冀教版-数学-九年级上册-24.3 一元二次方程根与系数的关系拔高练习

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新冀教版九年级上《24.3一元二次方程根与系数的关系》练习题含答案

24.3 一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。

原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0)0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x ∙等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解：的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。

冀教版九年级数学上册一元二次方程根与系数的关系同步能力提升训练 (含答案)

24.3一元二次方程根与系数的关系同步能力提升训练一、选择题（共10小题）.1．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的一元二次方程（a﹣3）y2﹣2ay+a﹣6＝0始终有两个不相等的实数根，则所有的满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．9C．12D．142．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的方程（a﹣5）y2+6y﹣9＝0有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和为（）A．25B．13C．22D．173．已知关于x的方程2x2+x+a＝0有一个根为1，则另一个根是（）A．B．C．D．4．若m、n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为（）A．2021B．2019C．2017D．20155．已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．46．若a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2a2+3ab+8b﹣2a的值为（）A．39B．45C．﹣35D．﹣417．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+ab+2a+b的值是（）A．2020B．2021C．﹣1D．﹣28．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（）A．7B．C．3D．9．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（）A．1B．C．D．210．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定二、填空题11．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的两根，则+＝．12．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是．13．一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，+2x1x2+＝．14．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，则一元二次方程cx2+bx+a ＝0的两个实数根为x3＝，x4＝．三、解答题15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．16．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．17．先阅读，再解决问题：【阅读材料】通过解一元二次方程x2﹣3x+2＝0，可得根是x1＝1，x2＝2．由于一个根比另一个根大1，所以我们称一元二次方程x2﹣3x+2＝0为邻根方程．其实，不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程．方法如下：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，设这两个根是α和β（α＞β），则α+β＝﹣，αβ＝．∵α＞β，∴α﹣β＞0．∴α﹣β＝＝＝＝＝．显然，当α﹣β＝1时，原方程即为邻根方程．【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程．（1）x2+x＝0；（2）4x2+16x+15＝0．18．若关于x的一元二次方程（ax﹣b）（cx﹣d）＝0（ac≠0且a≠﹣1，c≠﹣1）的解x1＝＝a﹣b，x2＝＝c﹣d，则称该方程为二次“差解方程”．例如：（x﹣）（﹣3x+﹣）＝0的解x1＝，x2＝﹣，且＝1﹣，＝﹣3﹣（﹣），所以该方程（x ﹣）（﹣3x+）＝0是二次“差解方程”．根据上述材料，解决下列问题：（1）判断方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0是否是二次“差解方程”，并说明理由；（2）若关于x的方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn+n）＝0是二次“差解方程”，求关于y的一元二次方程m（y﹣1）+n（y﹣m）＝的解．参考答案1．解：不等式整理得，∵关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，∴﹣1≤＜0，解得2≤a＜6，∵关于y的一元二次方程（a﹣3）y2﹣2ay+a﹣6＝0始终有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣3）（a﹣6）＞0且a≠3，解得a＞2且a≠3，∴2＜a＜6且a≠3，∴整数a的值是4，5，∴所有满足条件的整数a的值之和是：4+5＝9，故选：B．2．解：，由①得x≤6，由②得x＞．∵方程组有且只有五个整数解，∴＜x≤6，即x可取6、5、4、3、2．∴1≤＜2，∴3≤a＜8．∵关于y的方程（a﹣5）y2+6y﹣9＝0有两个实数根，∴Δ＝62﹣4（a﹣5）×（﹣9）≥0且a﹣5≠0，解得a≥4且a≠5，∴4≤a＜8∴a的取值为4，6，7，∴所有整数a的和为4+6+7＝17．故选：D．3．解：设关于x的方程2x2+x+a＝0的另一个根为x＝t，∴1+t＝﹣，解得，t＝﹣；故选：D．4．解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0 的两个实数根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，∴2m+2n﹣mn＝2（m+n）﹣mn＝﹣4+2021＝2017，故选：C．5．解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，∴m2+3m﹣1＝0，∴m2＝﹣3m+1，∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，∴m+n＝﹣3，∴m2﹣m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．故选：A．6．解：∵a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，∴a2﹣5a﹣1＝0，a+b＝5，ab＝﹣1，∴a2＝5a+1，∴2a2+3ab+8b﹣2a＝2（5a+1）+3ab+8b﹣2a＝8（a+b）+3ab+2＝40﹣3+2＝39，故选：A．7．解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，∴a2+a＝2021，∴a2+ab+2a+b＝（a2+a）+ab+（a+b）＝2021﹣2021﹣1＝﹣1．故选：C．8．解：∵方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣1）2﹣2×1（﹣3）＝7．故选：A．9．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，∵x2＝2x1，∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，∴a+b•（﹣）+c＝0，∴﹣+c＝0，∴9ac＝2b2，∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，∵﹣2＜0，∴4b﹣9ac的最大值是2，故选：D．10．解：设方程的两个是a，b，∵关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，∴a+b＝﹣＝0，解得：k＝±2，当k＝2时，方程为x2+1＝0，Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴此方程无解（方法二、即x2＝﹣1，∵不论x为何值，x2不能为﹣1，∴此方程无解）即k＝2舍去；当k＝﹣2时，方程为x2﹣3＝0，解得：x＝，此时符合题意，即k＝﹣2符合题意，故选：C．11．解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝﹣2，所以＝＝＝＝﹣．故答案为﹣．12．解：∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．故答案为：x2﹣3x+2＝0．13．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+16＝20，∴+2x1x2+＝+2x1x2＝﹣16＝﹣，故答案为：﹣．14．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，∴﹣＝2+3＝5，＝2×3＝6，∴﹣＝，＝，而+＝＝﹣，＝＝，∴一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个实数根为x3＝，x4＝，故答案为，．15．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝12m+1≥0，解得：m≤．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，∵x12+x22＝8﹣3x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），∴实数m的值为﹣．16．（1）证明：∵m≠0，Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0，∴方程两根的和为﹣，∵方程两根互为相反数，∴﹣＝0，∴m﹣2＝0，∴m＝2．17．解：（1）x2+x＝0．这里a＝1，b＝1，c＝0，∵，∴x2+x＝0是邻根方程．（2）4x2+16x+15＝0．这里a＝4，b＝16，c＝15，∵，∴4x2+16x+15＝0是邻根方程．18．解：（1）方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0的解为x1＝，x2＝﹣，∵≠2﹣≠﹣4﹣（﹣），∴该方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0不是二次“差解方程”；（2）有题意得方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn+n）＝0的解为：，，∵该方程为二次“差解方程”，∴，，整理可得：mn+m＝，mn﹣n＝，m+n＝，又∵一元二次方程m（y﹣1）+n（y﹣m）＝，即（mn﹣n）2y2﹣4（m+n）y+4（mn+m）＝0，∴代入可得，解得：，．。

冀教版-数学-九年级上册-24.3 一元二次方程根与系数的关系课堂练习

19.
20.
21.方程的另一个根是，的值为．
22.解：根据题意得，解得，，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得，，
∴ 的值为或．
23. ，； ∵ ，
∴ ，
∴根据题意知，有如下两种情况：
① ，
由得，
∴ 或或，
当时，由得，不符合题意，舍去；
当时，，不成立，舍去；
当时，，解得：；
若方程和有且只有一个根相同，则这个根是________，此时 ________；
若为方程的根，为方程的根，是否存在，，使下列四个代数式①? ②‚ ƒ③ ④ 的数值中有且仅有三个数值相同．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．
24.如果方程的两个根是，，那么，．请根据以上结论，解决下列问题：
16.已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是________．
17.已知、是方程的两根，则 ________．
18.已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是________．
19.已知关于的一元二次方程的两个实根为，，且，则的值为________．
11.若，是方程的两根，则的值是________．
12.若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则这个方程是________．
13.若，是一元二次方程的两个根，则的值是________；
14.已知实数，是方程的两根，则的值为________．
15.已知一元二次方程的两根为、，则 ________．
已知关于的方程，求出一个一元二次方程，使它的两根分贝是已知方程两根的倒数；

冀教版-数学-九年级上册-24.3 一元二次方程根与系数的关系练习

一元二次方程根与系数的关系一、选择题1.若x1、x2是一元二次方程x2+2x ﹣3=0的二个根，则x1•x2的值是（）A ． 2B ．﹣2C ． 3D ．﹣32.已知一元二次方程x2﹣6x+C=0有一个根为2，则另一根为（）A ． 2B ． 3C ．4D ． 83.已知方程x2﹣2x ﹣1=0，则此方程（）A ．无实数根B ．两根之和为﹣2C ．两根之积为﹣1D ．有一根为﹣1+4.若关于x 的一元二次方程的两个根分别为1和2，则这个方程是（）A .0232=-+x x B.0232=++x x C. 0322=+-x x D. 022=+-x x5.已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（）A ． 4B ． 3C ．﹣4 D. ﹣3二填空题6、一元二次方程x2+x ﹣2=0的两根之积是．7、方程2360x x --=与方程2630x x -+=的所有根的乘积是.8、若关于x 的一元二次方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是．9、若x1=﹣1是关于x 的方程x2+mx ﹣5=0的一个根，则方程的另一个根x2= ．三、解答题10.关于x 的方程x2﹣（2m ﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，求m 的值.11.已知关于x 的一元二次方程x2﹣x ﹣3=0的两个实数根分别为α、β，求（α+3）（β+3）的值.参考答案一、选择题1.D2. B3.C4.D5.A二填空题6、﹣27、-188、﹣29、5三、解答题10解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2﹣1，∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=3，解得：m1=0，m2=2（不合题意，舍去）11解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3，∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9.。

