§20.1第一型曲线积分

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高等数学-第七版-课件-20-1 第一型曲线积分

2 2
π
0
a 3 π.
数学分析第二十章曲线积分
高等教育出版社
§1 第一型曲线积分
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的计算
例2 设 L 是 y 2 4 x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段(图20-2),
试计算第一型曲线积分 L yds . 解
y
A
y2 4 x

L
yds
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i ) 2 ( i )t i ,
这里 ti 1 i, i ti .

L
f ( x , y )ds f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t )dt (3)
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的计算
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若 f i ( x , y )ds( i 1, 2, , k ) 存在, ci ( i 1, 2, , k )
L
为常数, 则 L ci f i ( x , y )ds 也存在, 且
则有
f ( , )s
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (4)
令 t max{t1 , t2 ,, tn }, 则当 T 0 时, 必有 t 0. 下面证明 lim 0.
数学分析第二十章曲线积分
§1 第一型曲线积分
本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分 . 此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.

数学分析课件第一型曲线积分

保守力场与势函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
详细描述
保守力场是指一种特殊的力场，其中存在一个势函数，使得力场沿任意路径的积分等于势函数在该路径起点和终点的差值。这种力场的特点是，物体在其中运动时，其路径与起点无关，只与势函数有关。因此，保守力场与势函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
流量与流速场
速度场与线积分
总ห้องสมุดไป่ตู้词
速度场与线积分在物理中有着密切的联系，它们描述了物体在空间中移动的规律。
详细描述
在物理中，速度场指的是物体在空间中移动的速度分布。线积分则用于计算在给定路径上的速度场中，物体所经过的位移量。因此，速度场与线积分共同描述了物体在空间中的运动轨迹和规律。
保守力场与势函数
总结词
积分路径的无关性
曲线积分与路径无关的条件
如果对于某个函数f(x,y)，有 ∮L[Pdx+Qdy]=0，则称曲线积分 ∫[a,b]Pdx+Qdy与路径无关。
证明方法
通过构造一个新的函数F(x,y)，并证明F(x,y) 满足偏微分方程组{∂F/∂y=Q, ∂F/∂x=-P}，
从而证明曲线积分与路径无关。
总结词
流量与流速场是描述流体运动的数学工具。
详细描述
流量是指单位时间内流过某一截面的流体量，而流速场则描述了流体在空间中的流动速度分布。在流体力学中，流速场和流量是描述流体运动的两个重要参数，它们之间存在密切的联系和相互影响。通过对流速场和流量的研究，可以深入了解流体运动的规律和特性。
05
第一型曲线积分的性质与定理
如果曲线由参数方程$x=x(t), y=y(t)$表示，其中$t$是参数，则该曲线称为参数曲线。
参数的选择

数学分析课件第一型曲线积分

定义：将曲线上的点与直角坐标系中的点一一对应，将曲线积分的计算转化为直角坐标系中的定积分计算。
适用范围：适用于曲线方程为参数方程形式的情况。
计算步骤：首先将参数方程转换为直角坐标系中的普通方程，然后利用定积分的计算方法进行计算。
注意事项：在转换过程中需要注意参数方程与直角坐标系中的普通方程之间的对应关系，以及定积分的计算方法和技巧。
第一型曲线积分第二型曲线积分方向性几何意义
物理应用：计算曲线形构件的质量、重心、惯性矩等
经济应用：计算曲线形资产的净现值、投资回报率等
添加标题
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工程应用：求解曲线形构件的静力学问题和动力学问题
计算机图形学应用：绘制光滑曲线、曲面等
参数方程的建立参数方程的消元参数方程的代入参数方程的化简
添加文档副标题
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：曲线积分是函数在曲线上的积分，用于计算曲线长度、面积等
性质：曲线积分满足线性性质，即对于两个函数的和或差的积分等于它们各自积分的和或差
方向性：曲线积分具有方向性，即沿着曲线的正向或负向积分结果不同
奇偶性：对于奇函数或偶函数在曲线上的积分，结果具有奇偶性
内容1：第一型曲线积分的
性质
内容2：第一型曲线积分的
定理
内容3：第一型曲线积分与第二型曲线积
分的区别
内容4：第一型曲线积分的
应用
第一型曲线积分的性质：与路径无关第一型曲线积分的性质：对称性第一型曲线积分的性质：可加性第一型曲线积分的定理证明：通过定义和性质推导定理

第一型曲线积分的定义

第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。

本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。

一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。

设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。

第一类曲线积分计算

第一类曲线积分计算【原创实用版】目录一、曲线积分的概述二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程2.圆参数方程3.一般曲线参数方程三、第一类曲线积分的应用实例正文一、曲线积分的概述曲线积分是一种数学工具，用于计算空间曲线上的向量场在某一段曲线上的积分。

它可以用来求解物理量，如质点在曲线路径上的速度、加速度等。

曲线积分分为两类，本篇主要介绍第一类曲线积分的计算方法。

二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程假设有一条直线 L，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为直线上的点。

