多元函数求导经典例题

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导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

多元函数求导练习题

求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥上的最大值和最小值.【分析】本题求二元函数在闭区域的最值. 先求出函数在区域内的驻点，然后比较驻点的函数值和边界上的极值，则最大者为最大值，最小者为最小值. 【详解】（1）求函数2222(,)2f x y x y x y =+-的驻点.因为22220420x y f x xy f y x y ⎧'=-=⎪⎨'=-=⎪⎩，所以0011x x x y y y ⎧⎧=⎧==⎪⎪⎨⎨⎨===-⎪⎪⎩⎩⎩，所以函数在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥内的驻点为)，()和()0,0.（2）求函数在边界线上的极值. 作拉格朗日函数如下 222222(,)2(4)L x y x y x y x y λ=+-++-，则22222220422040L x xy x x L y x y y y L x y λλλ⎧∂=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解之得02,201x x x y y y ⎧==±⎧⎧=⎪⎨⎨⎨=±==±⎪⎩⎩⎩. 于是条件驻点为)，()，()0,2，()2,0±.而()2f =，()2f =，()0,00f =，()0,28f =，()2,04f ±=. 比较以上函数值，可得函数在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥上的最大值为8，最小值为0.(2006)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] 【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.(2004)设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0yz xz得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx zz x z y z y x z y x z02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ，故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x zA ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x zB ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.（2005）设有三元方程1ln =+-xz e y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xz e y z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=1ln -+-xz e y z xy , 则 z e y F xz x +='， yzx F y -='，x e y F xz z +-='ln ，且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).。

多元复合函数的求导法

多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。

下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。

我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。

一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。

在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。

全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。

多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。

多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。

二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。

凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。

高中数学导数经典例题

高中数学导数经典例题好嘞，今天咱们聊聊高中数学里的导数，嘿，这可是个有趣又重要的话题哦。

咱们得知道，导数这个东西，就像是你开车的时候踩油门。

你踩得越狠，车速就越快，反之则慢。

而导数，就是用来描述一个函数在某一点的变化速率。

简单点说，它告诉你，某个东西的变化有多快，有多慢。

想象一下，你在海边玩水，浪一波接一波，导数就像是告诉你，浪的高度变化得快不快，冲得猛不猛。

拿个简单的例子，咱们可以看看函数 ( f(x) = x^2 )。

在这个函数里，假如你想知道在某个点，比如 ( x = 2 ) 的时候，函数的变化率如何。

哎呀，别着急，这时候就需要用到导数啦。

计算导数的方法就像做菜，得有点技巧。

你得先把 ( f'(x) ) 计算出来，得到的结果就是你在 ( x = 2 ) 时的变化率。

结果就是 ( f'(x) = 2x )，把 ( x ) 代进去，得 ( f'(2) = 4 )。

哦，听起来不错，意思就是在 ( x = 2 ) 的时候，函数的变化率是4，变化得挺快的，简直像火箭一样。

再想象一下，你在操场上追逐朋友，跑得飞快。

你能感受到自己每一秒的速度变化，这就是导数的意义。

继续深入一点，我们看看更复杂的函数，比如 ( f(x) = sin(x) )。

这玩意儿可不是简单的平方了。

这里的导数就是 ( f'(x) = cos(x) )。

你可别小看这个，( cos(x) ) 在不同的地方表现得可不一样。

就好像你在看朋友们跳舞，有的人慢悠悠，有的人则像风一样快。

你在不同的 ( x ) 值上，得到的速度也不一样，这就是数学的奇妙之处。

说到这里，咱们再聊聊切线。

切线这东西，就像你在山上滑雪，滑下来的时候，坡度就是切线的斜率。

想象你在某个点停下来，看看周围的风景。

切线就代表你此刻的方向，走得快慢尽在你的掌握。

拿 ( f(x) = x^3 ) 来说，导数是 ( f'(x) = 3x^2 )。

多元函数求导经典例题 (1)可修改文字

定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.
注意驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ，令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多限元及函连数续的
概念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式不变性;

