高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法

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探析排列组合常见的十六种解题方法

探析排列组合常见的十六种解题方法ʏ福建省泉州市第七中学彭耿铃高考排列组合试题能有效地考查同学们的阅读判断能力㊁转化与化归处理能力及应用意识㊂这类试题新颖别致,联系社会实际,贴近生活,反映了排列组合应用领域的广阔,体现了数学的应用价值㊂本文特精选一些排列组合例题予以分类探析,旨在探究题型及解题方法,希望同学们能决胜于高考㊂求解排列㊁组合问题的常见方法有以下几种㊂(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后排除不符合条件的个数,相当于减法原理;(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数,主要用于解决相邻问题;(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中;(4)特殊元素㊁位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置;(5)多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类,根据分类计数原理求出排列总数;(6)元素相同隔板法:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入m -1块隔板来完成分组,此法适用于同元素分组问题;(7) 至多㊁至少间接法: 至多㊁至少的排列组合问题,需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法,它适用于反面明确且易于计算的问题;(8)选排问题先取再排法:选排问题很容易出现重复或遗漏的错误,因此常先取出元素(组合)再排列,即先取再排;(9)定序问题消序法:甲㊁乙㊁丙顺序一定,采用消序法,即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数;(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干组,常采用逐分的方法求解㊂一㊁定位问题优先法(特殊元素和特殊位置优先考虑)例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数?解析:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置㊂先排末位共有C 13种方法;然后排首位共有C 14种方法;最后排其他位置共有A 34种方法㊂由分步计数原理得,有C 14C 13A 34=288(个)满足要求的数㊂例2 6个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )㊂A.192种 B .216种C .240种D .288种解析:若最左端排甲,其他位置共有A 55=120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A 44=24(种)排法㊂所以共有120+4ˑ24=216(种)排法,选B ㊂小结:位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素㊂若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置㊂若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件㊂二㊁相邻元素捆绑法例3 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?解析:可先将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其他元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排㊂由分步计数原理可得,共有A55A22A22=480(种)不同的排法㊂例4某人射击了8枪,命中4枪,4枪命中且恰好有3枪连在一起的情形共有种㊂解析:命中的3枪捆绑在一起,与命中的另一枪插入到未命中4枪形成的5个空位,共有A25=20(种)情况㊂小结:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决㊂即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起进行排列,同时要注意合并元素内部也必须排列㊂三㊁不相邻问题插空法例5某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()㊂A.72B.120C.144D.168解析:歌舞类节目设为a1,a2,a3,小品类节目设为b1,b2,相声类节目设为c㊂先排a1,a2,a3不相邻,顺序如ˑb1ˑb2ˑcˑ,共A33A34种方法,b1b2相邻前提下,ˑb1b2ˑcˑ插空法共A22A33A22种方法,所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34-A22A33A22=A33㊃(A34-4)=6ˑ20=120,选B㊂例66把椅子摆成一排,3人随机就座,任何2人不相邻的坐法种数为()㊂A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在四个位置,共有A34=24(种)方法,故选D㊂例7(2022年新高考Ⅱ卷)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有()种㊂A.12B.24C.36D.48解析:因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看作一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有A33种排列方式㊂为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式㊂注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有A33ˑ2ˑ2=24(种)不同的排列方式,选B㊂小结:元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端㊂四㊁定序问题除序(去重复)㊁空位㊁插入法例87人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?解析:法一(除序法):对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是A77A33=840㊂法二(空位法):设想有7把椅子,让除甲乙丙以外的4人就座共有A47种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有1ˑA47=840(种)方法㊂法三(插入法):先选三个座位让甲乙丙三人坐下,共有C37种方法,余下4个空座位让其余四人就座,共有A44种方法,则共有C37A44=840(种)方法㊂小结:定序问题可以用除序法,还可转化为空位法㊁插入法㊂五㊁重排问题求幂法例9把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?解析:完成此事共分六步,把第一名实习生分配到车间有7种分法,把第二名实习生分配到车间也有7种分法, ,由分步计数原理知共有76种不同的分法㊂小结:允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置㊂一般地,n个不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m n ㊂六㊁环排问题线排法例10 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解析:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定1人并从此位置把圆形展成直线,其余7人共有(8-1)!=7!=5040(种)排法㊂小结:一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n -1)!种排法㊂如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列,共有1nA mn ㊂七㊁排列组合混合问题先选后排法例11 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少种不同的装法解析:第一步从5个球中选出2个组成复合元素,共有C 25=10(种)方法;再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内,有A 44=24(种)方法㊂根据分步计数原理,装球的方法共有C 25A 44=240(种)㊂例12 (2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰㊁短道速滑㊁冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )㊂A.60种 B .120种C .240种D .480种解析:根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人组成一个小组,有C 25种选法;然后连同其余3人,看成4个元素,4个项目看成4个不同的位置,4个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数为A 44㊂根据乘法原理,完成这件事共有C 25ˑA 44=240(种)不同的分配方案,选C ㊂例13 (2020年全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种㊂解析:因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有C 24种㊂现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有A 33种㊂根据分步乘法原理,可得不同的安排方法有C 24A 33=6ˑ6=36(种)㊂小结:解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想,此法与相邻元素捆绑策略相似㊂八㊁元素相同问题隔板法例14 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少1人,有多少种分配方案?