高考数学合情推理与演绎推理

推理与证明第一节合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：•通过观察个别情况发现某些相同的性质•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）•证明2、类比推理由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；•检验猜想。

3、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理； “三段论”是演绎推理的一般模式， 包括•大前提---已知的一般原理；•小前提---所研究的特殊情况； •结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．题型一 用归纳推理发现规律例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

23135sin 75sin 15sin 020202=++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++.解析：猜想：23)60(sin sin )60(sin 02202=+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++-=23)cos (sin 2322=+αα=右边 注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二 用类比推理猜想新的命题例2：已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.解析：原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高41注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。

（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 题型三 利用“三段论”进行推理例3 某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）解析：因e d c b a ,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增长越多，a b e d c <<<<<0Θ，所以c 增大1个单位会使得S 的值增加最多注：从分式的性质中寻找S 值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到1.下列说法正确的是 （ ）A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是特殊到一般的推理C.归纳推理是个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤 答案： C2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ） A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 答案：C 填空题3.已知 0(1,2,,)i a i n >=L ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a L 也成立的类似不等式为答案：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L 4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ． [解析] （见高三复习 步步高） 解法的类比（特殊化）易得两个正方体重叠部分的体积为83a5.已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V[解析] )1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.答案；0Ax By Cz D +++=；2222000()()()x x y y z z r -+-+-=7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；（2） 已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；（2）318=a ；8. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：2213=+ 23135=++ 241357=+++ 3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为 答案：9=m 解答题9.（1）已知等差数列{}n a ，na a ab nn +++=Λ21（N n ∈），求证：{}n b 仍为等差数列；（2）已知等比数列{}n c ，0>n c （N n ∈），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．[解析]（1）22)(11n n n a a n a a n b +=+=，211n n n n a a b b -=-++， {}n a Θ为等差数列2211da ab b n n n n =-=-∴++为常数，所以{}n b 仍为等差数列；（2）类比命题：若{}n c 为等比数列，>n c （*N n ∈），n nn c c c d ⋅⋅⋅=Λ21，则{}n d 为等比数列证明：n nn n n c c c c d 121)(=⋅=，q c cd d nn n n ==++11为常数，{}n d 为等比数列10．将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x D =∈，对任意,,2x y x y D +∈均满足1()[()()]22x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。

（1）若定义在(0，＋∞)上的函数()f x ∈M ，试比较(3)(5)f f +与2(4)f 大小.（2）设函数g(x)＝－x 2，求证：g(x)∈M.解析：(1)对于1()[()()]22x y f f x f y +≥+，令5,3==y x 得(3)(5)f f +<2(4)f (2)24)()]()([21)2(22212212121x x x x x g x g x x g +++-=+-+04)(221≥+=x x )]()([21)2(2121x g x g x x g +≥+∴ ,所以g(x)∈M2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。

2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。

3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 题型一：用综合法证明数学命题例1 ：对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明； 解析：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，故)(x g 理想函数．注：紧扣定义，证明函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）满足三个条件题型二：用分析法证明数学命题例2：已知：10<<a ，求证：9141≥-+a a . 证明：∵ 10<<a ∴ 要证 9141≥-+aa ，去分母后需要证：（1－a ）+4a ≥9a （1—a ），移项合并同类项，即需要证：92a —6a+1≥0， 即要证；()2310a -≥ (1)而（1）式显然成立， ∴ 原不等式成立。