高中数学关于球的内切外接问题

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高中数学关于球的内切外接问题

处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。

解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．正四面体的表面积223434a a S =⨯=表．正四面体的体积22221234331BE AB a AE a V BCD A -=⨯⨯=- BCD A V r S -=⋅表31 ，a a a S V r BCD A 12631223323=⨯==∴-表在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径43h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。

例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ∆的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解：?⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ，由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点，从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2，得截面图MEF ∆及内切圆O不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ∆的内心.设球O 的半径为r ，则MFEM EF S r MEF ++=∆2，设a EF AD ==,1=∆AMD S . 图2 图1222,2⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∴a a MF a EM ,12222222222-=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=a a a a r 当且仅当aa 2=，即2=a 时，等号成立. ∴当2==ME AD 时，满足条件的球最大半径为12-. 练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。

高中数学难搞问题之外接球内切球问题(学生版)

外接球、内切球专题外接球几何体的外接球一、定义1. 球的定义: 空间中到定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹) 叫球面, 简称球.2. 外接球的定义: 若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.3. 内切球的定义: 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关性质1.性质:性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等;性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球所得圆是大圆;性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面 (类比:圆的垂径定理);性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;性质5:在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交, 交点是球心 (类比:在同圆中,两相交弦的中垂线交点是圆心 ).2.结论:由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其对角线的中点.结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心外心的连线的中点.结论4:正棱雉的外接球的球心在其高上, 具体位置可通过计算找到.结论5:若棱雉的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.正方体正方体的外接球、内切球和棱切球1.正方体的外接球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体外接球的半径为R =22a 2+a 2 2=32a .2.正方体的内切球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体内切球的半径为R =a 2.3.正方体的棱切球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体棱切球的半径为R =a 2 2+a 2 2=2a 2.正方体的每个面与其棱切球的交线轨迹为圆.正三棱锥正三棱锥的外接球结论：正三棱锥的外接球的球心在顶点与底面外接圆的圆心连线上,切球心到顶点与到底面的距离之比为3:1,即OP :OO 1=3:1.则若正三棱锥的边长为a ,则正三棱锥外接球的半径R =64a ,正三棱锥的高h =63a .【证明】：如图所示：将正三棱锥P -ABC 放进正方形中，由正三棱锥的边长为a 可得正方体的棱长为22a 故正三棱锥外接球的半径即为正方体外接球的半径∴R =32⋅22a =64a ,即OP =OC =64a 设底面ABC 外接圆的半径为r ，正三棱锥P -ABC 的高为h则a sin 60∘=2r ,即r =33a ,h =O 1P =PC 2-r 2=a 2-33a 2=63a ∴OO 1=OC 2-O 1C 2=R 2-r 2=612a 故OP OO 1=64a 612a =3正十四面体正十四面体的外接球定义：从正方体中切掉八个小的正三棱锥所得到的几何体称为正十四面体，如图所示，它有六个面为正方形，八个面为正三角形.正十四面体是阿基米德立体中的一种.结论①：正十四面体的外接球的球心就是正方体棱切球的球心.若正十四面体的边长为a ,则正方体的边长为2a ,正十四面体的高R =22⋅2a =a .结论②：若正十四面体的边长为a ,则正十四面体的体积V =532a 3.【证明】：由正十四面体的边长为a 可知：正方体的边长为2a 故切掉的一个小三棱锥的体积为V 0=13×12×22a 3=224a 3∴正十四面体的体积V =2a 3-8V 0=532a 3结论③：正十四面体的体积与正方体的体积之比为5∶6.【证明】：∵正十四面体的体积V =532a 3,正方体的体积为V 1=2a 3=22a 3∴正十四面体的体积与正方体的体积之比为V V 1=532a 322a 3=56.长方体长方体的外接球结论：长方体的外接球的球心是其对角线的交点,若长方体的长为a,宽为b，高为c，则长方体外接球的半径R=a2+b2+c22.【证明】：如图所示：AC=AB2+BC2=a2+b2∴2R=AC1=AC2+CC12=a2+b2+c2,即R=a2+b2+c22四种典型模型：外接球对棱相等模型结论：对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造长方体的方法解决.若三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z.,则几何体外接球的半径为R= x2+y2+z28.【证明】：如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，AC=BD=x,AB=CD=y, AD=BC=z.则b2+c2=z2 a2+c2=y2 a2+b2=x2三式相加可得a2+b2+c2=x2+y2+z22,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2+b2+c2=4R2，∴R=a2+b2+c22=x2+y2+z28.外接球墙角模型定义：墙角模型是指几何体中有三条棱两两互相垂直的模型，采用构造法长方体或正方体解决问题.1.如果两两互相垂直的三条棱相等，则构造正方体模型.若棱长为a ，则几何体的外接球半径为R =32a .2.如果两两互相垂直的三条棱不全相等，则构造长方体模型.若两两互相垂直的三条棱的棱长分别为a 、b 、c ,则几何体的外接球半径为：R =a 2+b 2+c 22柱体与锥体外接球①柱体的外接球：柱体的外接球的球心是上下底面圆心连线的中点,若柱体的底面半径为r,高为h，则柱体外接球的半径R=r2+h2 2.②锥体的外接球：锥体的外接球的球心在顶点与底面圆心的连线上,若锥体的底面半径为r,高为h，则锥体外接球的半径R=r2+h2 2.【证明】：如图所示：OA=OP=R,O1A=r,O1P=h则OO1=O1P-OP=h-R在△AOO1中：OA2=OO12+O1A2,即R2=h-R2+r2∴R=h2+r22h汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法解决找球心法:多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．则多面体外接球的半径为：R =r 2+h 24其中，h 为直棱柱的高，r 为底面外接圆的半径.以直棱柱为例，模型如下图：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：确定球心O 的位置，O 1是ΔABC 的外心，则OO 1⊥平面ABC ；第二步：算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=12AA 1=12h (AA 1=h 也是圆柱的高)；第三步：勾股定理：OA 2=O 1A 2+O 1O 2⇒R 2=h 2 2+r 2⇒R =r 2+h 2 2，解出R .注意：底面外接圆的半径r 的求法1.正弦定理：a sinA =2R (通用)；2.直角三角形：半径等于斜边的一半；3.等边三角形：半径等于三分之二高；4.长（正）方形：半径等于对角线的一半.结论：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2,则棱锥的外接球半径为：R =r 2+h 24．解题步骤：第一步：将ΔABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：O 1为ΔABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a sin A =b sin B =c sin C =2r )，OO 1=12PA =12h ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12⇔R =r 2+OO 12=r 2+h 24外接球斗笠模型斗笠模型：棱锥、圆锥的顶点在底面的射影是底面外心的．多面体外接球公式为：R =h 2+r 22h其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的半径.【证明】：∵P 的射影是△ABC 的外心∴三棱锥P -ABC 的三条棱相等取△ABC 的外心O 1,球心O 的位置，则P ,O ,O 1三点共线；由勾股定理可得：OA 2=O 1A 2+O 1O 2,即R 2=h -R 2+r 2解得：R =h 2+r 22h台体外接球台体的外接球结论：台体的外接球的球心在上下底面外接圆圆心的连线上,若台体下底面的外接圆半径为r 1,上底面的外接圆半径为r 2,高为h ，则台体外接球的半径为：R =r 12-r 22+h 22h2+r 22【证明】：如图所示：设球心到下底面的距离为h 1，到上底面的距离为h 2,则R 2=h 22+r 22⋯①R 2=h 12+r 12⋯②②-①得：h 22+r 22-h 12-r 12=0,即h 22+r 22-h -h 2 2-r 12=0整理得：r 22-h 2-r 12+2h ⋅h 2=0∴h 2=r 12-r 22+h 22h故R 2=h 22+r 22=r 12-r 22+h 22h2+r 22,即R =r 12-r 22+h 22h2+r 22切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面,即α⏊β.类型Ⅰ：△ABC与△BCD都是直角三角形,则三棱锥A-BCD的外接球球心在斜边BC的中点O.类型Ⅱ：△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，则三棱锥A-BCD的外接球球心为△ABC外接圆的圆心O.类型Ⅲ：△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ：侧面△ABC是一般三角形，设为α平面，底面是一般三角形或四边形，设为β平面，如图，解决方法是过α，β的外心O2,O1作所在平面的垂线，垂线必交于一点O，O即为外接球的球心.则几何体的外接球半径为R=r21+r22-l24其中r1、r2为平面α，β的外接圆的半径，l为两个面的交线BC的长.【证明】：过O1，O2作AB的垂线，则OO1⎳O2E,OO2⎳O1E∵α⏊β∴四边形OO2EO1为矩形∴R2=OB2=OO22+O2B2=O1E2+O2B2=O1B2-BE2+O2B2=r21+r22-l24即R=r21+r22-l2 4折叠模型：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.结论：如图所示：△ABD 和△CBD 是两个全等的三角形（或者等腰三角形），把△ABD 沿BD 折叠起来，使点A 折叠到点A ,E 为BD 的中点，设折叠的二面角 ∠A EC =α,CE =A E =h ，△ABD 和△BCD 的外接圆的半径为r ,H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心，过H 1作平面BCD 的垂线，过H 2作平面A BD 的垂线，这两条垂线相交于球心O ,则R =r 2+(h -r )2tan 2α2【证明】：在△BCD 中：CH 1=r ,CE =h ,EH 1=CE -CH 1=h -r ,在△COH 1中：OH 1=EH 1⋅tan α2=(h -r )tanα2由勾股定理可得：R 2=OC 2=OH 21+CH 21=(h -r )2tan 2α2+r 2.∴R =r 2+(h -r )2tan 2α2结论：鳄鱼模型即普通三棱锥模型（两个面不垂直），用找球心法可以解决.如果m 为平面ACD 外接圆圆心O 2到交线CD 的距离，n 为平面BCD 外接圆圆心O 1到交线CD 的距离，θ为二面角A -CD -B 的平面角，l 为交线CD 的长,R 为外接球半径,则R =m 2+n 2-2mn cos θsin 2θ+l 24【证明】：如图所示：∵OO 1⏊O 1E ,OO 2⏊O 2E∴O ,O 1,E ,O 2四点共圆在△O 1O 2E 中，由余弦定理可得：O 1O 22=m 2+n 2-2m ⋅n ⋅cosθ在△OO 1O 2中，由正弦定理可得：O 1O2sinθ=2r 0=OE （r 0为△OO 1O 2外接圆半径）∴R 2=OC 2=OE 2+CE 2=O 1O 2sinθ 2+l 2 2=m 2+n 2-2mn ⋅cos θsin 2θ+l 24内切球内切球结论以三棱锥P-ABC为例，如下图所示：求其内切球的半径r．方法：等体积法，三棱锥P-ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：V P-ABC=V O-ABC+V O-PAB+V O-PAC+V O-PBC⇒V P-ABC=13S△ABC·r+13S△PAB·r+13S△PAC·r+13S△PBC·r=13(S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC)·r；第三步：解出内切球半径r=3V P-ABCS O-ABC+S O-PAB+S O-PAC+S O-PBC=3VS表．内切球半径公式：r=3VS表，其中S表为几何体的表面积，V表示几何体的体积.题型一：墙角模型1.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=3,AA1=1，则球面面积为()A.83πB.43πC.4πD.8π2.已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为()A.πB.3πC.6πD.9π3.已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π4.若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( ).A.3B.6C.36D.95.已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( ).A.4πB.3πC.2πD.π6.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为().A.7πB.14πC.72πD.714π37.三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为()A.272πB.2732π C.273πD.27π8.已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于.9.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=23，AC= AD=4，CD=22，则球O的表面积为.10.已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为.11.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为325，AA1=25，则当长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积最小时，该长方体外接球的体积为.变式演练1.在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π2.(多选题)一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是()A.22πB.32πC.πD.52π3.在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为.4.长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.5.已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为.6.在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，三内角B，A，C成等差数列，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为.7.如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=-13，D是棱BC的中点，以AD为折痕把△ACD折叠，使点C到达点C 的位置，则当三棱锥C -ABD体积最大时，其外接球的表面积为.8.在三棱锥P-ABC中，点A在平面PBC中的投影是△PBC的垂心，若△ABC是等腰直角三角形且AB=AC=1，PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为9.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直且AC=13,AB=5，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC=．10.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，AB=23，∠ACB=60°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为．题型二：对棱相等模型1.在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π2.