【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练 2-6 文新人教A版

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2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-6

［命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难指数幂的化简求值1、6指数函数的图象与性质2、3、54、8、9、10、1112指数函数的应用7一、选择题1．化简错误!的结果是（）A．－错误!B。

错误!C．－错误!D。

错误!解析：依题意知x〈0，∴错误!＝－错误!＝－错误!。

答案:A2．(2013年杭州模拟)函数y＝a｜x｜(a＞1)的图象是( ）解析：y＝a｜x｜＝错误!当x≥0时，与指数函数y＝a x(a＞1)的图象相同；当x＜0时,y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称，由此判断B 正确．答案：B3．(2013年西安模拟）已知a＝错误!，函数f(x)＝a x,若实数m，n 满足f(m）＞f(n),则m、n的关系为( )A．m＋n＜0 B．m＋n＞0C．m＞n D．m＜n解析：∵0＜错误!＜1，∴f(x）＝a x＝错误!x,且f(x)在R上单调递减，又∵f(m）＞f（n）,∴m＜n，故选D。

答案:D4．（2013年宁化质检)当x＞0时,函数f（x)＝(a2－1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )A．1＜|a|＜2 B．|a｜＜1C．｜a|＞错误!D．|a|＜错误!解析：∵x＞0时，f(x）＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1＞1，即a2>2.∴｜a｜＞错误!。

答案：C5．(2013年河源模拟）函数y＝｜2x－1|在区间（k－1，k＋1）上不单调，则k的取值范围是( )A．(－1,＋∞) B．(－∞,1）C．(－1，1) D．(0，2)解析：由于函数y＝|2x－1｜在（－∞,0)上递减，在(0，＋∞）上递增,而函数在区间（k－1，k＋1）上不单调，所以有k－1<0<k＋1，解得－1<k〈1.故选C。

答案：C二、填空题6。

错误!－错误!×错误!0＋8错误!×错误!－错误!＝________。

解析：原式＝错误!错误!×1＋2错误!×2错误!－错误!错误!＝2.答案:27．若函数f(x）＝a x－1(a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．解析：当a＞1时，x∈［0,2］，y∈［0，a2－1]．因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝错误!.当0＜a＜1时，x∈［0，2］，y∈［a2－1,0]．此时，定义域和值域不一致，故此时无解．答案：错误!8．已知f(x）＝错误!x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g（x），则g(x)的表达式为________．解析:设y＝g(x)上任意一点P(x，y），P(x,y）关于x＝1的对称点P′(2－x，y）在f(x)＝错误!x上,∴y＝错误!2－x＝3x－2。

《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：3-7

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-7[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 ．2 3 C. 3.32解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B2．(2013年安阳模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14 .24 C ．－14．－24解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12si n 30°＝－14，选C.答案：C3．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4 .π6 C.2π3.π12解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.答案：A4．(2013年江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝( )A.π6 .π4 C.π2.π3解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2.设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43×sin 30°＝12×2x 2sin 60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形解析：依题意得asin A＝bsin B，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°<B <60°，或120°<B <150°.若30°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.答案：C 二、填空题6．(2012年高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析：应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π37．(2013年大同质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为________．解析：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝ACsin B ＝7sin 60°，即R ＝73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝49π3.答案：49π38．(2012年高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解．在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：1459．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，c ＝________，求角A .(答案提示：A ＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A ＋C )＝(2－1)cos B ，所以 1－cos B ＝(2－1)cos B ，解得cos B ＝22，∴B ＝45°，又A ＝60°，所以C ＝75°.根据正弦定理得3sin 60°＝c sin 75°，解得c ＝6＋22.故应填6＋22. 答案：6＋22三、解答题10．(2013年北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，sin B ＝33. (1)求cos A 及sin C 的值； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积．解析：(1)因为A ＝2B ，所以cos A ＝cos 2B ＝1－2sin 2B . 因为sin B ＝33，所以cos A ＝1－2×13＝13.由题意可知，A ＝2B,0<A <π，所以0<B <π2.因为sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝223.所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.(2)因为b sin B ＝asin A ，b ＝2，所以233＝a223. 所以a ＝463.所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝2029.11．(2012年高考大纲全国卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6.(1)求∠BAC 的大小；(2)设E 为AB 的中点，已知△ABC 的面积为15，求CE 的长．解析：(1)由已知得tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，则tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝13＋121－13×12＝1，又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设BD ＝2t (t >0)，则DC ＝3t ，AD ＝6t ，由已知得S △ABC ＝12×(2t ＋3t )6t ＝15，则t ＝1，故BD ＝2，DC ＝3，AD ＝6，所以AB ＝AD 2＋BD 2＝2 10，AC ＝AD 2＋DC 2＝35，则AE ＝AB2＝10，由余弦定理得CE ＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos∠BAC ＝5.[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinB cos A ＝sin A cosC ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：(1)解法一由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.解法二由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)解法一因为A D →2＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(A B →2＋A C →2＋2AB →·AC →) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.解法二因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝ 1＋34＝72. 2．(2013年南昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)现给出以下三个条件：①B ＝45°；②2sin C －(3＋1)·sin B ＝0；③a ＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，并求出所确定的△ABC 的面积．解析：(1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0， ∴cos(B ＋C )＝－32， ∴cos A ＝32，又0<A <π，∴A ＝30°.(2)解法一选择①③，∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A＝6＋2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1.解法二选②③，已知A ＝30°，a ＝2， ∵2sin C －(3＋1)sin B ＝0， ∴2c ＝(3＋1)b ，∴c ＝3＋12b .由余弦定理，知a 2＝4＝b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32. ∴b 2＝8，∴b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋1.注：不能选①②，因①②不能确定△ABC .倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

