数学椭圆的综合应用 同步练习3人教版选修1-1(A文)
数学椭圆的定义 例题解析人教版选修1-1(A文)
椭圆的定义例题解析例1过椭圆4x2＋y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是[ ]略解：∵|AF1|＋|AF2|=2，|BF1|＋|BF2|=2，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|=4，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|=4．∴选B．评注：此题明是求周长，实际上是用椭圆的定义．题中提现了转化的思想．例2M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2．且2a=10,2c=6,点I为△MF1F2解：如图，I为△MF1F2的内心，∴∠1=∠2，比较①、②，并应用等比定理，得评注：此题三步用到了椭圆的定义，内角平分线定理，等比定理．等比定理是桥梁把内角平分线分线段比与椭圆的第一定义联系起来．例3已知椭圆两焦点为F1，F2，M点为椭圆上一点(不在直线F1F2上)，∠F1MF2=θ，|F1F2|=2c，|MF1|＋|MF2|=2a．求△MF1F2的面积．解：由余弦定理，得(2c)2=|F1F2|2=|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2=(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)=(2a)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)评注：例4已知方程2(k2－2)x2＋k2y2＋k2－k－6=0表示椭圆，求实数k的取值范围．解：按题意，得评注：解这种类型的题目，要注意椭圆的两种类型，同时要注意椭圆与圆的区别．例5解：设所求椭圆方程为Ax2＋By2=k，①评注：此题不知道椭圆的类型，因此采取这种“模糊”的设法，简化了计算．例6分析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，m＋n=20，即m2＋n2－mn=144．(1) ∴(m＋n)2－3mn=144．评注：在上述方法中运用了椭圆的定义和余弦定理，这是解决椭圆中三角形问题时常求|PF1|·|PF2|的最大值．解：∵a=10，∴|PF1|＋|PF2|=20．当且仅当|PF1|=|PF2|时“=”号成立，∴|PF1|·|PF2|的最大值为100．例7证在椭圆外，(1)∵P在椭圆内，(2)∵P评注：1．本题涉及的知识点是椭圆方程与坐标概念．2．这是常用的知识点，了解坐标概念和曲线方程概念即不难证明．例8时，求|AM|＋2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标．解析：本题按常规思路，设M(x，y)，则又M在椭圆上，y可用x表示，这样|AM|＋2|MF|可表示为x的一元函数，再求此函数的最小值．虽说此法看上去可行，但实际操作起来十分困难，但我们可以由椭圆的第二定义，转化到点到直线的距离来求，如图．∴|AM|＋2|MF|=|AM|＋d由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|即为|AM|＋d的最小值，其值为8－(－2)=10例9[ ]A．椭圆 B．双曲线C．线段 D．抛物线略解：即点P(x，y)到定点F(1，1)的距离与到定直线l：x＋y＋2=0的距离的比值∴点P的轨迹是椭圆，故选A．评注：此题很妙：妙在利用椭圆的第二定义，定义不能直接运用，必须进行变形后，才知答案．若利用两边平方解会很麻烦的．例10离为[ ] A．8略解：如图|PF1|＋|PF2|=2a=10，∴|PF1|=2．∴|PF2|=10－|PF1|=10－2=8．选A．评注：此题是椭圆第一定义与第二定义的综合运用．例11如图椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P、Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，则椭圆离心率为[ ] A．0 B．2C．2 D．5答案：D．评注：此题灵活利用离心率、深化对椭圆第二定义的理解．例12则有|PF1|=a＋ex，|PF2|=a－ex．证明：由椭圆第二定义，得评注：有的书中把上述结论叫做焦半径公式．按照人民教育出版社出版的教材要求这样做是不科学的，容易陷入单纯记忆公式，忽视椭圆第二定义的理解和应用．由于叙述的方便，后面我们还是采用焦半径的提法．但是要注重理解．实际上，上述结论是椭圆第二定义的延伸，抓住椭圆第二定义，及点与直线位置关系极易推导和记住，使用时，前面冠以“根据椭圆第二定义，得”即可应用．|PF1|=a＋ex，|PF2|=a－ex，例13分析：只要解方程组即可．此种方法，思路自然，但计算量较大，需要换一个角度，寻求新的解法．解：由椭圆第二定义，得评注：充分理解椭圆第二定义，可记忆有关结论．。
高中数学人教新课标A版选修1-1(文科)第二章2.1.2椭圆的简单几何性质同步练习A卷
高中数学人教新课标A版选修1-1（文科）第二章2.1.2椭圆的简单几何性质同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2015高二上·宝安期末) 已知圆C1：x2+y2=b2与椭圆C2： =1，若在椭圆C2上存在一点P，使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直，则椭圆C2的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·温州期中) 椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，则（）A . 3B .C . 5D .3. （2分）如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 已知 ,是椭圆的两个焦点，是上的一点，若且 ,则的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·太原期末) 已知椭圆 =1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l过F2且与椭圆相交于不同的两点A，B，那么△ABF1的周长（）A . 是定值4B . 是定值8C . 不是定值，与直线l的倾斜角大小有关D . 不是定值，与b取值大小有关6. （2分） (2017高二上·河北期末) 设过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P（﹣1，2），且与x轴交于M（m，0），N（n，0）两点，则mn=（）A . 3B . 2C . ﹣3D . ﹣27. （2分） (2018高二上·吉林期中) 若中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是（）A .B .C .D .8. （2分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则n=（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共4分)9. （1分） (2017高二上·越秀期末) 已知F1、F2是椭圆 =1的焦点，点P在椭圆上，若∠F1PF2=，则△F1PF2的面积为________．10. （1分） (2016高二上·福田期中) 过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：（a＞b ＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．11. （2分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为________，离心率为________。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 到两定点1F （-2，0）和2F （2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对2. 椭圆125y 9x 22=+的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△2ABF 的周长是A. 20B. 12C. 10D. 6 3. 椭圆1y 25x 22=+上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为A. 5B. 6C. 7D. 84. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和()为常数且a ,0a a 2|PB ||PA |>=+； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件题型二：椭圆的标准方程椭圆的两种标准方程1b y a x 2222=+，1bx a y 2222=+中都有：（1）0b a >>；（2）222b a c -=或222c b a +=；（3）焦点坐标（c ±，0）或（0，c ±）；（4）2x 与2y 所对应的分母，哪个大，焦点就在哪个轴上，请用以上知识解决以下5~8题。
5. 椭圆116y 32x 22=+的焦距等于A. 312B. 8C. 6D. 46. 若方程1a y ax 222=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是A. 0a <B. 0a 1<<-C. 1a <D. 无法确定7. 椭圆0ab by ax 22=++（0b a <<）的焦点坐标是A. ()0,b a -±B. ()0,a b -±C. ()b a ,0-±D. ()a b ,0-±8. 椭圆112y 13x 22=+上一点到两个焦点的距离和为A. 26B. 24C.134D. 132题型三：椭圆的标准方程的应用 紧扣标准方程的两种方式，焦点位置取决于两个分母哪个大，特别注意看似非标准形式的标准形式，如11k y kx 222=--，这说明01k <-，另外注意c 2|PF ||PF |21>+的约束条件，请用以上知识解决以下9~10题。
数学椭圆的综合应用 同步练习3人教版选修1-1(A文)
椭圆的综合应用 同步练习一、 单选题(每道小题 4分 共 108分 )1.以圆的圆心为右焦点，坐标原点为中心，长轴长是短轴长的倍，那么该椭圆方程是 ．．．．x +y 4x +1=02[A +5y =1 B +y =1C +3y =1D +y =1222222-]51643843164842222x x x x2. 以直线在两坐标轴上的截距的绝对值为椭圆的长轴与短轴， 那么中心在原点，对称轴是坐标轴的椭圆方程是 [ ]A +y =1B +y =1C +y =1y +x =1D +y =1y +x =122222222．．．或．或x x x x 2222643616964366436169169 3.椭圆上的一点到左准线的距离为，则到右焦点的距离是 ．．．．x +y =1P P [ ]A B C D 8222595225892163 4.从椭圆长轴的一个端点看椭圆短轴所成的视角是，则该椭圆的离心率为 ．．．．π36326[ ]A B 33 C 3 D5.若椭圆的离心率为，左焦点到左顶点的距离为，则椭圆的长轴长是 ． ． ． ．121[ ]A 2 B 4 C D 2336.如果椭圆的长轴等于，焦点到相应准线的距离是，那么该椭圆的离心率等于 ．．．．652[ ]A B C D 23352515 7. 以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则这椭圆的 离心率e 等于 [ ] A B C D ．．．．122232258. 椭圆一焦点坐标是(0，6)，中心在原点，两条准线间的距离为20，则椭 圆的方程是 [ ]A +x =1B +x =1C +x =1D +x =12222．．． ．y y y y 2222602412084100362199. 直线y=x+1被椭圆x +2y =4所截得线段中点的坐标是 [ ]A B C D ．，．，．，．，()()()()2312132323131323--- 10. 椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线与两坐标轴的交点， 则椭圆标准方程为 [ ]A +y =1y +x =1B +y =1 y +x =1C +y =1y +x =1D +y =1y +x =1222222222222．或．或．或．或x x x x 222240440440440364036403640364024 11.椭圆长轴在轴上，中心在原点，是焦点，点、为长轴的端点，是椭圆上一点，⊥，若││││，且，则椭圆方程为． ．． ．x F A B P PF FA PF =OB OA =a [ ]A 4x +y =a B x +4y =a C 2x +y =a D x +2y =a 22222222 2 2221212.若椭圆＞＞的长轴被圆与轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率为 ．．．．