2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系(含答案)

拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系基础闯关全练1．关于x 的方程2x ²+mx+n=0的两个根是-2和1，则n ᵐ的值为 ( )A ．-8B ．8C ．16D ．-162．一元二次方程2x ²-mx +2=0有一根是x=1，则另一根是 ( )A.x=1B.x= -1C.x=2D.x=4能力提升全练1．若α，β是一元二次方程3x ²+2x -9=0的两根，则的值是 ( )A ．B ．C ．D ．2．已知x ₁，x ₂是方程2x ²-3x-1=0的两根，则____．3．已知关于x 的一元二次方程x ²-3x+m=0有两个不相等的实数根x ₁、x ₂．(1)求m 的取值范围；(2)当x ₁=1时，求另一个根x ₂的值．三年模拟全练一、选择题1．（2019河北石家庄新世纪外国语学校月考，4，★☆☆）若关于x 的方程x ²+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为( )A ．-3B ．2C ．4D ．-42．（2019河北唐山乐亭期中，6，★☆☆）若矩形的长和宽是方程x ²-7x+12=0的两根，则矩形对角线的长度为 ( )A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题3．（2019河北衡水武邑中学月考，13，★☆☆）已知x ₁、x ₂是关于x 的方程x ²+ax -2b=0的两个实数根，且x ₁+x ₂=-2，x ₁·x ₂=1，则的值是_________．4．（2018河北保定定州期中，22，★☆☆）已知关于x 的方程 x ²+2x+a-2=0．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．五年中考全练一、选择题1．（2018广西贵港中考，6，★☆☆）已知α，β是一元二次方程x ²+x -2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是 ( )A ．3B ．1 C.-1 D ．-3二、填空题2．（2018江苏南京中考，12，★☆☆）设x ₁，x ₂是一元二次方程x ²-mx-6=0的两个根，且x ₁+x ₂=1，则x ₁=____，x ₂=____.三、解答题3．（2017湖北黄冈中考，17，★★☆）已知关于x 的一元二次方程x ²+( 2k+1)x+k ² =0①有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x ₁，x ₂，当k=1时，求2221x x 的值4．（2014四川南充中考，20，★★☆）已知关于x 的一元二次方程x ²-x+m=0有两个不相等的实数根．(1)求实数m 的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x₁，x₂，求代数式的值.核心素养全练1．已知a为正整数，a=b-2 005，若关于x的方程x²-ax+b=0有正整数解，则a的最小值是多少？（温馨提示：先设方程的两根为x₁，x₂，然后……）2．（2017湖北孝感模拟）已知x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．(1)求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．24.3 一元二次方程根与系数的关系基础闯关全练1.C由一元二次方程根与系数的关系得解得m=2，n=-4，故nᵐ=（-4）²=16，故选C．2．A设一元二次方程2x²-mx+2=0的一个根x₁=1，另一个根为x₂，则x₁x₂==1，解得x₂=1．故选A．能力提升全练1．C由一元二次方程根与系数的关系，得，∴.故选C．2．答案解析∵x₁，x₂是方程2x²-3x-1=0的两根，∴x₁+x₂=，x₁x₂=，∴，故答案为．3．解析(1) ∵原方程有两个不相等的实数根，∴（-3）²-4m＞0，解得m＜(2)由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=3，∵x₁=1，∴x₂=2．三年模拟全练一、选择题1．D设x²+3x+a=0的另一个根为x’，由一元二次方程根与系数的关系得1+x'= -3，解得x’=-4，故选D．2．A设矩形的长和宽分别为a、b，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=7，ab =12，所以矩形对角线的长度为．故选A．二、填空题3．答案解析∵x₁，x₂是关于x的方程x²+ax-2b=0的两个实数根，∴x₁+x₂= -a= -2，x₁·x₂=-2b=1,解得a=2，b=，∴.故答案为．三、解答题4.解析(1)依题意得原方程的根的判别式△=2²-4（a-2）＞0，解得a＜3.(2)依题意得1+2+a-2=0，解得a=-1．故原方程为x²+2x-3=0．设方程的另一个根为m，则m+1=-2．∴m=-3．∴a=-1,方程的另一根为-3．五年中考全练一、选择题1.B ∵α，β是方程x²+x-2=0的两个实数根，∴α+β= -1，αβ=-2，∴α+β-αβ= - 1+2=1，故选B．二、填空题2．答案-2;3解析∵x₁、x₂是一元二次方程x²-mx-6=0的两个根，且x₁+x₂=1，∴m=1．∴原方程为x²-x-6=0，即(x+2)（x-3）=0，解得x₁= -2，x₂=3．故答案为-2;3．三、解答题3．解析(1)∵方程①有两个不相等的实数根，∴△=(2k+1)²-4k²=4k+1＞0,解得k＞．∴k的取值范围是k＞．(2)当k=1时，方程①为x²+3x+1=0．由根与系数的关系可得，∴.4．解析(1)由题意，得b²-4ac＞0，即，解得m＜2，∴m的最大整数值为1．(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x²-x+m=0得x²-x+1=0．根据根与系数的关系得，∴.核心素养全练1．解析设方程的两根分别为x₁，x₂，则，∵x₁，x₂中有一个为正整数，则另一个也必为正整数，不妨设x₁≤x₂，则由上式，得x₁·x₂-(x₁+x₂)= b-a=2 005，∴（x₁-1）（x₂-1）=2 006= 2×17×59，∴x₁-1=2，x₂-1=17×59；x₁-1=2×17，x₂-1= 59；x₁-1= 17，x₂-1= 2×59，∴x₁+x₂的最小值是2×17+59+1+1= 95，即a的最小值是95．2．解析(1)∵一元二次方程（a-6）x²+2ax +a=0有两个实数根，∴( 2a) ²-4（a-6）a≥0且a-6≠0，解得a≥0且a≠6．故a的取值范围为a≥0且a≠6．(2)存在,∵x₁、x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．∴由根与系数的关系得，由-x₁+x₁x₂= 4+x₂，得x₁x₂ =4+x₁+x₂，∴，解得a=24．经检验，a= 24是原方程的解，且当a= 24时，原方程中△＞0.∴存在实数a，使-x₁+x₁x₂= 4+x₂成立，此时a= 24．。

2019-2020学年度冀教版数学九年级上册第24章一元二次方程24.3 一元二次方程根与系数的关系拔高训练五十六

2019-2020学年度冀教版数学九年级上册第24章一元二次方程24.3 一元二次方程根与系数的关系拔高训练五十六第1题【单选题】设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足( )A、1＜α＜β＜2B、1＜α＜2＜βC、α＜1＜β＜2D、α＜1且β＞2【答案】：【解析】：第2题【单选题】已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是﹣2，则这个方程是( )A、x^2+3x﹣2=0B、x^2+3x+2=0C、x^2﹣3x+2=0D、x^2﹣3x﹣2=0【答案】：【解析】：第3题【单选题】已知关于x的一元二次方程x^2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为( )A、b=﹣1，c=2B、b=1，c=﹣2C、b=1，c=2D、b=﹣1，c=﹣2【答案】：【解析】：第4题【单选题】方程x^2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是( )A、﹣2012B、0C、2012D、2013【答案】：【解析】：第5题【填空题】设m、n是一元二次方程x^2+2x﹣7=0的两个根，则m^2+3m+n=______A、5【答案】：【解析】：第6题【填空题】若关于x的方程x^2+（k﹣2）x+k^2=0的两根互为倒数，则k=______．A、﹣1【答案】：【解析】：第7题【填空题】已知关于x的一元二次方程x^2﹣2x﹣k=0的一个根为﹣1，则它的另一根为______．A、3【答案】：【解析】：第8题【填空题】已知方程x^2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______，m的值是______。

【答案】：【解析】：第9题【填空题】若x1 ，x2是一元二次方程x^2﹣3x﹣4=0的两根，则x1+x2=______A、3【答案】：【解析】：第10题【填空题】如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．若该抛物线过原点O，则a=______；若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是______．【答案】：【解析】：第11题【填空题】若3是关于x的方程x^2﹣x+c=0的一个根，则方程的另一个根等于______．A、-2【答案】：【解析】：第12题【填空题】若x1、x2是一元二次方程x^2﹣2x﹣有误＝0的两根，则x1^2+x2^2的值是______．【答案】：【解析】：第13题【填空题】若关于x的方程x^2+（|k|﹣2）x+k=0 的两根互为相反数，则k=______．【答案】：【解析】：第14题【填空题】关于x的方程2x^2+kx?4=10的一个根是－2，则方程的另一根是______；k＝______ 【答案】：【解析】：第15题【综合题】关于x的方程x^2﹣x+a=0有实根．求a的取值范围；设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=﹣1，求实数a的值．【答案】：【解析】：。

