2010学年高一数学第二学期期中复习一

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湖南省长沙市一中2010年高一数学上学期第二次阶段性考试试卷新人教A版【会员独享】

2009～2010学年度第二学期第二次单元考试高一数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）.A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32.下列命题中正确的个数是（）. ①三角形是平面图形②四边形是平面图形③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ,则c 与b 的位置关系是（）. A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线4．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为（）.A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π5．两个平面平行的条件是（）A.一个平面内一条直线平行于另一个平面B. 一个平面内两条直线平行于另一个平面C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D. 一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面6.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+D. 2343π+ 22侧视图22 27．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若αα//,,b a b a 则⊥⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,//③αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b a其中正确的命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( ) A.1715B.21 C.178 D. 23二、填空题（每小题3分，共21分）9．过点P (2,3),倾斜角为135°的直线的点斜式方程为.10．已知a,b,c 是三条直线，且a ∥b ，a 与c 的夹角为θ，那么b 与c 夹角是 11.已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则P 在平面△ABC 内的射影是△ABC 的12.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是13.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱PA=a ，PB =PD =2a ，则它的5个面中，互相垂直的面有对.14.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________.15.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0,3),B (4,1),C (3,4),点P (x,y)在△ABC 的边界及其内部运动,则11++x y 的最大值为 ,最小值为．三、解答题（6大题，共计55分）16．（8分）已知A (3,1),B (0,-1),C (1,3), D (a,b),则当a,b 满足什么条件时,可以使得 (1)AB ∥CD ; (2)AB ⊥CD .17.（8分）在正四面体P —ABC 中,D ,E ,F 分别是A B 、BC 、 CA 的中点,求证: （１）BC ∥平面PDF ; （２）BC ⊥平面P AE18．（9分）如图所示三棱锥P —ABC 中，异面直线P A 与BC 所成的角为090，二面角P —BC —A 为060，△PBC 和△ABC 的面积分别为16和10，BC ＝４. 求：（１）P A 的长；（２）三棱锥P —ABC 的体积ABC P V19．（10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD =90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.ＰＣＢＡ20．（10分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是a 的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A=2AB（1）求证：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）求二面角B —PC —D 的余弦值.21（10分）数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21n n n S a n S =≥-.⑴求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶设存在正数k ，使()()()1211121n S S S kn +++≥+对n N *∈都成立，求k 的最大值.word某某市一中2009～2010学年度第二次单元考试高一·数学满分：100分时量：115分钟一、选择题（每小题3分，共24分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填入题后的括号中）．二、填空题（每小题3分，共21分，请把正确答案写在题后的横线上） 9．10． 11． 12． 13． 14．15．三、解答题（6大题，共计55分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）． 16．（8分）已知A (3,1),B (0,-1),C (1,3), D (a,b),则当a,b 满足什么条件时,可以使得 (1)AB ∥CD ; (2)AB ⊥CD .17.（8分）在正四面体P —ABC 中,D,E,F 分别是A B 、BC 、CA 的中点,求证: （１）BC ∥平面PDF ; （２）BC ⊥平面P AE座位号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案考室号班级（汉字）学号某某密封线内不得答题18．（9分）如图所示三棱锥P —ABC 中，异面直线P A 与BC 所成的角为090，二面角P —BC —A 为060，△PBC 和△ABC 的面积分别为16和10，BC ＝４. 求：（１）P A 的长；（２）三棱锥P —ABC 的体积ABC P V19．（10分））如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD =90°， P A ⊥底面ABCD ，且P A=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.20．（10分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是a 的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A=2AB（1）求证：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）求二面角B —PC —D 的余弦值.ＰＣＢＡ21（10分）数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21n n n S a n S =≥-.⑴求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶设存在正数k ，使()()()12111n S S S +++≥n N *∈都成立，求k 的最大值.2009～2010学年度第二学期第二次单元考试高一数学教师卷命题人：邹军涛校对人：舒良利时量：115分钟满分：100分一、选择题（每小题3分，共24分）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（C）.A．3 B．1或2 C．1或3 D．2或32.下列命题中正确的个数是（B ）.①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ,则c 与b 的位置关系是（ C ）. A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线4．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为（ D ）.A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π5．两个平面平行的条件是（D ） A.一个平面内一条直线平行于另一个平面 B. 一个平面内两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面 D. 一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面6.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+D. 2343π+ 7．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若αα//,,b a b a 则⊥⊥②若ββαα⊥⊥a a 则,,//③αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b a其中正确的命题的个数是（ B ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个22侧视图22 2俯视图8．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是(A ) A.1715B.21 C.178 D. 23二、填空题（每小题3分，共21分）9．过点P (2,3),倾斜角为135°的直线的点斜式方程为y-3=-(x-2) 10．已知a,b,c 是三条直线，且a ∥b ，a 与c 的夹角为θ，那么b 与c 夹角是θ 11.已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则P 在平面△ABC 内的射影是△ABC 的外心12.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是4813.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱PA=a ，PB =PD =2a ，则它的5个面中，互相垂直的面有对.14.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________12323S S S +=15.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0,3),B (4,1),C (3,4),点P (x,y)在△ABC 的边界及其内部运动,则11++x y 的最大值为 4,最小值为 2.5．三、解答题（6大题，共计55分）16．（8分）已知A (3,1),B (0,-1),C (1,3), D (a,b),则当a,b 满足什么条件时,可以使得 (1)AB ∥CD ; (2)AB ⊥CD .略17.（8分）在正四面体P —ABC 中,D ,E ,F 分别是A B 、BC 、 CA 的中点,求证:（１）BC ∥平面PDF ; （２）BC ⊥平面P AE略18．（9分）如图所示三棱锥P —ABC 中，异面直线P A 与BC 所成的角为090，二面角P —BC —A 为060，△PBC 和△ABC 的面积分别为16和10，BC ＝４. 求：（１）P A 的长；（２）三棱锥P —ABC 的体积ABC P V(1)作AD ⊥BC 于D ，连PD ，由已知PA ⊥BC ，∴BC ⊥面PAD ，∴BC ⊥PD ，∴∠PDA 为二面角的平面角，∴∠PDF ＝060，可算出PD ＝８，AD ＝５，∴PA ＝７;(2)Ｖ＝334019．（10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD =90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角. （1）证明 ∵N 是PB 的中点，PA =AB ， ∴AN ⊥PB .∵∠BAD =90°，∴AD ⊥AB . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD .∵PA ∩AB =A ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB .又∵AD ∩AN =A ，∴PB ⊥平面ADMN .ＰＣＢＡ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM .（2）解连接DN ， ∵PB ⊥平面ADMN ，∴∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角，在Rt △BDN 中，sin ∠BDN =BD BN =ABAB2221⋅=21， ∴∠BDN =30°,即BD 与平面ADMN 所成的角为30°.20（10分）．如图所示，已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ， ∠ABC =60°,E ,F 分别是BC ,PC 的中点. (1)证明:AE ⊥PD ;(2)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为26, 求二面角E —AF —C 的余弦值.(1)证明由四边形ABCD 为菱形,∠ABC =60°,可得△ABC 为正三角形.因为E 为BC 的中点,所以AE ⊥BC .又BC ∥AD ,因此AE ⊥AD . 因为PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥AE . 而PA ⊂平面PAD ,AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A , 所以AE ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ,所以AE ⊥PD .(2)解如图所示，设AB =2,H 为PD 上任意一点,连结AH 、EH , 由(1)知,AE ⊥平面PAD ,则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角. 在Rt △EAH 中,AE =3,所以,当AH 最短时,∠EHA 最大,即当AH ⊥PD 时,∠EHA 最大. 此时,tan ∠EHA =AH AE =AH 3=26,因此AH =2.又AD =2,所以∠ADH =45°,所以PA =2. 方法一因为PA ⊥平面ABCD ,PA ⊂平面PAC ,所以,平面PAC ⊥平面ABCD .过E 作EO ⊥AC 于O ,则EO ⊥平面PAC , 过O 作OS ⊥AF 于S ,连接ES ,则∠ESO 为二面角E —AF —C 的平面角. 在Rt △AOE 中,EO =AE ·sin30°=23,AO =AE ·cos30°=23,又F 是PC 的中点,在Rt △ASO 中,SO =AO ·sin45°=423, 又SE =22SO EO +=8943+=430, 在Rt △ESO 中,cos ∠ESO =SE SO =430423=515,即所求二面角的余弦值为515. 20．（10分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是a 的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A=2AB（1）求证：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）求二面角B —PC —D 的余弦值.解：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥BD∵ABCD 为正方形 ∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面PAC 又BD 在平面BPD 内， ∴平面PAC ⊥平面BPD 6分（Ⅱ）解法一：在平面BCP 内作BN ⊥PC 垂足为N ，连DN ，∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ； ∴∠BND 为二面角B —PC —D 的平面角，在△BND 中，BN=DN=a 65，BD=a 2∴cos ∠BND =5135265652222-=-+a a a a21（10分）数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21n n n S a n S =≥-.⑴求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶设存在正数k ，使()()()1211121n S S S kn +++≥+对n N *∈都成立，求k 的最大值. ⑴因为2n ≥时，2112 21n n n n n n n S a S S S S S --=-∴-=-得 112n n n n S S S S ---=⋅由题意 0 (2)n S n ≠≥()111 2 2n n n S S -∴-=≥ 又111S a ==1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以111S =为首项，2为公差的等差数列. ⑵由⑴有11(1)221n n n S =+-⨯=-()121n S n N n *∴=∈- 2n ∴≥时，1112212(1)1(21)(23)n n n a S S n n n n -=-=-=------ 又111a S == 1 (1)2(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪--⎩⑶ 设)()111()1n S S S F n+++=+则(1)1()F n F n +===> ()Fn ∴在n N *∈上递增故使()F n k ≥恒成立，只需min ()k F n≤.又min ()(1)Fn F == 又0k > 0k ∴<≤k .。

2023-2024学年北京市北京第二外国语学院附属中学高一下学期期中考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市北京第二外国语学院附属中学高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量且，则A.B.C.D.2.i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a 的值为()A.2B. C.D.3.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为()A.B.C.D.4.已知向量，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，角的对边分别为，若，则一定是()A.正三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰三角形6.如图，在正方体中，点P 是线段上的动点，下列与BP 始终异面的是()A. B.AC C.D.7.已知两条直线m ，n 和平面，那么下列命题中的真命题是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则8.一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为()A. B. C. D.9.已知正方形ABCD的边长为1，点P是对角线BD上任意一点，则的取值范围为()A. B. C. D.10.如图，正方体的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面与底面ABCD所成的二面角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知向量，满足，，，则与的夹角为__________.12.在中，，则__________13.在中，点D满足，若，则__________14.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①；②；③以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.15.如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________.16.如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F，且，给出下列三个结论：①三棱锥与的体积相等；②三棱锥的体积为定值；③三棱锥的高长为三棱锥的高长即点B到平面AEF的距离所有正确结论的序号有__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

