2014年高考北京文科数学试题及答案(精校版)
2014年全国高考北京市数学(文)试卷及答案【精校版】
15（. 本小题满分 13 分）已知 an 是等差数列， 满足 a1 3 ，a4 12 ，数列 bn 满足 b1 4 ，
b4 20 ，且 bn an 是等比数列 .
（1）求数列 an 和 bn 的通项公式；
（2）求数列 bn 的前 n 项和 .
16.（本小题满分 13 分）函数 f x 3sin 2x
过点 B （2， 10）存在 2 条直线与曲线 y f ( x) 相切； 过点 C（0， 2）存在 1 条直线与曲线 y f (x) 相切 .
4 时间等号成立，所以 | AB |2 8 ，
故线段 AB 长度的最小值为 2 2 .
（ 20 ）解：
（I ）由 f ( x) 2 x3 3x 得 f '( x) 6x2 3 ，令 f '(x) 0 ，得 x
2 或x
2
2
，
2
因为 f ( 2)
10 ， f (
2 )
2
2 2， f( )
2
2 ， f (1) 1 ，
（I ）根据频数分布表， 100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有
6=2+2=10 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于
12 小时的频率是 1 10 0.9 . 100
从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于
12 小时的概率为 0.9 .
频率 （II ）课外阅读时间落在组 [4,6) 的有 17 人， 频率为 0.17 ，所以 a
时， f x 取得最大值 0；
6
12
当 2x 6
（ 17 ）解：
，即 x 2
时， f x 取得最小值 3 . 3
（I ）在三棱柱 ABC A1B1C1 中， BB1 底面 ABC ，所以 BB1 AB ，
北京高考文科数学试题及答案完美版
2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}3（2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）（A ）xy e -= （B ）y x = （C ）ln y x = （D ）y x =（3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）（A ）()5,7 （B ）()5,9 （C ）()3,7 （D ）()3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）7 （D ）15（5）设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 （6）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）(A)()0,1 (B)()1,2 (C)()2,4 (D)()4,+∞（7）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4（8下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京市高考数学(文科)
6第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合 A = {0,1, 2, 4}， B = {1, 2, 3} ，则 A B = （）A. {0,1, 2, 3, 4}B. {0, 4}C. {1, 2}D.{3}2.下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ）A. y = e- xB. y = xC. y = ln xD. y = x3.已知向量 a = (2, 4) ， b = (-1,1) ，则 2a - b = （ ）A. (5, 7)B. (5, 9)C. (3, 7)D. (3, 9)4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A.1B. 3C. 7D.155.设 a 、 b 是实数，则“ a > b ”是“ a 2 > b 2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数 f ( x ) = - log 2 x ，在下列区间中，包含 f ( x )零点的区间是（） xA. (0,1)B. (1, 2)C. (2, 4)D. (4, +∞)7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m, 0)，B (m, 0)(m > 0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB = 90 ，则m 的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系p = at 2 + bt + c （a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A. 3.50 分钟B. 3.75 分钟C. 4.00 分钟D. 4.25 分钟第2 部分（非选择题共110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
2014年北京市高考数学试卷(文科)
C．{1，2}
D．{3}
【分析】直接利用交集的运算得答案．
【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}， ∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
第 1页（共 20页）
食用率”，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 （t 单位：分钟）满足函数关系 p＝at2+bt+c （a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以 得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50 分钟
B．3.75 分钟
C．4.00 分钟
D．4.25 分钟
制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如
下：
第 2页（共 20页）
工序 时间 原料
粗加工
精加工
原料 A
9
15
原料 B
6
21
则最短交货期为
个工作日．
三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足 a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足 b1＝4，
2．（5 分）（2014•北京）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ）
A．y＝e﹣x
B．y＝x
C．y＝lnx
D．y＝|x|
3．（5 分）（2014•北京）已知向量 ＝（2，4）， ＝（﹣1，1），则 2 ﹣ ＝（ ）
A．（5，7）
B．（5，9）
C．（3，7）
D．（3，9）
4．（5 分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
全国高考文科数学试题及答案 北京卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年高考真题——文科数学(北京卷)解析版 Word版含解析
课标文数【2014·北京文卷】一、选择题1.[2014•北京文卷]若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0==I I B A . 2. [2014•北京文卷]下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B【解析】由定义域为R 排除选项C ，定义域单调递增排除选项A 、D. 3. [2014•北京文卷]已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--. 4. [2014•北京文卷]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15输出【答案】C【解析】7222210=++=S . 5. [2014•北京文卷]设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立. 6. [2014•北京文卷] 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作函数()xx h 6=与()x x g 2log =的图象如图，可得()x f 零点所在区间为()4,2.7. [2014•北京文卷]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8. [2014•北京文卷]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 O 5430.80.70.5t p记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴()0625.075.32.025.12.022+--=-+-=t t t p ，即当75.3=t 时，P 有最大值.二、填空题9. [2014•北京文卷]若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10. [2014•北京文卷]设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.()0,m A -()0,m BP【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11. [2014•北京文卷]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12. [2014•北京文卷]在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815PBAC【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A . 13. [2014•北京文卷]若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14. [2014•北京文卷] 【答案】42【解析】交货期最短即少耽误工期，所以先让徒弟加工原料B ，交货期为4215216=++天. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料粗加工精加工原料A 9 15 原料B6 21则最短交货期为 工作日15. [2014•北京文卷]已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.1=y 01=--y x 01=-+y x xy 3-=A（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==L ，，． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=L ，， ⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=L ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. [2012•北京文卷] 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． 17. [2014•北京文卷]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ． 因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC A C ∥，且11AC A C =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，GC 1B 1A 1FE CBA所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△． 18. [2014•北京文卷]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 19. [2014•北京文卷] 已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =．故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+- ()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. [2014•北京文卷] 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛= ⎝()11f f ==-所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝ . （Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：)当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--， .（Ⅲ）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在1条直线与曲线()y f x =相切.：。
2014·北京(文科数学) (1)精品完美解析版
第 1 页 共 8 页2014·北京卷(文科数学)1． [2014·北京卷] 若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1，2，3，4}B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3}1．C [解析] A ∩B ＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．2． [2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D.3． [2014·北京卷] 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9)3．A [解析] 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．4． [2014·北京卷] 执行如图1-1所示的程序框图，输出的S 值为()图1-1A ．1B ．3C ．7D ．154．C [解析] S ＝20＋21＋22＝7.5． [2014·北京卷] 设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．D [解析] 当ab <0时，由a >b 不一定推出a 2>b 2，反之也不成立．6． [2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)6．C [解析] 方法一：对于函数f (x )＝6x－log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.。
北京高考数学文科word解析版2014
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，定义域是 且为增函数的是（）
A. B. C. D.
3.已知向量 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
已知函数 .
（1）求 在区间 上的最大值；
（2）若过点 存在3条直线与曲线 相切，求t的取值范围；
（3）问过点 分别存在几条直线与曲线 相切？（只需写出结论）
参考答案北京2014文
一选择题：
1.C解析过程：根据集合的运算性质
2.B解析过程：A在义域上为减函数；；C的定义域为 ；D在定义域上先减后增
使得 ，则 的最大值为（）
A. B. C. D.
8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.
在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位：分钟）
满足的函数关系 （ 、 、 是常数），
图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，
可以得到最佳加工时间为（ ）
A. 分钟B. 分钟
C. 分钟 D. 分钟
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
16.（本小题满分13分）函数 的部分图象如图所示.