x +y =1(a b 0)x +y =b x [ ]A 2B 3C 2D 22222a b 2223131213513. 设p 为椭圆焦点到相应准线的距离，a 、b 、c 依次表示椭圆的半长轴、 半短轴和半焦距，则它们之间的关系是 [ ]A p =aB p =bC p =bD p =a 2222．．．．c c a b14. 椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则此椭圆的离心率是[ ]A B C D ．．．．3345353215.已知短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点、，过的弦为，则△的周长等于 ． ．．．4523F F F AB ABF [ ]A 48 B 12+4 C 24 D 121212516. 椭圆的对称轴是坐标轴，过圆x 2+y 2与x 轴的公共点，离心率为 12，则该椭圆方程为[]A 3+y =1x +3=1B 4+y =1 x +3y 4=1C x +4y =1x +3y =1D x +3y =1 y +4x =12222222222222．或．或．或．或4433443222x y x17.以二次函数的图象与轴的交点为焦点，顶点为椭圆一个顶点，那么这个椭圆的方程是 ．．．．y =18x +2x [ ]A +y =1 B +y =1C +y =1D +y =122222x x x x 2222842044154201618.中心在原点，一个焦点为，，截直线所得弦的中点横坐标为的椭圆方程为．．．．()[]052321225751752512752251225275122222222y x A x y B x y C x y D x y =-+=+=+=+=19.椭圆上一点与椭圆两焦点、，已知，则△的面积的值是．．．．x y P F F F PF F PF A B C D 22121212492419048243230+=∠=︒[]20.椭圆，，的焦点坐标是．，．，．，．，x ty tt A t B t C t D t 222210402200220cos sin ()[](cos )(cos )(cos )(cos )+=∈±±±-±-π21.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，一个顶点是，，那么该椭圆方程是 ．．．或．或22(05)[ ]A +2y =1 B +x =1C +2y =1y +x =1D +2x =1x +y =122222222x y x y 2222252550252525502525255025 22.椭圆与椭圆∶有相同的焦点，且的短轴与的长轴的长度相等，则的方程为 ．．．．C C 81+y =1C C C [ ]A +y 81=1 B +y =1C +y =1D +y =11221212222x x x x x 2222264982268147812098123.圆心在椭圆的长轴上，与椭圆的短轴相切，且与椭圆有唯一公共点的圆的方程是 ．．．或．或 x +y =1[ ]A x +y +5x =0 B x +y 5x =0C x +y +5x =0 x +y 5x =0D x +y 5x =0x +y 245x =022222222222222259--±±24. 过椭圆的焦点作长轴的垂线交椭圆于两点，若两点间的距离为10，且 短轴长和焦距长相等，则中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程是 [ ]A +y =1B +x 50=1C +y =1D +x =1x +y =122222．．．．或x y x y 22222151100100100501005010050 25.椭圆＞＞的一条弦过它的右焦点且垂直于轴，以线段为直径作圆，则点，与圆的位置关系是 x +y =1(a b 0)PQ x PQ C A(a 0)C [ ]22a b22A ．点A 在圆C 内B ．点A 在圆C 上C ．点A 在圆C 外D ．以上三种情况都可能26.椭圆内有两点，，，，为椭圆上的点，若要求最小，则这最小值是．．．．x y A B P PA PB A B C D 22251612230102910424522+=+--+()()[]27.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．或．或且．．且x k y k x k A k k B k k k C k D k k 22223121432432343243212()()[]+++=<-><->≠--<<-<<≠-二、 填空题(每道小题 4分 共 16分 )1.椭圆上一点，到左、右焦点的距离之比为∶，则点到左准线的距离为 ；到右准线的距离为 ．x +y =113P 2210036P2.直线被椭圆截得的弦长为，则椭圆方程是．240410222x y x y k --=+=3.椭圆中心在原点，长轴和短轴之和为，离心率为，则椭圆标准方程为 ．36354. 若P(x ，y)是椭圆4x +y =4上的点，那么x+y 的最小值是___，最大值是___．三、 解答题( 10分 )设椭圆的中心为原点，它在X 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直， 且此焦点和长轴较近的端点距离是，求这椭圆方程．105-答案一、 单选题1. C2. D3. D4. A5. B6. A7. B8. A9. C 10. B 11. D 12. A 13. B 14. B 15. C 16. C 17. B 18. A 19. B 20. B 21. D 22. A 23. C 24. D 25. A 26. A 27. D 二、 填空题1.254754；2. 4x +y =93.x 2100641100641222+=+=y y x 或 4.-55；三、 解答题解：设椭圆方程为则顶点分别为，，，和，，，焦点，∵，∴①又∵②由①，②得，得方程x a y bA a A aB b B b F a b BF B F BF B F a a b FA a a b a b x y 2222112211222210000021051051051+=---⊥====--=-==+=()()(,)()()。
高中新人教A版数学选修1-1单元综合测试 椭圆双曲线 含答案
椭圆、双曲线综合能力测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 23＋y 22＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5)C ．(±1,0) D ．(0，±1)2．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5C.152D.15 3．平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )A ．双曲线B ．线段C ．射线D ．不存在4．设P 是椭圆x 2169＋y 225＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于 ( )A ．22B ．21C ．20D ．135．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D.147．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( )A ．82B ．42C ．22D ．88．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆9．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( ) A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件10．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]11．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝2412．(2010·辽宁文，9)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.3＋12 D.5＋12二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3,32)的双曲线方程为__________． 14．双曲线x 24－y 23＝1的焦点到渐近线的距离为______． 15．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为e ＝22，则实数m 的值等于________．17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 216＋y 225＝1共焦点，且过点(－2，10)的双曲线； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线．18．(本题满分12分)方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．[分析] 根据焦点在y 轴上的椭圆的标准方程的特点，先将条件方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．19．(本题满分12分)已知动圆M 与⊙O 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙O 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．20．(本题满分12分)如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的方程；(2)若P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．21．(本题满分12分)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，其中c ＝a 2＋b 2，求双曲线的离心率．22．(本题满分14分)若椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．1[答案] C[解析] ∵a 2＝3，b 2＝2，∴c 2＝1.又焦点在x 轴上，故选C.2[答案] A[解析] ∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝25，∴c ＝5.3[答案] D[解析] 设两定点为A 、B ，则平面内到两定点A 、B 的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离．4[答案] A[解析] 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝22.5[答案] D[解析] 将x 24－y 212＝－1化为y 212－x 24＝1，易知双曲线的焦点在y 轴上，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)，所以椭圆的a ＝4，c ＝23，因此b 2＝16－12＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6[答案] A[解析] 双曲线mx 2＋y 2＝1的方程可化为：y 2－x 2－1m ＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m，由2b ＝4a ， ∴2－1m ＝4，∴m ＝－14. 7[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22， |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴|AB |＝8 2.8[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.9[答案] A[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． 若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则 (m －5)(m 2－m －6)<0，∴m <－2或3<m <5，故选A.10[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20，又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10.故选C.11[答案] D[解析] ∵椭圆x 216＋y 264＝1的焦点(0，±43)为双曲线焦点，又它的一条渐近线为y ＝－x ， ∴双曲线方程为y 2－x 2＝24.12[答案] D[分析] 考查双曲线的渐近线方程及如何用a ，b ，c 三者关系转化出离心率[解析] 设F (－c,0) B (0，b )则K FB ＝b c与直线FB 垂直的渐近线方程为y ＝－b ax ∴b c ＝a b，即b 2＝ac 又b 2＝c 2－a 2，∴有c 2－a 2＝ac两边同除以a 2得e 2－e －1＝0∴e ＝1±52∵e ＞1，∴e ＝1＋52，选D. 13[答案] y 22－8x 29＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 29－y 216＝λ(λ≠0) 又点(－3,32)在双曲线上，∴λ＝－18. 