北师大版初二数学上册《勾股定理的应用》
1.3 勾股定理的应用八年级上册数学北师大版
15cm 8cm
解:设直角三角形斜边长(矩形长)为x， 3cm 由勾股定理得x2＝152＋82＝289＝172，
∴x＝17，即矩形的长为17cm， 则矩形的面积为:17×3＝51(cm2)， 即阴影长方形的面积是51平方厘米．
4.（教材P15习题1.4第5题）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇垂直拉 向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面. 请问：这个水池水的深度和这根 芦苇的长度各是多少？
离问题
将几何体展开，转化为平 面图形，连接两点，利用 勾股定理求线段长
解决实际问题
ห้องสมุดไป่ตู้
CD
A
EB
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为 x m，AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得 AE2+CE2=AC2， 即(x-1)2+32=x2，解得x=5. 故滑道AC的长度为5 m.
2.（教材P14随堂练习）甲、乙两位探险者到沙漠进行探险. 某日早 晨8:00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走. 1h后乙出发，他以 5km/h的速度向正北行走. 上午10:00，甲、乙二人相距多远？
解：根据题意，可知点A是甲、乙的出发点， 10:00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）, 乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）. 在Rt△ABC中， BC2=AC2+AB2=52+122=169=132， 所以BC=13千米. 即甲、乙二人相距13千米.
将实际问题转化为 数学模型
3.（教材P14习题1.4第1题）如图，阴影长方形的面积 是多少？
新知探究
如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面 上圆的周长等于18cm. 在圆柱下底面的点A有一只蚂 蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿 圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案一. 教材分析《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章第三节的内容。
本节课主要让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。
教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，引导学生探索直角三角形斜边与两直角边的关系，从而引入勾股定理。
学生通过观察、实验、猜想、验证等过程，体验数学的探索乐趣，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了直角三角形的性质，对直角三角形的边长关系有一定了解。
但勾股定理的应用涉及实际问题，对学生来说是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解勾股定理的含义，掌握勾股定理在直角三角形中的应用。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的合作、交流、探究能力，体验数学探索的乐趣。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为勾股定理的形式，求解问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究勾股定理的应用。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
3.采用启发式教学法，教师提问、学生回答，激发学生的思维。
4.利用多媒体辅助教学，展示勾股定理的应用实例。
六. 教学准备1.准备相关课件、教学素材。
2.设计好教学问题，准备好答案。
3.安排好教学过程中的各个环节。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示勾股定理的动画故事，引导学生了解勾股定理的背景。
同时，提问学生：“你们认为直角三角形的斜边与两直角边有什么关系？”2.呈现（10分钟）教师提出一组实际问题，如：“一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
”让学生尝试解决。
学生在解决过程中，发现无法直接运用已知的直角三角形性质解决问题，从而引出勾股定理。
3.操练（10分钟）教师提出多个关于勾股定理的应用问题，让学生在小组内讨论、交流，共同解决。
北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》课件(共24张PPT)
长时: x2 1.52 22
x 2.5
∴最长是2.5+0.5=3(m) ．
最短时: x1.5
∴最短是1.5+0.5=2(m) ． 答:这根铁棒的长应在2～3m之间．
举一反三
1．如图，在棱长为10 cm 的正方体 的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向 顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度 是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁 能否在20 s内从A爬到B？
B
以小组为单位,研究蚂 蚁爬行的最短路线．
A
A’
d
B
A’BΒιβλιοθήκη AA蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
下一页>>
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
从二教楼到综合楼怎样走最近？ 说明理由．
石室联中平面图
一 教楼
二 教楼
综 合
操场
楼
两点之间,线段最短．
问题情境
在一个圆柱石凳上，
若小明在吃东西时留下了一
B
点食物在B处，恰好一只在A
处的蚂蚁捕捉到这一信息，
于是它想从A处爬向B处，你
们想一想，蚂蚁怎么走最近？
A
合作探究
交流小结
课后作业
1．课本习题1.4第1，2， 3题．
2*.右图是学校的旗杆, 旗杆上的绳子垂到了地 面,并多出了一段,现在 老师想知道旗杆的高度, 你能帮老师想个办法吗? 请你与同伴交流设计方 案?