（1）写出 的最小正周期及图中 、 的值；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， 、 分别为 、 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
3.A解析过程：
4.C解析过程：第一次循环S=1，k=1；第二次循环S=3，k=2；第三次循环S=7，k=3，输出k的值，答案C
2014年北京高考文科数学试题含答案(Word版)
2014 年一般高等学校招生全国一致考试北京卷文科数学本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长120 分钟，。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的 4 个选项中，选出切合题目要求的一项。
1.若会合A0,1,2,4， B1,2,3 ，则 A B （）A. 0,1,2,3,4B. 0,4C.1,2D.32.以下函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A. y e xB. y xC. y ln xD. y x3.已知向量a2,4 ， b1,1 ，则2a b（）A. 5,7B.5,9C.3,7D.3,94.履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A. 1B.3C.7D. 15开始否是输出结束5.设a、b是实数，则“ a b ”是“a2b2”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不用要条件C.充足必需条件D. 既不充足不用要条件6.已知函数f x 6log 2 x ，在以下区间中，包括f x 零点的区间是（）xA. 0,11,22,4 D. 4,B. C.7.已知圆C : x221和两点 A m,0， B m,0m0 ，若圆 C 上存在点3y 4P ，使得APB90，则 m 的最大值为（）A. 7B. 6C.5D. 48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”at 2. 咋特定条件下，可食用率p 与加工时间 t （单位：分钟）学科知足的函数关系p bt c （ a 、b、 c 是常数），以下图记录了三次实验的数据. 依据上述函数模型和实验数据，能够获取最正确加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟p0.80.70.5O345t第 2 部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
2014年北京高考文科数学试题及答案(Word版)
2014 年一般高等学校招生全国一致考试北京卷文科数学本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长120 分钟，。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的 4 个选项中，选出切合题目要求的一项。
1.若会合A 0,1,2,4 ， B 1,2,3 ，则A B （）A. 0,1,2,3,4B. 0,4C. 1,2D. 32.以下函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A. y e xB. y xC. y ln xD. y x3.已知向量a 2,4 ， b 1,1 ，则 2a b （）A. 5,7B. 5,9C. 3,7D. 3,94.履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A. 1B. 3C. 7D. 15开始否是输出结束5.设a、b是实数，则“ a b ”是“ a2 b2”的（）A. 充分而不用要条件B. 必需而不用要条件C.充分必需条件D. 既不充分不用要条件6.已知函数f x 6log 2 x ，在以下区间中，包括 f x 零点的区间是（）xA. 0,1 1,2 2,4 D. 4,B. C.7.已知圆C : x2 21和两点A m,0 ， B m,0 m 0 ，若圆C上存在点3 y 4P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”at 2 . 咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）学科网知足的函数关系 p bt c （ a 、b、 c 是常数），以下图记录了三次实验的数据. 依据上述函数模型和实验数据，能够获得最正确加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟p0.80.70.5O 3 4 5 t第 2 部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
2014北京高考数学文科
2014高考北京（文）一、选择题1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B. 3y x =C.ln y x =D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟二、填空题9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日. 三、解答题15.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.16.（本小题满分13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，=1BC ，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA18. （本小题满分13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的,a b 的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）19. （本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.20. （本小题满分13分）已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）参考答案一、选择题 1.C解析：∵{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，∴{}{}{}0,1,2,41,2,31,2A B ==故选：C考点：1.1.3集合的基本运算 难度：A备注：高频考点 2.B解析：函数的定义域为R ，但函数为减函数，不满足条件． B ．函数的定义域为R ，函数增函数，满足条件． C ．函数的定义域为0+∞（，），函数为增函数，不满足条件． D ．函数的定义域为R ，在0+∞（，）上函数是增函数，在-0∞（，）上是减函数，不满足条件． 故选A ．考点：（1）2.1.5求函数的定义域；（2）2.2.1函数单调性的判断；（3）2.4.3指数函数的性质及应用．（4）2.5.2对数函数的图象与性质. 难度： A 备注：概念题 3． A解析：由a=2,4（），b=-1,1（），得： 2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(4,8)-(-1,1)=(5,7)．故选：A考点： 5.2.2向量坐标的基本运算. 难度：A备注：细节题 4． C解析：由程序框图知：算法的功能是求12s 1222k =++++的值，∵跳出循环的k 值为3， ∴输出12s 122=7=++． 故选：C ．考点：11.1.3程序框图的识别及应用． 难度：A备注：典型题 5．D解析：因为a ，b 都是实数，由a b >，不一定有22a b >，如﹣2＞﹣3，但22-2-3>（）（），所以“a b >”是“22a b >”的不充分条件；反之，由22a b >也不一定得a b >，如22-3-2>（）（），但-3<-2，所以“a ＞b”是“22a b >”的不必要条件． 故选D 考点：（1）1.3.1充分、必要、充要条件的概念与判断；（2）7.1.1不等式的性质；（3）7.1.2比较实数或代数式的大小；（4）13.2.5检验法． 难度：B备注：易错题 6． C解析：方法一：∵26()log =-f x x x，∴(2)20=>f ，1(4)-02=<f ，满足(2)(4)0<f f ，∴()f x 在区间2,4（）内必有零点，故选：C方法二：在同一坐标系中作出函数h 6()=x x与g 2()=log x x 的大致图像，如图所示，可得()f x 的零点所在的区间为2,4（）．（2）2.8.3函数图像的应用；（3）13.1.1函数与方程思想． 难度：B备注：一题多解 7．B解析：圆C ：22-3)(4)1（+-=x y 的圆心C(3,4)，半径为1， ∵圆心C 到O(0,0)的距离为5，∴圆C 上的点到点O O 的距离的最大值为6．再由0APB=90∠，以A 为直径的圆和圆C 有交点，可得1PO=AB=m 2，故有4m 6≤≤， 故选：B ．考点：（1）8.3.3与圆有关的轨迹问题；（2）8.3.2与圆有关的最值问题；（3）13.2.7边界值法；（4）13.1.4化归与转化思想． 难度：C备注：典型题 8．B解析：将3,0.7（），4,0.8（），（5,0.5）分别代入2p +b at t c =+，可得0.7=9a 30.81640.5255b c a b c a b c ++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得a 0.2=-，b 1.5=，c 2=-， ∴2p 0.2+1.5-2t t =，对称轴为 1.5t =3.752(0.2)=-⨯- ．故选：B ．考点：（1）2.10.1一次、二次函数模型；（2）13.2.10待定系数法；（3）2.6.5二次函数的图象与性质．（4）13.1.4化归与转化思想． 难度：C备注：创新题二、填空题 9．2解析：()12x i i i +=-+，∴1-12x i i -+=+，由复数相等可得2x =，故答案为：2 考点： 11.2.2复数的代数运算. 难度：A备注：基础题 10．22x 1y -=解析：双曲线C的两个焦点为（），），一个顶点是10（，），∴c =a 1=，∴b 1=，∴C 的方程为22x 1y -=．故答案为：22x 1y -=． 考点：（1）8.6.1双曲线的定义；（2） 8.6.2双曲线的标准方程. 难度：A备注：概念题 11．解析：由主视图知CD ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE AC ⊥，且AE=CE=1；由左视图知CD=2，BE=１，在Rt BCE中，Rt D BC中， 在Rt A D C中，考点：（1）9.1.2几何体的三视图；（2）13.1.2数形结合思想. 难度：B备注：易错题，典型题 12． 2解析：∵在ABC 中，1a =，b 2=，1cosC 4=， ∴由余弦定理得：222c 2cos a b ab C =+-=1+4-1=4，即c 2=；∵1cosC 4=，C 为三角形内角，∴sin C∴由正弦定理a sin sin c A C =得：sin sin a C A c=14==28故答案为：2 考点：（1）4.6.1利用正弦定理求解三角形（2）4.6.2利用余弦定理求解三角形 （3）13.1.2数形结合思想. 难度：B备注：典型题 13． 1.解析：由约束条件y 11010x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图，化目标函数z y +为z y =+，由图可知，当直线z y =+过C 0,1（）时直线在y 轴上的截距最小．此时min011z=+=．故答案为：1．考点：（1）7.4.2求线性目标函数的最值问题；（2）13.1.2数形结合思想. 难度：B备注：高频考点 14． 42.解析：由题意，徒弟利用6天完成原料B 的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A 的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42个工作日．故答案为：42．考点： 11.1.1算法的意义与设计. 难度：A . 备注：基础题 三、解答题15．(1)132n 2n n b n -=+（=1，，).；(2)3(1)212n n n ++-. 解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：41123333a a d --===， 所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==，设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得：344112012843b a q b a --===--，解得2q =. 所以1111()2n n n n b a b a q---=-=，从而132n 2n n b n -=+（=1，，).（II ）由（1）知，132n 2n n b n -=+（=1，，)， 数列{}3n 的前n 项和为3(1)2n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -⨯=--，所以数列{}n b 的前n 项和为3(1)212nn n ++-.考点:（1）6.3.2等比数列的定义及判定；（2）6.3.4等比数列的前n 项和及综合应用；（3）13.1.4化归与转化思想. 难度：B 备注：典例.16．（1）π，076x π=，03y =；（2）0，-3. 解：（I ）()f x 的最小正周期为π，076x π=，03y =.