故双曲线方程为y 22－8x 29＝1. 14[答案] 3[解析] 双曲线x 24－y 23＝1的一条渐近线方程为：y ＝32x ，焦点F (7，0)到该渐近线的距离为：3×73＋4＝ 3. 15[答案] 10或52[解析] 若m <5，则e ＝22＝5－m 5，解得m ＝52；若m >5，则e ＝22＝m －5m ，解得m ＝10.16．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．16[答案] 2 3[解析] 由题意可知12×c ×32c ＝3，∴c ＝2， 故P (1，3)在椭圆x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1上，即1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题(共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17[解析] (1)∵椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：y 2a 2－x 29－a 2＝1， 又点(－2，10)在双曲线上，∴10a 2－49－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为y 25－x 24＝1. (2)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)， ∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1， 又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 18[解析] ∵x 2sin α－y 2cos α＝1，∴x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. 又∵此方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1sin α>0－1cos α>01sin α<－1cos α，即⎩⎨⎧sin α>00<－cos α<sin α，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )． 故所求α的范围为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )． 19[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题意得|MO 1|＝1＋r ，|MO 2|＝2＋r ，∴|MO 2|－|MO 1|＝2＋r －1－r ＝1<|O 1O 2|＝2，由双曲线定义知，动圆圆心M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为1的双曲线的上支，双曲线方程为：4y 2－43x 2＝1.(y ≥34) 20[解析] (1)A (0，－b )，l 的方程为y ＋b ＝x ，P (0,1)，则B (1＋b,1)， AB →＝(1＋b,1＋b )，AP →＝(0，b ＋1)，又∵AB →·AP →＝9，∴(1＋b,1＋b )·(0，b ＋1)＝9，即(b ＋1)2＝9，∴b ＝2，∴点B (3,1)在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，∴a 2＝12， 所求的椭圆方程为x 212＋y 24＝1. (2)P (0，t )，A (0，－b )，B (t ＋b ，t )，AB →＝(t ＋b ，t ＋b )，AP →＝(0，t ＋b )，AB →·AP →＝9，∴(t ＋b )2＝9，∴b ＝3－t ，B (3，t )，代入椭圆9a 2＋t 2(3－t )2＝1，∴a 2＝3(t －3)23－2t， ∵a 2>b 2，∴3(t －3)23－2t>(3－t )2，∴0<t <32. 21[解析] 由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52， 即双曲线的离心率为1＋52. 22[解析] 令x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a. 设P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，而椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c ；而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求的椭圆方程为：x 210＋y 25＝1.。
最新精编高中人教A版选修1-1高中数学椭圆 同步检测题和答案
椭圆同步测试一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ） A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A. 22 B. 2 C.2 D. 16．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．41B ．22 C ．42 D ．217. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴 8．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ） A ．516B ．566 C ．875 D ．877 9．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A. 2B. 1C.23D. 2110．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x 11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A ．3B ．11C ．22D ．1012．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）13．椭圆2214x y m+=的离心率为12，则m = 。
人教A版选修1-1椭圆(3)试卷.docx
o xP A D F E y y2015—2016学年度安陆一中选修1-1椭圆（3）试卷1.椭圆22122:1,,43x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是 ( ) A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2.椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为 ( )A.513B.35C.45D.12133.如图，若D 为椭圆的右顶点，直线AD 、PD 交直线3=x 于,E F 两点，则EF 的最小值为 ．4.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.则椭圆G 的方程为________．5.求椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．12422=+y x6.求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2,3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.7. P 为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M ，交F 2P 的延长线于N ，求M 的轨迹方程．8.设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0)(0,(),0,(21>-c c F c F ，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直，求实数m 的取值范围.9.已知点A B 、的坐标分别是(0,1)-、(0,1),直线AM BM 、相交于点M ,且它们的斜率之积为12-. (1)求点M 轨迹C 的方程; (2)若过点(0,2)D 的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E F 、,试求OEF ∆面积的取值范围(O 为坐标原点).。
人教A版高中数学选修1-1：2.1.2-1椭圆的简单几何性质 同步课时练习
2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质填一填1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的简单几何性质(1)范围易知y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，故x 2a ≤1，即－a ≤x ≤a ；同理－b ≤y ≤b .故椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形框里． (2)对称性在方程中，以－y 代替y 或以－x 代替x 或以－y 代替y 、以－x 代替x ，方程都不改变，故椭圆关于x 轴、y 轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．(3)顶点椭圆与x 轴、y 轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．其中x 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为2a ，短轴长为2b .说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置． (4)离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的几何性质比较标准 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a对称 性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点左焦点F 1 (－c,0)，右焦点F 2 (c,0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)， B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a )， B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，长半轴长为a ，短半轴长为b离心 率e e ＝2c 2a ＝ca(0<e <1)判一判1.若点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2＝1上，则实数m 的取值范围是[－1,1]．(×)解析：椭圆焦点在x 轴上，且a ＝3，所以－3≤m ≤3.故错误．2．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则点(－3，－2)不在椭圆上．(×)解析：根据椭圆的对称性可知点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)均在椭圆上，故错误． 3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是10,6,0.8.(√)解析：将方程25x 2＋9y 2＝225化为椭圆的标准方程为x 232＋y 252＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝c a ＝45＝0.8，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝23.(×)解析：由题椭圆x 22＋y 2m ＝1焦点在x 轴上，且离心率为12，故e ＝2－m 2＝12⇒m ＝32，故错误．5．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，233.(×)解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故错误．6．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1.(×)解析：因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.故错误．想一想1.提示：一般的步骤(通常采用待定系数法)：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于a ，b ，c 的关系式，利用方程(组)求出a ，b ，c .带入②即可．2．如何求解椭圆的离心率？ 