解析:10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙㊂在9个空隙中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法,共有C 69=84(种)分法㊂小结:将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排的n -1个空隙中,所有分法数为C m -1n -1㊂九㊁正难则反总体淘汰法例15 从1,3,5,7,9这5个数中,每次取出2个不同的数分别记为a ,b ,共可得到l g a -l gb 的不同值的个数是( )㊂A.9 B .10 C .18 D .20解析:l g a -l g b =l gab,从1,3,5,7,9中任取2个数分别记为a ,b ,共有A 25=20(种)结果㊂其中l g13=l g 39,l g 31=l g 93,故共可得到不同值的个数为20-2=18,选C ㊂例16 某学校安排甲㊁乙㊁丙㊁丁4位同学参加数学㊁物理㊁化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲㊁乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有种㊂解析:把4位同学分成3组,有C 24=6(种)方法,然后进行全排列,即有C 24A 33=36(种)方法,去掉甲㊁乙在一个组的情况,当甲㊁乙在一个组时,参加的方法有A 33=6(种)㊂故符合题意的安排方法有36-6=30(种)㊂小结:有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰㊂十㊁平均分组问题除法例17将5名同学分到甲㊁乙㊁丙3个小组,若甲小组至少2人,乙㊁丙组至少1人,则不同的分配方案种数为()㊂A.80B.120C.140D.50解析:先将5名同学分成3组,有两种分配方案,一是3组人数分别为2,2,1,分组方法有C25C23C11A22=15(种),然后将有2人的两组分给甲㊁乙或甲㊁丙,分配方法是15ˑ(A22+ A22)=60(种);二是3组人数分别为3,1,1,分组方法有C35C12C11A22=10(种),然后将有1人的两组分给乙㊁丙两组,分配方法有10ˑA22 =20(种)㊂共有60+20=80(种)方案,选A㊂小结:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A n n(n为平均分的组数)避免重复计数㊂十一㊁合理分类与分步法例18甲㊁乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()㊂A.10种B.15种C.20种D.30种解析:由题意知比赛局数至少为3局,至多为5局㊂当局数为3局时,情况为甲或乙连赢3局,共2种㊂当局数为4局时,若甲赢,则前3局中甲赢2局,最后一局甲赢,共有C23=3(种)情况㊂同理,若乙赢,也有3种情况,共有3+3=6(种)情况㊂当局数为5局时,前4局,甲㊁乙各赢2局,最后1局胜出的人赢,共有2C24=12(种)情况㊂综上可知,共有2+6+12=20(种)情况㊂选C㊂十二㊁构造模型法例19马路上有编号为1,2,3,4,5, 6,7,8,9的9盏路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种㊂解析:把此问题当作一个排队模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯有C35 =10(种)㊂小结:一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决㊂十三㊁分解与合成法例2030030能被多少个不同的偶数整除?解析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2ˑ3ˑ5ˑ7ˑ11ˑ13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数有C05+C15+C25+C35+C45+C55=32(个)㊂例21正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解析:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体,共有C48-12=58(个),每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3ˑ58=174(对)异面直线㊂例22从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有()㊂A.24对B.30对C.48对D.60对解析:(1)方法一:与正方体的一个面上的一条对角线成60ʎ角的对角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有8ˑ12 =96(对),且每对均重复计算一次,故共有962 =48(对)㊂选C㊂方法二:正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有C212=66(对)㊂同一个面上的对角线不满足题意,对面中的对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数,所以不满足题意的共有3ˑ6=18(对)㊂从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有66-18=48(对)㊂选C㊂小结:分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略㊂十四㊁复杂问题化归法例2325人排成5ˑ5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?解析:将这个问题退化成9人排成3ˑ3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少种选法㊂这样每行必有1人,从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去㊂从3ˑ3方队中选3人的方法有C13C12C11=6(种)㊂再从5ˑ5方阵选出3ˑ3方阵便可解决问题㊂从5ˑ5方队中选取3行3列,有C35C35=100(种)选法,所以从5ˑ5方阵选不在同一行也不在同一列的3人,有C35C35C13C12C11=600(种)选法㊂例24用a代表红球,b代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+a b表示出来,如: 1 表示一个球都不取㊁ a 表示取出一个红球,而 a b 表示把红球和蓝球都取出来㊂以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球㊁5个无区别的蓝球㊁5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()㊂A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)㊃(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)㊃(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)解析:分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个, ,5个,则有(1+a+ a2+a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同的取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球任取0个,1个, ,5个,有(1+c)5种不同的取法㊂所以所求的取法种数为(1+a+a2+ a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,选A㊂小结:处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简单的问题,通过先解决这个简单问题,从而下一步解决原来的问题㊂十五㊁数字排序问题查字典法例25用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()㊂A.144个B.120个C.96个D.72个解析:首位填4时,比40000大的偶数有2ˑ4ˑ3ˑ2=48(个);首位填5时,比40000大的偶数有3ˑ4ˑ3ˑ2=72(个)㊂故共有48+72=120(个)数满足题意,选B㊂小结:数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数㊂十六㊁住店法例267名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数为㊂解析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将7名学生看作7家店 ,五项冠军看作5名客 ,每个客有7种住宿法,由乘法原理知有75种可能㊂小结:解决允许重复排列问题要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作客 ,能重复的元素看作店 ,再利用乘法原理直接求解㊂排列组合历来是高中学习中的难点,同学们只要对基本的解题策略熟练掌握,就可以选取不同的技巧来解决问题㊂对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用,把复杂的问题简单化㊂请同学们对以上排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固,能举一反三,触类旁通,进而为后续的概率学习打下坚实的基础㊂(责任编辑徐利杰)。

