2高斯定理hipeak

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02高斯定理

【解】电荷体密度
分析对称性

q
4
3
π
R23

R13
由电荷分布的中心对称性→
场强分布球对称且沿径向。
R2
R1
r
O
dq1 dE2

dq2 P
dE1
dE 所以选取通过场点的同心球面为高斯面（应用高斯
（q）（dq2= dq1）
定理的闭合面）
12
◆球E对 d称S场对球E型d高S斯面的E 电d通S量：E4 r 2
一. 高斯定律的证明:
1.通过点电荷q为球心的球面的电通量
等于q/0

nˆ E e E d S
S
r dS
rˆ
q

1
4π0
q r2
rˆ d Snˆ
1q
q
4 π0 r 2
dS
0
6
2.通过包围点电荷 q 的任意封闭曲面的
电通量都等于q/0
这是因为点电荷q 的
高斯面上各处的 E ; 而 q内只是对高斯面内的
电荷求和。
8
明确几点： 1.高斯面为闭合面。

e E d S （S）
q内
0
高斯面为几何面， q内和 q外总能分清。
2. 式中的电场强度为高斯面上某点的场强，是由空间所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。
3.电通量 Φ 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。
高斯定理高斯定理公式高斯定理求场强高斯定理的应用静电场的高斯定理大学物理高斯定理磁场的高斯定理静电场高斯定理高斯定理适用范围磁场高斯定理
电磁学
电场中的高斯定理
张三慧教材： 10.4、10.5、10.6

高斯定理(高斯定理是什么？高斯定理怎么用？)

解对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E dS S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20

E

EE
E
E 2 0
E
x
O
( 0)
讨论
无的限电大场带叠电加平问面题

0

0
高斯定理举例：
均匀带电球面（球体、球壳等）的电场分布均匀带电直线（圆柱面、圆柱体等）
的电场分布均匀带电无限大平面的电场分布
例：均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强
度. 解（1）0 r R
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
S
s (柱面）
h 0
2 rhE h 0

E
2 0 r
z
+
+
r h
+
+o
x+
E y en
E
O
r
讨论
o
E O
无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析: 视为无限长均匀带电直线的集合；
r
P
dE '
选同轴圆柱型高斯面；
由高斯定理计算
dE
dE dE'
0 rR
高斯 Carl Friedrich
Gauss 德国 1777～1855 数学家、天文学家

高斯定理(电磁学)

证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。

电场的高斯定理

电场的高斯定理电场是物质之间相互作用的重要表现形式，它在日常生活中随处可见。

为了更好地理解和描述电场的性质，科学家们提出了众多的定理和公式。

其中，以德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯命名的“高斯定理”被广泛应用于电场研究中。

1. 高斯定理的基本概念高斯定理描述了电场的性质与其产生的电荷分布之间的关系。

它表明，通过一个闭合曲面的电场通量与该曲面内所包含的电荷量成正比，与曲面形状和大小无关。

具体而言，高斯定理可表达为以下公式：∮ E·dA = Q/ε0其中，∮ E·dA表示通过闭合曲面的电场通量，Q表示该曲面内所包含的电荷量，ε0为真空介电常数。

2. 电场通量电场通量指的是电场线穿过一个给定曲面的总量。

在高斯定理中，通过曲面的电场通量是一个重要的参数，它可以用来描述电场的分布情况和强度。

通过一个平面曲面的电场通量可以计算为：Φ = E*A*cosθ其中，E表示电场强度，A表示曲面的面积，θ表示电场线和垂直于曲面的单位法向量之间的夹角。

3. 电场与电荷分布的关系根据高斯定理，电场通量与曲面内的电荷量成正比。

这意味着，电场线越密集、电荷量越大的区域，通过给定曲面的电场通量也越大。

通过运用高斯定理，我们可以通过测量电场通量来确定电荷的分布情况。

4. 高斯定理的应用高斯定理在电场研究中有着广泛的应用。

它常用于计算对称分布的电场强度、导体中的电荷分布以及电偶极子等问题。

4.1 计算对称分布的电场强度高斯定理在计算对称分布的电场强度时十分有用。

例如，对于球对称分布的电荷体系，可以选择一个以电荷球中心为原点的球面作为曲面，此时根据高斯定理可以得到球对称电荷体系内的电场强度分布。

4.2 导体中的电荷分布导体中的电荷分布也是高斯定理的重要应用之一。

由于导体内部不存在电场，因此电场线必定从导体表面垂直于表面出射。

通过选取合适的高斯曲面，可以很容易地计算出导体表面上的电荷分布情况。

高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高...