提示：求解方法一般有两种：①易求a ，c ，代入e ＝c a 求解；易求b ，c ，由e ＝cb 2＋c 2求解；易求a ，b ，由e ＝a 2－b 2a 求解．②列出含a ，c 的齐次方程，列式时常用公式b ＝a 2－c 2代替式子中的b ，然后将等式两边同时除以a 的n 次方(一般除以a 或a 2)，从而利用e ＝ca转化为含e 的方程，解方程即可．但应注意0<e <1.思考感悟：练一练1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析：因为椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝6，所以长轴的两个端点坐标为(0，－6)，(0，6)．故选D. 答案：D2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12解析：因为2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，故e 2＝13，解得e ＝33.故选B.答案：B3．椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)答案：(0，±69)4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 答案：34知识点一由椭圆方程研究简单几何性质 1.A ．|x |≤5，|y |≤3B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上，所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.答案：B2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相等 C ．C 1与C 2短轴长相等D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程，可知C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3.已知直线2x ＋y －2＝0经过椭圆x a 2＋y b2＝1(a >0，b >0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 26＋y 24＝1 解析：直线2x ＋y －2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)， 由题意得c ＝1，b ＝2， 所以a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：A4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D ．x 2＋y 23＝1 解析：∵一个焦点为(－3，0)， ∴焦点在x 轴上且c ＝ 3.∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a ＝2·2b ，即a ＝2b ， ∴(2b )2－b 2＝3.∴b 2＝1，a 2＝4，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：A5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．解析：由2a ＝18，得a ＝9.又因为2c ＝183＝6，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1.答案：x 281＋y 272＝1知识点三椭圆的离心率问题6.椭圆x 2A.32 B.34 C.22 D.23 解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程得x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c ＝a 2－b 2＝32，离心率e ＝c a ＝32. 答案：A7．如图所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，则椭圆的离心率为________．解析：方法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则k AB ＝－ba.又PF ⊥x 轴，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵OP ∥AB ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c ，a 2＝2c 2，因此，a ＝2c ，∴e ＝22.方法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，∴∠POF ＝∠BAO ， ∴Rt △OPF ∽Rt △ABO ，∴|PF ||BO |＝|OF ||AO |，即b 2a b ＝c a ， 即b a ＝c a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 答案：228．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝π3，求椭圆离心率的取值范围． 解析：在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理，可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.结合基本不等式，可得4a 2－4c 2＝3|PF 1||PF 2|≤3⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝3a 2(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝a 时等号成立)，即a 2≤4c 2，可得e ≥12，又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.基础达标一、选择题1．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为( )A ．2 B. 3C.32D.12解析：由椭圆的方程x 24＋y 23＝1可得a ＝2，b ＝3⇒c ＝1，所以椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ＝c a ＝12，故选D.答案：D2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y25＝1 解析：椭圆方程9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.答案：B3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析：由题可知，椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为c a ＝63，c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.故选A.答案：A4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由题可知e ＝c a ＝33，又△AF 1B 的周长为43，所以4a ＝43，所以a ＝3，所以c ＝1.所以b 2＝a 2－c 2＝2.故C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A. 答案：A5．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±152，1B.⎝⎛⎭⎫152，±1C.⎝⎛⎭⎫152，1D.⎝⎛⎭⎫±152，±1 解析：设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D. 答案：D6．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2,0)，B (0,1)，所以b ＝1，c ＝2，所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a ＝25＝255.故选D. 答案：D7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，63 C.⎣⎡⎦⎤3－1，63 D.⎣⎡⎦⎤3－1，32解析：如图，因为AF ⊥BF ，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则|OA |＝|OB |＝|OF |＝c .根据图形的对称性知，|AF |＋|BF |＝2a .又因为∠ABF ＝α，所以|AF |＋|BF |＝|AB |·cos α＋|AB |·sin α＝2c (sin α＋cos α)＝2a ，因此e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.又因为α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，所以e ∈⎣⎡⎦⎤3－1，63，故选C. 答案：C 二、填空题8．比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)．解析：x 2＋9y 2＝36化为标准方程得x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；椭圆x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1>e 2，故①更扁．答案：①9．若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝13，则k 的值为________．解析：由题意得c a ＝13⇒a 2＝9c 2⇒a 2b 2＝98，即k ＋89＝98或k ＋89＝89，解得k ＝0或k ＝178.答案：0或17810．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________．解析：∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1， 又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长为2<2a ≤4. 答案：(2,4]11．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F (2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x 28＋y24＝1的条件有________(填序号)．解析：只需保证a ＝22，b ＝2，c ＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1.答案：①②③12．与椭圆y 24＋x 23＝1有相同的离心率，且长轴长与x 28＋y 23＝1的长轴长相等的椭圆方程为________．解析：椭圆y 24＋x 23＝1的离心率为e ＝12，椭圆x 28＋y 23＝1的长轴长为4 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，2a ＝42，解得a ＝22，c ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝6.又因为所求椭圆焦点既可在x 轴上，也可在y 轴上，故方程为x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1或y 28＋x26＝1三、解答题13．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解析：椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18；短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223.14．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解析：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.能力提升15. (1)离心率e ＝34，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是8；(2)椭圆过定点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74. 解析：(1)∵P 到两焦点的距离和为8，∴2a ＝8，a ＝4，又∵e ＝c a ＝34，c ＝3，b 2＝16－9＝7，∴椭圆方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. (2)设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ≠n ≠0)， ∵椭圆过点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋214n ＝19m ＋4916n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝16n ＝7， ∴椭圆的方程为x 216＋y 27＝1. 16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－3，0)、F 2(3，0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上的点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，求y 0的值．解析：(1)由题意得，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b2＝1，且a 2－b 2＝3， 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，则有MF 1→·MF 2→＝0且y 0≠0，即(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝0 ①，而点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 204＋y 20＝1 ②， 取立①②消去x 20，得y 20＝13≠0， 所以y 0＝±33.。
