大学物理矢量
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点乘的微分
db da d (a b ) a b dt dt dt
db da d (a b ) a b dt dt dt
叉积的微分
第1章 运动的描述
（二）“ΔБайду номын сангаас”和“dt”的含义 符号“ ”一般表示改变量或者增加量。如果该 值为正，则表明增加；反之，则表明减少。
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
曲边梯形面积的计算： 在 [a , b] 内插入若干个分点， a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,
yB y A
o
x
称为点 A 到 把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段r B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
第1章 运动的描述
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
位移 r r2 r1
r1 xAi yA j r2 xBi yB j
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
结论：世界上一切事物都处于运动和变化中
第1章 运动的描述
绝对性：
观察表明：
v地日＝30kms-1
第1章 运动的描述
相对性：
结论：一切运动都是绝对的，但是只有讨论相对意 义上的运动才有意义。
第1章 运动的描述
二、参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系. 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性. 常用的参考系有： 地面参考系、地心参考系、太阳参考系、实验 室参考系等等 选取原则： 使问题的研究最方便、最简单
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
第1章 运动的描述
矢量的加法: 两个矢量相加
C A B
A
B
C
C'
A B
B
矢量的减法: 两个矢量相减
C ' A B A (B)
差矢量方向：
A
减数终端→被减数终端
a z (a y bz az by )i (az bx axbz ) j (axby a y bx )k
bz
第1章 运动的描述
若
a a (t )
b b (t )
d da (ka ) k , k为常量 dt dt
d da db (a b ) ; dt dt dt
第1章 运动的描述
第1章 运动的描述
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
物体抽象为质点的条件：
1. 物体做平动； 物体不变形，不作转动 (此时物体上各点的速 度及加速度都相同，物 体上任一点可以代表所 有点的运动)。
A
B
A B
A
B
第1章 运动的描述
2. 物体做转动时，所研究 的距离远远大于物体本身 的线度。
另一类问题：把物体 化为若干个质点的集 合体来研究。
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述 一、位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
第1章 运动的描述
力学——研究机械运动及其规律的物理学分支。
按研究内容分类
运动学 —— 研究物体运动的规律
力 学
动力学 —— 研究物体运动的原因
静力学 —— 研究物体平衡时的规律
第1章 运动的描述
机械运动：宏观物体之间（或物体内各部分之间）相对 位置的变化。
平动：物体各点的运动情况完全相同。
机械运动
当时间由t时刻增加了一定时间间隔时，通常会表述为 时间增加到 t t时刻。
当改变量为无限小量，如t 0时，符号“ ” 通常会改写，记为“ dt ”。
第1章 运动的描述
（三）积分的含义 一、问题的提出 1 求平面图形的面积
会求梯形的面积， 曲边梯形的面积怎样求？若 会，则可求出各平面图形的面积。 考虑如下曲边梯形面积的求法。
第1章 运动的描述
三、坐标系
为定量地描述物体位置而引入。 常用的有直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球 面坐标系或柱面坐标系等。
y
j
o k
i
直角坐标系 第1章 运动的描述
et
P*
en
en
x
P*
自然坐标系
et
z
四、物理模型 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题 的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用 数学方法描述的理想模型。 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其 大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转 动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量 的点（即质点）来处理 .
矢量的外积
（叉乘、矢乘）：
a b b a
a b d
k
a a 0
i ax bx
a b
j ay by
i i j j k k 0 i j k, j k i , k i j
1-2 运动的描述
y
yB yA
( xB xA )i ( yB y A ) j
r1
A
r
o
z
x
cos x r cos y r cos z r
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述
如果质点是运动的，则位矢 r
随时间不断变化，记为：
运动方程
y
y (t )
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
或分量式
r (t )
z (t )
第1章 运动的描述
矢量的内积
（点乘、标乘）：
o
180 , cos 1, a b ab , cos 0, a b 0 2
0, cos 1, a b ab
a b ab c abcos
第1章 运动的描述
在二维情况下:
Y
A Ax i Ay j
tg Ay Ax
Ay
O Ax X
如果 Ax i Ay j 和 B Bx i By j , 则有: A C Cx i C y j B A ( Ax Bx )i ( Ay By ) j
注意：
转动：物体各点绕轴作圆周运动。
振动：物体各点相对平衡位置作往复运动。
实际物体的运动往往包含两种或两种以上运 动形式的叠加：如汽车的行进、子弹的飞行、 大分子的热运动等等。
第1章 运动的描述
一、运动的绝对性和相对性
• • • • • • • 斗转星移，海陆变迁 自然界是不停运动的 电子饶着原子核运动 铁生锈，事物腐烂 离离原上草，一岁一苦荣 广义运动 少小离家老大还，乡音无改鬓毛衰 小时四条腿，长大两条腿，老了三条腿 奴隶社会-封建社会-资本主义社会-社会主义社 会…… 人类社会也是不停运动
y
y j o z k
r xi yj zk
*P r
i
式中i 、 、 分别为x、y、z j k
方向的单位矢量.
x
x
z
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述
的值为 位矢r
2 2 2 r r x y z
y
Pr
P
的方向余弦 位矢 r
i j j k k i 0 a b a x bx a y b y a z bz
大小： d ab sin 方向：右手螺旋法则
, • a b b a a a = a 2, i i j j k k 1
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
0 i 1
第1章 运动的描述
记为
积分上限
积分和
积分下限
b
a
f ( x)dx S lim f (i )xi 0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a, b] — —积分区间.