（II ）因为,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以52,066x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，于是当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值-3.考点:（1）4.3.2三角函数的单调性与周期性；（2）4.4.1作y=Asin(wx+φ）的图象及图像变换. 难度：A备注：细节题；典例..17．(1) (2) 详见解析；（3解析：（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB A ⊥Ｂ， 又因为AB BC ⊥，所以AB ⊥平面11B BCC ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC . （II ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11AC 、BC 的中点，所以FG AC ，且1FG=AC 2， 因为11A C AC ，且11A C =AC ，所以1FG EC ，且1FG=EC ， 所以四边形1FG EC 为平行四边形，所以1//E C F Ｇ， 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .（III ）因为1AA =AC 2=，BC ＝１，AB BC ⊥，所以 所以三棱锥E ABC -的体积为：ABC11V=S AA311=12=323⨯⨯.C 1B 1A 1FE CBA考点:（1）9.5.2平面与平面垂直的判定与性质；（2）9.4.3线面、面面平行的综合应用；（3）9.2.2几何体的体积. 难度：B备注：典型题.18．(1) 0.9 (2)a 0.0085=；b 0.125=（3）第四组. 解析：（I ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是101-=0.9100. 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.（II ）课外阅读时间落在组[)4,6的有17人，频率为0.17，所以0.17a ==0.0852=频率组距， 课外阅读时间落在组[)8,10的有25人，频率为0.25，所以0.25b ==0.1252=频率组距. （III ）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.考点:（1）10.2.1频率分布直方图的绘制与应用；（2）10.2.3用样本的数字特征估计总体的数字特征；（3）13.2.9估算法. 难度：B备注：典型题；易错题. 19．(1)2；(2)解析：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=，所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=2222c a b =-=，因此2,a c =C的离心率c e a ==（II ）设点A ，B 的坐标分别为00)(,2),(,t x y ，其中00x ≠，因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即0020t x y +=，解得02y t x =-，又220024x y +=， 所以22200()(2)AB x t y =-+-2222200000020024()(2)4y y x y x y x x =++-=+++= 2220002042(4)42x x x x --=+++2200284(04)2x x x =++<≤， 因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时间等号成立，所以28AB ≥， 故线段AB长度的最小值为考点:（1）8.5.3椭圆的几何性质；（2）8.8.6圆锥曲线的最值（或取值范围）问题；（3）8.2.3距离公式的应用；（4）7.3.2利用基本不等式求最值；（5）13.1.4化归与转化思想；（6）13.1.2数形结合思想。
2014年全国高考文科数学试题及答案-北京卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e −= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =−，则2a b −=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15 5. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6. 已知函数()26log f x x x=−，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y −+−=和两点(),0A m −，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 8. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(文科)解析版
类题目的关键.
7.已知圆 C : x 32 y 4 2 1 和两点 Am, 0 ， B m, 0 m 0 ，若圆 C 上存在点
P ，使得
APB 90 ，则 m 的最大值为（
）
A. 7 B. 6 C. 5
D. 4
【答案】B
【解析】由图可知当圆 C 上存在点 P 使 APB 90 ，即圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共
.
4
【答案】2、 15 8
【解析】由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cos C 1 4 2 2 1 1 2 ，即 c 2 ； 4
cos A b2 c2 a2 4 4 1 7 ，∴ sin A 1 7 2 15 .
2bc
222 8
8 8
y 1
13.若
x
、
是减函数，故选 B.
【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.
3.已知向量 a 2, 4 ， b 1,1 ，则 2a b （ ）
A. 5, 7 B. 5,9
C. 3, 7
【答案】A
【解析】2a－b= 22,4 1,1 5,7.
D. 3,9
4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
.
【答案】 2 2 【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且 PB 面ABC ，PB 2 ，AB 2, AC BC 2 ，
PA 22 22 2 2 ， PC 22 2 2 6 .
P
B
C
A
12.在 ABC 中， a 1， b 2 ， cos C 1 ，则 c
； sin A
y
满足
x
y
1
0
，则
z
3x y 的最小值为
2014北京高考数学试题及答案word
2014北京高考数学试题及答案word 2014年北京高考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，则f(1)的值为A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求a_3的值为A. 3B. 5C. 7D. 93. 若直线l的斜率为2，且过点(1,3)，则直线l的方程为A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x+5D. y=-2x-34. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，圆心C(1,2)到直线l: x+y-3=0的距离为A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√25. 若复数z满足|z|=2，且z的实部为1，则z的虚部为A. √3B. -√3C. √5D. -√56. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值为A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. x^2-3x+2D. x^3-3x^2+27. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的数量积为A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，且双曲线C 的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的离心率为A. √5B. √6C. √7D. √89. 已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，求前n项和S_n的通项公式为A. S_n=2^n-1B. S_n=2^(n+1)-2C. S_n=2^n-2^(n-1)D. S_n=2^(n+1)-110. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值为A. -1B. 0C. 1D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(1)的值为_。
12. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=a_n+n，求a_5的值为_。
2014北京高考数学真题(文科)及答案
2014北京高考数学真题（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ）A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A．1 B．3 C．7 D．155．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ）A．7 B．6 C．5 D．48．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= ．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为 ．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 ．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料 粗加工 精加工原料A 9 15 原料B621则最短交货期为 个工作日． 三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知{a n }是等差数列，满足a 1=3，a 4=12，等比数列{b n }满足b 1=4，b 4=20． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和． 16．（13分）函数f （x ）=3sin （2x +）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f （x ）的最小正周期及图中x 0，y 0的值； （Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1=AC=2，BC=1，E ，F分别是A 1C 1，BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）求证：C 1F ∥平面ABE ；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC 的体积．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19．（14分）已知椭圆C ：x 2+2y 2=4． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；排号分组 频数 1[0，2） 6 2[2，4） 8 3[4，6） 17 4[6，8） 22 5[8，10） 25 6[10，12） 12 7[12，14） 6 8[14，16） 2 9[16，18）2 合计100（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．【解答】∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．2．【解答】A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．3．【解答】由=（2，4），=（﹣1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：A．4．【解答】由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．5．【解答】因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D6．【解答】∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C7．【解答】圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．8．【解答】将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵（x+i）i=﹣1+2i，∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等可得x=2故答案为：210．【解答】∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．11．【解答】由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．