高考数学总复习 5-4 向量的应用及向量与其它知识但因为测试 新人教B版
高考向量的基本知识点总结
高考向量的基本知识点总结一、引言向量是高中数学中非常重要的概念，也是高考数学必考的知识点之一。
理解和掌握向量的基本概念和运算规则对于学生在高考中取得好成绩至关重要。
本文将从向量的定义、向量的表示、向量的运算以及向量的应用等方面进行综述。
二、向量的定义向量是有大小和方向的量。
向量通常用一个有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，而线段的方向则表示向量的方向。
在平面上，向量可以用坐标表示，例如一个二维向量可以表示为 (x, y)。
在空间中，向量可以用坐标表示为 (x, y, z)。
三、向量的表示1. 平面向量的表示平面向量的表示常用坐标表示法，例如 (a, b) 表示一个平面向量，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
2. 空间向量的表示空间向量的表示同样使用坐标表示，例如 (a, b, c) 表示一个空间向量，其中 a、b 和 c 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。
四、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意向量 a、b 和 c，有 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以用坐标方式进行计算，即将对应位置的坐标相加。
2. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘法运算。
即对于任意向量 a 和实数 k，有 k a = a k。
向量的数乘可以用坐标方式进行计算，即将向量的每个坐标乘以实数 k。
3. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法和数乘运算，即 a - b = a + (-b)，其中 -b 表示向量 b 的反向向量。
五、向量的应用向量广泛应用于物理学、几何学等领域。
以下是向量在几何学中的常见应用：1. 向量的共线和共面若两个向量共线，则它们的方向相同或相反；若三个向量共面，则它们在同一平面上。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
高考向量必考知识点
高考向量必考知识点在高考数学考试中，向量是一个必考的重要知识点。
掌握好向量的相关概念和运算规则，对于解题和提高数学成绩都有极大的帮助。
下面将介绍高考中向量的必考知识点，帮助考生全面复习和准备考试。
1. 向量的定义和表示方法向量是具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
向量通常用大写字母加箭头表示，如→AB，表示从A点指向B点的向量。
在二维平面上，向量可以用坐标表示，如→AB = (x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的运算规则(1) 向量的加法：向量的加法满足共线三角形法则，即将两个向量首尾相连，所得的结果向量的起点和终点与原向量的起点和终点重合。
向量的加法可以通过坐标运算和三角函数运算进行。
(2) 向量的数乘：向量的数乘指的是将向量的长度乘以一个实数。
若向量→AB的长度为a，那么实数k与向量的数乘结果为k→AB，其长度为ka。
(3) 向量的减法：向量的减法可以通过向量加法和数乘的运算规则来表示，即a - b = a + (-1) × b。
其中，-1表示方向相反的单位向量。
3. 向量的性质和运算规律(1) 零向量的性质：零向量是长度为0的向量，用0表示。
对于任意向量a，有a + 0 = 0 + a = a。
(2) 向量相等的条件：两个向量相等的充分必要条件是它们的长度相等且方向相同。
(3) 三角不等式：对于任意两个向量a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
即两个向量的和的长度小于等于它们的长度之和。
4. 向量的数量积和向量积(1) 数量积：数量积也称为点积或内积，是两个向量相乘得到一个实数的运算。
向量a与向量b的数量积用a·b表示，其结果为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
(2) 向量积：向量积也称为叉积或外积，是两个向量相乘得到一个向量的运算。
向量a与向量b的向量积用a×b表示，其结果为一个新的向量c，满足c的长度等于|a| |b| sinθ，c的方向垂直于a和b所确定的平面，遵循右手法则。
高考数学向量知识点梳理
高考数学向量知识点梳理向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于多个学科领域，尤其是在高考数学中，向量是一个非常基础且重要的知识点。
本文将对高考数学中的向量知识点进行梳理和总结，帮助同学们更好地掌握和理解这一内容。
一、向量的定义与运算1.1 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段来表示。
向量通常用字母加箭头表示，如→AB。
1.2 向量的表示方法：①点表示法：向量可以由起点A和终点B表示，即→AB；②坐标表示法：向量也可以通过坐标表示，如向量→AB的坐标表示为( x1, y1) - ( x2, y2 )。
1.3 向量的运算：在向量的运算中，主要涉及以下几种基本运算：①向量的加法：→AB + →CD = →AC；②向量的减法：→AB - →CD = →AD；③向量的数乘：k×→AB = →AC，其中k为实数；④向量的共线与共面性：若→AB = k×→CD，则向量→AB与→CD共线；⑤向量的数量积：①两个向量的数量积等于它们长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；②数量积满足交换律，即→AB·→CD =→CD·→AB；③若两个向量的数量积为零，则它们垂直。
二、向量的性质和定理2.1 向量的模与单位向量：向量的模表示向量的长度，记作|→AB|。
单位向量是模为1的向量，记作→e。
2.2 向量的平行与垂直关系：两个向量平行的充分必要条件是它们的方向相同或者相反，记作→AB ∥ →CD。
两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零，记作→AB⊥→CD。
2.3 向量投影：向量→AB在→CD上的投影表示为向量→AD，投影的长度为|→AD|。
2.4 向量的夹角公式：设向量→AB的方向角为α，向量→CD的方向角为β，则有以下夹角公式：① α + β =π，向量方向相反；② α -β = π/2，向量垂直；③ α -β = π/2，向量互余。
三、平面向量的坐标表示对于平面向量→AB，可以用坐标表示来描述它的位置。
新高考向量知识点总结
新高考向量知识点总结随着新高考改革的推进，向量成为数学必修知识之一。
向量既是一种数学工具，又是在物理、工程等领域中常用的概念。
掌握向量知识对于学生来说至关重要。
本文将对新高考中的向量知识点进行总结，帮助同学们系统地理解和掌握这一重要内容。
一、向量的基本概念和表示方法向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
用直角坐标系表示向量时，向量的表示方法为 A（x,y）。
其中，A表示向量的名称，(x,y)表示向量在水平和垂直方向上的分量。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即 A + B = B + A，(A + B) + C =A + (B + C)。
2. 向量的数乘向量的数乘即将向量的每个分量乘以一个实数。
例如，kA = (kx, ky)。
3. 向量的减法向量的减法可通过将减向量取负后与被减向量相加来实现，即 A - B = A + (-B)。
4. 向量的数量积向量的数量积（又称点积或内积）表示两个向量的乘积的数量，用符号 ·表示。
数量积的结果是一个实数。
设 A = (x1, y1) 和 B = (x2, y2)，则 A · B = x1x2 + y1y2。
5. 向量的向量积向量的向量积（又称叉积或外积）表示两个向量的乘积的向量，用符号 ×表示。
向量积的结果是一个垂直于被乘向量所在平面的向量。
设 A = (x1, y1, z1) 和 B = (x2, y2, z2)，则 A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 -z2x1, x1y2 - x2y1)。
三、向量的线性相关性和线性无关性1. 线性相关性若存在不全为零的实数 k1、k2、...、kn，使得 k1A1 + k2A2 + ... + knAn = 0，则称向量组 A1、A2、...、An 线性相关。
2. 线性无关性若向量组 A1、A2、...、An 不满足线性相关性，则称向量组 A1、A2、...、An 线性无关。
2013年数学高考总复习重点精品课件：5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 72张
第五章
第四节
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() 通 向 运 ， 究 何 素 间 关 ； 2 过量算研几元之的系 () 把 算 果 3 运结 “翻 ”成 何 系 译 几关．
3． 量 解 几 向与析何 向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力 工 ， 证 垂 、 夹 、 直 方 时 示 了 的 具 在 明 直 求 角 写 线 程 显 出 它 优 越，处解几问时需将量点坐表， 性在理析何题，要向用的标示 利向的关则性列方，而问解． 用量有法、质出程从使题决
；
→ → AB⊥CD， 需 只 证 AB· ＝0. CD
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() 用 量 处 平 3 向法理行 要两段 证线 → λCD成 ． 立 () 用 量 处 距 4 向法理离 要线 证段 |. AB＝CD， 转 为 明 可化证 →2 → 2 → → AB ＝CD 或|AB|＝|CD AB∥CD，需 存 实 只证在数 → λ≠0，等 使 式 AB＝
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考点典例讲练
第五章
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向量在几何中的应用
[例 1]
如，平四形 图在行边
AC BD
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夯基 实础
稳根 固基
一向的用 、量应 1． 量 几 中 应 向在何的用 用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的 线 表 为 量 然 段 示 向 ， 后 据 形 性 和 点 应 向 的 根 图 的 质 特 ， 用 量
高考数学一轮总复习 52平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教B版
高考数学一轮总复习 52平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ∵a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)， ∵(a ＋b )∥a ，∴1·(k ＋2)＝3k ，∴k ＝1，∴a ＝(1,1)， ∴a ·b ＝2＋2＝4.(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(文)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.(理)(2013·广州综合测试二)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A ．－32B ．－14C.12D.32[答案] A[解析] 依题意得，AB →＝(3,1)，由AB →∥OC →得3(m ＋1)－m ＝0，m ＝－32，选A.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形[答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．4．(文)(2012·天津文，8)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43 D ．2 [答案] B[解析] 由题意，BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝CA →＋AP →＝－AC →＋λAB →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝3λ－4＝－2，∴λ＝23.用模与夹角都已知的AC →，AB →来表示BQ →，CP →是解题关键，(AC →，AB →看作一组基底)．另外本题可以将向量坐标化去解答．(理)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由于点M 在直线BC 上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.5．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则“0≤x ≤12，0≤y ≤23”的概率是( )A.13 B.23 C.14 D.12[答案] A [解析]根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.6．(文)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy⇒xy ＝1，故选B.(理)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12 B.⎝⎛⎭⎫23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，12[答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 二、填空题7．(文)(2014·金山中学月考)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(cos x ，－3)，且a ∥b ，则tan x ＝________.[答案] －13[解析] ∵a ∥b ，∴sin x cos x ＝1－3，∴tan x ＝－13.(理)已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝________.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3. 9．(文)(2013·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →的值为________．[答案] 4[解析] 由题意可知，AD ＝12BC ＝222＝2，(AB →＋AC →)·AD →＝2AD →·AD →＝2|AD →|2＝4.(理)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．[答案] 94[解析]如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0<λ<1)， 又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λx AB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，4(1－λ)y ＝1，解得x ＝14λ，y ＝14(1－λ)，令1λ＝t ，∴t >1， 则4x ＋y ＝1λ＋14(1－λ)＝t ＋t4(t －1)＝(t －1)＋14(t －1)＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取得等号．