第1章 运动的描述
本章目录
1-0 内容提要
1-1 参考系 坐标系 物理模型 1-2 运动的描述 1-3 相对运动
Ai f ( i )xi
第1章 运动的描述
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细即小区间的最大长度 ,
max{ x1 , x2 ,xn } 0 时，
有，小矩形面积和
f ( )x
i 1 i
n
i
A,
n
即有曲边梯形面积计算公式 A lim f ( i )x i。 ：
2. x v0 t 1 2 y 2 gt
g 2 y 2 x 2v 0
y 3 cos
2 2
6
t
x y 9 z0
为圆周运动
第1章 运动的描述
为抛体运动
1-2 运动的描述 2 位移
y
r1
o
A
r
y
B
yB yA
r2
x
r1
A
r
B
r2
xA xB xB x A
P
x x(t ) y y(t )
o
x(t )
z
x
z z (t ) 称为运动方程
运动方程包含了质点运动的全部 信息，是运动学的核心。
注：
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述 从中消去参数 t 得轨迹方程
f ( x, y, z) 0
例如： 1.
r 3 sin ti 3 cos tj 6 6 x 3 sin t 6
把 [ a , b ] 分 成 n个 小 y 区 间[ xi 1 , xi ]， 长 度 为 x i x i x i 1 ;
在 每 个[ xi 1 , xi ] 上 任 取 一 点 i，
x1
xi 1 i x i
xn1
o a
b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
补充：（一）矢量和矢量运算
两种物理量: 标量:只有大小，没有方向。如质量, 速率, 温度…
矢量:既有大小又有方向。如速度, 加速度, 动量..
矢量 A : 它的大小和方向可用从始点O指向终
点P的有向线段OP表示，并标记为
o
*
A
A
*p
OP
在直角坐标系下:
A Ax i Ay j Az k
y
y f ( x)
Sab ?
o
第1章 运动的描述
a
b
x
思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。 用矩形面积近似曲边梯形面积：
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲 边梯形面积．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
db da d (a b ) a b dt dt dt
db da d (a b ) a b dt dt dt
叉积的微分
第1章 运动的描述
（二）“ΔБайду номын сангаас”和“dt”的含义 符号“ ”一般表示改变量或者增加量。如果该 值为正，则表明增加；反之，则表明减少。
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
曲边梯形面积的计算： 在 [a , b] 内插入若干个分点， a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,
yB y A
o
x
称为点 A 到 把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段r B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
第1章 运动的描述
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
位移 r r2 r1
r1 xAi yA j r2 xBi yB j
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
结论：世界上一切事物都处于运动和变化中
第1章 运动的描述
绝对性：
观察表明：
v地日＝30kms-1
第1章 运动的描述
相对性：
结论：一切运动都是绝对的，但是只有讨论相对意 义上的运动才有意义。
第1章 运动的描述
二、参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系. 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性. 常用的参考系有： 地面参考系、地心参考系、太阳参考系、实验 室参考系等等 选取原则： 使问题的研究最方便、最简单
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
第1章 运动的描述
矢量的加法: 两个矢量相加
C A B
A
B
C
C'
A B
B
矢量的减法: 两个矢量相减
C ' A B A (B)
差矢量方向：
A
减数终端→被减数终端
a z (a y bz az by )i (az bx axbz ) j (axby a y bx )k
bz
第1章 运动的描述
若
a a (t )
b b (t )
d da (ka ) k , k为常量 dt dt
d da db (a b ) ; dt dt dt
第1章 运动的描述
第1章 运动的描述
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
物体抽象为质点的条件：
1. 物体做平动； 物体不变形，不作转动 (此时物体上各点的速 度及加速度都相同，物 体上任一点可以代表所 有点的运动)。
A
B
A B
A
B
第1章 运动的描述
2. 物体做转动时，所研究 的距离远远大于物体本身 的线度。
另一类问题：把物体 化为若干个质点的集 合体来研究。
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述 一、位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
第1章 运动的描述
力学——研究机械运动及其规律的物理学分支。
按研究内容分类
运动学 —— 研究物体运动的规律
力 学
动力学 —— 研究物体运动的原因
静力学 —— 研究物体平衡时的规律
第1章 运动的描述
机械运动：宏观物体之间（或物体内各部分之间）相对 位置的变化。
平动：物体各点的运动情况完全相同。
机械运动
当时间由t时刻增加了一定时间间隔时，通常会表述为 时间增加到 t t时刻。
当改变量为无限小量，如t 0时，符号“ ” 通常会改写，记为“ dt ”。
第1章 运动的描述
（三）积分的含义 一、问题的提出 1 求平面图形的面积
会求梯形的面积， 曲边梯形的面积怎样求？若 会，则可求出各平面图形的面积。 考虑如下曲边梯形面积的求法。
第1章 运动的描述
三、坐标系
为定量地描述物体位置而引入。 常用的有直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球 面坐标系或柱面坐标系等。
y
j
o k
i
直角坐标系 第1章 运动的描述
et
P*
en
en
x
P*
自然坐标系
et
z
四、物理模型 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题 的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用 数学方法描述的理想模型。 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其 大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转 动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量 的点（即质点）来处理 .