冀教版九年级上册：24.3《一元二次方程根与系数的关系》同步练习(含答案)

24.3 一元二次方程根与系数的关系基础巩固JICHU GONGGU1．已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．27 2．(开放题)请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．3．已知方程x 2＋(m －1)x ＋m －10＝0的一个根是3，求m 的值及该方程的另一个根．4．设x 1，x 2是一元二次方程3x 2＋6x －92＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值． (1)x 21·x 2＋x 1·x 22；(2)|x 1－x 2|.5．关于x 的方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＋1＝0的两实数根为x 1与x 2，若x 21＋x 22＝11，求实数k 的值．能力提升NENGLI TISHENG6．已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋a b 的值是( )A ．7B ．－7C ．11D ．－11 7．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k ，使得3x 1·x 2－x 1＞x 2成立，请说明理由．8．已知a ，b ，c 是Rt△ABC 三边的长，a ＜b ＜c ，(1)求证：关于x 的方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0有两个不相等的实数根；(2)若c ＝3a ，x 1，x 2是这个方程的两根，求x 21＋x 22的值．参考答案1．D 点拨：∵α，β是方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，∴α＋β＝5，αβ＝－2.又∵α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ，∴α2＋αβ＋β2＝52＋2＝27.故选D.2．x 2＋3x －10＝0(答案不唯一) 点拨：设这个方程是x 2＋bx ＋c ＝0，根据一元二次方程根与系数的关系，可得b ＝－(2－5)＝3，c ＝－10；则这个方程是x 2＋3x －10＝0.3．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x ＝3代入原方程即可求得m 及另一根的值．解：∵方程x 2＋(m －1)x ＋m －10＝0的一个根是3，∴9＋3(m －1)＋m －10＝0，即4m －4＝0，解得m ＝1.由方程x 2－9＝0，解得x ＝±3，故所求方程的另一根为－3.4．解：x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－32， (1)x 21·x 2＋x 1·x 22＝x 1·x 2(x 1＋x 2)＝－32×(－2)＝3. (2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(－2)2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝4＋6＝10.故|x 1－x 2|＝10.5．分析：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键要掌握x 1，x 2是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根时，x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ，本题容易忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件而导致错误．解：∵方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＋1＝0的两实数根为x 1与x 2，∴Δ＝[－(k ＋2)]2－4(2k ＋1)≥0，解得k ≥4或k ≤0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k ＋2，x 1x 2＝2k ＋1，∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝11，∴(k ＋2)2－2(2k ＋1)＝11.∴k 2－9＝0，解得k ＝±3.∵k ≥4或k ≤0，∴k ＝3舍去．故k ＝－3.6．A 点拨：根据题意得a 与b 为方程x 2－6x ＋4＝0的两根，则a ＋b ＝6，ab ＝4.故原式＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝36－84＝7. 7．解：∵关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k ＋1)≥0.∴k ≤3.又3x 1·x 2－x 1＞x 2，∴3x 1·x 2－(x 1＋x 2)＞0.而x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，∴3×(k ＋1)－4＞0.∴k ＞13. ∴13＜k ≤3， ∴存在实数k ，使得3x 1·x 2－x 1＞x 2成立．8．(1)证明：把方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0化成一般形式为(c －a )x 2－22bx ＋a ＋c ＝0，其判别式Δ＝8b 2－4a 2＋4c 2，∵a ，b ，c 是Rt△ABC 三边的长，且a ＜b ＜c ，∴Δ＝8b 2－4a 2＋4c 2＞0.∴方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0有两个不相等的实数根．(2)解：∵x 1＋x 2＝22b c －a ，x 1·x 2＝a ＋c c －a，又c ＝3a ，∴x 1＋x 2＝2b a ，x 1·x 2＝2， ∴x 21＋x 22＝2b 2a2－4.文档说明(Word文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档：小学试卷教案合同协议施工组织设计、期中、期末等测试中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间，提高读者的工作效率，读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多，审核有可能疏忽，如果有错误或侵权，请联系本店马上删除。

冀教版九年级数学上册第24章 24.3 一元二次方程根与系数的关系作业课时练习题(含答案)

24.3 一元二次方程根与系数的关系一、选择题1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣22．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．13．下列一元二次方程的两实数根的和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2-4x﹣5=04．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（）A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣3 D．2，35．如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等的实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣136．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．67．解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（）A．x2﹣10x+9=0 B．x2+10x+9=0C．x2﹣10x﹣9=0 D．x2+10x﹣9=0二、填空题8．已知x1，x2是方程x2﹣4x﹣5=0的两个实数根，则（x1﹣2）（x2﹣2）=______．9．孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为______．10．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是______．三、解答题11．已知α、β是一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，求下列代数式的值．（1）（α﹣β）2；（2）+；（3）（α﹣2）（β﹣2）.12．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．13．若一元二次方程x2﹣2x+m=0的两根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．14．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2.（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出y的最小值．15．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．答案1. B2.C3.C4.A5.B6.A7.A8. -99. 2 10. -3 11. 解：因为α，β是一元二次方程2x 2-3x -1=0的两个实数根，所以α+β=23，αβ=21-. (1) (α-β)2=(α+β)2-4αβ=49+2=417. (2) .2132)(2)(2222-=-+=-+=+=+αβαβαβαβαβαβαββααβ (3) (α-2)(β-2)=αβ-2(α+β)+4=.2112. 解：由题意知，x 1+x 2=-3，x 1x 2=m-1.（1）由题意知Δ=32-4（m-1）≥0，得m≤413. （2）2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0，即-6+m-1+10=0，解得m=-3. 13. 解：由题意知，x 1+x 2=2，x 1x 2=m.因为x 1+3x 2=（x 1+x 2）+2x 2=3，所以x 2=21，则x 1=2-21=23. 所以m=23×21=43. 14. 解：（1）x 2=2（1-m)x-m 2，即x 2-2（1-m)x+m 2=0. 由题意知Δ=4（1-m ）2-4m 2≥0，得m≤21. （3）由题意知x 1+x 2=2（1-m ），所以y=x 1+x 2=2（1-m ）=2-2m. 因为m≤21，所以当y 取得最小值时，m=21，y 的最小值是1. 15. 解：（1）由题意知x 1+x 2=62--a a ，x 1x 2=6-a a . -x 1+x 1x 2=4+x 2，即x 1x 2=4+x 1+x 2，即6-a a =4-62-a a ，解得a =24. 当a =24时，a -6≠0，故存在实数a =24，使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立. （2）（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+（x 1+x 2）+1=66--a . 因为（x 1+1）（x 2+1）为负整数，所以66--a 为负整数. 因为Δ=4a 2-4（a -6）a ≥0，得a ≥0，所以a =7，8，9，12.。