四面体P-ABC的一组对棱分别相等，且长度依次为25，13，5，则该四面体的外接球的表面积为( )A.294πB.28πC.29296π D.29π3.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=11，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.26πB.12πC.8πD.24π4.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=3，PB=AC=2，PC=AB=5，则三棱锥P-ABC外接球的体积为( )A.2πB.3πC.6πD.6π5.正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．6.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．7.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的体积为．8.已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2，则AC=．9.在四面体ABCD中，AD=AC=BC=BD，AB=CD=42，球O是四面体ABCD的外接球，过点A作球O的截面，若最大的截面面积为9π，则四面体ABCD的体积是．变式演练1.表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π2.正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π3.蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB=CD=5，BD=AC=6，AD=BC=7，则该鞠的表面积为( )A.55πB.60πC.63πD.68π4.已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．5.已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．6.三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.7.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC= AD=BC=BD=5，则a=________.8.在三棱锥P-ABC中，若PA=PB=BC=AC=5，PC=AB=42，则其的外接球的表面积为．9.已知在四面体ABCD中，AB=CD=22,AD=AC=BC=BD=5，则四面体ABCD的外接球表面积为．10.若四面体ABCD中，AB=CD=BC=AD=5，AC=BD=2，则四面体的外接球的表面积为．11.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=5，PB=AC=17，PC=AB=10，则该三棱锥外接球的表面积为；外接球体积为．12.在四面体ABCD中，AC=BD=2，AD=BC=5，AB=CD=7，则其外接球的表面积为.题型三：斗笠模型1.已知在高为2的正四棱锥P-ABCD中，AB=2，则正四棱锥P-ABCD外接球的体积为()A.4πB.9π2C.27π4D.8π32.正三棱锥P-ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P-ABC外接球的体积为()A.32π3B.6πC.6πD.82π33.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=5，AB=AC=BC=3，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是()A.9πB.152πC.4πD.254π4.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB= BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36π D.32π5.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =AC =1，BC =3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3 B.823π C.43π D.323π6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π47.正三棱锥P -ABC 底面边长为2，M 为AB 的中点，且PM ⊥PC ，则三棱锥P -ABC 外接球的体积为()A.32π3B.6πC.6πD.82π38.已知一个圆锥的底面面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于.9.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．10.如图所示，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，cos ∠PEF =22，若A ，B ，C ，D ，P 在同一球面上，则此球的体积为．11.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =26,AC =AB =4，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为．变式演练1.某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为()A.243256B.128243C.128729D.2567292.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为3π，则球O 的表面积等于()A.81π8B.81π2C.121π8D.121π23.已知一个圆锥的底面圆面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于()A.12πB.16πC.36πD.48π4.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为2π3，面积为3π，则球O 的表面积等于()A.81π8B.81π2C.121π8D.121π25.已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是()A.43πB.833π C.4π D.4π36.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为()A.3πB.4πC.9πD.12π7.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4π D.4π38.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =6，AC =AB =2，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π B.8π C.16π D.9π9.已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2 B.2 C.32 D.3410.已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3 B.625π81 C.500π81D.256π911.已知在高为2的正四棱锥P -ABCD 中，AB =2，则正四棱锥P -ABCD 外接球的体积为()A.4πB.9π2C.27π4D.8π312.设圆锥的顶点为A ，BC 为圆锥底面圆O 的直径，点P 为圆O 上的一点(异于B 、C )，若BC =43，三棱锥A -PBC 的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为.13.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是．14.在六棱锥P-ABCDEF中，底面是边长为2的正六边形，PA=2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于．题型四：汉堡模型1.已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为()A.17B.77C.37D.2172.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=8，AC=6，则球O的表面积为()A.10πB.25πC.50πD.100π3.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，ΔAPC的面积为3，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为()A.323π3 B.43π3 C.86π D.326π4.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC= CD=2，若球O的表面积为9π，则四棱锥P-ABCD的体积为()A.4B.43C.25D.2535.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=2，CD=2，AC=AD=5，则球O的表面积为()A.6πB.2πC.3πD.6π6.已知边长为3的正△ABC的顶点和点D都在球O的球面上.若AD=6，且AD⊥平面ABC，则球O的表面积为()A.323πB.48πC.24πD.12π7.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为()A.482B.242C.962D.1228.(多选题)在四面体ABCD中，AB⊥AC，AC⊥CD，直线AB，CD所成的角为60°，AB=CD =43，AC=4，则四面体ABCD的外接球表面积为()A.16053π B.52π C.80π D.208π9.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是高为12的等腰梯形，AD⎳BC，AD=PA=1，BC=2，则球О的表面积为()A.10πB.4πC.5πD.6π10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC=2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π12.在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD,AB⊥BC,AD⊥CD，且∠BAD=120°,PA=设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是4010π3，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是______．变式演练1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为( )．A.3172 B.210 C.132D.3102.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa2B.73πa2C.113πa2D.37πa23.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于( )．A.10πB.20πC.30πD.40π4.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π5.若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π6.一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A.28π3B.22π3 C.43π3 D.7π7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=8，AC=6，则球O的表面积为()A.10πB.25πC.50πD.100π8.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC=CD =2，若球O的表面积为9π，则四棱锥P-ABCD的体积为()A.4B.43C.25D.2539.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°,若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π11.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，ΔAPC的面积为3，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为()A.323π3 B.43π3 C.86π D.326π12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=6，则该直三棱柱外接球的表面积为( )A.72πB.114πC.136πD.144π13.设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，且底面△ABC的面积为23，则此直三棱柱外接球的表面积是( )A.16πB.4010π3 C.40π D.64π14.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积为( )A.36πB.144πC.169πD.256π题型五：垂面模型1.已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π2.三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π3.在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π4.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π5.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB，若AB=BC=1，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.24πB.8πC.6πD.8π36.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P-ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=4，二面角P-BC-A为60°，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.16πB.20πC.643πD.32π7.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π8.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．10.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．11.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA⊥平面ABCD，PA=4，AB=3，AD=1，则该“阳马”外接球的表面积为．12.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=4．若三棱锥P-ABC外接球的半径为22，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为．13.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，cos∠ACB=13，若三棱锥P-ABC外接球的表面积为52π，则三棱锥P-ABC体积的最大值为．变式演练1.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC =2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π2.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8πD.12π3.如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π4.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.635.在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，底面ΔABC是边长为3的正三角形，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.19πB.28πC.43πD.76π6.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，ΔABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B.4πC.8πD.20π7.三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为( )A.253πB.252πC.833πD.832π8.在三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥平面ABC，SA⊥BC，SC=1，AC=2，BC=3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.14πB.12πC.10πD.8π9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°,AB=AC=23,PA=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π10.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，AC=1，BC=2，PA=2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.9πB.36πC.92πD.94π11.三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．12.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=4，BC=6，AC=213，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为．13.已知四面体P-ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=25，PB⊥平面PAC，则四面体P-ABC外接球的表面积为．14.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为．15.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB=1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα= ；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为．题型六：切瓜模型1.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π2.已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π33.已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2，则此几何体外接球的表面积为。