北师大版初中数学八年级(上)第一章勾股定理1-3勾股定理的应用教学详案
第一章勾股定理3 勾股定理的应用教学目标1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.教学重难点重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程导入新课游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?探究新知一、合作探究【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.变式训练：如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.答案：13【探究2】应用勾股定理解决实际问题【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即(x-1)2+32 = x2，解得x = 5.故滑道AC的长度为5 m.变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.(1)这架云梯的顶端距地面有多高?(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.根据题意252-72 = 242，所以云梯顶端距地面有24米.(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，所以云梯底部应水平滑动8米.课堂练习1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.m=0.33m)的正方形.在水池正中央3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=13有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？参考答案1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，∴AB = 2.5米.∵油桶外的部分是0.5米，∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.2.253.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.根据题意得x²+5² =（x+1）².解得x =12.x+1=12+1=13（尺）.答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得x2+82 = (16-x)2,解得x = 6米.答：旗杆在离底部6米的位置断裂.课堂小结确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.布置作业习题1.4第1，2，3，4题板书设计3 勾股定理的应用1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2.应用勾股定理解决实际问题例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。
新版北师大版八年级数学 初二上册《勾股定理的应用》优秀教学设计
教学设计教学目标1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.学会选择适当的数学模型解决实际问题.3.通过问题情境的设立,使学生体会数学来源于生活服务于生活.积累数学活动经验. 学习目标1.会直接利用勾股定理求直角三角形的边长.2.能根据勾股定理列方程求直角三角形的边长.3.会利用勾股定理的逆定理判断两条直线是否垂直.学情分析认知基础：学生在七年级已经学过圆柱的侧面展开图，基本数学事实“两点之间线段最短”、一元一次方程的解法，八年级有学习了勾股定理及其逆定理，这些都为本节课的学习提供了知识基础.活动基础：八年级学生好奇心浓厚，思维活跃，参与意识强. 经过七年级一年的小组合作学习锻炼，磨合，小组成员之间合作融洽默契，合作能力较强，部分学生的语言表达能力较强。
这为本节课的小组合作，同桌互助，学生讲解提供了活动基础.学生自身的学习基础：我班生源以外来务工子女为主，家长文化水平低，学生行为习惯、学习习惯、学习能力和基础都不好，课后辅导几乎是空白.学法设计：基于以上学情，在学习内容上，我以贴近学生生活的问题情境引入课题，以故事贯穿知识点，调动学生的学习积极性；在学习目标的设置上，我以让学生获得继续学习的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验为宗旨，在例题和检测题选择上紧扣学习学习目标，突出数学思想方法,避免繁杂的计算, 提高学生的自信心，减少分化.在学法方面方法，我以学生的想一想、做一做、算一算、议一议等活动贯穿课堂，采取独立思考，同桌合作学习、小组合作学习、交流展示等方法，为学生自主学习、互助学习、展示自己搭建舞台. 老师是学生活动的组织者,充分发挥学生的主题作用.重点：能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题难点：结合方程利用勾股定理解决实际问题教学过程活动一复习旧知、明确学习目标引入新课1.开门见山导入课题数学来源于生活服务于生活，我们已经学习过勾股定理和勾股定理的逆定理，今天我们就来探究怎样应用这两个定理解决实际问题(出示课题).设计意图：让学生知道数学既来源于生活又服务于生活，学习数学对生活很有用，激发学习动机.2.课件展示学习目标①会直接利用勾股定理求直角三角形的边长.②.能根据勾股定理列方程求直角三角形的边长.③.会利用勾股定理的逆定理判断两条直线是否垂直.阅读明确学习目标.设计意图：让学生明确本节课的目的，知道自己这节课要学习什么，达到什么目的.3.复习提问相关知识①你还记得勾股定理定理的内容吗？②勾股定理的逆定理是怎样叙述的？设计意图：帮助学生厘清两个定理的区别和联系，为新课学习做准备.活动二、想一想1.简要介绍碧沙岗公园的历史，引出问题: 边AB与AD垂直吗(课件展示碧沙岗公园的相关图片)郑州碧沙岗公园是冯玉祥将军为阵亡的北伐军将士修建的陵园. 周末小明、小亮、小颖、小红一起去郑州碧沙岗公园寻找生活中的数学。
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
北师大版八年级上册数学课件.3.1 勾股定理的应用(共19张PPT)
•
怎样计算AB的长？
A’ r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AA’2 +A’B2 =AB2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
把空间几何图形转化为平面几何问题的步骤： 1.展开图形 2.找出对应点 3.应用勾股定理
二、利用勾股定理的逆定理判断线段垂直： 用刻度尺量出所构造的三角形的三边的长，看是
否满足两边的平方和等于第三边的平方，满足就有直 角（即线段垂直）。
当堂训练（10分钟）
1.课本第14页随堂练习1； 2 .课本第14页习题1.4的第1、2、4题。 3.课本第15页问题解决的第5题。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
勾股定理的应用课件北师大版八年级上册数学
3
勾股定理
勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问
题.