三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)由条件得cos π4＝(a －b )·(a ＋t b )|a －b ||a ＋t b |，∵|a －b |＝(a －b )2＝6，|a ＋t b |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2，(a －b )·(a ＋t b )＝5－t ，∴5－t 65＋t 2＝22，且t <5， ∴t 2＋5t －5＝0，∴存在t ＝－5±352满足条件.能力拓展提升一、选择题11．平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝0，则三角形ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] (AB →－BC →)·(AD →－CD →) ＝(AB →－BC →)·(AD →＋DC →) ＝(AB →－BC →)·AC →＝(AB →－BC →)·(AB →＋BC →) ＝|AB →|2－|BC →|2＝0， 故|AB →|＝|BC →|，即△ABC 是等腰三角形．12．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －(1＋22)b B ．－2a ＋(1＋22)b C ．－2a ＋(1－22)b D.2a ＋(1－22)b [答案] B [解析]根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°，以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形，由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D (22，1＋22)，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝(22－1,1＋22)，令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22.∴AD →＝－2a ＋(1＋22)b . 13.(2013·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B. 2C. 3 D ．2[答案] B[解析] 方法一：以O 为原点，向量OA →，OB →所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设〈OA →，OC →〉＝θ，θ∈[0，π2]，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(cos θ，sin θ)．∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，又θ＋π4∈[π4，3π4]，∴x ＋y 的最大值为 2.方法二：因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2＝1≥(x ＋y )22.所以x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立． 二、填空题14．(2013·广东江门质检)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a－2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．[答案] －1[解析] ∵A 、B 、D 三点共线，∴AB →与BD →共线， ∵AB →＝2a ＋p b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， ∴存在实数λ，使2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a 与b 不共线，∴λ＝1，p ＝－1. 三、解答题 15.(2013·天津一模)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点．令CP →＝p ，试用p 表示PQ →.[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由已知条件得3CP →＝P A →＋2PB →，即3p ＝a ＋2b ， 设PQ →＝λCP →(λ为实数)，则PQ →＝λ3(a ＋2b )．设AQ →＝μAB →(μ为实数)， 又PQ →＝P A →＋AQ →＝P A →＋μAB →＝P A →＋μ(PB →－P A →) ＝(1－μ)a ＋μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧λ3＝1－μ，2λ3＝μ.解得λ＝1，因此PQ →＝λCP →＝p .16．(文)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2b ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，32，n ＝(1，sin A ＋3cos A )，且m 与n 共线．(1)求角A 的大小； (2)求ac的值．[解析] (1)∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. ∴2A －π6＝π2.∴A ＝π3.(2)由余弦定理及c ＝2b 、A ＝π3得，a 2＝⎝⎛⎭⎫c 22＋c 2－2·c 2·c cos π3， a 2＝34c 2，∴a c ＝32.(理)设a 、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM →＝m a ，ON →＝n b ，OP →＝αa ＋βb ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1.[解析] (1)∵AB →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b . 而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →，∴AB →与BC →共线，且有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线． (2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ使得 (8a ＋k b )＝λ(k a ＋2b )⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0.⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.(3)证法1：∵M 、P 、N 三点共线，∴存在实数λ，使得MP →＝λPN →，∴OP →＝OM →＋λON →1＋λ＝m1＋λa ＋λn1＋λb ， ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝m1＋λ，β＝λn1＋λ∴αm ＋βn ＝11＋λ＋λ1＋λ＝1. 证法2：∵M 、P 、N 三点共线，∴OP →＝xOM →＋yON →且x ＋y ＝1， 由已知可得：xm a ＋yn b ＝αa ＋βb ， ∴x ＝αm ，y ＝βn ，∴αm ＋βn＝1.考纲要求了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．补充材料1．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．2．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．3．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 备选习题1．已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确的是( ) A ．(a ＋b )⊥(a －b ) B ．a 与b 的夹角等于α－β C ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的射影相等 [答案] B[解析] 注意到|a |＝|b |＝1，因此(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )；注意到α－β未必属于(0，π)，因此a ，b 的夹角未必等于α－β；由三角形法则可知，|a ＋b |＋|a －b |2>1，于是有|a ＋b |＋|a －b |>2；结合三角形法则及一个向量在另一个向量上的射影的意义可知，a ，b 在a ＋b 方向上的射影相等．综上所述，其中不正确的说法是B ，选B.2．在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)， 令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.3．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10[答案] C[解析] ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，∴AC ⊥BD ， 又|AC →|＝5，|BD →|＝25， ∴S ＝12×5×25＝5.4．(2013·哈尔滨质检)已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A.1027B ．2 2 C.52 D.52或2 2 [答案] B[解析] 据题意a ∥b 则m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32，当m ＝32时a ＝(4,3)，b ＝(2，32)，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝2 2.5.(2013·铜陵一模)如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9[答案] D[解析] 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图所示，因为∠A ＝60°，菱形的边长为2，所以D (1，3)，B (2,0)，C (3，3)．因为M 为DC 的中点，所以M (2，3)，设N (x ，y )，则N 点的活动区域为四边形ABCD 内(含边界)，则AM →·AN →＝(2，3)·(x ，y )＝2x ＋3y ，令z ＝2x ＋3y ，得y ＝－23x ＋z3，由线性规划知识可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－23x ＋z3的截距最大，此时z 最大，所以最大值为z ＝2x ＋3y ＝2×3＋3×3＝6＋3＝9.故选D.6．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －1)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝2[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点构不成三角形， ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上，∴存在实数λ，使OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴(k ＋1，k －1)＝(2－λ，－2λ－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝2－λ，k －1＝－2λ－1，解之得k ＝2. [点评] 由于三点A 、B 、C 构不成三角形，∴A 、B 、C 共线，∴AB →与AC →共线，∴存在λ，使AC →＝λAB →，解λ、k 的方程可得k 值．。
向量在高考数学中的应用
向量在高考数学中的应用在高考数学中，向量是一个重要的概念。
它的应用可以涉及到许多不同的数学领域，如代数、几何、微积分等等。
在本篇文章中，我们将讨论向量的基础知识和高考数学中的应用。
一、向量的基础知识向量是有大小和方向的量。
可以用一个带箭头的线段来表示，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
向量的坐标可以用一个有序数对表示。
假设向量A的坐标为(x1,y1)，向量B的坐标为(x2,y2)，则它们的差向量C的坐标为(x2-x1,y2-y1)。
一个向量可以加、减、乘以一个标量(即实数)，这些运算后得到的仍然是一个向量。
二、向量的应用1.在平面几何中的应用在平面几何中，向量可以用来求线段的长度、角度、垂足等问题。
例如，已知线段AB的两个端点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则线段AB的长度可以用向量求解。
设差向量AB=(x2-x1,y2-y1)，则线段AB的长度为|AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
向量也可以用来求两条线的夹角。
假设有两条线l1:ax+by+c1=0和l2: ax+by+c2=0，设向量n1=(a,b)和n2=(a,b)，则它们的夹角可以用下列公式计算cosθ=(n1·n2)/(|n1|·|n2|)，其中·表示点积运算，即(n1·n2)=n1的x坐标×n2的x坐标+n1的y坐标×n2的y坐标。
2.在代数学中的应用在代数学中，向量可以用来表示线性方程、矩阵等等。
例如，一个线性方程组可以转化为一个矩阵与向量的乘法。
假设有线性方程组Ax=b，其中A是一个矩阵，x和b都是向量，则该方程可以写为A·x=b。
这个式子的意思是将矩阵A和向量x相乘，得到一个新的向量b。
通过解这个方程组，我们可以求出向量x的值。
3.在微积分中的应用在微积分中，向量可以用来表示曲线的切线和法线。
假设有一条平面曲线y=f(x)，其在点P(x0,y0)处的切向量为v，则v=(1,f'(x0))，其中f'(x0)表示函数f在x0这个点的导数。
2013年数学高考总复习重点精品课件：5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 72张共73页文档
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
第五章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
基础梳理导学
第五章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
重点难点 引领方向 重点：了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题． 难点：1.平面向量数量积的应用． 2．向量与其他知识的综合问题．
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
1．向量具有数的特性，常与函数、三角、数列、不等式 等许多重要内容结合命题，而且我们也可通过构造向量来处 理许多代数问题．
平面向量与几何问题的综合及应用通常涉及到长度、角 度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，目标是将几何 问题符号化、数量化、坐标化，从而将推理转化为运算．向 量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的，明 确了几何意义使向量的代数形式的运算得以实施，而运算的 结果则可以肯定或否定几何结论．
第五章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
(1)用向量法求角
a·b
设向量 a 与 b 的夹角为 α，则 cosα＝ |a|·|b| .
x1x2＋y1y2 若 a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则 cosα＝ x21＋y21× x22＋y22 ；
(2)用向量法处理垂直
要证两线段 AB⊥CD，只需证A→B·C→D＝0.