冀教版初中数学九年级上册《24.3 一元二次方程根与系数的关系》同步练习卷

冀教新版九年级上学期《24.3 一元二次方程根与系数的关系》同步练习卷一．选择题（共22小题）1．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（）A．4B．2C．4D．32．已知xy≠1，且有3x2+2018x+9＝0及9y2+2018y+3＝0，则的值为（）A．B．2018C．3D．3．x1，x2是方程x2+x+k＝0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22＝2k2成立，k的值为（）A．﹣1B．或﹣1C．D．﹣或14．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或205．设x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则x13﹣5x22+10＝（）A．﹣29B．﹣19C．﹣15D．﹣96．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（）A．2＜α＜β＜3B．2＜α＜3＜βC．α＜2＜β＜3D．α＜2且β＞3 7．已知3m2﹣2m﹣5＝0，5n2+2n﹣3＝0，其中m，n为实数，则|m﹣|＝（）A．0B．C．D．0或8．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k+1＝0的两实数根为x1，x2，若，则实数k的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．无解9．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣200310．若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．2C．9D．1811．已知实数a、b分别满足和b4+b2﹣3＝0，则代数式的值等于（）A．175B．55C．13D．712．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）＝0的两根，则m的值是（）A．4B．﹣1C．4或﹣1D．﹣4或113．如果方程x2﹣4x+k＝0的两根与1可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值为（）A．3B．4C．5D．614．方程x2+4x+k＝0有两个实根x1和x2，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝25，则k的值是（）A．±5B．5C．﹣5D．不存在这样的k值15．若方程x2+x﹣1＝0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1B．4C．2D．0.516．已知关于x的一元二次方程x2+cx+a＝0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b＝0的两个根都大1，求a+b+c的值．（）A．29B．﹣3或29C．﹣3D．2617．已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．818．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）＝0的两个实根，则x12+x22的最大值是（）A．19B．18C．D．以上答案都不对19．方程x2﹣2x﹣5|x﹣1|+7＝0的所有根的和是（）A．2B．0C．﹣2D．420．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为﹣1和4，则的值为（）A．2B．3C．5D．﹣621．已知关于x的一元二次方程a2x2+b2x+c2＝O①的两根之和是一元二次方程ax2+bx+c＝0②的两根的平方和．则a、b、c的关系是（）A．a2＝bc B．b2＝ac C．c2＝ab D．abc＝122．已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个实数根x1，x2，且2x1﹣x2＝7，则a的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6二．填空题（共20小题）23．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝．24．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为．25．若实数m、n满足m2＝3m﹣1，n2＝3n﹣1，则+的值为．26．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．27．若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是．28．已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2．则的值为．29．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a＝2的两个实数根，则（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）的最大值为．30．已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则代数式α2+α（β2﹣2）的值为．31．已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1＝0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为．32．如果关于x的方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为．33．设x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝0的两个根，若，则m＝．34．已知实数x1、x2满足x12﹣6x1+2＝0和x22﹣6x2+2＝0，则的值等于．35．已知方程2x2﹣3x﹣4＝0，不解方程求下列各式的值．（1）＝；（2）x12+x22＝；（3）x13+x23＝；（4）＝；（5）（x1+x2）3﹣（x13+x23）＝；（6）x1﹣x2＝．36．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：（1）4x2+1＝7x，x1+x2＝，x1•x2＝．（2）3x2﹣1＝0，x1+x2＝，x1•x2＝．（3）x2﹣6x＝0，x1+x2＝，x1•x2＝．（4）2x2﹣（m+1）x﹣m＝0，x1+x2＝，x1•x2＝．37．设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝．38．以为根的一元二次方程为．39．已知α，β分别为方程x2+4x+2＝0的实数根，则α3+14β+5＝．40．（1）已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是；（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7＝0有两个负数根，那么实数m的取值范围是．41．已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）＝1，（b+c）（b+d）＝1，那么（a+c）（b+c）的值是．42．设a，b是方程x2+57x+1＝0的两根，c，d是方程x2﹣57x+1＝0的两根，则（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为．三．解答题（共5小题）43．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．44．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x15+x25）﹣（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5的值．45．设m2＝n+2，n2＝m+2，且m≠n，（1）求证：m+n＝﹣1；（2）求的值；（3）求m3+n3的值．46．已知实数a、b、c满足a≠b，且，求的值．47．已知二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为α、β，求①|α﹣β|；②α3+β3；③α3﹣β3；④冀教新版九年级上学期《24.3 一元二次方程根与系数的关系》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（）A．4B．2C．4D．3【分析】先根据方程求出两根之和与两根之积的值，然后再根据x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2），代入求值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1，x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．2．已知xy≠1，且有3x2+2018x+9＝0及9y2+2018y+3＝0，则的值为（）A．B．2018C．3D．【分析】把9y2+2018y+3＝0两边都除以y2，得3×（）2+2018•+9＝0，从而知x、是3x2+2018x+9＝0的两根，根据韦达定理可得答案．【解答】解：∵9y2+2018y+3＝0，∴3×（）2+2018•+9＝0，则x、是3x2+2018x+9＝0的两根，∴x•＝＝3，∵＝+＝3+＝，∴＝，故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系．根据已知条件得到x、是关于x的方程3x2+2018x+9＝0的两根是解题的难点．3．x1，x2是方程x2+x+k＝0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22＝2k2成立，k的值为（）A．﹣1B．或﹣1C．D．﹣或1【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2代入已知条件中，求得k的值．【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣1，x1x2＝k．又x12+x1x2+x22＝2k2，则（x1+x2）2﹣x1x2＝2k2，即1﹣k＝2k2，解得k＝﹣1或．当k＝时，△＝1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．∴取k＝﹣1．故选：A．【点评】注意：利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了分式的化简求值．5．设x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则x13﹣5x22+10＝（）A．﹣29B．﹣19C．﹣15D．﹣9【分析】x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，x12＝4﹣x1，x22＝4﹣x2，再根据根与系数的关系即可求解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，∴x12＝4﹣x1，x22＝4﹣x2，x1+x2＝﹣1，∴x13﹣5x22+10＝x1（4﹣x1）﹣5（4﹣x2）+10，＝4x1﹣（4﹣x1）﹣20+5x2+10，＝4x1﹣4+x1﹣20+5x2+10，＝5（x1+x2）﹣24+10，＝﹣5﹣14，＝﹣19．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是掌握把所求代数式进行合理变形，利用已知条件进行求解．6．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（）A．2＜α＜β＜3B．2＜α＜3＜βC．α＜2＜β＜3D．α＜2且β＞3【分析】令m＝0，根据已知条件得出函数出y＝（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），再根据m＞0，得出原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，从而得出答案．【解答】解：令m＝0，则函数出y＝（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），∵m＞0，∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，∴α＜2且β＞3；故选：D．【点评】此题主要考查了利用函数图象解决一元二次方程问题，判断出y＝（x﹣2）（x﹣3）的图象与方程之间的关系是解题的关键．7．已知3m2﹣2m﹣5＝0，5n2+2n﹣3＝0，其中m，n为实数，则|m﹣|＝（）A．0B．C．D．0或【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．【解答】解：由3m2﹣2m﹣5＝0得m1＝﹣1，m2＝；由5n2+2n﹣3＝0得n1＝，n2＝﹣1．＝，①当m＝﹣1，n＝时，原式＝；②当m＝﹣1，n＝﹣1时，原式＝0；③当m＝，n＝时，原式＝0；④当m＝，n＝﹣1时，原式＝．综上所述，＝0或．故选：D．【点评】此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况，考查学生严谨的思维能力，难度中等．8．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k+1＝0的两实数根为x1，x2，若，则实数k的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．无解【分析】关于x方程x2﹣（k+2）x+2k+1＝0的两实数根为x1与x2，则△≥0，由根与系数的关系得：x1+x2＝k+2，x1x2＝2k+1，再根据x12+x22＝11，列出关于k的等式即可求解．【解答】解：∵x方程x2﹣（k+2）x+2k+1＝0的两实数根为x1与x2，∴△＝（k+2）2﹣4（2k+1）≥0，解得：k≥4或k≤0，由根与系数的关系得：x1+x2＝k+2，x1x2＝2k+1，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝11，∴（k+2）2﹣2（2k+1）＝11，∴k2﹣9＝0，解得：k＝±3．∵k≥4或k≤0，∴k＝3舍去，故k＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度一般，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，但千万不要忽视了判别式△≥0这一隐含条件．9．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003）；将x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004代入即可得出结果．【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，故ax12005+bx22005＝（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003），＝2003×2004﹣2005×2003，＝﹣2003．故选：D．【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简，难度中等，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．10．若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．2C．9D．18【分析】设a+b＝m，则ab＝m+3，a2+b2变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．【解答】解：设a+b＝m，则ab＝m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3＝0的两根，a、b为实数，则△＝（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b＝m＞0，只有m≥6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2（m+3）＝（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m＝6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．