多元函数的微分学典型例题

多元函数的微分学典型例题例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导数，并指出：（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z¶ ¶ a a sin cos + = ．因此（1）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4pa = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导数最大．（2）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 pa - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方向导数最小．（3） 43pa - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向导数为零．例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微，且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求（1）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；（2）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数．解（1）设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有x f l f = ¶ ¶ 12 0 1 = × + × y f ，故 2 = x f ； 2 1 0 2 - = × - × = ¶ ¶ y x f f l f ，故 2 = y f ．因此 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( = gragf ．（2）在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向余弦为 ÷ ø öç è æ 5 4,5 3 ，设该方向为l ，则 l f ¶ ¶ ) 2 , 1 ( 5145 4 2 5 3 2 = ´ + ´ = ．例 3 验证函数) , ( y x f ïî ï í ì = + ¹ + + = . 0 ,0 , 0 , 2 2 22 22 y x y x yx xy 在原点 ) 0 , 0 ( 连续且可偏导，但它在该点不可微．验证注意不等式 | | 2 2 xy y x ³ + ，就有0 | | 0 2 2 22 2 2 22 ® + = + + £ + £y x y x y x y x xy ， ) , ( y x ® ) 0 , 0 ( ．故而 0 ) , ( lim)0 , 0 ( ) , ( = ® y x f y x f = ) 0 , 0 ( ．因此， ) , ( y xf 在原点 ) 0 , 0 ( 连续． x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 )0 , 0 ( ) 0 , ( = - xf x f ，由变量对称性得 y f ) 0 , 0 ( 0 = ．即该函数在原点 ) 0 , 0 ( 可偏导．假如 ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 可微，就应有) , ( y x f = - ) 0 , 0 ( f x f ) 0 , 0 ( + x y f ) 0 , 0 ( ) ( 2 2 y x y + +o ，即 ) , ( y x f = ) ( 2 2 y x + o ．但这是不可能的，因为沿路径 ) 0 ( ¹ = k kx y ，就有= + ® 2 2 )0 , 0 ( ) , ( ), ( limyx y x f kx x = + ® 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim y x xykx x 0 1 lim 2 2 2 2 2 0 ¹ + = + ® k k x k x kx x ．可见， ) , ( y x f ¹ ) ( 2 2 y x + o ．因此， ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 不可微．例 4 验证函数) , ( y x f ï îï íì = + ¹ + + + = . 0 , 0 , 0 , 1 sin ) ( 2 2 22 22 2 2 y x y x y x y x 的偏导函数 ) , ( y x f x 和 ) , ( y x f y 在原点 ) 0 , 0 ( 不连续，但它却在该点可微．验证x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 1sin lim ) 0 , 0 ( ) 0 , ( 2 0 = = - ® xx x f x f x ； ) , ( y x ¹ ) 0 , 0 ( 时，) , ( y x f x 22 2222222121 2sin()cos () x x x y x y x y x yæö =++- ç÷ +++ èø 2 2 2 2 2 2 1cos2 1 sin2 y x y x x y x x + + - + = ．因此， ) , ( y x f x ï î ï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x x y x x 由变量对称，得) , ( y x f y ï îï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x y y x y ) , ( y x f x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．事实上，沿路径 x y = ， ® ) , ( x x ) 0 , 0 ( 时，2 2 2 2 1 cos 2 2 2 1 sin2 ) , ( x x x x x x x f x - = 中，第一项趋于零，而第二项 22 1cos 1 x x - 的极限不存在(比如取 pk x k 2 1=， +¥ ® k 时有 0 ® k x ，而2 2 1cos 1 kk x x -¥ ® )．可见， x y x f ) 0 , 0 ( ) , ( lim ® ) , ( y x 不存在，因此 ) , ( y xf x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．同理可证 ) , ( y x f y 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．但由于0 1sin ) , ( 0 2 2 22 2 2 22 ® + £ + + =+ £y x y x y x y x y x f ，® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，就有 0 ) , ( 22® + yx y x f ，于是就有0 ) , ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2222® + =+ - - - yx y x f yx yf x f f y x f y x ， ® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，即 ) ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2 2 y x y f x f f y x f y x + + + = - o ．可见 f 在点 ) 0 , 0 ( 可微．例 5 证明函数) , ( y x f ï îïí ì = + ¹ + + = . 0 , 0 , 0 , 2 22 22 42 2 y x y x y x xy 在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因此不可微．证设 ) sin , cos ( a a = l 则= - = ¶ ¶ ® tf t t f l f t )0 , 0 ( ) sin , cos ( lim 0 a a 32 2244 0 2cos sin lim ( cos sin )t t t t t a a a a ® = +3 0 , , , 22 2tan sin , , . 22p p a p p a a a ì= ï ï = íï ¹ ï î 可见在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在．但沿路径 2y x = ，有 = ® ) , ( lim )0 , 0 ( ) , ( 2y x f y y f y y y y y ¹ = + ® 1 2 lim 4 4 22 0 ) 0 , 0 ( 可见 f 在原点 ) 0 , 0 ( 并不连续，因此不可微．例 6 计算下列函数的高阶导数或高阶微分：（1） x yz arctan = ，求 2 2 x z ¶ ¶ ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 22 y z ¶ ¶ ；解 x z ¶ ¶ 2 2 2 2 2 1 y x y x y x y + - = + -= ， y z ¶ ¶ 22 22 1 1 y x x xy x + = + =． 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 2 ) ( 2 y x xy + = ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 2 2 ) ( y x x y + - = ， 2 2 y z ¶ ¶ = 22 2 )( 2 y x xy+ - ．（2） xyxe z = ，求 y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 和 23 y x z¶ ¶ ¶ ．解 x z ¶ ¶ = ) 1 ( xy e xye e xyxy xy + = + ， 2 2 x z ¶ ¶ ) 2 ( ) 1 ( xy ye y e xy ye xy xy xy + = + + = ；yx z¶ ¶ ¶ 2 ) 2 ( ) 1 ( xy xe xe xy xe xy xy xy + = + + = ． y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 = = ¶ ¶ ¶¶ x y x z 3 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y x z x 2 xyxy xy xy e xy xye xye xy e ) 2 3 ( ) 2 ( + = + + + ；2 3 y x z ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = y x z y 2 ( )= + + xy xy xe xy xe x ) 2 ( xye y x x x ) 3 ( 2 + ．（3） ) ln(xy x z = ，求 z d 2 ；解 x z 1 ) ln( ) ln( + = + = xy xy xy xy， xy z y xy x 1 = = ， x xy y z xx 1= = ；y z y x xy x = = 2 ， yy z 2 yx- = ．2222222 2 12 xx xy yy d z dx dy z z dx z dxdy z dy x y x dx dxdy dy x y yæö¶¶ =+=++ ç÷ ¶¶ èø =+- ．（4） ) ( sin 2 by ax z + = ，求 z d 3 ．解 x z ) ( 2 sin by ax a + = ， xx z ) ( 2 cos 2 2 by ax a + = ， = 3x z ) ( 2 sin 4 3 by ax a + - ，) ( 2 sin 4 2 axby b a z xxy - = ； y z ) ( 2 sin by ax b + = ， ) ( 2 cos 2 2 by ax b z yy + = ，= = yyx xyy z z ) ( 2 sin 4 2 by ax ab + - ． = 3 y z ) ( 2 sin 4 3 by ax b + - ．z d 3 = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ z y dy x dx 33223322333 x x y xy y z dx z dx dy z dxdy z dy +++ ) ( 2 sin 12 ) ( 2 sin 4 2 3 by ax b a by ax a + - + - = ) ( 2 sin 12 2 by ax ab + - 3 4sin 2()b ax by -+ ) ( 2 sin ) ( 4 3 by ax b a + + - = ．例 7 利用链式规则求偏导数：（1） ÷ ÷ øö ç ç è æ = , y x xy f u ．求 x u¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 y u ¶ ¶ ．解设 xy t = ， yxs = ．x u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = x s s f x t t f s f y t f y ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 ， y u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = y s s f y t t f sfy x t f x ¶ ¶ - ¶ ¶ 2 ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = y s s t f y t t f y t f 2 2 2 22 22 11 f f t f s y s y s t y s y æö¶¶¶¶¶ -++ ç÷ ¶¶¶¶¶¶ èø = ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ s t f y x t f x y t f 2 2 2 2 22 222 11 f f x f x y s y s t y s æö¶¶¶ -+- ç÷ ¶¶¶¶ èø 2 2 t f xy ¶ ¶ = s t f y x ¶ ¶ ¶ - 2 3 s fy t f ¶ ¶ - ¶ ¶ + 2 1 ．2 2 y u ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = y u y 2 f x f x y t y s æö ¶¶¶ =- ç÷ ¶¶¶èø 23 2 2 2 2 y xs f y x y s s t f y t t f x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = = ÷ ÷ øöç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y s s f y t t s f 2 2 2 23 2 2 2 2 2 y xs f y x s t f y x tf x x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 s f y x t sf x s f y x s f y x s t f y x t f x ¶¶ +¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ．（2） ) ( 222z y x f u + + = ．求 x u ¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， z u¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 xu ¶ ¶ ．解设 2 2 2 z y x t + + = ．x u ¶ ¶ ( 2 ) ( f x x tt f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ， y u ¶ ¶ ( 2 ) ( f y yt t f ¢ = ¶ ¶ ¢= ) 2 2 2 z y x + + ， z u ¶ ¶ ( 2 ) ( f z zt t f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ( )= + + ¢ ¶ ¶) ( 2 2 2 2 z y x f x y 4( xyf ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ； 22 xu ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u x ( ) 222 2() xf x y z x ¶¢ ++ ¶ 2( f ¢ = ) 2 2 2 z y x + + 2 4x + ( f ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ．例 8 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续导数．写出 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 y z ¶ ¶ + 在坐标变换2 2 y x u - = ， xy v 2 = 下的表达式．解x z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ x u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ x v ¶ ¶ x 2 = u z ¶ ¶ + y 2 vz¶ ¶ ，2 2 x z ¶ ¶ 2 = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + x v v u z x u u z x 2 2 2 2 22 2 2 z u z v y v u x v x æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø 2 2 24 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 222 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ ．y z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ y u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ y v ¶ ¶ y 2 - = u z ¶ ¶ + x 2 vz¶ ¶ ，2 2 y z ¶ ¶ 2 - = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ - y v v u z y u u z y 2 2 2 2 22 2 2 z u z v x v u y v y æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø u z vz x v u z xy u z y ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 2 4 8 4 222 2 2 2 2．则2 2 x z ¶ ¶ 22 y z ¶ ¶ + 2 2 2 4 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 2 22 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ = ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + u z v z x v u z xy u z y 2 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ + 2 2 2 22 2 ) ( 4 v z u z y x ．例 9 （1）写出函数 ) , ( y x f 9 8 6 2 23 2 2 3 3 + - - - - + = y x xy y x y x 在点 ) 2 , 1 ( 的Taylor 展开式．解= ) 2 , 1 ( f 16 - ， = ) 2 , 1 ( x f 13 - ， = ) 2 , 1 ( y f 6 - ； = ) 2 , 1 ( xx f 10， = ) 2 , 1 ( xy f 12 - ， = ) 2 , 1 ( yy f 8；= ) 2 , 1 ( 3 x f 18， = ) 2 , 1 ( xxy f 4 - ， 4 ) 2 , 1 ( - = xyy f ， 6 ) 2 , 1 ( 3 = y f ．更高阶的导数全为零．因此， ) , ( y x f = + ) 2 , 1 ( f + - ) 1 )( 2 , 1 ( x f x ( 1 , 2 )(2)y f y - + - + 2 ) 1 )( 2 , 1 ( x f xx + - - ) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( 2 y x f xy 2( 1 , 2 )(2) yy f y - 3 3 ( 1 , 2 )(1) x f x +- 3 ) 2 ( ) 1 )( 2 , 1 ( 3 2 + - - + y x f xxy 2) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( - - y x f xyy 3 3 ( 1 , 2 )(2)y f y +- 22 1613(1)6(2)5(1)12(1)(2)4(2)x y x x y y =-----+----+- 3 2 2 3 ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 - + - - - - - - - + y y x y x x ．