立体几何中球的内切和外接问题完美版

性质
内切球的球心位于旋转体的轴线上，且球的半径等于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内切球常用于研究旋转体的体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体外侧，且球的半径等于旋转体轴线到旋转体外侧的垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外接球常用于研究旋转体的空间位置和关系。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
目录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与多面体的每个顶点都相切，且外接球的直径等于多面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、物理和工程领域中，外接球的概念被广泛应用于研究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题

立体几何外接球和内切球十大题型

立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。

1. 求立方体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。

2. 求正方体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。

3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。

4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。

5. 求球的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。

6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。

7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。

8. 求四面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。

9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。

10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。

以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。

希望能对你有所帮助。

与球有关的内切、外接问题

(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 5 ，底面是边长为2 3 的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上， O′为外接球球心，令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2， AD＝2 5，
(2) 三棱锥 A － BCD 的四个面都是直角三角形，且侧棱 AB 垂直于底面
BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝
4 3
，则该三棱锥A－BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝13×12×BC×CD×AB＝16×2×CD×2＝43， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2 3，∴R＝ 3，外接球体积为 V＝43πR3＝4 3π.
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为___3__.
解析如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52，∴V 球＝43πR3＝1625π.
反思感悟

处理球的“内切”“外接”问题

处理球的“内切”“外接”问题一、正多面体（即各个面都是全等的正多边形）的内切、外接球球心一定重合。

例： 1.正六面体（即正方体）：球心在体对角线的中点。

设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。

（1）截面图1为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。

（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。

2.正四面体（四个面全等的正三棱锥）设高为h ，内切球半径为r,外接球半径为R 。

内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为r=4h ，R= 43h ，R=3r. 例.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：（方法一）运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．图1图2图3在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= （方法二）正四面体四个面全等，是一种侧棱与底面边长都相等的特殊正三棱锥。

可以用补形法补成正方体，取正方体的六条面对角线为正四面体棱长，再由正方体外接球球心在体对角线上来求出半径。

二、构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题1、正棱柱的外接球，底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

(直棱柱例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r=，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.2、长方体体对角线中点，直径等于体对角线长。

球的内切、外接问题

例 10 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上,求
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2

∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
，解得r= 3
轴截面法

球的内切与外接问题讲课

综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等，且每条边与内切圆相切。由此可推导出内切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造一个包含该正四面体的正方体来求解。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的正方体，则该正方体的体对角线长等于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。

