最新高中文科数学绝杀80题选修坐标与参数方程满分冲刺篇学生版

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最新高考文科数学选修4-4：坐标系与参数方程强化训练经典50题Word版含答案及解析

高考文科数学选修4-4：坐标系与参数方程强化训练经典50题1、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数，且0t >，(0,)2πα∈），曲线2C 的参数方程为cos 1x y sin ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数，且(,)22ππβ∈-）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为1cos ((0,))2πρθθ=+∈，曲线4C 的极坐标方程为cos 1ρθ=. （1）求3C 与4C 的交点到极点的距离；（2）设1C 与2C 交于P 点，1C 与3C 交于Q 点，当α在(0,)2π上变化时，求||||OP OQ +的最大值. 【答案】（1；（2）1+ 【解析】【分析】(1) 联立曲线34,C C 的极坐标方程，求得交点极坐标的极径，由极径的几何意义即可得结果；(2)曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的极坐标方程联立得2sin ,0,2OP πραα⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，曲线1C 与曲线3C 的极坐标方程联立得1cos ,0,2OQ παα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 12sin cos OP OQ αα+=++，利用辅助角公式与三角函数的有界性可得结果.【详解】(1)联立曲线34,C C 的极坐标方程1,0,21cos cos πρθθρθ⎧⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎨⎝⎭⎪=⎩得: 210ρρ--=，解得ρ=. (2)曲线1C 的极坐标方程为,0,,02πθααρ⎛⎫⎛⎫=∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线2C 极坐标方程为2sin ,0,2πρθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭联立得2sin ,0,2πραα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭即2sin ,0,2OP παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭曲线1C 与曲线3C 的极坐标方程联立得1cos ,0,2πραα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，即1cos ,0,2OQ παα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin cos 1OP OQ αααϕ+=++=+，其中ϕ的终边经过点()2,1，当2,Z 2k k παϕπ+=+∈，即arcsin5α=时，OP OQ +取得最大值为1+. 【点睛】本题主要考查极坐标方程的应用，考查了极径的几何意义，考查了辅助角公式与三角函数的有界性的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.2、在平面直角坐标系中，已知曲线:1x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），22:40M x y x +-=.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （I ）写出曲线C 与圆M 的极坐标方程；（II ）在极坐标系中，已知射线():0l θαρ=≥分别与曲线C 及圆M 相交于,A B ，当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求OMB OMAS S ∆∆的最大值.【答案】（I ）sin()14πρθ+=,4cos ρθ=；（II）2+.【解析】【分析】（I ）将曲线C 的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆M 的普通方程转化为直角坐标方程.（II ）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为OB OA，将θα=代入曲线C 和圆M 的极坐标方程，求得OA ，OB ，由此求得OB OA的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得OMBOMAS S ∆∆的最大值. 【详解】(Ⅰ)曲线C 的普通方程为1x y +=，由普通方程与极坐标方程的互化公式的C 的极坐标方程为：()cos sin 1ρθθ+=，即sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 曲线M 的极坐标方程为：4cos ρθ= .(Ⅱ)因为OBM ∆与OAM ∆以点M 为顶点时，它们的高相同，即OMB OMA OBS S OA∆∆= , 由(Ⅰ)知，1,4cos sin cos A B OA OB ρρααα====+，所以()()24cos sin cos 2sin24cos 21sin2cos2224OBOA παααααααα⎛⎫=+=+=++=++ ⎪⎝⎭ ,由0,2πα<<得52444πππα<+<，所以当2,42ππα+=即8πα=时，OA OB有最大值为2+,因此 OMBOMAS S ∆∆的最大值为2+.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查普通方程转化为极坐标方程，考查三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题.3、在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 32-=. (1)分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)设直线l 交曲线1C 于O 、A 两点，交曲线2C 于O 、B 两点，求AB 的长.【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y -++=；（Ⅱ）4-【解析】【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程。

高二文科选修44坐标系与参数方程测试题及答案.doc

6•参数方程」x = 2 +si 『日（令为参数）化为普通方程是（）。

y =-1 +cos28D 2x y -4 =0 x [2,3]高二级数学选修4-4《极坐标与参数方程》考试卷（文科）一、选择题（共10题，各4分，共32分） 1•曲线的极坐标方程 T =4 si nr 化为直角坐标为（）。