人教A版高中数学选修1-1椭圆的简单几何性质习题 (3)
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课时自测·当堂达标1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( )A.(±13,0)B.(0,±10)C.(0,±13)D.(0,±)【解析】选D.由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±).2.若中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选 A.由已知得a=9,2c=·2a,所以c=a=3.又焦点在x轴上,所以椭圆方程为+=1.3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为( )A. B.2 C. D.4【解析】选C.椭圆x2+my2=1的标准形式为:x2+=1.因为焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,所以=4,所以m=.4.椭圆+=1的焦点坐标是________________,顶点坐标是________________.【解析】由方程+=1知焦点在y轴上,所以a2=16,b2=9,所以c2=a2-b2=7,因此焦点坐标为(0,±),顶点坐标为(±3,0),(0,±4).答案:(0,±) (±3,0),(0,±4)5.已知椭圆的标准方程为+=1.(1)求椭圆的长轴长和短轴长.(2)求椭圆的离心率.(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点,并且经过点P(-4,1)的椭圆方程.【解析】(1)椭圆的长轴长为2a=6,短轴长为2b=4.(2)c==,所以椭圆的离心率e==.(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点,则b′=3,可设椭圆方程为+=1,又椭圆过点P(-4,1),将点P(-4,1)代入得+=1,解得a′2=18.故所求椭圆方程为+=1.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1 判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二 充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
高中数学人教A版(2019)选择性必修一3.1 椭圆同步练习
高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.1 椭圆同步练习一、单选题1..已知椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.2..已知椭圆C：的离心率为，则椭圆C的长轴长为（）A. B. 4 C. D. 83.以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.4.若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为（）A.B.C.D.5..已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A. 3B. 5C. 7D. 86..明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（）A. B. C. D.7..古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8 π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.8..“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（）A. 0.61B. 0.67C. 0.71D. 0.77二、多选题9..若椭圆的离心率为，则m的取值为（）A. B. 6 C. 3 D.10.若为椭圆的方程，则（）A. 3B. 6C. 8D. 1111.2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米､远火点n千米，火星半径为r千米，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（）A. B.C. 椭圆轨道Ⅱ的短轴长D.12..已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（）A. 椭圆的焦距为2B. 椭圆的短轴长为C. 的最小值为D. 过点的圆的切线斜率为三、填空题13.已知椭圆，则其长轴长为________，离心率为________.14..椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的 1 倍15.设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为________．16.设椭圆，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是的中点，则的长轴长等于________.四、解答题17.（1）已知椭圆：的离心率为，右焦点为( ，0).求椭圆的方程；（2）已知椭圆：经过，一个焦点为.求椭圆的方程. 18..求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）.长轴长是短轴长的倍，且过点；（2）.椭圆过点，离心率.19.已知椭圆两焦点、且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若点是椭圆上的一个点，且，求的面积．20.已知椭圆过，两点，直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过点，是否存在常数，使得为定值，若存在，求的值及定值；若不存在，请说明理由.21..设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点.（1）.若点B为椭圆C的上顶点，求直线的方程；（2）.设直线的斜率分别为，，求证：为定值.22..已知椭圆）的离心率为，左焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，P 为椭圆上任意一点，当直线与x轴垂直时，．（1）.求椭圆的方程；（2）.当直线变动时，求面积的最大值．答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A二、多选题9.【答案】A,C10.【答案】A,C11.【答案】B,C12.【答案】A,D三、填空题13.【答案】4；14.【答案】515.【答案】16.【答案】四、解答题17.【答案】（1）解：由右焦点为( ，0)，则，又，所以，，那么.（2）解：由题意得解得，所以椭圆的方程是.18.【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为或．由已知且椭圆过点，∴或，∴或故所求椭圆的方程为或（2）解：当椭圆的焦点在轴上时，由题意知，，∴.∴∴椭圆的标准方程为.当椭圆的焦点在轴上时，由题意知，∴＝，∴.∴椭圆的标准方程为.综上，所求椭圆的标准方程为或19.【答案】（1）解：由题意，设椭圆方程为，椭圆的半焦距为，∴，解得，∴；（2）解：由余弦定理，得，∵点是椭圆上的一个点，且，∴，∴，∴的面积．20.【答案】（1）解：由已知得且，解得，∴椭圆方程为（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线为代入得：，，，若为定值，故，解得，定值为②当直线斜率不存在时，，所以，，，，，，当时，综上所述，存在常数，使得为定值21.【答案】（1）解：若B为椭圆的上顶点，则.又过点，故直线由可得，解得即点，又，故直线（2）解：设，方法一：设直线，代入椭圆方程可得：.所以.故.又均不为0，故，即为定值方法二：设直线，代入椭圆方程可得：.所以.所以，即，所以，即为定值.方法三：设直线，代入椭圆方程可得：.所以，所以.所以，把代入得.方法四：设直线，代入椭圆的方程可得，则.所以.因为，代入得22.【答案】（1）由，，，解得，，，故所求椭圆的方程为．（2）由题意知，①当l的斜率为0时，，P为上顶点时的面积最大，最大值为．②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，由，去x得，故，，则| ．设与l平行的直线与椭圆相切，则消去得，由得，故，所以与的最大距离，则，令，则，且，令，，则，因为，所以，所以，故在上单调递减，所以的最大值是，所以，因为．所以面积的最大值为．。
2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：2.1.2-2椭圆方程及性质的应用
2．1.2 椭圆的简单几何性质第二课时 椭圆方程及性质的应用填一填1.直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系时，一般把二者方程联立得到方程组，判断方程组解的个数，方程组有几个解，直线与椭圆有几个公共点，方程组的解对应公共点的坐标．由直线与椭圆的公共点个数求参数的取值范围时，联立二者方程消元化为一元二次方程，对于一元二次方程依据判别式Δ与0的大小关系求解，①直线与椭圆相交等价于Δ>0，②直线与椭圆相切等价于Δ＝0，③直线与椭圆相离等价于Δ<0.2．求直线与椭圆的相交弦长时，可以先求出两个公共点的坐标，代入两点间距离公式，也可以联立＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|.判一判1.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 9＋y 4＝1的位置关系无法判断．(×)解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故错误．2．若过椭圆x 216＋y24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是x ＋2y －4＝0.(√)解析：设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.故正确．3．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为24.(×)解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.所以面积最大为12，故错误．4．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为4.(×)解析：因为椭圆的焦点为(±3，0)，所以M 为右焦点，直线过左焦点，所以△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.故错误．5．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m ＝1，n ＝ 2.(×)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝nm ＋n，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n.由题意y 0x ＝22，∴m n ＝22，m ，n 可能为1和2，故错误.想一想1. 提示：解题步骤一般为：(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (3)利用根与系数的关系设而不求；(4)利用题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解． 