acb adb
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能，电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能，称为电荷在静电场中的电势能称为电荷在静电场中的电势能。电势能。静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS

高斯定理相关内容ppt

2
问题:Leabharlann 1 Ψ e S E dS q内 0 i
③ 当通过高斯面的电场强度通量为零时,是否意味着高斯面内没有电荷?
答:当通过高斯面的电场强度通量为零时,意味着高斯面内没有净电荷。
④当通过高斯面的电场强度通量为零时, 是否意味着高斯面上各点的场强都为零? 答:高斯面上各点的场强并不一定都为零。
1 Ψ e S E dS q内 0 i
①高斯面上各点的场强与高斯面外的电荷有无关系? 答:通过高斯面的电场强度通量仅与高斯面内电荷有关, 但高斯面上各点的场强却与高斯面内外电荷都有关。 ②当电荷分布已知时,能否用高斯定理求场强分布?如果能, 在什么情况下? 答:当带电体电荷分布具有对称性时,可以用高斯定理求场强。
高斯定理和库仑定律的关系
① 高斯定理和库仑定律二者并不独立。高斯定理可以由库仑定律和场强叠加原理导出。反过来，把高斯定理作为基本定律也可以导出库仑定律。
② 两者在物理涵义上并不相同。库仑定律把场强和电荷直接联系起来,在电荷分布已知的情况下由库仑定律可以求出场强的分布。而高斯定理将场强的通量和某一区域内的电荷联系在一起，在电场分布已知的情况下，由高斯定理能够求出任意区域内的电荷。 ③ 库仑定律只适用于静电场,而高斯定理不但适用于静电场和静止电荷,也适用于运动电荷和变化的电磁场。 1
3

大学物理高斯定理课件

复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分情势和积分公式，这些是微分几何的重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的重要性，说明证明高斯定理的必要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法来证明高斯定理，说明其公道性和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行推广，以处理更复杂的几何形状和场散布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围扩大到非保守场，例如电磁场和引力场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用于计算电场和电荷散布的关系，以及电磁波的传播。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定理可以应用于计算引力场的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定理可以用于计算粒子在强磁场中的运动轨迹和能量。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布的电场散布，特别是在处理点电荷、均匀带电球体等简单电荷散布时，高斯定理提供了简洁的解决方案。

高斯定理解析

0
高斯定理
对称性分析
1、利用Gauss定理为求电场强度，首先要做对称性分析，寻找合适的高斯面。 2、下面以均匀带电球体为例： 1）球外（一）：合场强方向沿径向
高斯定理 2、下面以均匀带电球体为例： 1）球外（二）：合场强方向沿径向

（1）在球外，空间各点电场强度方向沿径向方向（2）在球外，距离球心相等距离处，电场强度大小相等。
b E r0 3 0
高斯定理—练习
讨论：
空腔处的电场强度为
特征：
b E r0 3 0
b O R 恒值
O' P
大小方向
b E 3 0 r0
匀强电场
同向
（或球壳）
高斯定理拓展
qi 积分式 E dS
s
0
微分式 E 0
i V
1、若带电体为连续带电体，体密度为，则
2、数学中散度定义
V E ( i j k ) ( Exi E y j Ez k ) x y z
b
O'
O
R
P
高斯定理—练习
解：利用补偿法将带空腔的带电球看作： -
+ O' r b O R O' P
O R
r1
P
+
2
P
e
e
E dS 4r
q/
s
0 3 1
2 1
E1
4 r / 3 0
E1 OP 3 0 同理： E2 PO 3 0
高斯定理
应用
qi E dS

第4章-2-高斯定理

S
0 底面积
2 S ＇E S ＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20 匀强电场！
第7二-3节静电场的高斯定理
E 2 0
第第七四章章
E
O
( 0)
x

E

EE
E
第7二-3节静电场的高斯定理
第第七四章章
讨论
无的限电大场带叠电加平问面题
en
S

E
第7二-3节静电场的高斯定理
非均匀电场强度电通量
dSd Se ˆn
dΦ eEdS
Φ edΦ esE co dS s
Φe sEdS
S为封闭曲面
01π 2, dΦe10
2
π, 2
dΦe20
dS2
E
en
第第七四章章
dS E
正点电荷q固定于原点O，
q
试验电荷q0在q的电场中，由
o
A点沿任意路径ACB到达B点。