2 2 2 2A x (y 2)=4B x (y-2)=4C (x -2)2 y 2 =4 (x 2)2 y 2 =4 2•已知点P 的极坐标是（1,二），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ①1 _ 1 C COST ：?= cos v 3•在同一坐标系中, 将曲线 y = 2sin 3x 变为曲线y = sin x 的伸缩变换是（ x —3x x-3x ”x=3x ' (AH 1 ' (B” ' 1 (C)」 ”=尹 [v =-v y = 2y x= 3x(D)」’ J =2y 4•直线y =2x 1的参数方程是（） A J (t 为参数) B 丿x =2t —1(t 为参数)y =2t 2 +1 y =4t +1C 丿x =t —1 (t 为参数) = 2t — 1D ‘ x=sinE （ t 为参数） y =2si n 日 +15•方程x =t • 1（ t 为参数）表示的曲线是（）。

I y=2 A 一条直线B 两条射线C 一条线段D 抛物线的一部分A 2x -y 4=0B 2x y -4=0C 2x — y 4=0x [2,3]7•设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P 的极坐标为（A (3、一 2，3二) B (-32，5 ■:)445C (3，二二)D (-3，43丁）8•在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线I: y kx 2=0与曲线 C = 2cos -二，则P 点坐标是4"x = -1 + 2 cos 日"x = 2t — 110.若圆的方程为丿（日为参数），直线的方程为』（t 为参数），I y =3 +2sinBy = 6t -1则直线与圆的位置关系是（）。

备战高考高中数学文科试卷习题仿真模拟冲刺卷(一)

仿真模拟冲刺卷(一)时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝x 12 ，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则A ∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞)2．设复数z 满足z ·i ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( ) A ．2＋i B ．1 C ．5 D ．53．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则(AC → －AD → )·AB →＝( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．14．如图是甲、乙两个商场统计同一时间段各自每天的销售额(单位：万元)的茎叶图，假设销售额的中位数为m ，平均值为x －，则下列正确的是( )A.m 甲＝m 乙，x 甲>x 乙 B ．m 甲＝m 乙，x 甲<x 乙 C ．m 甲>m 乙，x 甲>x 乙 D ．m 甲<m 乙，x 甲<x 乙5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥02x ＋y －3≤0y ≥1 ，则z ＝x ＋y －1的最大值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．抛物线y ＝6x 2的准线方程为( )A ．y ＝－124B ．y ＝－112C ．y ＝－6D ．y ＝－37．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为35、28，则输出的a ＝( )A ．1B ．14C ．7D ．28 8．函数f (x )＝cos x －x 2x的图象大致为( )9．正四棱锥S ABCD 的所有边长都相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．12C ．33D ．3210．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第4个数应为( )A ．214B ．213C ．2313D ．241311．已知函数f (x )＝23 sin 2x －m cos 2x ，若对任意的x ≠k π2 ，k ∈Z ，f (x )＝2m 有解，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(0，2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，0)∪(0，2]12．截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体. 如图所示，有一个所有棱长均为a 的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为( )A ．πa 2B ．32 πa 2C ．53 πa 2D ．83πa 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．{a n }为等差数列，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝33，则S 9＝________． 14．“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将6罐“绿水”装成一箱，且每箱均有2罐可以中奖．若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为________．15．写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：________． ①圆心在直线y ＝x ＋1上，②与y 轴相切．16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对于任意x 1≠x 2，必有f (x 1)≠f (x 2)，若函数F (x )＝f (x 2－m )＋f (3－2x )只有一个零点，则当x <2时，函数g (x )＝mx 2－62－x的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos (π＋A )＋sin (π2 ＋2A )＋32＝0. (1)求角A ； (2)若c －b ＝33a ，求证：△ABC 是直角三角形． 18．(12分)党的十九大明确把精准扶贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为了坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位要开展精准扶贫，此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：现用系统抽样法从40个贫困户满意度评分中抽取容量为10的样本，且在第一段内随机抽到的样本数据为92.(1)请你列出抽到的10个样本数据；(2)计算所抽到的10个样本数据的均值x －和方差s 2；(3)在(2)条件下，若贫困户的满意度评分在(x －－s ，x －＋s )之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，现从(1)中抽到的10个样本为“A 级”的贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度评分均“超过80”的概率(参考数据：30 ≈5.48，33 ≈5.74，35 ≈5.92).19.(12分)如图，在四棱锥B ACED 中，AD ∥CE ，且AD ＝23 CE ，F 是棱BE 上一点，且满足BF＝2FE .(1)证明：DF ∥平面ABC ；(2)若三棱锥B ADF 的体积是4，△ABC 的面积是22 ，求点F 到平面ABC 的距离．20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：(x ＋4)2＋y 2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求C 的方程；(2)设点T (1，1)，过点T 且斜率存在的两条直线分别交曲线C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．21.(12分)已知函数f (x )＝x (ax －a ln x ＋1). (1)若x ＝1是f (x )的极值点，求a 的值； (2)若a ≤e －1，证明：f (x )≤e x .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θy ＝sin θ (θ为参数)，正方形ABCD的顶点均在C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A (3，0).(1)求C 的普通方程及点B ，C ，D 的坐标；(2)设P 为C 内(包含边界)任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的最小值．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝2|x|＋|2x－1|，集合A＝{x|f(x)<3}．(1)求A；(2)若s，t∈A，求证|1－ts|<|t－1 s|.。

