江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(扫描版)
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷(解析版)
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝（﹣∞，1]，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．2．（5分）设复数z＝a+i（其中i为虚数单位），若，则实数a的值为．3．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝．4．（5分）从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为．5．（5分）如图所示流程图中，若输入x的值为﹣4，则输出c的值为．6．（5分）若双曲线的离心率为2，则实数m的值为．7．（5分）已知y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x+1，则f（﹣ln2）的值为．8．（5分）已知等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为．9．（5分）如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B﹣EFC的体积为．10．（5分）设A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，点P∈A，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线P A，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为．11．（5分）设函数，其中ω＞0．若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是．12．（5分）若正实数a，b，c满足ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则c的最大值为．13．（5分）设函数f（x）＝x3﹣a2x（a＞0，x≥0），O为坐标原点，A（3，﹣1），C（a，0）．若对此函数图象上的任意一点B，都满足成立，则a的值为．14．（5分）若数列{a n}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝＝，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有a n＜m成立，则m的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，记△ABC的面积为S，且．（1）求角A的大小；（2）若c＝7，，求a的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，且A1F⊥B1C1．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）A1F∥平面ADE．17．（14分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6．（1）求实数m的值；（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：ln6＝1.8）18．（16分）已知椭圆的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k（x﹣m）（m∈R）与椭圆C相交于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2．①若m＝0，求k1k2的值；②若，求实数m的值．19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．设函数f（x）＝x3﹣tx2+1（t∈R）．（1）若函数f（x）在（0，1）上无极值点，求t的取值范围；（2）求证：对任意实数t，在函数f（x）的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t＝3时，若函数f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由．20．（16分）已知数列{a n}，其中n∈N*．（1）若{a n}满足．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r+t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n+2﹣3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且恒成立，求k的最小值．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）直线l：2x﹣y+3＝0经过矩阵M＝变换后还是直线l，求矩阵M的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．以极点O为原点，极轴Ox 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被圆C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数x、y、z，满足x+y+z＝3xyz，求xy+yz+xz的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AD＝1，，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣EC﹣D的余弦值．25．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有＝成立．（1）求a3的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列．2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．【解答】解：因为：﹣1∈A，﹣1∈B，1∈A，1∈B，2∈B，2∉A，故A∩B＝，故答案为：{﹣1，1}．2．【解答】解：∵z＝a+i，，∴a2+1＝2，∴a2＝1，∴a＝±1．故答案为：±1．3．【解答】解：n×∴n＝80故答案是804．【解答】解：从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，有：12，13，23，21，31，32，共6个基本事件，其中满足条件的有2个，故两位数是偶数的概率为：5．【解答】解：模拟流程图的运行过程如下，输入x＝﹣4时，x＝﹣4+2＝﹣2，x＝﹣2+2＝0，x＝0+2＝2，c＝2×2＝4，则输出c＝4．故答案为：4．6．【解答】解：∵双曲线的离心率为2，∴＝2，解得m＝6．故答案为：6．7．【解答】解；根据题意，当x＞0时，f（x）＝e x+1，则f（ln2）＝e ln2+1＝3；又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣3；故答案为：﹣3．8．【解答】解：∵等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，a2＝2，S3＝7，∴，解得a1＝1，q＝2，∴a5＝＝1×24＝16．故答案为：16．9．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，∴＝＝，F到平面ABC的距离d＝＝＝2，∴三棱锥B﹣EFC的体积为：V B﹣EFC＝V F﹣BCE＝＝＝．故选：．10．【解答】解：根据题意，设直线l为3x+4y＝7，圆（x+1）2+y2＝r2的圆心为M，则A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，为直线3x+4y＝7的上方以及直线部分，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线P A，PB，若∠APB的最大值为，必有MP的距离最小，此时P在直线3x+4y＝7上且MP与直线l垂直，此时|MP|＝＝2，∠APM＝×∠APB＝，则有r＝|MP|×sin∠APM＝2×＝1，即r的值为1；故答案为：1．11．【解答】解：根据题意，设在y轴右侧与x轴的第二个交点横坐标为α，第三个交点的横坐标为β，则有ω×α+＝2π，ω×β+＝3π，解可得α＝，β＝，若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则≤2π＜，解可得：≤ω＜，即ω的取值范围为[，）；故答案为：[，）．12．【解答】解：∵ab＝a+2b，a＞0，b＞0，∴ab≥8，∴1＜，∵abc＝a+2b+c，∴（ab﹣1）c＝a+2b，∴c＝＝＝1+的最大值．故答案为：13．【解答】解：设B（x，x3﹣a2x），由向量的数量积运算有：则＝（3，﹣1），＝（x，x3﹣a2x），＝（a，0），＝（x﹣a，x3﹣a2x），因为•≤，所以•≤0，即3（x﹣a）﹣（x3﹣a2x）≤0，即（x﹣a）（x2+ax﹣3）≥0，又a＞0，由韦达定理可得，方程x2+ax﹣3＝0有一正根，一负根，由高次不等式可得：不等式（x﹣a）（x2+ax﹣3）≥0，在x＞0时恒成立，则：x＝a为方程x2+ax﹣3＝0的正根，即2a2﹣3＝0，又a＞0，则a＝，故答案为：．14．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝＝；当n＝1时，有a3﹣a2＝a2﹣a1＝3，则a2＝3，a3＝6，a4＝3，a5＝，分析可得：在a4n﹣3、a4n﹣2、a4n﹣1、a4n中，最大为a4n﹣1，设b n＝a4n﹣1，则有b1＝a3＝6，且b n+1＝b n+6，变形可得：b n+1﹣8＝（b n﹣8），分析可得数列{b n﹣8}为首项为6﹣8＝﹣2，公比为的等比数列，则b n﹣8＝（﹣2）×（）n﹣1＝，则b n＝8﹣，则a4n﹣1＝8﹣，若对任意n∈N*都有a n＜m成立，则m≥8，即m的最小值为8；故答案为：8二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．【解答】解：（1）由，得bc sin A＝bc cos A，因为A∈（0，π），所以tan A＝1，可得：A＝．……（6分）（2）△ABC中，cos B＝，所以sin B＝，所以：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝，..（10分）由正弦定理，得＝，解得a＝5，…（14分）（评分细则：第一问解答中不交代“A∈（0，π）”而直接得到“A＝”的，扣（1分）；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣（1分）．）16．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，…（2分）因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1，又因为AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1．…（6分）解：（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，…（8分）因为A1F⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F，又因为A1F⊥B1C1，在平面BCC1B1中，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1，…（10分）在（1）中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD，又因为A1F⊄平面ADE，AD⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE．…（14分）17．【解答】解：（1）由题f（6）＝29.6，代入，解得m＝12，（+）（2）由已知函数求导得：f′（x）＝+600•＝（12﹣x）令f′（x）＝0得x＝12，所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．答：（1）实数m的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时．18．【解答】解：（1）椭圆C中，2c＝1，两准线间的距离为，得，所以，a ＝2，c＝1，所以，，因此，椭圆C的方程为；（2）①设点P（x0，y0），由于m＝0，则Q（﹣x0，﹣y0），由，得．所以，．②由①得A（﹣2，0）．方法一：设点P（x1，y1），设直线AP的方程为y＝k1（x+2），联立，消去y得，，由韦达定理可得，所以，，代入直线AP的方程得，所以，．由，得，整体代换得．设M（m，0），由P、Q、M三点共线得，即，化简得，所以，m＝1；方法二：设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，消去y得（4k2+3）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，由韦达定理可得，，而＝＝，化简得，得m2k2+mk2﹣2k2＝0，显然k2≠0，所以，m2+m ﹣2＝0，解得m＝1或m＝﹣2（舍去）．此时，△＞0，因此，m＝1．19．【解答】解：（1）由函数f（x）＝x3﹣tx2+1，得f′（x）＝3x2﹣2tx，由f′（x）＝0，得x＝0，或x＝t，因函数f（x）在（0，1）上无极值点，所以t≤0或t≥1，解得t≤0或t≥．……………………………（4分）（2）方法一：令f′（x）＝3x2﹣2tx＝p，即3x2﹣2tx﹣p＝0，△＝4t2+12p，当p＞﹣时，△＞0，此时3x2﹣2tx﹣p＝0存在不同的两个解x1，x2．……………………………………………………………………（8分）（方法二：由（1）知f′（x）＝3x2﹣2tx，令f′（x）＝1，则3x2﹣2tx﹣1＝0，所以△＞0，即对任意实数t，f′（x）＝1总有两个不同的实数根x1，x2，所以不论t为何值，函数f（x）在两点x＝x1，x＝x2处的切线平行．…………………………………………………………………8分）设这两条切线方程为分别为y＝（3﹣2tx1）x﹣2+t+1和y＝（3﹣2tx2）x﹣2+t+1，若两切线重合，则﹣2+t+1＝﹣2+t+1，即2[﹣x1x2]＝t（x1+x2），而x1+x2＝，化简得x1x2＝，此时＝﹣4x1x2＝﹣＝0，与x1≠x2矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t，函数f（x）的图象总存在两条切线相互平行…………………（10分）（3）当t＝3时，f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，由（2）知x1+x2＝2时，两切线平行．设A（x1，﹣3+1），B（x2，﹣3+1），不妨设x1＞x2，过点A的切线方程为：y＝（3﹣6x1）x﹣2+3+1…………………………………………………（11分）所以，两条平行线间的距离d＝，化简得＝1+9，…………………………………………（13分）令＝λ（λ≥0），则λ3﹣1＝9（λ﹣1）2，即（λ﹣1）（λ2+λ+1）＝9（λ﹣1）2，即（λ﹣1）（λ2﹣8λ+10）＝0，显然λ＝1为一解，λ2﹣8λ+10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而＝λ（λ≥0），x1＞x2，x1+x2＝2，所以x1有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组………（16分）20．【解答】解：（1）①由{a n}满足，可得a4﹣a3＝4，a3﹣a2＝2，a2﹣a1＝1，累加可得a4＝8；②因，可得a n﹣a n﹣1＝q n﹣2，…，a2﹣a1＝1，q＝1时，a n＝n，满足题意；当q≠1时，累加得a n+1＝+a1，所以a n＝+a1，若存在r，s，t满足条件，化简得2q s＝q r+q t，即2＝q r﹣s+q t﹣s≥2＝2，此时q＝1（舍去），综上所述，符合条件q的值为1；（2）由c n＝b n+2﹣3，可知c n+1＝b n+3﹣3，两式作差可得：b n+3＝b n+2+b n+1，又由c1＝1，c2＝4，可知b3＝4，b4＝7，故b3＝b2+b1，所以b n+2＝b n+1+b n对一切的n∈N*恒成立，对b n+3＝b n+2+b n+1，b n+2＝b n+1+b n，两式进行作差可得a n+3＝a n+2+a n+1，又由b3＝4，b4＝7可知a3＝1，a4＝3，故a n+2＝a n+1+a n（n≥2），又由a n+22﹣a n+1a n+3＝（a n+1+a n）2﹣a n+1（a n+2+a n+1）＝（a n+1+a n）2﹣a n+1（a n+2a n+1）＝﹣a n+12+a n a n+2，n≥2，所以|a n+22﹣a n＝1a n+3|＝|a n+12﹣a n a n+2|，所以当n≥2时|a n+12﹣a n a n+2|＝5，当n＝1时|a n+12﹣a n a n+2|＝3，故k的最小值为5．[选修4-2：矩阵与变换]21．【解答】解：设直线l上一点（x，y），经矩阵M变换后得到点（x′，y′），所以＝，即，因为变换后的直线还是直线l，将点（x′，y′）代入直线l的方程，于是2ax﹣（x+dy）+3＝0，即（2a﹣1）x﹣dy+3＝0，所以，解得a＝，d＝1，………………（6分）所以矩阵M的特征多项式f（λ）＝＝（λ﹣a）（λ﹣d）＝0，解得λ＝a，或λ＝d，所以矩阵的M的特征值为与1．…………………………………………………（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2+y2﹣2x＝0，所以圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，圆心C（1，0），半径r＝1，…………………………………………（3分）又，消去参数t，得直线l方程为：x+y﹣2＝0，…………………………………………（6分）所以圆心到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆C截得的弦长为：2＝．………………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：因为x+y+z＝3xyz，所以＝3，………………………（5分）又xy+yz+xz＝∴由柯西不等式可得，（xy+yz+xz）（）≥（1+1+1）2＝9，所以xy+xz+yz≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，所以，xy+xz+yz的最小值为3．………………………（10分）[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．【解答】解：（1）∵P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，又∵AD＝1，，∴A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），∵E为棱PB的中点，∴E（，）．∴＝（，1，﹣），＝（0，1，﹣），∴cos＜＞＝，∴异面直线EC与PD所成角的余弦值为；（2）由（1）得＝（，1，﹣），，，设平面BEC的法向量为，由，令x1＝1，得平面BEC的一个法向量为，设平面DEC的法向量为，由，令，得平面DEC的一个法向量为，∴cos＜＞＝，由图可知二面角B﹣EC﹣D为钝角，∴二面角B﹣EC﹣D的余弦值为﹣．25．【解答】（1）解：在＝中，令n＝1，则a1C10+a2C11＝a3﹣1，由a1＝1，a2＝3，解得a3＝5，（2）证明：假设a1，a2，a3，…，a n是公差为2的等差数列，则a n＝2n﹣1，①当n＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝5，此时假设成立，②当n＝k时，若a1，a2，a3，…，a k是公差为2的等差数列，由a1C k﹣10+a2C k﹣11+a3C k﹣12+…+a k C k﹣1k﹣1＝（a k+1﹣1）2k﹣2，k≥2，对该式倒序相加，得（a1+a k）2k﹣1＝2（a k+1﹣1）2k﹣2，所以a k+1﹣a k＝a1+2＝1，所以a k+1＝2k+1＝2（k+1）﹣1根据①、②可知数列{a n}是等差数列．。
江苏省南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学试卷(含参考答案和评分标准)
盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题2019．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(-∞，1]，B ＝{﹣1，1，2}，则A B ＝ ．2．设复数i z a =+（其中i 为虚数单位），若zz ＝2，则实数a 的值为 ．3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝ ．4．从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 ．5．如图所示流程图中，若输入x 的值为﹣4，则输出c 的值为．6．若双曲线2212x y m-=的离心率为2，则实数m 的值为 ． 7．已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，()1x f x e =+，则(ln 2)f -的值为 ．8．已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为 ．9．如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC BC ＝1，E ，F 分 别为AB ，PC 的中点，则三棱锥B —EFC 的体积为 ．10．设A ＝{}()347x y x y +≥，，点P ∈A ，过点P 引圆2(1)x ++22(0)y r r =>的两条切线PA ，PB ，若∠APB 的最大值为3π，则r 的值为 ．11．设函数()sin()3f x x πω=+，其中0ω>．若函数()f x 在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是 ．12．若正实数a 、b 、c 满足2ab a b =+，2abc a b c =++，则c 的最大值为 ．13．设函数32()f x x a x =-(a ＞0，x ≥0)，O 为坐标原点，A(3，﹣1)，C(a ，0)．若对此函数图象上的任意一点B ，都满足OA OB OA OC ⋅≤⋅成立，则a 的值为 ．14．若数列{}n a 满足10a =，414242433n n n n a a a a -----=-=，44141412n n n n a a a a +-==，其中N n *∈，且对任意N n *∈都有n a m <成立，则m 的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在△ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记△ABC 的面积为S ，且2S ＝AB AC ⋅．（1）求角A 的大小；（2）若c ＝7，cosB ＝45，求a 的值．16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为棱B 1C 1上的点，且A 1F ⊥B 1C 1．（1）求证：平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；（2）求证：A 1F ∥平面ADE ．。
江苏省南京市盐城市2019届高三数学第一次模拟考试1月试题附加题201902020264
南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）
A .（选修4—2：矩阵与变换）
直线:230l x y -+=经矩阵 01 a M d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值.
