§9.7 抛物线 (2)

合集下载

抛物线的全部知识点

抛物线的全部知识点抛物线是数学中非常重要的曲线之一，它在物理、工程和计算机图形学等领域都有广泛的应用。

以下是抛物线的全部知识点：1. 抛物线的定义：抛物线是平面上各点到一个定点（焦点）与该定点所在直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

通常我们用二次函数的标准形式来表示抛物线：y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数，且a≠0。

2.抛物线的焦点和准线：焦点是抛物线上到该点的距离与抛物线与x 轴的距离之比为常数的点。

准线是与焦点等距的直线。

3.抛物线的对称轴：对称轴是通过焦点和抛物线上其它任意一点的直线，它将抛物线分成两部分，且两部分是对称关系。

4.抛物线的顶点：顶点是抛物线上曲线最高或最低点的坐标。

在标准形式的二次函数中，顶点的x坐标为-x轴的对称轴的值，y坐标为函数的极值。

5.抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

6.抛物线的焦距和直径：焦距是焦点到准线的距离，直径是准线上两个焦点之间的距离，直径是焦距的两倍。

7. 抛物线的标准形式和顶点形式转换：通过平移和缩放，可以将二次函数转换为标准形式或顶点形式。

标准形式的抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数；顶点形式的抛物线方程为y = a(x-h)^2 + k，其中(a,b)为顶点的坐标，h为顶点的x坐标，k为顶点的y坐标。

8. 抛物线的焦点和准线的坐标计算：焦点的坐标为(x,y)，其中x = -b/2a，y = (4ac-b^2)/4a。

准线的方程为x = -b/2a。

9.抛物线的性质：抛物线是连续曲线，没有断点；抛物线是光滑曲线，没有拐点；对于开口向上（a>0）的抛物线，它是上升曲线；对于开口向下（a<0）的抛物线，它是下降曲线。

10.抛物线的切线和法线：切线是曲线上其中一点的切线，与曲线在该点的切点重合。

法线是与切线垂直的直线。

11.抛物线的渐近线：抛物线的对称轴和渐近线没有交点，但抛物线的顶点离开对称轴趋近于无穷远时，它会与对称轴越来越接近，近似成为渐近线。

抛物线的概念

抛物线的概念抛物线的概念抛物线是一种二次函数的图像，它是由一个固定点（称为焦点）和一条固定直线（称为准线）上的所有点构成的集合。

在平面直角坐标系中，抛物线可以用以下方程表示：y = ax^2 + bx + c。

1. 抛物线的基本概念1.1 焦点和准线焦点是抛物线上距离准线等于到顶点距离一半的点，通常用字母F表示。

准线是与焦点相对称且与抛物线平行的直线，通常用字母L表示。

1.2 顶点顶点是抛物线上最高或最低的点，它位于焦点和准线之间。

在标准形式下，顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

1.3 对称轴对称轴是通过顶点且与焦点垂直的直线。

在标准形式下，对称轴方程为x = -b/2a。

2. 抛物线的性质2.1 对称性抛物线具有对称性，即以对称轴为轴进行镜像得到的图像完全重合。

这意味着如果(x, y)在抛物线上，则(-x, y)也在抛物线上。

2.2 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且顶点为最小值点；当a<0时，抛物线开口向下，且顶点为最大值点。