C
E
q0
r
A
点电荷q的电场强度为：
E

1
4
0
q r2
er
第三节静电场的环路定理电势
r q0移过元位移d l 时，电场力作的元功为：
dWq0Edl 410qrq20erdl
B
e rd l d lc o s d r
第7三-3节静电场的高环斯路定理电势
第七章
结论：
1. 在点电荷q的非匀强电场中，电场力对试验电荷q0所作的功只与起点和终点的位置有关，与所经历的路径无关。

高斯定理的理解

高斯定理的理解电子与信息学院 0 7 电联 6号熊德辉摘要：高斯定理在静电学具有重要的应用。

在大学物理里，仅表示为积分形式，应认识其物理意义 ,同时又必须从它的物理含义上认识它的数学应用 ,这对清楚、全面了解静电场是至关重要的.关键词:高斯定理;高斯面;电场线;对称分布;散度；电通量;电场强度。

一、高斯定理的理解高斯定理是静电学中的一个重要定理,它反映了静电场的一个基本性质 ,即静电场是有源场 ,其源即是电荷。

可表述为:在静电场中 ,通过任意闭合曲面的电通量 ,等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ξ1倍 ,与闭合曲面外的电荷无关。

它的表达式为：ξint∑⎰=∙qdS E s是电磁学最基本的定理之一。

其中 ,E 表示在闭合曲面上任一 dS 面处的电场强度 ,而 E ·dS 则为通过面元dS 的电场强度通量 ,就表dS E s∙⎰示通过整个闭合曲面 S 的电场强度通量 ,⎰s表示沿闭合曲面 S 的积分 ,习惯上称 S 为高斯面，高斯定理表明:静电场是有源的、发散的 ,源头在电荷所在处 ,由此确定的电场线起于正电荷 ,终于负电荷。

对高斯定理的理解和应用不正确 ,常常会出现一些问题。

如 ,高斯面上的 E 是否完全由高斯面内的电荷产生;如果 ∑=0q ，是否必有 E = 0 ;当E 处处为零时 ,是否高斯面内一定无电荷;高斯定理是否在任何情况下都成立;哪些问题用高斯定理解决会简便一些等等. 这就涉及是否对高斯定理理解正确 ,对其数学表达式的理解是否存在数学负迁移情况.其实 ,只要对高斯定理注意掌握几个要点，就能对上面的问题有比较清醒的认识了.1 定理中的 E 是指空间某处的总电场强度空间中某处的电场强度为空间中所有电荷所激发的电场在该处场强的矢量和. 若任意作一个假想的闭合曲面(高斯面) 通过该处 ,用 E 内、 E 外分别表示高斯面内、外的电荷在高斯面上产生的场 ,则在该处的总场强 E = E 内 + E 外.由高斯定理有:ξint∑⎰⎰⎰=∙+∙=∙qdS dS dS E sssE E外内而从电场线的角度看 ,电场线始于正电荷 ,终于负电荷 ,当电场中的闭合曲面内不含有电荷时 ,电场线仅穿过此闭合曲面 ,这些进入闭合曲面的电场线总条数与穿出闭合曲面的电场线总条数相等 ,故通过整个闭合曲面的电场强度通量为零. 所以 0=∙⎰dS sE 外故 ξint∑⎰⎰=∙=∙qdS dS E ssE 内即:高斯定理对高斯面内的电荷产生的场而言 ,也成立.2 注意ξ0int ∑⎰=∙qdS E s中 E 和 dS 的矢量性在对高斯定理的理解上常常出现不注意物理量的矢量性问题. 有些人认为当0int=∑q 时 ,由于dS ≠0 ,所以必有 E = 0.实际上 , 0int=∑q ,表明始于闭合曲面内正电荷的电场线与终于闭合曲面内负电荷的电场线数相等 ,则穿出闭合曲面的电场线数与进入闭合曲面的电场线数相等 ,即通过整个闭合面的电场强度通量为零.但这并不意味着闭合曲面上电场强度处处为零. 因为:(1) 高斯面上某处的场强是高斯面内、外电荷在该处产生的场强的矢量和 ,所以 ,即便高斯面内的0int=∑q ,也无法完全确定 E =0 ;(2) 由于 E 和dS 在式中是矢量的标积关系 ,因此存在二者的方向问题 ,如果 E ≠0 ,而它与dS 的方向垂直 ,仍有 E ·dS = 0. 故不能由 0int=∑q 来判断 E 是否为零。