球的内切与外接问题

02 球的外接问题
球的外接几何体
球的外接三角形
一个球的外接三角形是指一个内接于球的三角形，其三条边的中点都在球的球面上。
球的外接多边形
一个球的外接多边形是指一个内接于球的n边形，其所有顶点都在球的球面上。
球的外接圆柱
一个球的外接圆柱是指一个内接于球的圆柱，其底面圆心与球心重合。
球的外接线与半径
球的内切与外接问
目录
• 球的内切问题 • 球的外接问题 • 球的内切与外接问题的应用 • 球的内切与外接问题的数学原理 • 球的内切与外接问题的实际案例
01 球的内切问题
球的内切几何体
01
02
03
球的内切正方体
球心与正方体的一个顶点重合，正方体的对角线等于球的直径。
球的内切长方体
长方体的一个角顶点位于球心，长方体的体对角线等于球的直径。
球的外接圆
一个球的外接圆是指一个内接于球的圆，其圆心位于球的球面上。
球的半径
球的半径是指从球心到球面的距离。
球的外接多面体
球的外接正多面体
一个球的外接正多面体是指一个内接于球的n面体，其所有面都是等边三角形或等边四边形。
球的外接非正多面体
一个球的外接非正多面体是指一个内接于球的n面体，其面可以是等边三角形、等边四边形或等腰三角形等。
根据球的外接定理，推导出多面体的所有顶点都在球面上，以及多面体的所有边都与球的半径相等的条件。
05 球的内切与外接问题的实际案例
建筑设计中的球内切与外接问题
建筑设计中的球内切问题
在建筑设计领域，球内切问题通常涉及到如何将一个球体完美地放入一个给定的空间内，使得球体与空间边界相切。例如，在建造穹顶或大型球形结构时，需要精确计算球体的大小和位置，以确保其与周围结构相切。

与球相关的外接与内切问题(解析版)