2.3 零点和交点抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程y=0得到。

抛物线与y轴的交点称为截距，可以通过求解x=0得到。

两条不同的抛物线相交于两个交点。

2.4 切线和法线在任意一点处，抛物线的切线是通过该点且与抛物线相切的直线。

法线是与切线垂直的直线。

3. 抛物线的应用3.1 物理学中的应用在自由落体运动中，一个自由落体被重力作用下沿着一条竖直方向运动。

如果将竖直方向定义为y轴，则自由落体的运动可以表示为y = 1/2gt^2 + v0t + y0，其中g是重力加速度，v0是初速度，y0是初位置。

这个公式描述了一个开口向下的抛物线。

3.2 工程学中的应用在桥梁设计中，工程师需要计算桥梁的曲率和坡度，以确保桥梁能够承受重量并保持结构稳定。

抛物线可以用来描述桥梁的曲线形状，从而帮助工程师进行计算和设计。

3.3 经济学中的应用在经济学中，抛物线可以用来表示成本和收益之间的关系。

9.7 抛物线

§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下知识拓展1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二教材改编2．[P72T4]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4 B．6C．8 D．12答案B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是() A．y2＝±22x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±42x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．答案[－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义及应用典例设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1 求抛物线的标准方程A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x答案 D解析分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x . 命题点2 抛物线的几何性质典例已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 因为⎝⎛⎭⎫p 2，0在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点．则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析由题意得3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p 4，即A ⎝⎛⎭⎫p 4，2，代入抛物线方程，得p22＝2， ∵p >0，∴p ＝2.故选D. A.53 B.75 C.97 D ．2答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12|AB |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.题型三直线与抛物线的综合问题命题点1 直线与抛物线的交点问题答案 2解析抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练 (2018届武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p .又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎨⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p ，解得N ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14m .[2分] (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0，得m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝⎛⎭⎫1m ，y P ，∴Q ⎝⎛⎭⎫1m ，1m ，[8分] 得QA →＝⎝⎛⎭⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎫x 2－1m ，mx 22－1m .结合(*)式化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，－12∉⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2 D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案 D解析分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.2．(2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 答案 B解析由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝23|FK |＝43，∴|BF →|＝|BH →|＝43， ∴|AF →|＝3|BF →|＝4，故选B.A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎨⎧ x 0＋p2＝2x 0，S△OAF ＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎨⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝⎛⎭⎫p 2，4p ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上， ∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析设B (x 1，y 1)，因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，所以1|x x y '＝＝x 1＝1，则B ⎝⎛⎭⎫1，12，因为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以直线l 的方程为y ＝12，故|AF |＝|BF |＝1.A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x答案 C解析由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，答案 y 2＝16x解析设满足题意的圆的圆心为M (x M ，y M )．根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x . 答案 6解析由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －32，当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫－32，33，因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，33，根据抛物线的定义可知|PF |＝|P A |＝92－⎝⎛⎭⎫－32＝6.答案 23解析 y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形，因此不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p 3，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 3，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而p 23－p 24＝1，又p >0，所以p ＝2 3. 答案 6解析如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0. 由题易知，方程必有两个不等实根．所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明由题意知，直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．A ．2－55B ．25－1C ．1－2121D.21－1答案 A解析因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PM |取最小值20，此时|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，答案 2解析将P ⎝⎛⎭⎫32，1代入到y 24＋x 2b 2＝1中，可得14＋94b2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.A.33 B ．1 C.233D ．2 答案 A解析过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |，＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，∴|MN ||AB |的最大值为33.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．答案 (2,4)解析如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条．又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2，故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)，所以4<r 2<16，即2<r <4.。

9.7抛物线

训练 ●巩固
（2019.全国卷Ⅱ文数）
（2017.全国卷Ⅱ文数） 6
总结●测评
知识上:抛物线的定义、标准方程、几何性质方法上:定义法、待定系数法、消元、数形结合题型上：选择题、填空题、解答题注意事项上:数形结合、分类讨论
任务
达标测评
要求 1、独立完成
2、规范步骤
课前准备：优化方案，练习本，红、蓝笔
上课要求：
（1）回答问题声音洪亮，知道老师提出问题答案的学生把手高高举起示意老师.
（2）小组讨论时，组长负责组织组员活动，每位同学都要积极参与讨论.
（3）课代表负责记分：每正确回答一个问题记2分
第九章平面解析几何
第 7 讲抛物线
2019年 Ⅱ卷 2018年 Ⅲ卷
自主 ●合作
【独学】（3分钟）完成优化方案P178【知识梳理】
【独做】（6分钟）完成优化P179【考点1】例1;【考点2】例2
【组议】（3分钟）抛物线的标准方程的求法
展示 ●质疑
• 多媒体投影展示
• 我展示！ • 我补充！ • 我纠错！ • 我质疑！
点评 ●提升
抛物线的定义设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若 B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
Ⅰ卷 2017年 Ⅰ卷
Ⅱ卷
导课 ●明标
抛物线方程T8 选择题（5分）
抛物线T20 解答题（12分）
求弦长T8 选择题（5分）
抛物线定义T10 选择题（5分）
抛物线T16 填空题（5分）
复习目标：
导课 ●明标
1.理解并掌握抛物线的定义； 2.会求抛物线的标准方程；(重点) 3.灵活运用抛物线的几何性质解决问题.（难点）

超详细抛物线知识点归纳总结

超详细抛物线知识点归纳总结抛物线是一个经典的二次曲线，它的形状类似于一个向上开口或向下开口的U 形曲线。

在数学和物理学中，抛物线具有许多重要的性质和应用。

下面是超详细的抛物线知识点总结：1. 基本定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）之距离相等的点的轨迹。