我们可以通过以下步骤计算直线 L 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在直线 L 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算直线 L 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

2.圆参数方程假设有一个圆 C，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为圆上的点。

我们可以通过以下步骤计算圆 C 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在圆 C 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算圆 C 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

3.一般曲线参数方程对于一般的曲线，我们可以将其参数方程表示为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为曲线上的点。

我们可以通过以下步骤计算一般曲线上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在曲线上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算曲线上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算第一类曲线积分是指对于一条空间曲线上的标量函数$f(x,y,z)$的积分。

通常情况下，计算第一类曲线积分可以分为参数化和积分两个步骤。

首先，我们需要用参数化的方式将曲线表示出来。

设曲线为$C$，则$C$可以用参数方程$\vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$来表示，其中$t$为曲线上的参数。

有了曲线的参数方程，我们可以得到曲线的切向量$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\fr ac{dz}{dt})$和曲线的长度$dS=|\vec{T}(t)|dt$。

然后，我们可以对函数$f(x,y,z)$在曲线$C$上进行积分，即：$$\int_Cf(x,y,z)ds=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))|\vec{T}(t)|dt$$其中$t_0$和$t_1$为曲线的参数范围。

如果曲线参数化时是按照弧长进行的，则有$dS=dt$，积分式可以简化为：$$\int_Cf(x,y,z)ds=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))dt$$接下来，我们来看一个计算第一类曲线积分的例子。

例：计算函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在曲线$C$：$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$，$0\leq t \leq \pi$上的积分。

解：首先，我们需要将曲线$C$进行参数化。

由于$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$，所以可得：$$\vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, 2t)$$其中$0\leq t \leq \pi$。

其切向量为：$$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(-\sin t, \cos t, 2)$$其长度为：$$|\vec{T}(t)|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+2^2}= \sqrt{6}$$因此，积分式为：$$\begin{aligned} \int_C f(x,y,z)ds & = \int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))|\vec{T}(t)|dt \\ & = \int_0^\pi (\cos^2 t + \sin^2 t + (2t)^2)\sqrt{6} dt\\ & = \int_0^\pi (4t^2 + 1)\sqrt{6} dt\\ & =\sqrt{6}\int_0^\pi 4t^2 dt + \sqrt{6}\int_0^\pi dt\\ & =\sqrt{6}(\frac{4}{3}\pi^3 + \pi) \approx 68.2525 \end{aligned}$$因此，函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在曲线$C$：$x=\cos t$,$y=\sin t$, $z=2t$，$0\leq t \leq \pi$上的积分为约为$68.2525$。

一型曲线积分

一型曲线积分
一型曲线积分是指对一个曲线上的函数进行积分。

一型曲线积分常用于计算曲线的长度、质量、动量等物理量。

一型曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后近似地计算每段的积分值，再将这些积分值相加得到整个曲线的积分值。

具体而言，设曲线为C，参数方程为x=f(t)，y=g(t)，t的取值范围为[a,b]。

则曲线上的函数可以表示为F(x(t),y(t))，其中F 为一个定义在曲线上的函数。

将曲线C分成n个小段，第i个小段的起点坐标为(x_i, y_i)，终点坐标为(x_i+1, y_i+1)，曲线上的函数值为F(x_i, y_i)。

对于每个小段，可以计算出其长度ds_i，然后将其与F(x_i,
y_i)相乘得到积分项dS_i = F(x_i, y_i) * ds_i。

将所有小段的积分项相加得到整个曲线的积分值：
∫(C) F(x,y) ds = ∑(i=1→n) F(x_i, y_i) * ds_i
当n趋向于无穷大时，这个和的极限就是曲线C上函数F(x,y)的一型曲线积分值。