第五章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
一般研究夹角问题总是从数量积入手，研究长度则从模 的运算性质入手，而研究共线、共点问题则多从向量的加减 运算及实数与向量的积着手．
2．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
高考数学总复习 5-3 平面向量的数量积但因为测试 新人教B版
∴cosA＝＝，∵0<A<π，∴A＝.
(理)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα－ysinα＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是()
A．相切B．相交
C．相离D．随α，β值的变化而变化
又||＝||＝1，故向量在向量方向上的射影数量为||cos＝.
5．(2011·汕头二检)若平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()
A.B．2
C．4D．12
[答案]B
[解析]∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，
∵|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝2×1×cos60°＝1，
∴|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝12，
∴|a＋2b|＝2.
6．(文)(2010·广西南宁二中模考)在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则∠A的大小为()
A.B.
C.D.
[答案]B
[解析]m·n＝b(b－c)＋c2－a2
[答案]1
[解析]由a＋b与ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－ab＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0，若a·b＝－1，则a与b夹角18 0°，与a，b不共线矛盾，∴k－1＝0，∴k＝1.
8．(2011·江西文，11)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
A.B.
C.D.
[答案]C
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 新人教A版
5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(2012²沈阳市二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足xAB →＋yAD →＋PA →＝0(x ，y ∈R )，则当点P 在以A 为圆心，33|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为( )A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1 B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1 C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1 D ．x 2＋4y 2＋2xy ＝1[答案] D[解析] ∵xAB →＋yAD →＋PA →＝0，∴AP →＝xAB →＋yAD →，∵AD ＝2AB ，∠BAD ＝60°，∴BD ＝3AB ，∴|AP →|＝33|BD →|＝|AB →|，∴|AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝x 2|AB →|2＋y 2|AD →|2＋2xy ²AB →²AD →＝x 2|AB →|2＋4y 2|AB →|2＋2xy ²|AB →|²|AD →|²cos60°＝(x 2＋4y 2＋2xy )|AB →|2，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1，故选D.2．(2012²河北郑口中学模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析] 如图，PB →＋PC →＝PE →＝2PD →，∵PB →＋PC →＋2PA →＝0，∴PA →＋PD →＝0，∴P 为AD 的中点，∴所求概率为P ＝S △PBC S △ABC ＝12. 3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)²AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由条件知|AC →|2＝(BC →＋BA →)²(BC →－BA →) ＝|BC →|2－|BA →|2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴△ABC 为直角三角形．4．(2012²郑州六校质检)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝14时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2＋t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＝4t 2＋4t cos θ＋1＝4t ＋cos θ22＋1－cos 2θ.又∵当且仅当t ＝14时，|m |最小，即14＋cos θ2＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.故选C.5．(文)(2011²河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →²ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2³(13)2－1＝－79，∴OM →²ON →＝3³3cos2θ＝－7，选A.(理)设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→²PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2 [答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2³12³F 1F 2²h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→²PF 2→＝|PF 1→|²|PF 2→|²cos120° ＝2³2³(－12)＝－2.6．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC的外心，则OC →²CA →＝( )A ．6B ．－6C ．8D ．－8[答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，∴OC →²CA →＝－CO →²CA →＝－12(CA →＋CB →)²CA →＝－12|CA →|2－12CB →²CA →＝－8.7.(文)(2011²佛山二检)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →²BD →＝________.[答案] 1[解析] 以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．由题设条件得A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)， ∴AE →²BD →＝1. (理)(2012²宁夏三市联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E为CD 的中点，则AE →²BD →＝________.[答案] －32[解析] AE →²BD →＝(AD →＋12DC →)²(BA →＋BC →)＝AD →²BA →＋AD →²BC →＋12DC →²BA →＋12DC →²BC →＝－32.8．(2011²河北玉田一中质检)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ²b 在区间(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围为________．[答案] t ≥5[解析] 由题意知，f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则f ′(x )≥0在(－1，1)上恒成立⇔t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立，令g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13、开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，必有t ≥g (－1)成立，即t ≥5成立．故使f (x )在(－1,1)上是增函数的t 的取值范围是t ≥5.9.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)²PC →的最小值为________．[答案] －92[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(PA →＋PB →)²PC →＝2PO →²PC →＝－2x ³(3－x )＝2x 2－6x ＝2(x－32)2－92，所以(PA →＋PB →)²PC →的最小值为－92. 10．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数． (1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求|x a －b |的最小值及对应的x 值，并指出向量a 与x a －b 的位置关系．[解析] (1)由题意得，(a ＋2b )²(a －4b )＝0.即a 2－2a ²b －8b 2＝0，得32－2³3³1³cos θ－8³12＝0，得cos θ＝16，又θ∈(0，π)，故θ∈(0，π2)，因此，sin θ＝1－cos 2θ＝1－162＝356， tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)|x a －b |＝x a －b 2＝x 2a 2－2x a ²b ＋b 2＝9x 2－2x ³3³1³cos π6＋1＝9x －362＋14， 故当x ＝36时，|x a －b |取得最小值12， 此时，a ²(x a －b )＝x a 2－a ²b ＝36³9－3³1³cos π6＝0，故向量a 与x a －b 垂直. 能力拓展提升11.(文)已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案] A[解析] 由PA →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A.(理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →²AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 由题意F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，∵OA →²AF →＝－4，∴y 204(1－y 204)－y 20＝－4，解得y 0＝2或y 0＝－2. ∴当y 0＝2时，x 0＝y 204＝1；当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)．故选B.12．(2011²北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →²ON →＝0，则A ²ω等于( )A.π6 B.712π C.76π D.73π [答案] C[解析] 由图可知，T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2.∵M (π12，1)在图象上，∴sin(2³π12＋φ)＝1，∵|φ|＝π2，∴φ＝π3，∴y ＝A sin(2x ＋π3)，又∵M (π12，A )，N (7π12，－A )，OM →²ON →＝0，∴π12³7π12－A 2＝0，∴A ＝712π， ∴A ²ω＝2³712π＝76π，故选C. 13．(文)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，向量CA→在CB →方向上的投影为( )A ．－3B ．－ 3 C. 3 D ．3[答案] C[解析] ∵OA →＋AB →＋AC →＝0， ∴OB →＝CA →，∴|OB →|＝|CA →|，又|OA →|＝|AB →|，∴如图，AB ＝AC ＝OA ＝OB ＝OC ＝2，∠ACB ＝30°，∴CA →在CB →方向上的投影为|CA →|²cos30°＝2³32＝ 3.(理)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →²MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝22，∴MC →²BA →＝|MC →|²|BA →|²cos45°＝22³2³22＝1， MB →²CD →＝|MB →|²|CD →|²cos135°＝22³1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12， ∴MA →²MD →＝(MB →＋BA →)²(MC →＋CD →)＝MB →²MC →＋MB →²CD →＋BA →²MC →＋BA →²CD →＝－⎝⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＋2³1＝2，故选B. 14．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．[答案]102[解析] ∵PF 与圆x 2＋y 2＝a 24相切，∴OE ⊥PF ，且OE ＝a2，∵OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|PF 2|＝2|OE |＝a ，由双曲线定义知，|PF |＝|PF 2|＋2a ＝3a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF |2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴a 2＋9a 2＝4c 2，∴e 2＝52，∵e >1，∴e ＝102. 15.(文)点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，求证：AD ⊥BC .[分析] 要证明AD ⊥BC ，则只需要证明AD →²BC →＝0，可设AD →＝m ，AB →＝c ，AC →＝b ，将BC →用m ，b ，c 线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明] 设AB →＝c ，AC →＝b ，AD →＝m ，则BD →＝AD →－AB →＝m －c ，CD →＝AD →－AC →＝m －b . ∵AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，∴c 2＋(m －b )2＝b 2＋(m －c )2，即c 2＋m 2－2m ²b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m ²c ＋c 2，∴m ²(c －b )＝0，即AD →²(AB →－AC →)＝0，∴AD →²CB →＝0，∴AD ⊥BC .(理)已知四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F .求证：AF ＝AE .[证明]如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则A (－1,1)，B (0,1)，设E (x ，y )，则BE →＝(x ，y －1)，AC →＝(1，－1)，又AC →∥BE →，∴x ²(－1)－1³(y －1)＝0，∴x ＋y －1＝0 ①.