准线与抛物线的交点被称为顶点，准线上两个焦点和顶点的中垂线被称为对称轴。

2. 标准方程：一般抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。

通过变换可以将一般方程转化为其他形式，如顶点形式、焦点形式和准线形式。

3. 顶点形式：顶点形式的抛物线方程为 y = a(x-h)^2 + k，其中 (h,k) 是顶点的坐标。

通过平移和缩放可以将一般方程转化为顶点形式。

4. 焦点形式：焦点形式的抛物线方程为 (x-h)^2 = 4p(y-k)，其中 (h,k) 是顶点的坐标，p 是焦距的一半。

焦点形式可以直接得到焦点坐标。

5. 准线形式：准线形式的抛物线方程为 y = px^2，其中 p 是焦距的一半。

准线形式的焦点在原点，并且准线是 x 轴。

6. 直径和焦距：抛物线的直径是通过顶点且与曲线相切的直线段。

焦距是焦点到准线的垂直距离。

7. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。

即曲线上任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离相等。

8. 切线与法线：抛物线上任意一点处的切线是通过该点且与曲线相切的直线。

切线的斜率等于该点处的导数。

法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。

9. 焦点与直角焦点：焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点。

直角焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点，并且该点与焦点、准线之间的连线与准线垂直。

10. 焦半径：焦半径是焦点与抛物线上任意一点的连线与准线的夹角的二倍。

11. 焦散性质：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离可以通过反射性质来得到。

即经过抛物线上某点的光线经过反射后都通过焦点。

课件5：9.7 抛物线

[答案] (1)B (2)见解析
第九章第7讲
第17页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
求抛物线方程的方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定 p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数 p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从统一角度出发，焦点在 x 轴上，设为 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上，设为 x2＝by(b≠0)．
第九章第7讲
第4页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
4 个必记结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论： (1)|AB|＝x1＋x2＋p 或|AB|＝si2np2α(α 为 AB 所在直线的倾斜角)． (2)x1x2＝p42.
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
第九章平面解析几何
第九章第7讲
第1页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
9.7 抛物线
第九章第7讲
第2页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
第20页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学

抛物线定义及标准方程

抛物线定义及标准方程抛物线是二次函数的图象，它是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。

在日常生活中，我们经常可以看到抛物线的形状，比如喷泉中水流的轨迹、抛出的物体的运动轨迹等。

抛物线的研究对于理解物体的运动规律、建立数学模型等都具有重要的意义。

抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

现在我们来详细了解一下抛物线的定义及标准方程。

首先，我们来看抛物线的定义。

如前所述，抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。

这个定点叫做焦点，定直线叫做准线。

在平面直角坐标系中，抛物线的焦点通常在y轴上，坐标为(0, p)，准线为y=-p。

根据这个定义，我们可以得出抛物线的数学表达式。

其次，我们来推导抛物线的标准方程。

假设抛物线上有一点P(x, y)，它到焦点的距离为PF，到准线的距离为PM。

根据抛物线的定义，我们可以得到PF=PM，即√(x^2+(y-p)^2)=|x|。

将这个方程进行整理化简，就可以得到抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c。

最后，我们来看一些抛物线的性质。

首先，抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，它通过焦点并且与抛物线的开口方向垂直。

其次，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

最后，抛物线的焦距为|4a|p。

这些性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和特点。

总之，抛物线是二次函数的图象，它具有很多重要的数学性质和物理意义。

通过学习抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地理解它的形式和特点，为后续的数学学习和物理研究打下基础。

希望本文能够帮助大家更好地理解抛物线，欢迎大家批评指正。

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程抛物线是一个经典的二次曲线，其形状类似于一个弧线。

抛物线有许多有用的应用，如天文学中的行星轨道、物理学中的抛体运动以及工程学中的桥梁设计等。

一、抛物线的基本定义和性质：1.定义：抛物线是一个平面曲线，其定义是到一个定点（焦点）和到一条定直线（准线）的距离之比为常数的所有点的集合。

2.构成：抛物线由对称轴、焦点、准线和顶点组成。

对称轴是通过焦点和顶点的直线。

焦点和准线等距离于顶点，且准线位于焦点下方（准线可能为X轴）。

3.性质：(1)抛物线关于对称轴对称；(2)焦点到定点的距离等于焦点到准线的距离，且为该抛物线的常数比率；(3)抛物线没有最大值或最小值，是一条开口向上或向下的曲线；(4)抛物线的顶点即为对称轴与抛物线的交点，是抛物线的最高点（或最低点）；(5)抛物线方程通常由顶点和准线方程确定。

二、抛物线的标准方程：抛物线的标准方程可写为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是实数且 a ≠ 0。