选修坐标系与参数方程练习题及解析答案

高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线与坐标轴的交点是（）．A． B． C． D．2．把方程化为以参数的参数方程是（）．A． B． C． D．3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D．4．点在圆的（）．A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关5．参数方程为表示的曲线是（）．A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线6．两圆与的位置关系是（）．A．内切 B．外切 C．相离 D．内含7．与参数方程为等价的普通方程为（）．A． B．C． D．8．曲线的长度是（）．A． B． C． D．9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D．10．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）．A． B． C． D．11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D．12．直线被圆所截得的弦长为（）．A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．参数方程的普通方程为__________________．14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________．16．设，则圆的参数方程为____________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离．18．（本小题满分12分）过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值．19．（本小题满分12分）已知中，(为变数)，求面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程．（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数．22．（本小题满分12分）已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程；（2）若点为弦的中点，求弦的方程．答案与解析：1．B 当时，，而，即，得与轴的交点为；当时，，而，即，得与轴的交点为．2．D ，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制．3．D ．4．A ∵点到圆心的距离为(圆半径)∴点在圆的内部．5．D 表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线．6．B 两圆的圆心距为，两圆半径的和也是，因此两圆外切．7．D ．8．D 曲线是圆的一段圆弧，它所对圆心角为．所以曲线的长度为．9．D 椭圆为，设，．10．D ，得，，中点为．11．C 抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为．12．C ，把直线代入，得，，弦长为．13．．14．,或．15．，或直线为，圆为，作出图形，相切时，易知倾斜角为，或．16．，当时，，或；而，即，得．17．解：将，代入，得，得，而，得．18．解：设直线为，代入曲线并整理得，则，所以当时，即，的最小值为，此时．19．解：设点的坐标为，则，即为以为圆心，以为半径的圆．∵，∴，且的方程为，即，则圆心到直线的距离为．∴点到直线的最大距离为，∴的最大值是．20．解：（1）直线的参数方程为，即，（2）把直线，代入，得，，则点到两点的距离之积为．21．解：（1）当时，，即；当时，，而，即；（2）当时，，，即；当时，，，即；当时，得，即，得，即．22．解：（1）由圆的参数方程，设直线的参数方程为①，将参数方程①代入圆的方程得，∴△，所以方程有两相异实数根、，∴，化简有，解之或，从而求出直线的方程为或．（2）若为的中点，所以，由（1）知，得，故所求弦的方程为．备用题：1．已知点在圆上，则、的取值范围是（）．A．B．C．D．以上都不对1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C．2．直线被圆截得的弦长为（）．A． B． C． D．2．B ，把直线代入得，，弦长为．3．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么_______________．3．显然线段垂直于抛物线的对称轴，即轴，．4．参数方程表示什么曲线？4．解：显然，则，，即，，得，即．5．已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围．5．解：（1）设圆的参数方程为，，∴．（2），∴恒成立，即．。

2021年高考数学三轮冲刺大题练习07《选修4-4：坐标系与参数方程》(含答案详解)

2021年高考数学三轮冲刺大题练习07 《选修4-4：坐标系与参数方程》1.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．(1)求C 与l 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点作P 与l 垂直的直线，交l 于点A ，求│PA │的最大值．2.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝t(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ2=cos 2θ＋sin θ(ρ≥0)．(1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度；(2)若M ，N 是曲线C 上两点，且OM ⊥ON ，求线段MN 长度的最大值．3.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为，直线l 的极坐标方程为。

(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，直线l 上有两点A ，B ，始终满足|AB|=4，求△MAB 面积的最大值与最小值。