又|CE →|＝|AC →|，∴x 2＋y 2－2＝0 ②. 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32y ＝1－32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32y ＝1＋32(舍去)，即E (1＋32，1－32)．设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →＝(1＋32，1－32)共线得1－32x ′－1＋32＝0，解得x ′＝－2－3，∴F (－2－3，1)，∴AF →＝(－1－3，0)，AE →＝(3＋32，－1＋32)，∴|AE →|＝3＋322＋－1＋322＝1＋3＝|AF →|，∴AF ＝AE .16．(文)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →²AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由PA →²AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →得，(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y3.把a ＝－x2代入①，得－x2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．(理)(2011²山东潍坊质检)已知椭圆x 28＋y 22＝1的两个焦点分别为F 1和F 2，点P 为椭圆上的动点，则当∠F 1PF 2为锐角时，求点P 的纵坐标y 0的取值范围．[分析] ∠F 1PF 2可视为PF 1→与PF 2→的夹角，因此可通过PF 1→²PF 2→>0建立关于y 0的不等式求得y 0的取值范围．[解析] 设P (x 0，y 0)，由于P 点在椭圆上，所以x 208＋y 202＝1，∵PF 1→²PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos∠F 1PF 2，若∠F 1PF 2为锐角，则cos ∠F 1PF 2>0， 故PF 1→²PF 2→>0，而F 1(－6，0)，F 2(6，0)，PF 1→＝(－6－x 0，－y 0)，PF 2→＝(6－x 0，－y 0)，所以PF 1→²PF 2→＝x 20－6＋y 20>0，又x 20＝8－4y 20，因此8－4y 20＋y 20－6>0， 解得－63<y 0<63，但由于当y 0＝0时，点P 与椭圆长轴重合，∠F 1PF 2不是锐角， 所以y 0的取值范围是－63<y 0<0或0<y 0<63. [点评] 利用平面向量的数量积可以解决角的范围问题，如果∠APB 为锐角(钝角)时，可通过PA →²PB →>0(PA →²PB →<0)来求解，但要注意其中A 、P 、B 三点共线的情况．本题中很容易忽视y0≠0这一限制条件．1．(2011²江南十校素质测试)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|k a ＋b ＋c |>1，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)[答案] C[解析] 根据|k a ＋b ＋c |>1可得|k a ＋b ＋c |2>1， ∴k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ²b ＋2k a ²c ＋2c ²b >1， ∴k 2－2k >0，k <0或k >2.2．(2011²浙江理)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．[答案] [π6，5π6][解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝12，∵|α|≤1，|β|≤1，∴sin θ≥12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]．3．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在动摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？[分析] 力F 作用下物体位移s 所做的功W ＝|F ||s | cos 〈F ，s 〉．[解析] 设木块的位移为s ， 则F ²s ＝|F ||s |cos30°＝50³20³32＝5003(J)， F 在竖直方向上的分力的大小为|F |sin30°＝50³12＝25(N)．所以，摩擦力f 的大小为 |f |＝(80－25)³0.02＝1.1(N)， 所以f ²s ＝|f ||s |cos180° ＝1.1³20³(－1)＝－22(J)．即F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J. 4．求证：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．[分析] 联想到向量模的坐标表示式，可将a 2＋b 2与c 2＋d 2分别视作向量α＝(a ，b )，β＝(c ，d )的模，于是ac ＋bd ＝α²β，因此可以运用向量知识探求证明方法．[证明] 设OA →＝(a ，b )，OB →＝(c ，d )．当OA →、OB →至少有一个为零向量时，所证不等式成立； 当OA →、OB →均不是零向量时，设其夹角为α，则有cos α＝OA →²OB→|OA →|²|OB →|＝ac ＋bda 2＋b 2²c 2＋d 2，∵|cos α|≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd a 2＋b 2²c 2＋d 2≤1，即(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．[点评] 待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决．本例中a 2＋b 2，c 2＋d 2与向量的模有联系，而ac ＋bd 与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示．。
高考数学总复习 5-1 平面向量的概念与线性运算但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 5-1 平面向量的概念与线性运算但因为测试新人教B 版1.(文)(2011·宁波十校联考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0[答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.(理)(2011·广西六校联考、北京石景山检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →[答案] A[解析] ∵OB →＋OC →＝2OD →， ∴2OA →＋2OD →＝0，∴AO →＝OD →.2．(文)(2011·皖南八校联考)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b 的”( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则存在实数λ，使a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故选A.(理)(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] 由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，即AB ＝CD ，AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形． 又(AB →－AD →)·AC →＝0，∴DB →·AC →＝0，即AC ⊥BD ， 因此四边形ABCD 是菱形，故选B.3．(文)如图所示，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14bC.12a ＋14b D ．－13a ＋13b[答案] B[解析] ∵AE →＝3ED →，∴ED →＝14AD →，∵BD →＝12DC →，∴BD →＝13BC →，∴BE →＝BD →－ED →＝BD →－14AD →＝BD →－14(AB →＋BD →)＝34BD →－14AB →＝14BC →－14AB →＝14AC →－12AB →＝14b －12a .(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.13a ＋23bC.12a ＋14bD.23a ＋13b [答案] D[解析] 由条件易知，DF →＝13DC →，∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.4．(2011·福建福州质量检查)如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a 、b 如图，则向量a －b 可表示为( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[答案] C[解析] 连接图中向量a 与b 的终点，并指向a 的终点的向量即为a －b ，∴a －b ＝e 1－3e 2.5．(文)(2011·厦门模拟)已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋12OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．0 B.13 C.12 D.16[答案] D[解析] ∵x ＋12＋13＝1，∴x ＝16.(理)(2011·惠州模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →，则μλ的值为( ) A ．1 B.12 C ．2 D.13 [答案] C[解析] CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →∴λ＝13，μ＝23，∴μλ＝2.6．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP | |P B |＝2，如图所示，则OP →＝( )A.13e 1－23e 2 B.23e 1＋13e 2C.13e 1＋23e 2D.23e 1－13e 2 [答案] C[解析] AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB →－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2.7.(2011·山东济南市调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．[答案]311[解析] (如图)因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.8．(文)(2011·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.[答案] 13[解析] ∵OC →＝23OA →＋13OB →，23＋13＝1，∴A 、B 、C 三点共线，∵AC →＝OC →－OA →＝13OB →－13OA →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13. (理)(2011·聊城模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中， λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] 43[解析]如图，∵ABCD 是▱，且E 、F 分别为CD 、BC 中点． ∴AC →＝AD →＋AB → ＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →)＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9．(2011·泰安模拟)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．[答案] －1[解析] ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λp ＝－λ，∴p ＝－1. 10．(文)如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c 、d 表示AB →、AD →.[解析] 解法一：AD →＝AM →－DM →＝c －12AB →①AB →＝AN →－BN →＝d －12AD →②由①②得AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M 、N 分别为CD 、BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，于是有：⎩⎨⎧c ＝b ＋12ad ＝a ＋12b ，解得⎩⎨⎧a ＝232d －c b ＝232c －d ，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．(理)如图，在△ABC 中，AM AB ＝1 3，AN AC ＝1 4，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.[分析] 由已知条件可求AM →、AN →，∵BN 与CM 相交于点P ，∴B 、P 、N 共线，C 、P 、M 共线，因此，可以设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，利用同一向量的两种a ，b 的线性表示及a 、b 不共线求解；也可以设BP →＝λBN →，用a 、b ，λ来表示CP →与CM →，利用CP →与CM →共线及a 、b 不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．[解析] 由题意知：AM →＝12AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b .BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb .∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb ，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb ，而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a＋211b . [点评] ∵P 是CD 与BE 的交点，故可设DP →＝λDC →，利用B 、P 、E 共线，∴BP →与BE →共线，求出λ，从而AP →＝AD →＋DP →获解.11.(2011·山东青岛质检)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2010OB →，三点A 、B 、C 共线且该直线不过O 点，则S 2010等于( )A ．1005B ．1006C ．2010D ．2012[答案] A[解析] 由题意知，a 1＋a 2010＝1， 又数列{a n }为等差数列，所以S 2010＝a 1＋a 20102×2010＝1005，故选A.12．(文)(2011·安徽安庆模拟)已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足3P A →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△P AC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S [答案] C [分析]由系数3＋2＝5，可将条件式变形为3(P A →＋PB →)＋2(PB →＋PC →)＝0，故可先构造出P A →＋PB →与PB →＋PC →，假设P 为P ′点，取AB 、BC 中点M 、N ，则PM →＝12(P A →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，条件式即转化为PM →与PN →的关系．