高考数学总复习提素能高效题组训练 211 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-11[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难导数的运算 1导数的几何意义 2、36、7、10 综合应用4、5、8、911、12一、选择题1．y ＝cos x 1－x 的导数是( )A.cos x ＋sin x ＋x sin x1－x 2B.cos x －sin x ＋x sin x1－x 2C.cos x －sin x ＋x sin x1－xD.cos x ＋sin x －x sin x1－x2解析：y ′＝－sin x1－x －－1cos x 1－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x2. 答案：B2．已知P (x ，y )为函数y ＝x sin x ＋cos x 上的任意一点，f (x )为该函数在点P 处切线的斜率，则f (x )的部分图象是( )解析：f (x )＝y ′＝x cos x ，显然f (x )为奇函数，其图象关于原点成中心对称，排除A 、C ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，排除D.故选B.答案：B3．(2013年石家庄质检)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e，选C.答案：C4．(2013年南昌二校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：根据函数f (x )的图象可得函数f (x )的导函数f ′(x )在[0，＋∞)上是单调递减，函数f (x )在[2,3]上的平均变化率小于函数f (x )在点(2，f (2))处的瞬时变化率，大于函数f (x )在点(3，f (3))处的瞬时变化率．所以0<f ′(3)<f 3－f 23－2<f ′(2)，即0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．答案：B5．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.答案：A 二、填空题6．(2013年焦作模拟)点P 为曲线f (x )＝23x 3－2x 2上的一个动点，则曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k 的最小值为________．解析：k ＝f ′(x )＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，故k 的最小值为－2. 答案：－27．(2012年高考新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为______．解析：利用导数的几何意义先求得切线斜率．∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3 ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －38．(2013年太原四校联考)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意得y ′＝1x＋x ＋(1－a )，其中x >0.由曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角得，对于任意正数x ，均有1x ＋x ＋(1－a )≥1，即a ≤1x ＋x .当x >0时，1x ＋x ≥2 1x·x ＝2，当且仅当1x＝x ，即x ＝1时取等号，因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．答案：(－∞，2]9．(2013年长沙十二校联考)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 012的值为________．解析：∵y ′＝(n ＋1)x n，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，即y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·x 3·…·x 2 012＝12·23·34·…·2 0122 013＝12 013. 答案：12 013三、解答题10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a3)2－9－a 23，即当x ＝－a3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，∴a ＝±3.11．已知函数f (x )＝x 3－x .(1)求曲线y ＝f (x )过点(1,0)的切线方程；(2)若过x 轴上的点(a,0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围．解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2－1.曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，即y ＝(3t 2－1)·x －2t 3，将点(1,0)代入切线方程得2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或－12，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3得曲线y ＝f (x )的过点(1,0)的切线方程为y ＝2x －2或y＝－14x ＋14.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实数根．记g (t )＝2t 3－3at 2＋a ，则g ′(t )＝6t 2－6at ＝6t (t －a )．当a >0时，函数g (t )的极大值是g (0)＝a ，极小值是g (a )＝－a 3＋a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a >0且－a 3＋a <0，即a >0且a 2－1>0，即a >1；当a ＝0时，函数g (t )单调递增，方程g (t )＝0不可能有三个相异的实数根；当a <0时，函数g (t )的极大值是g (a )＝－a 3＋a ，极小值是g (0)＝a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a <0且－a 3＋a >0，即a <0且a 2－1>0，即a <－1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．(能力提升)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x. (1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间； (2)设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g (x )相切．解析：(1)∵φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1， ∴φ′(x )＝1x＋2x －12＝x 2＋1x ·x －12.∵x >0且x ≠1， ∴φ′(x )>0，∴函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1，①设直线l 与曲线y ＝g (x )相切于点(x 1，e x 1)， ∵g ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0.∴直线l 的方程为y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，②①－②，得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1. 证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一．由(1)可知，φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上递增．又φ(e)＝ln e －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)＝ln e 2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，结合零点存在性定理，说明方程φ(x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x 0.故结论成立．[因材施教·学生备选练习]1．(2011年高考重庆卷)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．解析：(1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ，因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数；当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 2．(2013年九江模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1，g (x )＝(ln x －1)e x＋x (其中e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )在(0，e]上的单调性；(2)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值，若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )＝a x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，e]上单调递增；②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增； ③若a ≥e，则f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减． (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x＋x ，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x＋(ln x －1)(e x)′＋1＝exx＋(ln x －1)e x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x －1ex ＋1，由(1)易知，当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，即x 0∈(0，＋∞)时，1x 0＋ln x 0－1≥0.又e x 0>0，∴g ′(x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋ln x 0－1e x 0＋1≥1>0.曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解．而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解．故不存在。

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练1-1文新人教A版

A∪ ( ?UB) 等于 (
)
A．?
B． {1}
C．{1,2}
D． { － 1,0,1,2}
解析：由题意可知 ?UB＝ { － 1,0} ，所以 A∪( ?UB) ＝ { －1,0,1,2} ，选 D.
答案： D 3．(2013 年北京东城模拟 ) 设全集 U＝ R， A＝ { x| － x2－ 3x>0} ， B＝ { x| x<－ 1} ，则图中阴
答案： B
1 4．(2013 年佛山质检 ) 已知非空集合 M满足：若 x∈ M，则 1－ x∈M，则当 4∈ M时，集合 M
的所有元素之积等于 ( )
A．0
B． 1
C．－ 1
D．不确定
解析：依题意，当11 Nhomakorabea1
4∈M时，有 1－ 4＝－ 3∈ M，从而
1
1－－3
3
1
＝ 4∈M， 3＝ 4∈ M，于
所以 ( ?UA) ∩ B＝{ x| x>－1} ∩｛y| y≥0} ＝ { x| x≥0} ，故选 C.
答案： C
2．(2013 年衢州模拟 ) 已知集合 A＝ { x| －2≤ x≤7} ， B＝ { x| m＋ 1<x<2m－ 1} ，且 B≠ ?，若
A∪ B＝A，则实数 m的取值范围是 ( )
影部分表示的集合为 ( )
A．{ x| x>0}
B． { x| －3<x<－ 1}
C．{ x| － 3<x<0}
D． { x| x<－ 1}
解析：依题意，得集合 A＝ { x| － 3<x<0} ，所求的集合即为 A∩ B，所以图中阴影部分表示