2．解椭圆中点弦有哪些常用方法？提示：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，得到一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别带入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．思考感悟：练一练1．已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0解析：因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．答案：C2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5解析：法一：由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，所以m ≥1且m ≠5. 答案：D3．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.所以弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝54(4＋24)＝35.答案：354．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．解析：由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，此直线的方程为y ＝x －2，将y ＝x －2代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝65.把x ＝65代入椭圆方程得y ＝±45，所以三角形的面积S ＝12×85×⎝⎛⎭⎫2－65＝1625. 答案：1625知识点一直线与椭圆的交点问题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交解析：把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离． 答案：C2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63C ．±63D ．±33解析：把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63.答案：C3．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－54，54 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫54，－54C.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫－54，54解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＞0，即k ＞54或k ＜－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.答案：C知识点二 中点弦问题4.过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被点P 平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y 225＝1，故16×x 1＋x 2y 1＋y 2＋15×y 1－y 2x 1－x 2＝0， 又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，故斜率k ＝53.故直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0.答案：A5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程， 有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，因为线段AB 的中点坐标为(1，－1)，所以b 2a 2＝12.因为右焦点为F (3,0)，c ＝3，所以a 2＝18，b 2＝9，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：D6．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．解析：方法一：由题意可设直线l 的方程为 y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆的方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.∴x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，∴k ＝－12.∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二：设直线l 与椭圆的交点为 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.知识点三 相交弦的弦长问题 7.已知直线y ＝x ＋1与椭圆x4＋y 2＝1相交于A 、B 两点，求弦AB 的长．解析：方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得5x 2＋8x ＝0. 解得x ＝0或x ＝－85，因此A ⎝⎛⎭⎫－85，－35，B (0,1)， |AB |＝⎝⎛⎭⎫－852＋⎝⎛⎭⎫－35－12＝825. 方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋4y 2－4＝0， 消去y 得5x 2＋8x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－85，x 1x 2＝0，即|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1＋1－x 2－1)2＝ 2 (x 1－x 2)2＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2 ⎝⎛⎭⎫－852＝825. 8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，焦距是2 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点，|CD |＝625，求k 的值．解析：(1)由题意得2c ＝22，所以c 2＝2，又c a ＝63，所以a 2＝3，b 2＝1，∴椭圆方程为x23＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2带入x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，①⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，x 1·x 2＝91＋3k 2，又|CD |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，所以625＝1＋k 2(x 1－x 2)2，又(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝122k 2(1＋3k 2)2－361＋3k 2， 代入上式，整理得7k 4－12k 2－27＝0，即(7k 2＋9)(k 2－3)＝0，解得k 2＝－97(舍去)或k 2＝3，即k ＝±3，经验证，k ＝±3能使①成立，故k ＝±3.基础达标一、选择题1．过坐标原点，作斜率为2的直线，交椭圆x 212＋y 23＝1于A 、B 两点，则|AB |的长为( )A ．2B ．4 C.433 D.233解析：由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋4y 2＝12，得x 2＝43，得x ＝±233， ∴|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝3×433＝4. 答案：B2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx－ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r ＝a ，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d ＝2aba 2＋b2＝a ，整理可得a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)即2a 2＝3c 2，从而e 2＝c 2a 2＝23，则椭圆的离心率e ＝c a ＝23＝63，故选A.答案：A3．椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|值为( )A.53B.103C.203D.53解析：由椭圆的标准方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3，因为△ABF 2的内切圆周长为π，所以△ABF 2的内切圆的半径为12，而三角形内切圆半径R 和周长L 与三角形的面积S 的关系为S ＝12LR ，所以△ABF 2的面积为12×4×5×12＝5，而△ABF 2的面积又等于△AF 1F 2和△BF 1F 2之和，即12|y 1－y 2|·|F 1F 2|＝62|y 1－y 2|，所以3|y 1－y 2|＝5，|y 1－y 2|＝53，故选A.答案：A4．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析：根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y2b2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27，故选C.答案：C5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：不妨设直线l 过椭圆的右焦点F (1,0)，则直线l 的方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝0，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－43＋1＝－13.答案：B6．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当t 变化时，|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.8105解析：将y ＝x ＋t 代入x 24＋y 2＝1，得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0，由Δ＝(8t )2－20(4t 2－4)>0，得－5<t <5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t5，x 1x 2＝4t 2－45.由|AB |＝1＋12×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝280－16t 225，当t ＝0时|AB |最大，最大为2×455＝4105.答案：C7．若椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1 解析：∵椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，∴可设椭圆的方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋7，y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝14(b 2＋4)10b 2＋4＝2，解得b 2＝8，∴a 2＝12，则椭圆的方程为x 28＋y 212＝1.答案：D二、填空题8．若直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．解析：由x 23＋y24＝1得－2≤y ≤2，∴－2<a <2.答案：(－2,2)9．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.答案：7210．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.答案：3－111．已知点P 是椭圆x 2＋8y 2＝8上一点，则点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的最短距离为________．解析：设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22.答案：2212．若倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A 、B 两点，则线段AB 的中点的轨迹方程是________．解析：设中点坐标为(x ，y )，直线方程为y ＝x ＋b ，代入椭圆方程得5x 2＋8bx ＋4(b 2－1)＝0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x ＋4y ＝0，由Δ>0，得－5<b <5，故－455<x <455.答案：x ＋4y ＝0⎝⎛⎭⎫－455<x <455 三、解答题13．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．解析：设椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12，即a 2＝3b 2.② 此时Δ>0.由①②得a 2＝75，b 2＝25，∴椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.14．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－25m ，x 1x 2＝m 2－15.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1＋m －x 2－m )2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. 因为Δ＝4m 2－20(m 2－1)＞0，所以－52＜m ＜52.所以当m ＝0时，|AB |能力提升15.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M ⎝⎛⎭⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)如图，过点P (0,2)的直线l 与椭圆E 相交于两个不同的点A ，B ，求OA →·OB →的取值范围．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1c a ＝32a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，A (0,1)，B (0，－1)，则OA →·OB →＝－1.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2x 24＋y 2＝1， 消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，由Δ>0，可得4k 2>3，且x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－1＋171＋4k 2， 则－1<OA →·OB →<134， 综上，OA →·OB →∈⎣⎡⎭⎫－1，134.16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D和点Q ⎝⎛⎭⎫－74，14共线，求k . 解析：(1)由题意得2c ＝22，所以c ＝2， 又e ＝c a ＝63，所以a ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆M 的标准方程为x 23＋y 2＝1. (2)设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 23＋y 2＝1消去y 可得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，则Δ＝36m 2－4×4(3m 2－3)＝48－12m 2>0，即m 2<4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6×4－m 22， 易得当m 2＝0时，|AB |max ＝6，故|AB |的最大值为 6.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 21＋3y 21＝3 ①，x 22＋3y 22＝3 ②，又P (－2,0)，所以可设k 1＝k P A ＝y 1x 1＋2， 直线P A 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋2)x 23＋y 2＝1消去y 可得(1＋3k 21)x 2＋12k 21x ＋12k 21－3＝0， 则x 1＋x 3＝－12k 211＋3k 21，即x 3＝－12k 211＋3k 21－x 1， 又k 1＝y 1x 1＋2，代入①式可得x 3＝－7x 1－124x 1＋7， 所以y 3＝y 14x 1＋7，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7x 1－124x 1＋7，y 14x 1＋7， 同理可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7x 2－124x 2＋7，y 24x 2＋7. 故QC →＝⎝⎛⎭⎫x 3＋74，y 3－14，QD →＝⎝⎛⎭⎫x 4＋74，y 4－14， 因为Q ，C ，D 三点共线，所以⎝⎛⎭⎫x 3＋74⎝⎛⎭⎫y 4－14－⎝⎛⎭⎫x 4＋74⎝⎛⎭⎫y 3－14＝0， 将点C ，D 的坐标代入化简可得y 1－y 2x 1－x 2＝1，即k ＝1.。
人教版高中数学选修1-1练习 椭圆的简单几何性质3
第2课时 椭圆的简单几何性质(2)B一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的长轴长为( )A ．5B ．10C ．4D ．82．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫32，1B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎫0，22 3．椭圆C 的中心在原点，左焦点是F 1(－2，0)，且点M (2，1)是椭圆C 上一点，则椭圆C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 2＋y 22＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 22＋y 24＝1 4．点P 在椭圆x 24＋y 23＝1上运动，点M ，N 分别在圆(x ＋1)2＋y 2＝1和(x －1)2＋y 2＝1上运动，则|PM |＋|PN |的最大值是( )A ．6B ．2 7 C.5＋2 3 D ．45．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )A ．1 B.83C ．2 2 D.2 636．经过椭圆x 2＋2y 2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM →·ON →等于( )A ．－3B ．±13C ．－13D ．－127．已知直线l ：2x ＋y ＝2与椭圆C ：x 2＋y 24＝1交于A ，B 两点，P 为椭圆C 上的点，则使△PAB 的面积S 为12的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)8．若直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．9．若倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A ，B 两点，则线段AB 的中点的轨迹方程是____________________．10．已知点P (1，1)是直线l 被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________.三、解答题(本大题共2小题，共25分)11．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(3，0)，且离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与该椭圆有两个交点M ，N ，当线段MN 的中点在直线x ＝1上时，求k 的取值范围．12．(13分)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若经过点(0，2)的直线l 与椭圆M 交于P ，Q 两点，满足OP →·OQ →＝0，求l 的方程．第2课时 椭圆的简单几何性质(2)B1．B [解析] 由题可知2b ＝6，b ＝3，e ＝ca ＝1－b 2a 2＝45，∴a ＝5，椭圆C 的长轴长为2a ＝10.2．D [解析] ∵x 2＋y 2＝a 2－b 2，∴x 2＋y 2＝c 2，∴以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b>c.∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2>2c 2，∴0<c a <22，∴0<e<22.3．C [解析] 设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝2，2a 2＋1b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝2，∴C的方程是x 24＋y 22＝1.4．A [解析] 如图所示，|PM|＋|PN|≤|PF 1|＋1＋|PF 2|＋1＝2a ＋2＝2×2＋2＝6.5．D [解析] ∵c ＝a 2－b 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P(x ，y)，∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→·PF 2→＝0，即(－3－x ，－y)(3－x ，－y)＝0，∴x 2＋y 2－3＝0，又∵x 24＋y 2＝1，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫1－x 24－3＝0，解得x ＝±2 63，∵x>0，∴x ＝2 63. 6．C [解析] 由x 2＋2y 2＝2得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1，0)，直线l 不妨过右焦点，则直线l 的方程为y ＝x －1，代入x 2＋2y 2＝2得x 2＋2(x －1)2－2＝0，化简得3x 2－4x ＝0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13.7．C [解析] 易求得|AB|＝5，∴点P 到直线l 的距离d ＝1212|AB|＝55，设过点P 且平行于直线l 的直线l 1的方程为2x ＋y ＋c ＝0，∴直线l 1和直线l 的距离d ＝55，∴|c ＋2|5＝55，解得c ＝－1或c ＝－3，当c ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，x 2＋y 24＝1，得8x 2－4x －3＝0，∵Δ＝(－4)2＋4×8×3＝112>0，∴有两解；当c ＝－3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x 2＋y 24＝1，得8x 2－12x ＋5＝0，∵Δ＝(－12)2－4×8×5＝－16<0，∴无解．综上，满足条件的点P 有2个．8．(－2，2) [解析] 由x 23＋y 24＝1得－2≤y ≤2，∴－2<a<2.9．x ＋4y ＝0⎝⎛⎭⎫－455<x<455 [解析] 设中点坐标为(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，代入椭圆方程得5x 2＋8bx ＋4(b 2－1)＝0，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22＝－45b ，y ＝b5，得x ＋4y ＝0.由Δ>0得－5<b<5，故－455<x<455.10．x ＋2y －3＝0 [解析] 设l 与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由中点坐标公式可知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，又⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－x 1＋x 22（y 1＋y 2）＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.11．解：(1)依题意，3a 2＝1，∴a ＝ 3.由e ＝c a ＝63，得c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0，∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝36k 2m 2－12(3k 2＋1)(m 2－1)>0，∴3k 2－m 2＋1>0(*)，设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1.∵线段MN 的中点在直线x ＝1上，∴x 1＋x 22＝1，即－6km3k 2＋1＝2，∵k ≠0，∴m ＝－3k 2＋13k ，代入(*)得3k 2－（3k 2＋1）29k 2＋1>0，∴6k 2－1>0，∴k>66或k<－66，∴k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞. 12．解：(1)由e ＝c a ＝32，b ＝1，a 2＝b 2＋c 2得a ＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由题可知，l 的斜率存在，∴可设直线l ：y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，由题意，Δ＝64k 2－48＞0①，∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0，∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4＝0，∴(1＋k 2)·121＋4k 2－2k·16k 1＋4k 2＋4＝0，解得k ＝±2，满足①，∴l ：2x －y ＋2＝0或2x ＋y －2＝0.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.2椭圆及其标准方程(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆中的基本运算在椭圆中，a 2|PF ||PF |21=+，0b a >>，222c b a +=等都存在相互的关系，从方程的角度分析，可得方程（组）去求解，注意，在标准形式下，哪个表示a （或2a ），哪个表示b （或2b ），请用以上知识解决以下1~4题。