完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结

完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结分类计数原理(加法原理)指完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。

在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。

+mn种不同的方法。

分步计数原理（乘法原理）指完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。

做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。

×mn种不同的方法。

分类计数原理和分步计数原理的区别在于，分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。

2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一种常用的解题策略是特殊元素和特殊位置优先策略。

例如，由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数，可以先排末位共有C3^1种方法，然后排首位共有C4^3种方法，最后排其它位置共有A4^1 * 3!种方法，根据分步计数原理得到共有C4^1 * 3^1 * A4^1 * 3.= 288种不同的方法。

另一种常用的解题策略是相邻元素捆绑策略。

例如，7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法，可以先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有A5^2 * A2^2 = 480种不同的方法。

还有一种常用的解题策略是不相邻问题插空策略。

例如，一个晚会的节目有4个舞蹈、2个相声、3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种，可以先将三种不同的节目分别排列，然后在舞蹈节目之间插入一个相声节目，再在相声节目之间插入一个独唱节目，根据分步计数原理可得共有A4^4 * A2^1 * A3^1 = 种不同的方法。

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。

下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。

高考数学排列组合解题技巧总结

高考数学排列组合解题技巧总结一、定义排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m个元素的一个排列.组合：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.二、学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。

组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的.2、较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。

必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.3、排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。

弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.4、“正难则反”是处理问题常用的策略.三、常用方法1、合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有$A_5^3$种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。

2、“至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有:$C_5^3$（种）3、注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。

高中数学排列组合解题技巧

高中数学排列组合解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。

它涉及到对一组对象进行有序或无序地选择和排列的问题，常常出现在数学竞赛和高考中。

掌握排列组合的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍一些常见的排列组合题型，并提供解题技巧和例题分析，帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。

一、排列问题排列问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分或全部对象的问题。

常见的排列问题有全排列、循环排列和有条件的排列等。

1. 全排列全排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素进行排列的问题。

全排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

例题1：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种排列方式？解析：根据全排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。

因此，共有24种排列方式。

2. 循环排列循环排列是指将n个不同的元素排成一个环状，不计顺序的排列问题。

循环排列的计算公式为C(n) = (n-1)!，其中n!表示n的阶乘。

例题2：将1、2、3、4排成一个环状，共有多少种循环排列方式？解析：根据循环排列的计算公式，C(4) = (4-1)! = 3! = 3 × 2 = 6。

因此，共有6种循环排列方式。

二、组合问题组合问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分对象的问题。

与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只关注对象的选择。

常见的组合问题有选择问题和有条件的组合等。

1. 选择问题选择问题是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素的问题。

选择问题的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。

例题3：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种选择方式？解析：根据选择问题的计算公式，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4! / (3! × 1!) = 4。

排列组合问题的解答技巧和记忆方法

排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

排列组合解题方法和策略总结

排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。

排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。

以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。

2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。

3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。

4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。

根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。

5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。

根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。

6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。

通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。

7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。

通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。

8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。

解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。

通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。

同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。

排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。

例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。

2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。

排列组合解题技巧12法

排列组合解题技巧12法一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例1、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。

A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A 42个，2）0不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42 + C21 A 31A31=30个，选B。

二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。

如例1中，也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。

三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．例2、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440(种).注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。

排列组合公式背诵技巧

排列组合公式背诵技巧
背诵排列组合公式可以采用一些技巧和方法，下面是一些建议：
1.理解公式意义：排列组合是数学中的基础概念，了解公式的含义和应用场景是背诵的基础。

理解排列是指从一组元素中选择若干个进行排列，而组合是指选择若干个元素形成一个无序的集合。

2.列出示例：通过列举具体的示例，如从5个不同的数字中选出3个数字排列，可进行实践和观察，帮助记忆和理解公式的应用。

3.创造记忆联结：将公式与某个有趣或熟悉的事物联系在一起，创造有趣的记忆联结。

例如，排列公式“P(n, r) = n! / (n-r)!”，你可以将它与一个名叫“排列先生”的超级英雄联系在一起，他的能力是帮助你排列物品。

4.制作记忆工具：通过制作记忆工具，如图表、卡片或口诀等，帮助记忆和回忆公式。

你可以为每个公式制作一个缩略词、图像或关键词，以帮助你联想和回忆。

5.划分学习时间：将背诵公式的时间分成几个短时间段。

每天花一定的时间来回顾和练习，这样可以加强记忆和巩固。

6.多进行练习：通过解决大量的排列组合问题和练习题，来巩固和强化对公式的记忆。

通过实际应用，加深对于公式的理解和熟悉度。

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法

高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法The following text is amended on 12 November 2020.排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第21类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，2那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第21步有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件2事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置.443先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高考数学轻松搞定排列组合难题十种方法

复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

解排列组合应用问题的十种思考方法

“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑：对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。