大学物理Ⅱ 高斯定理

P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷球对称性均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱无限圆柱面无限同轴圆柱面
无限大平面面对称性无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左

电学高斯定理

电学高斯定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：电学高斯定理是电学领域中的重要定理之一，它描述了电场的性质与电荷之间的关系。

高斯定理的提出者是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯，他在通过对电场分析的基础上，发现了电场的一种非常有用的特性，这就是高斯定理。

电学高斯定理是电场理论的基石之一，它提供了一种简单而优雅的方法来计算静电场中的电荷分布和电场强度。

高斯定理描述了一个有无限小体积的闭合曲面，其内部电荷的总电量等于曲面上的电荷总和乘以一个常数，即真空介电常数乘以电场的通量。

高斯定理的数学形式如下：\[\oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{A} =\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\]\(\oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{A}\)表示电场强度在闭合曲面S上的通量，\(d\vec{A}\)表示曲面元素的面积微元，它与曲面的法线方向一致，\(Q_{enc}\)表示闭合曲面S内部的电荷总量，\(\varepsilon_0\)表示真空介电常数。

高斯定理的物理意义在于，它告诉我们，一个闭合曲面的电场通量只取决于曲面内部的电荷分布，与曲面的具体形状和大小无关。

这使得高斯定理成为了电场分布的计算利器，在许多问题的求解中起到了至关重要的作用。

举个简单的例子来说明高斯定理的应用。

假设我们有一个均匀带电的无限长线段，电荷密度为\(\lambda\)，现在我们希望确定距离这个线段距离为r处的电场强度。

我们可以选取一个半径为r的闭合球面，这个球面的中心位于线段上，利用高斯定理可以得到线段上的电荷等于球面包围电荷的总和，即：\[Q_{enc} = \lambda \cdot 2\pi r\]根据高斯定理，我们可以得到球面上的电场通量等于：如果我们假设球面上的电场强度与球面法线方向垂直，并且与球面上的法向面积元素大小相等，那么可以将上式简化为：解得电场强度为：这就是距离带电线段距离为r处的电场强度。

物理中的高斯定理

物理中的高斯定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：高斯定理是物理学中非常重要的定理之一，它描述了通过一个闭合曲面的电场或者磁场的总通量等于内部电荷或者磁荷的代数和的1/ε₀倍。

这个定理在电学和磁学中有着广泛的应用，对于理解电场和磁场的分布以及它们与电荷和磁荷的关系有着重要的作用。

本文将深入探讨高斯定理的概念及其在电学和磁学中的应用，并对其重要性进行总结和展望。

1.2 文章结构文章结构部分：本文将围绕物理中的高斯定理展开讨论，首先我们将介绍高斯定理的概念，包括其基本原理和数学表达式。

然后，我们将重点讨论高斯定理在电学和磁学中的应用，分析其在解决电场和磁场问题中的重要性和实际意义。

最后，我们将总结高斯定理在物理中的重要性，并对其未来的发展进行展望，以期为读者提供全面的物理学知识和思考。

1.3 目的本文旨在深入探讨物理学中的高斯定理，并探讨其在电学和磁学领域中的应用。

通过对高斯定理的概念和原理进行剖析，我们旨在帮助读者更好地理解与应用高斯定理。

同时，通过总结高斯定理在物理学中的重要性，并展望其在未来的应用前景，本文意在激发读者对物理学领域的兴趣，以及对高斯定理相关研究的关注。

最终，本文会总结结论，希望能够为读者提供对高斯定理的全面理解，并对其在物理学领域的未来发展提供一定的启示。

2.正文2.1 高斯定理的概念高斯定理，也称为高斯法则，是物理学中的重要定理之一，它描述了一个闭合曲面内的某一物理量的总量与这个曲面所包围的物理系统的产生或消失的量之间的关系。

换句话说，高斯定理可以用于计算一个矢量场通过一个闭合曲面的通量。

这个定理是根据德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的工作而命名的。

在数学上，高斯定理可以用公式表示为：∮∮S (F·n) dS = ∮V (∇·F) dV其中，∮∮S 表示对闭合曲面S 的面积分，F·n 表示矢量场F 在曲面上的法向分量，dS 表示曲面S 上的面积元素。