在实际计算中，常常使用参数方程给出的曲线上的函数
F(x(t),y(t))和曲线上的元素长度ds计算曲线积分。

具体的计算方法则因具体情况而异，可以采用代换法、分部积分等技巧。

第一类曲线积分

第一类曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。

曲线积分分为第一类和第二类曲线积分，本文将重点讨论第一类曲线积分的概念、性质和应用。

首先，我们来了解一下第一类曲线积分的定义。

设曲线C是由参数方程。

\begin{cases}。

x=x(t)\\。

y=y(t)。

\end{cases}。

给出，其中a≤t≤b。

函数f(x, y)在曲线C上有定义，那么我们定义函数f(x, y)在曲线C上的第一类曲线积分为。

\int_C f(x,y)ds=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt。

其中ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt表示曲线元素。

从定义可以看出，第一类曲线积分实质上是函数f(x, y)沿着曲线C的弧长的积分，因此也常被称为弧长积分。

接下来，我们来探讨一下第一类曲线积分的性质。

首先是线性性质，即对于任意的常数α、β，以及在曲线C上有定义的函数f(x, y)和g(x, y)，有。

\int_C (αf(x,y)+βg(x,y))ds=α\int_C f(x,y)ds+β\int_C g(x,y)ds。

这个性质使得我们可以将曲线积分拆分成多个部分进行计算，从而简化计算过程。

其次是路径无关性质，即如果曲线C可以由两条不同的曲线C1和C2组成，且函数f(x, y)在C1和C2上有相同的积分，那么曲线C上的积分也相同。

这个性质在实际问题中有着重要的应用，可以简化对曲线积分的计算。

最后是保号性质，即如果函数f(x, y)在曲线C上恒大于等于0（或恒小于等于0），那么曲线积分也大于等于0（或小于等于0）。

除了这些性质，第一类曲线积分还有着一些重要的应用。

其中最重要的应用之一就是计算曲线上的质量、质心和转动惯量。

在物理学和工程学中，我们经常需要计算曲线上分布的质量，并根据质量分布计算质心和转动惯量，这时就需要用到曲线积分。

数学分析第二十一章课件曲线积分与曲面积分

k f(x ,y ,z )d s k f(x ,y ,z )d s
» A B
» A B
(4) f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s
» A B
» A C
C » B
2020/6/1
例1
设L 是椭圆
x2 a2
y b
2
在2 第1 一象限部分，
f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z x ,y )1 z x 2 x ,y z 2 y x ,y d x d y
S
D x y
2020/6/1
当 S : x x ( u , v ) ,y y ( u , v ) , z z ( u , v ) , ( u , v ) D 时
第二十一章曲线积分与曲面积分
2020/6/1
i §1. 第一型曲线积分与曲面积分
背景：前面，求几何体的质量 1.第一型曲线曲、面积分
我们的问题是,设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度, 如何
求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B又设
密度函数f (x, y, z) 在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.
说明 1）公式的记忆：“代进去”
2）S的方程为xxy,z,y,zDyz或 y yz,x, z,xDzx 时公式如何
3）当 f(x,y,z)1时，为曲面S的面积公式
4)当光滑曲面S由参数方程：x x u ,v ,y y (u ,v ),z (u ,v ),u,vD
时面积元素 ds EGF2dudv 这时
f( x ,y ,z ) d s f( x ( u ,v ) ,y u ,v ,z u ,v )E G F 2 d u d v

第一类曲线积分定义

第一类曲线积分定义曲线积分是数学分析中的一种重要概念，可以用来描述曲线上某个向量场的沿曲线的累积效应。

在曲线积分的研究中，第一类曲线积分是最基本的一种形式，它的定义及其性质对于理解和研究其他类型的曲线积分都具有重要意义。

本文将介绍第一类曲线积分的定义、计算方法和一些基本性质。

一、第一类曲线积分的定义设C为一条光滑曲线，P(x,y)为C上的任意一点，f(x,y)为定义在C上的标量函数，则在C上对f(x,y)的第一类曲线积分定义如下：∫Cf(x,y)ds其中ds表示曲线C上的一个长度微元，即ds=√[dx²+dy²]。

该式的意义为将曲线C分为若干小段，对每一小段上的f(x,y)进行积分求和，然后将这些积分结果相加得到整条曲线上的积分值。

二、第一类曲线积分的计算方法对于一些简单的曲线如直线、圆弧等，可以通过参数方程或直接计算弧长来求出曲线的长度微元ds。

但是对于复杂的曲线，曲线长度的计算则需要借助曲线积分进行。

下面介绍两种求解第一类曲线积分的常用方法。

1.参数化计算法将曲线C表示为x=x(t)，y=y(t)，t∈[a,b]的参数方程形式，则有：ds=√[dx²+dy²]=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt因此，第一类曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y)ds=∫bf(x(t),y(t))√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt2.直接计算法对于一些对称的曲线如圆、椭圆等，可以使用极坐标或直角坐标变换将曲线简化为较为简单的形式。

例如，对于以原点为中心，半径为r的圆弧C，我们可以使用x=rcos(θ)，y=rsin(θ)的参数方程表示曲线C，然后计算曲线C上的积分。

三、第一类曲线积分的基本性质1. 可加性：若C可以表示为C1和C2的组合，即C=C1+C2，则有∫Cf(x,y)ds=∫C1f(x,y)ds+∫C2f(x,y)ds2. 线性性：对于任意实数a,b和定义在曲线C上的标量函数f(x,y)和g(x,y)，有∫C(af(x,y)+bg(x,y))ds=a∫Cf(x,y)ds+b∫Cg(x,y)ds3. 保号性：若曲线C的方向与正方向相同时，当f(x,y)>0时，∫Cf(x,y)ds>0；当f(x,y)<0时，∫Cf(x,y)ds<0。