B .（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方
程为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长.
C ．(选修4—5：不等式选讲）
已知正实数,,x y z 满足3x y z xyz ++=，求xy yz zx ++的最小值.
[必做题]（第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分10分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是矩形，PA ⊥平面A B C D ,1AD =
, PA AB ==点E 是棱PB 的中点.
(1)求异面直线EC 与PD 所成角的余弦值；
(2)求二面角B EC D --的余弦值.
23．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且对任意*n N ∈，都有
012112312(1)2n n n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅成立. （1）求3a 的值；
（2）证明：数列{}n a 是等差数列.
第22题 B A P
E D。
江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试数学试题(精编含解析)
【点评】考查奇函数概念及性质，属于基础题型。
8．已知等比数列an为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn ，若 a2 2 ， S3 7 ，则 a5 的值为
．
【答案】16
【解析】显然此等比数列不是常数列，因此设： an
a1
qn1 ， a2
a1
q
2，
a1
2 q
，
S3
a1
(q2
．
【答案】 1,1
【解析】取两个集合的交集 【点评】考查集合的交集运算，该题属于基础题型。
2．设复数 z a i （其中 i 为虚数单位），若 zz 2 ，则实数 a 的值为
．
【答案】 1
【解析】 z a i ， z a i ， zz (a i)(a i) a2 1 2 ， a2 1， a 1
10．设 A (x, y) 3x 4 y 7 ，点 P A ，过点 P 引圆 (x 1)2 y2 r2 (r 0) 的两条切线
PA, PB ，若 APB 的最大值为 ，则 r 的值为
．
3
【答案】1
【解析】算出满足使 APB 最大值的 P 点轨迹，连接 P 点和圆心，由切线可知： P 点到圆心的距
，解得：
5 6
,
4 3
【点评】三角函数零点个数问题，求解参数范围。难度中等。
12．若正实数 a 、 b 、 c 满足 ab a 2b ， abc a 2b c ，则 c 的最大值为
．
【答案】 8 7
【解析】由 abc a 2b c ， ab a 2b ，解得 c a 2b a 2b 1 1 ， ab 1 a 2b 1 a 2b 1
盐城市高三一调试数学试题及答案
第6题江苏省盐城市2019/2019学年度高三年级第一次调研考试(总分160分, 考试时间120分钟) 2019-1-20一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ,则PQ = ▲ .2．若复数1234,12(z i z i i =+=+是虚数单位),则12-z z = ▲ . 3．命题:,sin 2x R x ∀∈<的否定是 ▲ .4．某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人, 50岁及以上的有30人.现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查, 则35岁到49岁的应抽取 ▲人．5．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ▲ . 6．运行如图所示的程序框图,则输出的结果S= ▲ . 7．函数23cos(2)4π=--y x x 的最小正周期为 ▲ . 8．观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=； ②tan 5tan100tan100tan(15)+-tan(15)tan 51+-=； ③tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++=.一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ . 9．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ▲ .10．设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35,则a b +的最小值为 ▲ .11．已知平面,,αβγ,直线,l m 满足：,,,αγγαγβ⊥==⊥m l l m ,那么①m β⊥； ②l α⊥； ③βγ⊥； ④αβ⊥.可由上述条件可推出的结论有 ▲ (请将你认为正确的结论的序号都填上).12．在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ .13．已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中1122432,1,,2a b a b a b ====,第15题C 1ABCDEF A 1B 1 第16题第17题 且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ .14．已知函数2342011()12342011=+-+-+⋅⋅⋅+x x x x f x x ,2342011()12342011=-+-+-⋅⋅⋅-x x x x g x x , 设()(3)(3)=+⋅-F x f x g x ,且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)<∈a b a b a b Z 内, 则-b a 的最小值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分) 如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在⊙O 上,点A 34(,55, 点B 在第二象限,点C (1,0).（Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值；（Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°,E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1.17．(本小题满分16分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==. （Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程； （Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值； （Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.18．(本小题满分14分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x .若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到0.1,参考数据取1.4).19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n n pa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数.（Ⅰ）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥,试求数列{}n b 前n 项和n T ； （Ⅱ）若数列{}n c 满足2n n c a =,试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由； （Ⅲ）当12p =时,问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值； 若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)已知函数2()|ln 1|f x x a x =+-,()||22ln 2,0g x x x a a =-+->. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值；（Ⅱ）若3(),[1,)2f x a x ≥∈+∞恒成立,求a 的取值范围； （Ⅲ）对任意1[1,)x ∈+∞,总存在惟一．．的．2[2,)x ∈+∞,使得12()()f xg x =成立, 求a 的取值范围.数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点,⊥OC AB ,过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值.D.（选修4—5：不等式选讲）已知0>m , a , b ∈R ，求证：()22211a mba mb mm++≤++.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分） 设,m n N ∈,()(12)(1)m nf x x x =+++.（Ⅰ）当m n ==2019时,记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-；（Ⅱ）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．23．（本小题满分10分）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)n n =关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于2n 时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；（Ⅱ）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．江苏省盐城市2019/2019学年度高三年级第一次调研考试AD 第21-A 题数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}0,22.22+i3.,sin 2∃∈≥x R x4.55.346.617.π8.90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时9. 22(2)(2)10-+-=x y 10.8 11.②④ 12.71313.4 14.9 二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．解：（Ⅰ）因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==………………………………6分 （Ⅱ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC=10分 同理, 4sin 10BOC +∠=,故点A的坐标为34(1010-+………………………………14分 16．（Ⅰ）证明:因为E 、F 分别为11A C 、11B C 的中点,所以11////EF A B AB ………………………4分而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,所以直线EF ∥平面ABD ………………………………………7分 （Ⅱ）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B =,所以AB ⊥面11BCC B ………… 11分又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………………………14分 17．解：（Ⅰ）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =……… 2分 设⊙M 的半径为r ,则122cos60OB r =⋅=,所以M 的方程为22(2)4x y -+=……………… 5分（Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++……8分所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2 ……………………………………………………………10分 （Ⅲ）以点Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦………………… 11分 设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+…13分 从而直线QS 的方程为320x ty --=(*)………………………………………………………………14分因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)3 ……………16分18．解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩…………………………………………………1分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤…………………………………… 3分 当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………………………5分 综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………………… 6分 （Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………………………9分 =161014a x a x -+--=16(14)414ax a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤,所以[4,8],故当且仅当14x -=时,y有最小值为4a - ………………………12分令44a -≥,解得244a -≤≤,所以a的最小值为24 1.6-≈ ………………14分19．解：（Ⅰ）据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故222n T n n =--……………4分（Ⅱ）当12p =时,数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列……………………5分 理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+, 所以12(12)n n n c n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列； 当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列 ………………………………………………………………… 9分 （Ⅲ）当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---………………………………10分因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥) ……………………………………………12分212(10)1n n S c +-=，244164n n n ∴++=，设2()44416x f x x x =---(2)x ≥，则()()4ln 484xg x f x x '==--，2()(ln 4)480xg x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠，∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立……………………………………………………16分20．解：（Ⅰ）当1a =,[1,]x e ∈时2()ln 1f x x x =-+,1()2(1)1f x x f x''=-≥=, 所以()f x 在[1,]e 递增,所以2max ()()f x f e e ==………………………………………………………4分（Ⅱ）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立,)(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min )(e e f y ==…………………………………………5分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='， （i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数, 故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e ……………………………………………7分 (ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数, 所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a上为增函数,故当2a x =时，2ln 223min aa a y -=， 且此时)()2(e f af <2=e ………………………………………………………………………8分 (iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数， 故当e x =时，2min )(e e f y ==………………………………………………………………9分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min 2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y ……………………………10分 所以当312a a +≥时,得02a <≤；当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解；当232e a ≥（22a e ≥）时,得a ≤不成立. 综上,所求a 的取值范围是02a <≤…………………………………………11分（Ⅲ）①当02a <≤时,()g x 在[2,)+∞单调递增,由(2622ln 21g a a =--≤+）, 得52ln 2233a -≤≤………………………………………………………………………………………12分 ②当122a <≤时，()g x 在[2,)+∞先减后增,由3(2222ln 2ln 222=--<-）a a ag a , 得ln 22ln 20222a a a +--<, 设()ln 22ln 2()2ah t t t t t =+--=,()2ln 0(12)h t t t '=+><<, 所以()h t 单调递增且(2)0h =，所以()0h t <恒成立得24a <<……………………………………14分③当222a e <<时,()f x 在[2,2a 递增，在[,]2aa 递减， 在[,)a +∞递增,所以由()2ag 3ln 222a a a <-,得23ln 22ln 204222a a a a-++-<,设2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-, 则2()22ln 0((2,)m t t t t e '=-+>∈,所以()m t 递增，且(2)0m =, 所以()0m t >恒成立，无解.④当22a e >时，()f x 在[2,]2a递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增,所以由()2ag e <得2222ln 204a e -+-<无解. 综上,所求a 的取值范围是52[ln 2,4)33a ∈-………………………16分数学附加题部分21．A.证明：连结OF ,因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°,所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ,又因为CO ⊥AB 于O ， 所以∠OCF +∠CEO =90°………………………………………………………………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ,因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ……………………………………………………………………………………10分B. 解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分 将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量………………………………………8分同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量． 综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………………10分C. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--………………………………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则MC =分所以1MN MC r +=≤……………………………………………………………………………10分D. 因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mb a mb m m++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++， 即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb mm++≤++…10分22.解：（Ⅰ）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-………………………4分（Ⅱ）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m n C C +2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯+=-+--=2441190m m -+ ……………7分 所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85…………………………10分23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则339()41664P A =⋅= ……………………4分（Ⅱ）由题意得, ξ的取值有0,1,2,3,且1(0)4p ξ==, 9(1)64p ξ==,(2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=, (3)p ξ==313841664⋅⋅39512=, 即随机变量ξ的概率分布列为:分所以,19273397350123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (10)。
2019年江苏盐城南京高考数学一模试卷及解析
江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B=．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）?z为纯虚数，则a的值为．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．2的焦点与双曲线py（5分）若抛物线的右焦点重合，则实数=2px．6．的值为x﹣a的值域为A，若A?[0．（5分）设函数y=e，+∞），则实数a的取值7．范围是8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是．10．（5分）设S为等差数列{a}的前n项和，若{a}的前2017项中的奇数项和nnn为2018，则S的值为．2017=），f（xx）是偶函数，当x≥0时，511．（分）设函数f（．）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是若函数y=f（x，圆P3）上存在一点中，若直线y=k（x﹣12．（5分）在平面直角坐标系xOy22，则实数k的最小值为=1上存在一点Q ，满足=3 x+（y﹣1）．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为．2B+sinAsinC＞19sinBsinC分）若不等式ksin对任意△ABC都成立，则实数．14（5k 的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣ABC中，CA=CB，点M，N分别是111AB，AB的中点．11（1）求证：BN∥平面AMC；1（2）若AM⊥AB，求证：AB⊥AC．1111c=．，c 已知C的对边分别为a，b（16．14分）在△ABC中，角A，B，的值；，求cosB（1）若C=2B）的值．B=（2，求cos）若（17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略，的扇形，且弧为圆心、∠EOF=120°分别与边是以不计），其中OEMFO．N 相切于点M，BC，AD分米时，求折卷成的包装盒的容积；BE长为1（1）当？大最盒的容积成少分米时，折卷的包装多BE（2）当的长是：（a＞b＞16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C0）．18（的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交运动到点（）处时，点QNQ，Q，且点是线段OP的中点．当点P于点．的坐标为（）（1）求椭圆C的标准方程；=2y时，求直轴右侧，且，当点M，N均在y（2）设直线MN交轴于点D的方程．线BM2，其中n≥2，且n∈N，=aaa+λ（a﹣a）19．（16分）设数列{a}满足11nn12n ﹣+为常数．λ（1）若{a}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；n（2）若a=1，a=2，a=4，且存在r∈[3，7]，使得m?a≥n﹣r对任意的n∈n132N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a}不是常数列，如果存在正整数T，使得a=a对任意nnTn+的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a}中T的最小值．n+（a，b，c ∈R）．（（16分）设函数f（x）=lnx，gx）=ax20．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相0等的正实数x，x，使得g（x）=g（x）=f（x），求c的最小值；01122（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x，y），B（x，y）2112（x＜x）两点．求证：xx﹣x＜b＜xx﹣x．11112222[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．[选修4-2：矩阵与变换]22=1在矩阵M，求圆M=x的变换下所得的曲线方+y．22（10分）已知矩阵程．]：坐标系与参数方程[选修4-4的值．r）=1与曲线ρ=（r＞0）相切，求23．在极坐标系中，直线ρcos（θr+]4-5：不等式选讲[选修22的值．x+y满足x，yx3y+取最大值时=1，求当x．已知实数24，BD﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与交于点OP．25（10分）如图，四棱锥．OP=4AC=4中点，，BD=2，MOP⊥底面ABCD，点为PC所成角的余弦值；BMAP与1（）求直线所成锐二面角的余弦值．PAC2（）求平面ABM与平面0112n1n﹣．C++…nC），分）已知26．（10n∈N*nf（n=CC2C+C nnnnnn（1）求f（1），f （2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B={1} ．【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）?z为纯虚数，则a的值为1．