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练2-2文新人教A版

答案： [ － 1,0]
9．(2013 年海口模拟 ) 在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当
a≥ b 时， a
⊕ b＝ a；当 a<b 时， a⊕ b＝ b2. 设函数 f ( x) ＝ (1 ⊕ x) x－ (2 ⊕ x) ， x∈ [ － 2,2] ，则函数 f ( x) 的
值域为 ________．
x
③
f
(
x)
＝
x2 ＋ x ＋
；④ 1
f
(
x)
是定义在
R 上的奇函数，且满足对一切实数
x1， x2 均有 | f ( x1) －
f ( x2)| ≤2| x1－ x2|. 其中是 F 函数的序号为 (
)
A．②④
B．①③
C．③④
D．①②
|f x
|f x
解析：据 F 函数的定义可知，由于 | f ( x)| ≤ m| x| ? | x| ≤ m，即只需函数 | x| 存
数且 a>0，令函数 f ( x) ＝ g( x) · h( x) ． (1) 求函数 f ( x) 的表达式，并求其定义域； 1 (2) 当 a＝ 4时，求函数 f ( x) 的值域．
1
x＋1
解析： (1) ∵f ( x) ＝ g( x) · h( x) ＝ ( x＋ 1) x＋ 3＝ x＋ 3
x＋ 1 ∴f ( x) ＝ x＋ 3 ， x∈[0 ， a] ．( a>0)
16 ∴F( t ) ∈ 3， 13 .
16 即函数 f ( x) 的值域为 3， 13 .
|f x 在最大值，函数即为 F 函数．易知①②不符合条件；对于③， | x|
1
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高考数学总复习提素能高效题组训练 94 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：9-4[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年石家庄调研)下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析：由回归分析的方法及概念判断．答案：C2．(2013年广州模拟)工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元解析：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位．答案：C3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生．答案：D4．(2011年高考江西卷)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 解析：因为x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x ，y )，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C.答案：C5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050 110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8＞6.635可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.答案：C 二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲乙丙丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则这四位同学中，A B 解析：由题中表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果表明A ，B 两变量有更强的线性相关性．答案：丁7．(2013年嘉兴模拟)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科总计男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (K 22根据表中数据，得到K 2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844>3.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%8．(2013年盐城测试)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. ∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：689．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p ：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)． ①p ∧綈q ②綈p ∧q③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s ) ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )解析：本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．答案：①④ 三、解答题10．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想．⎝⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i－n x 2＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y ＝b x 解析：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13. (2)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ＝187，再由a ＝y －b x ＝－307，得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|<2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，|787－12|<2，所以，该小组所得线性回归方程是理想的．11．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩游戏 18 9 不喜欢玩游戏8 15 总计(1)(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？附：P (K 2≥k ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k3.841 5.0246.6357.879 10.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解析：(1)认为作业多认为作业不多总计喜欢玩游戏 18 9 27 不喜欢玩游戏8 15 23 总计262450(2)将表中的数据代入公式K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得到K 2的观测值为k ＝50×18×15－8×9226×24×27×23≈5.059>5.024，查表知P (K 2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．12．(能力提升)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数x i 10 15 20 25 30 35 40 件数y i471215202327其中i ＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)⎝⎛参考数据：∑7i ＝1x i y i ＝3 245，x ＝25，y ＝15.43， ⎭⎫∑7i ＝1x 2i＝5 075，7x2＝4 375，7x y ＝2 695(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数) 解析：(1)散点图如图．a ^＝y －b x ＝－4.32，∴回归直线方程是y ^＝0.79x －4.32.(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y ＝0.79×80－4.32≈59.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年合肥检测)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝，y 0＝”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点．答案：B2．(2013年东北四校联考)某超市为了了解热茶的销售量y (单位：杯)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x 解析：根据表格中的数据可得，x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.则a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，故y ^＝－2x ＋60. 当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70. 答案：70。

【优化探究】高考数学总复习提素能高效题组训练 101 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：10-1[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对解析：由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件．答案：C2．在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.12解析：令“能上车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.答案：C3．(2013年赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A.18B.38C.58D.78解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78.答案：D4．(2013年温州五校联考)从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a ，从集合{1,2,3}中随机选取一个数记为b ，则b >a 的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：分别从两个集合中取一个数a ，b ，共有15种取法，其中满足b >a 的取法有3种，故所求事件的概率P ＝315＝15.答案：D5．(2013年江南十校联考)第26届世界大学生运动会于2011年8月12日在中国深圳举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415解析：利用对立事件“2名大学生全来自B 大学”去求， ∴P ＝1－615＝35.答案：C 二、填空题6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．∴P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E ) ＝15＋15＋15＝35. 答案：357．(2013年南通模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：238．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至少有两人排队的概率为________．解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.749．(2013年广东六校联考)盒子里共有大小相同的3个白球，1个黑球．若从中随机摸出两个球，则它们颜色不同的概率是________．解析：设3个白球为A ，B ，C,1个黑球为d ，则从中随机摸出两只球的所有可能情况有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd ，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.答案：12三、解答题10．某战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，事件A (不中靶)的概率为多少？(2)若事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数不大于6)的概率为多少？解析：(1)∵事件A (中靶)的概率为0.95，根据对立事件的概率公式得到A 的概率为1－0.95＝0.05. (2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件， ∵事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，∴事件C (中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.11．(2013年长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解析：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)解法一由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.解法二因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.12．(能力提升)(2012年高考安徽卷)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解析：(1)如下表所示．频率分布表(2)(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．[因材施教·学生备选练习]1．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：P (a ，b )的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P (C 2)＝16，落在直线x ＋y ＝3上的概率P (C 3)＝26，落在直线x＋y ＝4上的概率P (C 4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P (C 5)＝16.答案：D2．(2013年南昌模拟)三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13.答案：13。

备考2014高考数学--《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：4-2

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：4-2[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．答案：B2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为ma ＋nb 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.答案：C3．(2013年潍坊模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c ，都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：本题考查平面向量基本定理．任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a ，b 不共线，当a ∥b ，即向量a ，b 共线时，满足3m －2＝2m ，解得m ＝2.故a ，b 不共线时，m ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．答案：D4．(2013年郑州模拟)若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( ) A.10B.102 C. 2 D.22解析：依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，又a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝－2＋12＝2，选C.答案：C5．(2013年淮南质检)已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝1，OA →·OB →＝0，OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若M 为AB 的中点，并且|MC →|＝1，则点(λ，μ)在( )A ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12为圆心，半径为1的圆上 B ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为圆心，半径为1的圆上C ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12为圆心，半径为1的圆上D ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，半径为1的圆上解析：由于M 是AB 的中点， ∴在△AOM 中， OM →＝12(OA →＋OB →)，∴|MC →|＝|OC →－OM →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－12OB →＝1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－12OB →2＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－122＝1，故选D. 答案：D 二、填空题6．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，若 a ∥b ，则4x ＋8y的最小值为________．解析：∵a ∥b ，∴3×(y －1)－(－2)×x ＝0，∴2x ＋3y ＝3. 故4x＋8y＝22x＋23y≥222x ＋3y＝223＝42，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝34，y ＝12时等号成立．答案：4 27．(2013年苏州质检)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.若向量d ＝λa ＋μb 与c 共线，则实数λ，μ的关系为________．解析：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应存在实数k ，使d ＝kc ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.答案：λ＝－2μ8．(2013年济南调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．解析：因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.答案：3119．(2013年苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：∵AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →) ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝μ a ＋μ2b . ∵μ＋μ2＝1，解得μ＝23.∴AO →＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b三、解答题10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得ka ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？解析：设存在实数k ，则ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时ka ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以ka ＋b ＝－13(a －3b )．即存在实数k ，使得ka ＋b 与a －3b 共线，且方向相反． 11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．(能力提升)(2013年东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP →＋4BP →＋5CP →＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AP →、AD →.解析：∵BP →＝AP →－AB →＝AP →－a ，CP →＝AP →－AC →＝AP →－b ，又3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，∴3AP →＋4(AP →－a ) ＋5(AP →－b )＝0. 化简，得AP →＝13a ＋512b .设AD →＝tAP →(t ∈R)，则AD →＝13t a ＋512t b ．①又设BD →＝kBC →(k ∈R )，由BC →＝AC →－AB →＝b －a ，得 BD →＝k (b －a )．而AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →，∴AD →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43.代入①，有AD →＝49a ＋59b .[因材施教·学生备选练习]1．(2013年徐州质检)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．解析：如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0＜λ＜1)，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λxAB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，－λy ＝1.解得x ＝14λ，y ＝1－λ，令1λ＝t (t ＞1)，则4x ＋y ＝1λ＋1－λ＝t ＋t t －＝(t －1)＋1t －＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取等号．答案：942．(2013年西安模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .m ＝(1,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin C －32，cos B cos C ，且m∥n . (1)求A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3c ，求S △ABC . 解析：(1)m∥n ⇔sin B sin C －32－cos B cos C ＝0. ∴cos(B ＋C )＝－32. ∵B ，C 为△ABC 的内角，∴0＜B ＋C ＜π. ∴B ＋C ＝5π6，∴A ＝π6.(2)由余弦定理得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ⇒c 2＝1. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34c 2＝34.。