（2）求函数 ) , ( y x f y x e + = 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式，并写出余项．解x f ¶ ¶ y x e + = ， y f ¶ ¶ yx e + = ，一般地，有 k h k h yx f ¶ ¶ ¶ + y x e + = ，则 1 ) 0 , 0 ( 00 = = ¶ ¶ ¶ + + e yx f kh k h ．因此， ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式为) , ( y x f å = + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = n k kf y y x x k 0 ) 0 , 0 ( ! 1 )! 1 ( 1 + n 1( , )n x y f x y x y q q + æö ¶¶ + ç÷ ¶¶ èø å = + + = nk k y x k 0 ) ( ! 1 )! 1 ( 1 + n yx n e y y x x 1q q + + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ， ) 1 0 ( < <q ．例 10 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） 0 arctan = - + a y a y x ，求 dx dy 和 2 2 dxy d ；解 0 1 1 2 = ¢ - ÷ øöç è æ + + ¢+ a y a y x a y ，即 a y y x a y a ¢ = + + ¢ + 2 2 ) ( ) 1 ( ，即 dx dy 22 ) ( y x a + = ．由 2 2 ) ( y x y a + ¢ = ，再求导 0 ) 1 )( ( 2 ) ( 2 = ¢ + + ¢ + + ¢ ¢ y y x y y x y ，解得 2 ) ( ) 1 )( ( 2 y x y y x y y + ¢ + + ¢ - = ¢ ¢ ，代入 = ¢ y 22)( y x a + ，得 2 2 dx y d 22 23 () () x y a a x y ++ = + ．（2） 0 = -xyz e z，求 x z ¶ ¶ 、 y z ¶ ¶、 2 2 xz ¶ ¶ 和 y x z ¶ ¶ ¶ 2 ；解方程 0 = -xyz e z 两端对x 求导，得 0 = - - x z x xyz yz e z ， x z ¶ ¶ xye yzz - = ；方程 0 = -xyz e z 两端对y 求导，得 0 = - - z z y xyz xz e z ， y z ¶ ¶ xye xzz - = ．0 = - - x z x xyz yz e z 再对x 求导，得 0 2 = - - - - + xx x x zx z xx xyz yz xz z e z e z ，解得2 2 x z ¶ ¶ xy e e z z y x z z zx x - - + + = 2 ) ( 32 2 2 2 ) ( ) ( xy e e z y xy e z y ze zzz z - - - + = ．同理得y x z ¶ ¶ ¶ 2 32 2 2 2 )( ) ( xy e e z x xy e z x ze zzz z - - - + = ．（3） 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f ，求 x z ¶ ¶ 和 yz ¶ ¶．解设 y x u + = ， z y v + = ， x z w + = ，方程 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f 两端对x 求导，得 = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x w w f x v v f x u u f 0 1 = ÷ ø ö ç è æ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ x z w f x z v f u f，解得 x z¶ ¶ w v u w f f f f + + - = ；同理得 y z ¶ ¶ wv v u f f f f + + - = ．例 11 求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） ï î ï í ì = + + = - - . 4 32 ,0 22 2 2 22 a z y x y x z 求 dx dy ， dx dz ， 2 2 dx y d 和 2 2 dx z d ；解方程对x 求导，注意 y 和z 是x 的函数，就有 î íì = ¢ + ¢ + = ¢ - - ¢ . 0 6 4 2 , 0 2 2 z z y y x y yx z *) 解得 dx dy ) 3 1 ( 2 6 z y xz x + + - = ， dx dzzx z y xy 3 1 ) 3 1 ( 2 2 + = + = ．方程 *)在对x 求导，有 ï î ï íì = ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ ¢ + = ¢ - ¢ ¢ - - ¢ ¢ . 0 6 6 4 4 , 0 2 2 2 2 2 2 z z z y y yx y y y z 解得 2 2 dx yd ) 3 1 ( 4 12 6 ) 3 1 ( 4 2 2 z y z z z y x + + ¢ + + ¢ + - = ， 2 2 dxz d ) 3 1 ( 2 6 ) 1 ( 4 4 2 2 z y z y xy y y y + ¢ - - + ¢ + = ；代入 dx dy 和 dxdz的表达式，即得2 2 dx y d 2 22 3 ) 3 1 ( 2 3 ) 3 1 ( 4 ) 6 1 ( 4 ) 3 1 ( 4 12 z y x z y z x z y z x + -+ + - + + - = ， 2 2 dx z d 222 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 1 ( 2 ) 6 )( 1 ( ) 4 (2 1 z x z y xz x y x + - + + + + - = ．（2） î í ì - = + = . ) , (, ) , , ( 2y v x u g v y v x u f u 求 x u ¶ ¶ 和 y v ¶ ¶ ．解设 y v s + = ， x u t - = ， y v r 2 = ，方程对x 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有î íì + = + + = . ) , ( ) , (, ) , , ( ) , , ( ) , , (2 x r x t x x s x x u x r r t g t y v t g v s s x u f s x u f u s x u f u 即î íì + - = + + = . 2 ) , ( ) 1 )( , (, ) , , ( ) , , ( ) , , ( x r x t x x s x x u x yvv r t g u r t g v v s x u f s x u f u s x uf u 解得x u¶ ¶ ), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f r t yvg s x u f t s r u t s r x - - - + - - = ；方程对 y 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有ï îï í ì + + = + + = . ) 2 )( , ( ) , ( , 1) )( , , ( ) , , ( 2 v yvv r t g u r t g v v s x u f u s x u f u y r y t y y s y u y 解得y v ¶ ¶), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( 2 r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f v r t yvg s x u f t s r u r s r s - - - - - -= ．例 12 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续偏导数．在极坐标 q cos r x = ， q sin r y = 变换下，求 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf¶ ¶ 关于极坐标的表达式．解2 2 y x r + = ， xy arctan = q ．所以= ¶ ¶ x f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x f x r r f q q 2 2 2 2 y x y f y x x r f + ¶ ¶ - + ¶ ¶ q qq q ¶ ¶ - ¶ ¶ = f r r f sin cos ， = ¶ ¶ y f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ y f y r r f q q 2 2 2 2 y x x f y x y r f + ¶ ¶ + + ¶ ¶ q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ = f r r f cos sin ； 2 2 x f ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶¶ = q q q f r r f x sin cos r ¶ ¶ = q cos sin cos f f r r q q q ¶¶ æö - ç÷ ¶¶ èø q q ¶ ¶ -r sin sin cos f f r r q q q ¶¶ æö- ç÷¶¶ èør fr f rf r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 22 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 sin sin 2 cos ；类似有22 yf ¶ ¶ r f r f r f r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin 2 cos sin 2 sin ．于是得 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf ¶ ¶ = r fr f r r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 1 2 2 2 2 2 q ．例 13 证明：通过线性变换 y x u l + = ， y x v m + = ，可以北将方程A 2 2 x f ¶ ¶B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf，( 0 2 < - B AC )化简为 0 2 = ¶ ¶ ¶ v u f．并说明此时l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根．证由 y x u l + = 和 y x v m + = 得x f ¶ ¶ v f u f ¶ ¶ + ¶ ¶ = ， y u ¶ ¶ vfu f ¶ ¶ + ¶ ¶ = m l ． 2 2 x f ¶ ¶ + ¶ ¶ = 2 2 u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 2 v f ¶ ¶ ， 2 2 y f ¶ ¶ lm l 2 2 2 2 + ¶ ¶ = u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 222 v f ¶ ¶ m ， = ¶ ¶ ¶ v u f 2 ) ( 2 2 m l l + + ¶ ¶ u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 22 vf ¶ ¶ m ．代入A 2 2 x f ¶ ¶ B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2 C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf ，化简得) 2 ( 2l l C B A + + 2 2 u f ¶ ¶ + ) 2 ( 2 m m C B A + + 2 2 vf ¶ ¶] 2 ) ( 2 2 [ lm m l C B A + + + + 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．可见，当且仅当l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根时，方程就化成 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．例 14 求椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 的平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面．解所求切平面的法向量为 ) 6 , 4 , 2 ( z y x ，应有 56 3 4 1 2 z y x = = k 令== ，就有 2 k x = ， k y 4 3 = ， k z 6 5 = ，代入方程 498 3 2 2 2 2 = + + z y x ，有 498 2483 2 = k ，得12 ± = k ．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 和N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的切平面与平面 7 5 3 = + + z y x 平行．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = - + + z y x ；在点N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( - - - ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = + - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = + + + z y x ．综上，椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 上，平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面有两块，它们是 0 83 5 3 = ± + + z y x ．例15 证明曲面 a z y x = + + ) 0 ( > a 上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a ．证设M ) , , ( 0 0 0 z y x 为曲面 a z y x = + + 上任的一点，曲面在该点的切面为0 2 2 2 00 00 00 = - + - + - z z z y y y x x x ，即0 ) ( 0 0 0 0 00 = + + - + + z y x z z y y x x ，亦即0 0 0 0 = - + + a z z y y x x ．化为截距式即为 1 0 0 0= + + az zay y ax x ．可见在各坐标轴上的截距之和为a az ay ax = + + 0 0 0 = + + ) ( 0 0 0 z y x a ．例 16 在 ] 1 , 0 [ 上用怎样的直线 b ax + = x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分 = ) , ( b a J ò - 10 2 ) ( dx y x 为极小意义下的最佳近似．解 = ) , ( b a J = - - ò 10 22) ( dx b ax x 51 32 23 2 2 + - - + + b a ab b a ．现求其中极小值．ï ï îï ï íì- + = - + = .3 2 2 ,2 1 3 2 a b J b a J b a 解得有唯一驻点M ÷ ø ö ç èæ- 6 1 , 1 ．0 3 1 1 2 3 2 | ) ( > = - ´ = - M ab bb aa J J J ，又 0 32| > = Maa J ，因此， ) , ( b a J 在点 M ÷ ø ö ç è æ- 6 1 , 1 取极小值．因为 ) , ( b a J 在R 2 中仅有唯一的极小值，可见该极小值还是最小值．因此，在 ] 1 , 0 [ 上用直线 61- = x x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分为极小的意义下是最佳的近似．例 17 要做一圆柱形帐篷，并给它加一个圆锥形的顶．问在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H 及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？解设体积为定值V ，则 ÷ ø ö ç èæ+ = h H R V 3 1 2 p ，得 h R V H 3 1 2 - = p ．帐篷的全面积为2 2 2 2 322 2 ) , ( h R R Rh R V h R R RH h R S + + - =+ + = p p p p ， 0 > R ， 0 > H ． R S 0 3 2 2 2 2 2 22 2 = + + + + - - = hR R h R h R V p p p ，(*)0 3 2 2 2 = + + - = hR RhR S h p p ．(**)由(**)式的得 h h R 232 2 = + ，代入(*)式，有R S 0 6 4 5 12 242 2 = + + - = h R R h R Vh p p ，由 0 6 2 > h R ，应有 0 12 5 4 2 2 2 = - + Vh h R R p p ．这就是驻点出应满足的关系式．由于该问题在于有最小值，这也是帐篷的全面积 ) , ( h R S 取最小值时，圆柱的半径R 与圆锥的高h 所应满足的关系式．例 18 抛物面 2 2 y x z + = 被平面 1 = + + z y x 截成一椭圆．求原点到这个椭圆的最长距离与最短距离．解这是求函数 2 2 2 ) , , ( z y x z y x d + + = 在约束条件 0 2 2 = - - y x z 与0 1= - + + z y x 之下的条件极值问题．构造 Lagrange 函数= ) , , , , ( m l z y x L l - + + 2 2 2 z y x m + - - ) ( 2 2 y x z ) 1 ( - + + z y x ．(5) . 0 1 (4) , 0 (3) , 0 2) 2 ( , 0 2 2 ) 1 ( , 0 2 2 2 2 ï ï ï î ïï ïí ì = - + + = = - + = = + - = = + + = = + + = z y x Lz y x L z L y y Lx x L z y x m l m l m l m l 由（1）和（2）有 0 ) 1 )( ( 2 = + - l y x ，由于 1 - ¹ l (否则由（1）得 0 = m ，据（3）得 2 1 - = z ，代入（4），导致 0 212 2 = + + y x 无解)，得 y x = ．把 y x = 代入（4）和（5），解得 2 3 1 2 , 1 ± - =x ， 231 2, 1 ± - = y ， 3 2 2 1 m = - = x z ．即得两个驻点A ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 和B ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 ．而该问题必有最大值和最小值，因此，点A 和B 就是最大和最小值点．由于d ÷ ÷ ø öç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9- = ； d ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9+ = ．可见点A 和B 分别是最小和最大值点．即原点到这个椭圆的最长距离为 3 5 9+ ，最短距离为 3 5 9- ．例 19 求椭圆 12 3 2 2 = + y x 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大．解所指内接等腰三角形的一半(如图) 是 ABC D ，设C 的坐标为(,) x y ，则三角(0,2)A yx(0,)B y o(,)C x y形 ABC D 面积为 ) 2 ( y x - 之半，于是所求内接等腰三角形的面积为 ) 2 ( y x - ．问题是求函数 ) 2 ( ) , ( y x y x S - = 在约束条件 12 3 2 2 = + y x 之下的条件极值．设Lagrange 函数为) 12 3 ( ) 2 ( ) , , ( 2 2 - + + - = y x y x y x L l l ，( 0 > x ， 2 2 < < - y )，则ï î ïí ì = - + = = + -= = + - = (3) . 0 12 3 (2) , 0 6 ) 1 ( , 0 22 2 2 y x L y x L x y L y x ll l 从方程（1）和（2）中消去l ，得 y y x 6 3 2 2 - = ，代入（3），得 0 2 2 = - - y y ，解得 231± = y ． 2 = y 时， 0 ) 2 , ( = x S ．因此，得唯一的驻点 ) 1 , 3 ( - ．该问题有最大值，当底边右端点的坐标为 ) 1 , 3 ( - 时，所得内接等腰三角形的面积最大．。