【解答】解：∵z=a+i，∴（1+i）?z=（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，又（1+i）?z为为纯虚数，∴a﹣1=0即a=1．故答案为：1．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为1200．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的频率为：1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：4000×0.3=1200．故答案为：1200．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为1．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，0=1．时，y=e当x=0故答案为：1．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，n==6个球，基本事件总数从袋中一次随机摸出2，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，p=．个球的编号之和大于4的概率为∴摸出的2．故答案为：2p分）若抛物线y=2px的右焦点重合，则实数的焦点与双曲线6．（5．的值为6，【解答】解：∵双曲线的方程22，=5，可得=3a=4，bc=∴的右焦点为F（3，0因此双曲线），2=2px（py＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∵抛物线∴=3，解之得p=6．故答案为：6．x﹣a的值域为A，若A?[0分）设函数7．（5y=e，+∞），则实数a的取值．范围是（﹣∞，2]x A﹣【解答】解：函数y=ea的值域为x，∵e=2∴值域为A=[2﹣a，+∞）．又∵A?[0，+∞），∴2﹣a≥0，即a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．．则α+β的值为﹣1）（tanβ﹣1）=2，58．（分）已知锐角α，β满足（tan α，1=tanαtanβtanα+tanβ+1）（tanβ﹣1）=2，可得：tanα【解答】解：∵（﹣，）1=═﹣∴tan（α+β∵锐角α，β，可得：α+β∈（0，π），β=+．∴α．故答案为：9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是，] ．（0【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，可得ω＞0在区间[0，2π]上单调递增，∴，．即，]故答案为：（010．（5分）设S为等差数列{a}的前n项和，若{a}的前2017项中的奇数项和nnn 为2018，则S的值为4034．2017【解答】解：因为S为等差数列{a}的前n项和，且{a}的前2017项中的奇数nnn项和为2018，）×=1009×a=2018+a，得a=2．++所以S=aa+a+…a=1009×（a10091201711009320175奇）×=1008×a=1008×=1008+a×（a+a2=2016 …++则S=aaa+1009620162220164偶则S=S+S=2018+2016=4034．2017偶奇故答案为：4034．=）（时，≥）是偶函数，当（分）设函数（11．5fxx0fx，．）1，）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 [x若函数y=f（，][0，3可得f（x）∈【解答】解：由0≤x≤．）0，13时，f（x）∈（x＞的图象，如图所示，y=m（x）与画出函数y=f有四个不同的零点，m（x）﹣∵函数y=f个交点，4y=m的图象有∴函数y=f（x）与，），由图象可得m的取值范围为[1．），故答案为：[1，圆Px﹣）上存在一点3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（12 22的最小值为k=3﹣x +（y﹣1）=1上存在一点Q．，满足，则实数【解答】解：设P（x，y），Q（x，y）；2211y=k（x﹣3）①，则112=1②；﹣1）+（y2由=3，得，即，代入②得+=9；，3）到直线kx0此方程表示的圆心（rdk=0的距离为≤；﹣y﹣3，≤3即．解得﹣0≤k≤的最小值为﹣．∴实数k．故答案为：﹣，正六边形的顶1（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为13．的位置BA，四点均位于图中的“晶格点”处，且，“晶格点”．若AB，C，D点称为．24所图所示，则的最大值为，0）B（0【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A，（，），（﹣D的位置可以有三个位置，其中DC，那么容易得到（0，5）时，，）1，（﹣，，0），D）D（﹣32（﹣此时=），﹣，，（﹣，﹣=（﹣5=）（﹣，﹣）=，，，﹣），=22.5=21则?，?=24，?，的最大值为则24．24故答案为：2都成立，则实数对任意△＞+分）若不等式（14．5ksinBsinAsinC19sinBsinCABC k的最小值为100．22+ac＞19bc，+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：【解答】解：∵ksinkbB＞，∴k只需k大于右侧表达式的最大值即可，显然c＞b时，表达式才能取得最大值，又∵c﹣b＜a＜b+c，∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c，22，）﹣=100+10（）﹣（=20）∴＜﹣（1922=100．﹣10取得最大值当=10时，2020×﹣（）10∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣ABC中，CA=CB，点M，N分别是111AB，AB的中点．11（1）求证：BN∥平面AMC；1（2）若AM⊥AB，求证：AB⊥AC．1111【解答】证明：（1）因为ABC﹣ABC是直三棱柱，所以AB∥AB，且AB=AB，1111111又点M，N分别是AB、AB的中点，所以MB=AN，且MB∥AN．1111所以四边形ANBM是平行四边形，从而AM∥BN．11又BN?平面AMC，AM?平面AMC，所以BN∥平面AMC；1111?侧面ABBAAA，而是直三棱柱，ABC所以AA⊥底面ABC，因为（2）ABC﹣1111111所以侧面ABBA⊥底面ABC．11又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABBA⊥底面ABC，侧面ABBA∩底面ABC=AB，1111CM⊥AB，且CM?底面ABC，得CM⊥侧面ABBA．11?侧面ABBA，所以AB⊥CM．又AB 1111又AB⊥AM，AM、MC平面AMC，且AM∩MC=M，11111所以AB⊥平面AMC．11又AC?平面AMC，所以AB⊥AC．111c=．c 已知a，b，分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为（16．14的值；，求cosB（1）若C=2B）的值．，求（2cos（）若B=为）因】解，得：（1【解答定c=，则由正弦理sinC=sinB．…（2分）sin2B=，所以分）又C=2B …（4 sinB，即．2sinBcosB=sinB cosB=，故＞0 …是△ABC的内角，所以sinB又B ．（6分）=，所以）因为cbcosA=bacosC（2，则由余弦定理，222222，得a=c． a =b+a﹣c …（10c得b+﹣分）=，…（12从而分）cosB=sinB=，所以π0又＜B＜=．=cosBcos ．﹣sinBsin= ）Bcos14（…从而（+分）17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略，EOF=120°分别与边的扇形，且弧不计），其中OEMF是以O为圆心、∠．M，NBC，AD相切于点分米时，求折卷成的包装盒的容积；BE长为1（1）当？最大盒的容积的分米时，折卷成包装少2（）当BE的长是多【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R，EOT=∠EOF=60°在Rt中，因为∠，OET△OT=﹣．OT=，则所以MT=0MBE=MT=，即从而R=2BE=2．22﹣，﹣R=故所得柱体的底面积S=S﹣S=πRsin120°OEFOEF△扇形，EG=4又所得柱体的高．4EG=所以V=S×﹣（分米）时，折卷成的包装盒的容积为1﹣答：当4立方分米．BE长为（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积222，x（﹣）==S﹣S=SπR﹣Rsin120°OEFOEF△扇形，﹣EG=6又所得柱体的高2x 32），其中0＜x（﹣）x＜+3x所以V=S×EG=3（﹣．232，0＜x＜﹣x3+3x，f令（x）=2+6x=﹣3x（x﹣2）=0，则由f′（x）=﹣3x解得x=2．列表如下：x2（2，30，2））（0﹣+（x）f′减增极大值xf（）所以当x=2时，f（x）取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q．）的坐标为（（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直的方程．BM线【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的，x方程为y=﹣，﹣）0．x=0，得点B的坐标为（令．+所以椭圆的方程为=12=4a．+将点N=1的坐标（，解得，）代入，得+=1所以椭圆C．的标准方程为﹣的方程为y=x），则直线BM0：设直线BM的斜率为k（k＞．（2）=x，中，令y=0在y=kx，得﹣P=的中点，所以xQ是线段OP．而点Q==kBN=2k．的斜率k所以直线BQBN22=．kx=0x，解得﹣x，得（联立，消去y3+4k8）M=．，得x用2k代k N，又=2所以x=2（x﹣x），得2x=3x，NMNNM k=，解得．，又k故2×＞==30×y=BM的方程为x所以直线﹣2，其中n≥2，且n∈）+满足=aaaλ（a﹣aN，a（19．16分）设数列{}11n1nn2﹣+为常数．λ（1）若{a}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；n（2）若a=1，a=2，a=4，且存在r∈[3，7]，使得m?a≥n﹣r对任意的n∈n123N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a}不是常数列，如果存在正整数T，使得a=a对任意nnTn+的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a}中T的最小值．n2，+λd﹣d）（a+d）（（【解答】解：1）由题意，可得aa=nn2=0，又d≠0，所以λ﹣1）dλ=1．化简得（（2）将a=1，a=2，a=4，代入条件，312可得4=1×4+λ，解得λ=0，a=aa，所以数列{a}是首项为1，公比q=2所以的等比数列，nn11n﹣+n1﹣．所以a=2n 欲存在r∈[3，7]，n1n1﹣﹣对任意n∈n﹣m?2m?2N*都成立，≥n﹣r，即r≥使得1n﹣≥对任意n∈，所以m则7≥n﹣m?2N*都成立．==，则b﹣b﹣=，b令nn1n+所以当n＞8时，b＜b；当n=8时，b=b；当n＜8时，b＞b．n1n9n1n8++的最小值为m=b；=，所以所以b的最大值为b8n9（3）因为数列{a}不是常数列，所以T≥2，n①若T=2，则a=a恒成立，从而a=a，a=a，23n41n2+所以，2=0，又λ≠0，所以a=a，可得{a所以λ（a﹣a）}是常数列，矛盾．n1221所以T=2不合题意．=（*），满足a=a恒成立．②若T=3，取a nnn3+22．a由λ=aa+（a﹣a），得λ=7122312．7+a则条件式变为a=a1nn1n﹣+222；）﹣aa=a+λ（a由2=1×（﹣3）+7，知a123k3k123k﹣﹣222；）a﹣aa7，知+=aaλ（）由（﹣31=2×+13k23k13k1+﹣222；）a﹣（+λa=aa，知+31由=2×（﹣）7a13k13k3k22++所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．+（a，b，c∈R）．（16分）设函数f（x）=lnx，gx）=ax20．（（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相0等的正实数x，x，使得g（x）=g（x）=f（x），求c的最小值；02121（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x，y），B（x，y）2121（x＜x）两点．求证：xx﹣x＜b＜xx﹣x．11122221=，所以f′（1））=0，又f′（x=1，）由【解答】解：（1f（x）=lnx，得f（1）﹣=a，（x）=ax）+，所以g′x当c=0时，g（，=a﹣b1所以g′（）处有相同的切线，x）的图象在x=1f（x）与g（因为函数，所以，即；﹣a=，解得b=，）（xaf（x）＞0，又b=3﹣，设t=f2（）当x＞1时，则000．）在（0，+∞）上有相异两实根x，x则题意可转化为方程axt+﹣c=t（＞0212﹣（c+t）x+（3﹣a）的方程即关于xax=0（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x，x．21，得，所以2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．c所以＞23a0因为时取等号）=3≥2?（当且仅当a=，＜＜，所以2﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3又﹣t＜0，所以．．3故c的最小值为（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，﹣）1，所以，两式相减，得b=xx（21要证明xx﹣x＜b＜xx﹣x，112221﹣）＜xx﹣x，xxx﹣x＜x（1即证12211221＜＜即证，＜﹣﹣＜1即证1ln﹣＜lnt＜t﹣t＞1，此时即证11．令=t，则﹣）=﹣1，所以φ′（（=＞0，令φt）=lntt+所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．﹣＜lnt成立；1＞0，即=0，所以φ（t）=lnt1+﹣）又φ（11=＜0=﹣，，所以﹣t+1m′（t）（再令mt）=lnt）单调递减，（mt所以当t＞1时，函数也成立．10，即lnt＜t﹣﹣）（1=0，所以m（t）=lntt+1＜又m．xxx﹣﹣，综上所述，实数xx满足xxx＜b＜11221122分．请202（在21.22.23.24四小题中只能选做题，每小题10分，计][选做题图选修把答案写在答题纸的指定区域内）[4-1：几何证明选讲]垂直，与⊙O的直径，直线DEO相切于点EAD为⊙分）如图，已知（21．10AB．到直径，求切点．若于点DEDDE=4EABEF的距离【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分）由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22=1在矩阵yM，求圆x的变换下所得的曲线方22．（10分）已知矩阵M=+程．22上任意一点，y+）是圆，解：设【解答】P（xyx=100，则=1设点P（x，y）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），00=，则，解得，…（即5分），=1，得代入=122的变换下所得的曲线方程为yM=1（．…10分）∴圆x在矩阵+=1]4-4：坐标系与参数方程[选修的值．）相切，求rr＞0θ）+=1与曲线ρ=r（23．在极坐标系中，直线ρcos（，转化为：=1θ，+）ρcos【解答】解：直线（222，y=rr＞0）转化为：x+曲线ρ=r（由于直线和圆相切，．则：圆心到直线的距离d=．所以r=1]4-5：不等式选讲[选修22的值．x，求当x+y．已知实数x，y满足x+3y取最大值时=1242222）]）≥（][1x?1+【解答】解：由柯西不等式，得[x++（（）2，2即．x+y）≥（222）3y+y=1，所以（分），所以﹣，…（5x而x+．）=时，（x由+，得，所以当且仅当x=，yy=max分）（10值为．…x所以当+y 取最大值时x，OBD交于点ABCDABCD的底面是菱形，AC与P．25（10分）如图，四棱锥﹣．OP=4，BD=2，AC=4MOP⊥底面ABCD，点为PC中点，所成角的余弦值；与BM1（）求直线AP所成锐二面角的余弦值．PACABM2（）求平面与平面【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．，=（01，﹣1，2（﹣2，0，4）），===cos＜=，＞．所成角的余弦值为与BM分）故直线AP．…（5，=（﹣1，﹣1，2）．（2（﹣）=2，1，0）的一个法向量为=（x，y，z设平面ABM），，得=（2，4则，令x=2，3）．的一个法向量为PAC又平面）1，0，，=（0===．＜∴cos＞所成锐二面角的余弦值为与平面分）（…．10故平面ABMPAC0112n1n﹣．CC+，nf（n）=C…C++2CnC26．（10分）已知n∈N*nnnnnn（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．CC=CC【解答】解：（1）由条件，nf（n）①，）=1．在①中令n=1，得f（1=6，得f（2）=3．在①中令n=2，得2f（2），故f（=10．3）在①中令n=3，得3f（3）=30．）=）猜想f（n（2n?+要证猜想成立，只要证等式2 ?=+…+成立．n?n2n①，…++xx由（1+x）+x=+=（1++nxx）两边同时对②，x求导数，可得+2x+n3x2n1n1﹣﹣（?）=可乘，得n（1++x等x把+式①和②x…+相+x ）2n1 2nn21﹣﹣③．x）+ n+（x2x+ 3nn的系数为等式右的左等式边系数为边x，nx?n…?3?2+?+++nC+C=CC+3?，n…+?=+2??=C．CCCn根据等式③恒成立，可得= 成立．）（故fn。
江苏省南京2019届高三一模数学含答案
2019届高三年级第一次模拟考试 数 学 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. 若集合A ＝(－∞，1]，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝a ＋i (其中i 为虚数单位)．若zz ＝2，则实数a 的值为________．3. 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝________.4. 从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________．5. 在如图所示的流程图中，若输入x 的值为－4，则输出c 的值为________．(第5题)(第9题)6. 若双曲线x 22－y 2m＝1的离心率为2，则实数m 的值为________．7. 已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln 2)的值为________．8. 已知等比数列{a n }为单调递增数列，设其前n 项和为S n .若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为________．9. 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E 、F 分别为AB 、PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．10. 设A ＝{(x ，y)|3x ＋4y ≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r>o)的两条切线PA 、PB.若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．11. 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，其中ω>0.若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．12. 若正实数a 、b 、c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________． 13. 设函数f(x)＝x 3－a 2x(a>0，x ≥0)，O 为坐标原点，A(3，－1)，C(a ，0)．若对此函数图象上的任意一点B ，都满足OA →·OB →≤OA →·OC →成立，则a 的值为________．14. 若数列{a n }满足a 1＝0，a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3，a 4n a 4n －1＝a 4n ＋1a 4n＝12，其中n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m 成立，则m 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记△ABC 的面积为S ，且2S ＝AB →·AC →. (1) 求角A 的大小；(2) 若c ＝7，cos B ＝45，求a 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、CC 1上的点(点D 不同于点C)，且AD ⊥DE ，F 为棱B 1C 1上的点，且A 1F ⊥B 1C 1.求证：(1) 平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2) A 1F ∥平面ADE.盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝m ln x－x＋600xx2＋144－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6.(1) 求实数m的值；(2) 求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln 6＝1.8)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k(x －m)(m ∈R )与椭圆C 相交于P 、Q 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．(1) 若函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，求t的取值范围；(2) 求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；(3) 当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．已知数列{a n}，其中n∈N*.(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0，n∈N*)．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n＋2－3，n∈N*, 若a1＝1，a2＝2，且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立，求k的最小值．2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)直线l ：2x －y ＋3＝0经过矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d 变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知正实数x 、y 、z ，满足x ＋y ＋z ＝3xyz ，求xy ＋ yz ＋xz 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA ＝AB＝2，E是棱PB的中点．(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值．23. (本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C0n＋a2C1n＋a3C2n＋…＋a n C n n＝(a n＋2－1)·2n－1成立．＋1(1) 求a3的值；(2) 证明：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学参考答案1. {－1，1}2. ±13. 804. 135. 46. 67. －38. 169. 36 10. 1 11. ⎣⎡⎭⎫56，43 12. 87 13. 6214. 815. (1) 由2S ＝AB →·AC →，得bc sin A ＝bc cos A ， 因为A ∈(0，π)， 所以tan A ＝1，即A ＝π4.故A 的大小为π4.(6分)(2) 在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以sin B ＝35，所以sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A·sin B ＝7210.(10分)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a 22＝77210，解得a ＝5.故a 的值为5.(14分)16. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC.(2分) 因为AD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥AD.又因为AD ⊥DE ，在平面BCC 1B 1中，BB 1与DE 相交， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1.(8分) 因为A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1F.又因为A 1F ⊥B 1C 1，在平面BCC 1B 1中，BB 1∩B 1C 1＝B 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.(10分) 在(1)中已证得AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD.又因为A 1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE.(14分) 17. (1) 由题意，得f(6)＝29.6，代入f(x)＝m ln x －x ＋600xx 2＋144－6(4≤x ≤22，m ∈R )，得m ln 6－6＋600×662＋144－6＝29.6，解得m ＝12.(5分)(2) 由已知函数求导得f ′(x )＝12－x x ＋600·144－x 2（x 2＋144）2＝(12－x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x ＋600（12＋x ）（x 2＋144）2.令f ′(x )＝0得x ＝12，(9分)当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以函数在x ＝12处取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．(12分)答：(1) 实数m 的值为12.(2) 每天空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)18. (1) 在椭圆C 中，2c ＝2，两准线间的距离为2·a 2c ＝8，即a 2c ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①由(1)得，点A(－2，0)，设点P(x 0，y 0)， 由于m ＝0，则Q(－x 0，－y 0)． 由x 204＋y 203＝1得y 20＝3－3x 204，(5分) 所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.故k 1k 2的值为－34.(8分)②由(1)得，点A(－2，0)．设点P(x 1，y 1)，则直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，(10分)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21，代入y ＝k 1(x ＋2)，得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21.