【点评】本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．11．已知实数a、b分别满足和b4+b2﹣3＝0，则代数式的值等于（）A．175B．55C．13D．7【分析】把实数a、b满足的关系式变形后，得到﹣与b2为一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把所求的式子先利用同分母分式的加法法则逆运算变形后，再利用完全平方公式变形，将得出的两根之和与两根之积代入，可得出所求式子的值．【解答】解：实数a、b分别满足和b4+b2﹣3＝0，∵﹣﹣3＝0可化为：（﹣）2+（﹣）﹣3＝0，b4+b2﹣3＝0可化为：（b2）2+b2﹣3＝0，∴﹣与b2为一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，∴﹣+b2＝﹣1，﹣•b2＝﹣3，则＝b4+＝（b2﹣）2+2•b2•＝（﹣1）2+6＝7．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设方程的两个解分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1x2＝．其中将已知的两等式适当变形后，得到﹣与b2为一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根是解本题的关键．12．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）＝0的两根，则m的值是（）A．4B．﹣1C．4或﹣1D．﹣4或1【分析】先利用勾股定理表示出方程两根之间的数量关系，即两根的平方和是25，再根据根与系数的关系把有关字母的系数代入其中得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．【解答】解：如图．设BC＝a，AC＝b．根据题意得a+b＝2m﹣1，ab＝4（m﹣1）．由勾股定理可知a2+b2＝25，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）＝4m2﹣12m+9＝25，∴4m2﹣12m﹣16＝0，即m2﹣3m﹣4＝0，解之得m1＝﹣1，m2＝4．∵a+b＝2m﹣1＞0，即m＞，∴m＝4．故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，一元二次方程的解法及根与系数的关系，难度中等．一元二次方程根与系数的关系为：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝．本题要注意的是三角形的边长都是正数，所以最后要把解得的根代入到实际问题的条件中检验，将不合题意的解舍去．13．如果方程x2﹣4x+k＝0的两根与1可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】通过根与系数的关系建立k与两根之和的关系，再利用三角形的两边之和大于第三边建立不等式，求出k的取值范围，进而求出k的值．【解答】解：①当x＝1为腰且为方程x2﹣4x+k＝0一根时，有1﹣4+k＝0，k＝3．此时方程为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3．则1+1＜3，不能构成三角形，故k＝3舍去．②当x＝1为底时，根据根与系数的关系x1+x2＝4，由于是等腰三角形，故x1＝x2＝2，k＝x1•x2＝4．故选：B．【点评】此题考查了根与系数的关系、三角形三边关系和等腰三角形的性质，要进行分类讨论，方可求出符合题意的k的值．14．方程x2+4x+k＝0有两个实根x1和x2，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝25，则k的值是（）A．±5B．5C．﹣5D．不存在这样的k值【分析】先由根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出k的范围，又x12+4x1＝﹣k，x22+4x2＝﹣k，可得k2＝25，由此即可解决问题；【解答】解：∵方程x2+4x+k＝0有两个实根x1和x2，∴△＝b2﹣4ac＝14﹣4k≥0，即k≤3.5，又x12+4x1＝﹣k，x22+4x2＝﹣k∴k2＝25，解得：k＝5（舍去），或k＝﹣5，则k＝﹣5．故选：C．【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式的运用，若一元二次方程有解，即根的判别式大于等于0时，设方程的两个根分别为x1和x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝，熟练掌握此关系是解本题的关键，此外得出k的值后，要根据根的判别式大于等于0对k 的值作出取舍．15．若方程x2+x﹣1＝0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1B．4C．2D．0.5【分析】根据根与系数的关系得到：α+β＝﹣1，α•β＝﹣1，再根据方程解的定义得到α2+α﹣1＝0，β2+β﹣1＝0，即α2＝﹣α+1，β2＝﹣β+1，然后代入α2+2β2+β，即可得到α2+2β2+β＝﹣（α+β）+3＝1+3＝4．【解答】解：根据根与系数的关系得到：α+β＝﹣1，α•β＝﹣1，∵α、β是方程x2+x﹣1＝0的二根，∴α2+α﹣1＝0，β2+β﹣1＝0，∴α2＝﹣α+1，β2＝﹣β+1，∴α2+2β2+β＝﹣（α+β）+3＝1+3＝4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了方程解的定义．16．已知关于x的一元二次方程x2+cx+a＝0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b＝0的两个根都大1，求a+b+c的值．（）A．29B．﹣3或29C．﹣3D．26【分析】设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根，利用根与系数的关系均得到与a的关系，进而消去a，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到a，b，c的值，相加即可．【解答】解：设方程x2+ax+b＝0的两个根为α，β，∵方程有整数根，设其中α，β为整数，且α≤β，则方程x2+cx+a＝0的两根为α+1，β+1，∴α+β＝﹣a，（α+1）（β+1）＝a，两式相加，得αβ+2α+2β+1＝0，即（α+2）（β+2）＝3，∴或，解得或，又∵a＝﹣（α+β）＝﹣[（﹣1）+1]＝0，b＝αβ＝﹣1×1＝﹣1，c＝﹣[（α+1）+（β+1）]＝﹣[（﹣1+1）+（1+1）]＝﹣2，或a＝﹣（α+β）＝﹣[（﹣5）+（﹣3）]＝8，b＝αβ＝（﹣5）×（﹣3）＝15，c＝﹣[（α+1）+（β+1）]＝﹣[（﹣5+1）+（﹣3+1）]＝6，∴a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2或者a＝8，b＝15，c＝6，∴a+b+c＝0+（﹣1）+（﹣2）＝﹣3或a+b+c＝8+15+6＝29，故a+b+c＝﹣3或29，故选：B．【点评】主要考查一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；消去a后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点．17．已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．8【分析】根据已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，分两种情况讨论，根据根与系数的关系即可解答．【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0，∴x+3＝0，x﹣5＝0，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0，x+5＝0，解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，③当x＝0时，方程不成立．∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），解得x＝5或﹣5，∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系及绝对值，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．18．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）＝0的两个实根，则x12+x22的最大值是（）A．19B．18C．D．以上答案都不对【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）＝0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0⇒3k2+16k+16≤0⇒（3k+4）（k+4）≤0⇒﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2＝k﹣2，x1•x2＝k2+3k+5，得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）＝﹣k2﹣10k﹣6＝19﹣（k+5）2，当k＝﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．19．方程x2﹣2x﹣5|x﹣1|+7＝0的所有根的和是（）A．2B．0C．﹣2D．4【分析】把方程x2﹣2x﹣5|x﹣1|+7＝0化为|x﹣1|2﹣5|x﹣1|+6＝0，解出x的值即可得出答案．【解答】解：原方程化为：（x2﹣2x+1）﹣5|x﹣1|+6＝0．即|x﹣1|2﹣5|x﹣1|+6＝0，∴|x﹣1|＝2或|x﹣1|＝3．∴x1＝﹣1，x2＝3，x3＝﹣2，x4＝4．则x1+x2+x3+x4＝4．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是先把原方程变形后解出所有x 的值．20．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为﹣1和4，则的值为（）A．2B．3C．5D．﹣6【分析】先利用两根分别表示出错误的方程为：甲，设k（x﹣2）（x﹣4）＝0得kx2﹣6kx+8k ＝0；乙，设p（x+1）（x﹣4）＝0得px2﹣3px﹣4p＝0，无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量相同，就是8k＝﹣4p，即p＝﹣2k，把第一个方程中的一次项和常数项，第二个方程中的二次项代入所求代数式中化简后可解．【解答】解：对于甲：设k（x﹣2）（x﹣4）＝0，得kx2﹣6kx+8k＝0，对于乙：设p（x+1）（x﹣4）＝0，得px2﹣3px﹣4p＝0，从这两个方程可看出：无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量相等，所以8k＝﹣4p，即p＝﹣2k，则＝＝﹣6．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的特点，以及方程之间的关系，难度较大．需要利用方程的两根来表示出两个错误的方程，并通过比较后，得出初步判断为无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量相等这个关键的等量关系，然后通过等量代换求解，在代值时，二次项系数要以第二个方程为准，一次项系数要以第一个方程为准．21．已知关于x的一元二次方程a2x2+b2x+c2＝O①的两根之和是一元二次方程ax2+bx+c＝0②的两根的平方和．则a、b、c的关系是（）A．a2＝bc B．b2＝ac C．c2＝ab D．abc＝1【分析】设①的两根m，n，②的两根α，β，则m+n＝α2+β2，再根据根与系数的关系得出m+n，mn以及α+β，αβ，从而得出abc的关系式．【解答】解：设①的两根m，n，②的两根α，β，∴m+n＝﹣，mn＝，α+β＝﹣，αβ＝，∵m+n＝α2+β2，∴m+n＝（α+β）2﹣2αβ，即﹣＝（﹣）2﹣2×，∴b2＝ac．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22．已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个实数根x1，x2，且2x1﹣x2＝7，则a的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6【分析】由两根之和可得到x1+x2＝﹣4，结合2x1﹣x2＝7，则可求得方程的两根，再利用两根之积可求得a的值．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+4x+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣4，且2x1﹣x2＝7，解得x1＝1，x2＝﹣5，∴a＝x1x2＝﹣5，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．二．填空题（共20小题）23．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝1．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，再利用x1是方程x2+2x﹣3＝0的根得到x12+2x1﹣3＝0，即x12+2x1＝3，则x12+3x1+x2＝x12+2x1+x1+x2，然后利用整体代入得方法计算．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，∴x12+2x1﹣3＝0，即x12+2x1＝3，x1+x2＝﹣2，则x12+3x1+x2＝x12+2x1+x1+x2＝3﹣2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．24．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为﹣．【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝4，mn＝﹣3，∴+＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于﹣、两根之积等于是解题的关键．25．若实数m、n满足m2＝3m﹣1，n2＝3n﹣1，则+的值为2或7．【分析】由题意，可知：m＝n或m、n为方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根．当m＝n时，将m＝n代入原式即可求出结论；当m≠n时，根据根与系数的关系可得出m+n＝3、mn＝1，将其代入+＝中即可求出结论．【解答】解：∵实数m、n满足m2＝3m﹣1，n2＝3n﹣1，∴m＝n或m、n为方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根．当m＝n时，原式＝1+1＝2；当m≠n时，有m+n＝3，mn＝1，∴原式＝＝＝＝7．故答案为：2或7．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，分m＝n和m、n为方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根两种情况考虑是解题的关键．26．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．【分析】利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝k2+k+3，k≤﹣3，再将（x1﹣1）2+（x2﹣1）2化简为（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2），代入即可求解．【解答】解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，∴x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝k2+k+3，∵△＝4k2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2＝x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2＝（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2＝2k2+2k﹣4＝2（k+）2﹣，∵k≤﹣3，2×（﹣3+）2﹣＝8，∴2（k+）2﹣≥8，故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．