12．【解答】∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；．13．【解答】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为，由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．此时．故答案为：1．14．【解答】由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．故答案为：42．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．∵等比数列{b n}满足b1=4，b4=20，∴4q3=20，解得q=，∴b n=4×（）n﹣1．（2）∵等比数列{b n}中，，∴数列{b n}的前n项和S n==．16．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣317．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则，∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E﹣ABC===．18．【解答】（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．19．【解答】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y02++4=x02+++4=+4（0＜x02≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．20．【解答】（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x （﹣∞，0）0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+0 ﹣0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．。
2014年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2014年北京，文1，5分】若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}3 【答案】C【解析】因为{1,2}A B =，故选C ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题． （2）【2014年北京，文2，5分】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）（A ）x y e -= （B ）y x = （C ）ln y x = （D ）y x =【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为),0(+∞；选项D ，在)0,(-∞上是减函数，故选B ． 【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．（3）【2014年北京，文3，5分】已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）（A ）()5,7 （B ）()5,9 （C ）()3,7 （D ）()3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)(5,7)a b -=--=，故选A ．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题． （4）【2014年北京，文4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）7 （D ）15 【答案】C【解析】当0k =时，1S =；当1k =时，123S =+=；当2k =时，347S =+=；当3k =时，输出7S =，故选C ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． （5）【2014年北京，文5，5分】设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）必要而不必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分不必要条件 【答案】D【解析】若0,2a b ==-，则22a b <，故不充分； 若2,0a b =-=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D ． 【点评】判断充要条件的方法是：①若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．（6）【2014年北京，文6，5分】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞ 【答案】C【解析】因为3(2)410,(4)202f f =->=-<，所以由根的存在性定理可知，故选A ． 【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．（7）【2014年北京，文7，5分】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点()0,0为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以15m -=，故选B ．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．（8）【2014年北京，文8，5分】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟 【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-．2215130.2 1.520.2()416p t t t =-+-=--+，当153.754t ==时，p 取最大值，故选B ．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年北京，文9，5分】若()()i i 12i x x R +=-+∈，则x = ． 【答案】2【解析】由题意知：i 112i x -=-+，所以由复数相等的定义知2x =． 【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．（10）【2014年北京，文10，5分】设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 ． 【答案】221x y -=【解析】由题意知：1c a ==，所以2221b c a =-=，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为221x y -=．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． （11）【2014年北京，文11，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______．【答案】【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2=．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．（12）【2014年北京，文12，5分】在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = ．【答案】2【解析】由余弦定理得：22212cos 52244c a b ab C =+-=-⨯⨯=，故2c =；因为4417cos 2228A +-==⨯⨯，正（主）视图所以sin A =【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（13）【2014年北京，文13，5分】若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为_______．【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线z y =+可得，当直线经过两条直线1y =与10x y +-=的交点()0,1时，z 取得最小值1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （14）【2014年北京，文14，5分】顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成则最短交货期为 工作日．【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142++=天． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）【2014年北京，文15，13分】已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===， 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． （2）由（1）知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．【点评】本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．（16）【2014年北京，文16，13分】函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）()f x 的最小正周期为π，07π6x =．03y =．（2）因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． 【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． （17）【2014年北京，文17，14分】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥， 12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积．解：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥．又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC AC ∥，且11AC AC =，所以1FG EC ∥，且1FG EC =．所以四边形1FGEC 为平行四边形．所以1C F EG ∥． 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，所以1C F ∥平面ABE ． （3）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB =所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E ﹣ABC 的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．（18）【2014年北京，文18，13分】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： （1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间 的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）． 解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时 间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（2）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距． （3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量． （19）【2014年北京，文19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．C 1B 1A 1FE CBAG C 1B 1A 1FE CBA阅读时间频数因此2a =，c =C的离心率c e a ==． （2）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得002y t x =-．又22024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+- ()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202002024442x x x x --=+++()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． （20）【2014年北京，文20，13分】已知函数3()23f x x x =-．（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）．解：（1）由()323f x x x =-得()263f x x '=-．令()0f x '=，得x =或x =．因为()210f -=-，f ⎛= ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭，所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭（2）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，切线斜率2063k x =-， 所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，()()20631t y xx -=--．整理得32004630x x t -++=． 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个 不同零点”．()()21212121g x x x x x '=-=-． ()g x 与()g x '的情况如下：所以，g 当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点． 当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点， 所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在 区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点．由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调， 所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点．综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--，． （3）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切；过点()02C ， 存在1条直线与曲线()y f x =相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．。