高等数学第20章第1节第一型曲线积分

第二十章曲线积分以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上函数的积分．本章将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分．1、第一型曲线积分的定义df 1 (P197) 设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数．对曲线作分割T，它把分成n个可求长度的小曲线段，的弧长记为，分割T 的细度为，在上任取一点(,若存在极限且的值与分割T及点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作（1）1 定义注：1）注意与定积分定义的相似性（上册P201 df1-df3）2) 称为积分和例（P197第6－17行）设某物体的密度函数f（P）是定义在上的连续函数．当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量，现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段（i=1，2，…，n)，并在每一个上任取一点P由于f（P）为上的连续函数,故当的弧长都很小时，每一小段的质量可近似地等于f（P）,其中为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式当对的分割越来越细密(即)时,上述和式的极限就应是该物体的质量．注：1）若上例中的是空间中某一可求长度的曲线段时, 线段上的物体的质量可由第一型曲线积分（2）求得。

df 1*(P197)若为空间可求长曲线段，为定义在上的函数，则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分为，(此处为的弧长,, 为一常数),并且记作（2）2)由上面看到,求具有某种物质的曲线段的质量，与求直线段的质量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的．2性质关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述一些重要性质，下面列出平面上第一型曲线积分的的性质. 1)．若存在，为常数，则也存在，且 2)．若曲线段由曲线首尾相接而成，且都存在，则也存在，且3)．若与都存在，且在上则 4)．若存在，则也存在，且 5)．若存在，的弧长为s，则存在常数c,使得这里注：1）性质5)类似与第一积分中值定理(上册P217 Th9.7)2) 对于空间第一型曲线积分的性质，读者可自行仿此写出。