电学高斯定理

电学高斯定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：电学高斯定理，也被称为高斯定律或高斯电场定律，是电磁学中的一个基本定理。

它描述了电场的性质，以及电荷分布和电场之间的关系。

高斯定理的提出者是德国物理学家高斯（Carl Friedrich Gauss），他通过实验和理论推导，引入了这一重要定理。

高斯定理的数学表达式是一个积分形式：∮E⋅dA = Q/ε0E是电场强度矢量，dA是通过闭合曲面的微元面积矢量，Q是闭合曲面所包围的总电荷量，ε0是自由空间中的介电常数，其值约为8.85×10^-12 F/m。

在这个定理中，左边的积分式表示了电场通过某一闭合曲面的总通量，而右边则表示了该闭合曲面所包围的总电荷量与自由空间介电常数的比值。

换句话说，高斯定理说明了电场的总通量与闭合曲面内的总电荷量之间存在一种简洁的关系。

高斯定理的一个重要推论是，如果闭合曲面内不包含电荷或电荷处于静止状态时，电场强度矢量在闭合曲面上的法向分量是恒定的。

这意味着，即使电场是由电荷分布产生的，但在不包含电荷的区域内，电场的分布与电荷的位置无关，只与电荷量有关。

这为研究电场的分布提供了一种简便的方法。

高斯定理对于计算复杂电场问题具有重要意义。

通过选取适当的闭合曲面，可以简化电场计算过程，减少计算量，提高效率。

举一个简单的例子，如果有一个均匀带电球体，可以通过选择球面为闭合曲面，利用高斯定理计算球面上的电场，从而得到球内外各点的电场分布。

这种方法比传统的直接积分计算更为简单和直观。

在实际应用中，高斯定理被广泛用于计算各种不规则形状的电场分布，如线电荷、面电荷、体电荷等。

通过选择合适的闭合曲面和取向，可以有效地解决复杂电场问题，为电磁理论的研究和应用提供了一种有力的工具。

电学高斯定理是电磁学中的一项重要定理，它揭示了电场的性质和电荷之间的关系，为我们理解和研究电场提供了一种简单而有效的方法。

通过高斯定理的运用，我们可以更深入地了解电场的本质，解决复杂电场计算问题，推动电磁学理论的发展和应用。

02高斯定理

∑q
i
< 0 ⇒ Φe < 0
表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷，表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾负电荷是静电场的尾。所以负电荷是静电场的尾。
静电场是有源场静电场是有源场
f . 对连续带电体，高斯定理为对连续带电体，
∫ E ⋅ d S = ε ∫ dq 14
在真空中的静电场内通过任意闭合曲面真空中的静电场内,通过任意闭合曲面中的静电场内称为高斯面）的电通量， E （称为高斯面）的电通量，等于该曲面所包围电量的代数和除以ε0,即即
ds
Φ e = ∫∫
∑q E ⋅d S =
ε0
内
q内
（S））
注意：注意：高斯面上各点都有自己的 E ；公式中 E 为 d s 处的 E
q
dS =
∫ dS
与球面半径无关，即以点电荷为中心的任一球面为中心的任一球面，与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
9
讨论：讨论：
a. q > 0 ⇒ Φe > 0
q < 0 ⇒ Φe < 0
电量为q的负电荷有电量为的负电荷有q/ε0 的负电荷有条电场线终止于它
∑ q = λh
φ = ∫ EdS cosθ = S ε0 φ = φ左底 + φ侧 + φ右底 ∵ E ⊥ dS , cosθ = 0 φ左底 = φ右底 = 0 φ = φ侧 = ∫ EdS cos θ 侧
∑q
λ
r
λh = = ε0 ε0 λ 侧面上各点的场强E 侧面上各点的场强大小相 ∴E = 等，方向与法线相同。方向与法线相同。 2πε 0 r