抛物线的准线一般为X轴，顶点坐标为(-b/2a, c - b²/4a)。

为了找到抛物线的标准方程，需要知道抛物线的焦点和准线方程，或者通过其他已知条件进行推导。

以下是两种常见的情况：1.抛物线顶点在原点的情况：当抛物线的顶点在原点(0,0)时，可以通过给定的焦点坐标(x₁,y₁)求得a的值。

根据焦点的定义，焦点到原点的距离等于焦点到准线的距离，可以得到：√(x₁²+y₁²)=y₁/(2a)。

解方程可得：a=1/(4y₁)。

然后将a的值代入抛物线方程，即可得到标准方程。

2.抛物线顶点不在原点的情况：其他情况下，可以通过给定的焦点和抛物线上的一点来确定标准方程。

假设焦点为F(x₁,y₁)、准线为L(y=d)以及抛物线上一点P(x,y)。

根据焦点的定义，我们可以得到：PF=PL，即√((x-x₁)²+(y-y₁)²)=，y-d。

高中数学抛物线的几何性质总结课件

准线上的点到抛物线焦点的距离相等。
抛物线的离心率与焦距的关系
01
02
03
04
离心率
抛物线的离心率等于1。
焦距
抛物线的焦距等于2p，其中p 是抛物线的准线到焦点的距离
。
关系
离心率与焦距之间存在直接关系，离心率越大，焦距越小；
离心率越小，焦距越大。
应用
了解离心率与焦距的关系有助于解决一些与抛物线相关的几
将直线方程代入抛物线方程，得到一元二次方程，利用判别式非负求出交点。
参数方程法
设定参数表示交点的坐标，代入抛物线方程和直线方程，解出参数。
交点的性质
对称性
抛物线与直线交点的对称性取决于抛物线的对称性和直线的斜率。
唯一性
当直线与抛物线相切时，交点唯一；当直线与抛物线相交时，交点可能有两个。
02
抛物线的几何性质
抛物线的对称性
总结词
抛物线具有对称性，其对称轴是抛物线的准线。
详细描述
抛物线关于其准线对称，这意味着对于抛物线上的任意一点P，其关于准线的对称点也在抛物线上。
数学表达
如果点P(x,y)在抛物线上，那么点 P'(-x,-y)也在抛物线上。
抛物线的范围
01
总结词
抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的。
何问题。
THANK YOU
感谢各位观看
02 03
详细描述
对于开口向上的抛物线，其顶点是最低点，对于开口向下的抛物线，其顶点是最高点。抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的，形成一个完整的图形。
数学表达
对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，当a>0时，顶点为最低点；当 a<0时，顶点为最高点。

抛物线知识点范文

抛物线知识点范文抛物线是一种经典的二次曲线，具有许多重要的数学和物理应用。

它的形状引人注目，其性质和方程式是学习数学的重要组成部分。

本文将介绍抛物线的定义、性质、方程式、焦点和直径、坐标系变换、最速下降问题、抛物线的应用等知识点。

1.定义：抛物线是一个平面曲线，其定义为到一个定点（焦点）和到一条定直线（准线）的距离的大小总是相等。

准线上的点称为焦点。

2.性质：-对称性：抛物线具有轴对称性，即任意一点P关于焦点和准线的投影点O的距离相等。

-切线性质：抛物线上的切线与过焦点F的直线垂直。

-焦半径性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

-图形性质：抛物线上的点与焦距的比例等于与准线的垂直距离与焦距的比例的平方，即PF/FD=PD/FD^2-集中性：抛物线上的所有点都在焦点和准线之间。

3. 方程式：一般来说，抛物线的标准方程式为y = ax^2 + bx + c （其中a, b, c为常数，a≠0）。

这是一个二次函数，图像是一个关于y 轴对称的开口向上的曲线。

-当a>0时，抛物线开口向上，最低点为顶点。

-当a<0时，抛物线开口向下，最高点为顶点。

4.焦点和直径：-焦点：抛物线的焦点是指离准线和对称轴相等距离的点。

焦点与顶点的距离称为焦距。

-直径：抛物线的直径是指通过焦点的直线，且与该直线平行的对称轴称为抛物线的直径。

5.坐标系变换：可以通过坐标系的平移和旋转将抛物线的方程式转化为更简单的形式。

通过平移和旋转将抛物线的顶点移到坐标原点来简化方程式的形式。

6.最速下降问题：抛物线曲线上的点到焦点的距离最短。

这个性质被应用于物理学和工程学中的最优问题，如最短路径问题和最速下降问题。

7.抛物线的应用：-物理学中的抛物线轨迹：当物体在重力作用下发生自由落体运动时，其轨迹是一个抛物线。

-工程学中的抛物面反光器：抛物面反光器是一种能够将入射光汇聚到一个焦点的反射器，应用于车灯、太阳能收集器等设备。

9.7抛物线

图形
顶点对称轴 y＝0
O(0,0) x＝0
焦点离心率准线方程范围开口方向焦半径
p F2，0
p F-2，0
p F0，2
p F0，-2
p x＝－2 x≥0， y∈R 向右 |PF|＝ p x0＋2
e＝1 p p x＝2 y＝－2 x≤0， y∈R 向左 |PF|＝ p －x0＋2 y≥0， x∈R 向上 |PF|＝ p y0＋2
题型三直线与抛物线例3 设直线 ay＝x－2 与抛物线 y2＝2x 交于相异两点 A、以线 B，段 AB 为直径作圆 H(H 为圆心)，试证明抛物线的顶点在圆 H 的圆周上；并求 a 的值，使圆 H 的面积最小．
思维启迪：当原点 O 在圆周上时，OA⊥OB，要使圆面积最小，只要圆 H 的半径最小．
题型二
抛物线的定义及应用
例 2 已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 与抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|＋|PF| 的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标．
思维启迪：由定义知，抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d，求 |PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d 的问题．
§9.7 抛物线基础知识
要点梳理 1．抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线
自主学习
2．抛物线的标准方程与几何性质 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 标准方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离