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i ni i P f ∆Ω∑=1)(.当对Ω有分割越来越细密(即d=i ni ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是该物体的质量.定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i ni i i T s f ∆∑=→1),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰∑=L ki i ids y x f c1),(=∑⎰=ki Li i ds y x f c 1),(.2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL ds y x f ),((i=1,2,…,k)都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=ki L i ids y x f 1),(.3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x g ),(.4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(.5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L≤c ≤),(sup y x f L.6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是⎰Lds y x f ),(.二、第一型曲线积分的计算定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'ii t t dt t t 1)()(22ψϕ.由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有△s i =)()(22i i τψτϕ''+''△t i (t i-1<i τ'<t=t i )，∴i ni i i s f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni i i t f ∆''+''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ (t i-1<i τ',i τ''<t=t i ). 设σ=[]i i i i i n i i i t f ∆'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτϕτψτϕτψτϕ，则有in i iis f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni iit f ∆'''+'''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ+σ.令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n }，则当T →0时，必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续，∴在[α,β]上有界，即存在常数M ，使对一切t ∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψϕ'+'在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即 ∀ε>0, ∃δ>0，使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτϕτψτϕ'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=∆ni i t 1=εM(β-α)，即σlim 0→∆t =0. 又由定积分的定义，得i i i ni i i t t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim221τψτϕτψτϕ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 故⎰Lds y x f ),(=in i iit s f ∆∑=→∆1),(limηξ=i i i ni iit t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim 221τψτϕτψτϕ+0lim →∆t σ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22.注：1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+ba dx x x x f )(1))(,(2ψψ.2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+dc dy y y y f )(1)),((2ϕϕ. 3、对空间曲线积分⎰L ds z y x f ),,(，当曲线L 由参量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t), t ∈[α,β]表示时，有⎰Lds z y x f ),,(=⎰'+'+'βαχψϕχψϕdt t t t t t t f )()()())(),(),((222. 4、由第一型曲线积分的定义，在Oxy 平面上，线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y 轴的转动惯量分别为：J x =⎰L ds y x y ),(2ρ和J x =⎰L ds y x x ),(2ρ.例1：设L 是半圆周⎩⎨⎧==t a y ta x sin cos , t ∈[0,π]，试计算第一型曲线积分⎰+Lds y x )(22.解：⎰+L ds y x )(22=⎰++π022222222cos sin )sin cos (dt t a t a t a t a =⎰π03dt a =a 3π.例2：设L 是y 2=4x 从O(0,0)到A(1,2)的一段，试求第一型曲线积分⎰L yds . 解：⎰L yds =⎰+20241dy yy =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++202241412y d y =202324134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y =)122(34-.例3：计算⎰L ds x 2，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x+y+z=0所截得的圆周.解：由对称性知，⎰L ds x 2=⎰L ds y 2=⎰L ds z 2，∴⎰L ds x 2=⎰++L ds z y x )(31222=⎰L ds a 32=33πa .例4：求线密度ρ(x,y)=21xy +的曲线段y=lnx, x ∈[1,2]对于y 轴的转动惯量.解：J x =⎰L ds y x x ),(2ρ=⎰+Lds x y x 221=⎰++21222111ln dx xx x x =⎰21ln xdx x =ln4-43.习题1、计算下列第一型曲线积分：(1)⎰+L ds y x )(, 其中L 是以O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形； (2)⎰+L ds y x 22, 其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆22a x +22by =1在第一象限中的部分；(4)⎰L ds y ||, 其中L 为单位圆周x 2+y 2=1；(5)⎰++L ds z y x )(222, 其中L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=bt(0≤t ≤2π)的一段；(6)⎰L xyzds , 其中L 是曲线x=t, y=3232t , z=21t 2(0≤t ≤1)的一段； (7)⎰+L ds z y 222, 其中L 为x 2+y 2+z 2=a 2与x=y 相交的圆周. 解：(1) ⎰+L ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO dsy x )( =⎰10xdx +⎰102dx +⎰10ydy =1+2.(2)右半圆的参数方程为：x=Rcos θ, y=Rsin θ, -2π≤θ≤2π. ∴⎰+L ds y x 22=⎰-222ππθd R =πR 2.(3)方法一：∵y=22x a a b-, y ’=22xa a bx -, ∴⎰L xyds =⎰-+-adx x a a x b x a x a b 02222222)(1=⎰--adx x b a a a b 0222242)(2=)(3)(22b a b ab a ab +++.方法二：L 的参数方程为：x=acos θ, y=bsin θ,0≤θ≤2π.∴⎰L xyds =⎰+202222cos sin sin cos πθθθθθd b a ab=⎰-++-2022222cos 2cos 2)(224πθθd a b b a ab =)(3)(22b a b ab a ab +++. (4)方法一：圆的参数方程为：x=cos θ, y=sin θ,0≤θ≤2π， ∴⎰L ds y ||=⎰πθθ0sin d -⎰ππθθ2sin d =4. 方法二：∵|y|=21x -, (|y|)’=21xx --,∴⎰L ds y ||=2⎰--+-11222111dx x x x=2⎰-11dx =4. (5)⎰++L ds z y x )(222=⎰++π2022222)(dt b a t b a =2232b a +π(3a 2+4π2b 2).(6)x ’=1, y ’=t 2, z ’=t,∴⎰L xyzds =⎰++⋅⋅102232121232dt t t t t t =⎰+129)1(32dt t t =143216. (7)依题意，L 的参数方程可表示为：x=y=2a cos θ, z=asin θ, 0≤θ≤2π，∴⎰+L ds z y 222=⎰πθ202d a =2a 2π.2、求曲线x=a, y=at, z=21at 2(0≤t ≤1, a>0)的质量，设线密度为ρ=az 2. 解：⎰L ds a z 2=⎰+10222dt t a a t =⎰+102212dt t a =)122(3-a.3、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，设其质量分布均匀.解：∵dx=dt t a t a 2222sin )cos 1(+-=2asin 2t dt ，m=2a ρ0⎰π02sin dt t=4a ρ0.∴质心坐标为x=⎰-πρ002sin 2)sin (1dt t a t t a m =⎰-π0)2sin sin 2sin (2dt t t t t a =34a;y=⎰-πρ002sin 2)cos 1(1dt t a t a m =34a .4、若曲线以极坐标ρ=ρ(θ) (θ1≤θ≤θ2)表示，试给出计算⎰L ds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线的积分： (1)⎰+L y x ds e22, 其中L 为曲线ρ=a (0≤θ≤4π)的一段； (2)⎰L xds , 其中L 为对数螺线ρ=ae k θ (k>0)在圆r=a 内的部分. 解：L 的参数方程为x=ρ(θ)cos θ, y=ρ(θ)sin θ, (θ1≤θ≤θ2)，ds=θθθd d dy d dx 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθρθρd )()(22'+，∴⎰L ds y x f ),(=⎰'+21)()()sin ,cos (22θθθθρθρθρθρd f .(1)⎰+L y x ds e22=⎰40πθd ae a =4πae a . (2)⎰L xds =a ⎰∞-+022222cos θθθθθd e k a e a e k k k=a 2⎰∞-+022cos 1θθθd ekk =1412222++k k ka .注：∵⎰∞-02cos θθθd e k =⎰∞-02cos 21θθk de k =⎰∞-∞-+202sin 21cos 21d e ke kk k θθθθ=θθk e d k k 202sin 4121⎰∞-+=⎰∞--022cos 4121θθθd e kk k ； ∴⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+022cos 411θθθd e k k =k 21，即⎰∞-02cos θθθd e k =1422+k k .5、证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L: x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]上连续，则存在点(x 0,y 0)∈L ，使得⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L ，其中△L 为L 的弧长. 证：∵f 在光滑曲线L 上连续，∴⎰L ds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαdt t y t x t y t x f )()())(),((22.又f(x(t),y(t))与)()(22t y t x '+'在[α,β]上连续，由积分中值定理知， ∃t 0∈[α,β]，使⎰L ds y x f ),(=f(x(t 0),y(t 0))⎰'+'βαdt t y t x )()(22= f(x(t 0),y(t 0))△L. 令x 0=x(t 0), y 0=y(t 0), 则(x 0,y 0)∈L, 且⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L.。