2014年北京市高考数学试卷
2014 年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项1．若会合 A0,1,2,4, B1,2,3 ，则 A∩B=（）A． 0,1,2,3,4B． 0,4C． 1,2D． 3 2．以下函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A. y e xB. y xC. y ln xD. y xr2,4r r r）3．已知向量 a,b1,1 ，则 2a b =（A． 5,7B． 5,9C． 3,7D． 3,94．履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A． 1B． 3C． 7D． 155．设 a, b 实数，则“ a b ”是“ a2b2”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件6．已知函数 f (x)6log2 x ，在以下区间中，包括 f ( x) 零点的区间是（）xA． (0,1)B． (1,2)C． (2, 4)D． (4,)7．已知圆 C : x2y2m,0 , B m,0 m0 ，若圆 C上存341和两点 A在点 P ，使得APB90，则 m 的最大值为（）A． 7B． 6C． 5D． 48．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间 t （单位：分钟）知足函数关系p at 2 bt c （a, b, c是常数），如图记录了三次实验的数据，依据上述函数模型和实验数据，能够获取最正确加工时间为（）A． 3.50分钟B． 3.75分钟C． 4.00 分钟D． 4.25 分钟二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．若 x i i 1 2i x R ，则 x=．10．设双曲线 C 的两个焦点为2,0 ,2, 0 ，一个极点是1,0 ，则 C 的方程为．11．某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥最长棱的棱长为．12．在 VABC 中， a1,b2,cosC 1，则 C=； sin A =．4．若 x, y 知足y1，则 z3x y13x y10的最小值为．x y1014．顾客请一位工艺师把 A, B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟达成这项任务，每件原料先由徒弟达成粗加工，再由师傅进行精加工达成制作，两件工艺品都达成后交托顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）以下：工序时间粗加工精加工原料原料 A915原料 B621则最短交货期为个工作日．三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知 a n是等差数列，知足a13, a412 ，等比数列b n知足b14, b420 ．（1）求数列 a n和 b n的通项公式；（2）求数列 b n的前 n 项和．16．函数f x3sin 2x的部分图象以下图．6（Ⅰ）写出 f x 的最小正周期及图中x0, y0的值；（Ⅱ）求 f x在区间,上的最大值和最小值．21217．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB BC, AA1AC 2, BC1,E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE B1BCC1；（Ⅱ）求证： C1 F ∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥 E ABC 的体积．18．从某校随机抽取100 名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理获取数据分组及频数散布表和频次散布直方图：排号分组频数1[0 ，2）62[2 ，4）83[4 ，6）174[6 ，8）225[8 ，10）256[10 ， 12）127[12 ， 14）68[14 ， 16）29[16 ， 18）2共计100（Ⅰ）从该校随机选用一名学生，试预计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率；（Ⅱ）求频次散布直方图中的a, b 的值；（Ⅲ）假定同一组中的每个数据可用该组区间的中点值取代，试预计样本中的100名学生该周课外阅读时间的均匀数在第几组（只要写结论）19．已知椭圆C : x2 2 y2 4 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在直线 y 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB ，求线段 AB 长度的最小值．20．已知函数 f ( x)2x33x ．（Ⅰ）求 f x 在区间2,1 上的最大值；（Ⅱ）若过点 P 1, t 存在 3 条直线与曲线y f (x) 相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点A1,2 , B 2,10 , C 0,2分别存在几条直线与曲线y f x 相切（只要写出结论）2014 年北京市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项1．（2014?北京）若会合A={0，1，2，4} ，B={1， 2， 3} ，则A∩B=（）A．{0 ，1，2，3，4}B．{0 ，4}C．{1 ，2}D．{3}【剖析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵ A={0，1，2，4} ，B={1，2，3} ，∴A∩ B={0， 1， 2，4} ∩{1 ， 2， 3}={1 ，2} ．应选： C．R 且为增函数的是（）2．（2014?北京）以下函数中，定义域是﹣ xA．y=e B．y=x C． y=lnx D． y=|x|【剖析】依据函数单一性的性质和函数建立的条件，即可获取结论．【解答】解： A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不知足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，知足条件．C．函数的定义域为（ 0， +∞），函数为增函数，不知足条件．D．函数的定义域为R，在（ 0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不知足条件．应选： B．3．（2014?北京）已知向量 =（2，4），=（﹣ 1，1），则 2﹣=（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）【剖析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由 =（2，4），=（﹣ 1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣ 1， 1） =（ 4， 8）﹣（﹣ 1， 1）=（5，7）．应选： A．4．（2014?北京）履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A．1B．3C．7D．15【剖析】算法的功能是求12k的值，依据条件确立跳出循环的k 值，S=1+2+2 + +2计算输出的 S 值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求12k的值，S=1+2+2 + +2∵跳出循环的 k 值为 3，∴输出 S=1+2+4=7．应选： C．5．（2014?北京）设 a， b 是实数，则“ a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】本题考察的判断充要条件的方法，我们能够依据充要条件的定义进行判断，本题的重点是对不等式性质的理解．【解答】解：因为 a，b 都是实数，由 a＞b，不必定有 a2＞b2，如﹣ 2＞﹣ 3，但（﹣ 2）2＜（﹣ 3）2，因此“ a＞b”是“a2＞ b2”的不充足条件；反之，由 a2＞b2也不必定得 a＞b，如（﹣ 3）2＞（﹣ 2）2，但﹣ 3＜﹣ 2，因此“a ＞b”是“a2＞b2”的不用要条件．应选 D6．（2014?北京）已知函数 f （ x） =﹣ log 2x，在以下区间中，包括 f （ x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【剖析】可得 f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜ 0，由零点的判断定理可得．【解答】解：∵ f （x）=﹣log 2x，∴f （ 2） =2＞0，f （4）=﹣＜ 0，知足 f （2）f （4）＜ 0，∴f （x）在区间（2，4）内必有零点，应选： C227．（2014?北京）已知圆 C：（ x﹣ 3） +（y﹣ 4） =1 和两点 A（﹣ m，0），B（m，0）A．7B．6C．5D．4【剖析】依据圆心 C 到 O（ 0， 0）的距离为 5，可得圆 C 上的点到点 O的距离的最大值为 6．再由∠ APB=90°，可得 PO=AB=m，可得 m≤6，从而获取答案．【解答】解：圆 C：（x﹣3）2 +（ y﹣ 4）2=1 的圆心 C（ 3， 4），半径为 1，∵圆心 C 到 O（0，0）的距离为 5，∴圆 C 上的点到点 O的距离的最大值为6．再由∠ APB=90°可得，以 AB为直径的圆和圆 C 有交点，可得 PO=AB=m，故有 m≤6，应选： B．8．（2014?北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间 t （单位：分钟）知足函数关系 p=at 2 +bt+c （a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，依据上述函数模型和实验数据，能够获取最正确加工时间为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟【剖析】由供给的数据，求出函数的分析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（ 3，），（ 4，），（ 5，）分别代入 p=at 2 +bt+c ，可得，解得 a=﹣， b=， c=﹣2，∴p=﹣+﹣2，对称轴为 t= ﹣=．应选： B．二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（2014?北京）若（ x+i ）i= ﹣ 1+2i （ x∈ R），则 x=2．【剖析】化简原式可得∴﹣ 1+xi= ﹣ 1+2i ，由复数相等的定义可得．【解答】解：∵（ x+i ）i= ﹣ 1+2i ，∴﹣ 1+xi= ﹣ 1+2i ，由复数相等可得x=2故答案为： 210．（2014?北京）设双曲线C 的两个焦点为（﹣， 0），（， 0），一个极点是（ 1，220），则 C 的方程为x ﹣y =1．【剖析】利用双曲线C 的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个极点是（1，0），可得 c=， a=1，从而求出 b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线 C 的两个焦点为（﹣， 0），（， 0），一个极点是（ 1， 0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为 x2﹣y2=1．故答案为： x2﹣y2=1．11．（2014?