2.会将实际问题抽象成几何图形，构造直角三角形解题.
◎重点:知道用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题.
小狗要吃到香肠，所走的最短路线应该是一条线段；A点的蚂
蚁要吃到B点的食物，该怎样走，路线才能最近呢？就让我们带
出未知线段长.
变式演练 如图，有一个底面周长为36 cm，高为24
cm的圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃
到上底面与点A相对的点B处的食物再返回到A点处休息，
请问它需爬行的最短路程约是多少？
解:如下图，将圆柱沿着过A点的高AC剪开，并将侧面展开.
则AC＝24，BC＝×36＝18.
则AC＝24，BC＝×36＝18.
解:由图可得AA'＝30 cm，A'B'＝50 cm，B'C'=40cm.
△A'B'C'、△AA'C'都为直角三角形.由勾股定理，得A'C'2＝
A'B'2＋B'C'2.在直角△AA'C'中，AC'最长，则AC'2＝AA'2＋
A'B'2＋B'C'2＝302＋502 ＋402＝5000＞702.
故70 cm的木棒能放入长，宽，高分别为50 cm，40 cm，30
在学习知识点二时，可以让学生用一个长方体盒子实际操作一
下.
1.如图，这是一个底面圆周长为24 m，高为5 m的圆柱体，一
只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为 (
北师大版八年级数学(上)第一章 勾股定理的应用
解：在 Rt△ABC 中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：
BC＝
＝
＝40（m）∴小汽车的速度为 v＝ ＝20（m/s）＝20×3.6
（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了．
练习：如图，一棵大树在离地面 3m，5m 两处折成三段，中间一段 AB 恰好与地面平行， 大树顶部落在离大树底部 6m 处，则大树折断前的高度是（ ）
宽是圆柱的高 5．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线的长，即
＝
13．，故选：B．B．13
C．14
D．25
练习：如图，长方体的长为 3cm，宽为 2cm，高为 4cm，点 B 到点 C 的距离为 1cm，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是（ ）cm．
C．2 ＞3.3，放得下
D．4＞3.3，放得下
解：由勾股定理可得：
，
，放得下故选：C．
例 5：某条道路限速 70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好 行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30m 的 C 处，过了 2s，小汽车到达 B 处，此时测 得小汽车与车速测检测仪间的距离为 50m，这辆小汽车超速了吗？
解：将长方体展开，连接 AB，
A．4
根据两点之间线段最短，BD＝1+2＝3，AD＝4，由勾股定理得：AB＝
＝
＝5B，．则5需要爬行的最短距离是 5cCm．；故选：B．
D．
例 4：如图，若要将一块不能弯曲的正方形（不考虑厚度）搬进室内，需要通过一扇高为 2m，宽为 1m 的门，以下边长的木块中哪块可以通过此门？（ ）
北师大版初中八年级数学上册第1章3勾股定理的应用课件
3
勾股定理的应用
核心·重难探究
知识点
勾股定理的应用
【例1】 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处,请你帮蚂蚁设计一条最短的爬行线路,蚂蚁要爬行的最短路
程为多少?
思路分析 (1)你能将长方体展开成平面图形吗?有几种情况?(2)点A到点C1
的最短线路是什么?在展开图中画出来.(3)发现展开图中的直角三角形了
【例2】 某团队到某岛去玩寻宝游戏.如图,他们登陆后,
先向正东走了8 km,再向正北走,走了2 km,遇上礁石,只
好改道向正西走,走了3 km后,再向正北走6 km,再向正
东走1 km,找到了藏宝的地点.求宝藏的地点离登陆点的
距离.