多元函数的微分学：复合函数的求导法则

课程小结
本讲介绍了复合函数的的求导法则---中间变量为一元函数的形式，在计算的过程中，先画函数结构图，根据结构图写出全导公式，最后结果改写成自变量的函数.
思考题
设 z f (e3t ,t 2 ) ，f 具有一阶连续偏导数，求 dz .
dt
THANKS
谢谢观看
4e2t
典型例题讲解
例3
设
z
uv
Байду номын сангаас
sin
t，u
et，v
cost，求全导数
dz dt
.
分析: 依题意，先画出函数结构图，根据图形写出公式
解
z
u
dz z du z dv f
t v解：dt u dt v dt t
vet u sin t cost
v
et (cos t sin t) cos t
2e2u3v 2t 3e2u3v cost
e2t23sint 4t 3cost
典型例题讲解
例2 已知函数 u x2 y2 z2，x et cost，y et sin t，z et，求 du .
dt
分析：依题意，先画出函数结构图，根据图形写出公式
解
x
u
y
t
z
du u dx u dy u dz 解： dt x dt y dt z dt
u
z
t
dz z du z dv dt u dt v dt
v
注：（1）公式中的导数 dz 称为全导数．
dt
（2）上述公式可以推广到多个中间变量的情形．这个
法则也称为链式求导法则．
求导法则
以下总假定所遇到的一元函数具有连续的导数，多元函数具有连续的

多元函数微分学例题

(i) 当A = −2a > 0, 即 a < 0时, f (x, y)有极小值;
(ii) 当 a > 0时, f (x, y)有极大值.
例9. 设 f ( x, y) = 3 x + 4 y − ax2 − 2ay2 − 2bxy, 试问参数 a, b满足什么条件时, f (x, y)有唯一极大值? f (x, y)有唯
m
xi
i =1
⎞⎟⎠dx = −
0 −1
⎛⎜⎝
1− xn 1− x
⋅
x(1 − 1−
xm x
) ⎞⎟⎠ dx
∫0
=− −1
x(1
− xn )(1 − (1 − x)2
xm
)
dx
∑∑ 例1. 求lim m→+∞ n→+∞
m i =1
n j =1
(−1)i+ i+ j
Байду номын сангаас
j
.
∑∑ ∫ Sm,n
=
m i =1
n (−1)i+ j j=1 i + j
=−
0 −1
x(1
− xn )(1 − (1 − x)2
xm
)
dx
∫ ∫ ∫ 0
=− −1
x (1 − x)2
dx
+
0 −1
x m+1 (1 − x)2
dx
+
0 −1
x
n+1 − (1 −
x n+m+1 x)2
dx
∫ 对于 lim l →+∞
0 −1
(1
x −
y x

第六章多元函数典型例题

z z 13 设z z ( x, y )是由方程F ( x z, y z ) 0确定，试求 , . x y 解：解法一方程两边分别对 x和y求偏导，并注意 z是x, y的函数.
若设u x z, v y z , 则有F (u, v) 0, 函数的结构为
u F v z y y
(2) z (1 xy) y
z 解： y (1 xy) y 1 y y 2 (1 xy) y 1 , x z y ln(1 xy) (e ) y y x y ln(1 xy ) e [ln( 1 xy) y ] 1 xy xy y (1 xy) [ln( 1 xy) ] 1 xy
x
x
z z z z Fu (1 ) Fv 0, Fu ( ) Fv(1 ) 0, x x y y Fu Fv z z 解得 , . x Fu Fv y Fu Fv
解法二利用隐函数的微分法 . 若设u x z , v y z , 则有F (u , v ) 0.
2 2 2z z z 2 2 12 x 2 , 2 , 12 y 2. 2 2 xy x y
(3) 判断在驻点(1,1)处， B 2 AC 4 100 96 0, 且A 0, 所以z在点(1,1)和(1,1)处取得极小值 z 2. 在驻点(0,0) 处， B 2 AC 4 4 0. 这时不能判断点 (0,0)是否为极值点，为此考察函数在点 (0,0) 附近的变化情况：在点 (0,0)的足够小邻域内，沿直线y x有 z ( x, x) 2 x 4 z (0,0) 0;而沿直线y x有z ( x, x) 2 x 4 4 x 2 2 x 2 ( x 2 2) z (0,0) 0,由此可见，点 (0,0)不是函数的极值点，即z (0,0) 0不是函数的极值 .

导数中的多元(二元)问题四种方法及答案

导数中的多元(二元)问题四种方法及答案导数中的“二元问题”摘要：在多元问题中，二元问题是导数中的热点。

本文将主要介绍四种解决二元问题的方法：换元法、消元法、主元法和构造函数法。

通过一题多解，充分阐释各种方法之间的内部联系。

这四种方法可以基本解决几乎所有二元问题。

另一类“二元问题”将在下一篇文章《极值点偏移》中详细解答。

关键词：二元问题、主元法、换元法、消元法、构造函数一、构造函数法例1：若 $x_1<x_2<1$，则下列说法正确的是（）A．$e^{2-e_1}>lnx_2-lnx_1$B．$e^{2-e_1}<lnx_2-lnx_1$C．$x_2e_1>x_1e_2$D．$x_2e_1<x_1e_2$解：考察选项A，等价于 $e^2-lnx_2>lnx_1-e_1$，可以构造函数 $f(x)=e^x-lnx$，$x\in(0,1)$。

因为 $f'(x)=e^{-x}-\frac{1}{x^2}$ 在 $x\in(0,1)$ 上有穿越式零点，所以 $f(x)$ 在$(0,1)$ 上不单调。

同理，选项B也不正确。

考察选项C，等价于 $x_2e_1>x_1e_2$，可以构造函数$g(x)=\frac{x}{e^x}$，$x\in(0,1)$。

原不等式等价于$g(x_1)>g(x_2)$，即 $g(x)$ 单调递减。

因为 $g'(x)=\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}}<0$，故选项C正确，选项D错误。

小结：构造新函数的一般步骤：分离变量$\to$构造相同结构$\to$构造新函数$\to$利用函数的单调性解决问题。

在例1的$(*)$式中也可以构造新函数，但是却解决不了问题，请问为什么？练1：1、函数 $f(x)=\ln x+\frac{k}{x-1}$，对任意的$x_1>x_2$，都有 $f(x_1)-f(x_2)<x_1-x_2$ 恒成立，求 $k$ 的范围。

多元函数微分法及其应用(全例题)

