(精编)实验数据正态分布方法与案例

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正态分布示范教案

正态分布示范教案第一章：正态分布的定义与特征1.1 引入：通过现实生活中的例子（如考试分数、人的身高等）引导学生了解正态分布的概念。

1.2 讲解正态分布的定义：一个连续型随机变量X服从正态分布，如果其概率密度函数为f(x) = (1/σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是分布的均值，σ是分布的标准差。

1.3 分析正态分布的特征：均值、标准差、对称性、拖尾现象等。

1.4 练习：让学生通过图表或计算器观察正态分布的特性。

第二章：正态分布的参数估计2.1 引入：讲解参数估计的概念，以及正态分布参数估计的重要性。

2.2 讲解均值和标准差的点估计：利用样本均值和样本标准差来估计总体均值和总体标准差。

2.3 讲解置信区间：以样本均值为例，讲解如何计算置信区间，并解释其含义。

2.4 练习：让学生运用给出的数据，计算正态分布的均值和标准差的点估计，以及置信区间。

第三章：正态分布的假设检验3.1 引入：讲解假设检验的概念，以及正态分布假设检验的应用。

3.2 讲解单样本Z检验：通过给出样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的单样本Z检验。

3.3 讲解两样本Z检验：通过给出两个样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的两样本Z检验。

3.4 练习：让学生运用给出的数据，进行正态分布的假设检验。

第四章：正态分布的应用4.1 引入：讲解正态分布在日常生活中的应用，如质量控制、医学等领域。

4.2 讲解正态分布的应用案例：如某产品的质量控制，如何利用正态分布进行控制限的确定。

4.3 讲解正态分布在其他领域的应用：如医学中正常值的判断、心理测量等。

4.4 练习：让学生通过实例，运用正态分布解决实际问题。

第五章：总结与拓展5.1 总结：回顾本章所讲内容，让学生掌握正态分布的定义、特征、参数估计和假设检验。

5.2 拓展：讲解其他连续型分布，如t分布、卡方分布等，以及它们与正态分布的关系。

5.3 练习：让学生运用所学的知识，解决更复杂的实际问题。

(精编)实验数据正态分布方法与案例

60
192
198
204
202
例2：两因素无交互作用
原料温度 B1
B2
A1 1313 1349
A2 1351 1356
A3 1379 1391
A4 1361 1352
B3 1373 1385 1394 1364
例3：两因素有交互作用
配方Ⅰ
甲
1320 1500
乙
1440 1560
丙
1400 1360
配方Ⅱ 1610 1730 1370 1430 1630 1710
配方Ⅰ 配方Ⅱ 配方Ⅲ
配方Ⅲ 1800 1700 1450 1570 1710 1610
统计过程控统计抽验
甲
1320 1500
1610 1730
1800 1700
乙
1440 1560
1370 1430
1450 1570
丙
1400 1360
1630 1710
1710 1610
测量分析
改进
否
接受？
是
统计过程控制与能力分析
改进
否
接受？
是
维持统计过程控制
否
持续改进？
是
一、概述
信息质量
持续改进过程质量
产品质量
事先预防
事后检验
二、正态分布 1、Excel两对正态函数 2、正态分布图形 3、过程变异情况图示 4、过程稳定与不稳定图示 5、重复测量与正态分布
三、方差分析（数据表）
例1：单因素方差风险
时间（分）
硬度
40
181
187
191
185
50
200
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正态分布课件