第一型曲线积分

第一型曲线积分第一型曲线积分是微积分中一个重要的概念，用于计算曲线上的函数与曲线弧长之间的关系。

它在物理学、工程学以及数学等领域中都有广泛的应用。

本文将为您详细介绍第一型曲线积分的相关内容。

首先，我们需要明确什么是第一型曲线积分。

第一型曲线积分也被称为曲线上的函数积分，是将一个函数沿着曲线路径进行积分的过程。

其数学表示为∫f(x,y)ds，其中f(x,y)为函数，ds表示曲线上的微小弧长。

在计算第一型曲线积分时，我们需要确定积分路径的参数方程。

常见的参数方程有参数方程表示法、极坐标方程和向量值函数方程。

通过确定参数方程，我们可以将曲线上的函数与弧长联系起来，并进行积分运算。

接下来，我们将详细介绍第一型曲线积分的计算方法。

计算第一型曲线积分的一般步骤如下：1. 确定积分路径的参数方程。

根据题目给出的信息，选择合适的参数方程描述曲线路径。

2. 计算弧长微元ds。

根据参数方程求得弧长微元ds的表达式。

3. 将函数f(x,y)表示为参数的形式。

将参数方程中的x和y表示为参数的函数形式。

4. 将函数f(x,y)与弧长微元ds进行乘积运算。

将步骤3中的函数形式代入弧长微元表达式中，得到被积函数与弧长微元的乘积。

5. 对被积函数与弧长微元的乘积进行积分。

将步骤4中得到的乘积函数进行积分运算，得到第一型曲线积分的结果。

除了以上计算步骤，我们还需要注意以下几点：1. 曲线的方向：在计算第一型曲线积分时，需要注意曲线的定向。

如果曲线是定向的，则与定向相反的方向计算的积分结果会有所不同。

2. 曲线的参数变换：有时候在计算第一型曲线积分时，可能需要对参数进行变换，以便更方便地进行积分计算。

3. 曲线的分段计算：如果曲线是由多个路径组成的，可以将整个曲线分成若干个路径进行计算，然后将每个路径的积分结果相加得到整个曲线的积分结果。

总之，第一型曲线积分是计算曲线上函数与弧长之间关系的重要工具。

通过确定积分路径的参数方程，计算弧长微元，将函数与弧长微元进行乘积运算，并进行积分，我们可以得到曲线上函数的积分结果。

第一型曲线积分几何意义

第一型曲线积分几何意义摘要：一、引言二、第一型曲线积分的基本概念1.定义2.性质三、第一型曲线积分的几何意义1.面积分2.线积分四、应用实例1.求解曲面的面积2.求解空间曲线的长度五、结论与展望正文：一、引言在数学领域，曲线积分是一种重要的积分形式，它具有广泛的应用。

根据积分的形式和性质，曲线积分可分为第一型和第二型。

本文将主要探讨第一型曲线积分的几何意义及其应用。

二、第一型曲线积分的基本概念1.定义第一型曲线积分是对曲线上的点进行积分，它的一般形式如下：∫(C)f(x,y,z)ds，其中C为空间曲线，f(x,y,z)为空间函数，ds为曲线C上的微小元。

2.性质第一型曲线积分具有以下性质：（1）线性性：对于任意两个函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，有∫(C)f(x,y,z)ds + ∫(C)g(x,y,z)ds = ∫(C)(f(x,y,z) + g(x,y,z))ds。

（2）可积性：若f(x,y,z)在曲线C上连续，则∫(C)f(x,y,z)ds存在。

（3）参数不变性：对于曲线C上的参数变换，积分结果不变。

三、第一型曲线积分的几何意义1.面积分第一型曲线积分可以表示为曲面上的面积分。

例如，设曲面S由参数方程表示：x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)，其中(u, v)为参数。

则曲面S的面积为：A = ∫(S)ds = ∫(∫(S_udu)d v)dv，其中ds = dxdu + dydv + dzdv，S_udu表示曲面S上微小元在u方向上的微分。

2.线积分第一型曲线积分还可以表示为空间曲线的长度。

例如，设空间曲线C由参数方程表示：x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)，其中t为参数。

则曲线C的长度为：L = ∫(C)ds = ∫(√(dx + dy + dz)dt)，其中ds = dxdt + dydt + dzdt。

四、应用实例1.求解曲面的面积假设一个曲面S由参数方程表示：x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。