抛物线相关公式总结大全

抛物线相关公式总结大全抛物线是一种非常常见的几何图形，具有许多重要的特点和性质。

在数学中，抛物线的相关公式总结是非常重要的，它们可以帮助我们更好地理解和运用抛物线的性质。

首先，抛物线的标准方程是 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，且a≠0。

这个方程描述了抛物线的形状和位置，其中 a 控制着抛物线开口的方向和大小，b 控制着抛物线在 x 轴上的位置，c 控制着抛物线在 y 轴上的位置。

其次，抛物线的顶点坐标可以通过公式 (-b/2a, c-b^2/4a) 计算得出。

顶点是抛物线的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。

通过计算顶点坐标，我们可以进一步了解抛物线的特性和位置。

另外，抛物线的焦点坐标是一个重要的概念，它可以通过公式 (h, k+1/4a) 计算得出，其中 h=-b/2a，k=c-b^2/4a。

焦点是抛物线上所有点到焦点的距离与直线的距离之比始终为常数的点，这个比值称为抛物线的离心率。

抛物线的直径和焦点之间有一个特定的关系，即直径的长度等于焦距的两倍。

这个关系可以帮助我们更好地理解抛物线的几何特性，同时也可以应用到实际问题的求解中。

在物理学中，抛物线的运动规律也是一个重要的应用领域。

通过抛物线的相关公式，我们可以计算抛物线的运动轨迹、速度、加速度等参数，进而分析和预测抛物线的运动情况。

总的来说，抛物线的相关公式总结包括标准方程、顶点坐标、焦点坐标、离心率、直径与焦距的关系等内容，这些公式和概念是我们理解和运用抛物线的重要工具。

通过深入学习和掌握抛物线的相关公式，我们可以更好地解决与抛物线相关的问题，提高数学和物理的应用能力。

希望以上内容能够帮助您更好地理解抛物线的相关公式和性质。

有关抛物线的所有知识点

有关抛物线的所有知识点在数学的世界中，抛物线是一个非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，从物理学中的抛体运动到工程学中的桥梁设计，从数学本身的函数研究到计算机图形学中的曲线绘制。

接下来，让我们一起深入了解抛物线的各个方面。

一、抛物线的定义抛物线可以用多种方式来定义。

最常见的是平面内到一定点 F（焦点）和定直线 l（准线）距离相等的点的轨迹。

也就是说，对于抛物线上的任意一点 P，它到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离。

例如，如果有一个抛物线，其焦点为 F(0, 2)，准线为 y ＝－2，那么对于抛物线上的点 P(x, y)，就有 PF 的距离等于 P 到准线的距离，即√（x 0)²＋（y 2)²＝｜y ＋ 2| 。

二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，开口向右时，方程为 y²＝2px（p ＞ 0），其中 p 为焦点到准线的距离。

2、当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上，开口向左时，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0）。

3、当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上，开口向上时，方程为 x²＝2py（p ＞ 0）。

4、当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上，开口向下时，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0）。