(12分)由k 1k 2＝－14得k 2＝－14k 1， 整体代换得点Q(24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k )．(13分) 设M(m ，0)，由P 、Q 、M 三点共线，得PM →∥QM →，即12k 13＋4k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21－m ＝－12k 11＋12k 21·(6－8k 213＋4k 21－m)， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0， 解得m ＝1.故实数m 的值为1.(16分)19. (1) 由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx ，由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝23t. 因为函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，所以23t ≤0或23t ≥1， 解得t ≤0或t ≥32. 故t 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(4分)(2) 由(1)知f′(x)＝3x 2－2tx ，令f′(x)＝1，则3x 2－2tx －1＝0，所以Δ＝(－2t)2＋12>0，即对任意实数t ，f′(x)＝1总有两个不同的实数根x 1，x 2， 所以不论t 为何值，函数f(x)的图象在点x ＝x 1，x ＝x 2处的切线平行．(8分)设这两条切线的方程分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 22＋1.若两条切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1，即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]＝t(x 1＋x 2)．又x 1＋x 2＝2t 3， 所以x 1x 2＝t 29， 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t 29－4t 29＝0，即x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾， 所以这两条切线不重合．综上，对任意实数t ，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行．(10分)(3) 当t ＝3时，f(x)＝x 3－3x 2＋1，则f ′(x)＝3x 2－6x ，由(2)知当x 1＋x 2＝2时，两切线平行．设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 22＋1)，不妨设x 1>x 2，则过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.(11分)所以两条平行线间的距离d ＝||2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）1＋9（x 21－2x 1）2 ＝||（x 2－x 1）[]2（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－3（x 1＋x 2）1＋9（x 21－2x 1）2＝4，化简得(x 1－1)6＝1＋9[(x 1－1)2－1]2，(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ≥0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2－8λ＋10)＝0，显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有三解．又(x 1－1)2＝λ(λ≥0), x 1>x 2, x 1＋x 2＝2，所以x 1有三解，所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)20. (1) ①由a 4－a 3＝4，a 3－a 2＝2，a 2－a 1＝1，累加得a 4＝8.(3分)②因为a n ＋1－a n ＝q n －1，所以a n －a n －1＝q n －2，…，a 2－a 1＝1，当q ＝1时，a n ＝n ，满足题意；当q ≠1时，累加得a n ＋1＝1－q n1－q＋a 1， 所以a n ＝1－q n －11－q＋a 1.(5分) 若存在r ，s ，t 满足条件，化简得2q s ＝q r ＋q t ，即2＝q r －s ＋q t －s ≥2q r ＋t －2s ＝2，此时q ＝1(舍去)．(7分)综上所述，符合条件q 的值为1. (8分)(2) 由c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *可知c n ＋1＝b n ＋3－3，两式作差可得b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，又由c 1＝1，c 2＝4，可知b 3＝4，b 4＝7，故b 3＝b 2＋b 1，所以b n ＋2＝b n ＋1＋b n 对一切的n ∈N *恒成立．(11分)对b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，b n ＋2＝b n ＋1＋b n 两式进行作差可得a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1，又由b 3＝4，b 4＝7可知a 3＝1，a 4＝3，故a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥2)．(13分)又由a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2＋a n ＋1)＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2a n ＋1)＝－a 2n ＋1＋a n a n ＋2，n ≥2，所以|a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3|＝|a 2n ＋1－a n a n ＋2|，(15分)所以当n ≥2时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝5；当n ＝1时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝3，故k 的最小值为5.(16分)21. A . 设直线l 上一点(x ，y )，经矩阵M 变换后得到点(x ′，y ′)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝x ＋dy ， 因为变换后的直线还是直线l ，将点(x ′，y ′)代入直线l 的方程，得2ax －(x ＋dy )＋3＝0， 即(2a －1)x －dy ＋3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝2，－d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，d ＝1，(6分) 所以令矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a 0－1λ－d ＝(λ－a )(λ－d )＝0， 解得λ＝a 或λ＝d ，所以矩阵的M 的特征值为32与1.(10分) B. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2－2x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1，0)，半径r ＝1.(3分)又⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t ，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0，(6分)所以圆心到直线l 的距离d ＝||1－212＋（3）2＝12，所以直线l 被圆C 截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫122＝ 3. (10分)C. 因为x ＋y ＋z ＝3xyz ，所以1xy ＋1yz ＋1zx ＝3.(5分) 又(xy ＋yz ＋zx )·⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ≥(1＋1＋1)2＝9， 所以xy ＋yz ＋zx ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号，所以xy ＋yz ＋zx 的最小值为3. (10分)22. (1) 因为PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．又因为PA ＝AB ＝2，AD ＝1，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)．(2分) 因为E 为棱PB 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫22，0，22， 所以EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，PD →＝(0，1，－2)，所以cos 〈EC →，PD →〉＝1＋112＋1＋12×1＋2＝63， 所以异面直线EC 与PD 所成角的余弦值为63.(6分) (2) 由(1)得EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，BC →＝(0，1，0)，DC →＝(2，0，0)． 设平面BEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 1＋y 1－22z 1＝0，y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝1，所以平面BEC 的一个法向量为n 1＝(1，0，1)． 设平面DEC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 2＋y 2－22z 2＝0，2x 2＝0，令z 2＝2，则y 2＝1，所以平面DEC 的一个法向量为n 2＝(0，1，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝21＋1×1＋2＝33， 由图可知二面角BECD 为钝角，所以二面角BECD 的余弦值为－33. (10分)23. (1) 在a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C n n ＝(a n ＋2－1)·2n －1中， 令n ＝1，则a 1C 01＋a 2C 11＝a 3－1，由a 1＝1，a 2＝3，解得a 3＝5. (3分)(2) 假设a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列，则a k ＝2k －1. ①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5, 此时假设成立；(4分) ②当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列．(5分)由a 1C 0k －1＋a 2C 1k －1＋a 3C 2k －1＋…＋a k C k －1k －1＝(a k ＋1－1)·2k －2，k ≥2， 对该式倒序相加，得(a 1＋a k )2k －1＝2(a k ＋1－1)·2k －2，所以a k ＋1－a k ＝a 1＋1＝2，所以a k ＋1＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1.根据①、②可知数列{}a n 是等差数列．(10分)。
江苏省 南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试含答案
南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.若集合(,1]A =-∞，{}1,1,2B =-，则AB = ▲ ．2.设复数z a i =+（其中i 为虚数单位），若2zz =，则实数a 的值为 ▲ ．3.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A那么此样本的容量n = ▲ ．4.从1,2,3中选2偶数的概率为 ▲ ．5.如图所示流程图中，若输入x 的值为4-，则输出c6.若双曲线2212x y m-=的离心率为2，则实数m 7.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当x >()+1x f x e =，则()ln 2f -的值为 ▲ ．8.已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，3=7S ，则5a 的值为▲ ． 9.如图，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，4PA =，AC =1BC =，,E F 分别为,AB PC 的中点，则三棱锥B EFC -的体积为 ▲ ．10.设(){},347A x y x y =+≥，点P A ∈，过点P 引圆()()222+1=0x y r r +> 的两条切线,PA PB ，若APB ∠的最大值为3π，则r 的值为 ▲ ．11.设函数()sin()3f x x πω=+，其中0ω>.若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取C第9题ABPEF值范围是 ▲ ．12.若正实数,,a b c 满足2ab a b =+，2abc a b c =++，则c 的最大值为 ▲ ．13.设函数()()320,0f x x a x a x =->≥，O 为坐标原点，()3,1A -，(),0C a ，对函数图象上的任意一点B ，都满足OA OB OA OC ⋅≤⋅成立，则a 的值为 ▲ ． 14.若数列{}n a 满足1414242430,3n n n n a a a a a ----=-=-=，44141412n n n n a a a a +-==，其中n N *∈，且对任意n N *∈都有n a m <成立,则m 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC ∆的面积为S ，若2S AB AC =⋅. （1）求角A 的大小； （2）若7c =，4cos 5B =，求a 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱1,BC CC 上的点(其中点D 不同于点C )，且AD D E ⊥，F 为棱11B C 上的点，111A F B C ⊥于点F .求证：(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ；(2) 1//A F 平面ADE .17. (本小题满分14分)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社第16题组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，其中x 为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6. （1）求实数m 的值；（2）求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：ln 6 1.8=）18. (本小题满分16分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线()():l y k x m m R =-∈与椭圆交于P Q 、两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为A ，记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k .①若0m =，求12k k 的值； ②若1214k k =-，求实数m 的值.19. (本小题满分16分)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 设函数()32()1f x x tx t R =-+∈.（1）若函数()f x 在(0,1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行；（3）当=3t 时，函数()f x 的图象存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组.20. (本小题满分16分)已知数列{}n a , 其中n N *∈.（1）若{}n a 满足()1+10n n n a a q q n N -*-=>∈，.① 当12, 1 q a ==且时，求4a 的值；② 若存在互不相等的正整数,,r s t ，满足2s r t =+，且,,r s t a a a 成等差数列，求q 的值；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n c ，+2=3,n n c b n N *-∈，若2121+21, 2, n n n a a a a a k +==-≤且恒成立，求k 的最小值.南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—2：矩阵与变换）直线:230l x y -+=经矩阵 01 a M d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值.B .（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长.C ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,x y z 满足3x y z xyz ++=，求xy yz zx ++的最小值.[必做题]（第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,1AD =,PA AB =点E 是棱PB 的中点.(1)求异面直线EC 与PD 所成角的余弦值； (2)求二面角B EC D --的余弦值.23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且对任意*n N ∈，都有01212312(1)2nn n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅成立. （1）求3a 的值；（2）证明：数列{}n a 是等差数列.第22题 BAPED南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1,1- 2. 1± 3. 80 4. 135. 46. 67. 3-8. 169. 6 10. 1 11. 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭12. 8713. 214. 8二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由2S AB AC =⋅，得sin cos bc A bc A =,所以tan 1A =,因为()0,A π∈，所以4A π=……6分 （2）ABC∆中，4co sB =,所以3s i n5B =，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=分由正弦定理sin sin a cA C=，得20=，解得=5a ....................................................................14分（评分细则：第一问解答中不交代“()0,A π∈”而直接得到“4A π=”的，扣1分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣1分.）16．证明：（1）在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面ABC . ... .. .................. ....... .......................2分 因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥,又因为DE AD ⊥，在平面11B BCC 中，1BB 与DE相交，所以AD ⊥平面11B B C C ，又因为AD ⊂平面A D E ,所以平面⊥A D E平面11B B C C .................... .................6分 (2) 在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面11A B C . ......................... ... ...... ........... ....... ..................8分因为1A F ⊂平面111A B C ,所以11BB A F ⊥,又因为111A F B C ⊥，在平面11B BCC 中1111BB B C B =，所以1A F ⊥平面11B B C C, . ........ .............. .................. .............. ................................... ...... ...... ..........................10分 在（1）中已证得AD ⊥平面11B BCC ，所以//1F A AD ，又因为1A F ⊄平面ADE ，AD ⊄平面A,所以//1F A 平面A. ........ .............. .................. .............. ................................... ..... .... ... ........................14分（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱1BB 与底面垂直”，从而得到“1BB AD ⊥和11BB A F ⊥”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“1A F ⊄平面ADE ”，扣2分.） 17．（1）由题()629.6f =，代入()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，解得12m =……5分（2）由已知函数求导得：])144()12(6001)[12()144(14460012)(22222+++-=+-+-='x x x x x x x x x f 令0)(='x f 得时. ………………12分答：（1）实数m 的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..………..……………………14分（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）18．解：（1）椭圆C 的离心率为12c e a ==，两准线间的距离为228a c =得24a c =，所以2a =，1c =，所以23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………………………………………………………3分 （2）设00(,)P x y ，由于0m =，则00(,)Q x y --，由2200143x y +=得2200334x y =-，………………5分所以202000122200003334==22444x y y y k k x x x x --⋅==-+-+--…………………………………………………………8分（3）由（1）得()2,0A -.方法一：设11(,)P x y ，设直线AP 的方程为AP ：()12y k x =+，联立()2211432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y，得222111(34)1616k x k x k +++-=，所以21121161234A k x x k -⋅=+，………………………………………10分 所以211216834k x k -=+， 代入()12y k x =+得11211234k y k =+，所以21122116812(,)3434k k P k k -++………………12分 由1214k k =-得2114k k =-，整体代换得211221124212(,)112112k k Q k k --++………………………………………13分 设(),0M m ，由P Q M 、、三点共线得//PM QM ，即22111122221111122421268()()3411211234k k k k m m k k k k ---⋅-=⋅-++++，化简得()()211164=0m k -+，所以=1m …16分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立()221143:x y l y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得22222(34)84120k x m k xm k+-+-=，所以21228+34mk x x k =+，2212241234m k x x k-⋅=+………………10分 而()()()()22121212121212121212122+2+2+2++44k x x m x x m k x m k x m y y k k x x x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦=⋅=⋅==-++， …………13分化简得()2222223121416164k m m k mk k -=-++，即2222+20m k m k k -=，显然20k ≠，所以2+20m m -=，解得=1m 或2m =-（舍去）此时1 0=∴>∆m ， ……………………………………………16分19. 解：（1）由函数32()1f x x tx =-+，得2()32f x xtx '=-，由()0f x '=，得0x =，或23x t =， 因函数()f x 在(0,1）上无极值点，所以203t ≤或213t ≥，解得0t ≤或32t ≥. ……………………………4分 （2）方法一:令()232=f x x tx p '=-，即2320x tx p --=，2=412t p ∆+，当243t p >-时，∆>，此时2320x t x p --=存在不同的两个解12,x x .……………………………………………………………………8分（方法二：由（1）知2()32f x x t x '=-，令()1f x '=，则23210x t x --=，所以2(2)120t ∆=-+>，即对任意实数t ，()1f x '=总有两个不同的实数根12,x x ，所以不论t 为何值，函数()f x 在两点1x x =，2x x =处的切线平行.…………………………………………………………………8分） 设这两条切线方程为分别为()2321111322+1y x t x x x t x=--+和()2322222322+1y x tx x x tx =--+，若两切线重合，则323211222+1=2+1x tx x tx -+-+,即()()221122122+x x x x t x x +=+，即()()21212122x x x x t x x ⎡⎤+-=+⎣⎦，而12x x +=23t ，化简得212=9t x x ⋅，此时()()2222121212444099t t x x x x x x -=+-=-=，与12x x ≠矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行……………………………………………………10分（3）当=3t 时32()3+1f x x x =-，2()36f x x x '=-，由（2）知12+=2x x 时，两切线平行.设()32111,3+1A x x x -,()32222,3+1B x x x -,不妨设12x x >，过点A的切线方程为()23211113623+1y x x x x x =--+…………………………………………………11分所以，两条平行线间的距离12 d==()()262111=1+911x x⎡⎤---⎣⎦，……………………………………………………………………………13分令()()211=0xλλ-≥，则()23191λλ-=-，即()()()221191λλλλ-++=-，即()()218100λλλ--+=，显然=1λ为一解，2810=0λλ-+有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而()()2112121=0,,=2x x x x xλλ-≥>+，所以1x有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 ...................................................