例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。

（2）由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个。

（3） 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。

二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。

例2．（1）有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。

（2）有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。

三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。

例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有种陈列方法。

（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。

四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。

例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。

（2）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。

（3）集合A 有8个元素，集合B 有7个元素，B A 有4个元素，集合C 有3个元素且满足下列条件：Φ≠Φ≠⊂B C A C B A C ,,的集合C 有几个。

（4）从6名短跑运动员中选4人参加4⨯100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。

例5（1）用1、2、3、 9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。

（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。

解排列组合问题的常用小技巧

解排列组合问题的常用小技巧排列组合问题在高考中一般以选择或填空题的形式出现，它联系生活实际，生动有趣，题型及其解法也灵活多变.实践证明，备考的有效方法是将题型与解法归类，识别模式，熟练应用.同时，还要抓住一些基本策略和方法技巧，排列组合问题便能迎刃而解.一、特殊元素优先安排对于有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素.例1 用0，1，2，3，4这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个.分析由于所求三位数是偶数，故末位数字必须是偶数.又因为0不能排在首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排. 按“0排在末位”和“0不排在末位”，分为两类讨论：当0排在末位时，三位偶数有A24个；当0不排在末位时，有A12A13A13个.故三位偶数共有30个.二、总体淘汰对于含有否定词以及“至多”、“至少”的问题，可以从总体中把不符合要求的减去，应注意既不能多减也不能少减.比如对例1，也可这样解答：五个数字组成三位数的全排列有A35个，0排在首位的有A14A13个，0不在首位而3或1排在末位的有A12A13A13个，这两种不符合题意的排法要减去，即有A35-A14A13-A12A13A13=30(个).三、合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，将事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.例2 五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有种.分析由题意，可先安排甲，并按其所站位置进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有A44种站法；（2）若甲在第三、第四或第五个位置上，则根据分步计数原理，有A13A13A33种站法.所以不同的站法共有78种.四、“捆绑”相邻元素对于要求某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”的元素，与其他元素一起排列，然后再对被“捆绑”的元素内部进行排列.例3 7人站成一排照相，要求甲、乙、丙3人相邻，有种不同的排法.分析先把甲、乙、丙3人“捆绑”起来，看作是一个元素，与其余4人共5个元素做全排列，有A55种排法；而后对甲、乙、丙3人进行全排列，有A33种排法.即共有A55A33=720(种)不同的排法.五、不相邻元素分别“插空”对于要求某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端的空隙处即可.例4 在例3中，若要求甲、乙、丙3人两两不相邻，则又有多少种不同的排法？分析先让其余4人站好，有A44种排法；再在这4人之间及两端的共5个“空隙”中选3个位置让甲、乙、丙插入，有A35种排法.故共有A44A35=1440（种）不同的排法.六、顺序固定用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.例5 5人排队，甲在乙前面的排法有种.分析若不考虑限制条件，则有A55种排法；而甲、乙两人之间的排法有A22种，其中甲在乙前面的排法只有1种.故符合条件的排法有A55A22=60（种）.七、统一分排把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理.例6 7人坐2排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种坐法.分析7个人，可以在前后两排随意就座，再无其他条件，两排可看作一排来处理，故不同的坐法有A77=5040（种）.八、逐步尝试当题目中的附加条件多，直接解决困难时，通过逐步尝试，不失为一种行之有效的方法.例7 将数字1，2，3，4填入标号分别1，2，3，4的方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有种.分析此题考查排列的定义，附加条件较多.方格1内可填2或3或4.如填2，则方格2内可填1或3或4. 若方格2内填1，则方格3内只能填4，方格4内只能填3；若方格2内填3，则方格3内填4，方格4内填1；若方格2内填4，则方格3，4内应分别填1，3.即有3种填法.同理，方格1内填3或4也各有3种填法.所以共有9种填法.九、探索规律对于情况复杂、似乎无从下手的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决.例8 从1到100的自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和大于100，则不同的取法有种.分析本题数字较多，情况也复杂，需要分析其规律.为方便起见，称两个加数中较小的数为被加数.1+100=101＞100，1为被加数的取法有1种；2为被加数的取法有2种……49为被加数的取法有49种；50为被加数的取法有50种；但51为被加数的取法只有49种；52为被加数的取法只有48种……99为被加数的取法只有1种.故不同的取法共有（1+2+…+50）+（49+48+…+1）=2500（种）.十、让“客”住“店”解决允许重复的排列问题时，要注意区分其中可以重复和不能重复的两类元素.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，然后“让客住店”，利用乘法原理即可求解.例9 七名学生争夺五项冠军，获得各项冠军的可能情况有种.分析因为同一名学生可夺得多项冠军，故学生可重复排列.而同一项冠军只能由一名学生获得（隐含条件）.于是，将七名学生看作7个“店”，五项冠军看作5个“客”，每个“客”有7种住法，由乘法原理得共有75种可能的情况.十一、混合排列时先选后排对于排列组合混合问题，一般的解法是先取（组合）后排（排列）.例10 四名同学分别被保送到清华、北大、复旦三所大学深造，每所学校至少1人，则不同的保送方案有种.分析由于必有两人选到同一所学校，有C24种选法；再将这三组分别送到三所大学，有A33种排法，由分步计数原理，保送方案有C24A33＝36（种）.十二、间隔分组对于要求把n个元素分成m个组的问题（n≥m），用“挡板法”.例11 将12个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子中至少有1个小球的不同放法有种.分析将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选3个放上“隔板”，有C311=165（种）放法.思考如果盒子可空，有多少种放法？（C04C311+C14C211+C24C111+C34C011=455.）以上介绍的排列组合应用题的解题策略不是彼此孤立，而是相互依存的，有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略. 总的来说，解决排列组合问题的思路是：（1）先组合,后排列；（2）先分类,再分步；（3）先特殊（特殊元素、特殊位置），再一般，以简捷为原则.巩固练习1. （1）五个1和两个2可组成多少个不同的七位数？（2）某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有一人参加的选法有多少种？2. （1）从正方体中的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种.（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种.3. （1）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有种.（2）6本不同的书分给3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种分法？4. (1) 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种.(2) 10个人站成一排，其中甲乙丙3人两两不相邻且不站两端，问有多少种不同的站法？5. 把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？6. 7名师生战成一排表演节目，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）2名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）4名男生按从高到低一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端.参考答案1. （1）C27=21;（2）C611=462.2. （1）12;（2）141.3. (1) 540;(2) C16C25C33A33=370.4. (1) 78;(2) A77A36=100800.5. 34=81.6. （1）A66A22=1440；（2）A33A44=144；（3）2•A77A44=420；（4）A12A14A55+A24A14A44=2112.排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循。