162 多元函数微分法及其应用（全例题）一、内容提要多元函数微分法是一元函数微分法的推广,有许多相似之处,学习时应注意对比,搞清异同. 1．基本概念与定理设函数)(P f U =，点P 可以是n ,,3,2,1 维的.当2≥n 时,称此函数为多元函数. ① 二元函数),(y x f z =在几何上表示空间一张曲面.② 二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的极限、连续、偏导数、全微分的定义及关系. 极限 A y x f yy x x =→→),(l i m 0：当,0,0>∃>∀δε 成立时，有 |),(| )()(02020εδρ<-<-+-=<A y x f y y x x注意定义中的),(y x 是以任意方式趋于点),(00y x .连续 ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→偏导数);(,),(),(lim),(000000000y y xy x f y x x f y x f xzx x P =∆-∆+==∂∂→∆固定)(,),(),(lim),(000000000x x yy x f y y x f y x f yzy y P =∆-∆+==∂∂→∆固定高阶偏导数一阶偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数,称为函数),(y x f 的二阶偏导数.⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂x z x y x f x zxx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂x z y y x f y x z xy),(2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂y z y y x f y zyy ),(22,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂y z x y x f x y z yx ),(2. 类似,可定义三阶以上的偏导数.可微若全增量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，则称),(y x f z =在点),(000y x P 可微.而y B x A ∆+∆为函数),(y x f z =在点),(000y x P 的全微分,记作y B x A z d y x∆+∆=),(00定理1 若函数),(y x f z =的二阶混合偏导数),(y x f xy 及),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内),(y x f xy ),(y x f yx =.定理2 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微, 则必在该点连续.定理3 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微,则该函数在点),(y x 的两个一阶偏导数存在.定理4 若函数),(y x f z =在点),(y x 有一阶连续偏导数,则函数在该点可微. 且dy y x f dx y x f dz y x ),(+),(=2．多元函数的求导运算多元复合函数求导① ).,(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===若则偏导数为:;xvv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂163② ).(),(),,(t y t x y x f z ψϕ===若则全导数为:.dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= ③ ).,(),,(),,,,(y x v y x u v u y x f z ψϕ===若则偏导数为 x v v f x u u f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂; .yvv f y u u f y f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ 注意,x f x z ∂∂∂∂与yfy z ∂∂∂∂与的区别. )],(),,(,,[ y x y x y x f z x zψϕ=∂∂是在复合函数中视 y 为常量，对x 求导. ),,,( v u y x f z x f=∂∂是在四元函数中视y,u,v 为常量，对x 求导. )],(),,(,,[ y x y x y x f z y zψϕ=∂∂是在复合函数中视 x 为常量，对y 求导. ),,,( v u y x f z yf=∂∂是在四元函数中视x,u,v 为常量，对y 求导. 隐函数求导① ),(0),,(y x z z z y x F ==确定的隐函数由方程满足隐函数定理的条件,则;z x F F x z -=∂∂ .zy F F y z-=∂∂ ② ),(),( 0),,(0),,(x y y x z z z y x G z y x F ==⎩⎨⎧==确定的隐函数由方程组则方程两边分别对x 求导,得到关于dxdzdx dy ,的方程组,解出即可. 3．应用 (1) 几何应用①空间曲线处的点在对应),,( )()()(:0000z y x M t t z t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧===Γωψϕ的切线与法平面方程. 切向量为 )}(),(),({000t t t ωψϕ'''= 切线方程)(00t x x ϕ'-)(00t y y ψ'-=)(00t z z ω'-= 法平面方程 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ ②空间曲面处上点),,(0),,(:000z y x M z y x F =∑的切平面与法线方程. 法向量为 ),,({000z y x F x =),,(,000z y x F y )},,(,000z y x F z切平面方程 0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程),,(0000z y x F x x x -),,(0000z y x F y y y -=),,(0000z y x F z z z -=对于曲面0),(),,( ),,(=-==z y x f z y x F y x f z 可表示为. (2) 函数极值定理6 (必要条件) 设函数),(),(00y x M y x f z 在点=有偏导数并取得极值，则164 ,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y定理7（充分条件）设函数),(),(00y x M y x f z 在点=某邻域内连续并有一阶及二阶连续偏导数，且,0),(00=y x f x .0),(,00=y x f y 记,),(00A y x f xx =,),(00B y x f xy =,),(00C y x f yy = 则当02>-B AC 时，有极值，且⎩⎨⎧><有极小值有极大值,0,0A A ；当02<-B AC 时，无极值；当02=-B AC 时，情况不定. 多元函数的条件极值求函数),,(z y x f u =在满足条件:0),,(,0),,(==z y x z y x ψϕ下的条件极值. 构造拉格朗日函数),,(),,(),,(),,(z y x z y x z y x f z y x F μψλϕ++= 解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====0),,(0),,(0),,(0),,(0),,(z y x z y x z y x F z y x F z y x F z y x ψϕ 得可能极值点(x,y,z ).再进一步讨论极值点的充分性.许多情况下可借助于问题的实际意义来判定.二、例题解析1. 多元函数的基本概念例8.1求下列各函数的定义域（1） z=y x -; （2） z=ln )(x y -+221yx x --;（3） 22arccosyx z u +=分析二元函数的定义域一般是平面区域，三元函数的定义域一般是空间区域.这些点集可用使函数有定义的自变量所应满足的不等式或不等式组表示.解 (1) 0≥y 且 0≥-y x ,即 y x ≥，得 D=(){}y x y y x ≥≥,0|,（2）⎪⎩⎪⎨⎧>--≥>-010,022y x x x y得 {}1,,0|),(22<+>≥=y x x y x y x D .（3） 022≠+y x 且22yx z +1≤得 {}0,|),,(22222≠++≤=y x y x z z y x D例8.2 设⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x f ,=22y x -,求),(y x f .解（方法一）令,u y x =+xy =v ,则有 x =v u +1,v uv y +=1165由原式 f⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x ,=22y x - 知 ()v u f ,=21⎪⎭⎫ ⎝⎛+v u 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+-v uv =v v u +-1)1(2 故 ),(y x f =yy x +-1)1(2 (y 1-≠)（方法二）因⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x f ,=22y x -=))((y x y x -+=yx yx y x +-+.)(2=()x y x y y x +-+112故 ),(y x f =yyx +-⋅112. (1-≠y ) 例8.3 求下列各极限:（1） 10lim→→y x 221y x xy +- ；（2） xyxy y x 42lim0+-→→ ；（3） yxy y x sin lim 02→→ ；（4） 22)()cos(1lim 222200y x y x ey x y x ++-→→.分析求多元函数的极限可利用多元函数的连续性及一元函数求极限的一些方法.解（1）用函数的连续性.10lim →→y x 221y x xy +-=1001+-=1 . （2）用一元函数求极限的方法(分子有理化).xyxy y x 42lim+-→→=)42()4(4lim0+++-→→xy xy xy y x =421lim0++-→→xy y x =41-. (3) 用一元函数的重要极限.yxy y x sin lim 02→→=221sin lim 02=⋅=⋅→→x xy xyy x .(4)()()=++-→→22222200cos 1limyxy x e y xy x 22422sin2lim 2222222200y x y x e y x y x y x +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→.0021=⋅= 例8.4 证明极限 ()222220limy x y x y x y x -+→→不存在.分析因为二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 00存在，是指),(y x P 以任意方式趋于),(000y x P 时，函数都无限接近某常数A .所以，证明极限不存在，只要P 以某一特殊方式趋于0P 时，函数不趋于某一确定值;或以两种不同方式趋于0P 时，函数趋于不同的值，便可断定函数的极限不存在.证（方法一）若点),(y x P 沿直线x y =趋于()0,0，则()1limlim440222220==-+→=→xx y x y x y x x xy x ；若点),(y x P 沿直线x y 2=趋于)0,0(，则.044lim)(lim24402222220=+=-+→=→xx x y x y x y x x xy x 所以极限不存在.166 （方法二）若点),(y x P 沿直线kx y =趋于()0,0，则22424222220)1(lim)(lim2x k x k x k y x y x y x x kxy x -+=-+→=→22220)1(lim2k x k x k x -+=→⎩⎨⎧≠==1,01,1k k 所以极限不存在. 例8.5 设=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0,00,222222y x y x y x xy证明),(y x f 在)0,0( 处不连续，但两个一阶偏导数存在.证 0)0,0(=f ，当()y x ,沿直线kx y =趋于)0,0(时2222201lim),(lim kk xk x kx y x f x kxy x +=+=→=→当k 取不同值时，极限值不同.故),(lim 00y x f y x →→不存在.所以),(y x f 在)0,0(处不连续.但根据偏导数的定义知000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x ；000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f y y y . 所以),(y x f 在)0,0(处两个一阶偏导数存在.本例说明，对于多元函数，偏导数存在未必连续.例8.6 证明：函数22y x z +=在)0,0(处连续，但两个一阶偏导数不存在.证因)0,0(在),(y x f 的定义域内，所以),(y x f 在)0,0(处连续. 又因||)0,(2x x x f ==在0=x 处不可导，所以)0,0('x f 不存在；同样||),0(2y y y f ==在0=y 处不可导，所以)0,0('y f 不存在.例8.7 设||),(xy y x f z ==,证明),(y x f 在)0,0(处一阶偏导数存在，但不可微. 分析要证函数),(y x f 在)0,0(处是否可微,只须检验极限:[]ρρyf x f z y x ∆+∆-∆→)0,0()0,0(lim''0是否为0，其中22)()(y x ∆+∆=ρ. 若极限为0,则函数),(y x f 在)0,0(处可微,否则不可微.证因,0),0(,0)0,(==y f x f 由定义知0)0,0(,0)0,0(''==y x f f 但 ()()[]()()2222''||||0,00,0y x y x yx y x yf x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=∆+∆-∆ρ当())0,0(,→∆∆y x 时，上式极限不存在.(取路径x k y ∆=∆) 因此，),(y x f 在)0,0(处不可微. 2. 多元函数微分法例8.8 求下列函数的偏导数（1）()y xy z +=1;（2） zy x u =;（3） z y x u )arctan(-=.分析多元函数对其中一个变量求偏导时，只需将其余变量视为常量，利用一元函数的求导公式或求导法则求导即可.解（1） .)1(.)1(121--+=+=∂∂y y xy y y xy y xz()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∂∂=∂∂++xy x y xy e e y y z xy y xy y 1.)1ln(1ln 1ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln()1(167（2） ,1-=∂∂z y x z y x u ,ln 11ln x x zz x x y u z yz y =⋅⋅=∂∂ .ln ln 22x x z y z y x x z u z yz y -=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=∂∂(3) ()()z z y x y x z x u 211-+-=∂∂-; ()()zz y x y x z y u 211-+--=∂∂-; ()()()z zy x y x y x z u 21ln -+--=∂∂. 例8.9 设,arcsin)1(),(yxy x y x f -+=求).1,(x f x 分析本题是求函数),(y x f 在点)1,(x 处关于x 的偏导数，由定义知,固定,1=y x x f =)1,(,再对x 求导即可.解因x x f =)1,(，所以 .1)1,(=x f x例8.10 (1)设xy z =，求 22x z ∂∂；22yz∂∂；y x z∂∂∂2.(2)设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数,求y x z ∂∂∂2.(98年考研题)解 (1),ln y y xzx =∂∂ .1-⋅=∂∂x y x y z y y x z x x z x 222ln ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂, ()2221--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x y x x y z y y z ； ().1ln 1ln 112+=⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂--y x y y y y xy x z y y x z x x x (2) x z ∂∂),()()(12y x y xy f x y xy f x+'+'+-=ϕ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂x z y y x z 2 )()()()(1)(2y x y y x xy f x x y xy f x xy f xx +''++'+''+'+'-=ϕϕ).()()(y x y y x xy f y +''++'+''=ϕϕ例8.11 求下列函数的全微分: （1） ;22y x y z +=（2） yz x u =.解 (1) 因为()();22123222322yxxyyxxy x z +-=+⋅⋅-=∂∂168 ().2223222222222yxx y x y x y y y x yz+=++⋅-+=∂∂所以 ()()2322y x xdy ydx x dy y zdx x z dz ++-=∂∂+∂∂=. )2(因为 1-⋅=∂∂yz x yz x u ；z x x yu yz ⋅⋅=∂∂ln ；y x x z uyz ⋅⋅=∂∂ln 所以 dz zu dy yu dx xu du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln 1xdz x y xdy x z dx x yz yz yz yz ⋅+⋅+⋅=-3 多元复合函数求导例8.12 求下列函数的偏导数或全导数.