正态密度曲线
σ＝0.5
σ＝1
σ＝2
O μ一定
ｘ
正态曲线的性质
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交. (2)曲线关于直线x=μ对称.
σ＝0.5
σ＝1
σ＝2
(3)在x=μ时位于最高点.
O μ一定
ｘ
(4)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。
练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~(100, 52 )，据此估计，大约应有57人的分
数在下列哪个区间内？（ C）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ）
8 181.5~185.5 5
频率频率/组距
0.0595 0.0952 0.1190 0.1786 0.2143 0.1786 0.0952 0.0595
0.015 0.024 0.030 0.045 0.054 0.045 0.024 0.015
第三步：作出频率分布直方图
y
频率/组距
中间高，两头低，左右大致对称
上述数据的分布有怎样的特点？
频率分布直方图
第一步：分组
确定组数，组距？
第二步：列出频率分布表
区间号
1
区间
频数
153.5~157.5 5
2 157.5~161.5 8
3 161.5~165.5 10
4 165.5~169.5 15
5 169.5~173.5 18
6 173.5~1775 18

高考数学中的正态分布应用技巧

高考数学中的正态分布应用技巧在高考数学中，正态分布是一个非常重要的概率分布，因为许多实际问题都可以用正态分布来描述。

正态分布具有许多良好的特性，例如它的概率密度函数可以用一个简单的公式表示，且该密度函数是对称的，且呈钟形曲线。

因此，掌握正态分布的应用技巧是高考数学中的关键之一。

1. 正态分布的概率计算在高考数学中，我们通常需要在正态分布情况下计算一些概率，例如给定均值和标准差，找到某个值的概率，或者给定概率，找到对应的值。

为了计算这些概率，我们可以使用正态分布表，其中列出了在标准正态分布情况下的各种概率值。

例如，如果我们需要找到标准正态分布下z值为1.96的概率，则可以查找正态分布表，找到对应的值为0.9750。

这意味着从分布的左侧到z=1.96处的面积为0.9750。

同样，如果我们需要找到标准正态分布下，左侧面积为0.0250的z值，则可以查找正态分布表，找到对应的z值为-1.96。

2. 正态分布的近似计算虽然正态分布表可以计算出任意概率值，但是这种方法很难适用于一些较为复杂的计算问题。

因此，在高考数学中，我们通常需要使用正态分布的近似计算方法。

例如，如果我们需要计算某个正态分布的面积，而该分布的均值和标准差均未知，但是有足够数量的样本数据，则可以使用样本均值和样本标准差来进行计算。

这种方法被称为t分布，其形状类似于正态分布，但是适用于小样本的情况。

3. 正态分布的应用案例正态分布在高考数学中出现的应用案例非常广泛，以下是一些常见的例子：a. 考虑到某个申请大学的考试，假设分数服从正态分布，平均分是85，标准差是8，如果该大学只招收前10%的申请者，那么最低要求的分数是多少？解法：根据正态分布的性质，我们可以找到z值为1.28（约等于10%的面积）对应的原始分数，即：z=（x-85）/8，其中x为原始分数。

因此，我们可以解出x=95.04分。

因此，最低要求的分数是95分。

b. 假设某家公司生产的电子产品的电池寿命服从正态分布，均值为450小时，标准差为40小时。

(精编)实验数据正态分布方法与案例

配方Ⅰ 配方Ⅱ 配方Ⅲ
配方Ⅲ 1800 1700 1450 1570 1710 1610
统计过程控统计抽验
甲
1320 1500
1610 1730
1800 1700
乙
1440 1560
1370 1430
1450 1570
丙
1400 1360
1630 1710
1710 1610
测量分析
改进
否
接受？
一、概述
信息质量
持续改进过程质量
产品质量
事先预防
事后检验
二、正态分布 1、Excel两对正态函数 2、正态分布图形 3、过程变异情况图示 4、过程稳定与不稳定图示 5、重复测量与正态分布
三、方差分析（数据表）
例1：单因素方差风险
时间（分）
硬度
40
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198ห้องสมุดไป่ตู้
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202
例2：两因素无交互作用
原料温度 B1
B2
A1 1313 1349
A2 1351 1356
A3 1379 1391
A4 1361 1352
B3 1373 1385 1394 1364
例3：两因素有交互作用
配方Ⅰ
甲
1320 1500
乙
1440 1560
丙
1400 1360
配方Ⅱ 1610 1730 1370 1430 1630 1710
是
统计过程控制与能力分析
改进
否
接受？