故答案为：8．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．同时考查了配方法的应用．27．若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是3＜m≤4．【分析】根据原方程可知x﹣2＝0，和x2﹣4x+m＝0，因为关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，所以x2﹣4x+m＝0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，∴①x﹣2＝0，解得x1＝2；②x2﹣4x+m＝0，∴△＝16﹣4m≥0，即m≤4，∴x2＝2+，x3＝2﹣，又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范围是3＜m≤4．故答案为：3＜m≤4．【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．28．已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2．则的值为﹣23．【分析】根据已知条件“（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2”求出a+1、b+1是关于x的方程x2+3x﹣3＝0的两个根，然后再根据根与系数的关系求得a+b＝﹣5，ab＝1；最后将其代入化简后的二次根式并求值即可．【解答】解：∵（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2．∴（a+1）2+3（a+1）﹣3＝0，（b+1）2+3（b+1）﹣3＝0，显然，a+1、b+1是关于x的方程x2+3x﹣3＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣3，即a+1+b+1＝﹣3，∴a+b＝﹣5；x1•x2＝﹣3，即（a+1）（b+1）＝ab+（a+b）+1＝﹣3，∴ab＝1，∴a＝，b＝；∴，＝b|b|+a|a|，＝﹣[（b+a）2﹣2ab]，＝﹣25+2，＝﹣23；故答案是：﹣23．【点评】本题考查了根与系数的关系、二次根式的化简求值．解答此题时，如果先根据已知条件求得a、b的值，然后将其代入所求的代数式求值，那计算过程是相当的繁琐．根据已知条件“（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2”可以知，“（a+1）2+3（a+1）﹣3＝0，（b+1）2+3（b+1）﹣3＝0”，仔细观察这两个等式可知：a+1、b+1是关于x的方程x2+3x﹣3＝0的两个根．然后再根据一元二次方程的根与系数的关系求得a与b的数量关系，并将其代入所求的代数式求值．这样，计算会变得简单多了．29．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a＝2的两个实数根，则（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）的最大值为﹣．【分析】x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a＝2的两个实数根，根据根与系数的关系，表示出a的二次函数的形式，然后求解．【解答】解：∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴对于任意实数a，原方程总有两个实数根．由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣a，x1x2＝a﹣2，∴（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）＝﹣2（x1+x2）2+9x1x2，＝﹣2a2+9a﹣18，＝﹣2（a﹣）2﹣，∴当a＝时，原式有最大值﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度不大，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2．30．已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则代数式α2+α（β2﹣2）的值为0．【分析】根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴α+β＝1，αβ＝﹣1，α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，∴α2＝α+1，β2＝β+1∴α2+α（β2﹣2）＝α+1+α（β+1﹣2）＝α+1﹣1﹣α＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．31．已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1＝0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为4．【分析】根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案．【解答】解：∵α、β是方程x2+（m﹣2）x+1＝0两根，∴α+β＝2﹣m，αβ＝1，α2+（m﹣2）α+1＝0，β2+（m﹣2）β+1＝0，∴α2+mα+1＝2α，β2+mβ+1＝2β，∴（1+mα+α2）（1+mβ+β2）＝2α•2β＝4αβ＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．32．如果关于x的方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为﹣．【分析】先根据方程有实数根，利用根的判别式可得k2﹣4（k2﹣3k+）≥0，整理得﹣2（k﹣3）2≥0，而（k﹣3）2≥0，可求k＝3，把k＝3代入方程，再解方程可得x1＝x2＝﹣，进而可求的值．【解答】解：根据题意可得∵方程有实数根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即k2﹣4（k2﹣3k+）≥0，∴﹣2（k﹣3）2≥0，∵（k﹣3）2≤0，∴k﹣3＝0，即k＝3，∴原方程为：x2+3x+＝0，∴x1＝x2＝﹣，∴＝（）2011•＝＝﹣．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解方程，解题的关键是根据根的判别式先求出k．33．设x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝0的两个根，若，则m＝3．【分析】首先根据根与系数的关系推出两根之和、两根之积的值，然后通过对分式方程的化简，再代入两根之和、两根之积的值，再解关于m的一元二次方程即可推出m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1×x2＝m2﹣2m+3，∵，∴x12+x22＝4x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4x1x2，∴4m2＝6m2﹣12m+18，解方程得：m＝3．故答案为3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解一元二次方程，关键在于推出关于m的一元二次方程，认真的进行计算．34．已知实数x1、x2满足x12﹣6x1+2＝0和x22﹣6x2+2＝0，则的值等于16．【分析】将通分，转化为两根之积和两根之和，将方程x2﹣6x+2＝0的两根之积和两根之和代入计算即可．【解答】解：∵方程x2﹣6x+2＝0的两根之积为2，两根之和为6，∴＝＝＝＝16．故答案为16．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将x1、x2看作方程x2﹣6x+2＝0的两根，利用根与系数的关系解答即可．35．已知方程2x2﹣3x﹣4＝0，不解方程求下列各式的值．（1）＝﹣；（2）x12+x22＝；（3）x13+x23＝；（4）＝﹣；（5）（x1+x2）3﹣（x13+x23）＝﹣9；（6）x1﹣x2＝．【分析】（1）根据根与系数的关系进行变形即可．（2）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．（3）根据根与系数的关系及立方和公式进行变形即可解答．（4）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．（5）根据根与系数的关系及立方和与立方差公式进行变形即可解答．（6）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣4＝0，∴，（1）；（2）；（3）x13+x23＝（x1+x2）（x12﹣x1x2+x22）＝；（4）；（5）（x1+x2）3﹣（x13﹣x23）＝（x1+x2）3（x1+x2）（x12﹣x1x2+x22）＝（x1+x2）（x12﹣2x1x2+x22﹣x12+x1x2﹣x22）＝3x1x2（x1+x2）＝；（6）∵（x12﹣x22）2＝x12﹣2x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝＝∴；【点评】本题考查了根与系数的关系及完全平方公式，属于基础题，关键是将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．36．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：（1）4x2+1＝7x，x1+x2＝，x1•x2＝．（2）3x2﹣1＝0，x1+x2＝0，x1•x2＝﹣．（3）x2﹣6x＝0，x1+x2＝6，x1•x2＝0．（4）2x2﹣（m+1）x﹣m＝0，x1+x2＝，x1•x2＝﹣．【分析】（1）先把方程化为4x2﹣7x+1＝0的形式，根据根与系数的关系即可解题．（2）根据根与系数的关系即可解题．（3）根据根与系数的关系即可解题．（4）根据根与系数的关系即可解题．【解答】解：（1）先把方程化为：4x2﹣7x+1＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝，（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝0，x1•x2＝﹣．（3）根据根与系数的关系得：x1+x2＝6，x1•x2＝0．（4）根据根与系数的关系得：x1+x2＝，x1•x2＝．故答案为：，；0，﹣；6，0；，﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．37．设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝．【分析】已知方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，根据根与系数的关系即可求解．【解答】解：方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，|x1﹣x2|＝，＝，＝，＝．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，主要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．38．以为根的一元二次方程为x2﹣x+＝0．．【分析】根据根与系数的关系即x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，即可求解．【解答】解：设所求方程为：x2+px+q＝0，两根为x1，x2，∴x1+x2＝+＝＝﹣p，x1x2＝＝q故所求方程为：x2﹣x+＝0．故本题答案为：x2﹣x+＝0．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，主要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．39．已知α，β分别为方程x2+4x+2＝0的实数根，则α3+14β+5＝﹣43．【分析】先根据α，β分别为方程x2+4x+2＝0的实数根可知，α+β＝﹣4，αβ＝2，α2＝﹣4α﹣2，再代入α3+14β+5进行计算即可．【解答】解：∵α，β分别为方程x2+4x+2＝0的实数根，∴α+β＝﹣4，αβ＝2，α2＝﹣4α﹣2，∴α3+14β+5＝α（﹣4α﹣2）+14β+5＝﹣4α2﹣2α+14β+5＝﹣4（﹣4α﹣2）﹣2α+14β+5＝16α+8﹣2α+14β+5＝14（α+β）+13＝14×（﹣4）+13＝﹣56+13＝﹣43．故答案为：﹣43．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．40．（1）已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是﹣＜m≤；（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7＝0有两个负数根，那么实数m的取值范围是m＞7．【分析】（1）根据一元二次方程有实数根的条件，得出△＝（﹣2）2﹣4×2（3m﹣1）≥0①；由根与系数的关系可得x1+x2＝1，x1•x2＝，代入，又得到一个关于m的不等式②，解由①②组成的不等式组，即可求出m的取值范围．（2）先根据一元二次方程有两个负数根，由一元二次方程根与系数的关系，得出两根之和小于0，两根之积大于0，解不等式组求出m的取值范围，再代入判别式△≥0进行检验，即可求出结果．【解答】解：（1）∵方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×2（3m﹣1）≥0，解得m≤．由根与系数的关系，得x1+x2＝1，x1•x2＝．∵，∴＜1，解得m＞﹣．∴﹣＜m≤；（2）∵关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7＝0有两个负数根，∴，解得m＞7．又∵△＝（m+1）2﹣4×8（m﹣7）＝m2﹣30m+225＝（m﹣15）2≥0，∴实数m的取值范围是m＞7．故答案为﹣＜m≤；m＞7．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，根与系数的关系及一元一次不等式组的解法．难度中等．注意利用根与系数的关系解题的前提条件是判别式△≥0．41．已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）＝1，（b+c）（b+d）＝1，那么（a+c）（b+c）的值是﹣1．【分析】由已知条件变形知，a、b是方程x2+（c+d）x+cd﹣1＝0的两个不相等的实数根，然后根据韦达定理求得ab＝cd﹣1，a+b＝﹣c﹣d；最后将所求的代数式展开，将ab＝cd ﹣1、a+b＝﹣c﹣d代入其中并求值即可．【解答】解：由（a+c）（a+d）＝1，得a2+（c+d）a+cd＝1，①由（b+c）（b+d）＝1，得b2+（c+d）b+cd＝1，②根据①②可知，a、b是方程x2+（c+d）x+cd﹣1＝0的两个不相等的实数根，∴由韦达定理，得ab＝cd﹣1，a+b＝﹣c﹣d，∴（a+c）（b+c）＝c2+（a+b）c+ab＝c2﹣c2﹣cd+cd﹣1＝﹣1；故答案是：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．42．设a，b是方程x2+57x+1＝0的两根，c，d是方程x2﹣57x+1＝0的两根，则（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为0．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣57，ab＝1，再把（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）变形得到原式＝[ab+c（a+b）+c2）][ab﹣d（a+b）+d2]，然后把a+b＝﹣57，ab＝1代入得到原式＝（c2﹣57c+1）（d2+57d+1），再根据c，d是方程x2﹣57x+1＝0的两根，所以c2﹣57c+1＝0，最后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a，b是方程x2+57x+1＝0的两根，∴a+b＝﹣57，ab＝1，∴原式＝[ab+c（a+b）+c2）][ab﹣d（a+b）+d2]＝（c2﹣57c+1）（d2+57d+1），∵c，d是方程x2﹣57x+1＝0的两根，∴c2﹣57c+1＝0，。