……16分20．解：（1）由434a a-=，322a a-=，211a a-=，累加得48a=.……………………………………3分（2）①因11nn na a q-+-=，所以21nn na a q---=，，211a a-=，当1q=时，na n=，满足题意；当1q≠时，累加得1111nnqa aq+-=+-，所以1111nnqa aq--=+-………………………………………………5分若存在,,r s t满足条件，化简得2s r tq q q=+，即22r s t sq q--=+≥=，此时1q=（舍去）………………………………………………………………………………………………7分综上所述，符合条件q的值为1. ………………………………………………………………………………8分（2）②由*2,3Nnbcnn∈-=+可知331-=++nnbc,两式作差可得：123++++=nnnbbb，又由4,121==cc，可知7,443==bb故123bbb+=，所以nnnbbb+=++12对一切的*Nn∈恒成立……………………11分对123++++=nnnbbb，nnnbbb+=++12两式进行作差可得123++++=nnnaaa,又由7,443==bb可知3,143==aa，故)2(,12≥+=++n a a a n n n ……………………………………13分又由)()(121213122++++++++⋅-+=-n n n n n n n n a a a a a a a a )2()(1121++++⋅-+=n n n n n a a a a a 2,221≥+-=++n a a a n n n ,所以2221312n n n n n n a a a a a a +++++-=- ，……………………………………15分所以当2≥n 时5||221=-++n n n a a a ,当1=n 时3||221=-++n n n a a a ,故k 的最小值为5 (16)附加题答案21（A ）解：设直线l 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到点(,)x y ''， 所以 01 d a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即x axy x dy '=⎧⎨'=+⎩，因变换后的直线还是直线l ，将点(,)x y ''代入直线l 的方程，于是2()3a x x d y -++=，即(21)3a x d y --+=，所以2121a d -=⎧⎨-=-⎩，解得321a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………6分 所以矩阵M 的特征多项式0()()()01a f a d dλλλλλ-==--=--，解得a λ=或d λ=，所以矩阵的M 的特征值为32与1.…………………………………………………10分21（B ）解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以2220x y x +-=，所以圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1C ，半径1r =，………………………………………………………………………………………3分又212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，得直线l 方程为20x -=，…………………………………………6分 所以圆心到直线l 的距离12d ==，所以直线l 被圆C 截得的弦长为. ……………………………………………………………………………………………10分21.（C ）因1xyz =，所以22222x y y z y +≥， 同理22y z z+≥，22222z x x y x +≥，…………………………………………………………………5分三式相加，得2222222(2()6x y y z z x x y z ++≥++=），所以2222223x y y z z x ++≥，当且仅当222222==x y y z z x 取等，即1x y z ===， 所以22x y y z z x ++的最小值为3. ……………………………………………………………………10分22.解：（1）因PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直， 以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又因P A A B=，1AD =，所以(0,0,0)A，B，,0)C ，(0,1,0)D，P ，…2分因E 棱PB的中点，所以E .所以2(EC =，(0,1,PD =，所以cos ,EC PD <>==，所以异面直线EC 与PD 所成角的余弦值为分 （2）由（1）得2(EC =，(0,1,0)BC =，(2,0,0)DC =， 设平面BEC 的法向量为1111(,,)n xy z =，所以111100y y +-=⎪=⎩， 令11x =，则11z =，所以面BEC 的一个法向量为1(1,0,1)n =，设平面DEC 的法向量为2222(,,)nx y z =，所以2222022x y z +-=⎪=， 令2z ，则21y =，所以面DEC 的一个法向量为2n =，所以12cos ,n n <>==B ECD --为钝角， 所以二面角B EC D--的余弦值为分 23.（1）解：在012112312(1)2nn n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅中，令1n =，则01112131a C a C a +=-，由11a =，23a =，解得35a =. ……………………………………3分（2）假设1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2的等差数列，则21k a k =- ①当1n =时，12=1,3,5a a a ==, 此时假设成立……………………………………………………………4分 ②当n k =时，若1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2等差数列……………………………………………5分由0121211213111(1)2k k k k k k k k a C a C a C a C a ------+++++=-⋅，2k ≥，对该式倒序相加，得1211()22(1)2k k k k a a a --++=-⋅，所以1112k k a a a +-=+=，1212(1)1k a k k +=+=+-根据①、②可知数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………………10分。
江苏省南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学试卷(含附加题)
盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题2019.01(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合(],1A =-∞，{}1,1,2B =-，则A B =I ▲ ．2．设复数z a i =+（其中i 为虚数单位），若2zz =，则实数a 的值为▲ ．3．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n = ▲ ．4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 ▲ ．5．如图所示流程图中，若输入x 的值为4-，则输出c 的值为 ▲ ．6．若双曲线2212x y m-=的离心率为2，则实数m 的值为 ▲ ． 7．已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()1xf x e =+，则(ln 2)f -的值为 ▲ ．8．已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为 ▲ ．9．如图，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，4PA =，3AC =，1BC =，,E F 分别为,AB PC 的中点，则三棱锥B EFC -的体积为 ▲ ． 10．设{},)34(7A x y x y =+≥，点P A ∈，过点P 引圆222(1)(0)x y r r ++=>的两条切线,PA PB ，若APB ∠的最大值为3π，则r 的值为 ▲ ． 11．设函数π()sin()3f x x ω=+，其中0ω>．若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是 ▲ ．12．若正实数a 、b 、c 满足2ab a b =+，2abc a b c =++，则c 的最大值为 ▲ ．13．设函数32()(0,0)f x x a x a x =->≥，O 为坐标原点，(3,1)A -，(,0)C a ．若对此函数图象上的任意一点B ，都满足OA OB OA OC ⋅≤⋅uu r uu u r uu r uuu r成立，则a 的值为 ▲．14．若数列{}n a 满足10a =，414242433n n n n a a a a -----=-=，44141412n n n n a a a a +-==，其中n *∈N ，且对任意n *∈N 都有n a m <成立，则m 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，设a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，记ABC ∆的面积为S ，且2S AB AC =⋅uu u r uuu r． （1）求角A 的大小；（2）若7c =，4cos 5B =，求a 的值．16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D E 、分别是棱1BC CC 、上的点（点D 不同于点C ），且AD DE ⊥，F 为棱11B C 上的点，且111A F B C ⊥． 求证：（1）平面⊥ADE 平面11B BCC ；（2）//1F A 平面ADE ．17．(本小题满分14分)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数2600()ln 6(422,)144xf x m x x x m x =-+-≤≤∈+R ，其中x 为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6． （1）求实数m 的值；（2）求近期每天在[]422，时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：ln 6 1.8=）18．(本小题满分16分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线()()l y k x m m =-∈R ：与椭圆C 相交于P Q 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为A ，记直线AP AQ 、的斜率分别为12k k 、．①若0m =，求12k k 的值；②若1214k k =-，求实数m 的值．19．(本小题满分16分)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点．设函数32()1()f x x tx t =-+∈R ． （1）若函数()f x 在(01)，上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，在函数()f x 的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当3t =时，若函数()f x 的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由．20．(本小题满分16分)已知数列{}n a ，其中n *∈N ．（1）若{}n a 满足11(0,)n n n a a q q n -*+-=>∈N ．①当2q =，且11a =时，求4a 的值；②若存在互不相等的正整数,,r s t ，满足2s r t =+，且,,r s t a a a 成等差数列，求q 的值．（2）设数列{}n a 的前n 项和为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n c ，23n n c b +=-，n *∈N ，若11a =，22a =，且212n n n a a a k ++-≤恒成立，求k 的最小值．盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分2019.01（本部分满分40分，考试时间30分钟） 21．[选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A .（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）直线l ：230x y -+=经过矩阵 0=1 a d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值．B .（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为32,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长．C ．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AD =，2PA AB ==，点E 是棱PB 的中点．（1）求异面直线EC 与PD 所成角的余弦值； （2）求二面角B EC D --的余弦值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足121,3a a ==，且对任意n *∈N ，都有0121231n n n n n na C a C a C a C +++++L 12(1)2n n a -+=-⋅成立．（1）求3a 的值； （2）证明：数列{}n a 是等差数列．盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}1,1-2. 1±3. 804.135. 46. 67. 3-8. 169. 36 10.1 11. 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭12. 87 13. 62 14. 8二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由2S AB AC =⋅，得sin cos bc A bc A =,因为()0,A π∈，所以tan 1A =4A π=……6分 （2）ABC ∆中，4cos 5B =,所以3sin 5B =，所以()72sin sin sin cos cos sin 10C A B A B A B =+=+=..10分由正弦定理sin sin a cA C=，得7272210a =，解得=5a ....................................................................14分（评分细则：第一问解答中不交代“()0,A π∈”而直接得到“4A π=”的，扣1分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣1分.）16．证明：（1）在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面ABC . ... .. .................. ....... .......................2分因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥,又因为DE AD ⊥，在平面11B BCC 中，1BB 与DE 相交，所以AD ⊥平面11B BCC ，又因为AD ⊂平面ADE ,所以平面⊥ADE 平面11B BCC .................... .................6分(2) 在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面111A B C . ......................... ... ...... ........... ....... ..................8分因为1A F ⊂平面111A B C ,所以11BB A F ⊥,又因为111A F B C ⊥，在平面11B BCC 中1111BB B C B =，所以1A F ⊥平面11B B C C , . ........ .............. .................. .............. ................................... ...... ...... ..........................10分在（1）中已证得AD ⊥平面11B BCC ，所以//1F A AD ，又因为1A F ⊄平面ADE ，AD ⊄平面ADE,所以//1F A 平面A D E . ........ .............. .................. .............. ................................... ..... .... ... ........................14分（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱1BB 与底面垂直”，从而得到“1BB AD ⊥和11BB A F ⊥”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“1A F ⊄平面ADE ”，扣2分.）17．（1）由题()629.6f =，代入()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，解得12m =……5分（2）由已知函数求导得：])144()12(6001)[12()144(14460012)(22222+++-=+-+-='x x x x x x x x x f 令0)(='x f 得12=x ，………………………………………………………………………………………9分x )12,4(∈x12=x )22,12(∈x()f x '+()=0f x '-()f x极大值所以函数在12=x 时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时. ………………12分 答：（1）实数m 的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..………..……………………14分（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）18．解：（1）椭圆C 中，22c =，两准线间的距离为228a c =得24a c=，所以2a =，1c =，所以23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………………………………………………………3分 （2）设00(,)P x y ，由于0m =，则00(,)Q x y --，由2200143x y +=得2200334x y =-，………………5分所以202000122200003334==22444x y y y k k x x x x --⋅==-+-+-- (8)分（3）由（1）得()2,0A -.方法一：设11(,)P x y ，设直线AP 的方程为AP ：()12y k x =+，联立()2211432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2222111(34)1616120k x k x k +++-=，所以21121161234A k x x k -⋅=+，………………………………………10分 所以211216834k x k -=+， 代入()12y k x =+得11211234k y k =+，所以21122116812(,)3434k k P k k -++………………12分 由1214k k =-得2114k k =-，整体代换得211221124212(,)112112k k Q k k --++………………………………………13分 设(),0M m ，由P Q M 、、三点共线得//PM QM ，即22111122221111122421268()()3411211234k k k k m m k k k k ---⋅-=⋅-++++，化简得()()211164=0m k -+，所以=1m …16分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立()22143:x y l y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得22222(34)84120k x mk x m k +-+-=，所以21228+34mk x x k =+，2212241234m k x x k -⋅=+………………10分 而()()()()22121212121212121212122+2+2+2++44k x x m x x m k x m k x m y y k k x x x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦=⋅=⋅==-++， (13)分化简得()2222223121416164k m m k mk k -=-++，即2222+20m k mk k -=，显然20k ≠，所以2+20m m -=，解得=1m 或2m =-（舍去）此时1 0=∴>∆m ， ……………………………………………16分19. 解：（1）由函数32()1f x x tx =-+，得2()32f x x tx '=-，由()0f x '=，得0x =，或23x t =， 因函数()f x 在(0,1）上无极值点，所以203t ≤或213t ≥，解得0t ≤或32t ≥. ……………………………4分 （2）方法一:令()232=f x x tx p '=-，即2320x tx p --=，2=412t p ∆+，当243t p >-时，0∆>，此时2320x tx p --=存在不同的两个解12,x x .……………………………………………………………………8分（方法二：由（1）知2()32f x x tx '=-，令()1f x '=，则23210x tx --=，所以2(2)120t ∆=-+>，即对任意实数t，()1f x '=总有两个不同的实数根12,x x ，所以不论t为何值，函数()f x 在两点1x x =，2x x =处的切线平行.…………………………………………………………………8分） 设这两条切线方程为分别为()2321111322+1y x tx x x tx =--+和()2322222322+1y x tx x x tx =--+，若两切线重合，则323211222+1=2+1x tx x tx -+-+,即()()221122122+x x x x t x x +=+，即()()21212122x x x x t x x ⎡⎤+-=+⎣⎦，而12x x +=23t，化简得212=9t x x ⋅，此时()()2222121212444099t t x x x x x x -=+-=-=，与12x x ≠矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行……………………………………………………10分（3）当=3t 时32()3+1f x x x =-，2()36f x x x '=-，由（2）知12+=2x x 时，两切线平行.设()32111,3+1A x x x -,()32222,3+1B x x x -,不妨设12x x >，过点A的切线方程为()23211113623+1y x x x x x =--+…………………………………………………11分 所以，两条平行线间的距离()()()()()()2332221121212212122221111223223192192x x x x x x x x x x x x d x x x x ⎡⎤-+--+---⎣⎦==+-+-，化简得()()262111=1+911x x ⎡⎤---⎣⎦，……………………………………………………………………………13分令()()211=0x λλ-≥，则()23191λλ-=-，即()()()221191λλλλ-++=-，即()()218100λλλ--+=，显然=1λ为一解，2810=0λλ-+有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而()()2112121=0, , =2x x x x x λλ-≥>+，所以1x 有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 ...................................................……16分20．解：（1）由434a a -=，322a a -=，211a a -=，累加得48a =.……………………………………3分（2）①因11n n n a a q -+-=，所以21n n n a a q ---=，，211a a -=，当1q =时，n a n =，满足题意；当1q ≠时，累加得1111n n q a a q +-=+-，所以1111n n q a a q--=+- (5)分若存在,,r s t 满足条件，化简得2s r t q q q =+，即2222r s t s r t s q q q --+-=+≥=， 此时1q =（舍去）………………………………………………………………………………………………7分 综上所述，符合条件q 的值为1. ………………………………………………………………………………8分（2）②由*2,3N n b c n n ∈-=+可知331-=++n n b c ,两式作差可得：123++++=n n n b b b ，又由4,121==c c ，可知7,443==b b 故123b b b +=，所以n n n b b b +=++12对一切的*N n ∈恒成立……………………11分对123++++=n n n b b b ，n n n b b b +=++12两式进行作差可得123++++=n n n a a a , 又由7,443==b b 可知3,143==a a ，故)2(,12≥+=++n a a a n n n ……………………………………13分又由)()(121213122++++++++⋅-+=-n n n n n n n n a a a a a a a a )2()(1121++++⋅-+=n n n n n a a a a a 2,221≥+-=++n a a a n n n ,所以2221312n n n n n n a a a a a a +++++-=- ，……………………………………15分所以当2≥n 时5||221=-++n n n a a a ,当1=n 时3||221=-++n n n a a a ,故k 的最小值为5 (16)附加题答案21（A ）解：设直线l上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到点(,)x y ''，所以 01 d a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即x axy x dy '=⎧⎨'=+⎩，因变换后的直线还是直线l，将点(,)x y ''代入直线l的方程，于是2()30ax x dy -++=，即(21)30a x dy --+=，所以2121a d -=⎧⎨-=-⎩，解得321a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩， (6)分所以矩阵M 的特征多项式0()()()01a f a d dλλλλλ-==--=--，解得a λ=或d λ=，所以矩阵的M 的特征值为32与1.…………………………………………………10分21（B ）解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以2220x y x +-=，所以圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)C ，半径1r =，………………………………………………………………………………………3分 又32212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t，得直线l方程为320x y +-=，…………………………………………6分所以圆心到直线l的距离2212121(3)d -==+，所以直线l被圆C 截得的弦长为22121()32-=. ……………………………………………………………………………………………10分21.（C ）因++3xyz x y z =，所以1113xy yz zx++=，………………………………………………5分 又2111()()(111)9xy yz zx xy yz zx++⋅++≥++=， 3xy yz zx ++≥，当且仅当1x y z ===时取等号，所以xy yz zx ++的最小值为3. ……………………………………………………………………10分 22.解：（1）因PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直， 以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又因2PA AB ==，1AD =，所以(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)P ，…2分因E 棱PB 的中点，所以22(,0,)22E .所以22(,1,)22EC =-，(0,1,2)PD =-， 所以116cos ,31111222EC PD +<>==++⋅+，所以异面直线EC 与PD 所成角的余弦值为63………6分（2）由（1）得22(,1,)22EC =-，(0,1,0)BC =，(2,0,0)DC =， 设平面BEC 的法向量为1111(,,)n x y z =，所以1111220220x y z y ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩， 令11x =，则11z =，所以面BEC 的一个法向量为1(1,0,1)n =，设平面DEC 的法向量为2222(,,)n x y z =，所以22222202220x y z x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩， 令22z =，则21y =，所以面DEC 的一个法向量为2(0,1,2)n =， 所以1223cos ,31112n n <>==+⋅+，由图可知二面角B EC D --为钝角， 所以二面角B ECD --的余弦值为33-. …………………………………………………………………10分 23.（1）解：在012112312(1)2nn n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅中，令1n =，则01112131a C a C a +=-，由11a =，23a =，解得35a =. ……………………………………3分（2）假设1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2的等差数列，则21k a k =- ①当1n =时，123=1,3,5a a a ==, 此时假设成立.....................................................................4分 ②当n k =时，若1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2等差数列 (5)分由0121211213111(1)2k k k k k k k k a C a C a C a C a ------+++++=-⋅，2k ≥， 对该式倒序相加，得1211()22(1)2k k k k a a a --++=-⋅，所以1112k k a a a +-=+=，1212(1)1k a k k +=+=+-根据①、②可知数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………10分。