北京）某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【剖析】由主视图知 CD⊥平面 ABC、B 点在 AC上的射影为 AC中点及 AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知 CD=2，由左视图知 BE=1，在 Rt△ BCE中， BC=，在 Rt△ BCD中， BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为： 2．12．（2014?北京）在△ ABC中， a=1， b=2，cosC=，则 c=2；sinA=．【剖析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及 cosC 的值代入求出 c 的值，由 cosC 的值求出 sinC 的值，再由 a，c 的值，利用正弦定理即可求出 sinA 的值．【解答】解：∵在△ ABC中， a=1，b=2， cosC=，∴由余弦定理得： c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即 c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴ sinC==，∴由正弦定理 =得： sinA===．故答案为： 2；．13．（2014?北京）若 x，y 知足，则 z=x+y 的最小值为1．【剖析】由拘束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图获取最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，化目标函数 z=x+y 为，由图可知，当直线过C（0，1）时直线在 y 轴上的截距最小．此时．故答案为： 1．14．（2014?北京）顾客请一位工艺师把 A，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟达成这项任务，每件原料先由徒弟达成粗加工，再由师傅进行精加工达成制作，两件工艺品都达成后交托顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）以下：精加工工序粗加工时间原料原料 A915原料 B621则最短交货期为42 个工作日．【剖析】先达成 B 的加工，再达成 A 的加工即可．【解答】解：由题意，徒弟利用 6 天达成原料 B 的加工，由师傅利用21 天达成精加工，与此同时，徒弟利用9 天达成原料 A 的加工，最后由师傅利用15 天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．故答案为： 42．三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（2014?北京）已知 {a n} 是等差数列，知足 a1=3，a4=12，等比数列 {b n} 知足 b1=4，b4=20．（1）求数列 {a n} 和{b n } 的通项公式；（2）求数列 {b n} 的前 n 项和．【剖析】（1）由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出数列{a n} 的通项公式；由等比数列 {b n} 通项公式求出公比 q，由此能求出数列 {b n} 的通项公式．（2）由等比数列 {b n} 的首项和公比能求出数列 {b n } 的前 n 项和．【解答】解：（1）∵ {a n} 是等差数列，知足 a1=3， a4 =12，∴3+3d=12，解得 d=3，∴a n=3+（n﹣1）× 3=3n．∵等比数列 {b n} 知足 b1=4， b4 =20，∴4q3=20，解得 q=，∴b n=4×（）n﹣1．（2）∵等比数列 {b n} 中，，∴数列 {b n} 的前 n 项和 S n==．16．（2014?北京）函数 f （ x） =3sin （2x+）的部分图象以下图．（Ⅰ）写出 f （x）的最小正周期及图中x0， y0的值；（Ⅱ）求 f （x）在区间 [ ﹣，﹣ ] 上的最大值和最小值．【剖析】（Ⅰ）由题目所给的分析式和图象可得所求；（Ⅱ）由 x∈[ ﹣，﹣ ] 可得2x+∈ [ ﹣， 0] ，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵ f （ x）=3sin （2x+），∴f （ x）的最小正周期 T==π，可知 y0为函数的最大值 3，x0 =；（Ⅱ）∵ x∈ [ ﹣，﹣ ] ，∴2x+∈[ ﹣， 0] ，∴当 2x+=0，即 x=时， f （x）取最大值 0，当 2x+=，即 x=﹣时， f （ x）取最小值﹣ 317．（2014?北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2， BC=1，E，F 分别是 A1 C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证： C1F∥平面 ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ ABC的体积．【剖析】（Ⅰ）证明 AB⊥B1BCC1，可得平面 ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明 C1F∥平面 ABE，只要证明四边形 FGEC1为平行四边形，可得 C1 F∥ EG；（Ⅲ）利用 V E﹣ABC=，可求三棱锥 E﹣ ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣ A1 B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥ AB，∵AB⊥BC，BB1∩ BC=B，∴ AB⊥平面 B1BCC1，∵AB? 平面 ABE，∴平面 ABE⊥B1 BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点 G，连结 EG，FG，则，∵F 是 BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E 是 A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形 FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F?平面 ABE，EG? 平面 ABE，∴ C1F∥平面 ABE；（Ⅲ）解：∵ AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E﹣ABC===．18．（2014?北京）从某校随机抽取 100 名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理获取数据分组及频数散布表和频次散布直方图：排号分组频数1[0 ，2）62[2 ，4）83[4 ，6）174[6 ，8）225[8 ，10）256[10 ，12）127[12 ，14）68[14 ，16）29[16 ，18）2共计100（Ⅰ）从该校随机选用一名学生，试预计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率；（Ⅱ）求频次散布直方图中的a， b 的值；（Ⅲ）假定同一组中的每个数据可用该组区间的中点值取代，试预计样本中的100名学生该周课外阅读时间的均匀数在第几组（只要写结论）【剖析】（Ⅰ）依据频次散布表求出 1 周课外阅读时间少于12 小时的频数，再根据频次 =求频次；（Ⅱ）依据小矩形的高 =求 a、 b 的值；（Ⅲ）利用均匀数公式求得数据的均匀数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频次散布表知： 1 周课外阅读时间少于12 小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1 周课外阅读时间少于 12 小时的频次为 =；（Ⅱ）由频次散布表知：数据在 [4 ，6）的频数为 17，∴频次为，∴ a=；数据在 [8 ，10）的频数为 25，∴频次为，∴ b=；（Ⅲ）数据的均匀数为1×+3×+5×+7×+9×+11×+13×+15×+17×=（小时），∴样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的均匀数在第四组．19．（2014?北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）设 O为原点，若点 A 在直线 y=2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB长度的最小值．【剖析】（Ⅰ）椭圆 C： x2 +2y2=4 化为标准方程为，求出 a，c，即可求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．22∴a=2，b=， c=，∴椭圆 C 的离心率 e==；（Ⅱ）设 A（t ， 2），B（x0， y0）， x0≠0，则∵ OA⊥OB，∴=0，∴tx 0+2y0 =0，∴ t= ﹣，∵，∴2=（ x0﹣ t2222222+++4=+4（ 0＜|AB|）+（y0﹣ 2） =（x0+） +（ y0﹣ 2）=x0+y0++4=x02≤4），x02≤4），当且仅当，即2时等号建立，因此 |AB|2因为≥ 4（0＜x0x0 =4≥8．∴线段 AB长度的最小值为2．320．（2014?北京）已知函数f （x）=2x ﹣3x．（Ⅱ）若过点P（1，t ）存在3 条直线与曲线y=f （x）相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （ x）相切（只要写出结论）【剖析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较 f （﹣ 2），f （﹣），f （），f （1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设 g（x）=4x3﹣ 6x2+t+3 ，则“过点 P（1， t ）存在 3 条直线与曲线 y=f （x）相切”，等价于“g（x）有 3 个不一样的零点”．利用导数判断函数的单一性从而得出函数的零点状况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由 f （x）=2x3﹣ 3x 得 f ′（ x）=6x2﹣ 3，令 f ′（ x）=0 得， x=﹣或 x=，∵f （﹣ 2）=﹣10，f （﹣） =，f （） =﹣， f （ 1） =﹣1，∴ f （ x）在区间 [ ﹣2，1] 上的最大值为．（Ⅱ）设过点 P（1，t ）的直线与曲线y=f （x）相切于点（ x0， y0），则 y0=2﹣ 3x0，且切线斜率为 k=6﹣3，∴切线方程为 y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），∴ t﹣ y0=（ 6﹣3）（1﹣x0），即 4﹣6+t+3=0，设 g（x）=4x3﹣ 6x2+t+3 ，则“过点 P（1，t ）存在 3 条直线与曲线 y=f （x）相切”，等价于“ g（x）有 3个不一样的零点”．2∵g′（ x）=12x ﹣12x=12x（x﹣1），x（﹣∞， 0）0（0，1）1（ 1， +∞）g′（ x）+0﹣0+g（x）↗t+3↘t+1↗∴ g（ 0） =t+3 是 g（x）的极大值， g（ 1） =t+1 是 g（x）的极小值．当 g（0）=t+3 ≤0，即 t ≤﹣ 3 时， g（ x）在区间（﹣∞， 1] 和（ 1， +∞）上分别至多有一个零点，故 g（ x）至多有 2 个零点．当 g（1）=t+1 ≥0，即 t ≥﹣ 1 时， g（ x）在区间（﹣∞， 0] 和（ 0， +∞）上分别至多有一个零点，故 g（ x）至多有 2 个零点．当 g（0）＞ 0 且 g（1）＜ 0，即﹣ 3＜ t ＜﹣ 1 时，∵ g（﹣ 1）=t ﹣7＜ 0， g（ 2）=t+11 ＞0，∴g（ x）分别在区间 [ ﹣1，0）， [0 ，1）和 [1 ，2）上恰有 1 个零点，因为 g（x）在区间（﹣∞， 0）和 [1 ，+∞）上单一，故 g（x）分别在区间（﹣∞， 0）和 [1 ， +∞）上恰有 1 个零点．综上所述，当过点过点 P（ 1， t ）存在 3 条直线与曲线 y=f （x）相切时， t 的取值范围是（﹣ 3，﹣ 1）．（Ⅲ）过点 A（﹣ 1，2）存在 3 条直线与曲线 y=f （x）相切；过点 B（2，10）存在 2 条直线与曲线 y=f （x）相切；过点 C（0，2）存在 1 条直线与曲线 y=f （ x）相切．。
2014年北京市高考数学试卷