思路分析 实际问题→构造直角三角形→应用勾股定理→解决实际问题.
解 如图,过点B作BD⊥AC于点D,连接AB.
吗?应用勾股定理能求出蚂蚁爬行的最短路程为多少吗?
解 蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点C1,有三种方式,分别展成平面图形
如下:
如图①,在 Rt△ABC1 中,
A12 =AB2+B12 =42+32=52=25.
如图②,在 Rt△ACC1 中,
A12 =AC2+C12 =62+12=37.
如图③,在 Rt△AB1C1 中,
A12 =A12 +B112 =52+22=29.
因为25<29<Fra bibliotek7,所以沿图①的方式爬行路线最短,最短路程是5.
图①
图②
图③
【方法归纳】
解与长方体有关的最短线路问题,只需对长方体进行部分展开,画出局部的
北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》示范课教学设计
第一章勾股定理3 勾股定理的应用一、教学目标1.会灵活运用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.体会勾股定理在代数问题和几何问题中的应用.2.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.3.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题，熟练运用勾股定理进行计算，增强数学知识的应用意识.4.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.二、教学重难点重点：会用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.难点：能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师引导学生回顾勾股定理，并通过简单的提问，回顾勾股定理逆定理以及勾股数的内容，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c².如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是.预设答案：直角三角形.满足a²+b²=c²的三个正整数，称为.预设答案：勾股数.观察思考：小明要去野外郊游，走哪条路最近呢？为什么呢？教师活动：教师提出问题，观察学生如何思考，再让学生说明理由.关注学生能否都认真看题积极思考，能否立刻利用两点之间线段最短确定最短路径.答案：线路③.【问题探究】有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面蚂蚁怎么爬行的路程最短呢？做一做自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？教师活动：让学生说出自己规划的蚂蚁的路线，然后用课件展示.③A→B的路线长为：AA′+A′B ；③A→B的路线长为：AA′+曲线A′B；③A→B的路线长为：曲线AP +曲线PB；③A→B的路线长：曲线AB．将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？教师活动：对照圆柱上的线路，用课件展示侧面剪开图，让学生观察并说出哪条线路最近.教师活动：将圆柱的侧面展开，把曲线分别转化为对应线段，然后结合两点之间线段最短，得出结论：第（4）种方案路程最短．追问：蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？该如何计算呢？答案：在Rt③A′AB中，利用勾股定理，得AB²=AA′²+A′B²．其中AA′是圆柱体的高，A′B是底面圆周长的一半(πr) ．已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则AB=15cm.做一做如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？教师活动：先由学生独立完成，教师及时给予指导，在此活动中，教师应重点关注学生能否进一步理解蚂蚁最近线路该如何走.多媒体展示答题过程解：将正方体展开得到如下图形，由勾股定理得，22AB2.=10+20=50020×1=20(cm).③202<500．③蚂蚁不能在20 s内从A爬到B．【思考探究】教师活动：多媒体演示课件，引导学生观察并思考：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂于底边AB，但他随身只带了卷尺.你能替他想办法完成任务吗？提示：连接BD,如果能算出AD2+AB2=BD2 ,就可以说明边AD和边BC分别垂于底边AB.提示：连接AC,如果能算出AB2+BC2=AC2 ,就可以说明边BC垂于底边AB.问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，边BD长是50 cm.边AD垂直于边AB 吗？教师活动：引导学生通过勾股定理证得BC垂直于AB得出结论.巡视同学做题过程，对于有困难的学生给予指导，然后用多媒体展示答题过程.解:连接BD③AD=30,AB=40,BD=50又③AD2+AB2=302+402=502=BD2③ΔABD为直角三角形,③A=90°③AD⊥AB同理可证得：BC⊥AB.问题：小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N，使AN=12,92+122=152【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.典型例题【例1】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=3 m，CD=1 m，试求滑道AC的长．分析：根据题意可的AC=AB，可设AC为x m,从而AE是（x-1）m,而③AEC是直角三角形，由勾股定理可得AC的值.解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为(x－1)m．在Rt③AEC中，③AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32= x 2，解得x =5．故滑道AC的长度为5 m．【例2】在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？教师根据题干分析题中提供的已知条件，并画出图形.解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt③ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得AB=10米.③这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）A.锐角弯B.钝角弯C.直角弯D.不能确定教师画示意图：222⨯+⨯=⨯(650)(850)(1050)∴所以小刚上学走了个直角弯.答案：C2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长是.教师提示：因为DE是折痕，所以E为AB的中点，AE=BE=12AB，只要根据勾股定理求出Rt△ABC斜边AB的长，就可求出BE的长.答案：5 cm.3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A、B两组相距30km.此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：2小时后，A组行驶的路程为：12×2=24（km）；B组行驶的路程为：9×2=18（km）；又因为A，B两组相距30 km，且有242+182=302所以A，B两组行进的方向成直角.。