4.已知过点P(a,0)的直线l 的参数方程是（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A,B 两点，试问是否存在实数a ，使得？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.5.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(其中φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)=1(α是常数，0＜α＜π，且α≠π2)，点A ，B(A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB|的最大值及此时点B 的坐标．6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.7.已知直线l 的参数方程为（t 为参数），在直角坐标系中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为ρ2（1+sin 2θ）=1．（1）求曲线M 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值．8.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(-1,0)，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为ρ=2. （1）当3πα=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：|PA|·|PB|是与α无关的定值.答案解析1.解：2.解：(1)由题意知，直线l 的普通方程为y=33x ，则其极坐标方程为θ=π6或θ=7π6，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，7π6，把θ=π6代入ρ2=cos 2θ＋sin θ，得ρ21=⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12=54，所以|OA|=52；把θ=7π6代入ρ2=cos 2θ＋sin θ，得ρ22=⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－12=14，所以|OB|=12，所以线段AB 的长度为52＋12=5＋12. (2)设M(ρ3，α)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ4，α＋π2，则|OM|2=cos 2α＋sin α，|ON|2=cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2=sin 2α＋cos α，所以|MN|2=|OM|2＋|ON|2=cos 2α＋sin α＋sin 2α＋cos α=1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，故当α=π4时，|MN|取得最大值1＋ 2.3.解：4.解：5.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(其中φ为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2=1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为y=tan α·x －1.(2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos αy ＝－1＋tsin α(t 为参数)．设A(t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－1＋t 2sin α)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos αy ＝－1＋tsin α，代入x 24＋y 2=1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8tsin α=0，∴t 1=0，t 2=8sin α1＋3sin 2α， ∴|AB|=|t 1－t 2|=8|sin α|1＋3sin 2α=83|sin α|＋1|sin α| ≤823=433(当且仅当sin α=33时取等号)，当sin α=33时，∵0＜α＜π，且α≠π2，∴cos α=±63， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13， ∴|AB|的最大值为433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13.6.解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2=1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4=0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α). 因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值，d(α)=|3cos α＋sin α－4|2=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α=2k π＋π6(k ∈Z )时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 7.解：（1）曲线M 的方程为ρ2（1+sin 2θ）=1，∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，∴x 2+2y 2=1；（2）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），∴y=tan α（x ﹣），由，得：x 2+2，即（1+2tan2α）x2﹣2tan2αx+5tan2α﹣1=0，若直线l与曲线M只有一个公共点，则△=﹣4（1+2tan2α）（5tan2α﹣1）=0，解得：tanα=±，∴α=或．8.解：。

高考数学三轮冲刺大题提分选修4_4：坐标系与参数方程理

大题精做16 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ+=+⎧⎨⎩=（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()θαρ=∈R ，()22cos sin 10ρθθρ-++=；（2）(．【解析】（1）由题意可得，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ．曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=．（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πΔα⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径．从而()122cos sin π4OA OB ρρααα⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭．当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，πππ,442α⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y ==⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点)M，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值．2．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧⎪⎪⎨=+=-⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧==+⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON △，且满足π2MON ∠=，求MON △面积的最大值．1．【答案】（1）直线l 30y +-=，曲线C 的直角坐标方程()2224x y -+=；（2）3MA MB ⋅=．【解析】（1）直线l 的普通方程为33y x =-+，即330x y +-=，根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，cos x ρθ=，222x y ρ=+，而4cos ρθ=，则24cos ρρθ=，即()2224x y -+=，故直线l30y +-=，曲线C 的直角坐标方程()2224x y -+=．（2）点)M 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120︒，可设直线的参数方程为：12 x t y ⎧⎪⎪⎨=⎪⎪⎩=（t 为参数），代入到曲线C的方程得(2230t t ++-，122t t +，123t t =-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==，故3MA MB ⋅=．2．【答案】（1）40x y +-=，2C的参数方程为sin x y ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数）；（2）31,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧⎪⎪⎨=+=-⎪⎪⎩（t 为参数），消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+=，即2222sin 3ρρθ+=， 22223x y y ∴++=，即2213x y +=，2C ∴的参数方程为sin x y ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数）．（2）设曲线2C上动点为),sin Q ϕϕ，则点Q 到直线1C的距离：d = ∴当sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即π6ϕ=时，d，即PQ，3621s ππin 62x y ⎧==⎪⎪∴⎨⎪==⎪⎩，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭． 3．【答案】（1）π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）4．【解析】（1）可知曲线C的普通方程为(()2214x y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由（1）不妨设()1,M ρθ，22π,N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>，12112π8sin s ππin 4sin 242232π33MON S OM ON ρρθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==+++=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△，所以MON △面积的最大值为4．。

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