2014 年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项1．若会集 A0,1,2,4, B1,2,3 ，则 A∩B=（）A． 0,1,2,3,4B． 0,4C． 1,2D． 3 2．以下函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A. y e xB. y xC. y ln xD. y xr2,4r r r）3．已知向量 a,b1,1 ，则 2a b =（A． 5,7B． 5,9C． 3,7D． 3,94．执行以以下图的程序框图，输出的S值为（）A． 1B． 3C． 7D． 155．设 a, b 实数，则“ a b ”是“ a2b2”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件6．已知函数 f (x)6log2 x ，在以下区间中，包括 f ( x) 零点的区间是（）xA． (0,1)B． (1,2)C． (2, 4)D． (4,)7．已知圆 C : x2y2m,0 , B m,0 m0 ，若圆 C上存341和两点 A在点 P ，使得APB90，则 m 的最大值为（）A． 7B． 6C． 5D． 48．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间 t （单位：分钟）满足函数关系p at 2 bt c （a, b, c是常数），如图记录了三次实验的数据，依据上述函数模型和实验数据，可以获取最正确加工时间为（）A． 3.50分钟B． 3.75分钟C． 4.00 分钟D． 4.25 分钟二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．若 x i i 1 2i x R ，则 x=．10．设双曲线 C 的两个焦点为2,0 ,2, 0 ，一个极点是1,0 ，则 C 的方程为．11．某三棱锥的三视图以以下图，则该三棱锥最长棱的棱长为．12．在 VABC 中， a1,b2,cosC 1，则 C=； sin A =．4．若 x, y 满足y1，则 z3x y13x y10的最小值为．x y1014．顾客请一位工艺师把 A, B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）以下：工序时间粗加工精加工原料原料 A915原料 B621则最短交货期为个工作日．三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知 a n是等差数列，满足a13, a412 ，等比数列b n满足b14, b420 ．（1）求数列 a n和 b n的通项公式；（2）求数列 b n的前 n 项和．16．函数f x3sin 2x的部分图象以以下图．6（Ⅰ）写出 f x 的最小正周期及图中x0, y0的值；（Ⅱ）求 f x在区间,上的最大值和最小值．21217．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB BC, AA1AC 2, BC1,E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE B1BCC1；（Ⅱ）求证： C1 F ∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥 E ABC 的体积．18．从某校随机抽取100 名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理获取数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0 ，2）62[2 ，4）83[4 ，6）174[6 ，8）225[8 ，10）256[10 ， 12）127[12 ， 14）68[14 ， 16）29[16 ， 18）2合计100（Ⅰ）从该校随机采用一名学生，试预计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a, b 的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值取代，试预计样本中的100名学生该周课外阅读时间的均匀数在第几组（只需写结论）19．已知椭圆C : x2 2 y2 4 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在直线 y 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB ，求线段 AB 长度的最小值．20．已知函数 f ( x)2x33x ．（Ⅰ）求 f x 在区间2,1 上的最大值；（Ⅱ）若过点 P 1, t 存在 3 条直线与曲线y f (x) 相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点A1,2 , B 2,10 , C 0,2分别存在几条直线与曲线y f x 相切（只需写出结论）2014 年北京市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项1．（2014?北京）若会集A={0，1，2，4} ，B={1， 2， 3} ，则A∩B=（）A．{0 ，1，2，3，4}B．{0 ，4}C．{1 ，2}D．{3}【分析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵ A={0，1，2，4} ，B={1，2，3} ，∴A∩ B={0， 1， 2，4} ∩{1 ， 2， 3}={1 ，2} ．应选： C．R 且为增函数的是（）2．（2014?北京）以下函数中，定义域是﹣ xA．y=e B．y=x C． y=lnx D． y=|x|【分析】依据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可获取结论．【解答】解： A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（ 0， +∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（ 0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．应选： B．3．（2014?北京）已知向量 =（2，4），=（﹣ 1，1），则 2﹣=（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由 =（2，4），=（﹣ 1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣ 1， 1） =（ 4， 8）﹣（﹣ 1， 1）=（5，7）．应选： A．4．（2014?北京）行如所示的程序框，出的S （）A．1B．3C．7D．15【分析】算法的功能是求12k的，依据条件确立跳出循的k ，S=1+2+2 +⋯+2算出的 S ．【解答】解：由程序框知：算法的功能是求12k的，S=1+2+2 +⋯+2∵跳出循的 k3，∴ 出 S=1+2+4=7．故： C．5．（2014?北京） a， b 是数，“ a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【分析】本考的判断充要条件的方法，我可以依据充要条件的定行判断，此的关是不等式性的理解．【解答】解：因 a，b 都是数，由 a＞b，不必定有 a2＞b2，如 2＞ 3，但（ 2）2＜（ 3）2，因此“ a＞b”是“a2＞ b2”的不充足条件；反之，由 a2＞b2也不必定得 a＞b，如（ 3）2＞（ 2）2，但 3＜ 2，因此“a＞b”是“a2＞b2”的不用要条件．故 D6．（2014?北京）已知函数 f （ x） = log 2x，在以下区中，包括 f （ x）零点的区是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【分析】可得 f （2）=2＞0，f （4）=＜ 0，由零点的判判定理可得．【解答】解：∵ f （x）= log 2x，∴f （ 2） =2＞0，f （4）=＜ 0，足 f （2）f （4）＜ 0，∴f （x）在区间（2，4）内必有零点，应选： C227．（2014?北京）已知圆 C：（ x﹣ 3） +（y﹣ 4） =1 和两点 A（﹣ m，0），B（m，0）A．7B．6C．5D．4【分析】依据圆心 C 到 O（ 0， 0）的距离为 5，可得圆 C 上的点到点 O的距离的最大值为 6．再由∠ APB=90°，可得 PO=AB=m，可得 m≤6，从而获取答案．【解答】解：圆 C：（x﹣3）2 +（ y﹣ 4）2=1 的圆心 C（ 3， 4），半径为 1，∵圆心 C 到 O（0，0）的距离为 5，∴圆 C 上的点到点 O的距离的最大值为6．再由∠ APB=90°可得，以 AB为直径的圆和圆 C 有交点，可得 PO=AB=m，故有 m≤6，应选： B．8．（2014?北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间 t （单位：分钟）满足函数关系 p=at 2 +bt+c （a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，依据上述函数模型和实验数据，可以获取最正确加工时间为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟【分析】由供给的数据，求出函数的分析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（ 3，），（ 4，），（ 5，）分别代入 p=at 2 +bt+c ，可得，解得 a=﹣， b=， c=﹣2，∴p=﹣+﹣2，对称轴为 t= ﹣=．应选： B．二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（2014?北京）若（ x+i ）i= ﹣ 1+2i （ x∈ R），则 x=2．【分析】化简原式可得∴﹣ 1+xi= ﹣ 1+2i ，由复数相等的定义可得．【解答】解：∵（ x+i ）i= ﹣ 1+2i ，∴﹣ 1+xi= ﹣ 1+2i ，由复数相等可得x=2故答案为： 210．（2014?北京）设双曲线C 的两个焦点为（﹣， 0），（， 0），一个极点是（ 1，220），则 C 的方程为x ﹣y =1．【分析】利用双曲线C 的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个极点是（1，0），可得 c=， a=1，从而求出 b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线 C 的两个焦点为（﹣， 0），（， 0），一个极点是（ 1， 0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为 x2﹣y2=1．故答案为： x2﹣y2=1．11．（2014?北京）某三棱锥的三视图以以下图，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【分析】由主视图知 CD⊥平面 ABC、B 点在 AC上的射影为 AC中点及 AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知 CD=2，由左视图知 BE=1，在 Rt△ BCE中， BC=，在 Rt△ BCD中， BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为： 2．12．（2014?北京）在△ ABC中， a=1， b=2，cosC=，则 c=2；sinA=．【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及 cosC 的值代入求出 c 的值，由 cosC 的值求出 sinC 的值，再由 a，c 的值，利用正弦定理即可求出 sinA 的值．【解答】解：∵在△ ABC中， a=1，b=2， cosC=，∴由余弦定理得： c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即 c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴ sinC==，∴由正弦定理 =得： sinA===．故答案为： 2；．13．（2014?北京）若 x，y 满足，则 z=x+y 的最小值为1．【分析】由拘束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图获取最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，化目标函数 z=x+y 为，由图可知，当直线过C（0，1）时直线在 y 轴上的截距最小．此时．故答案为： 1．14．（2014?北京）顾客请一位工艺师把 A，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）以下：精加工工序粗加工时间原料原料 A915原料 B621则最短交货期为42 个工作日．【分析】先完成 B 的加工，再完成 A 的加工即可．【解答】解：由题意，徒弟利用 6 天完成原料 B 的加工，由师傅利用21 天完成精加工，与此同时，徒弟利用9 天完成原料 A 的加工，最后由师傅利用15 天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．故答案为： 42．三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（2014?北京）已知 {a n} 是等差数列，满足 a1=3，a4=12，等比数列 {b n} 满足 b1=4，b4=20．（1）求数列 {a n} 和{b n } 的通项公式；（2）求数列 {b n} 的前 n 项和．【分析】（1）由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出数列{a n} 的通项公式；由等比数列 {b n} 通项公式求出公比 q，由此能求出数列 {b n} 的通项公式．（2）由等比数列 {b n} 的首项和公比能求出数列 {b n } 的前 n 项和．【解答】解：（1）∵ {a n} 是等差数列，满足 a1=3， a4 =12，∴3+3d=12，解得 d=3，∴a n=3+（n﹣1）× 3=3n．∵等比数列 {b n} 满足 b1=4， b4 =20，∴4q3=20，解得 q=，∴b n=4×（）n﹣1．（2）∵等比数列 {b n} 中，，∴数列 {b n} 的前 n 项和 S n==．16．（2014?北京）函数 f （ x） =3sin （2x+）的部分图象以以下图．（Ⅰ）写出 f （x）的最小正周期及图中x0， y0的值；（Ⅱ）求 f （x）在区间 [ ﹣，﹣ ] 上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由题目所给的分析式和图象可得所求；（Ⅱ）由 x∈[ ﹣，﹣ ] 可得2x+∈ [ ﹣， 0] ，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵ f （ x）=3sin （2x+），∴f （ x）的最小正周期 T==π，可知 y0为函数的最大值 3，x0 =；（Ⅱ）∵ x∈ [ ﹣，﹣ ] ，∴2x+∈[ ﹣， 0] ，∴当 2x+=0，即 x=时， f （x）取最大值 0，当 2x+=，即 x=﹣时， f （ x）取最小值﹣ 317．