2009—2010学年第二学期高一数学期中试卷

第 1 页共 2 页永宁县回民高级中学2009—2010学年第二学期期中考试高一数学试卷命题教师：尹秀香（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1、圆0422=++x y x 的圆心坐标和半径分别是（）A 、(－2,0) ， 2B 、(－2,0) ， 4C 、(2,0) ， 2D 、(2,0) ， 4 2、点P （-1，2）到直线01568=+-y x 的距离为（）A 、2B 、21 C 、1 D 、273、若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（）Ａ、３０° Ｂ、４５° Ｃ、６０° Ｄ、９０°4、在空间直角坐标系中，点M （-3，4，0）与N （2，-1，6）的距离是（） A 、86 B 、9 C 、212 D 、4325、如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，则系数a =（）A 、 -3B 、-6C 、23- D 、326、若角α的终边在x y =上，则=αcos （） A 、22 B 、22- C 、22± D 、217、已知21tan -=α，则=+-ααααcos sin cos sin （） A 、31 B 、3 C 、31- D 、-38、若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A 、sin α tan α＞0B 、cos α tan α＞0C 、sin α cos α＞0D 、0cos sin >+αα9、将函数y x =+sin()123π的图像作如下的变换便得到y x =sin 12的图像（） A 、右移π3B 、左移π3C 、右移23πD 、左移23π10、直线0443=--y x 被圆9)3(22=+-y x 截得的弦长为（） A 、22 B 、4 C 、24 D 、211、已知圆C ：222r y x =+外一点),(00y x M ,则直线l ：200r y y x x =+与圆C 的位置关系是 ( ) A 、相切 B 、相交 C 、相离 D 、相切或相离12、函数)||00)(sin(πϕωϕω<>>+=，，A x A y 的图像如图（右边）所示，则这个函数的表达二、填空题（每题5分，共20分）13、sin49πtan （-37π）=_________14、过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 15、函数R x xy ∈-=,2cos2的最大值是，最小值是。

2005---2006学年度第二学期高一数学期中考

2005---2006学年度第二学期高一数学期中考八县(市)一中联考命题学校：福清一中命题者：何明兴校对者：闽清一中林青松说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1、下列命题正确的是 [ ] A.终边相同的角相等 B.第一象限角都是锐角C.第二象限角比第一象限角大D.小于900的角不一定都是锐角2.已知角α的终边经过点P(2a,-4a)(a ＜0)，则下列结论不正确．．．的是 [ ] A.sin α=552 B.cos α=55 C.tan α=-2 D.cot α=-213.cos150·cos1050-cos750·sin1050的值是 [ ] A.-21 B.0 C.21 D.-234.已知cos （α- 4π）=41，则sin2α的值为 [ ]A.87 B.-87 C.43 D.-435.若x x f 2sin )(sin =，则)15(cos f 的值等于 [ ]A.21 B.－23 C.23 D.－216.下列函数中，既是以π为最小正周期，又在[0，2π]上单调递增的是 [ ]A.y=sin2xB.y=cos2xC. y=-cosxD. y=|sinx|7.函数)230(sin|cot |ππ≠≤<⋅=x x x x y 且的图象是 [ ]8.已知-2π＜β＜0＜α＜2π,cos(α-β)=71,cos2α=-1411,则α+β的值为[ ]A.6πB.4πC.3πD.2π9．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是[ ]A ．1=ω，3πϕ= B.21=ω，6πϕ=C.1=ω，3πϕ-= D.21=ω，6πϕ-=10.使函数y=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)为奇函数，且在[0,4π]上是减函数的φ的一个值是 [ ] A.3πB.32π C.34π D.35π11.tan α，tan β是方程mx 2+（2m-3）x+m-2=0（m ≠0）的两实根，则tan （α+β）的最小值为 [ ] A.415 B.43 C.-53 D. -43y A12.对于函数f(x)=sin(2x+6π),下列命题:①函数图象关于直线x=-12π对称;②函数图象关于点(125π,0)对称;③函数图象可看作是把y=sinx 的图象向左平移个6π单位而得到;④函数图象可看作是把y=sin(x+6π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的序号是 [ ] A.0 B.1 C.2 D.32005-2006学年第二学期福州市八县（市）一中高一数学期中考试卷第Ⅱ卷（非选择题共90分）一、请将第Ⅰ卷的选择题答案填入下列表格内：二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）13、函数)23sin(x y -=π的单调递减区间是 .14、已知)(x f 是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，若⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(sin )02(cos )(ππx x x x x f ，则)415(π-f = . 15．若α和β都是锐角，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则()cos αβ-的值是 .16、如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 上的任意1x 、2x 、…，n x ,都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤+++n x x x f nx f x f x f n n 2121)()()(。

河南省河大附中09-10学年高一下学期期中考试(数学)Word版含答案

河大附中2009-2010学年下学期高一年级期中考数学试卷一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.角︒2010是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．下列说法中， ①与角5π的终边相同的角有有限个 ②数据2,3,4,5的方差是数据4,6,8,10的方差的一半 ③正相关是指散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域 ④0260cos >︒ 正确的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．已知135sin -=α，且α为第三象限角，则=αcos A ．1312-B ．1312C ．1312± D ．5124.用秦九韶算法计算多项式12345)(2345---++=x x x x x x f 在4x =-时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（）A ．5,14B ．5,5C ．5,6D ．5,75．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如下图，假设三个班的平均分都是75分,123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．s 3＞s 2＞s 1 6.记事件A 发生的概率为)(A P ，定义f (A)=lg [)(A P +)(1A P ]为事件A 发生的“测度” ．现随机抛掷一个骰子，则下列事件中测度最大的一个是（）xA ．向上的点数为1B ．向上的点数不大于2C ．向上的点数为奇数D ．向上的点数不小于3二、填空题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）7．用系统抽样法从123个零件中，抽取容量为20的样本，则样本中每个个体的分段间隔是．8．某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10：1，行政人员有24人，现采取分层抽样容量为50的样本，那么教学人员应抽取的人数．9.两个数228、1995的最大公约数是_______________ 10．比较大小：)6(403 )8(21711．一个三位数字的密码锁，每位上的数字都在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前两位数码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为；12. =︒+︒133sin 43sin 22； 13．分析右边的程序：若输入38，运行右边的程序后，得到的结果是。

高一下学期考试数学试题

D.在 ABC中
12.已知函数则下列结论中正确的是（）
A.函数和的值域相同
B.若函数关于对称则函数关于中心对称
C.函数和都在区间上单调递增
D.把函数向右平移个单位就可以得到函数的图象
三填空题
13.已知函数的最小正周期为．则的值为______．
14.若 ,则 ____________.
A. 若同向则
B. 与垂直的单位向量一定是
C. 若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量）则
D. 若与所成角为锐角则n的取值范围是
12.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立该公式将指数函数的定义域扩大到复数建立了三角函数与指数函数的关联在复变函数论里面占有非常重要的地位被誉为数学中的天骄依据欧拉公式下列选项正确的是（）
15.△ABC内角ABC的对边分别为abc若△ABC的面积为则 ______．
16.已知ABCD四点在球O的表面上若四面体ABCD的体积的最大值为则球O的表面积为______．
四解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17.已知向量且．
（1）求实数m 值；
A. 复数为纯虚数B. 对应的点位于第二象限
C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为
第Ⅱ卷（非选择题）（共90分）
三填空题：每题5分满分20分将答案填在答题卡上．
13.已知为平面内两个不共线的向量若MNP三点共线则λ=________.
14.复数与分别表示向量与则表示向量的复数为______．
20.如图为了测量两山顶MN间的距离飞机沿水平方向在AB两点进行测量ABMN在同一个铅垂平面内．测得A到MN的俯角分别为 B到MN的俯角分别为同时测得．

