法拉第电磁感应定律 自感

法拉第电磁感应定律 自感一、法拉第电磁感应定律1.法拉第电磁感应定律 电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即t k E ∆∆Φ=，在国际单位制中可以证明其中的k =1，所以有t E ∆∆Φ=。

对于n 匝线圈有t n E ∆∆Φ=。

在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推出感应电动势的大小是：E=BLv sin α（α是B 与v 之间的夹角）。

【例1】如图所示，长L 1宽L 2的矩形线圈电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。

求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑪拉力F 大小； ⑫拉力的功率P ； ⑬拉力做的功W ； ⑭线圈中产生的电热Q ；⑮通过线圈某一截面的电荷量q 。

解：这是一道基本练习题，要注意要注意所用的边长究竟是L 1还是L 2 ，还应该思考一下所求的各物理量与速度v 之间有什么关系。

⑪v R v L B F BIL F R E I v BL E ∝=∴===22222,,, ⑫22222v Rv L B Fv P ∝== ⑬v Rv L L B FL W ∝==12221 ⑭v W Q ∝=⑮ Rt R E t I q ∆Φ==⋅=与v 无关 特别要注意电热Q 和电荷q 的区别，其中Rq ∆Φ=与速度无关！（这个结论以后经常会遇到）。

【例2】如图所示，竖直放置的U 形导轨宽为L ，上端串有电阻R （其余导体部分的电阻都忽略不计）。

磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。

金属棒ab 的质量为m ，与导轨接触良好，不计摩擦。

从静止释放后ab 保持水平而下滑。

试求ab 下滑的最大速度v m解：释放瞬间ab 只受重力，开始向下加速运动。

随着速度的增大，感应电动势E 、感应电流I 、安培力F 都随之增大，加速度随之减小。

当F 增大到F=mg 时，加速度变为零，这时ab 达到最大速度。

由mg Rv L B F m ==22，可得22L B mgR v m = 点评：这道题也是一个典型的习题。

要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。

达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。

这时重力的功率等于电功率也等于热功率。

进一步讨论：如果在该图上端电阻右边安一只电键，让ab 下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab 的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab 可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，但最终稳定后的速度总是一样的）。

【例3】 如图所示，U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的金属棒ab ，ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L 1、L 2，回路的总电阻为R 。

从t =0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B =kt ，（k >0）那么在t 为多大时，金属棒开始移动？ 解：由t E ∆∆Φ== kL 1L 2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL ∝B =kt ∝t ，随时间的增大，安培力将随之增大。

当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab 将开始向左移动。

这时有：2212211,L L k mgR t mg R L kL L kt μμ==⋅⋅ 2.转动产生的感应电动势⑪转动轴与磁感线平行。

如图磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外，长L 的金属棒oa 以o 为轴在该平面内以角速度ω逆时针匀速转动。

求金属棒中的感应电动势。

在用导线切割磁感线产生感应电动势的公式时注意其中的速度v 应该是平均速度，即金属棒中点的速度。

2212L B L BL E ωω=⋅= ⑫线圈的转动轴与磁感线垂直。

如图矩形线圈的长、宽分别为L 1、L 2，所围面积为S ，向右的匀强磁场的磁感应强度为B ，线圈绕图示的轴以角速度ω匀速转动。

线圈的ab 、cd 两边切割磁感线，产生的感应电动势相加可得E=BS ω。

如果线圈由n 匝导线绕制而成，则E=nBS ω。

从图示位置开始计时，则感应电动势的即时值为e=nBS ωcos ωt 。

该结论与线圈的形状和转动轴的具体ov位置无关（但是轴必须与B 垂直）。

实际上，这就是交流发电机发出的交流电的即时电动势公式。

【例4】 如图所示，xoy 坐标系y 轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度均为B ，一个围成四分之一圆形的导体环oab ，其圆心在原点o ，半径为R ，开始时在第一象限。

从t =0起绕o点以角速度ω逆时针匀速转动。

试画出环内感应电动势E 随时间t 而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。

解：开始的四分之一周期内，oa 、ob 中的感应电动势方向相同，大小应相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；第三个四分之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为零。

感应电动势的最大值为E m =BR 2ω，周期为T =2π/ω，图象如右。

3.电磁感应中的能量守恒只要有感应电流产生，电磁感应现象中总伴随着能量的转化。

电磁感应的题目往往与能量守恒的知识相结合。

这种综合是很重要的。

要牢固树立起能量守恒的思想。

【例5】 如图所示，矩形线圈abcd 质量为m ，宽为d ，在竖直平面内由静止自由下落。

其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d ，线圈ab 边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？解：ab 刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落2d 的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热Q =2mgd 。