第一型曲线积分

第二十章曲线积分§1 第一型曲线积分教学目的：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式教学重点：第一型曲线积分的计算. 教学难点：第一型曲线积分的计算公式. 教学过程一、引言金属曲线的质量问题设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C 上的点(x,y)处的密度为(,)p x y ,试问该曲线的质量是多少?用微分分析来处理之,若p 均匀,则好处理: m=p(C).a) 分割:设曲线C 端点为A,B,从A 到B 依次插入121,,,n A A A -,这样曲线C就分成了一些小弧段.把1i i A A -（0,n A A A B ==）的弧长记为,1,2,,i S i n∆=,在每一小弧段数1i i A A -上都任取一点(,)i i p ξη.显然,当i S ∆很小时, 1i i A A -的质量mi 近似等于(,)i i i p S ξη∆.从而整个金属曲线C 的质量m:b) 作和: m=∑=mi m 1i ∑=≈mi i i p 1),(ηξSi ∆c) 取极限:令s=max Si ∆,则m=lim ∑=ni i i p 1),(ηξSi ∆上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分.抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质（一）、第一类曲线积分的定义定义设L 为平面上可求长度的曲线段，()y x f ,为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L （n i ,,2,1 =），i L 的弧长记为i s ∆，分割T 的细度为in i s T ∆=≤≤1m a x ，在i L 上任取一点()i i ηξ,（n i ,,2,1 =）．若有极限()∑=→∆ni iiiT sf 1,limηξ=J ，且J 的值与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关，则称此极限为()y x f ,在L 上的第一型曲线积分，记作()dsy x f L⎰,．（二）、第一型曲线积分的性质（1）若()dsy x f Li⎰,（n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则()ds y x f c L n i ii ⎰∑=1,=()dsy x f c ni Lii ∑⎰=1,.（2）若曲线段L 由曲线21,L L …n L ，首尾相接而成，()dsy x f iL ⎰,都存在，则()dsy x f L⎰,也存在，且()ds y x f L⎰,=()dsy x f ni L i∑⎰=1,.（3）若()ds y x f L⎰,，()dsy x g L⎰,都存在，且在L 上()()y x g y x f ,,≤，则()ds y x f L⎰,≤()dsy x g L⎰,.（4）若()dsy x f L ⎰,存在，则()dsy x f L⎰,也存在，且()ds y x f L⎰,≤()dsy x f L⎰,.（5）若()dsy x f L⎰,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得()dsy x f L⎰,=c s ，这里()()y x f c y x f LL,max ,inf ≤≤.三、第一类曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线L ：()()[]βαψϕ,,,∈⎩⎨⎧==t t y t x ， ()y x f ,为定义在上的连续函数，则()dsy x f L⎰,=()()()()()⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f 22, . (3)证明由弧长公式知道，L 上由1-=i t t 到i t t =的弧长,=∆i s ()()⎰-'+'ii t t dtt t 122ψϕ，由()()t t 22ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有=∆i s ()()i i i t ∆''+''τψτϕ22()i i i t t <'<-τ1，所以()∑=∆n i iiis f 1,ηξ=()()()()()ini i i it f ∆''+''''''∑=122,τψτϕτψτϕ，这里()i i i i t t ≤'''≤-ττ,1．设=σ()()()()()()()ii i ni i i it f ∆'''+'''-''+''''''∑=][,22122τψτϕτψτϕτψτϕ，则有()∑=∆n i iiis f 1,ηξ=()()()()()ini i i it f ∆'''+'''''''∑=122,τψτϕτψτϕ+σ， (4)令{}11,,m ax n t t t ∆∆=∆ ，则当0→T 时，必有0→∆t ．现在证明0lim 0=→∆σt .因为复合函数()()()t t f ψϕ,关于t 连续，所以在闭区间[]βα,上有界，即存在常数M ，使对一切t ∈[]βα,都有 ()()()M t t f ≤ψϕ,，()()()()ετψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，再由()()t t 22ψϕ'+'在[]βα,上连续，所以它在[]βα,上一致连续，即对任给的0>ε，必存在0>δ，使当δ<∆t 时有()()()()ετψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，从而()∑=-=∆≤ni i a b M t M 1εεσ, 所以0lim 0=→∆σt .再由定积分定义()()()()()ini i i i t f ∆''+''''''∑=122,τψτϕτψτϕ=()()()()()⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f 22,，因此当在(4)式两边取极限后，即所要证的式.当曲线L 由方程()[]b a x x y ,,∈=ψ表示，且()x y ψ=在[]b a ,上有连续导函数时，(3)式成为 ()()()⎰'+badxx xt x f 21,ψψ.注：1. 小参数值作下限，大参数值作上限．1.上述公式可能为在替换)().().(t z z t y y t x x ===下积分ds z y x f c⎰),,(的变形.2.注意: =ds3. 利用弧长公式:把第一类曲线积分化为定积分计算.4.特别地,如果曲线C 为一光滑的平面曲线,解为 y=)(x ϕ ),(b x a ≤≤ 那么有⎰⎰+=dx x x x f ds y x f c)(1)](,[),('2ϕϕ.若曲线C 方程为],[),(d c y y x ∈=ϕ, 则dy y y y f y x f dc c)(1]),([),('2ϕϕ+=⎰⎰.5.这个积分的特性在于曲线C 的方向无关,又称为关于弧长的积分.例1 设L 是半圆π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x 0,s i n,c o s试计算第一型曲线积分()⎰+Ldsy x22.解 ()⎰+Ldsy x22=()⎰=+ππ032222sin cos a dt t t a a .例2 设L 是x y 42=从()0,0O 到()2,1A 的一段，试计算第一型曲线积分⎰Lyds .解 ⎰L yds =()12234024*******32202-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⎰y dy y y .空间曲线L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线)( , )( , )( :t z t y t x L χψϕ===,],[βα∈t .函数)( , )( , )(t t t χψϕ连续可导, 则对L 上的连续函数),,(z y x f , 有 ()⎰⎰'+'+'=Ldt t t t t t t f ds z y x f βαχψϕχψϕ)()()()( , )( , )(),,(222.例3计算积分⎰Lds x 2, 其中L 是球面2222a z y x =++被平0=++z y x截得的圆周 .解由对称性知 , ⎰=Lds x 2⎰=Lds y 2⎰Lds z 2, ⇒⎰L ds x 2=⎰⎰==++L L a ds a ds z y x 32222323)(31π. ( 注意L 是大圆 ).作业 1.。