2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷（考试时间120分钟，满分150分）考试时间：2024年4月28日考试时长120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数2i i z =-，则z 对应的点Z 在复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,1),(1,4)a b ==- ，则23a b -=（）A ．(7,10)-B ．(1,14)C ．(7,10)-D ．(7,6)3．下列命题中正确的是（）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C ．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4．在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A ．梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（）A ．10mB ．30mC ．D ．6．在ABC 中，若sin 2sin cos C B B =，且64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则c b 的范围为（）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)27．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．8．已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值为（）A ．13B ．5-C ．5-D ．10+二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设复数12i1i z +=+，则（）A ．z 的实部为32B ．31i 22z =-C ．z 的虚部为1i2D ．1z =10．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC 是钝角三角形B ．若sin sin A B >，则a b>C ．若0AC AB ⋅>，则ABC 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =，则ABC 只有一解11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为.13．将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为．14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a c =，sin 3,26sin 2A aB =≤≤，则ABC S - 的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin a B ．(1)若2b =，3c =，求a 的值：(2)若2a bc =，判断ABC 的形状．16．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，E ，F 分别为AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2=CF FB ．(1)若DE x AB y AD =+，求x ，y 的值；(2)求AB DE ⋅的值；(3)求cos BEF ∠．17．如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()3sin sin 32sin A B c bC a b--=+．(1)求sin A ；(2)若ABC①已知E 为BC 的中点，求ABC 底边BC 上中线AE 长的最小值；②求内角A 的角平分线AD 长的最大值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅；(3)设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．1．C【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.【详解】因为2i i=1i z =---，所以z 对应的点Z 在复平面的第三象限，故选：C 2．A【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算可得；【详解】解：因为(2,1),(1,4)a b ==-，所以()()()2322,131,47,10a b -=--=- ；故选：A 3．D【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A 不正确；对于B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B 不正确；对于C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C 不正确；对于D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D 正确.故选：D.4．D【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 5．B【分析】先根据正弦定理求出BC ，再根据直角三角形三角函数关系即可求解.【详解】如图，由题可知：在ABC 中，45A =︒，105ABC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒．sin 45BC=︒，所以22BC ==，在Rt CBD △中，3sin 6030(m)2CD BC ︒==⨯=．故选：B 6．A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到2cos c B b =，结合64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和余弦函数的性质，即可求解.【详解】因为sin 2sin cos C B B =，由正弦定理得2cos c b B =，则2cos cB b=，又因为64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos B <<2cos B <所以cb的范围为.故选：A.7．D【分析】对于A ，根据//MN AC 结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据//MN BE 结合线面平行的判断定理即可判断；对于C ，根据//MN BD ，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D ，根据四边形AMNB 是等腰梯形，AB 与MN 所在的直线相交，即可判断.【详解】对于A,如下图所示，易得//,//AC EF MN EF ,则//MN AC ，又MN ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故A 满足；对于B ，如下图所示，E 为所在棱的中点，连接,,EA EC EB ,易得,//AE BC AE BC =,则四边形ABCE 为平行四边形，,,,A B C E 四点共面，又易知//MN BE ，又MN ⊄平面ABC ,BE ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故B 满足；对于C,如下图所示，点D 为所在棱的中点，连接,,DA DC DB ,易得四边形ABCD 为平行四边形，,,,A B C D 四点共面，且//MN BD ,又MN ⊄平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故C 满足；对于D ，连接,AM BN ,由条件及正方体的性质可知四边形AMNB 是等腰梯形，所以AB 与MN 所在的直线相交，故不能推出MN 与平面ABC 不平行，故D 不满足，故选：D.8．B【分析】以A 为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P （x ，y ）则1(,0),(0,0)B t C t t >，可得(1,0)AB AB = ，2(0,2)||AC AC = ，所以(1,2)AP = ，即(1,2)P ，故(1,2)PB t =-- ，11,2PC t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以221455PB PC t t t t ⎛⎫⋅=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 2t t =即t 时等号成立．故选：B．9．AB【分析】根据复数除法求出z ，由复数的概念判断AC ，根据共轭复数判断B ，根据模的定义判断D.【详解】因为()()()()12i 1i 12i 122i i 31i 1i 1i 1i 222z +-+++-====+++-，所以z 的实部为32，虚部为12，31i 22z =-，102z =，故选：AB 10．ABD【分析】对于A ，利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解；对于B ，利用正弦定理的角化边即可求解；对于C ，利用向量的数量积的定义即可求解；对于D ，利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解.【详解】对于A ，因为ABC 的三个角满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，所以由正弦定理化简得::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，c 为最大边，由余弦定理得222222249163cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，所以C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故A 正确；对于B ，由sin sin A B >及正弦定理，得22a b R R>,解得a b >，故B 正确；对于C ，因为0AC AB ⋅>，所以cos cos 0AC AB AC AB A bc A ⋅⋅==> ，所以cos 0A >，所以A 为锐角，但无法确定B 和C 是否为锐角，故C 错误；对于D ，由正弦定理得222sin 45sin B=，解得sin 1B =，因为0180B << ,所以90B = ，所以ABC 只有一解，故D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】A 选项，0MA MB MC ++=，作出辅助线，得到A ，M ，D 三点共线，同理可得M 为ABC 的重心；B 选项，设内切圆半径为r ，将面积公式代入得到0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=；C 选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D 选项，得到::3:4:5A B C S S S =，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设MD m =，MF n =，5ME t =，表示出AM ，BM ，MC ，结合三角函数得到m ，m =，进而求出余弦值；【详解】对A 选项，因为::1:1:1A B C S S S =，所以0MA MB MC ++=，取BC 的中点D ，则2MB MC MD += ，所以2MD MA =-，故A ，M ，D 三点共线，且2MA MD =，同理，取AB 中点E ，AC 中点F ，可得B ，M ，F 三点共线，C ，M ，E 三点共线，所以M 为ABC 的重心，A 正确；对B 选项，若M 为ABC 的内心，可设内切圆半径为r ，则12A S BC r =⋅，12B S AC r =⋅，12C S AB r =⋅，所以1110222BC r MA AC r MB AB r MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=，B 正确；对C 选项，若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则75ACB ∠=︒，设ABC 的外接圆半径为R ，故290BMC BAC ∠=∠=︒，2120AMC ABC ∠=∠=︒，2150AMB ACB ∠=∠=︒，故2211sin 9022A S R R =︒=，221sin1202B S R R =︒，2211sin15024C S R R =︒=，所以::2A B C S S S =，C错误；对D 选项，若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，如图，AD BC ⊥，CE AB ⊥，BF AC ⊥，相交于点M ，又ABC A B C S S S S =++ ，31124AABC S S == ，即:3:1AM MD =，41123BABC S S == ，即:1:2MF BM =，512CABC S S =，即:5:7ME MC =，设MD m =，MF n =，5ME t =，则3AM m =，2BM n =，7MC t =，因为CAD CBF ∠=∠，sin ,sin 32n mCAD CBF m n∠=∠=，所以32n m m n =，即3m =，3cos 22m BMD n n ∠===，则()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.12．【详解】解：利用正弦定理可知，B 角对的边最大，因为05sin 230,51sin sin sin 2a b aBA b AB A =∴=∴===故答案为：13．2π【分析】先计算底面积，再计算体积.【详解】122R R ππ=∴=22122V R h ππππ=⨯=⨯⨯=故答案为2π【点睛】本题考查了圆柱的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式化简计算可得.【详解】222sin 37,23,,cos sin 229A a c b a b a c B B ac +-=∴==∴==，则sin B =2221922ABC S a a ⎫∴-=-⋅=+=-+⎪⎝⎭ []2,6,ABC a S ∈∴-V Q故答案为：922.15．(1)a =(2)等边三角形．【分析】（1）由正弦定理边化角，求出π3A =，再利用余弦定理可得答案；(2)由余弦定理得结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而b c =，从而可得答案.【详解】（1）由正弦定理，33sin sin sin sin ,sin 022a B b A B B B =⇒≠ ，故ππsin 0,223A A A ⎛⎫=∈⇒= ⎪⎝⎭，再由余弦定理得，2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,从而a =（2）因为π3A =，所以由余弦定理得222a b c bc=+-结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而22,b c a b a b c =⇒===，所以ABC 是等边三角形．16．(1)2,13x y ==-(2)203【分析】（1）由向量的运算法则求解（2）分解后由数量积的运算求解（3）由数量积的定义求夹角【详解】（1）23DE DA AE AB AD =+=- ，故2,13x y ==-（2）2220()1642cos 60333AB DE AB AB AD ⋅=⋅-=⨯-⨯⨯︒=（3）111,,333EB AB EF AB AD ==+4||3EB =，27||3EF =16499cos 14||||EB EFBEF EB EF +⋅∠==17．(1)见解析；(2)23.【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）利用等体积11D D BC D DBC V V --=，即可求得三棱锥D ﹣D 1BC 的体积．【详解】（1）证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连接EF ，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面四边形DCC 1D 1为矩形，∴F 为D 1C 的中点．又E 为BC 的中点，∴EF ∥D 1B ．∴BD 1∥平面C 1DE ．（2）解：连接BD ，11D D BC D DBCV V --=又△BCD 的面积为12222S =⨯⨯=．故三棱锥D ﹣D 1BC 的体积1111221333D DBC BCD V S D D -∆==⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．(1)sin A =(2)AE，AD【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 3A =，进而求出sin A ；（2）由面积公式求出16bc =，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE 的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD 的最值.【详解】（1）由正弦定理，得3()32a b c b a b c --=+，即22223c b a bc +-=，故2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===，因为cos 0A >，所以π(0,)2A ∈，所以22sin 3A ==；（2）①由（1）知sin 3A =，因为ABC1n si 2bc A =，解得16bc =，由于()12AE AB AC =+ ，所以()()2222222111212183222cos 2444343433AE AB AC AB AC c b bc A c b bc bc bc bc ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++=++≥+=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b c =时，等号取得到，所以2323AE AE ≥⇒ ②因为AD 为角A 的角平分线，所以1sin sin 2BAD CAD A ∠=∠=，由于ADB ADC ABC S S S += ，所以111sin sin sin sin cos 2222222A A A A AD c AD b bc A bc +==，由于sin02A ≠,所以()2cos 2A AD c b bc +=，由于2212cos 2cos 1cos cos 23232A A A A =-=⇒=⇒，又16bc =，所以()63262cos216233A AD c b bc +==⨯⨯由于8b c +≥，当且仅当b c =时，等号取得到，故()83AD c b AD =+≥=，故3AD ≤，19．(1)π2A =(2)(3)2+【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.（2）由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222xy yz xz +=⨯，整理得xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅111142222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。