(1) ,ln 2v u z = ,yxu = ,23y x v -= 求 x z ∂∂；.y z ∂∂ (2) ),arcsin(y x z -= ,3t x = ,43t y =求 .dt dz分析多元复合函数求导时，先画出复合线路图，再按图写出求导公式.这种方法对复杂的复合情形尤为有利.解（1）x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u)23ln(22y x y x -=)2(ln 222-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂v u y x v u y vv z y u u z y z 3ln(232x y x --= ()2dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--=.)43(1)41(3232t t t ---=例8.13 设f 具有一阶连续偏导，),,(22xy e y x f u -=求xu∂∂；.y u ∂∂ 说明抽象函数求偏导时一定要设中间变量.解令.,22xy e t y x s =-=则),(t s f u =y e tf x s fx t t f x s s f x u xy ⋅⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2 .2'2'1f ye xf xy += x e tf y s f y t t f y s s f y u xy ⋅⋅∂∂+-⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2( .2'2'1f xe yf xy +-= 例8.14 设f 具有二阶连续偏导数，,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x xy f z 求.,,22222y z y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂分析求多元函数的高阶偏导数，关键在于牢记多元复合函数的各阶偏导数仍是与原来函数同类型的函数，即以原中间变量为中间变量，原自变量为自变量的多元复合函数.高阶偏导数可采用简便记法，如'2'1,f f 分别表示f 对第一、第二中间变量的偏导数，"12f 表示f 先对第一、再对第二中间变量的二阶混合偏导数.当高阶偏导数连续时，应将混合偏导数并项.解令 ,,yxv xy u ==则).,(v u f z =.1'2'1yf y f x v v f x u u f x z ⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂169.2'2'1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂y x f x f yv v f y u u f y z x f y x f y f y f y x x z∂∂⋅+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂'2'1'2'12211 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅=x v v f x u u f y x v v f x u u f y '2'2'1'11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅=y f y f y y f y f y 111"22"21"12"11 .12"222"12"112f y f f y ++= y f y f y y f y f f y f y y y x z ∂∂+-∂∂⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂∂'2'22'1'1'2'12111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅+=y v v f y u u f y f y y v v f y u u f y f '2'2'22'1'1'111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅⋅+=2"22"21'222"12"11'111y x f x f y f y y x f x f y f .1"223"11'22'1f y x xyf f y f -+-= y f y x f y x y f x f y x f x y y z∂∂⋅-⋅+∂∂⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅∂∂=∂∂'22'23'1'22'1222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅=y v v f y u u f y x f y x y v v f y u u f x '2'22'23'1'12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅="222"212'23"122"112f y x x f y x f y x f y x x f x .22'23"2242"1222"112f y x f y x f y x f x ⋅+⋅+⋅-⋅= 常见错解 ,01'2'122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂f y f y x x z.11'22'1'2'12f y f f y f y y y x z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂∂ .2'23'22'122f y x f y x f x y y z ⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅∂∂=∂∂ 错误的原因是把'2'1,f f 误认为常量. 例8.15 设,),,,(yxe u y x u f z ==其中f具有二阶连续偏导，求.2yx z∂∂∂ 分析对抽象的多元复合函数求二阶偏导,首先要搞清楚函数的结构.解 '2'1f e f xf x u u f x z y +⋅=∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)('2'12f e f yy x z y +⋅∂∂=∂∂∂y f y f e f e y y ∂∂+∂∂⋅+⋅='2'1'1)()("23"21"13"11'1f xe f f xe f e f e y y y y +⋅++⋅⋅+⋅=."23"21"13"112'1f f xe f e f xe f e y y y y +⋅+⋅+⋅+⋅=4 隐函数求导对隐函数求导时，首先要根据题目中要求对哪些变量求导，确定哪些是自变量,哪些变量函数.例8.16 设),cos(2yz x x +=求.zy∂∂分析由题目要求知，方程确定隐函数),(z x y y =，即y 是z x ,的函数. 解（方法一）(两边求导法) 方程两边对z 求偏导，得170 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+⋅+-=z y z y yz x )sin(02 所以 .zy z y -=∂∂ （方法二）(公式法) 设F 0)cos(),,(2=-+=x yz x z y x . .)sin( ,)sin(22y yz x F z yz x F z y ⋅+-=⋅+-= 所以.zyF F z y y z -=-=∂∂ 例8.17 设,ln y z z x =求.,yzx z ∂∂∂∂ 解（方法一）设.ln ),,(yzz x z y x F -=则 ,1 ,12yy z z y F z F y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-== .122z z x z z x F z +-=--=所以 .12z x z zz x z F F x z zx +=+--=-=∂∂ .)(122z x y z z z x y F F y z z y +=+--=-=∂∂ （方法二）等式两边对x 求偏导，得,2y x zz y z x z x z ∂∂⋅=∂∂⋅- 得 ,z x z x z +=∂∂等式两边对y 求偏导，得,22yzy yzz y y z z x -⋅∂∂⋅=∂∂⋅-得.)(2z x y z y z +=∂∂ （方法三）原方程化为)ln (y nz z x -=，令 )ln (ln ),,(y z z x z y x F --=. 则.11ln 111ln 1z x zz x y z y z F F x zzx +=+=+=---=-=∂∂ .)(ln11ln 2z x y z y z y zy z y z F F y z z y +=+=---=-=∂∂注用隐函数求导公式求x F 时，要视z y ,为常数，同样求z y F F ,时,要分别把z x ,及y x ,看成常数.而在等式两边对x 或y 求偏导时(方法二)，应视z 为y x ,的函数，不能把z 看成常数.例8.18 设333a xyz z =-，求yx z ∂∂∂2.分析求隐函数的高阶偏数，一般都用隐函数求导公式求一阶偏导数，再用复合函数求导法求二阶及二阶以上的偏导数.解设(),3,,33a xyz z z y x F --=则有 ,3yz F x -= xz F y 3-=， xy z F z 332-=.xy z yz xy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333 .2xy z xzF F y z zy -=-=∂∂171()22222)(2xy z x y z z yz xy z y z y z xy z yz y y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂ ()22222)(2xy z x xy z xz z yz xy z xy z xz y z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+= 322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 例8.19 设),(),,(),,(y x z z z x y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，证明：.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x 证因,x y F F y x -=∂∂ ,y z F F z y -=∂∂ .z x F F x z -=∂∂所以 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F x z z y y x 注偏导数yxz y x z ∂∂∂∂∂∂,,均是一个整体记号，不能看作分子与分母之商.例8.20 设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由方程0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满足方程.c yzb x z a=∂∂+∂∂ 分析将Φ看成以z y x ,,为自变量的复合函数，中间变量为,,bz cy v az cx u -=-=由复合函数求导法则求出;,,z y x ΦΦΦ再由隐函数求导公式求出.,yzx z ∂∂∂∂解 . , ,0),(bz cy v az cx u v u -=-==Φ;;'2'1Φ⋅=∂∂⋅∂Φ∂=ΦΦ⋅=∂∂⋅∂Φ∂=Φc y v v c xu u y x'2'1Φ-Φ-=∂∂⋅∂Φ∂+∂∂⋅∂Φ∂=Φb a zv v z u u z'2'1'1'2'1'1Φ+ΦΦ=Φ-Φ-Φ-=ΦΦ-=∂∂b a c b a c x zz x .'2'1'2Φ+ΦΦ=ΦΦ-=∂∂b a c y zz y 所以 .'2'1'2'1c b a bc ac y z b x z a =Φ+ΦΦ+Φ=∂∂+∂∂ 例8.21 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.(1) 设⎪⎩⎪⎨⎧=+++=203222222z y x yx z 求 .,dx dz dx dy(2) 设⎩⎨⎧=+=0),,()(z y x F y x xf z ,其中F f ,分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 .dx dz（3）设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u 其中g f ,具有一阶连续偏导数，172 求.,xv x u ∂∂∂∂ 分析由三个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个一元函数,即其中两个变量是第三个变量的一元函数,如(1)、（2）, dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组完成. 由四个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个二元函数,即其中两个变量确定为另两个变量的二元函数,如(3), x v x u ∂∂∂∂,可通过解关于xvx u ∂∂∂∂,的线性方程组完成. 解（1）此方程组可确定两个一元隐函数),(x y y =)(x z z =.方程两边对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+⋅+⋅+=064222dx dz z dx dy y x dxdy y x dx dz 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-x dx dz z dx dy y x dx dzdx dy y 3222 在0263212≠+=-=y yz zy y J 条件下，有()();132162663121++-=+--=---=z y z x y yz x xz z x x J dx dy .132622221+=+=--=z xy yz xy x y x y J dx dz （2）方程两边对x 求导,z y ,为x 的一元函数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++'++=0)1(dx dz F dx dy F F f dxdy x f dx dzz y x 整理得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+'+=+'-x z y F dxdzF dxdy F f x f dxdzf dx dy x解得 )0(,)(≠'+'+'-'+=z y z y x y F f x F Ff x F Ff x F f x f dx dz （3）此方程组确定两个二元函数：),,(y x u u = ).,(y x v v = 方程两边对x 求偏导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂∂⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=∂∂.21'2'1'2'1x v vy g x u g x v x v f x u x u f x u 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-+∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂-'1'2'1'1'2'1)12()1(g x v vyg x u g uf xv f x u xf 在 0)12)(1(121'1'2'2'1'2'1'2'1≠⋅---=--=g f yvg xf yvg g f xf J 条件下， ;)12)(1()12(121'1'2'2'1'1'2'2'1'2'1'2'1g f yvg xf g f yvg uf yvg g f uf J x u ⋅---⋅---=--=∂∂ ()()()'1'2'2'1'1'1'1'1'1'1'1121111g f yvg xf uf xf g g g uf xf J x v ⋅----+=--=∂∂ 5 微分法的应用例8.22 求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在点⎪⎭⎫⎝⎛-22,1,12π处的切线及法平面方程.173解该点对应参数,20π=t切向量为 {}{}2,1,1)(),(),(0'0'0'==→t z t y t x T 所求切线方程为 22211112-=-=+-z y x π法平面方程为 0)22(2)1(12=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-z y x π即 .422+=++πz y x 例8.23 求曲线32,,t z t y t x ===上的点，使在该点的切线平行于平面 .42=++z y x解曲线的切向量为 {},3,2,12t t T =→平面42=++z y x 的法向量为 {}.1,2,1=→n 由题意知→→⊥n T ,即.0=⋅→→n T 亦即,03412=++t t 得 ,31,121-=-=t t 则所求点坐标为 )1,1,1(--和.271,91,31⎪⎭⎫⎝⎛--例8.24(1)求曲面2132222=++z y x 在点)2,2,1(-的法线方程；（2）求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.（1）解设,02132),,(222=-++=z y x z y x F 则,2)2,2,1(=-x F ,8)2,2,1(-=-y F ,12)2,2,1(=-z F 故所求的法线方程为624211-=-+=-z y x （2）分析根据已知条件，先求出切点坐标.解设,012),,(222=-++=z y x z y x F 法向量为 {}z y x n 2,4,2=→已知平面的法向量为{},2,1,11-=→n 由已知条件知 221412zy x =-= 即z y z x 41,21-==，将其代入椭球面方程.01422222=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z 得,1122±=z 于是切点为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1122,11221,1121M ，，，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1122112211122M 切平面方程为 02112=-+-z y x 和.02112=++-z y x 例8.25 在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出这法线的方程.