专题4.2 与球相关的外接与内切问题一．方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. （2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决. （3）球自身的对称性与多面体的对称性；二．解题策略类型一柱体与球【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（） A ．116π B ．106πC ．56πD ．53π【答案】A 【解析】【分析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==.故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径. 【举一反三】1.（2020·2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．73π B ．113π C ．5π D ．8π【答案】D【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，则其外接球的半径22221123222sin 60R OB OO BO ⎛⎫ ⎪⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪︒⎝⎭⎝⎭，外接球的表面积428S ππ=⨯=.故选：D【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 2.（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a ，则这个球的表面积为（）． A ．234a π B ．23a π C ．26a πD ．232a π【答案】D【解析】由已知作出截面图形如图1，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图2所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为m ,外接球的半径为R ，则2a m =，23R m =，所以64R a =，所以外接球的表面积为222634442a S R a πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，3．（2020·河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）（附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为52cm ，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为()()10521n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足()10521100n +-≤，解得19213.726n ≤+≈，所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球．故选：C 类型二锥体与球【例2】5．已知球O 的半径为102，以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部，若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为_________．【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题【答案】182【解析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2π，半径为1，故球心O 到正四面体各面的距离为2106122⎛⎫-=⎪⎝⎭，设正四面体棱长为a ，如图所示，则斜高332AE EF a ==，体高63=AF a ，在Rt AEF 和R t AGO 中，13OG EF AO AE ==，即61236632a =-，∴6a =，∴231362618234312V a a =⋅⋅=⋅=．【举一反三】1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______．【答案】【解析】如图，设正四面体ABCD 的棱长为，过A 作AD ⊥BC ，设等边三角形ABC 的中心为O ，则，，，即．再设正四面体ABCD 的外接球球心为G ，连接GA ，则，即．∴正四面体ABCD 的外接球的体积为.故答案为：．2．（2020·宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h 的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h 的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为【答案】288π【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是23R h =，设圆柱的底面圆半径为r ，母线长为l h =，则232r ππ=，解得42r =222(2)(3)l r h +=， 222(82)9h h ∴+=，解得4h =，∴外接球的半径为3462R =⨯=，∴外接球的体积为3344628833R V πππ⨯===．3．（2020·贵阳高三（理））在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是一个正三角形，若平面PAD ⊥平面ABCD ，则该四棱锥的外接球的表面积为（） A ．143πB ．283πC ．563πD ．1123π【答案】D 【解析】【分析】过P 作PF AD ⊥，交AD 于F ，取BC 的中点G ，连接,PG FG ，取PF 的三等分点H （2PH HF =），取GF 的中点E ，在平面PFG 过,E F 分别作,GF PF 的垂线，交于点O ，可证O 为外接球的球心，利用解直角三角形可计算PO ．【详解】如图，过P 作PF AD ⊥，交AD 于F ，取BC 的中点G ，连接,PG FG ，在PF 的三等分点H （2PH HF =），取GF 的中点E ，在平面PFG 过,E F 分别作,GF PF 的垂线，交于点O ．因为PAD ∆为等边三角形，AF FD =，所以PF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PF ⊂平面PAD ，所以PF ⊥平面ABCD ，因GF ⊂平面ABCD ，故PF GF ⊥．又因为四边形ABCD 为正方形，而,G F 为,BC AD 的中点，故FG CD ，故GF AD ⊥，因ADPF F =，故PF ⊥平面PAD ．在Rt PGF ∆中，因,OE GF PF GF ⊥⊥，故OE PF ，故OE ⊥平面ABCD ，同理OH ⊥平面PAD ．因E 为正方形ABCD 的中心，故球心在直线OE 上，因H 为PAD ∆的中心，故球心在直线OH 上，故O 为球心，OP 为球的半径．在Rt PGF ∆中，2234343323PH PF ==⨯⨯=，2OH EF ==，故16282214333OP =+==，所以球的表面积为28112433ππ⨯=．类型三构造法（补形法）【例3】已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（） A ．128π B ．132πC ．144πD ．156π【答案】B【解析】PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体PQMN ABEC -，如下图所示：设AE BC F =，连接OF 、DF 、OD ，可知点O 为PE 的中点，因为四边形ABEC 为矩形，AE BC F =，则F 为AE 的中点，所以，//OF PA 且12OF PA =，设2PA x =，且2210AE AB BE =+=，222225PE PA AE x ∴+=+所以，球O 的半径为21252R PE x ==+，在Rt ABE △中，2ABE π∠=，6AB =，10AE =，3cos 5AB BAE AE ∠==，在ADF 中，243AD AB ==，5AF =，由余弦定理可得222cos 17DF AD AF AD AF BAE =+-⋅∠=，PA ⊥平面ABCD ，OF ∴⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，则OF DF ⊥，12OF PA x ==，22217OD OF DF x ∴=+=+，设过点D 的球O 的截面圆的半径为r ，设球心O 到截面圆的距离为d ，设OD 与截面圆所在平面所成的角为θ，则22sin d OD R r θ==-.当0θ=时，即截面圆过球心O 时，d 取最小值，此时r 取最大值，即2max 25r R x ==+；当2πθ=时，即OD 与截面圆所在平面垂直时，d 取最大值，即2max 17d OD x ==+，此时，r 取最小值，即()22min max 22r R d =-=. 由题意可得()()()222max min 1725r r x πππ⎡⎤-=+=⎣⎦，0x，解得22x =.所以，33R =，因此，球O 的表面积为24132S R ππ==.故选：B.【举一反三】1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于．【答案】【解析】把三棱锥，放到长方体里,如下图:,因此长方体的外接球的直径为,所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，,所以该长方体的外接球的体积，故选C.3．（2020·贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．43B．53C．83D．163【答案】A【解析】【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，取棱11,,,,B C DA AB BC CD 的中点分别为,,,,E M N P Q ，则该几何体为四棱锥E MNPQ -，其体积为()2142233⨯⨯=.故选：A 类型四与球体相关的最值问题【例4】（2020·福建高三期末（理））在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（） A ．143B ．134C ．72D ．163【答案】D 【解析】【分析】设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，由勾股定理可得22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22183h h a -=，三棱锥的体积()23384V h h =-，对其求导，分析其单调性与最值即可得解. 【详解】解：设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，根据图形可知22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又正三棱锥的体积21334V a h =⨯()2384h h h =-()23384h h =-，则()231634V h h '=-，令0V '=，则163h =或0h =（舍去）， ∴函数()23384V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当163h =时，V 取得最大值，故选：D. 【点睛】本题考查球与多面体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等式、导数等进行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高. 【举一反三】1.（2020·广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（）A ．22πB ．823C ．23D ．2π【答案】B【解析】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==时取得最大值.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==⨯+=.所以外接球的体积为()34π82π233⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B2．（2020·遵义市南白中学高三期末）已知A ，B ，C ，D 四点在同一个球的球面上，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π【答案】C 【解析】根据6AB BC ==可得直角三角形ABC ∆的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上,设小圆的圆心为Q , 由于底面积ABC S ∆不变,高最大时体积最大,所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为为133ABC S DQ ∆⨯=，即133,33DQ DQ ⨯⨯=∴=,如图, 设球心为O ,半径为R ，则在直角AQO ∆中,即222(3)(3,)2R R R =∴+=-, 则这个球的表面积为24216S ππ=⨯=,故选C.3．（2020·河南高三（理））菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为（） A ．153π B ．2153π C ．209π D ．203π 【答案】D 【解析】【分析】当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到2223(3)()3R OG =-+和22223()3R OG =+，计算得到答案. 【详解】易知：当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大. 如图所示：E 为AC 中点，连接,DE BE ，外接球球心O 的投影为G 是ABC ∆中心，在BE 上 3BE =，3DE =，33EG =，233BG =设半径为R ，则2223(3)()3R OG =-+，22223()3R OG =+ 解得：153R =，表面积22043S R ππ== 故选：D三．强化训练一、选择题1．（2020·广西高三期末）棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的表面积为（） A ．2334a + B ．2336a + C ．2336a - D ．2334a - 【答案】A【解析】由题意，多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球，由题意可知AE ⊥面BCD 交于F ，连接CF ，则233323CF a a =⋅= 且其外接球的直径为AE ，易求正四面体ABCD 的高为223633a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎝⎭-. 设外接球的半径为R ，由2226333R a R a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=⎭-⎝-得64R a =. 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为6623AE a a h ==+，所以66h a =. 因为底面BCD ∆的边长为a ，所以2222EB EC ED CF h a ===+=，则正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥E BCD -的表面积222121333322224S a a a ⎛⎫+=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：A .2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥外接球的表面积为．故选：C．3．（2020·安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（）A23B．223C．22D．223【答案】Ba b c R【解析】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为,,,则2223,23,22R a R b R c =⨯==, 即222,,2::2:2:333R R a b c R a b c ===∴=故选：B 4．（2020·北京人大附中高三）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，23AB =，2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π 【答案】B【解析】由四边形ABCD 为矩形，得AB AD ⊥，又SA AD ⊥，且SA AB A ⋂=，∴AD ⊥平面SAB ，则平面SAB ⊥平面ABCD ，设三角形SAB 的外心为G ，则23322sin 2sin12032AB GA ASB ====∠︒. 过G 作GO ⊥底面SAB ，且1GO =，则22215OS =+=.即四棱锥外接球的半径为5． ∴四棱锥外接球的表面积为24(5)20S ππ=⨯=.故选B ．5．（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥中，平面，M 是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以，在中，设外接圆的直径为，则：，所以外接球的半径，则：，故选：C．6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.故答案为：C.7．（2020·江西高三期末（理））如图，三棱锥P ABC -的体积为24，又90PBC ABC ∠=∠=︒，3BC =，4AB =，410PB =，且二面角P BC A --为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．169πB ．144πC ．185πD ．80π【答案】A【解析】因90PBC ABC ∠=∠=︒，所以BC ⊥平面PAB ，且PBA ∠为二面角P BC A --的平面角，又3BC =，4AB =，410PB =，由勾股定理可得13PC =，5AC =，因为1sin 8102PAB S PB AB PBA PBA ∆⋅=⋅∠=∠，所以三棱锥的体积1181032433PAB V S BC PBA ∆=⋅=⨯∠⨯=，解得310sin PBA ∠=，又PBA ∠为锐角，所以10cos 10PBA ∠=，在PAB ∆中，由余弦定理得2101601624410144PA =+-⨯⨯=，即12PA =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥，由BC ⊥平面PAB 得BC PA ⊥，故PA ⊥平面ABC ，即PA AC ⊥，取PC 中点O ，在直角PAC ∆和直角PBC ∆中，易得OP OC OA OB ===，故O 为外接球球心，外接圆半径11322R PC ==，故外接球的表面积24169S R ππ==.故选：A. 8．（2019·湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长4AB AD ==，12AA =，上面的四棱锥1111P A B C D -中11D E C E =，1111PE A B C D ⊥平面，1PE =，则过五点A 、B 、C 、D 、P 的外接球的表面积为（）A ．311π9B ．311π18C ．313π9D ．313π18【答案】C【解析】问题转化为求四棱锥P ABCD -的外接球的表面积．4913PC =+=，∴3sin 13PCD ∠=．所以PCD ∆外接圆的半径为131336213r ==⨯，由于PE ⊥平面1111D C B A ，则PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ，所以外接球的222169313243636R r =+=+=．