正态分布分布ppt课件

通过样本数据可以估计总体的均值、方差等参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某个理论分布的差异，中心极限定理提供了理论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况，如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度确定t分布的临界值，进而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒绝域进行比较，若t统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是提出假设：设立原假设用于比较同一组受试者（H0）和备择假设在两个不同条件下的测（H1），原假设通常为量值是否存在显著差异两个测量值的均值相等。的统计方法。它基于正态分布假设和配对设计，通过计算t统计量来推断两个测量值的差异是否显著。
设立原假设（H0）和备择假设（H1），原假设通常为样本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样本均值-总体均值)/标准误，其中标准误=样本标准差/根号n。
根据显著性水平和自由度确定t分布的临界值，进而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒绝域进行比较，若t统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。

正态分布示范教案

正态分布示范教案第一章：正态分布的基本概念1.1 引入：通过引入日常生活中的例子，如考试成绩、身高、体重等，引导学生理解数据的分布规律。

1.2 定义：介绍正态分布的定义，解释均值、标准差等基本术语。

1.3 图形表示：教授如何绘制正态分布曲线，并解释曲线特点。

1.4 实例分析：分析一些实际数据集，让学生通过计算和绘图验证它们是否符合正态分布。

第二章：正态分布的性质2.1 引入：通过讲解正态分布的性质，使学生理解正态分布的重要性和广泛应用。

2.2 均值、中位数和众数：解释正态分布中均值、中位数和众数的关系，并通过实例进行说明。

2.3 概率密度函数：教授正态分布的概率密度函数公式，并解释其意义。

2.4 标准正态分布：介绍标准正态分布的概念，并解释其与普通正态分布的关系。

第三章：正态分布的应用3.1 引入：通过实际案例，让学生了解正态分布在实际问题中的应用。

3.2 假设检验：讲解如何使用正态分布进行假设检验，包括Z检验和t检验。

3.3 置信区间：教授如何计算正态分布数据的置信区间，并解释其含义。

3.4 数据分析：通过实际数据集，让学生运用正态分布进行数据分析，解决实际问题。

第四章：正态分布在实际领域的应用4.1 引入：通过讲解正态分布在不同领域的应用，让学生了解其广泛性。

4.2 医学领域：介绍正态分布在医学领域的应用，如疾病风险评估、药物剂量确定等。

4.3 工程领域：解释正态分布在工程领域的应用，如产品质量控制、可靠性分析等。

4.4 金融领域：讲解正态分布在金融领域的应用，如投资组合优化、风险管理等。

第五章：正态分布的扩展5.1 引入：引导学生思考正态分布的局限性，引出正态分布的扩展。

5.2 非正态分布：介绍一些常见的非正态分布，如泊松分布、二项分布等，并解释其特点。

5.3 转换方法：教授如何将非正态分布数据转换为正态分布，以及如何将正态分布数据转换为其他分布。

5.4 应用案例：通过实际案例，让学生了解在实际问题中如何灵活运用正态分布及其扩展。

正态分布检验方法及适用范围

正态分布检验方法及适用范围
正态分布在统计学中具有重要的地位，因为许多自然现象和社会现象都服从正态分布。

因此，对于一组数据，我们需要通过检验来确定它是否符合正态分布。

本文将介绍正态分布检验的方法及其适用范围。

一、正态分布检验的方法
1. 直方图法
通过绘制直方图来观察数据是否符合正态分布。

如果数据在均值附近呈现对称的钟形曲线，则表明数据符合正态分布。

2. Q-Q图法
Q-Q图是一种用于检验数据是否符合某种分布的图形方法。

通过将数据的样本值和理论分布的分位数对比，来判断数据是否符合正态分布。

3. Shapiro-Wilk检验法
Shapiro-Wilk检验法是一种基于样本数据的统计方法，它通过计算样本数据的统计量来确定数据是否符合正态分布。

如果计算得到的统计量小于某个临界值，则可以认为数据不符合正态分布。

二、正态分布检验的适用范围
1. 样本量较小的情况
当样本量较小时，通常使用Shapiro-Wilk检验法来判断数据是否符合正态分布。

因为在样本量较小的情况下，直方图和Q-Q图可能不够准确，需要使用严格的统计方法来确定数据是否符合正态分布。

2. 样本量较大的情况
当样本量较大时，可以使用直方图和Q-Q图来判断数据是否符合正态分布。

因为在样本量较大的情况下，直方图和Q-Q图可以更好地反映数据的分布情况，而且计算起来也比较简单。

3. 数据分布对结果影响较小的情况
对于一些不太敏感的数据分析问题，可以不必严格要求数据是否符合正态分布。

例如，对于某些简单的统计问题，如计算平均值和方差等，数据是否符合正态分布并不会对结果产生太大的影响。

正态分布详解(很详细)

f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
用求导的方法可以证明， x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。
根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。
回忆我们在本章第三讲中遇到过的年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。
定理1
设 X ~ N (, 2 ) ,则Y X ~N(0,1)
根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
四、正态分布表
书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
表中给的是x>0时, Φ(x)的值.
下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博
高尔顿钉板试验
平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。