解令().0,,=-=z xy z y x F 法向量为{}.1,,-=→x y n 已知平面法向量为{},1,3,11=→n 由题意知，→n ∥→1n ，即 1131-==x y .3,1,3=-=-=∴z y x 即所求点为)3,1,3(--，法线方程为 .133113-=+=+z y x 例8.26 试证曲面 a z y x =++ (0>a )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证 ,0),,(=-++=a z y x z y x F 则法向量为 .21,21,21⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→z y x n曲面上任一点),,(000z y x M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x174 即a z y x z z y y x x =++=++0000,化为截距式得，10=++az z ay y ax x所以，截距之和为.000a a a az ay ax =⋅=++例8.27求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点()2,1,5到点)14,4,9(的方向的方向导数. 解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l .131691234||222==++=→l1312cos ,133cos ,134cos ===γβα1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以. ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 例8.29 求函数())4)(6(,22y y x x y x f --=的极值.解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--==--=0)24)(6(0)4)(26(2'2'y x x f y y x f yx ，得驻点(0,0),(6,0),(0,4),(6,4),(3,2). 又 )24)(26(),4(2""y x f B y y f A xy xx --==--==，),6(2"x x f C yy --==列表常见错解求得驻点()()()()().2,3,4,6,4,0,0,6,0,0后直接断定在这些点处取得极值.实际上,驻点未必是极值点.例8.30 在xoy 面上求一点，使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.分析本题是无条件极值问题.解设所求点的坐标为),(y x ，则此点到0,0==y x 及0162=-+y x 的距离分别为 |||,|y x 及,21|162|2+-+y x而距离平方和为 5)162(222-+++=y x y x z由 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂01625420162522y x y yz y x x x z ，即⎩⎨⎧=-+=-+03292083y x y x 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51658y x ，得唯一驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛516,58，由由题意知，到三直线距离平方和最小的点一定存在，故⎪⎭⎫⎝⎛516,58即是.例8.31 抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.分析本题是条件极值问题.175解设椭圆上点的坐标为),,(z y x ，则原点到椭圆上这一点的距离平方为 ,2222z y x d ++=其中z y x ,,要同时满足.1,22=+++=z y x y x z 令拉格朗日函数： )1()(),,(2221222-+++--+++=z y x y x z z y x z y x F λλ由方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++==+-==+-=10202202222212121z y x zy x z F y y F x x F z y x λλλλλλ 解得 32,231 =±-==z y x由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，而恰好找到两个可能极值点，所以距离最大值和最小值在这两点处取得.因 .359)32(2312222222 =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛±-⋅=++=z y x d 所以 3591+=d 为最长距离，3592-=d 为最短距离.6 综合题例8.32 求 2222lim y x y x y x xy⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→解因为x xy y x ,222≥+>0，y >0.所以 0<,2122≤+y x xy 0<22222122y x y x y x xy ⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+又因 02122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→y x y x lim ，所以 2222y x y x y x xy⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→lim 0=.例8.33 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，求).,(),,(y x f y x f y x解当022≠+y x 时，()22222222222222223222222)()()(2)(,)(2)(2)(2),(y x y x x y x yy x y x x y x f y x xy y x xy x y x xy y x f y x +-=+⋅-+=+=+⋅-+=当022=+y x 时，0lim )0,0(),0(lim )0,0(00lim )0,0()0,(lim)0,0(0000=∆-=∆-∆==∆-=∆-∆=→∆→∆→∆→∆y y f y f f x xf x f f y y y x x x则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(2),(22222223y x y x y x xy y x f x176 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,00,)()(),(2222222222y x y x y x y x x y x f y例8.34 函数,)0,(,1)0,(,2),,('22x x f x f yf y x f z y ===∂∂=求).,(y x f解 ,222=∂∂y f两边对y 积分得+=∂∂y yf2).(x ϕ 由条件x x f y =)0,('得.)(x x =ϕ即 x y y x f y +=2),(' 两边再对y 积分，得 )(),(2x xy y y x f ψ++=. 由条件1)0,(=x f 知,1)(=x ψ所以.1),(2++=xy x y x f例8.35 设,⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x y g x y x f y u 其中g f ,均有二阶连续导数，求 .222y x u y x u x ∂∂∂+∂∂ 分析 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x f 可视为由y xt t f =),(复合而成的复合函数， f 对t 的一阶、二阶导数可分别简记为.,"'f f 即 .1'''y f x t f f x ⋅=∂∂⋅=对⎪⎭⎫⎝⎛x y g 也类似. 解x g x g x f y x u ∂∂⋅++∂∂⋅=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅++⋅⋅=2''1x y g x g y f y .''g x y g f ⋅-+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+∂∂=∂∂''22g x y g f x x u⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅''⋅-'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅'+⋅''=2221x y g x y g x y x y g y f g x y f y''⋅+''⋅=321 x g x g x y g x y x f y x u 111'"'2"2⋅-⋅⋅-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∂∂∂"2"2g x y f y x ⋅-⋅-= 所以 .01"2"2"32"222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=∂∂∂+∂∂g x yf y x yg x y f y x y x uy x ux 例8.36 设z 是由方程ze z y x =-+所确定的y x ,的函数，求.2yx z∂∂∂ 解令z z y x z e F F F e z y x z y x F --===--+=1,1,1,),,(.)1()1(11.11,1111322z zz z z zz y zz z x e e e y z e e y y x z e F F y z e e F F x z +-=+∂∂⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂+=-=∂∂+=---=-=∂∂ 例8.37 设),(y x z z =由方程0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x z y y zx F 所确定，且()v F u,具有连续偏导数，则.yzy x z x xy z ∂∂⋅+∂∂⋅+=177证明 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=2'2'1x z F F F x ='1F -'22F xz⋅； .1111;'2'1'2'1'12'2'22'1F xF y x F y F F F y z F F y z F F z y ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅= .11,11'2'1'22'1'2'1'12'2'2'1'1'2'2'1'22'1yxyF xF F y zF F xF y F y z F F F y z yF xF xyF F x yz F xF y F x z F F F x z z y z x ⋅+-=⋅+⋅⋅--=-=∂∂+-=⋅+⋅⋅--=-=∂∂ 所以 ''''''''2122121122yF xF F xy xzF yF xF yF x yzF xy y zy x z x xy +-++-+=∂∂+∂∂+()().'2'1'2'1'2'1z xy z xy yF xF yF xF xy yF xF z xy =-+=++-++=例8.38 设函数),(u f z =方程dt t p u u x y⎰+=)()(ϕ确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ϕ连续且可微，1)('≠u ϕ求.)()(yz x p x z y p ∂∂+∂∂ 解 yuu f y z x u u f x z u f z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂=)( ,)(),(''，方程两边对x 求偏导，得)()('x p x u u x u +∂∂=∂∂ϕ，即 .)(1)('u x p x u ϕ-=∂∂ 所以.)()()(''u x p u f x z ϕ-⋅=∂∂1 方程两边对y 求偏导，得)()('y p y u u y u -∂∂⋅=∂∂ϕ，即 .)(1)('u y p y u ϕ--=∂∂ 所以).()()(''u f u y p y z ⋅--=∂∂ϕ1 故 y z x p x z y p ∂∂+∂∂)()(.0)()(1)()()()(1)()(''''=⋅--⋅+⋅-⋅=u f u y p x p u f u x p y p ϕϕ 例8.39求抛物面22y x z +=的一个切平面，使切平面与直线⎩⎨⎧=+=+2212z y z x 垂直.解已知直线方向向量 {}.1,2,2210201--==→→→→kj ia 抛物面在点()z y x ,,处切平面的法向量为: {}1,2,2-=→y x n .由题意知，→a ∥.→n 即 112222-=-=-y x 得211===z y x ,, 切点为 ).2,1,1( 所求切平面方程为 ,0)2()1(2)1(2=-+----z y x即 .0222=++--z y x例8.40 求球面6222=++z y x 与抛物面22y x z +=的交线在点()2,1,1处的切线方程.178 分析本题主要是求切向量.因方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==++222226y x z z y x 确定了交线⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z x y x x ψϕ .所以可用方程两边对x 求导的方法，解含有dxdzdx dy ,的方程组.从而得切向量 ()(){}.,,10'0'x x T ψϕ=→解在方程22222,6y x z z y x +==++两边分别对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==++dx dy y x dx dz dx dz z dx dy y x 220222 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+xdxdz dx dy y x dx dz z dx dy y 22 解得 ,0 ,22=--+=dx dz yz y xz x dx dy所以 ()().0 ,12,1,12,1,1=-=dxdzdx dy 切向量{}0,1,1-=→T ，所求切线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=---=-021111z y x , 即⎩⎨⎧==-+202z y x .三、自测试题(时间:120分钟,满分:100分)(一) 填空题(每小题3分,共15分) 1. 函数)1ln()arccos(22y x y x z --++= 的定义域是 .2. 设y xu arctan =, 则=du .3. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==4422y x z y 在点M )5,4,2(处的切线方程是 .4. =++→→2201)ln(lim y x e x y y x .5. 函数22324y xy x x z -+-=的驻点为；极值点为 . (二) 选择题(每小题3分,共15分)1.函数),(y x f 在点),(00y x 处可微,是),(y x f 在),(00y x 可导的() ()A 充要条件；()B 充分条件；()C 必要条件；()D 以上都不对.2. 函数22y xy x z +-=在点()1,1处沿⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→41,41l 的方向导数().()A 最大；()B 最小；()C 1； ()D 0.3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(,2222y x y x yx y x y x f 则()=0,0'y f()A 0 ；()B 1 ；()C 2；()D .1-4. 椭球面163222=++z y x 上点()3,2,1--处的切平面与平面1=z 的夹角为( ).()A 4π；()B 167arccos ;()C 227arccos ;()D 223arccos .1795. 设,23z xy u -=点M )1,2,1(-，则). (=M gradu()A {}2,4,2；()B {}3,4,2--；()C 62；()D 63.(三) 计算下列各题(每小题12分,共48分)1 设z y x u =，求.,,z uy u x u ∂∂∂∂∂∂2. 设)sin()arctan(z x e y x u xy z +⋅+-=求.du3.设方程1=++zx yz xy 确定隐函数),(y x z z =,求.22y z ∂∂4.设),(22xye y xf z -=，求.22xz ∂∂ (f 具有二阶连续偏导).(四) 求曲面3=+-xy z e z 在点()0,1,2处的切平面与法线方程.(10分)(五) 设一矩形的周长为2.现让它绕其一边旋转,求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体体积.(12分)参考答案(一) }111|),.{(122<+≤+≤-y x y x y x 且;).0,0();2,2(),0,0.(5 ;2ln .4 ;403.3 ;.222⎩⎨⎧==+-+-y z x y x xdyydx (二) ..5 ;.4 ;.3 ;.2 ;.1B D A A B(三) ;.11-=∂∂z y z x y x u ;ln 1x z x y y uz y z -=∂∂.ln ln y x x y z u z y z =∂∂ dx z x e z x y e y x y x z du xyxy zz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++-+-=-）（cos )sin()(1)(.221 dy z x x e y x y x z xy z z ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--+-)sin()(1)(21 .)cos()(1)ln()(2dz z x e y x y x y x xyzz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--+ .)()(2.3222y x z x yz ++=∂∂.442.422221211222122f e y f xye f x f e y f xz xy xy xy ''+''+''+'+'=∂∂ (四) 切平面方程为:.04-2=+y x 法线方程为: ⎩⎨⎧==--0032z y x(五) 矩形面积为:;92=s 最大体积为:.274π=V。