江苏南京、盐城2019高三第一次重点考试试题--数学
江苏南京、盐城2019高三第一次重点考试试题--数学数 学(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑, 其中11n i i x x n ==∑. 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.集合{}2,1,0,1-=U , {}1,1-=A , 那么U A ð= .2.复数2(12)i -的共轭复数是 .3.某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8, 9, 10, 10, 8, 那么该组数据的方差为 .4.袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意 摸出2个小球, 那么摸出的两球颜色不同的概率为 .5.在等差数列{}n a 中, 假设9753=++a a a , 那么其前9项和9S 的值为 .6.设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 那么目标函数23z x y =+的 最大值为 .7.如下图是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 .8.将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 那么ϕ的最小值为 .②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③假如两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行；④假如两个平面相互垂直,那么通过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.那么所有真命题的序号是.10.在ABC ∆中,假设9cos 24cos 25A B -=,那么BC AC的值为. 11.如图,在等腰三角形ABC 中,底边2=BC ,=,12AE EB =,假设12BD AC ⋅=-,那么⋅=. 12.1F 、2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点,点P 是椭圆的上任意一点,那么121||PF PF PF -的取值范围是. 13.假设x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+,那么cos 4y x 的值为.14.函数02,()(2),2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩,假设关于x 的方程()f x kx =(0)k >有且仅有四个根,其最大根为,那么函数225()6724g t t t =-+的值域为. 【二】解答题：本大题共6小题，计90分.解承诺写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(本小题总分值14分)在直三棱柱111C B A ABC -中,AB BC ⊥,D 为棱1CC 上任一点.(1)求证：直线11A B ∥平面ABD ；(2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .16、(本小题总分值14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C 、(1)假设cos(A ＋)＝sinA ，求A 的值；(2)假设cosA ＝，4b ＝c ，求sinB 的值、17、(本小题总分值14分)近年来，某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采纳太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C 〔单位：万元〕与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100k C x x k x =≥+为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.(1)试解释(0)C 的实际意义,并建立F 关于x 的函数关系式；(2)当x 为多少平方米时,F 取得最小值？最小值是多少万元？18.(本小题总分值16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>通过点M ,椭圆的离心率e =1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A 、B .①假设直线MA 过坐标原点O ,试求2MAF ∆外接圆的方程；②假设AMB ∠的平分线与y 轴平行,试探究直线AB 的斜率是否为定值？假设是,请给予证明；假设不是,请说明理由.19、(本小题总分值16分)关于定义在区间D 上的函数()f x ,假设任给0x D ∈,均有0()f x D ∈,那么称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭,并说明理由； 假设函数3()1x a g x x +=+在区间[3,10]上封闭,求实数a 的取值范围； 假设函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭,求,a b 的值.20、(本小题总分值16分)假设数列{}n a 是首项为612t -,公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)假设数列{}n b 是等比数列,试证明:关于任意的(,1)n n N n ∈≥,均存在正整数n c ,使得1nn c b a +=,并求数列{}n c 的前n 项和n T ； (3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅,且{}n d 中不存在如此的项k d ,使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立〔其中2≥k ,*∈N k 〕,试求实数的取值范围、附加题部分〔本部分总分值40分，考试时间30分钟〕21、[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.〔选修4—1：几何证明选讲〕如图，圆O 的直径8=AB ,C 为圆周上一点,4=BC ,过C 作圆的切线,过A 作直线的垂线AD ,D 为垂足,AD 与圆O 交于点E ,求线段AE 的长、B.〔选修4—2：矩阵与变换〕矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3,求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量.C 、〔选修4—4：坐标系与参数方程〕在极坐标系中,A 为曲线22cos 30ρρθ+-=上的动点,B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点,求AB 的最小值.D 、(选修4-5：不等式选讲〕设12,,,n a a a ⋅⋅⋅基本上正数,且12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1,求证：12(1)(1)(1)2n n a a a ++⋅⋅⋅+≥.[必做题]第22、23题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22、〔本小题总分值10分〕某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为1P 32=,乙的命中率为2P ,在射击比武活动中每人射击两发子弹那么完成一次检测,在一次检测中,假设两人命中次数相等且都许多于一发,那么称该射击小组为“先进和谐组”.假设2P 21=,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； 计划在2018年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ,假如5≥ξE ,求2P 的取值范围.23、〔本小题总分值10分〕n x x f )2()(+=,其中*N n ∈、(1)假设展开式中含3x 项的系数为14,求n 的值；(2)当3=x 时,求证：)(x f *)s N +∈的形式.参考答案【一】填空题1.{}0,22.34i -+3.454.235.276.267.38.6π9.①③④10.2311.012.[0,2]+13.－114.41[,1)25-- 【二】解答题15.(1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11//A B AB …………4分 而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,因此直线EF ∥平面ABD …………7分(2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,因此1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B =,因此AB ⊥面11BCC B ……………11分又AB ABD ⊂面,因此平面ABD ⊥平面11BCC B …………………14分17、解:(1)(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费………………………………2分 由(0)24100k C ==,得2400k =………………3分 因此24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++……………………………7分(2)因为18000.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥=+………………10分 当且仅当18000.5(5)5x x =++,即55x =时取等号…………………………13分因此当x 为55平方米时,F 取得最小值为59.75万元………………………14分(说明:第(2)题用导数可最值的,类似给分)18.解:(1)由e =，2222289c a b a a -==，得229a b =，故椭圆方程为222219x y b b +=……3分又椭圆过点M ，那么2218219b b+=，解得24b =，因此椭圆的方程为221364x y += …………………5分(2)①记12MF F ∆的外接圆的圆心为T .因为13OM k =,因此MA 的中垂线方程为3y x =-,又由M ,2F (),得1MF的中点为，而21MF k =-， 因此2MF 的中垂线方程为y x =-，由3y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，得T …………8分 因此圆T=， 故2MAF ∆的外接圆的方程为221254x y ⎛⎛++= ⎝⎝………………10分(说明:该圆的一般式方程为22200x x y y +-=) (3)设直线MA 的斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为k -.联立直线MA与椭圆方程：221364y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 整理得()()2229113162108180k x k x k k ++-+--=，得1x =， 因此2x =-，整理得21x x -=，21x x +=-………13分又()()212221y y kx kx k x x -=-++-+-=-++=3210891k k -+=+，因此212113AB y y k x x -===-为定值………………16分19、解:(1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,因此()f x 的值域为[-3,0]………2分而[-1,0][2,1]⊄-,因此()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的………………4分 (2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a ++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意…………8分综上所述,实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,因此2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-,因此()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,因此()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,如今无解………………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………………11分③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b a h a b≥⎧⎨≤⎩(*), 而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分 ⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,因此()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,如今无解…………………………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分20、解:(1)因为{}n a 是等差数列,因此(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分而数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-,因此当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,因此13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,因此113232t --=⨯=,即1t =,因此612n a n =-………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n n c N -=+∈,那么116(23)12n n c n a b -+=+-=,因此命题成立…7分 数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+--…………………9分 (3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,因此 ①假设3222t -<,即74t <,那么1n n d d +>,因此当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得74t ≤<…………13分 ②假设32232t ≤-<,即7944t ≤<,那么当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分 ③假设321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥, 那么当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列,当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 那么由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=……………15分 综上所述,的取值范围是t ≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥………16分 附加题答案21.A.解：连结AC BE OC ,,，那么AE BE ⊥、 ∵4=BC ,∴4===BC OC OB ,即OBC ∆为正三角形,∴ 60=∠=∠COB CBO ……………………………………………4分 又直线切⊙O 与C ，∴60DCA CBO ??， ∵AD l ^，∴906030DAC ?-=………………………6分而3021=∠=∠=∠COB ACO OAC ,∴60=∠EAB ………8分在Rt △BAE 中，∠EBA=30°，∴421==AB AE ……………10分 B 、解：矩阵M 的特征多项式为xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ……………1分 因为31=λ方程)(=λf 的一根，因此1=x ……………………………………3分由04)1)(1(=---λλ,得12-=λ…………………………………………5分设12-=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α,那么⎩⎨⎧=--=--022022y x y x ,得y x -=……………8分令1,1-==y x 则,因此矩阵M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α…………10分C 、解:圆的方程可化为()2214x y ++=,因此圆心为()1,0-,半径为2…………………3分又直线方程可化为70x y +-=……………………………………………5分因此圆心到直线的距离d ，故min ()AB=2 (10)分D 、解:因为1a 是正数，因此11a +≥………………………………………5分同理1(2,3,)j a j n +=≥，将上述不等式两边相乘，得1212(1)(1)(1)n n na a a a a a +++⋅⋅⋅⋅≥2,因为121n a a a ⋅⋅⋅=,因此12(1)(1)(1)n n a a a +++≥2……………………………10分 22.解:(1)可得=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=)2121)(3232()2121)(3132(1212C C P 31……………………4分(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为222222212129498)3232()]1()[3132(P P P P P C C P -=⋅+-⋅⋅⋅⋅=,而ξ～),12(P B ,因此P E 12=ξ,由5≥ξE ,知512)9498(222≥⋅-P P ,解得1432≤≤P (10)分23.解:(1)因为28812rrr r x C T -+=,因此6=r ，故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ，解得7=n ………5分 (2)由二项式定理可知,01201122(22222nn nn n n n n n n C C C C --=++++,设(2n x +==+，而假设有(2n +=+,a b N *∈，那么(2n -=,,a b N *∈ (7)分∵(2(21n n ⋅=⋅=，∴令,a s s N *=∈，那么必有1b s =-……………………………………9分∴(2n +必可表示成的形式，其中s N *∈ (10)分注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数、。
2019.1南京盐城两地2019届高三年级数学一模试卷及答案解析
南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考 数 学 试 题 2019.01(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.若集合(,1]A =-∞，{}1,1,2B =-，则AB = ▲ ．2.设复数z a i =+（其中i 为虚数单位），若2zz =，则实数的值为 ▲ ．3.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n = ▲ ．4.从1,2,3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 ▲ ．5.如图所示流程图中，若输入x 的值为4-，则输出c 的值为 ▲．6.若双曲线2212x y m-=的离心率为2，则实数m 的值为 ▲ ． 7.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()+1x f x e =，则()ln 2f -的值为 ▲ ．8.已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，3=7S ，则5a 的值为▲ ． 9.如图，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，4PA =，AC 1BC =，,E F 分别为,AB PC 的中点，则三棱锥B EFC -的体积为 ▲ ．10.设(){},347A x y x y =+≥，点P A ∈，过点P 引圆()()222+1=0x y r r +>的两条切线,PA PB ，若APB ∠的最大值为3π，则r 的值为 ▲ ． 11.设函数()sin()3f x x πω=+，其中0ω>.若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取值范围是▲ ．C第9题ABPEF12.若正实数,,a b c 满足2ab a b =+，2abc a b c =++，则c 的最大值为 ▲ ．13.设函数()()320,0f x x a x a x =->≥，O 为坐标原点，()3,1A -，(),0C a ，对函数图象上的任意一点B ，都满足OA OB OA OC ⋅≤⋅成立，则a 的值为 ▲ ．14.若数列{}n a 满足1414242430,3n n n n a a a a a ----=-=-=，44141412n n n n a a a a +-==，其中n N *∈，且对任意n N *∈都有n a m <成立,则m 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC ∆的面积为S ，若2S AB AC =⋅. （1）求角A 的大小； （2）若7c =，4cos 5B =，求a 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱1,BC CC 上的点(其中点D 不同于点C )，且A D D E⊥，F 为棱11B C 上的点，111A F B C ⊥于点F .求证：(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ；(2) 1//A F 平面ADE .17. (本小题满分14分)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，其中x 为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.（1）求实数m 的值；（2）求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：ln 6 1.8=）第16题18. (本小题满分16分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线()():l y k x m mR =-∈与椭圆交于P Q 、两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为A ，记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k .①若0m =，求12k k 的值； ②若1214k k =-，求实数m 的值.19. (本小题满分16分)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 设函数()32()1f x x tx t R =-+∈.（1）若函数()f x 在(0,1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行；（3）当=3t 时，函数()f x 的图象存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组.20. (本小题满分16分)已知数列{}n a , 其中n N *∈.（1）若{}n a 满足()1+10n n n a a q q n N -*-=>∈，.① 当12, 1 q a ==且时，求4a 的值；② 若存在互不相等的正整数,,r s t ，满足2s r t =+，且,,r s t a a a 成等差数列，求q 的值；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n c ，+2=3,n n c b n N *-∈，若2121+21, 2, n n n a a a a a k +==-≤且恒成立，求k 的最小值.