北京市西城区2010年7月高一数学期末试卷

北京市西城区2009—2010学年度第二学期学业测试高一数学 2010.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A 卷 [必修模块2] 本卷满分：100分参考公式：圆锥的侧面积公式πS Rl =圆锥侧，其中R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长．球的表面积公式24πS R =球，其中R 是球半径．锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线0x y +的倾斜角为（）A. 30B.45C. 060D. 1352. 如果一个正方体的对角线长为3，那么此正方体的棱长等于（）A.12B.C .D. 13．圆22670x y y +-+=的圆心到直线50x y -+=的距离为（）A. 1B .C. 2D. 34. 在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,4,3)A -关于坐标平面yOz 对称的点是（）A. (2,4,3)B. (2,4,3)-C. (2,4,3)--D. (2,4,3)--5．表面积为16π的球的大圆周长为( )A. 2πB . 4πC. 6πD. 8π6. 经过点(2,1)A -，且与直线230x y -+=不相交的直线方程为（）A. 20x y +=B. 210x y ++=C. 250x y -+=D. 20x y -=7.已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为1000π，那么此圆柱的侧面积S 等于（）A. 100πB . 200πC. 300πD. 400π8．圆224460x y x y +-++=与圆224x y +=的位置关系为（）A . 相交B. 相切C. 相离D. 内含9. 已知平面a 和直线a ，b ，c ，给出下列四个条件： ○1//,//a c b c ； ○2,a c b c ^^； ○3//,//a b a a ； ○4,a b a a ^^. 其中可以使结论//a b 成立的条件有( )A. ○1○2B. ○2○4C. ○1○2○4D. ○1○410. 在边长为30cm 的木块每个面的中心都画一个边长为10cm 的小正方形（小正方形各边与所在面大正方形的各边对应平行），沿着每个小正方形的各边凿一个正四棱柱形的洞，一直凿到对面的小正方形，如图所示. 如果要用油漆涂满此木块露在空气中的各个面，那么所涂各面的面积之和为（）A. 25400cm B. 27200cm C. 27600cm D. 28400cm二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.11. 直线30x y +-=与直线310x y +-=交点坐标为________，它是第_____象限的点.. 12. 以点（2，－1）为圆心，且过原点的圆的方程为_____________.13. 如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于__________ .14. 设ABC ∆的顶点(3,2),(1,5),(2,2)A B C --，则BC 边上的高线所在的直线方程是___________ .15. 圆22210x y x ++-=被y 轴所截得弦的长度为___________. 16. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据，可得该几何体的表面积是___________, 体积是___________．正(主)视图侧(左)视图俯视图三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证：11B C //平面ABC ；（Ⅱ）求证：平面1AB D ⊥平面BB 1C 1C .18.（本小题满分12分）已知圆E 的圆心M 在直线0x y -=上，且过定点(3,4)A B --. （Ⅰ）求圆E 的方程；（Ⅱ）求斜率为2且与圆E 相切的直线方程.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥S-ABCDAB =2，P 为侧棱SD 上的点.（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD 的体积；（Ⅱ）求证：AC ⊥SD ；（Ⅲ）若SD ⊥平面P AC ，判断在侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ？若存在，求SE 的值；若不存在，说明理由.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若1a =，π4A =，π6B =，则边b =____________.2. 已知x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩那么目标函数2z x y =+的最大值是___________.3.设{a n }是公差不为0的等差数列， a 1=1且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2+a 4+a 6++a 20=____________.4.设0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+的最小值为_____________. 5. 如图是一个五角星，它的顶点A , B , C , D , E 分别表示集合{3,5,6,7,9}M =中的一个数，且各个数互不相等. 如果线段AB , BC , CD , DE 和EA 的两个端点数字之和经过一定排列后可以得到一个等差数列，那么这个等差数列的第三项是____________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）在∆ABC中，AC BC 1sin()3A B +=. （Ⅰ）求∆ABC 的面积；（Ⅱ）求边AB 的长.ABCDE7. （本小题满分10分）已知函数2()3f x x x t =-+，设不等式()0f x <的解集为{|1,x x m x <<∈R }. (Ⅰ) 求实数t, m 的值；(Ⅱ) 若对于任何x ∈R 恒有28()3f x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.8.（本小题满分10分）在数列{a n }，{}n b 中，11a =，12b =，且对于任意的正整数m ，n 满足m n m n a xa a +=，m n m n b b cb +=+，其中常数,x c ∈R ，0cx ≠.（Ⅰ）当x =2时，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .北京市西城区2009—2010学年度第二学期学业测试高一数学参考答案及评分标准 2010.7A 卷 [必修模块2] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. C3. B4. A5. B6. C7. B8. A9. D 10. B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. (1,4)-, 二 12. 22(2)(1)5x y -++= 13.3014. 37230x y +-= 15. 216. 12+注：第11，16题每空2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17. (Ⅰ) 证明：正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∴ B 1C 1//BC ，又11B C ABC ⊄平面,BC ABC ⊂平面，∴11B C //平面ABC . ---------------------- 4分（Ⅱ）证明：正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，1B B ABC ∴⊥平面，又AD ABC ⊂平面，1B B AD ∴⊥， -------------------------------6分ABC ∆是等边三角形，且D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥,又1B B BC B =，11AD BB C C ∴⊥平面. -------------------------------8分又AD ⊂平面1AB D ，∴平面1AB D ⊥平面BB 1C 1C . -------------------------------10分18.（Ⅰ）解：由题意，设圆E 的圆心(,)M a a ，半径为r (r >0). 则E 为：222()()x a y a r -+-=.由题意，得222222))(3)(4)a a r a a r⎧+=⎪⎨--+--=⎪⎩， -------------------------------------3分解得05a r =⎧⎨=⎩，所以圆E ：2522=+y x . -------------------------------------6分（Ⅱ）解：设斜率为2且与圆E 相切的直线方程为2y x b =+， ----------------------7分 5=， ------------------------------9分解得b =±故所求直线方程为20x y -+=或20x y --=. ----------------------12分 19.（Ⅰ）解：连BD ，设AC 交BD 于O ，连接SO ，底面ABCD 为正方形，所以AO CO =，在SAC ∆中，SA SC =， SO AC ∴⊥，同理SO BD ⊥，SO ∴⊥平面ABCD . ------------------------------1分在正方形A BCD 中，2AB =，142ABCDOD BD S ∴===.在Rt SOD ∆中，OD SD ==SO ∴=∴四棱锥S-ABCD 的体积13ABCDV SSO =⋅= ------------------------------4分 (Ⅱ)证明：底面ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，又SO AC ⊥，SO BD O =，∴AC SBD ⊥平面,又SD ⊂平面SBD ,∴AC SD ⊥. ------------------------------8分（Ⅲ）结论：在棱SC 上存在一点E ，使得//BE PAC 平面, 此时SE =解：连接PO ，SD ⊥平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， SD PO ∴⊥，在Rt SOD ∆中，2SD OD ==60SDO ∴∠=,又在Rt POD ∆中，OD =，2PD ∴=，故可在SP 上取一点N ,使PN PD =,过N 作E .连接BN，BE . ------------------------------10分在BDN ∆中，,PD PN BO OD ==，∴//BN PO ，又//NE PC ，BNNE N =，∴平面//BEN PAC 平面，∴//BE PAC 平面,------------------------------12分2,2SN PN ==， ∴在SPC ∆中，2SE SNEC NP==，即2SE EC =，又SE EC SC +==，SE ∴=------------------------------14分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.2. 23. 2104. 45. 12二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（Ⅰ）解：因为 πA B C ++=，所以 1sin()sin(π)sin 3A B C C +=-==. -----------------------------2分所以∆ABC的面积1sin 22S AC BC C =⋅⋅=. -----------------------------5分（Ⅱ）解：因为1sin 3C =，所以cos C =-------------------7分由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，得1AB =或AB =----------------------------10分 7.（Ⅰ）解：因为不等式x 2-3x + t < 0的解集为{|1,x x m x <<∈R },所以 13,1m m t +=⎧⎨⋅=⎩解得22m t =⎧⎨=⎩. -------------------------------4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得28()8(32)f x x x =-+，则238()8()22f x x =--，故当32x =时，8()f x 有最小值2-， -------------------------------6分因为对于任何x ∈R 恒有28()3f x a a ≥-成立,所以232a a -≤-， -------------------------------8分解得 12a ≤≤，所以实数 a 的取值范围是[1,2]. -------------------------------10分8.（Ⅰ）解：由m n m n a xa a +=，得11n n n a xa a xa +==，因为11a =，2x =，所以0n a ≠，所以12n na a +=，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=. -------------------------------3分（Ⅱ）解：因为对于任意的正整数m ，n 满足m n m n b b cb +=+，所以211b b cb =+，321b b cb =+，312b b cb =+，所以22(1)b c =+，32(1)222(1)b c c c c =++=++，解得1c = 或 0c =（舍）， -------------------------------5分因为对于任意的正整数m ，n 满足m n m n b b cb +=+，所以11m m b b cb +=+，即12m m b b +-=，故数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，所以2(1)22n b n n =+-⨯=. -------------------------------6分（Ⅲ）解：由m n m n a xa a +=，得1n na x a +=，故数列{}n a 是首项为1，公比为x 的等比数列，所以1n n a x -=， --------------- 7分故12n n c n x -=⋅.所以 212462n n S x x nx -=++++， ○1 当1x =时，242(1)n S n n n =+++=+； ------------------------------- 8分当1x ≠且0x ≠时，○1式两边同乘以x ，得 232462n n xS x x x nx =++++， ○2 ○1○2两式相减，得 21(1)22222n n n x S x x x nx --=++++-，所以22(1)2(1)1n nn x nx S x x-=---. 综上，数列{}n c 的前n 项和2(1), 1,2(1)2,1,0.(1)1n n n n n x S x nx x x x x +=⎧⎪=-⎨-≠≠⎪--⎩---------- 10分。

2009-2010学年第二学期期末教学质量监测高一数学答案

2009-2010学年第二学期期末质量监测高一数学试题参考答案及评分标准一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A CBDDA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 330. 12. 34-. 13. 14. 32. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）解：（必修4第2.4节例1、例2、例3的变式题）（1） 1cos 601212⋅=︒=⨯⨯=a b a b -------------------3分 ()()143-∙+=-=-=-22a b a b a b ------------┄┄┄┄┄6分（2） -==a b ---------------------9分==┄-----┄┄┄┄12分 16.（本小题满分12分）解：（必修4第1.4节例2、例5的变式题）1cos 2()222x f x x +=+ -----------------------------------2分11cos 2222x x =+ 1sin cos 2cos sin 2266x x ππ=++------------------------------4分 1sin(2)26x π=++-------------------------------------------6分（1） ()f x 的最小正周期为22T ππ==.---------------------------8分另解：用周期的定义，得()f x 的最小正周期为π.---------------------8分（2）当222()262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 时，()f x 的单调递增，-----10分故函数()f x 的单调递增区间是(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 。