高考数学总复习提素能高效题组训练 451 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：4-5-11.[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年大庆模拟)函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )A．2 B. 2C．4 D．6解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.答案：A2．(2013年济南模拟)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )A．5 B．4C．8 D．7解析：由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A3．(2013年益阳模拟)不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－∞，－4]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)解析：∵|x＋3|－|x－1|≤4，∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0.解得a ≤－1或a ≥4. 答案：A4．已知命题p ：∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥m ，命题q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0，那么，“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由绝对值不等式的几何性质可知，∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，故若命题p 为真命题，则m ≤3；当命题q 为真命题时，方程x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0有根，则Δ＝(－2m )2－4(m 2＋m －3)＝12－4m ≥0，解得m ≤3；所以“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的充要条件．答案：A5．(2013年淄博模拟)当|a |≤1，|x |≤1时，关于x 的不等式|x 2－ax －a 2|≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 解析：|x 2－ax －a 2|＝|－x 2＋ax ＋a 2|≤|－x 2＋ax |＋|a 2|＝|－x 2＋ax |＋a 2，当且仅当－x 2＋ax 与a 2同号时取等号．故当－x 2＋ax ≥0时，有|x 2－ax －a 2|＝|－x 2＋ax |＋a 2＝－x 2＋ax ＋a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋54a 2，当x ＝a 2时，有最大值54a 2.而|a |≤1，|x |≤1，所以当a ＝1，x ＝12或a＝－1，x ＝－12时，|x 2－ax －a 2|有最大值，且|x 2－ax －a 2|max ＝54，故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞.答案：B二、填空题6．(2012年高考江西卷)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．解析：解法一分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.由上综合知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32. 解法二利用几何意义求解．原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32 7．(2012年高考湖南卷)不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．解析：根据绝对值的几何意义，去掉绝对值号后求解．当x ≤－12时，原不等式可化为－1－2x ＋2(x －1)>0，整理得－3>0，无解．当－12<x ≤1时，原不等式可化为2x ＋1＋2(x －1)>0，整理得4x －1>0，即x >14，∴14<x ≤1.当x >1时，原不等式可化为2x ＋1－2(x －1)>0，整理得3>0. 此时不等式的解集为x >1.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14<x ≤1∪{x |x >1} ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >14. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >148．(2012年高考山东卷)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析：利用绝对值不等式的解法求解． ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}， ∴k ＝2. 答案：29．(2013年宝鸡模拟)不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.答案：(－∞，2) 三、解答题10．(2011年高考辽宁卷)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解析：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3，所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{}x |5－3≤x ＜5；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{}x |5≤x ≤6.综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{}x |5－3≤x ≤6.11．(2013年济宁模拟)已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)解不等式|x －8|－|x －4|＞2. 解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4， x ≤4，－2x ＋12， 4＜x ≤8，－4， x ＞8，图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f (x )＞2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5.由函数f (x )图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)． 12．(能力提升)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：解法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x ) ≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．解法二 (1)同解法一． (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由∣x －2∣＋∣x ＋3∣≥∣(x －2)－(x ＋3)∣＝5 (当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5) ≥m，即g(x) ≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．。

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[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年唐山模拟)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 214＝1C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，即 x 2λ－y 23λ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y212＝1.答案：D2．(2013年淮南模拟)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0D.()－3，0解析：双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0.答案：C3．(2013年潍坊质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为( )A ．4 B ．2 C ．3 D ．6解析：由题易知，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：A4．(2013年青岛模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10B ．210 C.5D ．2 5解析：如图，由PF 1→·PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|P Q →|＝2c ＝210，所以选B.答案：B5．(2013年银川联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三个点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线P A 、PB 的斜率的乘积k P A ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( )A.52B.62C.2D.153解析：因为A ，B 的连线经过坐标原点，所以A 、B 关于原点对称，设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，由A ，B ，P 在双曲线上得x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，两式相减并且变形得y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2.又k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2＝23，即c 2－a 2a 2＝e 2－1＝23，故双曲线的离心率e ＝153.答案：D 二、填空题6．(2013年宁波模拟)双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是________．解析：依题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x7．(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0， ∴m ＝2. 答案：28．(2013年岳阳模拟)直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2，则实数a和b 满足的一个等式是________________．解析：该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系、向量线性表示及坐标运算．可先求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0a －b ＝y 0，∴(a ＋b )2－(a －b )2＝1，∴ab ＝14，答案：ab ＝149．(2013年合肥检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．解析：由双曲线的离心率e ＝2得，ca ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立．答案：233三、解答题10．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3文档收集自网络，仅用于个人学习＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝ca ＝2， ∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．(2013年宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解析：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)可知，在双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，又∵点M (3，M )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.∴kmF 1·kmF 2＝m3＋23×m3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)由(2)知MF 1⊥MF 2， ∴△MF 1F 2为直角三角形．又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，m ＝±3，M (3，3)或(3，－3)，由两点间距离公式得 |MF 1|＝(－23－3)2＋(0－3)2＝24＋123，|MF 2|＝(23－3)2＋(0－3)2＝24－123，S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2| ＝12×24＋123·24－123＝12×12＝6.即△F 1MF 2的面积为6.12．(能力提升)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 1－3k 2≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年贵阳模拟)已知O 为平面直角坐标系的原点，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，E 为OF 2的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C 、D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C.3D.233解析：作草图，易知直线BC 的方程为x a ＋yb ＝1，圆心O 到BC 的距离为1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＝c2，∴2ab ＝c 2，∴4a 2(c 2－a 2)＝c 4，两边同除以a 4得：e 4－4e 2＋4＝0， ∴(e 2－2)2＝0，∴e 2＝2， ∴e ＝ 2或－2(舍)，∴e ＝ 2.答案：B2．(2013年苏州模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则由△PF 1F 2面积为9及PF 1⊥PF 2可得xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，故(x －y )2＝4c 2－36＝4a 2，又e ＝54，得c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.答案：7。

