题 (29)
第二章自测题 (36)
习题3-1 导数概念 (40)
习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)
习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)
习题3-3 高阶导数 (52)
习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)
习题3-5 函数的微分 (60)
习题3-6 边际与弹性 (64)
第三章综合题 (68)
第三章自测题 (74)
习题4-1 中值定理 (78)
习题4-2 洛必达法则 (82)
习题4-3 导数的应用（一） (86)
习题4-3 导数的应用（二） (90)
习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)
习题4-5 泰勒公式 (98)
第四章综合题 (100)
第四章自测题 (104)
习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)
习题5-2 换元积分法（一） (112)
习题5-2 换元积分法（二） (116)
习题5-3 分部积分法 (120)
习题5-4 有理函数的积分 (122)
第五章综合题 (124)
第五章自测题 (128)
微积分（上）模拟试卷一 (134)
微积分（上）模拟试卷二 (138)
参考答案 (142)
习题1-1 函数
厦门理工学院高数练习题答案(五版)第4章高数
3 x
2 2 t 三、1、 e dx 3 x t te dt tde t 9 9 2 t 2 t 2 t 2 3 x t ( te e dt ) te e C e (3 x 1) C 9 9 9 9
2、( x 2 1)sin 2 xdx x 2 sin(2 x )dx sin(2 x )dx 1 2 1 1 2 x dcos(2 x ) sin(2 x )d(2 x ) [ x cos(2 x ) 2 2 2 1 2 3 x x cos(2 x ) 2 xdx ] cos(2 x ) ( )cos(2 x ) sin(2 x ) C 2 8 4 2 2
sec 2 t sec3 t dt cos tdt
sin t C
3、 x dx a2 x2
高等数学课后习题答案--第四章不定积分
第四章不定积分
典型例题解析
例1 求下列不定积分．
（1）2dx
x x ⎰． （2）3(1)(1)x x dx +-⎰．
分析利用幂函数的积分公式1
11
n n x dx x C n +=++⎰求积分时，
应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式．
解（1）532
2512
25
2121()3
dx x dx x C x C x x
--+-==
+=-++-⎰
⎰． （2）353
12222323122(1)(1)(1)353
x x dx x x x dx x x x x C +-=+--=+--+⎰⎰．
例2求2
1()x dx x
+⎰． 分析 将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．
解 122211()(2)x dx x x dx x x
+
=++⎰⎰1221
2x dx x dx dx x =++⎰⎰⎰ 3
2314ln 33
x x x C =+++． 例3
求下列不定积分．
（1）2523x x
x
e dx ⋅-⋅⎰．
（2）422331
1
x x dx x +++⎰．
分析 （1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．
解
（1）2
2()5()2522332()5()3331ln 3ln 2ln 3
x x
x
x
x x x e e e dx dx dx C ⋅⋅⋅-⋅=-=-+--⎰⎰⎰． （2）422
32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰． 例4求下列不定积分．
【精品】第四章 不定积分
第四章不定积分
讲授内容：§4-1不定积分的概念与性质
教学目的与要求：
1、理解不定积分的概念，理解不定积分与微分之间的关系.
2、掌握不定积分的性质，会用常见不定积分公式和不定积分性质
求一些不定积分.
3、熟练掌握常用积分公式.
教学重难点：重点——理解的概念与性质;熟练掌握常用积分公式.
难点——不定积分的公式熟练掌握。
教学方法:讲授法
教学建议：
1、加深对原函数、不定积分的理解.
2、对15个积分公式要进行大量练习。
3、求不定积分一定注意不能漏C.
学时:2学时
教学过程:
第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题,本章将讨论它的反问题，即要寻求一个可导函数,使它的导函数等于已知函数.这是积分
学的基本问题之一.
一原函数与不定积分的概念
1.定义：如果在区间I上,函数F(x)和f（x),使得:
F′(x)=f(x)或dF（x)=f(x)dx，x∈I。
称F(x)为f（x)(或f(x）dx）在区间I上的原函数。
'=，则cos x是sin x的一个原函数.
如：(sin)cos
x x
1(ln )x x '=，1x 是ln x 的一个原函数,问ln 2x 是否是1x
的原函数。 2. 定理（原函数的存在定理）：连续函数必有原函数。即：
如果f （x ）在I 上连续,则在I 上必有F (x ），使得:
F ′（x )=f （x ). x ∈I .
注:①初等函数在定义区间上必有原函数，但原函数并非都是初等函数.