2010-2011学年度第二学期邯郸市高一数学期末试卷

邯郸市2010-2011学年度第二学期教学质量检测高一数学试题注意：本试卷包括三道大题，共22道小题，满分150分，时间120分钟.题号前注明示范性高中做的，普通高中不做；注明普通高中做的，示范性高中不做，没有注明的，所有学生都做. 一、选择题（每题只有一个正确结论，把正确结论前的代号填在第Ⅰ卷答题栏内，用答题卡的学校，直接涂卡，每小题5分，共60分） 1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是 A.45,1 B.135,1- C.90，不存在 D.180，不存在2. 空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能3.由11,3a d ==确定的等差数列{}n a 中，当298n a =时，序号n 等于 A ．99 B.100 C.96 D.1014.下列结论正确的是A.若,a b c d >>，则a c b d ->-B. 若,a b c d >>，则a d b c ->-C.若,a b c d >>，则ac bd >D. 若,a b c d >>，则a b d c> 5.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是A. α内所有的直线与a 异面.B. α内不存在与a 平行的直线.C. α内存在唯一的直线与a 平行.D. α内的直线与a 都相交.6.两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为 A.4B13C. 26D .207.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为正视图侧视图俯视图A.2324,12cm cm ππB. 2315,12cm cm ππC. 2324,36cm cm ππ D.2312,12cm cm ππ8.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于A ．3060︒︒或B ．4560︒︒或C ．12060︒︒或 D ．15030或9. 【普通高中】已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于A ．50B ．70C ．80D ．90【示范高中】在等比数列{}n a 中，()91019200,a a a a a a b +=≠+=，则99100a a +等于A. 98b aB. 9b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 109b a D 10b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10.△ABC 中,根据下列条件,确定△ABC 有两解的是A.a=18,b=20,A=120°B.a=60,c=48,B=60°C.a=3,b=6,A=30°D.a=14,b=16,A=45°11. 【普通高中】设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =+的最大值是A.3B.4C. 6D.8【示范高中】不等式组020220x y x y x y -≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D ，则22(2)(3)x y -++的最大值为A.13B.25C.5D.1612. 【普通高中】已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y+的最小值为A.2B.【示范高中】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y+的最小值是 A.6 B.5C.3+二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分；共20分．13.在空间直角坐标系o xyz -中，点(1,2,3)P 关于xoy 平面的对称点的坐标是 14.【普通高中】在x 轴上的截距为2，在y 轴上截距为3的直线方程为【示范高中】过点P (2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程为 15.在△ABC 中，()()()a c a c b b c +-=+，则A ∠=16.【普通高中】等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+= 【示范高中】在等差数列{}n a 中，公差21=d ，前100项的和45100=S ，则99531...a a a a ++++=______三、解答题：本大题共6个小题．17题10分，18-22题各12分，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤．17.（满分10分）已知集合2{|60}A x x x =-++>，2{|280}B x x x =+->,求A B .18. （满分12分）求过两直线3420x y +-=和220x y ++=的交点且与直线3240x y -+=垂直的直线方程.19. （满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为1CC 、11B C 、1DD 的中点，O 为BF 与1B E 的交点，（1）证明：BF ⊥面11A B EG（2）求直线1A B 与平面11A B EG 所成角的正弦值.20．（满分12分）【普通高中】如图，一架直升机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知直升机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75，求山顶的海拔高度.【示范高中】如图，在河的对岸可以看到两个目标物M ，N ，但不能到达，在河岸边选取相距40米的两个目标物P ，Q 两点，测得75MPN ︒∠=，45NPQ ︒∠=，30MQP ︒∠=，45MQN ︒∠=，试求两个目标物Ｍ，Ｎ之间的距离.21. （满分12分）【普通高中】已知直线l 过点(3,3)M --，圆N:224210x y y ++-=，l 被圆N所截得的弦长为（1）求点N 到直线l 的距离；（2）求直线l 的方程.【示范高中】已知直线l 过点(3,3)M -，圆N :224210x y y ++-=. （1）求截得圆N 弦长最长时l 的直线方程；（2）若直线l 被圆N 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.22. （满分12分）【普通高中】已知数列{}n a 中，*1121,()2nn na a a n N a +==∈+ （1）求 1234,,,a a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式.【示范高中】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,4 2.n n a S a +==+ （1）设12,n n n b a a +=-证明数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）求{}n a 的前n 项和n S .数学试题参考答案一、选择题: （本大题共12小题，每小题5分，共60分.）【普通高中】1-5 C D B B B 6-10 D A D B D 11-12 C C 【示范高中】1-5 C D B B B 6-10 D A D A D 11-12 B C二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13.(1,2,3)- 14.【普通高中】3260x y +-=【示范高中】50,x y +-=或320x y -= 15.23π16.【普通高中】10 【示范高中】10三、解答题：（本大题共6个小题．17题10分，18-22题各12分，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤．）17.解：由260-x x ++>，知 23x -<< 故 {}23A x x =-<<；………4分由2280x x +->，知 4x <-，或2x > 故 {}4,2B x x x =<->或………8分因此 {}{}{}234,223A B x x x x x x x =-<<<->=<<I I 或………10分18.解：设与直线3240x y -+=垂直的直线方程为230,()x y a a R ++=∈………3分由 3420,220.x y x y +-=++=⎧⎨⎩ 可以得到2,2.x y =-⎧⎨=⎩ 故交点的坐标为 (2,2)-………6分又由于交点在所求直线上，因此 22320,()a a R ⨯⨯+=∈（-）+ 从而 2a =- (9)分故所求的直线方程为2320x y +-=.………12分19. （1）证明：因为 111BB B C =，11B F C E =，1BF B E = 所以111B B F B C E∆∆≅ 从而 111C E B B F B ∠=∠ 在11Rt B C E ∆中 111190C EB C B E ∠+∠=o故11190BFB C B E ∠+∠=o 从而 190FOB ∠=o 即 1B F B E⊥………2分又因为 11DC BCC B ⊥平面，GE ∥DC 所以 11GE BCC B ⊥平面 ………4分又因为 11BF BCC B ⊂平面故 B F G E ⊥ 又因为 1B E G E E ⋂=所以 11BF A B EG ⊥平面………6分（2）解：如右图，连接1AO由（1）知，11BO A B EG ⊥平面故 1B A O ∠即为直线1AB 与平面11A B EG 所成角………8分设正方体的棱长为1 ，则1A B BF == 在Rt1BB F ∆中，有11BB BFBO BB = 故21BB BO BF =10分所以11sin 5BO BAO=A B ∠………12分20．【普通高中】解：设山顶的海拔高度为x 千米．过点P 作PD AB ⊥交AB 于点D ，则 10PD x =- ，依题意，6AB =………2分在Rt PBD ∆中，10sin 75sin(4530)PD xPB -==+oo o（＊）………4分在APB ∆中，由正弦定理，得sin sin PB ABPAB BPA=∠∠（＊＊）………8分由（＊）（＊＊），得106s i n 30s i n (4530)s i n 45x -=+o o o o………10分解得，x =千米．………12分【示范高中】解：根据题意，知 40PQ =，30,60PMQ PNQ ∠=∠=o o 在MPQ ∆中，由正弦定理，得s i n s i n M QP Q=M P Q P M Q∠∠ 即s i n 40s i n 1204s i n s i n 30P Q M P Q MQ PMQ ∠===∠o o ………4分在NPQ ∆中，由正弦定理，得s i n s i n N QP QN P Q P N Q=∠∠即 s i n 40s i n 456s i n s i n 603P Q N P Q NQ PNQ ∠===∠o o………8分在MQN ∆中，由余弦定理，知 2222c o s M N M Q N Q M Q N Q M Q N=+-∠ 故2320068000480023c o s 45333M N +-=⨯⨯⨯=o从而 MN =………12分故两个目标物M 、N21.【普通高中】解：（1）设直线l 与圆N 作ND AB ⊥交直线l由224210x y y ++-=，得 (0,N -又 AB = 故 ND ==所以点N 到直线l 的（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为 3x =- N 到l 的距离为3，又圆N 的半径为5，易知42AB=,即8AB =≠不符合题意，故直线l 的斜率存在；………8分于是设直线l 的方程为： 3(3)y k x +=+ 即：330kx y k -+-= 所以圆心(0,2)N -到直线l 的距离 d =①由（1）知， d = ②………10分由①②可以得到 12,2k k ==-或故直线l 的方程为 230x y -+=，或290x y ++=………12分【示范高中】解：（1）显然，当直线l 通过圆心Ｎ时，被截得的弦长最长．………2分由224210x y y ++-=，得 (0,2)N - 故所求直线l 的方程为0(2)303(2)x y =------- 即 5360x y ++=………4分（2）设直线l 与圆N 交于1122(,),(,)A x y B x y 作ND AB ⊥交直线l 于点Ｄ，显然Ｄ为42ABBD ==………6分（Ⅰ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 将3x =-代入22421x y y ++-= 24120y y +-= 解，得 62y =-或，因此 ()268A B ==-- 符合题意………8分（Ⅱ）若直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为 3(3)y k x -=+ 即：330k x yk +-+= 由224210x y y ++-=，得 (0,2)N -，5r = 因此63N D ==………10分又因为点Ｎ到直线l 的距离ND =所以3 即：815k =-此时直线l 的方程为 81521x y +-=综上可知，直线l 的方程为 815210x y +-=或3x =-………12分22.【普通高中】（1) 解：因为 11a = 所以 1212223a a a ==+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+………4分（2）解：因为 *12()2nn na a n N a +=∈+ 所以1211122n n n n a a a a ++==+ *1111()2n n n N a a +∴-=∈ ………8分又111a = 故 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列………10分所以1111(1)22n n n a +=+-=，因此 21n a n =+ ………12分【示范高中】（1）证明：由11a =，及142n n S a +=+，有 12142a a a +=+ 故 21325a a =+= 所以 1212 3.b a a =-=因为 142n n S a +=+ ① 故当2n ≥时，有142n n S a -=+ ② ①—②，得 1144n+n n a =a a -- 所以 ()11222n n n n a a a a +--=-又因为 12n n nb a a +=- 所以 12n n b b -= 所以 {}n b 是首项为3，公比为2的等比数列. ………4分（2）解：由（1）可得：11232n n n n b a a -+=-=⋅，所以113224n n n n a a ++-= 因此数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为34的等差数列. 所以 1331(1)22444n n a n n =+-=- 故 2(31)2n n a n -=-⋅………8分（3）解：由（1）知，当2n ≥时，142n n S a -=+ 故 311424(34)22(34)22n n n n S a =n +=n ---=+⋅-⋅-⋅+ ，2n ≥又 111S a ==故 1(34)22n n S =n --⋅+，n N *∈………12分。

北京市第一零一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

北京市第一零一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin−210°的值为（）A．12B．−12C．32D．−322．设a与b为单位向量，且a⋅b=−32，则a与b的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π63．已知x∈0,π，tan x=−22，则cos x=（）A．223B．13C．−223D．−134．已知向量a=2,4，b=x,−2，且a ∥b，则 a+b等于（）A．5B．3 C．5 D．135．下列函数中，周期为π且在0,π2上单调递增的是（）A．y=tan x B．y=sin xC．y=sin x D．y=cos x6．已知函数f x=2sin ωx−π4，若关于x的方程f x=−2在区间0,π上有且仅有4个不相等的实数根，则正整数ω的取值为（）A．6 B．5 C．4 D．37．设a是实数，则函数f x=1+sin axa的图象可能是（）A．B．C．D．8．在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B=23AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB⋅PC≥P0B⋅P0C，则△ABC为（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形9．已知函数f x=cos x+φ．则“f−1=−f1”是“f x为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．从出生之日起，人的智力、情绪、体力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，则（）A．情绪曲线E的最小正周期最大B．存在正整数n，使得第n天时，智力曲线I和体力曲线P都处于最高点C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数条公共的对称轴D．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共的对称中心二、填空题11．半径为2，圆心角为2弧度的扇形的面积为．12．角 α+π8的终边经过点−3,4，则sin11π8−α +cos α+5π8=．13．已知向量a，b，c，其中a=0,1，b=1,1．命题p：若a⋅b=a⋅c，则b=c．能说明p为假命题的一个c的坐标为c=．14．已知函数f x=sin x,x≥aln x,0<x<a存在最大值，则实数a的取值范围为．15．如图是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)图象的一部分，M，N是它与x轴的两个交点，C，D分别为它的最高点和最低点，E(0,1)是线段MC的中点，且MC⋅MD=π23−4，则函数f(x)的解析式为．16．已知函数f x=sinπxx2−3x，给出下列四个结论：①f x存在无数个零点；②区间32,2是f x的单调递增区间；③若f2024=a，则f−2021=a；④f x在2,+∞上无最大值．其中所有正确结论的序号为．三、解答题17．已知sinθ和cosθ是关于x的方程5x2+10x+m=0的两实根，且0<θ<π．(1)求m的值；(2)求tanθ．18．已知下表为“五点法”绘制函数f x=A sinωx+φ图象时的五个关键点的坐标（其中A>0，ω>0，φ<π）．(1)请写出函数f x的最小正周期和解析式；(2)求函数f x的单调递增区间；(3)求函数f x在区间 −π6,π3上的取值范围．19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC=13OA+23OB．(1)若向量OA=3,1，OB=1,2，P为平面内一点，且OP∥OC，PA⊥PB，求向量OP；(2)若A1,cos x，B1+sin x,cos x，且x∈0,π2，函数f x=OA⋅OC+2m+13AB+2m2的最小值为6，求实数m的值．20．对于一组向量a1，a2，a3，⋯，a m（m∈N*且m≥3），令S m=a1+a2+a3+⋯+a m，如果存在a p p∈1,2,3,⋯,m，使得 a p≥ S m−a p，那么称a p是该向量组的“1向量”．(1)设a n=n,x+n，n∈N*，若a3是向量组a1，a2，a3的“1向量”，求实数x的取值范围；(2)若a n=sin nπ2,cos nπ2，n∈N*，则向量组a1，a2，a3，⋯，a4i+3i∈N*是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；(3)已知a1，a2，a3均是向量组a1，a2，a3的“1向量”，其中a1=sin x,cos x，a2=2cos x,2sin x．设在平面直角坐标系中有一点列P1，P2，P3，⋯，P t（t∈N∗且t≥4）满足：P1为坐标原点，P1P2=a3，且P2k+1 k∈N*与P2k关于点P1对称，P2k+2与P2k+1关于点P2对称，求 P2023P2024的最大值．。

高一数学期中复习题(3)