1. 已知椭圆的方程是125y ax 222=+（5a >），它的两个焦点分别为1F 、2F ，且8|F F |21=，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为A. 10B. 20C. 412D. 4142. 点P 是椭圆19y 25x 22=+上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±3210,1B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±±3210,1C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±1,3210D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,3210 3. “2k >”是方程“1k5y 2k x 22=-+-”表示的曲线是椭圆的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 椭圆115y m x 22=+的焦距等于2，则m 的值是 A. 5或3 B. 16或14 C. 5 D. 16题型二：求椭圆的方程 求椭圆的方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~9题。
5. 已知椭圆过点P ⎪⎭⎫⎝⎛-4,53和点Q （3,54-），则此椭圆的标准方程是A. 1x 25y 22=+B. 1y 25x 22=+ C. 1y 25x 22=+或125y x 22=+ D. 以上都不对6. 椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，则椭圆的方程是A. 14x 8y 22=+ B.16x 10y 22=+ C. 18x 4y 22=+D.16y 10x 22=+ 7. 已知A 、B 两点的坐标分别为（0，-5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为94-，则M 的轨迹方程是A. 19100y 25x 22=+B. ()5x 19100y 25x 22±≠=+C. 125y 4225x 22=+D. ()0x 125y 4225x 22≠=+8. 与椭圆4y 4x 22=+有公共的焦点，且经过点A （2，1）的椭圆的方程为_________。
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椭圆的综合应用 同步练习一、 单选题(每道小题 4分 共 108分 )1.以圆的圆心为右焦点，坐标原点为中心，长轴长是短轴长的倍，那么该椭圆方程是 ．．．．x +y 4x +1=02[A +5y =1 B +y =1C +3y =1D +y =1222222-]51643843164842222x x x x2. 以直线在两坐标轴上的截距的绝对值为椭圆的长轴与短轴， 那么中心在原点，对称轴是坐标轴的椭圆方程是 [ ]A +y =1B +y =1C +y =1y +x =1D +y =1y +x =122222222．．．或．或x x x x 2222643616964366436169169 3.椭圆上的一点到左准线的距离为，则到右焦点的距离是 ．．．．x +y =1P P [ ]A B C D 8222595225892163 4.从椭圆长轴的一个端点看椭圆短轴所成的视角是，则该椭圆的离心率为 ．．．．π36326[ ]A B 33 C 3 D5.若椭圆的离心率为，左焦点到左顶点的距离为，则椭圆的长轴长是 ． ． ． ．121[ ]A 2 B 4 C D 2336.如果椭圆的长轴等于，焦点到相应准线的距离是，那么该椭圆的离心率等于 ．．．．652[ ]A B C D 23352515 7. 以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则这椭圆的 离心率e 等于 [ ] A B C D ．．．．122232258. 椭圆一焦点坐标是(0，6)，中心在原点，两条准线间的距离为20，则椭 圆的方程是 [ ]A +x =1B +x =1C +x =1D +x =12222．．． ．y y y y 2222602412084100362199. 直线y=x+1被椭圆x +2y =4所截得线段中点的坐标是 [ ]A B C D ．，．，．，．，()()()()2312132323131323--- 10. 椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线与两坐标轴的交点， 则椭圆标准方程为 [ ]A +y =1y +x =1B +y =1 y +x =1C +y =1y +x =1D +y =1y +x =1222222222222．或．或．或．或x x x x 222240440440440364036403640364024 11.椭圆长轴在轴上，中心在原点，是焦点，点、为长轴的端点，是椭圆上一点，⊥，若││││，且，则椭圆方程为． ．． ．x F A B P PF FA PF =OB OA =a [ ]A 4x +y =a B x +4y =a C 2x +y =a D x +2y =a 22222222 2 2221212.若椭圆＞＞的长轴被圆与轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率为 ．．．．x +y =1(a b 0)x +y =b x [ ]A 2B 3C 2D 22222a b 2223131213513. 设p 为椭圆焦点到相应准线的距离，a 、b 、c 依次表示椭圆的半长轴、 半短轴和半焦距，则它们之间的关系是 [ ]A p =aB p =bC p =bD p =a 2222．．．．c c a b14. 椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则此椭圆的离心率是[ ]A B C D ．．．．3345353215.已知短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点、，过的弦为，则△的周长等于 ． ．．．4523F F F AB ABF [ ]A 48 B 12+4 C 24 D 121212516. 椭圆的对称轴是坐标轴，过圆x 2+y 2与x 轴的公共点，离心率为 12，则该椭圆方程为[]A 3+y =1x +3=1B 4+y =1 x +3y 4=1C x +4y =1x +3y =1D x +3y =1 y +4x =12222222222222．或．或．或．或4433443222x y x17.以二次函数的图象与轴的交点为焦点，顶点为椭圆一个顶点，那么这个椭圆的方程是 ．．．．y =18x +2x [ ]A +y =1 B +y =1C +y =1D +y =122222x x x x 2222842044154201618.中心在原点，一个焦点为，，截直线所得弦的中点横坐标为的椭圆方程为．．．．()[]052321225751752512752251225275122222222y x A x y B x y C x y D x y =-+=+=+=+=19.椭圆上一点与椭圆两焦点、，已知，则△的面积的值是．．．．x y P F F F PF F PF A B C D 22121212492419048243230+=∠=︒[]20.椭圆，，的焦点坐标是．，．，．，．，x ty tt A t B t C t D t 222210402200220cos sin ()[](cos )(cos )(cos )(cos )+=∈±±±-±-π21.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，一个顶点是，，那么该椭圆方程是 ．．．或．或22(05)[ ]A +2y =1 B +x =1C +2y =1y +x =1D +2x =1x +y =122222222x y x y 2222252550252525502525255025 22.椭圆与椭圆∶有相同的焦点，且的短轴与的长轴的长度相等，则的方程为 ．．．．C C 81+y =1C C C [ ]A +y 81=1 B +y =1C +y =1D +y =11221212222x x x x x 2222264982268147812098123.圆心在椭圆的长轴上，与椭圆的短轴相切，且与椭圆有唯一公共点的圆的方程是 ．．．或．或 x +y =1[ ]A x +y +5x =0 B x +y 5x =0C x +y +5x =0 x +y 5x =0D x +y 5x =0x +y 245x =022222222222222259--±±24. 过椭圆的焦点作长轴的垂线交椭圆于两点，若两点间的距离为10，且 短轴长和焦距长相等，则中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程是 [ ]A +y =1B +x 50=1C +y =1D +x =1x +y =122222．．．．或x y x y 22222151100100100501005010050 25.椭圆＞＞的一条弦过它的右焦点且垂直于轴，以线段为直径作圆，则点，与圆的位置关系是 x +y =1(a b 0)PQ x PQ C A(a 0)C [ ]22a b22A ．点A 在圆C 内B ．点A 在圆C 上C ．点A 在圆C 外D ．以上三种情况都可能26.椭圆内有两点，，，，为椭圆上的点，若要求最小，则这最小值是．．．．x y A B P PA PB A B C D 22251612230102910424522+=+--+()()[]27.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．或．或且．．且x k y k x k A k k B k k k C k D k k 22223121432432343243212()()[]+++=<-><->≠--<<-<<≠-二、 填空题(每道小题 4分 共 16分 )1.椭圆上一点，到左、右焦点的距离之比为∶，则点到左准线的距离为 ；到右准线的距离为 ．x +y =113P 2210036P2.直线被椭圆截得的弦长为，则椭圆方程是．240410222x y x y k --=+=3.椭圆中心在原点，长轴和短轴之和为，离心率为，则椭圆标准方程为 ．36354. 若P(x ，y)是椭圆4x +y =4上的点，那么x+y 的最小值是___，最大值是___．三、 解答题( 10分 )设椭圆的中心为原点，它在X 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直， 且此焦点和长轴较近的端点距离是，求这椭圆方程．105-答案一、 单选题1. C2. D3. D4. A5. B6. A7. B8. A9. C 10. B 11. D 12. A 13. B 14. B 15. C 16. C 17. B 18. A 19. B 20. B 21. D 22. A 23. C 24. D 25. A 26. A 27. D 二、 填空题1.254754；2. 4x +y =93.x 2100641100641222+=+=y y x 或 4.-55；三、 解答题解：设椭圆方程为则顶点分别为，，，和，，，焦点，∵，∴①又∵②由①，②得，得方程x a y bA a A aB b B b F a b BF B F BF B F a a b FA a a b a b x y 2222112211222210000021051051051+=---⊥====--=-==+=()()(,)()()。