高尔顿钉板试验
这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。
正态分布的定义是什么呢？
由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。
请看演示正态分布
二、正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置，决定了图形
P(|Y | 3 ) 0.9974

正态分布的性质及实际应用举例

华北水利水电学院正态分布的性质及实际应用举例课程名称：概率论与数理统计专业班级：电气工程及其自动化091班成员组成：姓名：邓旗学号： 201009102姓名：王宇翔学号：201009101姓名：陈涵学号：201009132联系方式：2012年5月24日1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。

2 研究问题及成果：2.1 正态分布性质；2.2 3原则及标准正态分布；2.3 实际应用举例说明摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。

正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。

在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。

铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。

在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。

在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。

在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。

总之。

正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。

本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。

关键词：正态分布The nature of the normal distribution and the example of practical applicationAbstract：the normal distribution is the probability distribution of one of the most important.Normal distribution concepts is Germany first proposed by mathematician and astronomer Moivre in 1733, but since Germany mathematician Gauss first applied in astronomy, so also call ed the Gaussian distribution of the normal distribution. In many practical problems encountered in the approximate normal distribution rand om variables are subject to, or: in production, product quality indicators, such as the life of the tube, the capacitance of capacitors, dimensions of the part. Phosphorus content in hot metal, textile fibers and strength are generally subject to the normal distribution. In surveying, geodesy, weighing scales objects, such as chemical analysis of some of the content of an element, General normal distribution measurement results. In biol ogy, a certain characteristic index of the same group, such as a certain age children's height, body weight, vital capacity, under certain conditions the yield of crops on the growth of General normal distribution. In meteorology, a place every July average temperature, average temperature and precipitation generally normal distribution. All in all. Normal distribution is widely present in natural phenomena, social phenomena, as well as the production, in the various fields of science and technol ogy.This articl e from the actual properties of the normal distribution apply to explore various aspects, such as for example a simple elaboration and, enable students to acquire knowledge have a better understanding.Key words：Normal distribution Practical application正态分布的性质及实际应用举例概率论在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来,被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。