【优化探究】高考数学总复习提素能高效题组训练 62 文新人教A

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：6-2[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年郑州模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则∁U M ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤3} B ．{x |－3≤x ≤1} C ．{x |x <－3或x >1}D ．{x |x <－1或x ＞3}解析：因为M ＝{x |－1≤x ≤3}，全集U ＝R ，所以∁U M ＝{x |x <－1或x >3}．答案：D2．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[0，＋∞) B ．[－4，＋∞) C ．[－5，＋∞)D ．[－4,4]解析：原不等式可转化为a ≥－x 2＋4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在区间(0,1]上恒成立，即将问题转化为求函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间(0,1]上的最大值问题．∵函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(0,1]上为增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－5，∴a ≥－5. 答案：C3．(2013年合肥模拟)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，有f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，①且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0，②即可，联立①②并解得x ＜1或x ＞3.故选C. 答案：C4．(2013年皖南八校联考)不等式3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 D ．(－1,1)解析：由3x 2－2x －1＜0解得－13＜x ＜1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1－1,1)，所以(－1,1)是3x 2－2x－1＜0成立的一个必要不充分条件．答案：D5．(2013年黄石模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，2x －1，x ＞0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：当x ≤0时，由x 2≥1，得x ≤－1；当x ＞0时，由2x －1≥1，得x ≥1. 综上可知，x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：D 二、填空题6．(2013年枣庄模拟)若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋a ＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，易知条件不成立；当a ≠0时，要使不等式ax 2＋2x ＋a ＞0的解集为R ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，解得a ＞1.答案：(1，＋∞)7．(2012年高考江西卷)不等式x 2－9x －2＞0的解集是________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－9＞0，x －2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－9＜0，x －2＜0，解方程组，得－3＜x ＜2或x ＞3. 答案：{x |－3＜x ＜2或x ＞3}8．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 的解集为________．解析：由题意可知a ＞0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝－1，ca ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式ax 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 可化为－2ax 2＋ax ＋a ＞－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 9．(2013年北京东城模拟)定义在R 上的运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：∵(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )(1－x －y ) ＝x －x 2－y ＋y 2＜1.∴－y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min＝34，解得－12＜y ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 三、解答题10．若k ∈R ，求解关于x 的不等式x 22－x ＜k ＋x －k2－x.解析：不等式x 22－x ＜k ＋x －k2－x可化为x 2－k ＋x ＋k2－x＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.当k ＜1时，x ∈(k,1)∪(2，＋∞)；当k ＝1时，x ∈(2，＋∞)；当1＜k ＜2时，x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；当k ≥2时，x ∈(1,2)∪(k ，＋∞)．11．(2013年珠海模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )＜0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|＜a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解析：(1)对任意的x 1,2∈R ，由f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a ＞0.由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ＜0，解得A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，0.(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a.化简得a 2＋4a －1≤0，解得0＜a ≤－2＋ 5.12．(能力提升)据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x (x ＞0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a 元(a ＞0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？解析：(1)据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000，即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x ＞0，故x 的取值范围是(0,50]． (2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝－x＋2x＋3 000ax100＝－60x 2＋a ＋x ＋300 000100＝－35[x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0＜x ≤50)．①若0＜25(a ＋1)≤50，即0＜a ≤1，则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值；②若25(a ＋1)＞50，即a ＞1，则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0＜a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a ＞1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．[因材施教·学生备选练习]1．(2013年沈阳四校联考)设a ∈R ，则“a －1a 2－a ＋1＜0”是“|a |＜1”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以由a －1a 2－a ＋1＜0得a ＜1，不能得|a |＜1；反过来，由|a |＜1，得－1＜a ＜1，所以a －1a 2－a ＋1＜0.因此，“a －1a 2－a ＋1＜0”是“|a |＜1”成立的必要不充分条件，选C.答案：C2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1， Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0.∴－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0. 解得－1＜x ＜0. 答案：C3．(2012年高考北京卷)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x－2＜0，∴x ＜1. 又∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， ∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知m 不可能大于或等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0，若2m ＝－m －3，即m ＝－1，此时f (x )<0的解集为 {x |x ≠－2}，满足题意；若2m>－m－3，即－1<m<0，此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<－m－3}，依题意2m<1，即－1<m<0；若2m<－m－3，即m<－1，此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>－m－3}，依题意－m－3<1，∴m>－4，∴－4<m<－1.综上可知，满足条件的m的取值范围是－4<m<0. 答案：－4<m<0。