北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用 课件(共15张ppt)
试一试
中国人民的聪明智 慧真的让人叹服！
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载 了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各 几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各为多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为
x+1尺。由勾股定理得
5
x2 +52=(x+1)2 x2 +25= x2+2x+1
x x+1
24= 2x
x=12
x+1=13（尺）
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺
小试牛刀
练习2
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水 平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯 的高度ＣＥ＝３ｍ，ＣＤ＝１ｍ，试求滑 道ＡＣ的长
（2）量得AD长是30厘米，AB 长是40厘米，BD长是50厘米。 AD边垂直于AB边吗？
（3)如果李叔叔随身只有一个长 度为20厘米的刻度尺，能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ 边BC与边AB呢？
议一议
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于在直角三角形中求线段 的长度，甚至周长或面积。
如果将圆柱侧面剪开展开成 一个长方形,从A点到B 点的最短路 线是什么?你画对了吗?
例题解析
h 12
C
B
A
解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中 AC 12, BC 1 18 9 2 在RtABC 中，有 ＡＣ２＋ＢＣ２＝１２２＋９２＝２２５＝ＡＢ２ ＡＢ＝１５ 故最短路径是15cm。
北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用(教案)
在今天的课程中，我们探讨了勾股定理的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于导入新课环节，我通过提出一个与生活密切相关的问题来激发学生的兴趣，效果还是不错的。大部分同学都能够积极参与，表达自己的想法。但我也注意到，有些学生对这个问题还不够敏感，可能是因为他们对勾股定理还不够熟悉。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，尽量用简单易懂的语言和例子来引导他们。
-学生需掌握勾股定理的表述和证明，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-学生需学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或确定直角三角形的形状。
-学生应能运用勾股定理推导出直角三角形的其他性质，如面积公式和周长计算。
-举例解释：例如，在解决实际问题中，学生需要能够识别直角三角形的结构，并应用勾股定理来计算斜边的长度。重点在于让学生理解勾股定理是解决这类问题的基本工具。
北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级上册数学第1章第3节“勾股定理的应用”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解勾股定理的应用范围，掌握勾股定理在直角三角形中的运用；
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、确定直角三角形的形状等；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版本八年级上册2.3勾股定理的应用
勾股定理的应用(一)1．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．①由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．①勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．①勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．例题精讲知识点一利用勾股定理列出方程求线段长度的应用例1．如图1-1，在①ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．训练3-1.①ABC中，①ACB=90°，CD是高，若AB=13cm，AC=5cm，则CD的长为___________．训练1-2．如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长．知识点二、勾股定理在实际中的应用（注意列方程的思想解答）勾股定理在生活中的应用三步走：1、学会设未知数x；2、利用题目条件尽量去表示出相关的边长；3、寻找一个合适的三角形使用勾股定理列方程；例题2．一个长方形池塘的池深与池宽相等，如图，有一颗芦苇长在塘中央，露出水面1m，把芦苇顶拉到岸边，刚好与水面齐平，求水深和芦苇的长度（结果可保留根号），你能解决这个问题吗？训练2-1．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直按跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？训练2-2．如图，旗绳自由下垂时，比旗杆长1米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部5米，求旗杆的高度．知识点三、滑梯问题例题3．如图所示，一架长10m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，AO长度是8m；（1）求BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行，如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且BD=1m，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米．例题4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点．当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知梯子长2.5m，D点到地面的垂直距离DE＝1.5m，两墙的距离CE长3.5m．求B点到地面的垂直距离BC．综合应用1．有两棵树，一棵高7米，另一棵高2米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，求小鸟至少需要飞多少米.2．如图．公路AB的同侧有两所学校C、D，学校D到公路的距离DA＝3km，学校C到公路的距离CB＝2km，已知AB＝5km．现在要在公路AB上建一个公交车站E，使车站E 到学校C、D的距离相等，则AE为多少？3．如图，为了求出湖两岸的A、B点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？解：在Rt△ABC中，∠＝90°，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2∴AB2＝（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2＝∴AB＝（米）答：从点A穿过湖到点B有米．