所以2313π4π9S R ==球表面积．9．三棱锥P —ABC 中，底面ABC 满足BA=BC ，，点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为（） A ．3 B ．C ．D ．【答案】B【解析】设外接球半径为，P 到底面ABC 的距离为，，则，因为，所以，因为，所以当时，，当时，，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.10．（2019·河北高三月考）在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，∠BCD =30°，2246AB BD +=，若将△ABD 沿BD 折成直二面角A -BD -C ，则三棱锥A-BDC 外接球的表面积是( ) A ．4π B ．5πC ．6πD ．8π【答案】C【解析】取,AD BD 中点,E F ，设BCD ∆的外心为M ，连,,MB MF EF ，则01,30,22MF BD BMF DMB BCD BM BF BD ⊥∠=∠=∠=∴== 分别过,E M 作,MF EF 的平行线，交于O 点，即//,//OE MF OM EF ，,BD AB E ⊥∴为ABD ∆的外心，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，//,EF AB EF ∴⊥平面BCD ，OM ∴⊥平面BCD ，同理OE ⊥平面ABD ，,E M 分别为ABD ∆，BCD ∆外心，O ∴为三棱锥的外接球的球心，OB 为其半径, 22222221342OB BM OM BD EF BD AB =+=+=+=， 246S OB ππ=⨯=球.故选:C11．（2020·梅河口市第五中学高三期末（理））设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为3的等边三角形，45ACB ∠=︒，则当三棱锥P ABC -的体积最大时，球O 的表面积为（） A ．283π B ．10πC ．323π D ．12π【答案】A【解析】如图，由题意得2334AB =，解得2AB =.记,,AB c BC a AC b ===， 12sin 24ABC S ab C ab ∆==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224222a b ab ab ab =+-≥-，42(22)22ab ≤=+-，当且仅当a b =时取等号．所以CA CB =且平面PAB ⊥底面ABC 时，三棱锥P ABC -的体积最大.分别过PAB ∆和ABC ∆的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心O ，设PAB ∆和ABC ∆的外接圆半径分别为1r ，2r ，球O 的半径为R ，则123r =，21222sin 45r =⨯=︒.故222211172233R r r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，球O 的表面积为22843R ππ=.故选：A.12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥P-AEF （使B ，C ，D 重合于P ），三棱锥P-AEF 的外接球表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图，由题意可得，三棱锥P-AEF 的三条侧棱PA ，PE ，PF 两两互相垂直，且，，把三棱锥P-AEF 补形为长方体，则长方体的体对角线长为，则三棱锥P-AEF 的外接球的半径为，外接球的表面积为．故选：C ．13．已知球O 夹在一个二面角l αβ--之间，与两个半平面分别相切于点,A B .若2AB =，球心O 到该二面角的棱l 的距离为2，则球O 的表面积为（） A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题【答案】A【解析】过,,O A B 三点作球的截面，如图：设该截面与棱l 交于D ，则OA l ⊥，OB l ⊥，又OA OB O =，所以l ⊥平面AOB ，所以OD l ⊥，所以||2OD =，依题意得,OA AD OB BD ⊥⊥，所以,,,O A D B 四点共圆，且OD 为该圆的直径，因为||2||AB OD ==，所以AB 也是该圆的直径，所以四边形OADB 的对角线AB 与OD 的长度相等且互相平分，所以四边形OADB 为矩形，又||||OA OB =，所以该矩形为正方形，所以2||||22OA AB ==，即圆O 的半径为2，所以圆O 的表面积为24(2)8ππ⨯=. 故选：A14．已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，3BC =，若S 是球面上任意一点，则三棱锥S ABC -体积的最大值为（） A ．32312+ B ．3236+ C ．23312+ D ．3312+ 【答案】A【解析】设ABC 外接圆圆心为O '，三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，1AB AC ==，设D 为BC 中点，连AD ，如图，则AD BC ⊥，且O '在AD 上，221()22BC AD AB =-=，设ABC 外接圆半径为r ，222231()()()242BC r AD r r =+-=+-，解得1r =， 22||23OO r '∴=-=要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离最大，即S 为O O '32，所以三棱锥S ABC -体积的最大值为11112)2)3322ABCS ⨯=⨯⨯⨯=故选：A15．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A B C ．6D 【答案】D【解析】如图1所示，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则1BF r =-，OO CF '===2得CO O D ''⋅=()()11O E O H OO OO ''''⋅=+⋅-，即((211r =+⋅，解得212x r =-，则圆台侧面积(2π1102x S x x ⎛⎫=⋅+-⋅<< ⎪⎝⎭，则'2322S x ππ=-，令'0S =，则3x =或x =，当0x <<时，'0S >x <<'0S <，所以函数2π112x S x ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭在⎛ ⎝⎭上递增，在⎝上递减，所以当3x =时，S 取得最大值．当3x BC ==时，21123x r =-=，则213BF r =-=．在轴截面中，OBC ∠为圆台母线与底面所成的角，在Rt CFB △中可得cos 3BF OBC BC ∠==故选：D ．16．（2020·重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为216π的正方形，该圆柱内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为【答案】323π【解析】设圆柱的底面直径为2r ，高为l ，则222π16πr l l =⎧⎨=⎩，解得24πr l =⎧⎨=⎩.故圆柱的底面直径为4，高为4π，所以圆柱内最大球的直径为4，半径为2，其体积为34π32π233⨯=. 17．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular solid )亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为2，则该二十四等边体外接球的表面积为【答案】8π【解析】2，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，2222(2)(2)(2)2R ∴=++,2R ∴,∴该二十四等边体的外接球的表面积24πS R =24π(2)8π=⨯=.18．（2020·福建高三期末（理））在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AA ，BC 的中点，点M 在棱11B C 上，11114B M BC =，若平面FEM 交11A B 于点N ，四棱锥11N BDD B -的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 半径为【答案】2293【解析】如图1，2,,B M F 三点共线，连结22,B E B MF ∈从而2B ∈平面FEM ，则2B E 与11A B 的交点即为点N ，又12Rt B B N ∆与1Rt A EN ∆相似，所以1112112A E A NB B NB ==；如图2，设11B D N ∆的外接圆圆心为1O ，半径为r ，球半径为R ，在11B D N ∆中，111445,103NB D D N ︒∠==，由正弦定理得453r =，所以1853D P =，在1Rt DD P ∆中，解得4293DP =，即42293R =，所以所求的球的半径为2293.19．（2020·黑龙江高三（理））设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为【答案】183【解析】ABC 中，6BC =,60BAC ∠=︒，则643223sin sin 60a r r A ===∴=︒，22max 6h R r R =-=，222222cos 36a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥∴≤ ，1sin 932S bc A =≤ 当6a b c ===时等号成立，此时11833V Sh ==20．（2020·河北承德第一中学高三）正三棱锥S －ABC 的外接球半径为2，底边长AB ＝3，则此棱锥的体积为【答案】934或334【解析】设正三棱锥的高为h ，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H 为底面正三棱锥的中心因为底面边长AB=3，所以2222333332AH AD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当顶点S 与球心在底面ABC 的同侧时，如下图此时有222AH OH OA += ，即()()222322h +-=，可解得h=3因而棱柱的体积113393333224S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=当顶点S 与球心在底面ABC 的异侧时，如下图有222AH OH OA +=，即()222322h +-=，可解得h=1所以113333313224S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=9333421．（2020·江西高三（理））已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值为【答案】338【解析】如下图，由题意，2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒，取AC 的中点为G ，则G 为三角形ABC 的外心，且为P 在平面ABC 上的射影，所以球心在PG 的延长线上，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22424h h --=-，所以1h =. 故G CG 3A ==，过B 作BD AC ⊥于D ，设AD x =(023x <<)，则23CD x =-,设(03)BD m m =<≤，则~ABD BCD ，故23m xx m-=，所以()223m x x =-，则()23m x x =-，所以ABD 的面积()3112322S xm x x ==-，令()()323f x x x =-，则()2'634f x x x =-（），因为20x >，所以当3032x <<时，()'0f x >，即()f x 此时单调递增；当33232x ≤<时，()'0f x ≤，此时()f x 单调递减．所以当332x =时，()f x 取到最大值为24316，即ABD 的面积最大值为1243932168=．当ABD 的面积最大时，三棱锥P ABD -体积取得最大值为19333388⨯=.22．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学（文）试题【答案】163π【解析】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=，所以球O 的半径为2323x =，则球O 的表面积为22316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 23．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB ==，22AC =，M 是BC 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最小值为___【答案】π 【解析】PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，则三棱锥P ABC -的外接球直径为22222223R PC PA AB AD PA AC ==++=+=，所以，3R =，设球心为点O ，则O 为PC 的中点，连接OM ，O 、M 分别为PC 、BC 的中点，则//OM PB ，且2211222OM PB PA AB ==+=，设过点M 的平面为α，设球心O 到平面α的距离为d . ①当OM α⊥时，2d OM ==；②当OM 不与平面α垂直时，2d OM <=. 综上，2d OM ≤=.设过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面圆的半径为r ，则221r R d =-≥，因此，所求截面圆的面积的最小值为2r ππ=.24．若正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为8，M 为侧棱PA 的中点，则四棱锥M ABCD -外接球的表面积为___________.【来源】山西省运城市2021届高三上学期期末数学（文）试题【答案】132π【解析】在正四棱锥P ABCD -中M 为侧楼PA 中点,∴四棱锥M ABCD -外接球即为棱台MNEF ABCD -的外接球，如图，四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为8，1214,42AB O N O M ===∴ 212242AO MO ==∴设球心为O ，则图中12,OO A OMO △△均为直角三角形，设1OO h =，222(42)OA h ∴=+，222(22)(4)OM h =++，A , M 都在球面上，222O O M R A =∴=,解得21,33h R =∴=,24132S R ππ∴==球25．已知P 为球O 球面上一点，点M 满足2OM MP =，过点M 与OP 成30的平面截球O ，截面的面积为16π，则球O 的表面积为________.【来源】广西钦州市2021届高三第二次模拟考试数学（理）试题【答案】72π 【解析】如图所示：设截面圆心为1O ，依题意得130OMO ∠=，设1OO h =，则2OM h =，又2OM MP =，所以3OP h =，即球的半径为3h ，所以3ON h =，又截面的面积为16π，所以()2116O N ππ=，解得14O N =，在1Rt OO N 中，()22316h h =+，解得2h =，所以球的半径为32，所以球的表面积是()243272S ππ==，故答案为： 72π 26．如图是数学家GeminadDandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球1O 和球2O 的半径分别为1和3，128O O =，截面分别与球1O 和球2O 切于点E 和F ，则此椭圆的长轴长为___________.【来源】江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高三上学期期末数学试题【答案】15【解析】如图，圆锥面与其内切球12,O O 分别相切与,B A ，连接12,O B O A ，则12,O B AB O A AB ⊥⊥，过1O 作12O D O A 于D ，连接12,,O F O E EF 交12O O 于点C ，设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β，在Rt △12O O D 中,2312DO ,22182215O D11221515cos 84O D O O α===128O O = , 218CO O C =-,△2EO C △1FO C ,11218O C O C EO O F -= 解得12O C =,26O C = 222211213CF O C FO ∴=-=-= ,即13cos 2CFO C , 所以椭圆离心率为cos 25cos 5c e aβα=== 在△2EO C 中223cos cos 2EC ECO O C β=∠== 解得33EC =,432EF c ==2325155a a =⇒= 2215a ∴=故答案为：21527．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.【来源】江苏省六校2021届高三下学期第四次适应性联考数学试题【答案】16538【解析】如图所示：平面ABMN 将长方体分成两部分，MN 有可能在平面11CDD C 上或平面1111A D C B 上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面11CDD C 上的情况，延长11B C 与BM 交于点P ，作1O Q BC ⊥于Q 点，设1CBP BPB α∠=∠=，圆1O 对应的半径为1r ，根据三角形内切圆的性质，在1Rt O QB 中，12QBO α∠=，15BQ BC CQ r =-=-，111tan 25O Q r BQ r α==-，则15tan5251tan 1tan 22r ααα==-++，又当BP 与1BC 重合时，1r 取得最大值，由内切圆等面积法求得1512251213r ⨯≤=++，则2tan 23α≤ 设圆2O 对应的半径为2r ，同理可得266tan2r α=-，又252r ≤，解得7tan 212α≥. 故1255566tan 176(1tan )221tan 1tan 22r r αααα+=-+-=--+++，72tan 1223α≤≤，设1tan 2x α=+，则195[,]123x ∈，()5176f x x x=--，由对号函数性质易知195[,]123x ∈，函数()f x 单减，则19519165()()1761912123812f x f ≤=--⨯=，即最大值为16538 故答案为：16538 28．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为___________.【来源】江苏省南京市秦淮中学2021届高三下学期期初学情调研数学试题【答案】183【解析】ABC 为等边三角形且其面积为93，则23934ABC SAB ==，6AB ∴=，如图所示，设点M 为ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，点M 为三角形ABC 的重心，2233BM BE ∴==， Rt OMB ∴中，有222OM OB BM =-=，426DM OD OM ∴=+=+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值19361833D ABC V -=⨯=29．已知四面体ABCD 的棱长均为6,,EF 分别为棱,BC BD 上靠近点B 的三等分点，过,,A E F 三点的平面与四面体ABCD 的外接球O 的球面相交,得圆'O ，则球O 的半径为___________，圆'O 的面积为__________．【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期3月联考理科数学试题【答案】3 8π【解析】。