第一型曲线积分公式

第一型曲线积分公式第一型曲线积分公式是一个在向量函数上定义的积分，用于计算曲线在给定向量场下的功。

这个公式是在微积分学中非常重要的概念之一，在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

在以下的讨论中，我们假设曲线是一个光滑的连续曲线，定义在有限实区间[ a,b ]上。

我们记曲线C = { r ( t ) | t∈ [ a,b ]}，其中r(t) = ( x(t), y(t), z(t) )是一个向量值函数。

向量函数r表示了曲线在三维空间中的路径，即在时间t处的曲线点。

我们记向量函数F = ( P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) )是一个连续向量场，P、Q、R分别是第一、第二、第三坐标上的方程。

在这个设定下，第一型曲线积分I可以表示为：I = ∫C F • dr其中，符号•表示点积，dr表示微小的弧长元素：dr = ( dx, dy, dz ) = ( dx/dt, dy/dt, dz/dt ) dt等价地，我们可以写出以下的积分形式：I = ∫a^b F ( r ( t ) ) . r'( t ) dt这里，r' (t)是r对t的导数，也就是t时刻曲线的切向量。

F是在曲线上的向量场，它根据r的每个点来确定曲线上的向量。

首先，我们可以将C分为多个局部线段。

每个线段都可以近似地看作直线，从而可以使用线性积分的概念。

然后，我们对每个局部线段进行积分，把它们的结果加起来。

因为线性积分的结果只依赖于曲线的起点和终点，所以我们可以把曲线C的长度定义为：L = ∫C || dr || = ∫ a^b || r'(t) || dt这里，|| . || 表示向量的模。

这个长度可以用来换算单位弧长元素。

具体来说，我们可以定义曲线C的弧长参数s，它满足：s' (t) = || r' (t) ||因此，我们可以把积分变换到弧长参数下：I = ∫ L F ( r(s) ) . T(s) ds这里，T(s) = r' (s) / || r'(s) || 是曲线在点s处的单位切向量。

第一型曲线积分计算公式

第一型曲线积分计算公式：第一型曲线积分也称为路径积分或弧长积分，用于计算向量场沿着曲线的积分。

其计算公式如下：∫C F · dr其中，C 是曲线，F 是向量场，dr 是曲线上的微元弧长向量。

以下是两个实例：实例1：考虑曲线C，由参数方程r(t) = (cos(t), sin(t))，其中0 ≤ t ≤ π/2。

向量场F(x, y) = (x, y)。

我们可以首先计算曲线的切向量r'(t) = (-sin(t), cos(t))。

然后计算F · dr：F · dr= (x, y) · (dx, dy) = (x, y) · (dx/dt, dy/dt) dt [使用链式法则将dr 转换为dt] = (cos(t), sin(t)) · (-sin(t), cos(t)) dt = -sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) dt = 0由于F · dr = 0，因此该曲线上的第一型曲线积分为0。

实例2：考虑曲线C，由参数方程r(t) = (t, t^2)，其中0 ≤ t ≤ 1。

向量场F(x, y) = (y, x)。

首先计算曲线的切向量r'(t) = (1, 2t)。

然后计算F · dr：F · dr = (y, x) · (dx, dy) = (y, x) · (dx/dt, dy/dt) dt = (t^2, t) · (1, 2t) dt = t^2 + 2t^2 dt = 3t^2 dt要计算第一型曲线积分，我们需要将积分限从参数t 转换为实际的曲线长度。

曲线长度由下式给出：s = ∫[a, b] ||r'(t)|| dt计算曲线长度：s = ∫[0, 1] ||r'(t)|| dt = ∫[0, 1] ||(1, 2t)|| dt = ∫[0, 1] sqrt(1^2 + (2t)^2) dt = ∫[0, 1] sqrt(1 + 4t^2) dt = ∫[0, 1] sqrt(4t^2 + 1) dt现在我们可以计算第一型曲线积分：∫C F · dr = ∫[0, 1] 3t^2 dt = 3∫[0, 1] t^2 dt = 3[t^3/3] [0, 1] = 1因此，该曲线上的第一型曲线积分为1。