南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4—2：矩阵与变换）直线:230l x y -+=经矩阵 01 a M d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值.B .（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长.C ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,x y z 满足3x y z xyz ++=，求xy yz zx ++的最小值.[必做题]（第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,1AD =,PA AB ==点E 是棱PB 的中点.(1)求异面直线EC 与PD 所成角的余弦值； (2)求二面角B EC D --的余弦值.PE23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且对任意*n N ∈，都有01212312(1)2n n n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅成立. （1）求3a 的值；（2）证明：数列{}n a 是等差数列.南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1,1- 2. 1± 3. 80 4.135. 46. 67. 3-8. 16 9.10. 1 11. 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭12. 87 13. 14. 8二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由2S AB AC =⋅，得sin cos bc A bc A =,所以tan 1A =,因为()0,A π∈，所以4A π=6分（2）ABC ∆中，4cos 5B =,所以3sin 5B =，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=分由正弦定理sin sin a c A C ==，解得=5a ..................................14分 （评分细则：第一问解答中不交代“()0,A π∈”而直接得到“4A π=”的，扣1分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣1分.）16．证明：（1）在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面ABC . ... .. ....................2分因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥,又因为DE AD ⊥，在平面11B BCC 中，1BB 与DE 相交，所以AD ⊥平面11B BCC ，又因为AD ⊂平面ADE ,所以平面⊥ADE 平面11B BCC ..................6分(2) 在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面111A B C . ...................... ....... ..................8分 因为1A F ⊂平面111A B C ,所以11BB A F ⊥,又因为111A F BC ⊥，在平面11B BCC 中1111BBB C B =，所以1A F ⊥平面11B BCC , . ........ .............. .................. .............. ..........................10分在（1）中已证得AD ⊥平面11B BCC ，所以//1F A AD ，又因为1A F ⊄平面ADE ，AD ⊄平面ADE ,所以//1F A 平面ADE . ........ .............. .................. ..................... ..... .... ... ........................14分（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱1BB 与底面垂直”，从而得到“1BB AD ⊥和11BB A F ⊥”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“1A F ⊄平面ADE ”，扣2分.）17．（1）由题()629.6f =，代入()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，解得12m =……5分 （2）由已知函数求导得：])144()12(6001)[12()144(14460012)(22222+++-=+-+-='x x x x x x x x x f令0)(='x f 得12=x ，…………………………………………………………………9分答：（1）实数m 的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..…………………14分 （评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）18．解：（1）椭圆C 的离心率为12c e a ==，两准线间的距离为228a c =得24a c =，所以2a =，1c =，所以23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=.…………………………………………3分 （2）设00(,)P x y ，由于0m =，则00(,)Q x y --，由2200143x y +=得2200334x y =-，………5分 所以202000122200003334==22444x y y y k k x x x x --⋅==-+-+--……………………………………8分（3）由（1）得()2,0A -.方法一：设11(,)P x y ，设直线AP 的方程为AP ：()12y k x =+，联立()2211432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2222111(34)1616120k x k x k +++-=，所以21121161234A k x x k -⋅=+，………………10分 所以211216834k x k -=+， 代入()12y k x =+得11211234k y k =+，所以21122116812(,)3434k k P k k -++……12分由1214k k =-得2114k k =-，整体代换得211221124212(,)112112k k Q k k --++………………………13分 设(),0M m ，由P Q M 、、三点共线得//PM QM ，即22111122221111122421268()()3411211234k k k k m m k k k k ---⋅-=⋅-++++，化简得()()211164=0m k -+，所以=1m …16分 方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立()221143:x y l y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得22222(34)84120k x m k xm k +-+-=，所以21228+34mk x x k =+，2212241234m k x x k -⋅=+………10分 而()()()()22121212121212121212122+2+2+2++44k x x m x x m k x m k x m y y k k x x x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦=⋅=⋅==-++， ……13分化简得()2222223121416164k m m k mk k -=-++，即2222+20m k mk k -=，显然20k ≠，所以2+20m m -=，解得=1m 或2m =-（舍去）此时1 0=∴>∆m ， ……………………16分19. 解：（1）由函数32()1f x x tx =-+，得2()32f x x tx '=-，由()0f x '=，得0x =，或23x t =， 因函数()f x 在(0,1）上无极值点，所以203t ≤或213t ≥，解得0t ≤或32t ≥. …………4分 （2）方法一:令()232=f x x tx p '=-，即2320x tx p --=，2=412t p ∆+，当243t p >-时，0∆>，此时2320x tx p --=存在不同的两个解12,x x .………………………………………………8分（方法二：由（1）知2()32f x x tx '=-，令()1f x '=，则23210x tx --=，所以2(2)120t ∆=-+>，即对任意实数t ，()1f x '=总有两个不同的实数根12,x x ，所以不论t 为何值，函数()f x 在两点1x x =，2x x =处的切线平行.……………………………………………………8分）设这两条切线方程为分别为()2321111322+1y x tx x x tx =--+和()2322222322+1y x tx x x tx =--+，若两切线重合，则323211222+1=2+1x tx x tx -+-+,即()()221122122+x x x x t x x +=+，即()()21212122x x x x t x x ⎡⎤+-=+⎣⎦，而12x x +=23t ，化简得212=9t x x ⋅，此时()()2222121212444099t t x x x x x x -=+-=-=，与12x x ≠矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行…………………………………10分（3）当=3t 时32()3+1f x x x =-，2()36f x x x '=-，由（2）知12+=2x x 时，两切线平行.设()32111,3+1A x x x -,()32222,3+1B x x x -,不妨设12x x >，过点A 的切线方程为()23211113623+1y x x x x x =--+………………………………………11分所以，两条平行线间的距离d ==化简得()()262111=1+911x x ⎡⎤---⎣⎦，………………………………………13分 令()()211=0x λλ-≥，则()23191λλ-=-，即()()()221191λλλλ-++=-，即()()218100λλλ--+=，显然=1λ为一解，2810=0λλ-+有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而()()2112121=0, , =2x x x x x λλ-≥>+，所以1x 有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 ................................……16分20．解：（1）由434a a -=，322a a -=，211a a -=，累加得48a =.………………………3分（2）①因11n n n a a q -+-=，所以21n n n a a q ---=，，211a a -=，当1q =时，n a n =，满足题意；当1q ≠时，累加得1111n n q a a q +-=+-，所以1111n n q a a q--=+-……………………………5分若存在,,r s t 满足条件，化简得2s r t q q q =+，即22r s t s q q --=+≥=，此时1q =（舍去）……………………………………………………………………………7分 综上所述，符合条件q 的值为1. ………………………………………………………………8分（2）②由*2,3N n b c n n ∈-=+可知331-=++n n b c ,两式作差可得：123++++=n n n b b b ，又由4,121==c c ，可知7,443==b b 故123b b b +=，所以n n n b b b +=++12对一切的*N n ∈恒成立……11分 对123++++=n n n b b b ，n n n b b b +=++12两式进行作差可得123++++=n n n a a a ,又由7,443==b b 可知3,143==a a ，故)2(,12≥+=++n a a a n n n …………………………13分又由)()(121213122++++++++⋅-+=-n n n n n n n n a a a a a a a a )2()(1121++++⋅-+=n n n n n a a a a a2,221≥+-=++n a a a n n n ,所以2221312n n n n n n a a a a a a +++++-=- ，……………………………15分 所以当2≥n 时5||221=-++n n n a a a ,当1=n 时3||221=-++n n n a a a ,故k 的最小值为5.………16分附加题答案21（A ）解：设直线l 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到点(,)x y ''， 所以 01 d a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即x axy x dy '=⎧⎨'=+⎩，因变换后的直线还是直线l ，将点(,)x y ''代入直线l 的方程， 于是2()30ax x dy -++=，即(21)30a x dy --+=，所以2121a d -=⎧⎨-=-⎩，解得321a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………6分所以矩阵M 的特征多项式0()()()01a f a d dλλλλλ-==--=--，解得a λ=或d λ=，所以矩阵的M 的特征值为32与1.…………………………………10分 21（B ）解：由2cos ρθ=，得22c o s ρρθ=，所以2220x y x +-=，所以圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)C ，半径1r =，…………………………………………………3分又212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，得直线l方程为20x +-=，……………………………6分 所以圆心到直线l 的距离12d ==，所以直线l 被圆C 截得的弦长为. ……………………………………………………………………10分 21.（C ）因1xyz =，所以22222x y y z y +≥=，同理22222y z z x z +≥，22222z x x y x +≥，……………………………………………5分三式相加，得2222222(2()6x y y z z x x y z ++≥++=），所以2222223x y y z z x ++≥，当且仅当222222==x y y z z x 取等，即1x y z ===，所以222222x y y z z x ++的最小值为3. …………………………………………………10分22.解：（1）因PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又因PA AB =1AD =，所以(0,0,0)A，B，,0)C ，(0,1,0)D，P ，…2分 因E 棱PB的中点，所以E .所以2(EC =，(0,1,PD =，所以cos ,EC PD <>==EC 与PD 分 （2）由（1）得2(EC =，(0,1,0)BC =，(2,0,0)DC =， 设平面BEC 的法向量为1111(,,)nx y z =，所以111100y y +=⎪=⎩， 令11x =，则11z =，所以面BEC 的一个法向量为1(1,0,1)n =，设平面DEC 的法向量为2222(,,)n x y z =，所以22220220x y z +-=⎪=， 令2z =，则21y =，所以面DEC 的一个法向量为2n =，所以12cos ,n n <>=B EC D --为钝角，所以二面角B EC D --的余弦值为. ……………………………………………10分23.（1）解：在012112312(1)2nn n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅中，令1n =，则01112131a C a C a +=-，由11a =，23a =，解得35a =. ………………………3分（2）假设1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2的等差数列，则21k a k =- ①当1n =时，123=1,3,5a a a ==, 此时假设成立………………………………………………4分 ②当n k =时，若1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2等差数列…………………………………5分 由0121211213111(1)2kk k k k k k k a C a C a C a C a ------+++++=-⋅，2k ≥，对该式倒序相加，得1211()22(1)2k k k k a a a --++=-⋅，所以1112k k a a a +-=+=，1212(1)1k a k k +=+=+-根据①、②可知数列{}n a 是等差数列.………………………………………………10分。
2019南京盐城一模数学
2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. 若集合A ＝(－∞，1]，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝a ＋i (其中i 为虚数单位)．若zz ＝2，则实数a 的值为________．3. 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝________.4. 从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________．5. 在如图所示的流程图中，若输入x 的值为－4，则输出c 的值为________．(第5题)(第9题)6. 若双曲线x 22－y 2m＝1的离心率为2，则实数m 的值为________．7. 已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln 2)的值为________．8. 已知等比数列{a n }为单调递增数列，设其前n 项和为S n .若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为________．9. 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E 、F 分别为AB 、PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．10. 设A ＝{(x ，y)|3x ＋4y ≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r>o)的两条切线PA 、PB.若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．11. 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，其中ω>0.若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．12. 若正实数a 、b 、c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________． 13. 设函数f(x)＝x 3－a 2x(a>0，x ≥0)，O 为坐标原点，A(3，－1)，C(a ，0)．若对此函数图象上的任意一点B ，都满足OA →·OB →≤OA →·OC →成立，则a 的值为________．14. 若数列{a n }满足a 1＝0，a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3，a 4n a 4n －1＝a 4n ＋1a 4n＝12，其中n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m 成立，则m 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记△ABC 的面积为S ，且2S ＝AB →·AC →. (1) 求角A 的大小；(2) 若c ＝7，cos B ＝45，求a 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、CC 1上的点(点D 不同于点C)，且AD ⊥DE ，F 为棱B 1C 1上的点，且A 1F ⊥B 1C 1.求证：(1) 平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2) A 1F ∥平面ADE.盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝m ln x－x＋600xx2＋144－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6.(1) 求实数m的值；(2) 求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln 6＝1.8)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k(x －m)(m ∈R )与椭圆C 相交于P 、Q 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．(1) 若函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，求t的取值范围；(2) 求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；(3) 当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．已知数列{a n}，其中n∈N*.(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0，n∈N*)．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n＋2－3，n∈N*, 若a1＝1，a2＝2，且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立，求k的最小值．2019届高三年级第一次模拟考试(一) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)直线l ：2x －y ＋3＝0经过矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d 变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知正实数x 、y 、z ，满足x ＋y ＋z ＝3xyz ，求xy ＋ yz ＋xz 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA ＝AB＝2，E是棱PB的中点．(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值．23. (本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C0n＋a2C1n＋a3C2n＋…＋a n C n n＝(a n＋2－1)·2n－1成立．＋1(1) 求a3的值；(2) 证明：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学参考答案1. {－1，1}2. ±13. 804. 135. 46. 67. －38. 169. 36 10. 1 11. ⎣⎡⎭⎫56，43 12. 87 13. 6214. 815. (1) 由2S ＝AB →·AC →，得bc sin A ＝bc cos A ， 因为A ∈(0，π)， 所以tan A ＝1，即A ＝π4.故A 的大小为π4.(6分)(2) 在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以sin B ＝35，所以sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A·sin B ＝7210.(10分)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a 22＝77210，解得a ＝5.故a 的值为5.(14分)16. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC.(2分) 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.又因为AD ⊥DE ，在平面BCC 1B 1中，BB 1与DE 相交， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1.(8分) 因为A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1F.又因为A 1F ⊥B 1C 1，在平面BCC 1B 1中，BB 1∩B 1C 1＝B 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.(10分)在(1)中已证得AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD.又因为A 1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE.(14分) 17. (1) 由题意，得f(6)＝29.6，代入f(x)＝m ln x －x ＋600xx 2＋144－6(4≤x ≤22，m ∈R )，得m ln 6－6＋600×662＋144－6＝29.6，解得m ＝12.(5分)(2) 由已知函数求导得f ′(x )＝12－x x ＋600·144－x 2（x 2＋144）2＝(12－x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x ＋600（12＋x ）（x 2＋144）2. 令f ′(x )＝0得x ＝12，(9分)当x 变化时，所以函数在x ＝12处取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．(12分)答：(1) 实数m 的值为12.(2) 每天空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)18. (1) 在椭圆C 中，2c ＝2，两准线间的距离为2·a 2c ＝8，即a 2c ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①由(1)得，点A(－2，0)，设点P(x 0，y 0)， 由于m ＝0，则Q(－x 0，－y 0)． 由x 204＋y 203＝1得y 20＝3－3x 204，(5分) 所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.故k 1k 2的值为－34.(8分)②由(1)得，点A(－2，0)．设点P(x 1，y 1)，则直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0， 所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，(10分) 所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)，得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21.(12分) 由k 1k 2＝－14得k 2＝－14k 1， 整体代换得点Q(24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k )．(13分) 设M(m ，0)，由P 、Q 、M 三点共线，得PM →∥QM →，即12k 13＋4k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21－m ＝－12k 11＋12k 21·(6－8k 213＋4k 21－m)， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，解得m ＝1.