度第一学期冀教版_九年级上册24.3一元二次方程根与系数的关系_同步课堂检测(有答案)

2019-2019学年度第一学期冀教版九年级数学上册24.3一元二次方程根与系数的关系同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.α，β是方程x2+2x−5=0的两个实数根，则αβ的值为（）A.5B.−5C.2D.−22.下列方程中：①x2−2x−1=0，②2x2−7x+2=0，③x2−x+1=0，两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个3.已知m，n是方程x2−2x−1=0的两根，且(2m2−4m+a)(3n2−6n−7)=8，则a的值等于（）A.−4B.−2C.4D.24.已知x1，x2是方程x2−√5x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A.3B.5C.7D.45.若方程x2−(m−2)x+(3m+1)=0的两根互为倒数，则m等于（）A.0B.1C.2D.36.若方程x2−3x−1=0的两根为x1、x2，则x1x2的值为（）A.−3B.3C.−1D.17.两实根和是3的一元二次方程为（）A.x2+3x−4=0B.x2−3x+4=0C.x2−3x−4=0D.x2+3x+4=08.已知方程x2−2(m2−1)x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是（）A.m=±1B.m=−1C.m=1D.m=09.若x1，x2是方程2x2−4x+1=0的两个根，则x2x1+x1x2的值为（）A.6B.4C.3D.3210.关于x的一元二次方程x2−mx+5(m−5)=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+ x2=7，则m的值是（）A.2B.6C.2或6D.7二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.已知方程x2−3x−5=0的两根为x1，x2，则x12+x22=________．12.一元二次方程x2+kx−3=0的一个根是x=1，则另一个根是________．13.已知关于x的一元二次方程x2−3x+1=0两实数根为x1、x2，则x1+x2=________．14.已知x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个根，则x1+x2=________．15.已知方程x2−4x−1=0的两个根分别为x1，x2，则x1⋅x2=________．16.甲乙同时解方程x2+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑−10．则p=________，q=________．17.已知一元二次方程2x2−3x+1=0的两根为a、b，则1a +1b=________．18.关于y的一元二次方程y2+4y−a=0的一个根是−1，方程的另一个根是________．19.已知a、b是关于x的方程x2−(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是________．20.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是−2，则另一个根是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）第 1 页21.若x 1，x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根． (1)求x 1+x 2和x 1x 2的值． (2)求1x 1+1x 2的值．(3)求(x 1−x 2)2的值．22.已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别为x 1、x 2，则有x 1+x 2=−ba ；x 1x 2=ca．请应用以上结论解答下列问题：已知方程x 2−x −2=0有两个实数根x 1，x 2，要求不解方程求值：(1)(x 1+1)(x 2+1)(2)x 2x 1+x 1x 2(3)x 1x 22+x 2x 12． 23.已知关于x 的方程(k −1)x 2+(2k −3)x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．24.设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0, b 2−4ac ≥0)的两个根，那么会有如下两个结论成立：x 1+x 2=−b a ；x 1⋅x 2=ca ．利用这个结论计算下题：设x 1，x 2是一元二次方程x 2+x −1=0的两个根．试计算： (1)1x 1+1x 2；(2)x 12+x 22． 25.如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么利用公式法写出两个根x 1、x 2，通过计算可以得出：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca ．由此可见，一元二次方程两个根的和与积是由方程的系数决定的．这就是一元二次方程根与系数的关系．请利用上述知识解决下列问题：(1)若方程2x 2−4x −1=0的两根是x 1、x 2，则x 1+x 2=________，x 1x 2=________． (2)已知方程x 2−4x +c =0的一个根是2+√3，请求出该方程的另一个根和c 的值． 26.如果方程x 2+px +q =0有两个实数根x 1，x 2，那么x 1+x 2=−p ，x 1x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a 、b 是方程x 2+15x +5=0的二根，则ab +ba =________(2)已知a 、b 、c 满足a +b +c =0，abc =16，求正数c 的最小值．(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知{x =x 1y =y 1和{x =x 2y =y 2是关于x ，y 的方程组{x 2−y +k =0x −y =1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y 1y 2−x 1x 2−x 2x 1=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．第 3 页答案 1.B 2.B 3.A 4.A 5.A 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B 11.19 12.−3 13.3 14.2 15.−1 16.714 17.3 18.−3 19.12 20.121.解：(1)x 1+x 2=−12，x 1x 2=−32；(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−12−32=13；(3)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(−12)2−4×(−32)=254．22.解：∵方程x 2−x −2=0有两个实数根x 1，x 2， ∴x 1+x 2=1，x 1x 2=−2．∴(1)(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=−2+1+1=0；(2)x 2x 1+x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=1+4−2=−52；(3)x 1x 22+x 2x 12=(x 1x 2)(x 1+x 2)=−2×1=−2．23.解：(1)方程(k −1)x 2+(2k −3)x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得k −1≠0，∴k ≠1且△=−12k +13>0，可解得k <1312且k ≠1；(2)假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2， ∵x 1+x 2=0， ∴−2k−3k−1=0，∴k =32，又∵k <1312且k ≠1∴k 不存在．24.解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x −1=0的两个根， ∴x 1+x 2=−1；x 1⋅x 2=−1．(1)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=1−2×(−1)=1+2=3． 25.2−12(2)设方程的另一个根为a ，则a +2+√3=4，(2+√3)a =c ，解得：a =2−√3，c =(2+√3)(2−√3)=1． 26.43；(2)∵a +b +c =0，abc =16， ∴a +b =−c ，ab =16c，∴a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，∴c 2−4⋅16c≥0，c 2−43c≥0，∵c 是正数，∴c 3−43≥0，c 3≥43，c ≥4，∴正数c 的最小值是4．(3)存在，当k =−2时，y 1y 2−x 1x 2−x2x 1=2．由x 2−y +k =0变形得：y =x 2+k ，由x −y =1变形得：y =x −1，把y =x −1代入y =x 2+k ，并整理得：x 2−x +k +1=0，由题意思可知，x 1，x 2是方程x 2−x +k +1=0的两个不相等的实数根，故有： {(−1)2−4(k +1)>0x 1+x 2=1x 1x 2=k +1y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)y 1y 2−x 1x 2−x 2x 1=(x 1−1)(x 2−1)−(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=2即：{k <−34k 2+2k =0解得：k =−2．。