高一数学期中复习题（3）一、填空题：1、函数x y 2=图像关于x y =对称的函数是_2、函数212()log (log )f x x =的定义域是________________.3、函数)1(log )(221x x f -=的单调递增区间是_ _ .4、角α终边上有一点P cot 3α=-，0απ<<，则P 的坐标为5、A B C ∆中，已知cos cos sin sin A B A B >，则此三角形的形状是6、已知sin 5α=，则44sin cos αα-= 7、若1cot 2α=，则111sin 1cos αα+=+- 8、设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是9、若函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=411log 22x a ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 10、给出下列命题，①存在一个角α，使得sin cos 0αα==；②存在一个锐角α，使得sin cos 1αα=<； ③存在一个锐角α，使得sin cos 1αα+<；④存在一个角α，使得3sin cos 2αα+=； ⑤如果,αβ都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；⑥存在无数个角α，使得tan 0,cos 1αα==-.其中正确的命题是二、选择题：11、已知函数()23f x x =+，则函数1(1)fx -+的反函数是 ( ) A 、52x y -= B 、52x y += C 、25y x =+ D 、22y x =+12、下列函数中，同时满足：有反函数、是奇函数、定义域和值域相同的函数是（）A 、2x x e ey -+= B 、1lg 1xy x -=+ C 、3y x =- D 、y x =13m =，条件乙：sin cos 22ααm +=，则甲是乙的（）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件三、解答题：14、化简：sin(3)cos(4)tan()sin(2)cos(5)tan()παπαααπαππα---++---+15、已知25log (22)0x x +-=，5512log (2)log 02x y +-+=，求y 的值.16、已知3sin()45πα+=，344ππα<<，求cos α.17、已知函数11()2()21x f x a =-+（0a >且1a ≠）（1）求1()f x -；（2）判断1()f x -的奇偶性；（3）解不等式1()1f x ->。

江西省南昌市进贤县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)

2024－2025学年高一上学期数学期中考试一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，若，则（）A ．1B ．2C ．1或4D ．42．已知函数的值域为（）A ．B ．C ．D ．3．“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的定义域为，则函数）A ．B ．C ．D ．5．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）A ．第4秒B ．第5秒C ．第6秒D ．第7秒6．设，则的大小顺序是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，则（）A ．－2B．－1C ．0D ．18．已知函数的定义域为，且，当时，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

{}22,1,24A a a a =--+3A ∈a =()2f x x =+()f x (),8-∞-(],8-∞[)4,+∞[)6,+∞0a b +=22a b =()1f x +[]0,4()g x =[]1,3[)1,2()0,2[]1,7-h 2330h t t =-+P Q R ===,,P Q R Q R P>>Q P R >>P R Q >>P Q R >>()()()21,012,0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩()2f =()f x ()()()R,33,63f x f x f -=+=(]12,,3x x ∀∈-∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-()263f x x x +->{}17x x x <->或{}17x x -<<{}06x x x <>或{}06x x <<9．下列说法正确的有（）A ．若是幂函数，则或3B ．与C ．已知函数，则D ．函数的值域为10．若函数满足关系式，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：，其中表示不超过x 的最大整数，例如：．令函数，则下列说法正确的是（）A ．B ．是奇函数C ．的最小值为0，没有最大值D ．三、填空题12．已知函数是偶函数，则实数_________．13．命题“”为假命题，则实数的取值范围为_________．14．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分。

三明市2010—2011学年第二学期普通高中阶段性考试高一数学

三明市2010—2011学年第二学期普通高中阶段性考试第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分． 1．如果等差数列}{n a 中，12543=++a a a ，那么4a 等于A ．4B ．2C ．6D ．12 2．过点),4(a A 和点),5(b B 的直线与直线m x y +=平行，则a b -等于A ．2B ．4C ．5D ．13．空间直角坐标系中,(2,3,5),(3,5,7)A B ，则A ,B 两点间的距离为A ．2B ．3C ．6D ．9 4．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是A ．24n +B ．42n -C ．24+nD ．33n +5．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥010y y x x ，则y x z -=的最大值是A ．0B ．1C ．2D ．36．已知,,a b c 满足c b a <<，且0ac <．那么下列选项中一定成立的是 A ．ab ac >B ．()0ac a c ->C ．()0c b a -<D ．22cb ab <7．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为A ．12B ．13 C ．61D ． 1 8．两条不重合的直线n m ,以及两个平面,αβ，给出下列命题：①若αα//,//n m ，则n m // ②若αα⊥n m ,//，则n m ⊥ ③若α//,//n n m ，则α//m ④若βα//,m m ⊥，则βα⊥ 其中真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．39．等比数列}{n a 中，若421=+a a ，243=+a a ，则109a a +等于A ．14B ．12C ．1D ．2侧视图俯视图第1个第2个第3个．．．．．．AB CD10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若cos cos sin a B b A c C +=，则C ∠等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．圆22(2)(1)1x y -++=上的点到直线2=-y x 的距离最大值是A ．2B ．221+C ．21+D ．221+ 12．如图，四边形A B C D 中，1A B A D C D ===，B D =B DCD ⊥.将四边形A B C D 沿对角线B D 折成四面体A B C D '-，使平面 A BD '⊥平面B C D ，则下列结论:①A C B D '⊥; ②C A '与平面A B D '所成的角为30; ③90B A C'∠=; ④ 四面体A B C D '-的体积为13其中正确的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第Ⅱ卷（非选择题共64分）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．在答题卷相应题目的答题区域内作答． 13．已知直线l 过点(－1,5)且与直线032=+-y x 垂直，则l 的方程是 .14．过点()2,1的直线方程是21(1)(2)y m x -=--,那么直线的倾斜角α的取值范围是 . 15．已知0,0,a b >>1121,a b a b+=+则的最小值为 .16．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1)1(5)1(232=-+-a a ，1)1(5)1(201032010-=-+-a a ，以下给出四个判断①公差0d <; ②20112011S =; ③10001a <; ④n S 有最大值其中正确判断的序号是 .（填写所有正确判断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分8分）已知关于x 的不等式20x a x b -+<．（Ⅰ）若3,2a b ==，求已知不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集为{}15x x <<，求,a b 的值．已知数列{}n a 的前n 项和21122n S n n =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前2011项和2011T ．19．（本小题满分8分）如图所示,正方形A D E F 与梯形A B C D 所在的平面互相垂直, ,//,A D C D A B C D ⊥22C D A B A D ==(Ⅰ)求证：B C B E ⊥；(Ⅱ)在E C 上找一点M ,使得//B M 平面A D E F ,请确定M 点的位置,并给出证明．20．（本小题满分9分）某运输公司今年年初用128万元购进一批出租车，并立即投入营运，计划第一年维修、保险及保养费用4万元，从第二年开始，每年所需维修、保险及保养费用比上一年增加4万元，该批出租车使用后，每年的总收入为120万元，设使用x 年后该批出租车的盈利额为y 万元. （Ⅰ）写出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）试确定x ,使该批出租车年平均盈利额达到最大,并求出最大值.EB A CDF在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知 ab BA =cos cos ，且32π=∠C ．（Ⅰ）求角B A ,的大小；（Ⅱ）若B C 边上的中线A M ，求ABC ∆的面积． 22．（本小题满分10分）已知数列{}n a ，圆2211:2210n n C x y a x a y ++-+-=和圆222:2220C x y x y +++-=．若圆1C 与2C 交于A 、B 两点，且A B 平分圆2C 的周长．(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等差数列； (Ⅱ)若13a =-，求圆1C 被直线220x y ++=截得弦长最小时圆1C 的方程．(Ⅲ)若圆3C 为(Ⅱ)中求出的圆1C 的同心圆，且半径为2．设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ,它们分别与圆2C 和3C 相交,且直线1l 被圆2C 截得的弦长与直线2l 被圆3C 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标．。

高一数学期中复习题2

高一数学期中复习题（2）一、填空题：1、设θ为第二象限角，则点(sin ,cos )P θθ在第象限2、终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合可以表示为3327x ≤≤，则x 的取值范围是 4、函数2y x -=（0x <）的反函数是5、若3484log 4log 8log log 14m ⋅⋅=，则实数m =6、使得对数式1log (3)x x --有意义的x 的取值范围是7、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-= 8、方程3log (123)21x y x =-⋅=+的解为 9、已知3sin cos 5αβ-=，4cos sin 5αβ+=，则sin()αβ-= 10、以下四个命题：①若log 33x =，则9x =；②41l o g 2x =，则2x =；③l o g 0x =，则x ④若15log 3x =-，则125x =，其中真命题的序号是二、选择题：11、给出下列命题：①75- 是第四象限角；②225 是第三象限；③195π是第一象限角；④526k ππ-（k Z ∈）是第二象限角. 其中正确命题的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、412、已知1a b c >>>，则下列不等式成立的是（）A 、log log a a b c >B 、11log log a a b c >C 、11log log a ab c > D 、1111log log a a b c < 13、已知函数23(0)()log (0)x x f x y x x ⎧≤=⎨=>⎩，那么1()4f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ A 、9 B 、19 C 、9- D 、19-三、解答题：14、解方程：222log (3)log (610)1xx -=--15、已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求sin β的值.16、已知tan()24πα+=，（1）求tan α；（2）求2sin 3sin cos 3ααα--.17、设{}2242(log )14log 30D x x x =-+≤，（1）求2log x 的值；（2）求()f x =2(log )2x ⋅（x D ∈）的最大值和最小值。

2010-2011学年上海市宝山区吴淞中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)