【例6】如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。

同种合金做的导体棒ab 、cd 横截面积之比为2∶1，长度和导轨的宽均为L ，ab 的质量为m ，电阻为r ，开始时ab 、cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。

给ab 一个向右的瞬时冲量I ，在以后的运动中，cd 的最大速度v m 、最大加速度a m 、产生的电热各是多少？解：给ab 冲量后，ab 获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd 受安培力作用而加速，ab 受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。

所以开始时cd 的加速度最大，最终cd 的速度最大。

全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。

由于ab 、cd 横截面积之比为2∶1，所以电阻之比为1∶2，根据Q=I 2Rt ∝R ，所以cd 上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。

又根据已知得ab 的初速度为v 1=I/m ，因此有：2/,,2,1m F a BLI F r r E I BLv E m ==+== ，解得r m I L B a m 22232=。

最后的共同速度为v m =2I/3m ，b c系统动能损失为ΔE K =I 2/ 6m ，其中cd 上产生电热Q=I 2/ 9m二、感应电量的计算根据法拉第电磁感应定律，在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就会产生感应电流。

设在时间∆t 内通过导线截面的电量为q ，则根据电流定义式I q t =/∆及法拉第电磁感应定律t n E ∆∆Φ=/，得：Rn t t R n t R E t I q ∆Φ=∆⋅∆∆Φ=∆⋅=∆⋅= 如果闭合电路是一个单匝线圈（n =1），则q R =∆Φ. 上式中n 为线圈的匝数，∆Φ为磁通量的变化量，R 为闭合电路的总电阻。

可见，在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就会产生感应电流，在时间∆t 内通过导线截面的电量q 仅由线圈的匝数n 、磁通量的变化量∆Φ和闭合电路的电阻R 决定，与发生磁通量的变化量的时间无关。

因此，要快速求得通过导体横截面积的电量q ，关键是正确求得磁通量的变化量∆Φ。

磁通量的变化量∆Φ是指穿过某一面积末时刻的磁通量Φ2与穿过这一面积初时刻的磁通量Φ1之差，即∆ΦΦΦ=-21。

在计算∆Φ时，通常只取其绝对值，如果Φ2与Φ1反向，那么Φ2与Φ1的符号相反。

线圈在匀强磁场中转动，产生交变电流，在一个周期内穿过线圈的磁通量的变化量∆Φ=0，故通过线圈的电量q =0。

穿过闭合电路磁通量变化的形式一般有下列几种情况：（1）闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量S 不变，磁感应强度B 发生变化时，∆Φ∆=⋅B S ；（2）磁感应强度B 不变，闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量S 发生变化时，∆Φ∆=⋅B S ；（3）磁感应强度B 与闭合电路的面积在垂直于磁场方向的分量S 均发生变化时，∆ΦΦΦ=-21。

下面举例说明：【例7】如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置匀速拉出匀强磁场。

若第一次用0.3s 时间拉出，外力所做的功为W 1，通过导线截面的电量为q ；第二次用09.s 时间拉出，外力所做的功为W 2，通过导线截面的电量为q 2，则（ ）A. W W q q 1212<<，B. W W q q 1212<=，C. W W q q 1212>=，D. W W q q 1212>>， 解析：设线框长为L 1，宽为L 2，第一次拉出速度为V 1，第二次拉出速度为V 2，则V 1=3V 2。

匀速拉出磁场时，外力所做的功恰等于克服安培力所做的功，有R V L L B L L BI L F W /11222121111==⋅=，同理 R V L L B W /212222=，故W 1>W 2；又由于线框两次拉出过程中，磁通量的变化量相等，即∆Φ∆Φ12=，由q R =∆Φ/，得：q q 12=故正确答案为选项C 。

【例8】如图所示，空间存在垂直于纸面的均匀磁场，在半径为a 的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B 。

一半径为b ，电阻为R 的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。

当内、外磁场同时由B 均匀地减小到零的过程中，通过导线截面的电量q =____________。

解析：由题意知：ΦΦ122220=-=B b a π()，，∴=-=-∆ΦΦΦ21222πBb a ， 由q R q Bb a R==-∆Φ，π222 【例9】如图所示是一种测量通电螺线管中磁场的装置，把一个很小的测量线圈A 放在待测处，线圈与测量电量的冲击电流计G 串联，当用双刀双掷开关S 使螺线管的电流反向时，测量线圈中就产生感应电动势，从而引起电荷的迁移，由表G 测出电量Q ，就可以算出线圈所在处的磁感应强度B 。