以 y²＝ 2px 为例，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2。

三、抛物线的性质1、对称性抛物线关于其对称轴对称。

对于形如 y²＝ 2px 的抛物线，其对称轴为 x 轴；对于形如 x²＝ 2py 的抛物线，其对称轴为 y 轴。

2、顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。

在标准方程中，顶点坐标为（0, 0) 。

3、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。

对于抛物线 y²＝ 2px 上的一点 P(x₀, y₀)，其焦半径为 x₀＋ p/2 。

(复习指导)9.7 抛物线含解析

9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线. 2.Fp 2,0 F -p 2,0 F 0,p 2F 0,-p 21.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p2,y1y2=-p2;4(α为弦AB所在直线的倾斜角);(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(α为弦AB所在直线的倾斜角);(4)S△AOB=p22sinα(5)∠CFD=90°.2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(),0.()(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a42.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为()A.2√3B.4C.6D.123.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P 作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.95.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=.关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用,0)为圆【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P(92心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于()A.8B.18C.2√2D.4(2)(2020新高考全国1,13)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若P (x 0,y 0)为抛物线y 2=2px (p>0)上一点,由定义易得|PF|=x 0+p2;若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则弦长为|AB|=x 1+x 2+p ,x 1+x 2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y 2=8x的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,与抛物线的准线交于点C ,若B 是AC 的中点,则|AB|=( )A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.52C.3D.2考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y 2=2px (p>0),点C (-4,0),过抛物线的焦点F 作垂直于x 轴的直线,与抛物线交于A ,B 两点,若△CAB 的面积为24,则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A.y 2=4xB.y 2=-4xC.y 2=8xD.y 2=-8x(2)(2020全国3,文7)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C :y 2=2px (p>0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( )A.14,0B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M (x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上的一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p 2交于E ,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程为( )A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x(2)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.√22D.3√24考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=2π3,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则|MN||AB|的最大值是()A.√34B.√33C.√32D.√3(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()B.14C.12D.10?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A.2B.3C.32D.4(2)(2020山东日照一模,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于M,N两点,则p=,|MF|9−1|NF|的最小值是.考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则1|PM|+4|QN|的值不可能为()A.3B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.52B.3C.√3+1D.2√3-1?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F 为抛物线C 1:y 2=2px (p>0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|AB ||CD |=( )A.16B.4C.83D.53(2)(2020山东滨州二模,16)动圆E 与圆M (x-1)2+y 2=14外切,并与直线x=-12相切,则动圆圆心E 的轨迹方程为 ;过点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心E 的轨迹相交于A ,B 两点,则直线AB 的斜率为 .考点直线与抛物线的关系【例5】(1)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,其准线与x 轴的交点为Q ,过点Q 作斜率为k (k<0)的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF|=2|BF|,则k 的值为( )A.-2√23B.-√73C.-√63D.-√53(2)已知F 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,过点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,AB 的中点为C ,过点C 作抛物线准线的垂线交准线于点C 1,若CC 1的中点为M (1,4),则p=( ) A.4 B.8 C.4√2 D.8√2 解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x 1+x 2+p (焦点在x 轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,设点M (3,0).若△MAB 的面积为4√2,则|AB|=( )A.2B.4C.2√3D.8(2)已知直线kx-y-k=0(k>0)与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ,O 为坐标原点,若S △OBM ∶S △OBA =1∶2,则k= .1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax 2与y 2=2px (p>0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0). 2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.9.7 抛物线必备知识·预案自诊知识梳理1.距离相等焦点准线2.(0,0) y 轴 1考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2.A由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),(0,p 2),两焦点的距离为√1+p 24=2,解得p=2√3.故选A.3.B 因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P.故选B.4.C 设点A 的坐标为(x ,y ).由点A 到y 轴的距离为9可得x=9,由点A 到抛物线C 的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.5.√15 由于焦点F (1,0),故p2=1,p=2,抛物线方程为y 2=4x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知直线l 的斜率存在且不为零,设l :y-1=k (x-1),由{y -1=k (x -1),y 2=4x消去x ,得ky 2-4y+4-4k=0,由P 为线段AB 的中点可知y 1+y 2=4k =2,所以k=2,所以直线l 的方程为y=2x-1,y 1y 2=-2,所以|AB|=√1+(1k )2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√15.关键能力·学案突破例1(1)A (2)163 (1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),抛物线的焦点坐标为(12,0),则|PF|=92−12=4,则圆的方程为(x -92)2+y 2=16,与抛物线方程联立,消去y ,得x 2-7x+174=0,则x 1+x 2=7.根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x 1+12+x 2+12=8.故选A. (2)如图所示,直线与抛物线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),F (1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p. 由{y =√3(x -1),y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0, 所以x 1+x 2=103, 则|AB|=103+2=163. 对点训练1(1)B (2)C(1)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,垂足分别为D ,E ,设|AB|=|BC|=m ,直线l 的倾斜角为α.则|BE|=m|cos α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m (1-|cos α|),所以|cos α|=|AD ||AC |=m (1-|cosα|)2m, 解得|cos α|=13.由抛物线焦点弦长公式|AB|=2psin 2α,可得|AB|=81-19=9.故选B.(2)∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |.∴|PQ ||PF |=34.过Q 作QQ'⊥l ,垂足为Q',设l 与x 轴的交点为A (图略),则|AF|=4,∴|PQ ||PF |=|QQ '||AF |=34,∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C .