统计学3正态分布及应用

u
X

1 u 2 2 (u) e 2
( X )
1 (u ) 2
e
u
u 2 2
dt ( X )
图3-5 标准正态分布及曲线下面积
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
23.0, 3
20
10 Std. De v = 6. 21 Me a n = 172. 2 0 153. 0 157. 0 161. 0 165. 0 169. 0 173. 0 177. 0 181. 0 185. 0 189. 0 N = 110. 00
X
图2.1 110名男大学生身高的频数分布
f (X ) 1.2
估计19岁男大学生身高在158.0cm以
下者占总数的百分比。
医学参考值范围 (Reference Value Range)
确定95%参考值范围示意图
医学参考值范围的制定
医学参考值范围的制定
界限范围（%）正态分布法百分位数法
双侧界限
90 95 99 90 95 99
X 1.64S
X 1.96S
数值变量资料的统计描述
Description of Numerical Variable
第四节
正态分布及应用
Normal Distribution
教学要求：
掌握：正态分布的应用
熟悉：正态曲线的面积的分布规律了解：正态分布的概念、特征
正态分布（normal distribution)
40 30
Thank you!
-5 2 .58 -4
1 .96 -3 -2 -1
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正态分布示范教案

正态分布示范教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】正态分布（1）教材分析正态分布在概率统计学中是一种很重要的分布. 一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述.要求同学们学会从离散到连续用函数的观点解决问题.课时分配本节内容用2课时的时间完成，第一课时主要讲解正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.3原则放在了第二课时.教学目标重点: 正态分布曲线的特点及其所表示的意义.难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义．知识点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.能力点：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解.教育点：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神.自主探究点：讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成.考试点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.易错易混点：求系数最大项时的约分化简.拓展点：引导发现法.教具准备电子白板，多媒体，高尔顿试验板课堂模式学案导学一、创设情境学生上台演示高尔顿板试验．模拟高尔顿板试验截图师生活动：创设情境，为导入新知做准备．学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．【设计意图】让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．二、探究新知1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图（如图1）．师生活动：引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率．【设计意图】通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．⑶随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线（如图2）．从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：()()()222,,,x x e x μσμσϕ--=∈-∞+∞ 师生活动：分析表达式特点：解析式中前有一个系数σπ21，后面是一个以e 为底数的指数形式，幂指数为222)(σμ--x ，解析式中含两个常数π和e ，还含有两个参数μ和σ，分别指总体随机变量的平均数和标准差，可用样本平均数和标准差去估计．【设计意图】该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观，学生更易理解正态曲线的来源．2．继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X 表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．提出问题：图3中阴影部分面积有什么意义？师生活动：引导学生得到：此时小球与底部接触时的坐标X 是一个连续型随机变量．启发学生回忆：频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是X 落在区间],(b a 的频率；再结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值，这样，概率与积分间就建立了一个等量关系．【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡．通过设疑，引起学生对问题的深入思考，加深对定积分几何意义的理解．直接问X 落在区间],(b a 上的概率，学生不容易反应过来，改为问面积的意义后，便于学生理解该问题．在前面分析的基础上，引出正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足：()()dx x b X a P ba σμϕ,⎰=≤＜，则称X 的分布为正态分布，常记作()2,σμN ．如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X ．师生活动：教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法．引导学生分析得，X 所落区间的端点能否取值，均不影响X 落在该区间内的概率．【设计意图】以旧引新，虽概念较抽象，但这样处理学生不会觉得太突兀，易于接受新知识．同时培养学生把前后知识联系起来进行思维的习惯．请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题，尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：1．小球落下的位置是随机的吗？2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里是什么影响了小球落下的位置3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗哪个小球对结果的影响大4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？