2010-2011学年上海市宝山区吴淞中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．终边在x 轴上的角的集合． 2．3x ＝2的解x ＝．3．若log α34＜1，则α的取值范围是．4．化简cos20°cos （α﹣20°）+sin200°sin （α﹣20°），得其结果为． 5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是． 6．用列举法写出集合A ＝{y |y =1cosα√1+tan α+2tanα√sec α−1}＝．7．已知sin(π4−α)=−23，π4＜α＜π2，则sin α＝．8．已知sin(α+β)=23，sin(α−β)=15，则tanαtanβ= ．9．函数f （x ）=log 12（x 2+ax +2）值域为R ，则实数a 的取值范围是．10．在△ABC 中，sin B •sin C ＝cos 2A2，则△ABC 的形状是．11．若在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC =√3，则a+b+csinA+sinB+sinC= ．12．阅读材料：某同学求解sin18°的值其过程为：设α＝18°，则5α＝90°，从而3α＝90°﹣2α，于是cos3α＝cos （90°﹣2α），即cos3α＝sin2α，展开得4cos 3α﹣3cos α＝2sin αcos α，∴cos α＝cos18°≠0，∴4cos 2α﹣3＝2sin α，化简，得4sin 2α+2sin α﹣1＝0，解得sin α=−1±√54，∵sin α＝sin18°∈（0，1），∴sin α=−1+√54（sin α=−1−√54＜0舍去），即sin18°=−1+√54．试完成以下填空：设函数f （x ）＝ax 3+1对任意x ∈[﹣1，1]都有f （x ）≥0成立，则实数a 的值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．“α=π4”是“sinα=√22”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．下列选项中，错误的是（）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180度一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关15．已知a 、b 、c 依次为方程2x +x ＝0，log 2x ＝2和log 12x =x 的实数根，则a 、b 、c 之间的大小关系为（） A ．b ＞a ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a16．函数y ＝ln cos x （−π2＜x ＜π2）的图象是（）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程√3lgx −2−3lgx +4＝0． 18．证明：1+sinα−cosα1+sinα+cosα=tan α2．19．已知a ∈（π2，π），且sin a 2+cos a 2=2√33．（Ⅰ）求cos a 的值；（Ⅱ）若sin （α+β）=−35，β∈（0，π2），求sin β的值．20．已知函数f （x ）＝a •2x ﹣1+2﹣x （a 为常数，x ∈R ）为偶函数．（1）求a 的值；并用定义证明f （x ）在[0，+∞）上单调递增；（2）解不等式：f （2log a x ﹣1）＞f （log a x +1）．21．对定义域分别是D f 、D g 的函数y ＝f （x ），y ＝g （x ），规定：函数h （x ）={f(x)⋅g(x)当x ∈D f 且x ∈D g 1当x ∈D f 且x ∉D g −1当x ∉D f 且x ∈D g．（1）若f （α）＝sin α•cos α，g （α）＝csc α，写出h （α）的解析式；（2）写出问题（1）中h（α）的取值范围；（3）若g（x）＝f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y ＝f（x），及一个α的值，使得h（x）＝cos4x，并予以证明．2010-2011学年上海市宝山区吴淞中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．终边在x 轴上的角的集合 {α|α＝k π，k ∈Z } ．【分析】终边在x 轴的角只有和x 轴正半轴或者负半轴重合．【解答】设终边在x 轴上的角为α，当α在x 轴正半轴时，α＝2k π，其中k ∈Z ；当α在x 轴负半轴时，α＝π+2k π＝（2k +1）π，其中k ∈Z 综上所述：α的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }【点评】结合角在坐标的表示就可以求解，属于基础题 2．3x ＝2的解x ＝ log 32 ．【分析】运用对数式与指数式间的互化，进行求解即可．解：根据对数式与指数式间的互化，可得：原方程3x ＝2的解x ＝log 32，故答案为：log 32．【点评】本题主要考查了指数式与对数式之间的互化，属于基础题． 3．若log α34＜1，则α的取值范围是（0，34）∪（1，+∞）．【分析】分a ＞1和1＞a ＞0两种情况，利用函数y ＝log a x 在它的定义域上的单调性，结合条件求得a 的取值范围，再取并集，即得所求．解：当a ＞1时，函数y ＝log a x 在它的定义域（0，+∞）上是增函数，由于log α34＜1＝log a a ，故可得 a ＞1．当 1＞a ＞0时，函数y ＝log a x 在它的定义域（0，+∞）上是减函数，由于log α34＜1＝log a a ，故可得34＞a ＞0．综上可得 a 的取值范围是（0，34）∪（1，+∞）．故答案为：（0，34）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．4．化简cos20°cos （α﹣20°）+sin200°sin （α﹣20°），得其结果为 cos α ．【分析】首先利用诱导公式得出cos20°cos （α﹣20°）﹣sin20°sin （α﹣20°），然后直接利用两角和与差公式得出结果．解：∵sin200°＝sin （180°+20°）＝﹣sin20°∴cos20°cos （α﹣20°）+sin200°sin （α﹣20°）＝cos20°cos （α﹣20°）﹣sin20°sin （α﹣20°）＝cos a ，故答案为：cos α【点评】本题主要考查三角函数中两角和与差公式，关键是能记住公式，并熟练运用． 5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 4cm 2 ．【分析】先求出扇形的弧长，利用周长求半径，代入面积公式s =12αr 2进行计算．解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2，所以扇形的面积为：12×4×2=4cm 2；故答案为4cm 2．【点评】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力． 6．用列举法写出集合A ＝{y |y =1cosα√1+tan α+2tanα√sec α−1}＝ {﹣3，﹣1，1，3} ．【分析】首先利用同角三角函数间的基本关系进行化简，然后分类求出y 的值．解：y =1cosα√1+tan α2tanα√sec α−1=1cosα|secα|+2tanα|tanα|当sec α＞0，tan α＞0时，y ＝3 当sec α＞0，tan α＜0时，y ＝﹣1 当sec α＜0，tan α＞0时，y ＝1 当sec α＜0，tan α＜0时，y ＝﹣3 故集合A ＝{﹣3，﹣1，1，3} 故答案为：{﹣3，﹣1，1，3}【点评】本题的考点是同角三角函数间的基本关系，主要考查利用同角三角函数间的基本关系，属于基础题．7．已知sin(π4−α)=−23，π4＜α＜π2，则sin α＝ √10+2√26．【分析】已知sin(π4−α)=−23，π4＜α＜π2，求出cos （π4−α）；再把α分[（π4−（π4−α）]结合两角差的正弦公式即可得到结论．解：因为：sin(π4−α)=−23，π4＜α＜π2，∴cos （π4−α）=√53． ∴sin α＝sin[π4−（π4−α）]＝sin π4•cos （π4−α）﹣cos π4•sin （π4−α）=√10+2√26．故答案为：√10+2√26．【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系的运用以及两角差的正弦公式．考查对公式的熟练运用程度．8．已知sin(α+β)=23，sin(α−β)=15，则tanαtanβ=137．【分析】根据两角和与差的三角函数，分别求出sin αcos β，cos αsin β的值，进而求得tanαtanβ．解：由已知可得：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23①sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=15② 由①②得，sin αcos β=1330，cos αsin β=730 ∴tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137故答案为：137．【点评】本题考查了三角函数的和与差公式应用，考查计算能力，常考题型，属于基础题型． 9．函数f （x ）=log 12（x 2+ax +2）值域为R ，则实数a 的取值范围是 a ≤−2√2，或a ≥2√2，．【分析】由题意可得二次函数y ＝x 2+ax +2的值y 能取到（0，+∞）内的任何实数，故有△＝a 2﹣8≥0，解之可得．解：函数f （x ）=log 12（x 2+ax +2）值域为R ，等价于二次函数y ＝x 2+ax +2的值y 能取到（0，+∞）内的任何实数，故有△＝a 2﹣8≥0，解得a ≤−2√2，或a ≥2√2，故答案为：a ≤−2√2，或a ≥2√2，【点评】本题考查函数的值域，涉及二次函数的知识即不等式的解集，属基础题． 10．在△ABC 中，sin B •sin C ＝cos 2A2，则△ABC 的形状是等腰三角形．【分析】先利用二倍角公式化简根据结果为＝sin B cos C 化简整理求得cos （B ﹣C ），进而求的B ＝C ，判断出三角形为等腰三角形．解：cos 2A 2=1+cosA 2=1−cos(B+C)2=sin B cos C ∴cos B cos C ﹣sin B sin C ＝1﹣2sin B cos C ∴cos （B ﹣C ）＝1 ∴B ﹣C ＝0，即B ＝C ∴三角形为等腰三角形．【点评】本题主要考查了三角形的判断．解题的关键是引用了二倍角公式的灵活运用． 11．若在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC =√3，则a+b+c sinA+sinB+sinC=√393．【分析】又A 的度数求出sin A 和cos A 的值，根据sin A 的值，三角形的面积及b 的值，利用三角形面积公式求出c 的值，再由cos A ，b 及c 的值，利用余弦定理求出a 的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．解：由∠A ＝60°，得到sin A =√32，cos A =12，又b ＝1，S △ABC =√3，∴12bc sin A =12×1×c ×√32=√3，解得c ＝4，根据余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝1+16﹣4＝13，解得a =√13，根据正弦定理asinA =b sinB=c sinC=√13√32=2√393，则a+b+csinA+sinB+sinC=2√393．故答案为：2√393【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理建立了三角形的边与角之间的关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12．阅读材料：某同学求解sin18°的值其过程为：设α＝18°，则5α＝90°，从而3α＝90°﹣2α，于是cos3α＝cos （90°﹣2α），即cos3α＝sin2α，展开得4cos 3α﹣3cos α＝2sin αcos α，∴cos α＝cos18°≠0，∴4cos 2α﹣3＝2sin α，化简，得4sin 2α+2sin α﹣1＝0，解得sin α=−1±√54，∵sin α＝sin18°∈（0，1），∴sin α=−1+√54（sin α=−1−√54＜0舍去），即sin18°=−1+√54．试完成以下填空：设函数f （x ）＝ax 3+1对任意x ∈[﹣1，1]都有f （x ）≥0成立，则实数a 的值为 4 ．【分析】先求出f ′（x ）＝0时x 的值，进而讨论函数的增减性得到f （x ）的最小值，对于任意的x ∈[﹣1，1]都有f （x ）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a 的范围．解：由题意，f ′（x ）＝3ax 2﹣3，当a ≤0时3ax 2﹣3＜0，函数是减函数，f （0）＝1，只需f （1）≥0即可，解得a ≥2，与已知矛盾，当a ＞0时，令f ′（x ）＝3ax 2﹣3＝0解得x ＝±√aa， ①当x ＜−√aa时，f ′（x ）＞0，f （x ）为递增函数， ②当−√a a＜x ＜√aa时，f ′（x ）＜0，f （x ）为递减函数，③当x ＞√a a时，f （x ）为递增函数．所以f （ √aa ）≥0，且f （﹣1）≥0，且f （1）≥0即可由f （√a a ）≥0，即a •（ √a a ）3﹣3•√a a+1≥0，解得a ≥4，由f （﹣1）≥0，可得a ≤4，由f （1）≥0解得2≤a ≤4，综上a ＝4为所求．故答案为：4．【点评】本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．“α=π4”是“sinα=√22”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【分析】先判定“α=π4”是否能推出“sinα=√22”，以及“sinα=√22”能不能推出“α=π4”，从而判定它们的条件关系．解：当α=π4时，则sinα=√22当sinα=√22时，α=π4+kπ或3π4+kπ，k∈Z故“α=π4”⇒“sinα=√22”“sinα=√22”不能推出“α=π4”所以“α=π4”是“sinα=√22”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．14．下列选项中，错误的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180度一定等于π弧度D．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关【分析】直接利用弧度制与角度制的定义，判断即可．解：“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，判断正确；一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π，满足两种角的度量定义，正确；根据弧度的定义，180度一定等于π弧度，满足两种角的度量关系，正确；不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关，不正确；故选：D．【点评】本题考查角度制与弧度制的关系，基本知识的考查．15．已知a、b、c依次为方程2x+x＝0，log2x＝2和log12x=x的实数根，则a、b、c之间的大小关系为（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞c＞a【分析】令函数f（x）＝2x+x＝0，令g（x）＝log0.5x﹣x＝0，令h（x）＝log2x﹣2＝0，结合图象分别求三个函数的零点的范围，判断零点的范围，从而得到结果．解：令函数f（x）＝2x+x＝0，即2x＝﹣x，画出图象，可知x＜0，即a＜0；令g（x）＝log0.5x﹣x＝0，即log0.5x＝x，则0＜x＜1，即0＜c＜1；令h（x）＝log2x﹣2＝0，可知x＝4，即b＝4．显然b＞c＞a．故选：D．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的零点、函数的零点与方程根的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．16．函数y＝ln cos x（−π2＜x＜π2）的图象是（）A．B．C．D．【分析】利用函数y=lncosx(−π2＜x＜π2)的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决．解：∵cos（﹣x）＝cos x，∴y=lncosx(−π2＜x＜π2)是偶函数，可排除B、D，由cos x≤1⇒ln cos x≤0排除C，故选：A．【点评】本小题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程√3lgx −2−3lgx +4＝0．【分析】本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力．设√3lgx −2=y ，原方程化为关于y 的一元二次方程解决即可．必须注意新变量的取值范围．解：设√3lgx −2=y ，原方程化为y ﹣y 2+2＝0解得y ＝﹣1，y ＝2．因为√3lgx −2≥0，所以将y ＝﹣1舍去．由√3lgx −2=2，得lgx ＝2，所以x ＝100．经检验，x ＝100为原方程的解．【点评】换元法是一种变量代换，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，从而使问题得到简化，换元的实质是一种化繁为简，化难为易的数学转化思想的具体体现，可以达到熔化难点，加快解题速度，事半功倍之效．18．证明：1+sinα−cosα1+sinα+cosα=tan α2．【分析】利用二倍角公式，化sin α＝2 sin α2cos α2，1﹣cos α＝2sin 2α2，1+cos α＝2cos 2α2，再利用同角三角函数关系式化简证明．【解答】证明：原式左边=(1−cosα)+sinα(1+cosα)+sinα=2sin 2α2+2sin α2cos α22cos 2α2+2sin α2cos α2=sin α2(sin α2+cos α2)cos α2(sin α2+cos α2)=sin α2cos α2=tan α2=右边所以原式成立【点评】本题考查了二倍角公式，同角三角函数关系式在证明题中的应用．三角函数证明题要进行角的转化，函数种类的转化．19．已知a ∈（π2，π），且sin a 2+cos a 2=2√33．（Ⅰ）求cos a 的值；（Ⅱ）若sin （α+β）=−35，β∈（0，π2），求sin β的值．【分析】（1）把已知条件两边平方，移项整理，得到要求的α的正弦值．（2）角的变换是本题的中心，把β变换为（α+β）﹣α，应用两角差的正弦公式，在应用公式同时，注意角的范围．解：（Ⅰ）∵sinα2+cosα2=2√33，∴1+2sin α2cosα2=43，∴sinα=1 3∵α∈(π2，π)∴cosα=−2√23．（Ⅱ）∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴α+β∈(π2，3π2)∵sin(α+β)=−3 5，∴cos(α+β)=−4 5∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=6√2+415【点评】角的变换是本题的重点，见到以整体形式出现的角一般整体处理，不会把角展开，几种公式在一个题目中出现，使题目的难度增大，解类似题目时，注意抓住条件和结论的内在联系．20．已知函数f（x）＝a•2x﹣1+2﹣x（a为常数，x∈R）为偶函数．（1）求a的值；并用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增；（2）解不等式：f（2log a x﹣1）＞f（log a x+1）．【分析】（1）直接根据偶函数的定义得到f（1）＝f（﹣1），即可求出a的值；再用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增即可；（2）直接根据偶函数中f（﹣x）＝f（x）＝f（|x|），再结合其在[0，+∞）上的单调性即可求出不等式的解集．解：（1）f （x ）为偶函数，所以f （1）＝f （﹣1），即：a +12=14a +2，解得：a ＝2 证明：设x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1＜x 2∴f （x 1）﹣f （x 2）=2x 1+2−x 1−2x 2−2−x 2=(2x 1−2x 2)(1−12x 1+x 2) ∵x 1＜x 2，∴2x 1−2x 2＜0∵x 1，x 2∈[0，+∞），∴1−12x 1+x 2＞0 ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝2x +2﹣x 在[0，+∞）上单调递增．（2）f （x ）为偶函数，a ＝2，不等式f （2log a x ﹣1）＞f （log a x +1）变为f （|2log 2x ﹣1|）＞f （|log 2x +1|），由于f （x ）＝2x +2﹣x 在[0，+∞）上单调递增，所以|2log 2x ﹣1|＞|log 2x +1|，两边平方，得：log 22x ﹣2log 2x ＞0，∴log 2x ＜0，或log 2x ＞2∴0＜x ＜1，或x ＞4【点评】本题主要考查对数函数与指数函数的综合问题以及偶函数性质的运用．解决第二问的关键在于根据偶函数中f （﹣x ）＝f （x ）＝f （|x |），把问题简单化，避免讨论． 21．对定义域分别是D f 、D g 的函数y ＝f （x ），y ＝g （x ），规定：函数h （x ）={f(x)⋅g(x)当x ∈D f 且x ∈D g1当x ∈D f 且x ∉D g−1当x ∉D f 且x ∈D g．（1）若f （α）＝sin α•cos α，g （α）＝csc α，写出h （α）的解析式；（2）写出问题（1）中h （α）的取值范围；（3）若g （x ）＝f （x +α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f （x ），及一个α的值，使得h （x ）＝cos4x ，并予以证明．【分析】（1）根据题中的新定义列出h （α）的解析式即可；（2）根据余弦函数的值域，以及h（α）的解析式，求出h（α）的范围即可；（3）令f（x）＝sin2x+cos2x，α=π4，可使h（x）＝cos4x，理由为：根据若g（x）＝f（x+α），利用诱导公式化简求出cos2x﹣sin2x的值，再根据h（x）＝f（x）f（x+α），利用平方差公式及二倍角的余弦函数公式即可得到结果．解：（1）根据题意得：h（α）={cosα(α≠kπ，k∈Z) 1(α=kπ，k∈Z)；（2）h（α）的取值范围是（﹣1，1]；（3）令f（x）＝sin2x+cos2x，α=π4，g（x）＝f（x+α）＝sin2（x+π4）+cos2（x+π4）＝cos2x﹣sin2x，则h（x）＝f（x）f（x+α）＝（sin2x+cos2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos4x．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握公式是解本题的关键．。