[解析] 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ， 则PM →＝12(P A →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，∵3P A →＋5PB →＋2PC →＝0， ∴3(P A →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)，∴3PM →＝－2PN →，即点P 在中位线MN 上， ∴△P AC 的面积为△ABC 面积的一半，故选C.(理)(2011·东北三校联考)在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为( )A.12B.23C.34D.45[答案] C[解析] ∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， ∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线， ∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA → ＝x2CB →＋(x －1)AC →(0<x <1)， ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋(x2－1)AC →.∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →，且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋(x 2－1)AC →＝t (－AC →＋13AB →)， ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34，故选C. 13．已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________． [答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－2 1－y ，解得x ＝－2，y ＝－1.14．(文)(2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM→＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示) [答案] －23e 1＋512e 2[解析] ∵NC →＝14AC →＝14e 2，∴CN →＝－14e 2，∵BM →＝12MC →，BM →＋MC →＝BC →＝AC →－AB →＝e 2－e 1，∴MC →＝23(e 2－e 1)，∴MN →＝MC →＋CN →＝23(e 2－e 1)－14e 2＝－23e 1＋512e 2.(理)(2010·聊城市模拟)已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 如图，∵D 是BC 中点，将△ABC 补成平行四边形ABQC ，则Q 在AD 的延长线上，且|AQ |＝2|AD |＝2|DP |，∵P A →＋BP →＋CP →＝BA →＋CP →＝0，∴BA →＝PC →，又BA →＝QC →，∴P 与Q 重合， 又∵AP →＝λPD →＝－2PD →，∴λ＝－2.15．(文)已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )． (1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？ [解析] (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x )．∵AB →∥CD →，∴x 2－4＝0，即x ＝±2. (2)当x ＝±2时，AB →∥CD →.当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)， ∴AB →∥BC →.此时A 、B 、C 三点共线，从而，当x ＝－2时，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上． 但x ＝2时，A 、B 、C 、D 四点不共线．(理)(2011·济南模拟)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．[解析] 依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ， 得OP →－OA →＝λ(a ＋b )， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ， 则AP →＝λAD →，∴A 、P 、D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点(或△ABC 的重心)．1．(2010·新乡市模考)设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD→＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形[答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →， ∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．2．(2011·银川模拟)已知a 、b 是两个不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R)，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴存在t ∈R ，使AB →＝tAC →， ∴λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝ta ＋tμb ，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t1＝tμ，即λμ＝1.3．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解：∵ka ＋b 与a ＋kb 共线， ∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.4．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →. (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． (4)求点P 的轨迹方程．[解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )， ∴P (1＋3t,2＋3t )．(1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <02＋3t >0.∴－23<t <－13.(3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )． 若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝32＋3t ＝3，而上述方程组无解， ∴四边形ABPO 不可能为平行四边形． (4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )， 设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2＋3t ，∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程．。
2013高三数学总复习同步练习：5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题
5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(文)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝( )A ．6B ．－6C ．8D ．－8 [答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA →＝－12|CA →|2－12CB →·CA →＝－8.(理)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×22＝1， MB →·CD →＝|MB →|·|CD →|·cos135°＝22×1×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝－12，∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B.2．已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A,1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定[答案] A[解析] 解法1：p ·q ＝sin A －cos B ，若p 与q 夹角为直角，则p ·q ＝0，∴sin A ＝cos B ，∵A 、B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝B ＝π4，则C ＝π2，与条件矛盾；若p 与q 夹角为钝角，则p ·q <0，∴sin A <cos B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∵sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴A <π2－B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2这与条件矛盾，∴p 与q 的夹角为锐角．解法2：由题意可知A ＋B >π2⇒A >π2－B ⇒sin A >sin(π2－B )＝cos B ⇒p ·q ＝sin A －cos B >0，又显然p 、q 不同向，故p 与q 夹角为锐角．3．(2012·河北郑口中学模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析] 如图，PB →＋PC →＝PE →＝2PD →，∵PB →＋PC →＋2P A →＝0，∴P A →＋PD →＝0，∴P 为AD 的中点，∴所求概率为P ＝S △PBC S △ABC ＝12.4．(文)(2011·成都市玉林中学期末)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．(理)(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.5．(2012·吉林实验中学模拟)如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD →[答案] D[解析] EF →＝AF →－AE →＝(AB →＋12BC →)－(AD →＋12DC →) ＝AB →＋12AD →－AD →－12AB →＝12AB →－12AD →.6．(2012·浙江宁波市期末)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12 B.32 C. 2 D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.7.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．[答案] －92[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x ×(3－x )＝2x 2－6x ＝2(x －32)2－92，所以(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－92.8．(2012·会昌月考)已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.[答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.9.(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] －32[解析] AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2－12AD →·AB →＝1－2－12×1×2·cos60°＝－32.10．(文)(2012·豫南九校联考)已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数f (x )最小正周期T ＝2π. (2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π4)取到最大值 2. (理)(2012·龙岩月考、河北衡水中学调研)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．[解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0，即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ， 所以cos A ＝32，A ＝30°.(2)方案一：选择①②，可确定△ABC ， 因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14， 方案二：选择①③，可确定△ABC ， 因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24，由正弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14. (注意：选择②③不能确定三角形)能力拓展提升11.(文)(2012·浙江省样本学校测试)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝3，AC ＝5，BC ＝7，则AO →·BC →等于( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8[答案] D[解析]取BC 的中点M ，连接AM 、OM ， AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →＝AM →·BC →＝AC →＋AB →2·(AC →－AB →)＝|AC →|2－|AB →|22＝8，故选D. (理)(2011·福建理，8)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2][答案] C[解析] OA →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.12．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2[答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120° ＝2×2×(－12)＝－2.13．(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy 中，i 、j 分别是与x轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝________.[答案] 0或－2[解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋m j )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2； 当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝(2i ＋m j )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或m ＝－2.14．(2012·苏北四市统考)已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．