②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件,不连续的
函数也可能有原函数。
3. 两个原函数的关系
如果F（x）为f(x）在区间I上的一个原函数,则F（x)+C为f（x)的原函数。
同济大学(高等数学)-第四章-不定积分
第四章 不定积分
前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及根本的积分方法．
第1节 不定积分的概念与性质
1.1 不定积分的概念
在微分学中，我们讨论了求一个函数的导数〔或微分〕的问题，例如，变速直线运动中位移函数为
()s s t =， 那么质点在时刻t 的瞬时速度表示为
()v s t '=．
实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度
()v v t =，
求出质点的位移函数
()s s t =．
即函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．
1.1.1原函数
定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有
()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．
例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),
x x x
=>所以ln x 是
1
x
在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．
定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
一、求下列不定积分：
1．dx x x ⎰
． 2．⎰x
x
dx
2
．
3．⎰-dx x 2
)2(． 4．⎰-dx x
x 2
)1(
5．⎰
+++dx x x x 1133224． 6．⎰+dx x x 2
2
1．
7．⎰⋅-⋅dx x
x
x 3
2532． 8．⎰-dx x x x )tan (sec sec ．
二、一曲线通过点)3,(2
e 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．
第二节 换元积分法
35 / 8
一、填空题：
1．=dx )37(-x d ． 2．=xdx )5(2
x d ．
3．=dx x 3 )23(4
-x d ． 4．=-
dx e x 2
)1(2
x e d -
+．
5．=xdx 23sin
)23(cos x d ． 6．=x
dx
|)|ln 53(x d -． 7．
291x dx + )3(arctan x d ． 8．=-21x
xdx )1(2
x d -． 9．
⎰=dx x x )(')(φφ ．
10．若
⎰+=C x F dx x f )()(则⎰=)()]([x dg x g f ．
二、选择题(单选)： 设)(x f 为 可导函数，则：
(A)
()C x f dx x f +='⎰)2()2(； (B) ()C x f dx x f +='
⎰)2(2)2(； (C)
())2()2(x f dx x f ='
⎰； (D) C x f dx x f +='⎰)2()2(．
答：( )
三、求下列不定积分：
1．⎰-dx x 3
)23(． 2．⎰
-3
32x
dx
．
3．⎰
⋅xdx x 210
sec tan ． 4．⎰
x
x dx
cos sin ．
5．⎰
-dx xe
x 2
． 6．dx x
x ⎰
-2
32．
36 / 8
7．⎰-dx x x 4
313． 8．⎰dx x x
3cos sin ．
9．⎰
--dx x x 2
491． 10．⎰
-1
22
x dx
．
11．⎰
xdx 3
cos ． 12．⎰+x dx
21．
13．)0(2
2
2>-⎰
a x
a dx x ． 14．)0(1
2
>-⎰
x x x dx ．
第三节 分部积分法
一、求下列不定积分： 1．⎰
xdx ln ．
37 / 8
2．⎰
xdx arcsin ． 3．⎰-xdx e x
cos ．
4．⎰
xdx x 2
tan ． 5．⎰-dt te t
2．
6．⎰
xdx 2
ln ．
7．⎰xdx x x cos sin ． 8．⎰
dx e x
3．
9．⎰
dx x )cos(ln ．
二、已知)(x f 的一个原函数为x x ln )sin 1(+，求⎰
'dx x f x )(．
第四节 有理函数的积分
一、求下列不定积分：
1．⎰+dx x x 3
3
．
38 / 8
2．⎰
+--dx x x x 5
42
32．
3．⎰
+)
1(2
x x dx
． 4．
⎰
+4x
x dx
．
二、用所学过的方法计算下列不定积分： 1．⎰--x x e e dx ． 2．⎰+dx x x
x 4sin 1cos sin ．
3．⎰
+)
4(6
x x dx ． 4．⎰xdx x 2
cos ． 5．⎰dx x x sin ． 6．⎰
-1
2
2
x x
dx ．
第四章自测题
一、填空题(每小题4分，共24分)： 1．
⎰=++dx x x x
sin cos 1 ．
39 / 8
2．
=-⎰x dx
21 ．
3．=-⎰dx x
x 4
3
13 ． 4．
=⎰dx x x
3cos sin ．
5．=⎰
xdx 2
ln ．
6．切线斜率为x 2，且过原点的曲线方程为 ．
二、选择题(单选)(每小题4分，共12分)：
1．下列命题正确的是：
(A) 连续偶函数的原函数必为奇函数； (B) 有理函数的原函数仍为有理函数； (C) 初等函数的原函数仍为初等函数； (D) 可导函数)(x f 是)(x f '的原函数．
答：( )
2．设)(x f 为可导函数，则下列答案正确的是： (A)
)()(x f dx x f =
⎰； (B)
)()(x f dx x f ='⎰；
(C)
())()(x f dx x f ='
⎰； (D) ()C x f dx x f +='
⎰)()(．
答：( )
3．设)0(1)(2
>=
x x
x f ，则⎰dx x f )(等于：
(A) C x +2； (B) C x +ln ； (C) C x +2； (D)
C x
+1
． 答：( )
三、试解下列各题(每小题7分，共49分)： 1．⎰-dx x x
3)1(．