高考数学总复习提素能高效题组训练 66 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：6-6[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．答案：B2．(2013年张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0解析：b 2－ac ＜3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇔－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔(a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0. 答案：C3．设0＜x ＜1，a ＞0，b ＞0，a 、b 为常数，a 2x ＋b 21－x的最小值是( )A ．4abB ．2(a 2＋b 2) C ．(a ＋b )2D ．(a －b )2解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x ＋b 21－x (x ＋1－x )＝a 2＋a 21－x x ＋b 2x 1－x＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.答案：C4．(2013年营口模拟)若a 、b 、c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由已知得①②正确，③中，a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.答案：C5．(2013年潍坊质检)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0，可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0，故选A.答案：A 二、填空题6．(2013年大连模拟)若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么当n ＞2，n ∈N *时，a n ＋b n 与c n的大小关系为________．解析：取a ＝b ＝1，c ＝2，易知当n ＞2时，a n＋b n＝2，c n＝(2)n＝2·(2)n －2＞2，由题意知a n＋b n与c n的大小关系应该是确定的，故猜想a n＋b n＜c n.事实上，注意a ＜c ，b ＜c ，n ＞2，所以有a n＋b n＝a 2an －2＋b 2bn －2＜a 2cn －2＋b 2cn －2＝(a 2＋b 2)cn －2＝c n ，故a n ＋b n ＜c n.答案：a n＋b n＜c n7．(2012年莱芜调研)凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)， ∴f A ＋f B ＋f C3≤f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.答案：3328．(2013年唐山模拟)已知a ，b ，μ∈R ＋且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．解析：∵a 、b ∈R ＋且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋⎝⎛⎭⎪⎫9a b ＋b a≥10＋29＝16； ∴a ＋b 的最小值为16.∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0＜μ≤16. 答案：(0,16]9．(2013年邯郸模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1 且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③三、解答题10．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于零．证明：假设a ，b ，c 都不大于零，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0.即⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6≤0，整理得(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≤0，此式显然不成立，∴a ，b ，c 中至少有一个大于零． 11．(2013年泉州模拟)用分析法证明：若a ＞0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2. 证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2， ∵a ＞0，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，即证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，即证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2.而不等式a 2＋1a2≥2显然成立，故原不等式成立．12．(能力提升)(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．证明：(1)x 是正实数，由基本不等式知x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x ＞0时，不等式成立；当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0.此时不等式仍然成立．[因材施教·学生备选练习](2013年临川模拟)设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：①a n ＋a n ＋22≤a n＋1，②a n ≤M ，其中n ∈N *，M 是与n 无关的常数．(1)若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3＝4，S 3＝18，试探究{S n }与集合W 之间的关系；(2)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n，且{b n }∈W ，M 的最小值为m ，求m 的值；(3)在(2)的条件下，设C n ＝15[b n ＋(m －5)n]＋2，求证：数列{C n }中任意不同的三项都不能成为等比数列．解析：(1)∵a 3＝4，S 3＝18，∴a 1＝8，d ＝－2. ∴S n ＝－n 2＋9n .S n ＋S n ＋22＜S n ＋1满足条件①， S n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －922＋814，当n ＝4或5时，S n 取最大值20.∴S n ≤20满足条件②，∴{S n }∈W .(2)b n ＋1－b n ＝5－2n可知{b n }中最大项是b 3＝7， ∴M ≥7，M 的最小值为7.(3)由(2)知C n ＝n ＋2，假设{C n }中存在三项c p ，c q ，c r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则c 2q ＝c p ·c r ，∴(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p 、q 、r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，2q －p －r ＝0.消去q 得(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴{C n }中任意不同的三项都不能成为等比数列．。

高考数学总复习提素能高效题组训练 82 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：8-2[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年滨州模拟)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限．答案：B2．(2013年茂名模拟)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－1－5－1＝－13.答案：B3．(2013年武汉模拟)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79 B ．－13C ．－79或－13D.79或13解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：C4．(2013年广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：D5．(2013年成都模拟)在直角坐标系中，A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4,2)，C (－2,0)，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|PN |＝|DM |＋|MN |＋|NC |.由对称性，D ，M ，N ，C 共线，∴|CD |即为所求，由两点间的距离公式得|CD |＝40＝210.答案：A 二、填空题6．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是________．解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－2.于是当sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d 取得最大值2＋ 2.答案：2＋ 27．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为________．解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4且c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为 3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2a＝±1. 答案：±18．(2013年安庆模拟)从点(2,3)射出的光线沿与直线x －2y ＝0平行的直线射到y 轴上，则经y 轴反射的光线所在的直线方程为________．解析：由题意得，射出的光线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，与y 轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)， ∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)．故方程为y －2＝3－2－2x ，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝09．(2013年绍兴模拟)已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案：18三、解答题10．直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解析：设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3－2－x 0－54－y 0－5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －－1－2－－1，即3x ＋y ＋1＝0.11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解析：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3.解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，得P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.12．(能力提升)(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解析：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即b －4a·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C ′，连接AC ′交l 于点Q ，此时的Q 满足|QA |＋|QC |的值最小．设C ′的坐标为(x ′，y ′)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ′－4x ′－3·3＝－1，3·x ′＋32－y ′＋42－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35，y ′＝245.∴C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.由两点式得直线AC ′的方程为y －1245－1＝x －435－4，即19x ＋17y －93＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267.∴所求点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫117，267.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年武汉调研)点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最短距离为( )A.22B. 2 C ．2 2D ．2解析：当点P 为直线y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最短．设点P (x 0，y 0)，f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1.∵f ′(x )＝2x －1x，∴2x 0－1x 0＝1.又x 0>0， ∴x 0＝1.∴点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝ 2.答案：B2．(2013年武汉模拟)已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.∵点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F＜k FD，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)。

高考数学总复习提素能高效题组训练 36 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-6[命题报告·教师用书独具]1.sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A ．2 B.22C. 2D.12解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，选D.答案：D2．(2013年上饶四校联考)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为( )A.74 B ．－74C ．±74D ．－14解析：将sin α＋cos α＝12两边平方，得1＋sin 2α＝14，∴sin 2α＝－34，∴sin α>0，cos α<0，可知π2<α<π.又sin α>|cos α|，∴π2<α<3π4，即π<2α<3π2，∴cos 2α＝－74，故选B. 答案：B3．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43解析：1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 答案：D4．(2013年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，所以c <a <b .答案：B5．(2012年高考湖南卷)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解．∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．答案：B 二、填空题6．计算：tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________. 解析：原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12° cos 24°＝2sin 12°－60°12sin 48°＝－4.答案：－47．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x ＝________.解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，∴cos x ＝3sin x ，于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos xcos 2x ＝sin 2x －6sin 2x 9sin 2x ＝－59. 答案：－598．(2012年高考大纲全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.解析：利用正弦函数的性质求解． ∵y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3(0≤x <2π)．由0≤x <2π知，－π3≤x －π3<5π3，∴当y 取得最大值时，x －π3＝π2，即x ＝56π.答案：56π9．(2013年北京海淀模拟)若tan α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×121＋14＝－45.答案：－45三、解答题10．(2012年高考四川卷)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2·cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．解析：(1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.11．(2012年高考重庆卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．解析：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π，得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝2cos 2x －13cos 2x ＋222cos 2x －1＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52. 12．(能力提升)已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)若A 为锐角三角形ABC 的内角，求f (A )的取值范围．解析：(1)依题意，得f (x )＝1＋cos 2ωx 2－32sin 2ωx＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋12，∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，由－π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z . 令2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z .∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，12，k ∈Z . (2)依题意，得0<A <π2，∴π3<2A ＋π3<4π3，⎝⎭32∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋12<1， ∴f (A )的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1. [因材施教·学生备选练习]1．(2013年烟台模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间； (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．解析：(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴周期T ＝π.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2解得，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，∴m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 2．已知f (x )＝cos x (cos x －3)＋sin x (sin x －3)， (1)若x ∈[2π，3π]，求f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4且f (x )＝－1，求tan 2x 的值．解析：(1)由已知得，f (x )＝cos 2x －3cos x ＋sin 2x －3sin x＝1－3(cos x ＋sin x )⎝⎭4由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．又∵x ∈[2π，3π]， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤9π4，3π.(2)由(1)知f (x )＝1－32sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－1.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝23.∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝59. ∴sin 2x ＝－59.∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2.∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－2149.∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝51428.。