[答案] 3[解析] AP →＝(x －1，y )，OA →＝(1,0)， BP →＝(x ，y －2)，OB →＝(0,2)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2(y －2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥2， ∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋2×2＝3，∴OP →·AB →的最小值为3.15．(文)已知向量a ＝1sin x ，－1sin x ，b ＝(2，cos2x )，其中x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(1)试判断向量a 与b 能否平行，并说明理由？ (2)求函数f (x )＝a ·b 的最小值．[解析] (1)若a ∥b ，则有1sin x ·cos2x ＋1sin x ·2＝0. ∵x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos2x ＝－2，这与|cos2x |≤1矛盾，∴a 与b 不能平行． (2)∵f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2xsin x＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x ， ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴sin x ∈(0,1]，∴f (x )＝2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x ＝2 2.当2sin x ＝1sin x ，即sin x ＝22时取等号， 故函数f (x )的最小值为2 2.(理)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →得，(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x2)＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0)．16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[证明] AD →·CE →＝(AC →＋12CB →)·(CA →＋23AB →)＝－|AC →|2＋12CB →·CA →＋23AB →·AC →＋13AB →·CB →＝－|AC →|2＋12|CB →||CA →|cos90°＋223|AC →|2cos45°＋23|AC →|2cos45°＝－|AC →|2＋|AC →|2＝0，∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .1．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A ．(0，π6)B ．(π6，π] C ．(π3，π] D ．(π3，2π3][答案] C[解析] 设a 与b 的夹角为θ，f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a ·b >0⇒cos θ<12，又θ∈[0，π]，所以θ∈(π3，π]，故选C.2．设F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝3，则该抛物线的方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝6xD ．y 2＝8x [答案] A[解析] ∵F (p2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 由F A →＋FB →＋FC →＝0得，(x 1－p 2)＋(x 2－p 2)＋(x 3－p2)＝0， ∴x 1＋x 2＋x 3＝32p . 又由抛物线定义知，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p 2)＋(x 3＋p2)＝3p ＝3，∴p ＝1， 因此，所求抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.3．不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案] A[解析] 由P A →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ.消去λ得x ＋y ＝2，故选A. 4．已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2[答案] D[解析] ∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →＝(a －at ，at )， ∴OA →·OP →＝a 2(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →≤a 2.5．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC 、△MCA 和△MAB 的面积分别为12、x 、y ，则1x ＋4y 的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵AB →·AC →＝23，∴bc cos A ＝23， ∵∠BAC ＝30°，∴bc ＝4， ∴S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝12，1x ＋4y ＝2(x ＋y )x ＋8(x ＋y )y ＝(2y x ＋8xy )＋10≥18. 等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝8x y ，x ＋y ＝12.∴x ＝16，y ＝13，∴在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝13.时，1x ＋4y 取得最小值18.6．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．[答案]102[解析] ∵PF 与圆x 2＋y 2＝a 24相切，∴OE ⊥PF ，且OE ＝a2，∵OE→＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，又O 为FF 2的中点，∴|PF 2|＝2|OE |＝a ，由双曲线定义知，|PF |＝|PF 2|＋2a ＝3a ，在Rt △PFF 2中，|PF |2＋|PF 2|2＝|FF 2|2，∴a 2＋9a 2＝4c 2，∴e 2＝52，∵e >1，∴e ＝102.7．(2012·广东惠州二调)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)与b ＝(3，1)，其中θ∈(0，π2)．(1)若a ∥b ，求sin θ和cos θ的值； (2)若f (θ)＝(a ＋b )2，求f (θ)的值域． [解析] (1)∵a ∥b ，∴sin θ·1－3cos θ＝0， 求得tan θ＝ 3.又∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3.∴sin θ＝32，cos θ＝12.(注：本问也可以结合sin 2θ＋cos 2θ＝1或化为2sin(θ－π3)＝0来求解)(2)f (θ)＝(sin θ＋3)2＋(cos θ＋1)2 ＝23sin θ＋2cos θ＋5＝4sin(θ＋π6)＋5， 又∵θ∈(0，π2)，θ＋π6∈(π6，2π3)， 12<sin(θ＋π6)≤1，∴7<f (θ)≤9，即函数f (θ)的值域为(7,9]．。
2022年高考数学总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 新人教B版
5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1文如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则错误!错误!6 22a2a＝－1,1，n＝co B co C，in B in C－错误!，且m⊥n1求A的大小；2现在给出下列三个条件：①a＝1；②2c－错误!＋1b＝0；③B＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分．[解析]1因为m⊥n，所以－co B co C＋in B in C－错误!＝0，即co B co C－in B in C＝－错误!，所以co B＋C＝－错误!，因为A＋B＋C＝π，所以co B＋C＝－co A，所以co A＝错误!，A＝30°2方案一：选择①②，可确定△ABC，因为A＝30°，a＝1,2c－错误!＋1b＝0，由余弦定理得，12＝b2＋错误!b2－2b·错误!b·错误!解得b＝错误!，所以c＝错误!，所以S△ABC＝错误!bc in A＝错误!·错误!·错误!·错误!＝错误!，方案二：选择①③，可确定△ABC，因为A＝30°，a＝1，B＝45°，C＝105°，又in105°＝in45°＋60°＝in45°co60°＋co45°in60°＝错误!，由正弦定理c＝错误!＝错误!＝错误!，所以S△ABC＝错误!ac in B＝错误!·1·错误!·错误!＝错误!注意：选择②③不能确定三角形能力拓展提升11文2022·浙江省样本学校测试如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝3，AC＝5，BC ＝错误!，则错误!错误!错误!，则实数m＝________[答案]0或－2[解析]∵△ABC为直角三角形，∴当A为直角时，错误!＝2＋m＝0⇒m＝－2；当B为直角时，错误!－1]＝1＋m－1＝0⇒m＝0；当C为直角时，错误!·[i＋m－1]＝2＋m2－m＝0，此方程无解．∴实数m＝0或m＝－214．2022·苏北四市统考已知△ABO三顶点的坐标为A1,0，B0,2，O0,0，满足错误!的轨迹方程．[解析]设M，为所求轨迹上任一点，设Aa,0，Q0，bb>0，则错误!错误!错误!4a2a3a是△ABC内的一点，且错误!BC、△MCA和△MAB的面积分别为错误!、、，则错误!＋错误!的最小值是________．[答案]18[解析]∵错误!·错误!＝2错误!，∴bc co A＝2错误!，∵∠BAC＝30°，∴bc＝4，∴S△ABC＝1，∴＋＝错误!，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋10≥18等号成立时，错误!∴＝错误!，＝错误!，∴在错误!时，错误!＋错误!取得最小值186．过双曲线错误!－错误!＝1a>0，b>0的左焦点F－c,0c>0，作圆2＋2＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若错误!＝错误!错误!＋错误!，则双曲线的离心率为________．[答案]错误![解析]∵PF与圆2＋2＝错误!相切，∴OE⊥PF，且OE＝错误!，∵错误!＝错误!错误!＋错误!，∴E为PF的中点，又O为FF2的中点，∴|PF2|＝2|OE|＝a，由双曲线定义知，|PF|＝|PF2|＋2a＝3a，在Rt△PFF2中，|PF|2＋|PF2|2＝|FF2|2，∴a2＋9a2＝4c2，∴e2＝错误!，∵e>1，∴e＝错误!7．2022·广东惠州二调已知向量a＝inθ，coθ与b＝错误!，1，其中θ∈0，错误!．1若a∥b，求inθ和coθ的值；2若fθ＝a＋b2，求fθ的值域．[解析]1∵a∥b，∴inθ·1－错误!coθ＝0，求得tanθ＝错误!又∵θ∈0，错误!，∴θ＝错误!∴inθ＝错误!，coθ＝错误!注：本问也可以结合in2θ＋co2θ＝1或化为2inθ－错误!＝0来求解2fθ＝inθ＋错误!2＋coθ＋12＝2错误!inθ＋2coθ＋5＝4inθ＋错误!＋5，又∵θ∈0，错误!，θ＋错误!∈错误!，错误!，错误!<inθ＋错误!≤1，∴7<fθ≤9，即函数fθ的值域为7,9]．。
新高考向量知识点总结归纳
新高考向量知识点总结归纳向量是数学中的一种重要概念，它在几何、物理等众多领域中都有广泛应用。
在新高考数学考试中，向量也是一个重要的考点。
本文将对新高考向量知识点进行总结归纳，帮助大家更好地理解和掌握相关概念。
一、向量的基本概念向量是有大小和方向的量，它可以用箭头表示。
向量的大小称为模，用 |a| 或 ||a|| 表示，向量的方向可以用角度表示。
向量最常见的表示方法是用坐标表示，一个 n 维向量可以表示为一个 n 元组。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即 a + b = b + a 和 (a + b) + c = a +(b + c)。
向量的加法可以用几何法和分量法进行。
2. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，记作 a·b。
两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦的乘积，即a·b = |a||b|cosθ。
其中，θ 是 a 和 b 的夹角。
3. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积或外积，记作 a×b。
两个向量的向量积可以用坐标表示，其结果是一个新的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
三、向量的性质和定理1. 向量的模与方向向量的模不为零时，其方向是唯一确定的。
2. 向量的共线性和共面性若存在一个实数 k，使得 b = ka，则 a 和 b 共线；若存在一个实数m，使得 c = ma + nb，则 a、b、c 共面。
3. 平行向量的性质平行向量具有以下性质：（1）平行向量的数量积等于两个向量的模的乘积；（2）平行向量的向量积等于零向量。
4. 垂直向量的性质垂直向量具有以下性质：（1）垂直向量的数量积等于零；（2）若 a 和 b 是垂直向量，则它们的和也是垂直向量。
4. 向量共线和垂直判定的方法判定向量共线的方法有向量长、向量模长比较法等；判定向量垂直的方法有向量点积法和向量坐标法等。
四、向量的应用向量在几何和物理中有广泛的应用，具体包括以下方面：1. 平面几何中的向量向量可以用来表示平面上的方向、长度、位置等概念，应用于平面几何的定位、判定等问题。
高考数学总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题课件 新人教B版
向量在几何中的应用
[例 1]
如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，
AB＝2，对角线 BD＝2，求对角线 AC 的长．
分析：线段的长可视作向量的模，故求线段长度的问题， 可利用向量模的知识加以解决．
→ → → 解析：设AB＝a，AD＝b，则BD＝b－a， 由条件知|a|＝2，|b|＝1，|b－a|＝2， 1 →2 ∴a· b＝ ，∴|AC| ＝|a＋b|2＝a2＋b2＋2a· b＝6， 2 → ∴AC＝|AC|＝ 6.
疑难误区
点拨警示
1．用向量法证明平行时，应注意是否在同一条直线上， 因为向量平行与直线平行是有区别的． 2．力和“向量”既有联系又有区别，力有作用点．
思想方法技巧
1．向量具有数的特性，常与函数、三角、数列、不等式 等许多重要内容结合命题，而且我们也可通过构造向量来处 理许多代数问题． 平面向量与几何问题的综合及应用通常涉及到长度、角 度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，目标是将几何 问题符号化、数量化、坐标化，从而将推理转化为运算．向 量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的，明 确了几何意义使向量的代数形式的运算得以实施，而运算的 结果则可以肯定或否定几何结论．
若 a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则 cosα＝ (2)用向量法处理垂直
x1x2＋y1y2 2 2 2 x2 ＋ y × x ＋ y 1 1 2 2
；
→ → 要证两线段 AB⊥CD，只需证AB· CD＝0.
(3)用向量法处理平行 → 要证两线段 AB∥CD， 只需证存在实数 λ≠0， 使等式AB＝ → λCD成立． (4)用向量法处理距离 →2 → 2 → → 要证线段 AB＝CD，可转化为证明AB ＝CD 或|AB|＝|CD |.