排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结一、排列组合解题概述排列组合解题是一种常见的数学解题方法，它是从实际问题中抽象出的数学思路，即利用数学的思想研究问题的中可能的不同情况。

它是指将从某概念领域中抽出的元素，按一定规则进行排列组合，以求出符合要求的所有可能情况，并且再对这些可能情况进行比较选择。

二、关于排列组合解题的技巧1、熟悉必要的知识排列组合解题一般有四种情形，分别是无重复排列，有重复排列，无重复组合，有重复组合。

读者在学习排列组合解题技巧时要先熟练掌握这四种情形的基本概念。

2、理解问题为正确解决排列组合解题，必须结合问题本身，仔细阅读题干，弄清所求的具体内容，讨论其间的联系和规律，并把握到全局。

3、合理分类将题目中的个体或要素，按某种形式或方法进行分类，这样就可以有效地缩小解题范围，把问题转化成容易求解的形式。

4、计算概率排列组合解题究竟有多少种可能，有时可以利用数学概率公式，计算概率，从而辅助解题，快速缩小解题步骤，提高解题效率。

5、模拟实验在排列组合解题过程中，可以采用模拟实验的方法，通过模拟试验来找出具体的结果情况，以有效节约解题时间。

6、求解问题求解排列组合解题有三种方法：因式分解法、基本计算法和穷举法。

因式分解法是把问题分解为几个不同的小问题进行全面求解；基本计算法就是用一定的数学计算技巧，用必要的算式和穷举函数，来对复杂的问题进行求解；穷举法就是把所有可能的情况都列出来，逐一筛查出正确的结果。

三、总结排列组合的解题方法，是从实际问题中抽象出的数学思路，它可以帮助我们把复杂的问题转化为容易解答的数学计算。

其具体解题技巧也有很多，这就要求读者先有足够的数学知识，精确把握问题，合理地分类，根据题意来确定使用穷举法、因式分解法、基本计算法等，以最短时间最高效地解决问题。