ABCDEFAE BCDF 勾股定理的应用（二）翻折问题的应用知识点一 翻转折叠问题1、翻折问题的实质是全等，寻找相等线段和相等角度；2、设X; 并且表示出相关边长；3、在合适的三角形中，用勾股定理列方程；例1．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长．训练1-1．如图，折叠长方形的一边BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF 的长．训练1-2．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，恰与AE重合，求CD的长度．训练1-3.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长是多少？例题2.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为多少？训练2-1．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长.ACDBEFEDCBA训练2-2.．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为多少？训练2-3.如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为多少？综合应用1．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．5．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．。
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
思路点拨：解题的关键是根据题设信息构造直角三角形并求出边 上进行判断.
举一反三
4. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城 街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图1-3-7，一辆小汽车在一 条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A的正前方60 m处的C点，过了5 s后，测得小汽车所在的B点与车 速检测仪A之间的距离为100 m. （1）求B，C间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请 说明理由.
谢谢
解：将曲面沿AB展开，如答图1-3-3，过点C作CE⊥AB于点E,连接 CF. 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18-1-1=16（cm）， CE= ×60=30（cm）， 由勾股定理，得CF2= CE2+EF2＝302+162=342. 所以CF=34（cm）. 答：蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm.
典例精析 【例3】如图1-3-4所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃可口的食物.请你想一想，这只 蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B的最短路程是多少？
解：如答图1-3-1,将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC ＝3×(3＋1)＝12(dm)，∠C＝90°，AB即为最短路程. 在Rt△ABC中，因为AB2＝AC2＋BC2， 所以AB2＝52＋122＝132. 所以AB＝13（dm）. 答：这只蚂蚁从点A出发,沿着台阶面 爬到点B的最短路程是13 dm.
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
目录
01 本课目标 02 课堂演练
本课目标
1. 能够运用勾股定理解决实际问题，体会把立体图形转化为平面 图形，解决“最短路径”的问题，树立转化思想. 2. 会运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 3. 利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及 其逆定理解决实际问题.
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八年级（上）第一章《勾股定理》第３节
《勾股定理的应用》教学设计
第一章：勾股定理
课题：1、3勾股定理的应用
教学目标
1、知识与技能目标：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．
2、过程与方法：(1)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力．
(2)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3 、情感态度与价值观：(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣．
(2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
教学重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．
教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．
教学准备：多媒体课件，自制圆柱
教学过程：
第一环节：知识回顾
1、求出下列三角形中的未知边长
2、下列几组数为边的三角形是否是直角三角形？
（1）2, 3, 4 （2）9, 12, 15 （3）3, 5,7 （4）5, 12, 13
【设计意图】：本节课在解决问题时要运用勾股定理及勾股定理的逆定理，这样设计的意图是为了温故而知新，为本节课的教学做好铺垫。
【教法和学法】：不仅要让学生说出结果，还要让学生说出理论依据，必要时可以让学生写出解答过程。
第二环节：创设情境，引入新课
情景：有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
【设计意图】：情景创设引入新课，激发学生探究热情．从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．
第三环节：合作探究
【教法和学法】学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。
让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．
学生可能会汇总出以下几种方案：
（1）（2）（3）（4）
学生很容易算出：情形（１）中A→B的路线长为：AA’+d，
情形（２）中A→B的路线长为：AA’+周长的一半
所以情形（１）的路线比情形（２）要短．
学生在情形（３）和（４）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，前三种情形A→B是折线，而情形（４）是线段，故根据两点之间线段
最短可判断（４）最短．
如图：
（１）中A→B的路线长为：AA’+d;
（２）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;
（３）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;。