新高考数学向量知识点归纳总结
新高考数学向量知识点归纳总结在新高考数学中，向量是一个重要的知识点，它在几何和代数中都有广泛的应用。
本文将对新高考数学中的向量知识点进行归纳总结，包括向量的定义、向量的表示、向量的运算和向量的应用等内容。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段表示。
向量通常用字母小写加箭头表示，如：→AB表示由点A指向点B的向量。
向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，记作A和B。
二、向量的表示1. 坐标表示法：向量可以用坐标表示，如向量→AB的坐标表示为(AB)。
2. 分量表示法：向量可以用横坐标和纵坐标表示，如向量→AB的分量表示为(AB) = (x, y)。
三、向量的运算1. 向量的加法：设有向量→AB和→CD，可以用平行四边形法则进行向量的加法，即将→AB和→CD的起点放在一起，将→AB的终点与→CD的起点相连，形成一个新的向量→AC。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的减法：向量的减法可以通过将减去的向量取负后与被减向量相加来实现，即→AB - →CD = →AB + (-→CD)。
3. 数乘：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积，将向量的模长与方向同时进行缩放。
四、向量的应用1. 向量的平移：将平面上的向量平移至另一点，可以通过向量的加法来实现。
2. 向量的共线与共面关系：如果两个向量平行或共线，则它们存在倍数关系；如果三个向量共面，它们的混合积为零。
3. 向量的垂直关系：两个向量垂直，意味着它们的点积为零。
4. 向量的投影：向量在某一方向上的投影就是该向量在该方向上的分量。
5. 向量的模长和方向角：向量的模长是指向量的长度，记作|→AB|，可以通过勾股定理计算；向量的方向角是指向量与某一坐标轴的夹角。
综上所述，新高考数学中的向量知识点涵盖了向量的定义、表示、运算和应用等内容。
了解和掌握这些知识点对于解决与向量相关的数学问题具有重要意义。
希望本文的归纳总结能够帮助各位同学在新高考数学的学习中更好地理解和应用向量知识。
高考数学一轮复习全套课时作业5-4平面向量的综合应用
专题层级快练 5.4平面向量的综合应用一、单项选择题1．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．(2021·湖北黄石一中月考)已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C)，其中|AB|＝2，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3.如图所示，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1， 则AC →·AD →＝( ) A ．2 3 B.32 C.33D. 3 4．(2020·杭州学军中学模拟)在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c ·a ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．(2021·江西省八所重点中学联考)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(sin 2α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，a ·b ＝12，则α＝( )A.π6B.π3C.π4D.π26．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形7．(2020·银川调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形8．(2021·甘肃白银一中模拟)已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 为BC 的中点，则HM →·BC →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．89．已知向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[2－1，1]10．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1二、多项选择题11．(2021·潍坊二模)设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．a ·b ＝0 12.如图，已知四边形OAED ，OCFB 均为正方形，2AE →＋CF →＝0，AB →·AD →＝－1，则下列说法正确的是( ) A ．∠AOB ＝90° B ．AD ＝1 C.BO →·CD →＝2 D ．AO ＝1三、填空题与解答题13．(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________．14．(2021·湖南五市十校联考)已知向量m ＝(cosx ，sinx)，n ＝(cosx ，3cosx)，x ∈R ，设函数f(x)＝m ·n ＋12. (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f(A)＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a的值．15.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________．16．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a ＋b )·(2b－c )的最小值是________，最大值是________．专题层级快练 5.4平面向量的综合应用1．答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |的最大值为 2.故选B. 2．答案 D解析 连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ，AC →在AB →上的投影为|AC →|cos 〈AC →，AB →〉＝|AB →|＝2，∴AC →·AB →＝|AC →||AB →|·cos 〈AC →，AB →〉＝4.故选D. 3.答案 D解析 AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝AB →·AD →＋BC →·AD →＝BC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →||AD →|·cos ∠BDA ＝3|AD →|2＝ 3. 4．答案 D解析 因为a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b ⊥(a －c )． 又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形． 5．答案 B解析 由题意，得a ·b ＝sin 2α－cos 2α＝12，即cos2α＝－12，又α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以2α∈(0，π]，则2α＝2π3，所以α＝π3.故选B.6．答案 D思路 本题可先由条件的几何意义得出AB ＝AC ，再求得A ＝π3，即可得出答案．解析 因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC.又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝1×1×cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D. 7．答案 C解析 由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C. 8．答案 D 解析如图，HM →·BC →＝(HA →＋AM →)·BC →＝HA →·BC →＋AM →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝8. 9．答案 A 10．答案 B 解析如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x ，y)，则PA →＝(－x ，3－y)，PB →＝(－1－x ，－y)，PC →＝(1－x ，－y)，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y)＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB→＋PC →)取得最小值，为－32，选B.11．答案 AD解析 f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x 的一次函数或常函数．而(x a ＋b )·(a －x b )＝－x 2a ·b ＋(a 2－b 2)x ＋a ·b ，故a ·b ＝0，即a ⊥b ，故应选AD. 12.答案 ACD解析 因为2AE →＋CF →＝0，所以CF ＝2AE ，CF ∥AE ，因为四边形OAED ，OCFB 均为正方形，所以AO ⊥BO ，所以∠AOB ＝90°，故A 正确；因为AB →·AD →＝(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝AO →2＋OB →·OD →＝－AO →2＝－1，所以AO ＝1，故D 正确；从而可得AD ＝2，B 错误；因为BO →·CD →＝BO →·(CO →＋OD →)＝2OD →2＝2，故C 正确．故选ACD. 13．答案5 －1解析方法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P 为BC 的中点，在三角形PCD 中，|PD →|＝5，cos ∠DPB ＝－cos ∠DPC ＝－15，∴PB →·PD →＝|PB →|·|PD →|cos ∠DPB ＝1×5×⎝⎛⎭⎫－15＝－1.方法二：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴AP →＝12(AB →＋AC →)＝(2，1)，P(2，1)，∴PD →＝(－2，1)，PB →＝(0，－1)，∴|PD →|＝5，PB →·PD →＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.14．答案 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z (2)3－1解析 (1)由题意知，f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .∴函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f(A)＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1.∵0<A<π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，∴a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(b ＋c)2－2bc(1＋cosA)， 解得a ＝3－1. 15.答案 26解析 连接OC ，OD ，MC ，ND ，由题可知∠AOC ＝∠DOC ＝∠DOB ＝60°，|MO →|＝|NO →|＝2，|OD →|＝|OC→|＝6.则MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋NO →·OC →＋OC →·OD →＝－4＋6＋6＋18＝26.16．答案 3－3 3＋ 3 解析由|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得〈a ，b 〉＝π3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1，0)，b ＝OB →＝⎝⎛⎭⎫12，32.设c ＝OC →＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a ·b －a ·c ＋2b 2－b ·c ＝3－⎝⎛⎭⎫cos θ＋12cos θ＋32sin θ＝3－3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，所以(a ＋b )·(2b －c )的最小值和最大值分别为3－3，3＋ 3.。
高考数学总复习 5-4 向量的应用及向量与其它知识但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 5-4 向量的应用及向量与其它知识但因为测试新人教B 版1.(2011·唐山联考)已知c 、d 为非零向量，且c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则|a |＝|b |是c ⊥d 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为c ，d 为非零向量，所以c ⊥d ⇔c ·d ＝0⇔a 2－b 2＝0⇔|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |.因此，|a |＝|b |是c ⊥d 的充要条件，选C.2．(2011·成都市玉林中学期末)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．3．(文)(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] 由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，即AB ＝CD ，AB ∥CD .又(AB →－AD →)·AC →＝0，所以DB →·AC →＝0，即AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 是菱形，故选B.(理)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] 由条件知|AC →|2＝(BC →＋BA →)·(BC →－BA →) ＝|BC →|2－|BA →|2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴△ABC 为直角三角形．4．(2011·吉林部分中学质量检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD ＝120°，P 是平面ABCD 内一点，AP →＝xAB →＋yAD →，当点P 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上时，有( )A ．x 2＋4y 2＋2xy ＝3B ．x 2＋4y 2－2xy ＝3C ．4x 2＋y 2＋2xy ＝3D ．4x 2＋y 2－2xy ＝3[答案] B[解析] 设AB ＝m (m >0)，则由已知得BC ＝AD ＝2m ， AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos60°＝3m ，|AP →|＝|AC →|＝3m ， ∵AP →＝xAB →＋yAD →，∴AP →2＝(xAB →＋yAD →)2， ∴3m 2＝x 2·m 2＋y 2·(2m )2＋2xy ·m ·2m cos120°， 即有x 2＋4y 2－2xy ＝3，选B.5．(文)(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.(理)设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2 [答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120° ＝2×2×(－12)＝－2.6．(文)(2010·湖南考试院)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝( )A ．6B ．－6C ．8D ．－8 [答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA →＝－12|CA →|2－12CB →·CA →＝－8.(理)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于( ) A.32 B.52 C ．2 D ．3[答案] B[解析] AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB .所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52. 7.(2011·佛山二检)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 1[解析] 以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．由题设条件得A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)， ∴AE →·BD →＝1.8．(2011·河北玉田一中质检)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围为________．[答案] t ≥5[解析] 由题意知，f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则f ′(x )≥0在(－1，1)上恒成立⇔t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立，令g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13、开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，必有t ≥g (－1)成立，即t ≥5成立．故使f (x )在(－1,1)上是增函数的t 的取值范围是t ≥5.9.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．[答案] －92[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x ×(3－x )＝2x 2－6x ＝2(x －32)2－92，所以(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－92. 10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[解析] 设M (x 0，y 0)、N (x ，y )． 由MA →＝2AN →得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.11.(文)已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R)，则点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案]A[解析] 由P A →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A. (理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 由题意F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，∵OA →·AF →＝－4，∴y 204(1－y 204)－y 20＝－4， 解得y 0＝2或y 0＝－2.∴当y 0＝2时，x 0＝y 24＝1；当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)．故选B. 12.(2011·北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6 B.712π C.76π D.73π [答案] C[解析] 由图可知，T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2.∵M (π12，1)在图象上，∴sin(2×π12＋φ)＝1，∵|φ|＝π2，∴φ＝π3，∴y ＝A sin(2x ＋π3)，又∵M (π12，A )，N (7π12，－A )，OM →·ON →＝0，∴π12×7π12－A 2＝0，∴A ＝712π， ∴A ·ω＝2×712π＝76π，故选C.13．