高等数学第八章第4节多元函数的求导法则(中央财经大学)

第四节多元复合函数的求导法则一. 全导数多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？由此可推至一般的情况由此可推至一般的情况设以下函数满足定理的条件; )( , )( , ),(t y y t x x y x f z ===;)( , )( , )( , ),,(t z z t y y t x x z y x f u ====. )( , )( , ),,(x z z x y y z y x f u === 请同学自己写请同学自己写开始对答案你做对了吗 ?你做对了吗 ?二. 链导法则一般多元复合函数的求导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,z uvwxy将 y 看成常数将 y 看成常数将 x 看成常数将 x 看成常数分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.u v x yzu v x yzuF x yyz∂∂ 2 21f e x f y yz xy′+′−=∂∂ 自己做自己做=三. 全微分形式不变性记得吗?一元函数的微分有一个重要性质：一阶微分形式不变性对函数)(u f y =不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有d )(d u u f y ′=与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得,0=+dz e dz )(ydx xdy +xy −与y y zx x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得谢谢大家！。

导数的基本公式14个例题

导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。

1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。

- 例如：y = 5，求y^′。

- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。

2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。

- 例如：y=x^3，求y^′。

- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。

- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。

- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。

3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。

- 例如：y=sin x，求y^′。

- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。

4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。

- 例如：y = cos x，求y^′。

- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。

5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。

- 例如：y = 2^x，求y^′。

- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。

6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。

- 例如：y=log_2x，求y^′。

- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。

- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。

- 例如：y=ln x，求y^′。

- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。

7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。

- 例如：y = tan x，求y^′。

- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。

第六单元多元函数微分学

2 3
(应用题) 2)求曲面 z xy 在点 (1, 2 , 2 ) 处的切平面方程 .
解
1)点 (1, 1, 1) 处 t 1, x t 1, y t 2 t , z t 3 t ,
' ' ' 2
当 t 1时， x t 1, y t 2 , z t 3, 切线方向为 (1, 2 , 3 )
lim
f ( x0 x , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) x
x 0
f x ( x , y ) lim
f ( x h, y ) f ( x, y ) h
h 0
2 z z z z f xx ( x , y ), f yy ( x , y ), 2 2 x x x y y y
y x
z.
证
1)
z x
f (
'
y x
)(
y x
2
)
y x
2
f (
'
y x
)，
z y
f (
'
)(
1 x
)
1 x
f (
'
y x
)，
x
z x
y
z y

xy x
2
f (
'
y x
)
y x
f (
'
y x
) 0.
16
z x
z x F ' 2
y z
11
3
3) 1 2 2 4
n1 {1, 2, 1}, n 2 {2, 4, 2} 2 n1 , n1 与 n 2 平行，而 1 -1 3 6 ，所以两平面不重合.

多元隐函数求偏导

x, y 的函数,求dy . dx
八、设z z( x, y)由方程F ( x x , y z ) =0 所确定, yx
证明: x z y z z xy. x y
26
练习题答案
一、1、 x y ； x y
2、 z x ln z ； xz x1 y z ln y
3、
zy z1
.
xz x1 y z ln y
回忆:一元隐函数不易显化或不能显化如何求导? 方程两边直接关于x求导.
2
例1 设 sin y e x xy2 0 ,求 dy . dx
解方程两边关于x求导,得
cos y y ex ( y2 x 2 y y) 0，
解得
y y2 ex . cos y 2xy
3
二、二元隐函数求偏导
则： dy Fx .
dx Fy
一元隐函数的求导公式
2. 设方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)，若Fz 0
则： z Fx , z Fy
x Fz y Fz
二元隐函数的求导公式
8
1. 设方程F ( x, y) 0确定隐函数 y y( x)，若Fy 0 则： dy Fx .
y
y
y
解得
z y
3y
z 4 xz
5z2
，
将 x y 0 , z 1 ，代入上式得
z
1
y
(0,0)
. 5
6
例3
设 x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解视 z 为 x, y 的二元函数z z(x, y) ,方程两边
关于 x 求偏导,得
2xx 2z zzz24zz 00 z x ,