(湖南专用)中考数学总复习-专题四-归纳与猜想(专题讲练+名师解读+考向例析+提升演练)(含解析

(湖南专用)中考数学总复习-专题四-归纳与猜想(专题讲练+名师解读+考向例析+提升演练)(含解析
专题四归纳与猜想
归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．
考向一数字规律问题
数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．
【例1】如图，一个数表有7行7列，设a
表示第i行第j列上的数(其中i＝1,2,3， (i)
j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.
1 2 3 4 3 2 1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4
5 6 7 8 7 6 5
6 7 8 9 8 7 6
7 8 9 10 9 8 7
则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.
(2)此数表中的四个数a np，a nk，a mp，a mk，满足(a np－a nk)＋(a mk－a mp)＝__________.
解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，
a52＝6，a53＝7，
所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.
对于(2)中四个数a np，a nk，a mp，a mk，可以发现a np与a nk为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理a mk与a mp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．
根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(a np－a nk)＋(a mk－a mp)＝0.
答案：(1)0 (2)0
方法归纳解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．考向二数式规律问题
解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．
【例2】给出下列命题：
命题1：直线y ＝x 与双曲线y ＝1
x
有一个交
点是(1,1)；
命题2：直线y ＝8x 与双曲线y ＝2
x
有一个交
点是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，4；
命题3：直线y ＝27x 与双曲线y ＝3
x
有一个
交点是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，9；
命题4：直线y ＝64x 与双曲线y ＝4
x
有一个
交点是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，16；
……
(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n (n 为正整数)；
(2)请验证你猜想的命题n 是真命题．
解：(1)命题n ：直线y ＝n 3
x 与双曲线y ＝
n
x
有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2
；
(2)将⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ，n 2代入直线y ＝n 3
x 得：右边＝
n 3
×1
n
＝n 2，左边＝n 2，
∴左边＝右边．
∴点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n
，n 2在直线y ＝n 3
x 上．
同理可证：点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ，n 2
在双曲线y ＝n x 上，
∴直线y ＝n 3
x 与双曲线y ＝n
x
有一个交点是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ，n 2
. 方法归纳 此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．
对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．
考向三 数形规律问题 根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．
【例3】 用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要小圆__________个(用
含n 的代数式表示)．
解析：观察图形可知，第n 个图形比第(n －1)个图形多n 个小圆，
所以第n 个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n ＝1
2
n (n ＋1)． 答案：1
2
n (n ＋1)
方法归纳 解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．
一、选择题
1．如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7…叫做“正六边形的渐开线”，其中FK 1，K 1K 2，K 2K 3，K 3K 4，K 4K 5，K 5K 6…的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6….当AB ＝1时，l 2 011等于( )
A ．2 011π2
B ．2 011π3
C ．2 011π4
D ．2 011π6
2. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…，按这样的规律进行下去，第2 011个正方形的面积为( )
A ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2 010
B ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2 011
C ．5⎝ ⎛⎭⎪
⎫94 2 009
D ．5⎝ ⎛⎭
⎪⎫32 4 020
二、填空题
3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n 个数是__________．
4．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取
△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________．
5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1，－1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2 012的坐标为__________．
三、解答题
6．观察下列算式：
①1×3－22＝3－4＝－1
②2×4－32＝8－9＝－1
③3×5－42＝15－16＝－1
④__________________________
……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母n(n为正整数)的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
7．观察图形，解答问题：
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：
(2)请用你发现的规律求出图④中的数和图⑤中的数x .
8．(1)△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．
图1
图2 图3
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的
△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2(如图2)，则S 2＝__________.
(3)按(1)(2)的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S 3(如图3)；继续操作下去…，则第10次剪取时，S 10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．
参考答案
专题提升演练
1．B 可以发现规律：每段弧的度数都等于
60°，K n －1K n 的半径为n ，所以l 2 011＝
60π×2 011
180
＝2 011π3
.
2．D 由题意知，OA ＝1，OD ＝2，DA ＝5，∴AB ＝AD ＝5，利用互余关系证得
△DOA ∽△ABA 1，∴DO AB ＝OA BA 1，∴BA 1＝12AB ＝1
2
5，
∴A 1B 1＝A 1C ＝32AB ＝352，同理，A 2B 2＝3
2A 1B 1＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫322
5，一般地A n B n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n
5，第2 011个正方形的
面积为(A 2 010B 2 010)2
＝5⎝ ⎛⎭
⎪⎫32 4 020
，故选D.
3．3n －2 思路一：将数列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×(n －1)，所以第n 个数是1＋3×(n －1)，即3n －2.
思路二：将数列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n －2，所以第n 个数是3n －2.
4.1
28 因为A 1，B 1分别是EF ，FD 的中点，所以A 1B 1＝1
2
ED .因为正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1∽正六
角星形AFBDCE ，所以正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面
积∶正六角星形AFBDCE 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1
4.所以
正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积＝1
4
.同理正六角
星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积∶正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1
的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1
4，所以正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的
面积＝14×14＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
.如此下去…，则正六角星形
A 4F 4
B 4D 4
C 4E 4的面积等于⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1
2
8.
5．(2,1 006)
6．解：(1)4×6－52
＝24－25＝－1； (2)n (n ＋2)－(n ＋1)2＝－1； (3)一定成立．理由：
因为n (n ＋2)－(n ＋1)2＝n 2＋2n －(n 2
＋2n
＋1)＝n 2＋2n －n 2
－2n －1＝－1，故(2)中的式子一定成立．
7．解：(1)图②：(－60)÷(－12)＝5， 图③：(－2)×(－5)×17＝170， (－2)＋(－5)＋17＝17， 170÷10＝17.
(2)图④：5×(－8)×(－9)＝360， 5＋(－8)＋(－9)＝－1， y ＝360÷(－12)＝－30，
图⑤：1×x ×3
1＋x ＋3
＝－3，解得x ＝－2.
8．解：(1)如图甲，由题意得AE ＝DE ＝EC ，即EC ＝1，S 正方形CFDE ＝1.如图乙，设MN ＝x ，则由题意，得AM ＝MQ ＝PN ＝NB ＝MN ＝x ，∴3x ＝22，
解得x ＝22
3
.
∴S 正方形PNMQ ＝⎝
⎛⎭⎪⎫2232＝8
9. 又∵1＞8
9
，∴甲种剪法所得的正方形的面积
更大．
(2)S 2＝1
2.
(3)S 10＝1
2
9.
解法1：探索规律可知：S n ＝1
2
n －1.
剩余三角形的面积和为2－(S 1＋S 2＋…＋S 10)＝2－⎝
⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋129＝129.
解法2：由题意可知，
第1次剪取后剩余三角形面积和为2－S 1＝1＝S 1.
第2次剪取后剩余三角形面积和为S 1－S 2＝1－12＝1
2
＝S 2.
第3次剪取后剩余三角形面积和为S 2－S 3＝12－14＝1
4
＝S 3. …
第10次剪取后剩余三角形面积和为S 9－S 10
＝S 10＝1
2
9.。