例2(1)D (2)B (1)因为AB ⊥x 轴,且AB 过焦点F ,所以|AB|=2p ,所以S △CAB =12×2p ×(p 2+4)=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y 2=8x ,所以直线AB 的方程为x=2,所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2=-8x.故选D .(2)∵抛物线C 关于x 轴对称,直线x=2垂直于x 轴,又OD ⊥OE , ∴△ODE 是等腰直角三角形.不妨设点D 在第一象限,则点D 的坐标为(2,2),将其代入y 2=2px ,得p=1,所以抛物线C 的焦点坐标为12,0.对点训练2(1)C (2)D(1)如图所示,作MD ⊥EG ,垂足为D.因为点M (x 0,2√2)(x 0>p2)在抛物线上,所以8=2px 0,即px 0=4.①由题意,可知|DM|=x 0-p2,|MF|=x 0+p2,因为sin ∠MFG=13,所以|DM|=13|MF|,即x 0-p2=13(x 0+p2),解得x 0=p.②由①②,解得x 0=p=-2(舍去)或x 0=p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x.故选C. (2)由已知得点F 的坐标为p 2,0,因为点A (0,2),所以AF 的中点B 的坐标为p 4,1.因为点B 在抛物线上,所以1=p 22,解得p=√2或p=-√2(舍去).所以点F 的坐标为√22,0,点B的坐标为√24,1,所以|BF|=√(√22-√24)2+(0-1)2=3√24.故选D .例3(1)B (2)A (1)设A ,B 在直线l 上的投影分别是A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|.又因为M 是AB 中点,所以|MN|=12(|AA 1|+|BB 1|), 则|MN ||AB |=12·|AA 1|+|BB 1||AB |=|AF |+|BF |2|AB |. 在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos 2π3=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|≥(|A F|+|BF|)2-(|AF |+|BF |2)2=34(|AF|+|BF|)2,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以(|AF |+|BF |)2|AB |2≤43,即|AF |+|BF ||AB |≤2√33, 所以|MN ||AB |≤√33.故选B .(2)由题意,可知直线l 1,l 2的斜率都存在且不为0,点F (1,0).设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k (x-1)(k ≠0).由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则x 1+x 2=2k 2+4k2.因为l 1⊥l 2,所以直线l 2的方程为y=-1k (x-1).同理,x 3+x 4=2+4k 2.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+2+x 3+x 4+2=2k 2+4k 2+2+4k 2+4=4k 2+4k2+8≥2√4k 2·4k2+8=16,当且仅当4k 2=4k2,即k=±1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.对点训练3(1)C (2)2 -13 (1)设直线AB 的方程为x=my+t ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{x =my +t ,y 2=2x ,得y 2-2my-2t=0,所以y 1y 2=-2t. 由题意可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24+y 1y 2=0,即t 2-2t=0.由题意可知t ≠0,所以t=2,所以直线AB 过定点(2,0).所以抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2-12=32.故选C .(2)因为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F (1,0),所以p=2.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线l :x=my+1,联立{x =my +1,y 2=4x ,得y 2-4my-4=0,所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,所以x 1x 2=1. (方法1)|MF |9−1|NF |=x 1+19−1x 2+1=x 1+19−11x 1+1=x 1+19+1x 1+1-1≥-13,当且仅当x 1+1=3,即x 1=2时,等号成立.(方法2)1|MF |+1|NF |=1x 1+1+1x 2+1=1my1+2+1my2+2=m (y 1+y 2)+4(my1+2)(my 2+2)=m (y 1+y 2)+4m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4=4m 2+4-4m 2+8m 2+4=1,所以|MF |9−1|NF |=|MF |9−(1-1|MF |)=|MF |9+1|MF |-1≥-13,当且仅当|MF|=3时,等号成立.例4(1)A (2)D (1)作图如下.由题意可知,F 为圆x 2+y 2-2x=0的圆心,设|PF|=m ,|QF|=n ,则|PM|=m-1,|QN |=n-1. 根据抛物线的常用结论,可知1m+1n=2p=1,则m+nmn=1,即m+n=mn ,所以1|PM |+4|QN |=1m -1+4n -1=4m+n -5mn -(m+n )+1=4m+n-5. 又4m+n=(4m+n )·(1m +1n )=4+4m n +n m +1≥5+2√4m n ·nm=9,当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-5≥4,即1|PM |+4|QN |≥4.故1|PM |+4|QN |的值不可能为3.故选A .(2)设点P 的坐标为14m 2,m ,由圆的方程(x-4)2+y 2=1,可得圆心坐标为A (4,0),半径r=1,所以|PA|2=(14m 2-4)2+m 2=116(m 2-8)2+12≥12,所以|PA|≥2√3.因为Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为2√3-1.故选D .对点训练4(1)A (2)y 2=4x -1 (1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C 1的焦点F ,所以|BF|=|CF|=p 2,所以|AB ||CD |=|AF |-p2|DF |-p 2.设点A (x A ,y A ),D (x D ,y D ),由抛物线的定义得|AF|-p2=x A ,|DF|-p2=x D .由{4x -3y -2p =0,y 2=2px ,整理得8x 2-17px+2p 2=0,解得x A =2p ,x D=p 8.故|AB ||CD |=x A x D=2pp 8=16.故选A .(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|-12,则|NE|+12=|ME|,所以点E 到直线x=-1的距离等于到点M (1,0)的距离,所以动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点,以x=-1为准线的抛物线, 则其轨迹方程为y 2=4x.点P 坐标为(1,2),则点P 在圆心E 的轨迹上. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由已知设直线PA :m (y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y 2=4my-8m+4,即y 2-4my+8m-4=0, 则y 1+2=4m ,故y 1=4m-2.设直线PB :-m (y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,代入抛物线的方程得y 2=-4my+8m+4,即y 2+4my-8m-4=0, 则y 2+2=-4m ,故y 2=-4m-2.x 1-x 2=my 1-2m+1-(-my 2+2m+1)=m (y 1+y 2)-4m=-8m.直线AB 的斜率k AB =y 2-y1x 2-x 1=-8m8m=-1. 例5(1)A (2)B (1)(方法1)韦达定理消去x抛物线的焦点为F (2,0),准线x=-2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|=x 1+2,|BF|=x 2+2,由|AF|=2|BF|得x 1+2=2(x 2+2),即有x 1=2x 2+2,①联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0,则有x 1+x 2=-4k 2+8k 2(k<0),② x 1x 2=4.③由①③得x 1=4,x 2=1,代入②中得5=-4k 2+8k2(k<0),解得k=-2√23.故选A.(方法2)韦达定理消去y设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),从而有y 1=2y 2.联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得ky 2-8y+16k=0,则有y 1+y 2=8k ,① y 1y 2=16,② 由y 1=2y 2则有y 1+y 2=3y 2=8k ,③ y 1y 2=2y 22=16, ④ 消去y 2得(8k )216=92(k<0),解得k=-2√23,故选A.(方法3)几何法设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|,则B'是QA'的中点,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),从而有y A =2y B .则B 是QA 的中点,则有|OB|=12|AF|(O 是原点),而|BF|=12|AF|,则|OB|=|FB|,故点B 在线段OF 的垂直平分线上,则x B =1,从而y B =-2√2,则y A =-4√2,x A =4,故k=-2√23, 故选A.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ).由题意CC 1的中点坐标为(1,4),所以可得y A +y B =8,x C -p 2=2×1,所以x C =2+p 2,x A +x B =4+p.设直线AB 的方程为x=my+p 2,代入抛物线的方程可得y 2-2pmy-p 2=0,所以y A +y B =2pm ,x A +x B=m (y A +y B )+p=8m+p.则{8=2pm ,8m +p =4+p ,解得p=8,m=12.对点训练5(1)D (2)2√2 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),可设直线l 的方程为x=ty+1,代入抛物线方程,可得y 2-4ty-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4,则|AB|=√1+t 2·|y 1-y 2|=√1+t 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√1+t 2·√16t 2+16,△MAB 的面积为12|MF|·|y 1-y 2|=12×2|y 1-y 2|=4√2,即√16t 2+16=4√2,解得t=±1.则|AB|=√1+1×√16+16=8.故选D .(2)联立{kx -y -k =0,y 2=4x消去x ,得y 2-4k y-4=0,设A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2),则M (-1,y 2),则y 1+y 2=4k ,y 1y 2=-4,∵k OM=y2-1=-y2=4y1,k OA=y1x1=4y1,∴A,O,M三点共线,∴S△OBM∶S△OAB=|OM|∶|OA|=1∶2,∴|OA|2=4|OM|2,x12+y12=4(1+y22),x12+4x1=4(1+16y12),x12+4x1=4(1+164x1),则(x12-4)(1+4x1)=0,∵x1>0,∴x1=2,∴A(2,2√2).又直线kx-y-k=0恒过定点(1,0),∴k=2√2-02-1=2√2,故答案为2√2.。