（2014?北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2， BC=1，E，F 分别是 A1 C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证： C1F∥平面 ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ ABC的体积．【分析】（Ⅰ）证明 AB⊥B1BCC1，可得平面 ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明 C1F∥平面 ABE，只需证明四边形 FGEC1为平行四边形，可得 C1 F∥ EG；（Ⅲ）利用 V E﹣ABC=，可求三棱锥 E﹣ ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣ A1 B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥ AB，∵AB⊥BC，BB1∩ BC=B，∴ AB⊥平面 B1BCC1，∵AB? 平面 ABE，∴平面 ABE⊥B1 BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点 G，连接 EG，FG，则，∵F 是 BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E 是 A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形 FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F?平面 ABE，EG? 平面 ABE，∴ C1F∥平面 ABE；（Ⅲ）解：∵ AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E﹣ABC===．18．（2014?北京）从某校随机抽取 100 名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理获取数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0 ，2）62[2 ，4）83[4 ，6）174[6 ，8）225[8 ，10）256[10 ，12）127[12 ，14）68[14 ，16）29[16 ，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机采用一名学生，试预计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a， b 的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值取代，试预计样本中的100名学生该周课外阅读时间的均匀数在第几组（只需写结论）【分析】（Ⅰ）依据频率分布表求出 1 周课外阅读时间少于12 小时的频数，再根据频率 =求频率；（Ⅱ）依据小矩形的高 =求 a、 b 的值；（Ⅲ）利用均匀数公式求得数据的均匀数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知： 1 周课外阅读时间少于12 小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1 周课外阅读时间少于 12 小时的频率为 =；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在 [4 ，6）的频数为 17，∴频率为，∴ a=；数据在 [8 ，10）的频数为 25，∴频率为，∴ b=；（Ⅲ）数据的均匀数为1×+3×+5×+7×+9×+11×+13×+15×+17×=（小时），∴样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的均匀数在第四组．19．（2014?北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）设 O为原点，若点 A 在直线 y=2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB长度的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆 C： x2 +2y2=4 化为标准方程为，求出 a，c，即可求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．22∴a=2，b=， c=，∴椭圆 C 的离心率 e==；（Ⅱ）设 A（t ， 2），B（x0， y0）， x0≠0，则∵ OA⊥OB，∴=0，∴tx 0+2y0 =0，∴ t= ﹣，∵，∴2=（ x0﹣ t2222222+++4=+4（ 0＜|AB|）+（y0﹣ 2） =（x0+） +（ y0﹣ 2）=x0+y0++4=x02≤4），x02≤4），当且仅当，即2时等号成立，因此 |AB|2因为≥ 4（0＜x0x0 =4≥8．∴线段 AB长度的最小值为2．320．（2014?北京）已知函数f （x）=2x ﹣3x．（Ⅱ）若过点P（1，t ）存在3 条直线与曲线y=f （x）相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （ x）相切（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较 f （﹣ 2），f （﹣），f （），f （1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设 g（x）=4x3﹣ 6x2+t+3 ，则“过点 P（1， t ）存在 3 条直线与曲线 y=f （x）相切”，等价于“g（x）有 3 个不一样的零点”．利用导数判断函数的单调性从而得出函数的零点状况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由 f （x）=2x3﹣ 3x 得 f ′（ x）=6x2﹣ 3，令 f ′（ x）=0 得， x=﹣或 x=，∵f （﹣ 2）=﹣10，f （﹣） =，f （） =﹣， f （ 1） =﹣1，∴ f （ x）在区间 [ ﹣2，1] 上的最大值为．（Ⅱ）设过点 P（1，t ）的直线与曲线y=f （x）相切于点（ x0， y0），则 y0=2﹣ 3x0，且切线斜率为 k=6﹣3，∴切线方程为 y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），∴ t﹣ y0=（ 6﹣3）（1﹣x0），即 4﹣6+t+3=0，设 g（x）=4x3﹣ 6x2+t+3 ，则“过点 P（1，t ）存在 3 条直线与曲线 y=f （x）相切”，等价于“ g（x）有 3个不一样的零点”．2∵g′（ x）=12x ﹣12x=12x（x﹣1），x（﹣∞， 0）0（0，1）1（ 1， +∞）g′（ x）+0﹣0+g（x）↗t+3↘t+1↗∴ g（ 0） =t+3 是 g（x）的极大值， g（ 1） =t+1 是 g（x）的极小值．当 g（0）=t+3 ≤0，即 t ≤﹣ 3 时， g（ x）在区间（﹣∞， 1] 和（ 1， +∞）上分别至多有一个零点，故 g（ x）至多有 2 个零点．当 g（1）=t+1 ≥0，即 t ≥﹣ 1 时， g（ x）在区间（﹣∞， 0] 和（ 0， +∞）上分别至多有一个零点，故 g（ x）至多有 2 个零点．当 g（0）＞ 0 且 g（1）＜ 0，即﹣ 3＜ t ＜﹣ 1 时，∵ g（﹣ 1）=t ﹣7＜ 0， g（ 2）=t+11 ＞0，∴g（ x）分别在区间 [ ﹣1，0）， [0 ，1）和 [1 ，2）上恰有 1 个零点，因为 g（x）在区间（﹣∞， 0）和 [1 ，+∞）上单调，故 g（x）分别在区间（﹣∞， 0）和 [1 ， +∞）上恰有 1 个零点．综上所述，当过点过点 P（ 1， t ）存在 3 条直线与曲线 y=f （x）相切时， t 的取值范围是（﹣ 3，﹣ 1）．（Ⅲ）过点 A（﹣ 1，2）存在 3 条直线与曲线 y=f （x）相切；过点 B（2，10）存在 2 条直线与曲线 y=f （x）相切；过点 C（0，2）存在 1 条直线与曲线 y=f （ x）相切．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A. {}0,1,2,3,4B.{}0,4C. {}1,2D. {}3 2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A. x y e -=B. y x =C.ln y x =D.y x = 3. 已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 1B. 3C. 7D. 155. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分不必要条件 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,4D. ()4,+∞7. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4 8. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10. 设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12. 在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13. 若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .14. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.16.（本小题满分13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）19. （本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=. (1) 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.20. （本小题满分13分） 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2 10．221x y -= 11．12．213．1 14．42三、解答题（共6小题，共80分）15．【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得 344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16． 【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π ， 07π6x =， 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．17．解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥．又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ． （Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11AC ，BC 的中点， 所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为AC AC ∥，且AC AC =， G C 1B 1A 1F E C BA所以1FG EC ∥，且1FG EC =．所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB =． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△18．解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以 0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．19．解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得002y t x =-．又22024x y +=，所以 ()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()220200224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. 解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛ ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭.（Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，， 则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得32004630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与g x '的情况如下：) 当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--， .（Ⅲ）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ，存在1条直线与曲线()y f x =相切.：。