高中数学排列组合排列技巧

高中数学排列组合排列技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。

掌握好排列组合的基本原理和解题技巧，对于解决各种数学问题和提高数学成绩非常关键。

本文将介绍一些高中数学排列组合的排列技巧，帮助高中学生更好地理解和应用这一知识点。

一、全排列问题全排列是指从给定的一组元素中，按照一定的顺序，选取所有可能的排列方式。

在解决全排列问题时，我们需要注意以下几点：1. 重复元素的处理当给定的元素中存在重复的元素时，我们需要注意去除重复的排列。

例如，给定元素集合{A, A, B}，我们要求出所有的全排列。

此时，我们可以先将集合中的元素进行排序，得到{A, A, B}。

然后，我们可以使用递归的方法，从第一个元素开始，依次与后面的元素进行交换，得到所有可能的排列。

在交换时，如果发现与后面的元素相同，则跳过交换，以避免重复。

2. 排列的个数在解决全排列问题时，我们需要计算出排列的个数。

对于给定的n个元素，全排列的个数可以通过n!来计算，其中n!表示n的阶乘。

例如，对于给定的元素集合{A, B, C}，全排列的个数为3! = 3 × 2 × 1 = 6。

二、组合问题组合是指从给定的一组元素中，选取若干个元素组成一个集合。

在解决组合问题时，我们需要注意以下几点：1. 元素的选择在选择元素时，我们需要注意元素的顺序。

组合是不考虑元素的顺序的，即{A, B}和{B, A}被视为同一组合。

因此，在选择元素时，我们可以按照一定的顺序进行选择，避免重复。

2. 组合的个数在解决组合问题时，我们需要计算出组合的个数。

对于给定的n个元素中选取k个元素的组合，可以使用组合数公式C(n, k)来计算，其中C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。

组合数公式可以表示为C(n, k) = n! / (k! × (n - k)!)。

例如，对于给定的元素集合{A, B, C}，从中选取2个元素的组合数为C(3, 2) = 3! / (2! × (3 - 2)!) = 3。

高一数学中的排列组合问题怎么解决

高一数学中的排列组合问题怎么解决在高一数学的学习中，排列组合问题常常让同学们感到困惑和棘手。

但其实，只要掌握了正确的方法和思路，这些问题便能迎刃而解。

首先，我们要理解排列和组合的基本概念。

排列是指从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列；而组合则是指从给定的元素中，选取若干个元素组成一组，不考虑其顺序。

比如说，从 5 个不同的球中取出 2 个排成一列，这就是排列问题；而从 5 个不同的球中取出 2 个放在一个盒子里，这就是组合问题。

那么，如何解决这些问题呢？一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理这两个原理是解决排列组合问题的基础。

分类加法计数原理：如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

分步乘法计数原理：如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。

例如，从甲地到乙地，有 3 条公路直达，有 2 条铁路直达。

那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种不同的走法，这就是分类加法计数原理的应用；而从甲地经过丙地到乙地，甲地到丙地有 2 条路可走，丙地到乙地有 3 条路可走，那么从甲地经过丙地到乙地共有 2×3 ＝ 6 种不同的走法，这就是分步乘法计数原理的应用。

二、排列数和组合数的计算公式排列数公式：Anm ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) （n, m∈N，且m≤n）特别地，当 m ＝ n 时，Anm ＝ n!（n 的阶乘，即 n! ＝ n×（n 1)×（n 2)×…×2×1）组合数公式：Cnm ＝ Anm ／ Amm ＝ n! ／ m!（n m)！（n, m∈N，且m≤n）在计算排列数和组合数时，要注意准确运用公式，并且要注意计算的准确性。

高中数学排列组合解题技巧

高中数学排列组合解题技巧
1.相离问题插空法
相离问题插空法主要用来解决2个或假设干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。

它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进展整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。

2.相邻问题捆绑法
相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进展一一分析^p 排列。

3.多元问题分类法
多元问题分类主要用解决元素较多，情况多种时的排列组合问题。

它是在弄清题意的根底上，按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑，分别计数，最后一一相加，进展总计。

4.特殊元素优先安排法
特殊元素优先安排法是指在具有特殊元素的排列组合问题中，应优先对特殊元素进展安排，再考虑其它元素。