故实数m 的值为1.(16分)19. (1) 由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx ，由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝23t. 因为函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，所以23t ≤0或23t ≥1， 解得t ≤0或t ≥32. 故t 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(4分)(2) 由(1)知f′(x)＝3x 2－2tx ，令f′(x)＝1，则3x 2－2tx －1＝0，所以Δ＝(－2t)2＋12>0，即对任意实数t ，f′(x)＝1总有两个不同的实数根x 1，x 2， 所以不论t 为何值，函数f(x)的图象在点x ＝x 1，x ＝x 2处的切线平行．(8分)设这两条切线的方程分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 22＋1.若两条切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1，即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]＝t(x 1＋x 2)．又x 1＋x 2＝2t 3， 所以x 1x 2＝t 29， 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t 29－4t 29＝0，即x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾， 所以这两条切线不重合．综上，对任意实数t ，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行．(10分)(3) 当t ＝3时，f(x)＝x 3－3x 2＋1，则f′(x)＝3x 2－6x ，由(2)知当x 1＋x 2＝2时，两切线平行．设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 22＋1)，不妨设x 1>x 2，则过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.(11分)所以两条平行线间的距离d ＝||2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）1＋9（x 21－2x 1）2 ＝||（x 2－x 1）[]2（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－3（x 1＋x 2）1＋9（x 21－2x 1）2＝4，化简得(x 1－1)6＝1＋9[(x 1－1)2－1]2，(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ≥0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2－8λ＋10)＝0，显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有三解．又(x 1－1)2＝λ(λ≥0), x 1>x 2, x 1＋x 2＝2，所以x 1有三解，所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)20. (1) ①由a 4－a 3＝4，a 3－a 2＝2，a 2－a 1＝1，累加得a 4＝8.(3分)②因为a n ＋1－a n ＝q n －1，所以a n －a n －1＝q n －2，…，a 2－a 1＝1，当q ＝1时，a n ＝n ，满足题意； 当q ≠1时，累加得a n ＋1＝1－q n1－q＋a 1， 所以a n ＝1－q n －11－q ＋a 1.(5分) 若存在r ，s ，t 满足条件，化简得2q s ＝q r ＋q t ，即2＝q r －s ＋q t －s ≥2q r ＋t －2s ＝2，此时q ＝1(舍去)．(7分)综上所述，符合条件q 的值为1. (8分)(2) 由c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *可知c n ＋1＝b n ＋3－3，两式作差可得b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，又由c 1＝1，c 2＝4，可知b 3＝4，b 4＝7，故b 3＝b 2＋b 1，所以b n ＋2＝b n ＋1＋b n 对一切的n ∈N *恒成立．(11分)对b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，b n ＋2＝b n ＋1＋b n 两式进行作差可得a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1，又由b 3＝4，b 4＝7可知a 3＝1，a 4＝3，故a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥2)．(13分)又由a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2＋a n ＋1)＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2a n ＋1)＝－a 2n ＋1＋a n a n ＋2，n ≥2，所以|a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3|＝|a 2n ＋1－a n a n ＋2|，(15分)所以当n ≥2时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝5；当n ＝1时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝3，故k 的最小值为5.(16分)21. A . 设直线l 上一点(x ，y )，经矩阵M 变换后得到点(x ′，y ′)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝x ＋dy ， 因为变换后的直线还是直线l ，将点(x ′，y ′)代入直线l 的方程，得2ax －(x ＋dy )＋3＝0， 即(2a －1)x －dy ＋3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝2，－d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，d ＝1，(6分) 所以令矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a 0－1λ－d ＝(λ－a )(λ－d )＝0， 解得λ＝a 或λ＝d ，所以矩阵的M 的特征值为32与1.(10分) B. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2－2x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1，0)，半径r ＝1.(3分)又⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t ，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0，(6分)所以圆心到直线l 的距离d ＝||1－212＋（3）2＝12，所以直线l 被圆C 截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫122＝ 3. (10分) C. 因为x ＋y ＋z ＝3xyz ，所以1xy ＋1yz ＋1zx＝3.(5分) 又(xy ＋yz ＋zx )·⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ≥(1＋1＋1)2＝9， 所以xy ＋yz ＋zx ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号，所以xy ＋yz ＋zx 的最小值为3. (10分)22. (1) 因为PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．又因为PA ＝AB ＝2，AD ＝1，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)．(2分) 因为E 为棱PB 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫22，0，22， 所以EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，PD →＝(0，1，－2)， 所以cos 〈EC →，PD →〉＝1＋112＋1＋12×1＋2＝63， 所以异面直线EC 与PD 所成角的余弦值为63.(6分) (2) 由(1)得EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，BC →＝(0，1，0)，DC →＝(2，0，0)． 设平面BEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 1＋y 1－22z 1＝0，y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝1，所以平面BEC 的一个法向量为n 1＝(1，0，1)．设平面DEC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 2＋y 2－22z 2＝0，2x 2＝0，令z 2＝2，则y 2＝1，所以平面DEC 的一个法向量为n 2＝(0，1，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝21＋1×1＋2＝33， 由图可知二面角BECD 为钝角，所以二面角BECD 的余弦值为－33. (10分)23. (1) 在a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C n n ＝(a n ＋2－1)·2n －1中，令n ＝1，则a 1C 01＋a 2C 11＝a 3－1， 由a 1＝1，a 2＝3，解得a 3＝5. (3分)(2) 假设a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列，则a k ＝2k －1. ①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5, 此时假设成立；(4分) ②当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列．(5分)由a 1C 0k －1＋a 2C 1k －1＋a 3C 2k －1＋…＋a k C k －1k －1＝(a k ＋1－1)·2k －2，k ≥2， 对该式倒序相加，得(a 1＋a k )2k －1＝2(a k ＋1－1)·2k －2，所以a k ＋1－a k ＝a 1＋1＝2，所以a k ＋1＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1. 根据①、②可知数列{}a n 是等差数列．(10分)。
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南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.{}1,1- 2.1± 3. 80 4.135. 46. 67. 3-8. 169. 6 10. 1 11. 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12. 8713. 214. 8二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由2S A B A C =⋅，得s i n c o s bc A b c A =,因为()0,A π∈，所以tan 1A =4A π=……6分 （2）ABC∆中，4c o s5B =,所以3s i n5B =，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=分 由正弦定理sin s i na c A C=，得2=，解得=5a ....................................................................14分（评分细则：第一问解答中不交代“()0,A π∈”而直接得到“4A π=”的，扣1分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣1分.）16．证明：（1）在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面ABC . ... .. .................. ....... .......................2分因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥,又因为DE AD ⊥，在平面11B BCC 中，1BB 与DE 相交，所以AD ⊥平面11B B C C ，又因为AD ⊂平面A D E ,所以平面⊥A D E 平面11B B C C .................... .................6分(2) 在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面11A B C. ......................... ... ...... ........... ....... ..................8分 因为1A F ⊂平面111A B C ,所以11BB A F ⊥,又因为111A F B C ⊥，在平面11B BCC 中1111BB BC B =，所以 1A F ⊥平面11B BC C, . ........ .............. .................. .............. ................................... ...... ...... ..........................10分在（1）中已证得AD ⊥平面11B BCC ，所以//1F A AD ，又因为1A F ⊄平面ADE ，AD ⊄平面A,所以//1F A 平面A. ........ .............. .................. .............. ................................... ..... .... ... ........................14分（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱1BB 与底面垂直”，从而得到“1BB AD ⊥和11BB A F ⊥”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“1A F ⊄平面ADE”，扣2分.）17．（1）由题()629.6f =，代入()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，解得12m =……5分（2）由已知函数求导得：])144()12(6001)[12()144(14460012)(22222+++-=+-+-='x x x x x x x x x f 令)(='x f 得12=x ，………………………………………………………………………………………9分所以函数在12=x 时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时. ………………12分 答：（1）实数m的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..………..……………………14分（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）18．解：（1）椭圆C 中，22c =，两准线间的距离为228a c =得24a c=，所以2a =，1c =，所以23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………………………………………………………3分 （2）设00(,)P x y ，由于0m =，则00(,)Q x y --，由2200143x y +=得2200334x y =-，………………5分 所以20200122200003334==22444x y y y k k x x x x --⋅==-+-+--…………………………………………………………8分 （3）由（1）得()2,0A-.方法一：设11(,)P x y ，设直线AP 的方程为AP ：()12y k x =+，联立()2211432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y，得222111(34)161612k x k xk +++-=，所以21121161234A k x x k -⋅=+，………………………………………10分所以211216834k x k -=+， 代入()12y k x =+得11211234k y k =+，所以21122116812(,)3434k k P k k -++………………12分 由1214k k =-得2114k k =-，整体代换得211221124212(,)112112k k Q k k --++………………………………………13分 设(),0Mm ，由P Q M 、、三点共线得//PM QM ，即22111122221111122421268()()3411211234k k k k m m k k k k ---⋅-=⋅-++++，化简得()()211164=0m k -+，所以=1m …16分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立()22143:x y l y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得22222(34)8412k x m k xm k +-+-=，所以21228+34mk x x k =+，2212241234m k x x k-⋅=+………………10分 而()()()()22121212121212121212122+2+2+2++44k x x m x x m k x m k x m y y k k x x x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦=⋅=⋅==-++， …………13分 化简得()2222223121416164k m m k mk k -=-++，即2222+20m k m k k -=，显然20k ≠，所以2+20m m -=，解得=1m 或2m =-（舍去）此时1 0=∴>∆m ， ……………………………………………16分19. 解：（1）由函数32()1f x x tx =-+，得2()32f x x tx '=-，由()0f x '=，得0x =，或23x t =，因函数()f x 在(0,1）上无极值点，所以203t ≤或213t ≥，解得0t ≤或32t ≥. ……………………………4分 （2）方法一:令()232=f x xtx p '=-，即2320x tx p --=，2=412t p ∆+，当243t p >-时，∆>，此时2320x t x p --=存在不同的两个解12,x x .……………………………………………………………………8分（方法二：由（1）知2()32f x x t x '=-，令()1f x '=，则23210x t x --=，所以2(2)120t ∆=-+>，即对任意实数t ，()1f x '=总有两个不同的实数根12,x x ，所以不论t 为何值，函数()f x 在两点1x x =，2x x =处的切线平行.…………………………………………………………………8分） 设这两条切线方程为分别为()2321111322+1y x tx x x tx =--+和()2322222322+1y x tx x x tx =--+，若两切线重合，则323211222+1=2+1x tx x tx -+-+,即()()221122122+x x x x t x x +=+，即()()21212122x x x x t x x ⎡⎤+-=+⎣⎦，而12x x +=23t，化简得212=9t x x ⋅，此时()()2222121212444099t t x x x x x x -=+-=-=，与12x x ≠矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行……………………………………………………10分 （3）当=3t 时32()3+1f x x x =-，2()36f x x x '=-，由（2）知12+=2x x 时，两切线平行.设()32111,3+1A x x x -,()32222,3+1B x x x -,不妨设12x x >，过点A的切线方程为()23211113623+1y x x x x x =--+…………………………………………………11分所以，两条平行线间的距离d ==()()262111=1+911x x ⎡⎤---⎣⎦，……………………………………………………………………………13分令()()211=0x λλ-≥，则()23191λλ-=-，即()()()221191λλλλ-++=-，即()()218100λλλ--+=，显然=1λ为一解，2810=0λλ-+有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而()()2112121=0, , =2x x x x x λλ-≥>+，所以1x 有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 ...................................................……16分20．解：（1）由434a a -=，322a a -=，211a a -=，累加得48a =.……………………………………3分（2）①因11n n n a a q -+-=，所以21n n n a a q ---=，，211a a -=，当1q =时，n a n =，满足题意； 当1q ≠时，累加得1111nn q a a q+-=+-，所以1111n n q a a q--=+-………………………………………………5分若存在,,r s t 满足条件，化简得2s r t q q q =+，即22r s t s q q --=+≥=， 此时1q =（舍去）………………………………………………………………………………………………7分 综上所述，符合条件q的值为1. ………………………………………………………………………………8分 （2）②由*2,3N n b c n n∈-=+可知331-=++n n b c ,两式作差可得：123++++=n n n b b b ，又由4,121==c c ，可知7,443==b b 故123b b b +=，所以n n n b b b +=++12对一切的*N n ∈恒成立……………………11分 对123++++=n n n b b b ，n n n b b b +=++12两式进行作差可得123++++=n n n a a a ,又由7,443==b b 可知3,143==a a ，故)2(,12≥+=++n a a a n n n ……………………………………13分又由)()(121213122++++++++⋅-+=-n n n n n n n n a a a a a a a a )2()(1121++++⋅-+=n n n n n a a a a a 2,221≥+-=++n a a a n n n ,所以2221312n n n n n n a a a a a a +++++-=- ，……………………………………15分所以当2≥n 时5||221=-++n n n a a a ,当1=n 时3||221=-++n n n a a a ,故k 的最小值为5 (16)附加题答案21（A ）解：设直线l 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到点(,)x y ''，所以 01 d a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即x axy x dy '=⎧⎨'=+⎩，因变换后的直线还是直线l ，将点(,)x y ''代入直线l 的方程， 于是2()3a xx d y -++=，即(21)3a x d y --+=，所以2121a d -=⎧⎨-=-⎩，解得321a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………6分 所以矩阵M 的特征多项式0()()()01a f a d dλλλλλ-==--=--，解得a λ=或dλ=，所以矩阵的M的特征值为32与1.…………………………………………………10分21（B ）解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以2220x y x +-=，所以圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1C ，半径1r =，………………………………………………………………………………………3分又212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t，得直线l方程为20x -=，…………………………………………6分所以圆心到直线l 的距离12d ==，所以直线l 被圆C 截得的弦长为. ……………………………………………………………………………………………10分 21.（C）因++x y z =，所以1113xy yz zx++=，………………………………………………5分 又2111()()(111)9xy yz zx xy yz zx++⋅++≥++=， 3xy yz zx ++≥，当且仅当1x y z ===时取等号，所以x y++的最小值为3. ……………………………………………………………………10分22.解：（1）因PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直， 以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又因PA AB ==，1AD =，所以(0,0,0)A，B，C ，(0,1,0)D，P ，…2分因E 棱PB的中点，所以E .所以2(EC =，(0,1,PD =，所以cos ,EC PD <>==，所以异面直线EC 与PD 所成角的余弦值为分 （2）由（1）得2(EC =，(0,1,0)BC =，(2,0,0)DC =，设平面BEC 的法向量为1111(,,)n xy z =，所以111100y y +-=⎪=⎩， 令11x =，则11z =，所以面BEC 的一个法向量为1(1,0,1)n =， 设平面DEC 的法向量为2222(,,)n xy z =，所以222200y +==， 令2z =21y =，所以面DEC 的一个法向量为2n =，所以12cos ,n n <>==B ECD --为钝角， 所以二面角B E--的余弦值为. …………………………………………………………………10分 23.（1）解：在012112312(1)2n n n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅中，令1n =，则01112131a C a C a +=-，由11a =，23a =，解得35a =. ……………………………………3分（2）假设1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2的等差数列，则21k a k =-①当1n =时，12=1,3,5a a a ==, 此时假设成立……………………………………………………………4分 ②当n k =时，若1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2等差数列……………………………………………5分 由0121211213111(1)2k k k k k k k k a C a C a C a C a ------+++++=-⋅，2k ≥， 对该式倒序相加，得1211()22(1)2k k k k a a a --++=-⋅，所以1112k ka a a +-=+=，1212(1)1k a k k +=+=+-根据①、②可知数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………………10分。