9.7抛物线

9.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．21．判断正误(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( )2．已知抛物线y ＝34x 2，则它的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，316 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫316，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 3．准线方程为x ＝3的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝－6xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝12x4．抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离为3，则P点的纵坐标为( )A．3 B．2 C．52D．－25．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|考点一·抛物线的定义及应用【例1】(1)(2014·新课标卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝( )A．1 B．2C．4 D．8(2)已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|P A|＋|PF|的最小值为__________，此时P点的坐标为__________．1．(1)(2014·新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，则|AB|＝( )A．303B．6C．12 D．73(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2 B．3 C．115D．3716考点二抛物线的标准方程及几何性质【例2】 (1)(2017·泉州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92x D ．y 2＝9x(2)若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m >0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是__________．(1)以双曲线x23－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x(2)(2016·新课标全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8考点三抛物线与直线相交问题【例3】已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值．2017全国设A，B为曲线C：y=24x上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.巩固提高1．．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B．1 C.32D．22．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x=的焦点到直线0x=的距离是（）A．B．2C D．13．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.则C的方程为___________________________；4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O为坐标原点,F为抛物线2:C y=的焦点,P为C上一点,若||PF=,则POF∆的面积为（）A．2B．C．D．45、在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.。

9.7 抛物线

a a 成x=的形式，于是从题设有 2 m 5, 2 2am 9 解此方程组可得四组解
a1 1 a2 1 a3 9 a4 9 9, 9, 1 1, m1 2 m2 2 m3 2 m4 2 .
思维启迪
（1）由定义知，抛物线上点P到焦点
F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题. （2）把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决. 解（1）将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=± 6 .
∵ 6 ＞2,∴A在抛物线内部. 1 设抛物线上点P到准线l:x=的距离为d, 2 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 7 当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为， 2 7 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时P点纵坐标为2, 2 代入y2=2x，得x=2,∴点P坐标为（2，2）. 1 （2）由于直线x=即为抛物线的准线， 2 故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|，当且仅当B、P、F共线时取等号.
抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则
p2 (1)y1y2=-p2，x1x2= ； 4
2p (2)若直线AB的倾斜角为 ,则|AB|= ； 2 sin (3)若F为抛物线焦点，则有 1 1 2 . AF BF p
失误与防范
1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程. 2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题.
锥曲线弦长问题常用的运算技巧.
知能迁移3