高斯定理2

侧面
∴ E ⋅ 2πrh = ∑ qi ε 0 ⇒ E =
∑q
i
σ ⋅ 2 π R h 2π R ⋅ 1 ⋅ σ = = 2 π rhε 0 2πε 0 r 令2πR · 1 · σ = λ (单位长度柱面所带电量单位长度柱面所带电量) 单位长度柱面所带电量 λ ( r > R ) 相当于电荷集中在轴线上时的 ∴E = 2πε 0 r 情形。书上例11-8）情形。（书上例）
q
ˆ n
ϕ 上＝ ∫
s上
r r E 上 ⋅ ds ＝ ∫ E
s上
E上 ≠ 0
上
θ = 90
o
cos θ ds = 0
14
通过另外三个面的电通量为？通过另外三个面的电通量为？
以q为中心设计一为中心设计一个大立方体，个大立方体，大立方体外表面作为Gauss面S）（作为面）由24个小正方形个小正方形平面组成。平面组成。电场线均匀辐射定理，由Gauss定理，有定理
1
温故知新
r 电场线（电场线（ E线）的性质 r r 1、线上某点的切向即为该点 E的方向。、的方向。 E 切线 r × Er E线 dS ⊥ r r 2、线的密度给出 E 的大小。的大小。、 E
dN条 r r 线不相交。线发自正电荷(或∞远处），线发自正电荷( 远处）两条 E 线不相交。 E r 止于负电荷( 远处) 不闭合，说明静电止于负电荷(或∞远处)。 E线不闭合，说明静电
解：根据电场分布的轴对称性，根据电场分布的轴对称性，可以选与圆筒同轴的圆柱面(上下封顶作高斯面。上下封顶)作高斯面轴的圆柱面上下封顶作高斯面。再根据高斯定律即可得出：律即可得出：在筒内，在筒内，r < R1 ： E = 0 在筒间，在筒间， R1 < r < R2 ： λ E = 2 πε 0 r 在筒外，在筒外， r > R2 ： E = 0

高斯定理的证明方法和应用

式中最后一步用到函数的筛选性，将式（3）代入式（2）中得：
r SE dS V 0 dV
（1）当电荷 Q 包含在闭合曲面 S 内时，则
7
r Q E d S d V S V 0 0
e E dS
S

S n
E
i 1 S n
n
i
dS
E i dS
i 1

1
0
Q
i 1
i
上式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的 0 分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面 S 称为高斯面，对于连续分布的电荷，上式可以表述为
B dS 0
S
与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N 极和 S 极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任
S
（1）
其中 S 取外侧。(1)式称为高斯公式。 1、物理上静电场的高斯定理
在一半径 r 的球面 S 包围一位于球心的点电荷 Q，在这个球面上，场强 E 的方向处处垂直于球面，且 E 的大小相等，都是 E
Q 4 0 r 2
。通过这个球面 S 的电通量为
e E dS E dS 4 r 2 E
（2）当电荷 Q 不包含在闭合曲面 S 内时，则
S V
r E dS dV 0

高斯定理

若某个电荷（不论正负）放在闭合曲面的外面，则穿入和穿出该闭合曲面的电场线数目相同，由于规定了自内向外为法线的正方向，所以所有穿出曲面的电通量为正值，穿出曲面的电通量为负值，则整个闭合曲面的电通量为零。
1.3 高斯定理
静电场是由电荷所激发的，通过电场空间某一给定闭合曲面的电通量与激发电场的场源电荷必定有确定的关系。德国科学家高斯通过缜密运算论证了这个关系，并提出了著名的高斯定理。该定理给出了通过任何曲面S的电通量φe与闭合曲面内部所包围的电荷之间的关系。下面就以点电荷为例来讨论。
（3）利用高斯定理解出场强E。
【例7-4】求点电荷Q的电场强度的分布情况。
S
0
由此可见，通过此球面的电通量等于球面内的电荷量q除以真空电容率ε0 ，与球面半径无关。
（2）一个正点电荷q，被任意闭合曲面S′和球面S同时包围，如下图所示。根据电力线的连续性可知，凡是通过球面S 的电力线都一定通过曲面S′。所以通过闭合曲面S′的电通量等于通过球面S的电通量，均为 q/ε0 。
物理学
高斯定理
1.1 电场线
电场线是空间中一系列假想的曲线，主要反映电场的特
征，描述电场中各点场强E的大小和方向。为此，对电场线作
如下规定：
（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强E的方向一
致。这样，电场线的方向就反映了场强方向的分布情况。
（2）在任一场点，使通过垂直于场强E的单位面积的电
场线数目（称为电场线密度），正比于该点处场强E的大小。
2．非均匀电场的电通量
在非均匀电场中，为了求出通过任意曲面S的电通量φe，可以把曲面S分成无限多个面元dS，如下图所示。此时，面元 dS可以近似看成一个平面，并且在面元的范围内电场强度可以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。

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