矢量的外积
（叉乘、矢乘）：
a b b a
a b d
k
a a 0
i ax bx
a b
j ay by
i i j j k k 0 i j k, j k i , k i j
1-2 运动的描述
y
yB yA
( xB xA )i ( yB y A ) j
r1
A
r
o
z
x
cos x r cos y r cos z r
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述
如果质点是运动的，则位矢 r
随时间不断变化，记为：
运动方程
y
y (t )
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
或分量式
r (t )
z (t )
第1章 运动的描述
矢量的内积
（点乘、标乘）：
o
180 , cos 1, a b ab , cos 0, a b 0 2
0, cos 1, a b ab
a b ab c abcos
第1章 运动的描述
在二维情况下:
Y
A Ax i Ay j
tg Ay Ax
Ay
O Ax X
如果 Ax i Ay j 和 B Bx i By j , 则有: A C Cx i C y j B A ( Ax Bx )i ( Ay By ) j
注意：
转动：物体各点绕轴作圆周运动。
振动：物体各点相对平衡位置作往复运动。
实际物体的运动往往包含两种或两种以上运 动形式的叠加：如汽车的行进、子弹的飞行、 大分子的热运动等等。
第1章 运动的描述
一、运动的绝对性和相对性
• • • • • • • 斗转星移，海陆变迁 自然界是不停运动的 电子饶着原子核运动 铁生锈，事物腐烂 离离原上草，一岁一苦荣 广义运动 少小离家老大还，乡音无改鬓毛衰 小时四条腿，长大两条腿，老了三条腿 奴隶社会-封建社会-资本主义社会-社会主义社 会…… 人类社会也是不停运动
y
y j o z k
r xi yj zk
*P r
i
式中i 、 、 分别为x、y、z j k
方向的单位矢量.
x
x
z
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述
的值为 位矢r
2 2 2 r r x y z
y
Pr
P
的方向余弦 位矢 r
i j j k k i 0 a b a x bx a y b y a z bz
大小： d ab sin 方向：右手螺旋法则
, • a b b a a a = a 2, i i j j k k 1
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
0 i 1
第1章 运动的描述
记为
积分上限
积分和
积分下限
b
a
f ( x)dx S lim f (i )xi 0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a, b] — —积分区间.
第1章 运动的描述
本章目录
1-0 内容提要
1-1 参考系 坐标系 物理模型 1-2 运动的描述 1-3 相对运动
Ai f ( i )xi
第1章 运动的描述
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细即小区间的最大长度 ,
max{ x1 , x2 ,xn } 0 时，
有，小矩形面积和
f ( )x
i 1 i
n
i
A,
n
即有曲边梯形面积计算公式 A lim f ( i )x i。 ：
2. x v0 t 1 2 y 2 gt
g 2 y 2 x 2v 0
y 3 cos
2 2
6
t
x y 9 z0
为圆周运动
第1章 运动的描述
为抛体运动
1-2 运动的描述 2 位移
y
r1
o
A
r
y
B
yB yA
r2
x
r1
A
r
B
r2
xA xB xB x A
P
x x(t ) y y(t )
o
x(t )
z
x
z z (t ) 称为运动方程
运动方程包含了质点运动的全部 信息，是运动学的核心。
注：
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述 从中消去参数 t 得轨迹方程
f ( x, y, z) 0
例如： 1.
r 3 sin ti 3 cos tj 6 6 x 3 sin t 6
把 [ a , b ] 分 成 n个 小 y 区 间[ xi 1 , xi ]， 长 度 为 x i x i x i 1 ;
在 每 个[ xi 1 , xi ] 上 任 取 一 点 i，
x1
xi 1 i x i
xn1
o a
b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
补充：（一）矢量和矢量运算
两种物理量: 标量:只有大小，没有方向。如质量, 速率, 温度…
矢量:既有大小又有方向。如速度, 加速度, 动量..
矢量 A : 它的大小和方向可用从始点O指向终
点P的有向线段OP表示，并标记为
o
*
A
A
*p
OP
在直角坐标系下:
A Ax i Ay j Az k
y
y f ( x)
Sab ?
o
第1章 运动的描述
a
b
x
思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。 用矩形面积近似曲边梯形面积：
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲 边梯形面积．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．