(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

球的内切与外接问题_数学_高二

已知一个边长为a的正方体，有三个小球，第一个小球内切于正方体，第二个小球与这个正方体的各条棱相切，第三个小球过这个正方体的各个顶点，求这三个小球的表面积之比。分析：由球的表面积公式S=4πR2
S1：S2：S3=R12：R22：R32
第一个小球 — 与正方体内切
a
R1
O
·
1 R1 a 2
2
AC1= 5 2 AC12=AC2+CC12 AC12=32+42+x2=50 x=5 D2=a2+b2+c2
（1）一个几何体的外接球与内切球怎样确定？ ①确定球心位置——位于几何体的中心 ②确定球的半径——球心到切点的距离（2）一个几何体的外接球与内切球的半径怎样求？ ①与面向切——R=球心到面的距离 ②与棱相切——R=球心到棱的距离 ③与点相接——R=球心到点的距离
画出相关截面，转化成平面几何思考
2
2 3 : a : a 2 2
2
1: 2 : 3
V1:V2:V3= ? R13:R23:R33
长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3、4、x，且它的八个顶点都在同一个球面上，已知球的表面 5 积是50π，则x= 5 。 2 R= S=4πR2
第二个小球 — 与正方体的各条棱都相切
O
·
a
R2
2 R2 a 2
第三个小球 — 与正方体外接
A1

C1
O
·
a
C
R3
A
3 R3 a 2
1 R1 a 2
2 R2 a 2
S1 : S2 : S3 R : R2 : R3
2 1 2
2

球的外接内切问题课件-高三数学二轮专题复习

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，
外接球的半径为Ra，2＋则b2＋2Rc2＝
.
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
球与棱柱的组合体问题例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A D1
A1
B
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
1.正方体的内切球、棱切球、外接球
设正方体的棱长为a,则: 正方体的内切球、外接球、棱切球直径
径分别为:
1 2
a、 3 2
a、 2 2
a.
2.正四面体的内切球、棱切球、外接球设正四面体的棱长为a,则: 正四面体的内切球、棱切球、外接球
半径分别为: 6 a、 2 a、 6 a. 12 4 4
圆锥的内切球圆锥的外接球
课时小结:
解决与球有关的内切与外接问题的
关键是：
通过寻找恰当的过球心的截面, 把立体问题转化为平面问题, 通过解三角形求出球的半径R.
30
探究二：若正四面体的棱长为a，则
⑴正四面体的内切球直径＝ ⑵正四面体的外接球直径＝ ⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球

球的内切和外接问题

接球。
性质
02
圆锥体的外接球的半径等于圆锥体母线长度的一半。
应用
03
在几何学中，圆锥体的外接球的概念常用于解决与圆锥体相关
的问题，如计算圆锥体的表面积、体积等。
03
球的内切和外接问题的应用
在几何学中的应用
确定球与平面、球与多面体的位置关系
通过球的内切和外接问题，可以确定球与平面、球与多面体的位置关系，进一步研究球的相关性质。
当一个球恰好与圆柱体的上底面和下底面相切，这个球被称为圆柱体的外接球。
性质
应用
在几何学中，圆柱体的外接球的概念常用于解决与圆柱体相关的问题，如计算圆柱体的表面积、体积等。
圆柱体的外接球的半径等于圆柱体高的一半。
球与圆锥体的外接
定义
01
当一个球恰好与圆锥体的顶点相切，这个球被称为圆锥体的外
解决几何问题
利用球的内切和外接问题，可以解决一些与球相关的几何问题，如计算球的表面积、体积等。
在物理学中的应用
确定天体的运动轨迹
在天文学中，通过研究天体与地球之间的球内切和外接问题，可以确定天体的运动轨迹和运行规律。
解决物理实验问题
在物理实验中，利用球的内切和外接问题可以解决一些与球相关的物理实验问题，如研究球的滚动摩擦等。
02
球的外接问题
球与多边形的外接
01
02
03
定义
当一个球恰好与一个多边形的各顶点相切，这个球被称为多边形的外接球。
性质
多边形的外接球的半径等于多边形各顶点到其外接圆圆心的距离。
应用
在几何学中，外接球的概念常用于解决与多边形相关的问题，如计算多边形的面积、体积等。