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练 2-10 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-10[命题报告·教师用书独具]1．(2013年某某模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析：设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3St 1＋t 2＋t 3＝3SSv 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案：D2．(2013年某某调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案：A3．(2013年某某模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：设CD ＝x m ，则AD ＝(16－x )m ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧16－x >a ，x >4，解得4<x <16－a ，矩形花圃的面积S ＝x (16－x )，其最大值f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， 0<a <8，－a 2＋16a ，8≤a <12，故其图象为C.答案：C4．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面 3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A5．某学校制定奖励条例，对在教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元解析：∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)．又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D. 答案：D 二、填空题6．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8 100×827＝2 400元．答案：2 400元7．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为______________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当0<x ≤20时y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100. 当x >20时y ＝260－100－x ＝160－x .所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，即x ＝16时y max ＝156，而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时年利润最大．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ， x >0，x ∈N * 168．(2013年某某模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________.解析：根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10.答案：109．(2013年某某模拟)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在某某省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万X ，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的X 数的积为0.6(万X)2.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为y ＝lg 2x ，则这三种门票分别为________万X 时为失学儿童募捐纯收入最大．解析：函数模型y ＝lg 2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的X 数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③把①代入③得x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6，时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，c ＝0.8.由于y ＝lg 2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万X 时为失学儿童募捐纯收入最大．答案：0.6,1,0.8 三、解答题10．(2013年某某模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 11．(2013年某某一中月考)某分公司经销某品牌产品，每件产品成本3元，且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )．解析：(1)根据题意可知，L (x )＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]．(2)由(1)知，L ′(x )＝(12－x )(18＋2a －3x )，令L ′(x )＝0，解得x ＝6＋2a3或x ＝12(舍去)，∵3≤a ≤5，∴8≤6＋2a 3≤283.①当8≤6＋2a 3<9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝9(6－a )，②当9≤6＋2a 3≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3＝4(3－a 3)3.∴Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧96－a ，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33，92≤a ≤5.∴若3≤a <92，则每件产品的售价为9元时，L 最大，最大值为9(6－a )万元；若92≤a ≤5，则每件产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3元时，L 最大，最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33万元．12．(能力提升)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解析：(1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a， t ≥1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916(小时)．[因材施教·学生备选练习]2012年7月27日第三十届奥林匹克运动会在伦敦举行．某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解析：(1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋40020－x ]x －7，0<x ≤20，[2 000－100x －20]x －7，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40025－x x －7，0<x ≤20，10040－xx －7，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－x －162＋81]，0<x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.当0<x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)．当20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．。

高考数学总复习提素能高效题组训练 212 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-12[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案：B2．(2012年高考陕西卷)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：利用导数法求解．∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x.由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． ∴x ＝2为f (x )的极小值点．答案：D3．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案：C4．若f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋b x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x (x ∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．正确选项为C.答案：C5．已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln|x | B ．f (x )＝x 2－ln|x | C ．f (x )＝|x |－2ln|x | D ．f (x )＝|x |－ln|x |解析：经分析知，函数正的极小值点的横坐标应小于1，对四个选项求导可知选B 项．答案：B二、填空题6．(2013年扬州检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由f ′(x )≥0，得m ≥－3x 2－2x ，令g (x )＝－3x 2－2x ，则g (x )＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13≤13.∴m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 7．(2013年济宁模拟)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b .当b ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )无极值．当b >0时，令3x 2－6b ＝0得x ＝±2b .由函数f (x )在(0,1)内有极小值，可得0<2b <1， ∴0<b <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 8．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝ln x ＋1由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或者t <3<t ＋1，得0<t <1或者2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3) 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－23处都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题易知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，f ′1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23和(1,2]． 11．(2013年兰州调研)已知实数a >0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32. (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求实数a 的值．解析：(1)f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ，f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a .令f ′(x )＝0，得3ax 2－8ax ＋4a ＝0. ∵a ≠0，∴3x 2－8x ＋4＝0，∴x ＝23或x ＝2.∵a >0，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23和(2，＋∞)；∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)∵当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝23时取得极大值，即a ·23⎝ ⎛⎭⎪⎫23－22＝32.∴a ＝27.12．(能力提升)已知函数f (x )＝1x＋a ln(x ＋1)．(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间和极值；(2)若f (x )在[2,4]上为单调函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)由x ≠0且x ＋1>0得函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝－1x 2＋2x ＋1＝2x 2－x －1x 2x ＋1＝x －12x ＋1x 2x ＋1，由f ′(x )>0得－1<x <－12或x >1，由f ′(x )<0得－12<x <0或0<x <1，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12和(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和(0,1)． f (x )和f ′(x )随x 的变化情况如下表： x ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12－12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋－－＋f (x )极大值极小值由表知f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2－2ln 2，极小值为f (1)＝1＋2ln 2.(2)f ′(x )＝ax 2－x －1x 2x ＋1，若f (x )在区间[2,4]上为增函数，则当x ∈[2,4]时，f ′(x )≥0恒成立，即ax 2－x －1x 2x ＋1≥0，则a ≥x ＋1x 2，当x ∈[2,4]时，x ＋1x 2＝1x ＋1x 2≤34，所以a ≥34.若f (x )在区间[2,4]上为减函数，则当x ∈[2,4]时，f ′(x )≤0恒成立，即ax 2－x －1x 2x ＋1≤0，则a ≤x ＋1x 2，当x ∈[2,4]时，x ＋1x 2＝1x ＋1x 2≥516，所以a ≤516. 综上得a ≥34或a ≤516.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年长春模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，且满足x 1∈(－1,1)，x 2∈(2,4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－11,3)D ．(－16，－8)解析：依题意得，f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝－12＋a －1＋b ＝1－a ＋b >0，f ′1＝12＋a ＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′2＝22＋2a ＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′4＝42＋4a ＋b ＝16＋4a ＋b >0，如图，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，经验证得：当a ＝－5，b ＝4时，z ＝a ＋2b 取得最大值3；当a ＝－3，b ＝－4时，z ＝a ＋2b 取得最小值－11.于是z ＝a ＋2b 的取值范围是(－11,3)，故选C.答案：C2．(2013年太原模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．解析：(1)由题知f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，所以ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a.从而易知，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)由题知，原问题可转化为当f (x )max <g (x )max 时，a 的取值范围问题．易知g (x )max ＝2.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，则有f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 3.。