九年级数学上册第24章一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系作业 (新版)冀教版

24.3 一元二次方程根与系数的关系一、选择题1．若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2等于A ．－4B ．3C ．－43 D.432．一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1·x 2的值为 A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－23．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．34．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则a ，b 的值分别是( )A ．a ＝－3，b ＝1B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝－32，b ＝－1D ．a ＝－32，b ＝15．[2017·石家庄七中模拟]已知m ，n 是方程x 2－2x －1＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( )A ．－2B ．－12 C.12D ．26．已知a ，b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b )(a ＋b －2)＋ab 的值等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．27．[2017·保定一模]已知mn ≠1，且5m 2＋2017m ＋9＝0，9n 2＋2017n ＋5＝0，则mn的值为( )A ．－402 B.59 C.95 D.6703二、填空题8．若关于x 的方程x 2＋(k －2)x －3＝0的两根互为相反数，则k ＝__________． 9．已知一元二次方程x 2＋3x －4＝0的两根为x 1，x 2，则x 12＋x 1x 2＋x 22＝________.10．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，且m ≠n ，则n m ＋mn＝________． 11．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝________．三、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋a ＝0的一个根为2，求它的另一个根及a 的值．13．已知关于x 的一元二次方程 x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0. (1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值．14 已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0. (1)求证：无论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a ＝31，且两条直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．1．D [解析] ∵方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，a ＝3，b ＝－4.∴x 1＋x 2＝－b a ＝－－43＝43.2．D3．D [解析] ∵a＝1，b ＝－5，c ＝2，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×2＝17＞0， ∴x 1＋x 2＝－b a ＝5，x 1·x 2＝ca＝2，∴x 1＋x 2－x 1·x 2＝5－2＝3.故选D.4．D [解析] 根据一元二次方程根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－2a ＝3，x 1x 2＝b ＝1，所以a ＝－32，b ＝1.5．A [解析] ∵m，n 是方程x 2－2x －1＝0的两实数根， ∴m ＋n ＝2，mn ＝－1， ∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝2－1＝－2. 故选A.6．A [解析] ∵a，b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根， ∴ab ＝－1，a ＋b ＝2， ∴(a －b)(a ＋b －2)＋ab ＝(a －b)(2－2)＋ab ＝0＋ab ＝－1. 故选A.7． C [解析] 将9n 2＋2017n ＋5＝0变形，得5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋2017×1n ＋9＝0.又∵5m 2＋2017m ＋9＝0，∴m 与1n为方程5x 2＋2017x ＋9＝0的两个解，则m·1n ＝m n ＝95.故选C. 8．29．13 [解析] 根据题意，得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝－4，所以x 12＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝(－3)2－(－4)＝13.10．－225 [解析] 由题意，得m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两个不相等的根，∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53，∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mnmn ＝（－2）2－2×（－53）－53＝－225.故答案为－225. 11．5 [解析] ∵m，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，∴m ＋n ＝－2. ∵m 是原方程的根，∴m 2＋2m －7＝0，即m 2＋2m ＝7， ∴m 2＋3m ＋n ＝m 2＋2m ＋m ＋n ＝7－2＝5.12．解：解法1：设方程的另一个根为x 1，则2＋x 1＝－4，解得x 1＝－6.又因为2x 1＝a ，所以a ＝2×(－6)＝－12.解法2：把x ＝2代入原方程，得4＋8＋a ＝0，解得a ＝－12.所以原方程为x 2＋4x －12＝0，解方程得x 1＝2，x 2＝－6.所以它的另一个根为－6，a 的值为－12.13． [解析] (1)若一元二次方程有实数根，则根的判别式b 2－4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．(2)将x 1＋x 2＝－2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2－1代入(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，建立关于m 的方程，据此即可求得m 的值．解：(1)∵方程有实数根，∴b 2－4ac ＝[2(m ＋1)]2－4(m 2－1)≥0. 整理，得8m ＋8≥0. 解得m≥－1，∴实数m 的取值范围是m≥－1. (2)由一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2－1. ∵(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2－16＝0， ∴[－2(m ＋1)]2－3(m 2－1)－16＝0， ∴m 2＋8m －9＝0. 解得m ＝－9或m ＝1. 又∵m≥－1，∴m ＝1.14解：(1)对于关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0，b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －322＋4＞0恒成立，故无论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． (2)根据勾股定理，得b 2＋c 2＝a 2＝31，① 因为两条直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根，则b ＋c ＝2k ＋1②，bc ＝4k －3③，因为(b ＋c)2－2bc ＝b 2＋c 2＝31，即(2k ＋1)2－2(4k －3)＝31，整理，得4k 2＋4k ＋1－8k ＋6－31＝0，即k 2－k －6＝0，解得k 1＝3，k 2＝－2.∵b ＋c ＝2k ＋1＞0即k ＞－12，bc ＝4k －3＞0即k ＞34，∴k 2＝－2不合题意，应舍去，则b ＋c ＝2k ＋1＝7，又因为a ＝31，则△ABC的周长为a＋b＋c＝31＋7.。

冀教版数学九年级上册导学案24.3一元二次方程根与系数的关系

24.3 一元二次方程根与系数的关系* 学习目标：一元二次方程.2.了解配方法解一元二次方程的解题步骤.学习重点：配方法的解一元二次方程的步骤.学习难点：用配方法解一元二次方程.一、知识链接1.(1)一元二次方程的一般形式是________________.(2)一元二次方程的求根公式是_________________.2.由因式分解法可知，方程〔x-2〕〔x-3〕=0的两根为x1=_____，x2=_____.方程〔x-2〕〔x-3〕=0可化为x2-5x+6=0的形式，那么x1+x2=________,x1x2=______. 二、新知预习【问题】解以下方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2,x1·x2的值，它们一元二次方程的各系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？【自主探究一】【猜测1】假设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=______,x1·x2=______.【自主探究二】【猜测1】假设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=______,x1·x2=______.三、自学自测x1，x2方程x2+3x-4=0的两根，那么x1+x2=________,x1x2=______.2.不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的〔1〕平方和；〔2〕倒数和.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ 一、要点探究自主学习合作探究探究点1：一元二次方程根与系数的关系〔韦达定理〕【验证猜测】对于一元二次方程ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，设方程的两个分别为x 1，x 2，求x 1+x 2,x 1x 2的值.〔1〕根据公式法，我们可以知道x 1=_____，x 2=_____.〔2〕那么x 1+x 2=________,x 1x 2=______.一元二次方程根与系数的关系例1：设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：〔1〕()()1222;x x ++〔2〕2112.x x x x + 解：根据根与系数的关系，可知x 1+x 2=________,x 1x 2=______.（1）()()1222x x ++=____________=______________;（2）2112x x x x +=____________=______________; 【归纳总结】配方解决此类问题先要确定a ，b ，c 的值，再求出的x 1+x 2,x 1x 2值，最后将所求式做适当变形，把x 1+x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可.1.α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，那么α2＋α β＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．272.请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．探究点2：一元二次方程根与系数的关系的应用例2：方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值.解：方法一 2122903=-...+-=-===x kx x k k x x k ∵方程的一个根为∴　把3代入得：，解得∴把代入原方程得：解之得：＝，∴，方程的另一个根为方法二 212122903+=.=-...+-=-==x kx x x x x x k k ∵方程的一个根为∴　根据根与系数的关系得：＝，把3代入得：，解得∴把代入原方程得：解之得方程的另一个根为【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时，求出的值必须保证原方程有解，通常解这类题目时，最后都需要检验.【针对训练】1.2220050x x αβ+-=、是方程的两个实数根，求23ααβ++的值2.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，求212()x x -的值.二、课堂小结根与系数的关系公式 20x px q ++= 1212+=.x x x x ＝，20ax bx c ++= 1212+=.x x x x ＝，应用应用前提方程必须有解应用形式 ①一根求另一根和未知系数；②求变形式的值；③两根求方程；④两个根的数量关系，求未知字母的值〔要注意取舍〕241x x -=的两个根为1x ，2x ，那么1x 2x 的值是 . 2.实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，那么b a ＋a b的值是( ) A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－113.设x 1，x 2是一元二次方程3x 2＋6x －92＝0的两实数根，不解方程，求以下各式的值． (1)x 21·x 2＋x 1·x 22；(2)|x 1－x 2|.当堂检测4.设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k ，使得3x 1·x 2－x 1＞x 2成立，请说明理由．5.a ，b ，c 是Rt△ABC 三边的长，a ＜b ＜c ，(1)求证：关于x 的方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0有两个不相等的实数根；(2)假设c ＝3a ，x 1，x 2是这个方程的两根，求x 21＋x 22的值．当堂检测参考答案：1.3.x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－32， (1)x 21·x 2＋x 1·x 22＝x 1·x 2(x 1＋x 2)＝－32×(－2)＝3. (2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2) 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝4＋6＝10. 故|x 1－x 2|＝10.4.∵关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k ＋1)≥0.∴k ≤3.又3x 1·x 2－x 1＞x 2，∴3x 1·x 2－(x 1＋x 2)＞0.而x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，∴3×(k ＋1)－4＞0.∴k ＞13.∴13＜k ≤3， ∴存在实数k ，使得3x 1·x 2－x 1＞x 2成立．5.(1)证明：把方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0化成一般形式为(c －a )x 2－22bx ＋a ＋c ＝0，其判别式Δ＝8b 2－4a 2＋4c 2，∵a ，b ，c 是Rt△ABC 三边的长，且a ＜b ＜c ，∴Δ＝8b 2－4a 2＋4c 2＞0.∴方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0有两个不相等的实数根．(2)∵x 1＋x 2＝22b c －a ，x 1·x 2＝a ＋c c －a，又c ＝3a ，∴x 1＋x 2＝2b a ，x 1·x 2＝2， ∴x 21＋x 22＝2b 2a2－4.。

九年级数学上册243一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练素材冀教版!

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。

下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

九年级数学上册第24章一元二次方程24.3一元二次方程根与系数的关系练习冀教版(2021年整理)

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24．3 一元二次方程根与系数的关系＊知｜识｜目｜标1．经过探究,发现一元二次方程的两根之和以及两根之积与系数的关系．2．通过对一元二次方程根与系数之间的关系的理解，能够利用一元二次方程根与系数的关系解决简单的问题．目标一掌握一元二次方程根与系数的关系例1 教材补充例题若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的根，请你求出x1＋x2和x1·x2的值(用含a，b，c的代数式表示）．例2 教材例题针对训练根据一元二次方程根与系数的关系,求下列一元二次方程两根的和与积．(1)x2＋6x－5＝0；(2)2x2－12x＋1＝0;（3)3x2＋3＝6x.【归纳总结】利用一元二次方程根与系数的关系求两根的和与积的一般步骤（1)化方程为一般形式；(2)确定a，b，c的值及b2－4ac的符号；(3）当b2－4ac≥0时,利用根与系数的关系直接写出两根的和与积．目标二利用一元二次方程根与系数的关系求与两根有关的代数式的值例3 教材补充例题已知：x1，x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个根，求下列代数式的值:(1）错误!＋错误!；(2)x12＋x22.【归纳总结】与一元二次方程的根有关的代数式的变形(1）x12＋x22＝（x1＋x2)2－2x1x2.(2）(x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2.（3）（x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋（x1＋x2)＋1。

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