高中数学立体几何中的外接球与内切球问题

高中数学立体几何中的外接球与内切球问题
在高中数学的立体几何中，外接球与内切球问题是一个重要的探讨点。

这个问
题涉及到如何在一个给定的立体图形中，找到一个外切于该图形的球和一个内切于该图形的球。

首先，让我们来看外接球问题。

在立体几何中，给定一个多面体，如正方体或
正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好外接于该多面体的每一个面上。

所谓外接，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的外接圆心。

以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的外
接圆心恰好位于该正方形的中心点。

因此，我们可以得出结论：正方体的外接球的圆心与该正方体的每个面的外接圆心重合。

接下来，让我们来看内切球问题。

在立体几何中，给定一个多面体，如正方体
或正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好内切于该多面体的每一个面上。

所谓内切，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的内切圆心。

以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的内
切圆心恰好位于该正方形的中心点。

因此，我们可以得出结论：正方体的内切球的圆心与该正方体的每个面的内切圆心重合。

总结起来，对于任何一个给定的多面体，我们可以找到一个外接球和一个内切球。

外接球的圆心与每个面的外接圆心重合，而内切球的圆心与每个面的内切圆心重合。

这个问题在高中数学的立体几何中十分重要，理解了外接球和内切球的性质，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。

球的内切、外接问题(优秀经典专题及答案详解)

积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B． 20π
C． 24π
D．32π
8 答案及解析：答案：C 解析：由题意知正四棱柱的底面积为 4，所以正四棱柱的底面边长为 2，正四棱柱的底面对角线长为 2 2 ,正四棱柱的对角线为 2 6 而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R 2 6 所
以 R 6 ,所以 S球 4πR2 24π .
时， f（' t） 0 ，（f t）单调递减，所以当 t 6 时，（f t）最大，即长方体的体积最大，此时
a 2 3，V 12 3 ，故选 A.
球的直径等于正方体的棱长 2，
则球的半径 R=1，
则球的体积V 4 π R3 4π
3
3
故选 A.
6、平面四边形 ABCD 中, AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A' BCD ,使平面 A'BD 平面 BCD ,若四面体 A' BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )
接圆的半径为 3 ∵△ABC 和△DBC 所在平面相互垂直，
∴球心在 BC 边的高上，
设球心到平面 ABC 的距离为 h,则 h2 3 R2 ( 3 2 3 h)2 2
∴h=1，R=2，∴球 O 体积为 4 π 23 32 π 故选：D
3
3
2、三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 3, 2,1 ,则该三棱锥的外接球的表面积( )
2
∴ OA2 OA2 OO2 ,即 R2 3 2 3 R2 ,解得 R 2 故选：D
5、将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． 4π 3

空间正方体的外接球和内切球问题

空间正方体的外接球和内切球问题外接球
外接球是一个与正方体相切于所有顶点的球体。

换句话说，外接球的球心与正方体的顶点相重合，并且球体的半径刚好与正方体的边长相等。

由于正方体的六个顶点之间的距离是相等的，所以外接球也是一个等边球体。

外接球的性质有以下几点：
1. 外接球的球心与正方体的中心重合。

2. 外接球的半径等于正方体的边长。

内切球
内切球是一个与正方体的六个面相切的球体。

换句话说，内切球的球心位于正方体的中心，并且球体的半径刚好与正方体的边长的一半相等。

内切球的性质有以下几点：
1. 内切球的球心与正方体的中心重合。

2. 内切球的半径等于正方体的边长的一半。

外接球和内切球的关系如下：
1. 外接球的半径等于内切球半径的两倍。

2. 外接球的球心和内切球的球心重合。

外接球和内切球的问题在几何学和工程学中具有一定的应用价值。

通过研究它们的性质和特点，可以帮助我们更好地理解立体几何和球体的关系。

本文只是简单介绍了空间正方体的外接球和内切球问题，希望能对您有所帮助。

如需深入了解此问题，还需进一步研究和探索。

立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

C 1
注意：①割补法，② V多面体 3 S全 r内切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）
①
②
③
④
• A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，
的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM • PN 的取值范围是
．
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？
.r
a
一、球体的体积与表面积
①
②
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球多是面这体个的外接球
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
，即为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提升 1、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提升
2、（2015 郑州三模）正三角形ABC的2 边3 长
5 正棱锥的外接球的球心是在其高上

球的内切和外接问题

球的内切和外接问题
目录
• 球的内切问题 • 球的外接问题 • 球的切接问题在几何图形中的应用 • 球的切接问题的求解方法
01
球的内切问题
球与多面体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个多面体时，多面体的每个面都会与球面相切，形成一系列的圆。
详细描述
球与多面体的内切是指球心位于多面体的内部，并且球面与多面体的每个面都相切。这种情况下，多面体的每个面都会与球面形成相切的圆。这种内切关系在几何学中具有重要意义，是研究球与多面体关系的基础。
详细描述
在几何作图题中，经常需要利用球的切接性质来进行几何作图，例如作一个圆或一个圆锥的内切于另一个圆或圆锥。通过球的切接性质，可以确定相关的点和线的位置，进而
完成几何作图。
04
球的切接问题的求解方法
利用球心距和半径关系求解
1 2
球心距
球心到球面任一点的距离等于球的半径。
求解方法
利用球心距和半径的关系，通过代数运算求出相关量。
斜放的圆锥体的外接球
对于斜放的圆锥体，其外接球的球心位于通过顶点和底面圆心的直线上，但不一定在轴线上。
03
球的切接问题在几何图形中的应用
在几何证明题中的应用
总结词
利用球的切接性质，经常需要利用球的切接性质来证明一些几何图形的性质和关系，例如证明两个圆或两个圆锥相切于同一个点，或者证明一个圆或一个圆锥内切于另一个圆或圆锥等。通过球的切接性质，可以推导出相关的角度、距离等关系，进而证明题目的结论。
在几何计算题中的应用
总结词
利用球的切接性质，计算几何图形的相关量。
详细描述
在几何计算题中，经常需要利用球的切接性质来计算一些几何图形的相关量，例如计算两个圆或两个圆锥相切时的半径、高、角度等。通过球的切接性质，可以建立相关的数

球的内切和外接问题

正方体外接球的直径2R 3 2 a, R 6 a
2
4
S表
3 2
a 2
A B
O D
C
求正多面体外接球旳半径
求正方体外接球旳半径
球旳内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面旳距离均相等，外接球球心到多面体各顶点旳距离均相等。 2、正多面体旳内切球和外接球旳球心重叠。 3、正棱锥旳内切球和外接球球心都在高线上，但不重叠。
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
图3
图4
图5
甲球为内切球直径=正方体棱长
设为1
S甲 4 R12 =
D
C
A
B
中截面
O
.
D1
C1
A1
B1
球内切于正方体旳棱
正方形旳对角线等于球旳直径= 2a
S乙 4 R22 =2
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E 3a
6
S表
3 2
a2
求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积
解法2：
正方体的棱长为 2 a, 2
球与多面体旳内切、外接
球旳半径r和正方体旳棱长a有什么关系？
.r
a
一、球体旳体积与表面积
①
V球