高考数学总复习提素能高效题组训练 103 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：10-3[命题报告·教师用书独具]1．(2013年淄博模拟)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.14 B.13 C.427D.415解析：正方形的面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2时，边长AM ＝9， ∴P ＝9－612＝312＝14.答案：A2．在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.答案：B3．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.45 B.15 C.13D.12解析：依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15.答案：B4．如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为( )A.15 B.14 C.13D.12解析：在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧CMD 上时，MN >2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12.答案：D5．(2013年临沂模拟)若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.答案：B 二、填空题6．(2013年北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16. 答案：167．(2013年北京海淀模拟)在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________．解析：根据几何概型得所求的概率为P ＝π20021 0002＝π25. 答案：π258．(2013年泉州模拟)如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．解析：弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，设事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 答案：1－329．在体积为V 的三棱锥S ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S APC 的体积大于V3的概率是________．解析：由题意可知V S APC V S ABC >13，三棱锥S ABC 的高与三棱锥S APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S APC V S ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝APAB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．答案：23三、解答题10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解析：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，y|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1.B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，y⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y .则P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13.11．(2013年晋中模拟)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解析：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0<x <6，0<y <6，0<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <6，0<y <6，0<x ＋y <6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >6－x －y ，x ＋6－x －y >y ，y ＋6－x －y >x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3，y <3，x <3.所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14. 12．(能力提升)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解析：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y|⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( )A.12B.23C.34D.14解析：要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0. ∴a ，b ∈[0,1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.答案：C2．已知P 是△ABC 内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机投入△ABC 内，则该粒黄豆落在△PAC 内的概率是________．解析：因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →.设PB →＋PC →＝PD →，则PD →＝－2PA →，由共线向量定理知P ，D ，A 三点共线．设PD → 所在的直线与BC →所在的直线相交于点E ，则AE 为△ABC 的边BC 上的中线，且P 是中线AE 的中点，所以S △PBC ＝12S △ABC ，S △PAC ＝S △PEC ＝12S △PBC ＝14S △ABC ，从而该粒黄豆落在△PAC 内的概率为14.答案：14。

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《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：7-4[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年烟台调研)棱长为2的正四面体的表面积是( ) A. 3 B ．4 C ．4 3D ．16解析：每个面的面积为：12×2×2×32＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.答案：C2．(2013年福州质检)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍D ．32倍解析：由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．答案：B3．(2013年哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2B.⎝⎛⎭⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2D.⎝⎛⎭⎪⎫95＋π2 cm 2解析：该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．S 表面积＝S 上长方体＋S 下长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2·π(12)2＝94＋π2.答案：C4．(2013年佛山模拟)已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.83 cm 3B.43 cm 3C.23cm 3D.13cm 3 解析：由三视图知几何体为三棱锥，如图所示：V ＝13S △ABC ·PO ＝13×12×2×2×2＝43(cm 3)．答案：B5．(2013年西安模拟)有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确解析：此几何体是个圆锥，r ＝3 cm ，l ＝5 cm ，h ＝4 cm ，S 表面＝π×32＋π×3×5＝24π(cm 2)．V ＝13π×32×4＝12π(cm 3)．答案：A 二、填空题6．(2013年湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求高为22，所以体积为V ＝13×1×1×22＝26. 答案：267．(2012年高考浙江卷)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.解析：三棱锥的体积为：13×1×32×2＝1(cm 3)．答案：18．(2013年南京调研)如图，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________ cm.解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．答案：139．(2013年武汉调研)已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．解析：根据三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为2，由空间几何体的所有顶点都在一个球面上，设球半径为R ，则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋1，解得R 2＝73，故球的表面积S ＝4πR 2＝28π3.答案：28π3三、解答题10．(2013年阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解析：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.11．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求： (1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解析：(1)底面正三角形中心到一边的距离为 13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋22＝ 3.∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2.∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2＝92＋6 3.(2)设正三棱锥P ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P ABC ＝V O PAB ＋V O PBC ＋V O PAC ＋V O ABC ＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r .又V P ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝232－2318－12＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.12．(能力提升)四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a . (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析：(1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP ，EP ，CP .得到AD ⊥平面BPC ，∴V A BCD ＝V A BPC ＋V D BPC ＝13·S △APC ·AP ＋13S △BPC ·PD ＝13·S △BPC ·AD ＝13·12·a a 2－x 24－a 24·x＝a12a 2－x2x 2≤a12·3a 22＝18a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝62a 时取等号.∴该四面体的体积的最大值为18a 3.(2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为62a ，∴S 表＝2×34a 2＋2×12×62a × a 2－64a 2＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 24 ＝23＋154a 2. [因材施教·学生备选练习]1．(2013年济南模拟)如图所示，在正三棱锥S ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S ABC 外接球的表面积是( )A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π解析：在正三棱锥S ABC 中，易证SB ⊥AC ，又MN 綊12BS ，∴MN ⊥AC .∵MN ⊥AM ，∴MN ⊥平面ACM . ∴MN ⊥SC ，∴∠CSB ＝∠CMN ＝90°，即侧面为直角三角形，底面边长为2 6.此棱锥的高为2，设外接球半径为R ，则(2－R )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫26×32×232＝R 2， ∴R ＝3，∴外接球的表面积是36π.故选C. 答案：C2．(2011年高考四川卷)如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．解析：解法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2R cos α，圆柱底面半径为R sin α，∴S圆柱侧＝2π·R sin α·2R cos α＝2πR2sin 2α.当sin 2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.解法二设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2.∴S圆柱侧＝2πr·2R2－r2，S′圆柱侧＝4πR2－r2－4πr2R2－r2.令S′圆柱侧＝0，得r＝22 R.当0<r<22R时，S′>0；当22R<r<R时，S′<0.∴当r＝22R时，S圆柱侧取得最大值2πR2.此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2. 答案：2πR2。

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