(2010·安徽合肥市质检)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×22＝1，MB →·CD →＝|MB →|·|CD →|·cos135° ＝22×1×⎝⎛⎭⎫－22＝－12， ∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD → ＝－⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B. 14.点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，求证：AD ⊥BC . [分析] 要证明AD ⊥BC ，则只需要证明AD →·BC →＝0，可设AD →＝m ，AB →＝c ，AC →＝b ，将BC →用m ，b ，c 线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明] 设AB →＝c ，AC →＝b ，AD →＝m ，则BD →＝AD →－AB →＝m －c ，CD →＝AD →－AC →＝m －b . ∵AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2， ∴c 2＋(m －b )2＝b 2＋(m －c )2，即 c 2＋m 2－2m ·b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m ·c ＋c 2， ∴m ·(c －b )＝0，即AD →·(AB →－AC →)＝0， ∴AD →·CB →＝0，∴AD ⊥BC .15．(文)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →得，(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x y ＝32y －32b，∴⎩⎨⎧a ＝－x2b ＝y3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x3)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．(理)(2011·山东潍坊质检)已知椭圆x 28＋y 22＝1的两个焦点分别为F 1和F 2，点P 为椭圆上的动点，则当∠F 1PF 2为锐角时，求点P 的纵坐标y 0的取值范围．[分析] ∠F 1PF 2可视为PF 1→与PF 2→的夹角，因此可通过PF 1→·PF 2→>0建立关于y 0的不等式求得y 0的取值范围．[解析] 设P (x 0，y 0)，由于P 点在椭圆上，所以x 208＋y 22＝1，∵PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2，若∠F 1PF 2为锐角，则cos ∠F 1PF 2>0， 故PF 1→·PF 2→>0，而F 1(－6，0)，F 2(6，0)， PF 1→＝(－6－x 0，－y 0)， PF 2→＝(6－x 0，－y 0)，所以PF 1→·PF 2→＝x 20－6＋y 20>0，又x 20＝8－4y 20，因此8－4y 20＋y 20－6>0，解得－63<y 0<63，但由于当y 0＝0时，点P 与椭圆长轴重合，∠F 1PF 2不是锐角， 所以y 0的取值范围是－63<y 0<0或0<y 0<63. [点评] 利用平面向量的数量积可以解决角的范围问题，如果∠APB 为锐角(钝角)时，可通过P A →·PB →>0(P A →·PB →<0)来求解，但要注意其中A 、P 、B 三点共线的情况．本题中很容易忽视y 0≠0这一限制条件．1．(2011·江南十校素质测试)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|ka ＋b ＋c |>1，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)[答案] C[解析] 根据|ka ＋b ＋c |>1可得|ka ＋b ＋c |2>1， ∴k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2c ·b >1， ∴k 2－2k >0，k <0或k >2.2．(2011·浙江理，14)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．[答案] [π6，5π6][解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝12，∵|α|≤1，|β|≤1，∴sin θ≥12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]3．(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋mj ，则实数m ＝________.[答案] 0或－2[解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋mj )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝(2i ＋mj )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或m ＝－2.4．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在动摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？[分析] 力F 作用下物体位移s 所做的功W ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉．[解析] 设木块的位移为S ，则F ·s ＝|F ||s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)， F 在竖直方向上的分力的大小为|F |sin30°＝50×12＝25(N)． 所以，摩擦力f 的大小为|f |＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f ·s ＝|f ||s |cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J.。
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高考数学总复习 5-4 向量的应用及向量与其它知识但因为测试新人教B 版1.(2011·唐山联考)已知c 、d 为非零向量，且c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则|a |＝|b |是c ⊥d 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为c ，d 为非零向量，所以c ⊥d ⇔c ·d ＝0⇔a 2－b 2＝0⇔|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |.因此，|a |＝|b |是c ⊥d 的充要条件，选C.2．(2011·成都市玉林中学期末)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．3．(文)(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] 由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，即AB ＝CD ，AB ∥CD .又(AB →－AD →)·AC →＝0，所以DB →·AC →＝0，即AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 是菱形，故选B.(理)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] 由条件知|AC →|2＝(BC →＋BA →)·(BC →－BA →) ＝|BC →|2－|BA →|2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴△ABC 为直角三角形．4．(2011·吉林部分中学质量检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD ＝120°，P 是平面ABCD 内一点，AP →＝xAB →＋yAD →，当点P 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上时，有( )A ．x 2＋4y 2＋2xy ＝3B ．x 2＋4y 2－2xy ＝3C ．4x 2＋y 2＋2xy ＝3D ．4x 2＋y 2－2xy ＝3[答案] B[解析] 设AB ＝m (m >0)，则由已知得BC ＝AD ＝2m ， AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos60°＝3m ，|AP →|＝|AC →|＝3m ， ∵AP →＝xAB →＋yAD →，∴AP →2＝(xAB →＋yAD →)2， ∴3m 2＝x 2·m 2＋y 2·(2m )2＋2xy ·m ·2m cos120°， 即有x 2＋4y 2－2xy ＝3，选B.5．(文)(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.(理)设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2 [答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120° ＝2×2×(－12)＝－2.6．(文)(2010·湖南考试院)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝( )A ．6B ．－6C ．8D ．－8 [答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA →＝－12|CA →|2－12CB →·CA →＝－8.(理)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于( ) A.32 B.52 C ．2 D ．3[答案] B[解析] AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB .所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52. 7.(2011·佛山二检)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 1[解析] 以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．由题设条件得A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)， ∴AE →·BD →＝1.8．(2011·河北玉田一中质检)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围为________．[答案] t ≥5[解析] 由题意知，f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则f ′(x )≥0在(－1，1)上恒成立⇔t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立，令g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13、开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，必有t ≥g (－1)成立，即t ≥5成立．故使f (x )在(－1,1)上是增函数的t 的取值范围是t ≥5.9.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．[答案] －92[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x ×(3－x )＝2x 2－6x ＝2(x －32)2－92，所以(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－92. 10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[解析] 设M (x 0，y 0)、N (x ，y )． 由MA →＝2AN →得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.11.(文)已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R)，则点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案]A[解析] 由P A →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A. (理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 由题意F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，∵OA →·AF →＝－4，∴y 204(1－y 204)－y 20＝－4， 解得y 0＝2或y 0＝－2.∴当y 0＝2时，x 0＝y 24＝1；当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)．故选B. 12.(2011·北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6 B.712π C.76π D.73π [答案] C[解析] 由图可知，T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2.∵M (π12，1)在图象上，∴sin(2×π12＋φ)＝1，∵|φ|＝π2，∴φ＝π3，∴y ＝A sin(2x ＋π3)，又∵M (π12，A )，N (7π12，－A )，OM →·ON →＝0，∴π12×7π12－A 2＝0，∴A ＝712π， ∴A ·ω＝2×712π＝76π，故选C.13．(2010·安徽合肥市质检)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×22＝1，MB →·CD →＝|MB →|·|CD →|·cos135° ＝22×1×⎝⎛⎭⎫－22＝－12， ∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD → ＝－⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B. 14.点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，求证：AD ⊥BC . [分析] 要证明AD ⊥BC ，则只需要证明AD →·BC →＝0，可设AD →＝m ，AB →＝c ，AC →＝b ，将BC →用m ，b ，c 线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明] 设AB →＝c ，AC →＝b ，AD →＝m ，则BD →＝AD →－AB →＝m －c ，CD →＝AD →－AC →＝m －b . ∵AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2， ∴c 2＋(m －b )2＝b 2＋(m －c )2，即 c 2＋m 2－2m ·b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m ·c ＋c 2， ∴m ·(c －b )＝0，即AD →·(AB →－AC →)＝0， ∴AD →·CB →＝0，∴AD ⊥BC .15．(文)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →得，(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x y ＝32y －32b，∴⎩⎨⎧a ＝－x2b ＝y3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x3)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．(理)(2011·山东潍坊质检)已知椭圆x 28＋y 22＝1的两个焦点分别为F 1和F 2，点P 为椭圆上的动点，则当∠F 1PF 2为锐角时，求点P 的纵坐标y 0的取值范围．[分析] ∠F 1PF 2可视为PF 1→与PF 2→的夹角，因此可通过PF 1→·PF 2→>0建立关于y 0的不等式求得y 0的取值范围．[解析] 设P (x 0，y 0)，由于P 点在椭圆上，所以x 208＋y 22＝1，∵PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2，若∠F 1PF 2为锐角，则cos ∠F 1PF 2>0， 故PF 1→·PF 2→>0，而F 1(－6，0)，F 2(6，0)， PF 1→＝(－6－x 0，－y 0)， PF 2→＝(6－x 0，－y 0)，所以PF 1→·PF 2→＝x 20－6＋y 20>0，又x 20＝8－4y 20，因此8－4y 20＋y 20－6>0，解得－63<y 0<63，但由于当y 0＝0时，点P 与椭圆长轴重合，∠F 1PF 2不是锐角， 所以y 0的取值范围是－63<y 0<0或0<y 0<63. [点评] 利用平面向量的数量积可以解决角的范围问题，如果∠APB 为锐角(钝角)时，可通过P A →·PB →>0(P A →·PB →<0)来求解，但要注意其中A 、P 、B 三点共线的情况．本题中很容易忽视y 0≠0这一限制条件．1．(2011·江南十校素质测试)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|ka ＋b ＋c |>1，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)[答案] C[解析] 根据|ka ＋b ＋c |>1可得|ka ＋b ＋c |2>1， ∴k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2c ·b >1， ∴k 2－2k >0，k <0或k >2.2．(2011·浙江理，14)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．[答案] [π6，5π6][解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝12，∵|α|≤1，|β|≤1，∴sin θ≥12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]3．(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋mj ，则实数m ＝________.[答案] 0或－2[解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋mj )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝(2i ＋mj )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或m ＝－2.4．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在动摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？[分析] 力F 作用下物体位移s 所做的功W ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉．[解析] 设木块的位移为S ，则F ·s ＝|F ||s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)， F 在竖直方向上的分力的大小为|F |sin30°＝50×12＝25(N)． 所以，摩擦力f 的大小为|f |＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f ·s ＝|f ||s |cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J.。