2013～2014学年度第二学期期中练习高一数学

2013～2014学年度第二学期期中练习高一数学2014．4（测试时间：100分钟总分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．） 1．sin 240︒的值是（）A ．12 B C ． D ．12- 2．若角α满足sin cos 0,cos sin 0αααα⋅<-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a b 4．函数1sin22y x =是（） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 5．sin 33sin 63cos 63cos33︒⋅︒+︒⋅︒的值等于（）A ．12 B C ．12- D ． 6．函数x y sin -=和函数x y ta n =在(,)22ππ-内都是（）A ．周期函数B ．增函数C ．奇函数D ．减函数7．要得到函数cos 23y x π=+（）的图像，只需将函数cos2y x =的图像（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度8．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0,0,2A πωϕ>><，则（）A ．4A =B ．1ω=C ．6πϕ=D ．4B =9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数．令5(sin)7a f π=，2(cos )7b f π=，2(tan)7c f π=，则（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<10．函数()f x =（）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减 D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．） 11．求值：sin15cos15︒+︒= ．12．已知,a b 满足0⋅a b =，1,2a =b =，则-=a b ．13．如图，扇形AOB 的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为；弦AB 的长为．14．函数()cos sin()2f x x x πωω=⋅+的两对称轴之间的最小距离是3π，则ω= ． 15．函数()sin |1|f x x x =--的零点个数为． 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，共36分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把．．答案填在答题卡中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．） 17．已知向量(1,2),(4,1)O A O B =-=-，(,1)OC m m =+．（Ⅰ）若//AB OC ，求实数m 的值；（Ⅱ）若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．18．已知5sin 13α=，且(,)2παπ∈．（Ⅰ）求tan α的值；cos 2π)4αα+的值．αBA19．如下图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点．（Ⅰ）若,A B 两点的纵坐标分别为412,513，求cos()βα-的值；（Ⅱ）已知点C 是单位圆上的一点，且O C O A O B =+，求OA 和OB 的夹角θ．20．已知函数()2sin (c o s sin )f x x x x =-+x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]46-上的最小值和最大值；（Ⅲ）若π(π,]4x ∈-，求使()f x ≥x 取值范围．2013～2014学年度第二学期期中练习高一数学答案17．解：（Ⅰ）因为向量(1,2),(4,1)O A O B =-=-，所以=(3,1)A B O B O A -=．因为//AB OC ，且(,1)O C m m =+，所以3(1)0m m +-=．所以32m =-． ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，=(3,1)A B O B O A -=，=(1,3)AC OC OA m m -=-+，=(4,2)BC OC OB m m -=-+ ．因为△ABC 为直角三角形，所以AB AC ⊥，AB BC ⊥或AC BC ⊥．当AB AC ⊥时，有3(1)30m m -++=，解得0m =；当AB BC ⊥时，有3(4)20m m -++=，解得52m =；当AC BC ⊥时，有(1)(4)(3)(2)0m m m m --+++=，解得m ∈∅．所以实数m 的值为0或52．……… 9分 18．解：（Ⅰ）因为5sin 13α=，且(,)2παπ∈，所以12cos 13α==-．所以sin 5tan cos 12ααα==-． ……… 4分 22cos 2cos sin πππ)cos cos sin )444αααααα-=+⋅+⋅22cos sin cos sin sin cos αααααα-==-+12517131313=--=-．cos217π13)4αα=-+． ……… 9分19．解：（Ⅰ）因为,A B 两点的纵坐标分别为412,513，所以4sin 5α=，12sin 13β=．又因为α为锐角，β为钝角，所以3cos 5α=，5cos 13β=-．所以33cos()cos cos sin sin 65βαβαβα-=⋅+⋅=． ……… 4分（Ⅱ）因为,A B 是单位圆上的一点，所以(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ=．又因为O C O A O B =+，所以(c o sc o s ,sin sin )O C O A O B αβαβ=+=++．因为点C 是单位圆上的一点，所以1OC =，即22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=．整理得，1cos cos sin sin 2αβαβ⋅+⋅=-．所以1cos cos ,cos cos sin sin 2OA OB OA OB OA OBθαβαβ⋅=<>==⋅+⋅=-⋅．又因为[0,]θπ∈，所以OA 和OB 的夹角为23π．……… 9分 20．解： ()2sin (cos sin )sin 2(1cos2)f x xx x x x =-=--s i n 2c o s 21x x =+ )14x π=++ ……… 2分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为22ππ=． ……… 3分令222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ）得，388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）．所以函数()f x 的单调增区间是3[,]88k k ππππ-+（k ∈Z ）．……… 4分 (Ⅱ)因为ππ[,]46x ∈-，所以724412x πππ-≤+≤．所以sin(2)14x π≤+≤．所以1)4x π-≤+≤2)24x π≤++≤．所以函数()f x 在区间ππ[,]46x ∈-2，最大值是1． …7分(Ⅲ) 因为π(π,]4x ∈-，所以732444x πππ-<+≤．由()f x ≥)4x π++≥，所以sin(2)4x π+≥所以752444x πππ-<+≤-或32444x πππ≤+≤．所以34x ππ-<≤-或04x π≤≤．当π(π,]4x ∈-时，使()f x ≥x 取值范围是3(,]4ππ--[0,]4π．……… 9分。