师生活动：学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果：1．它是随机的．2．竖直落下．受众多次碰撞的影响．3．互不相干、不分主次．4．不能，具有偶然性．然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．教师列举实例分析，帮助学生更加透彻的理解．【设计意图】“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？”是本节课的难点，采用问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题，能有效突破难点．同时采用小组讨论的形式，加强学生的合作意识，同时培养他们的辩证观．通过举例，让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用．教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：第一组：固定σ的值，μ取三个不同的数（如图4）；第二组：固定μ的值，σ取三个不同的数（如图5）；师生活动：学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可得：当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x平移；当μ一定时，σ影响了曲线的形状．即：σ越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．【设计意图】针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．三、理解新知引导学生结合三幅图像（如图6）及高尔顿板试验，根据问题归纳正态曲线的性质：⑴曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；⑵曲线是单峰的，图像关于直线μ=x 对称；⑶曲线在μ=x 处达峰值σπ21；⑷曲线与x 轴之间的面积为1；⑸若σ固定, 随μ值的变化而沿x 轴平移, 故μ称为位置参数；⑹当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故σ称为形状参数.师生活动：引导学生联系三幅图像（如图6），结合高尔顿板试验思考以下问题：⑴曲线在坐标平面的什么位置？曲线为什么与x 轴不相交？⑵曲线有没有对称轴？⑶曲线有没有最高点坐标是⑷曲线与x 轴围成的面积是多少？⑸曲线的位置与参数μ有什么关系？⑹曲线的形状与参数σ有什么关系？【设计意图】该环节借助计算机模拟及高尔顿板试验试验结果呈现了教学中难以呈现的课程内容，能很好地锻炼学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想．四、运用新知例1.下列函数是正态密度函数的是（B ）22()2.(),,(0)xA f xμσμσσ--=>都是实数；22.()2xB f x eπ-=；2(1)4.()xC f x--=；22.()xD f x e=师生活动：学生通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态密度函数解析式的特点．例2.标准正态总体的函数为22(),(,).xf x x-=∈-∞+∞⑴证明()f x是偶函数；⑵求()f x的最大值；⑶利用指数函数的性质说明()f x的增减性．师生活动：学生结合函数知识自行解决问题．【设计意图】设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解．例3.把一条正态曲线a沿横轴向右平移2个单位,得到一条新的曲线b．下列说法中不正确的是(D)A. 曲线b仍然是正态曲线．B. 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相同．C. 以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2．D. 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2．师生活动：学生易分析知：正态曲线a经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值有关．故D选项的说法不正确．【设计意图】通过该例，深化学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解．例4.某校某次数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图7：图6⑴写出X 的正态密度函数；⑵若参加考试的共1200人（满分100分），你能估计及格人数吗？师生活动：学生通过观察图像，可知对称轴60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=x e x πϕσμ；第二问根据图像利用对称性知及格人数占总参考人数一半．【设计意图】通过一个贴近生活的实例，让学生体会到数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情．体现了数形结合的思想．练习：⒈判断正误：⑴正态密度曲线)(,x y σμϕ=关于直线0=x 对称．（×）⑵正态总体)43(,N 的标准差为4．（×）⑶正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0．（√）⑷若)3(~2σ,N X ，则=<)3(X P 31．（×）【设计意图】通过一组判断题，进一步加深学生对正态分布的认识．五、课堂小结1.知识归纳：正态密度曲线→正态分布的意义↓ ↓正态密度曲线特点正态分布的实例↓参数对正态曲线的影响2.思想方法：数形结合思想师生活动：教师引导学生从知识内容和思想方法两方面进行课堂小结．最后教师说明:正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中,我们研究它主要还是希望它能服务于我们的生活,那么它在实际中究竟有着怎样的妙用呢?我们下节课继续学习!【设计意图】通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,同时使学生自己内化知识，查漏补缺,使学生在认识上达到一个新的高度．（为了更好地突出本节课重点，同时更好地突破难点，考虑到本节课的课堂容量及学生的认知情况，σ3原则放在了第二课时．）六、布置作业1.（必做题）设随机变量X服从正态分布)9(-XXP,求c<cP)12(,(cN，若=>)1+的值并写出其正态密度函数解析式．2.（必做题）以学习小组（4人）为单位，搜集某项数据资料（如某年级学生的身高、体重等）．仿照课本的方法，研究该数据是否服从（或近似服从）正态分布？如果是，请估计参数μ的值．3.（选做题）在高尔顿板试验中，为什么落在中间球槽的小球最多？七、教后反思1.数学知识间存在着内在的本质联系，本教案的亮点是充分注意了新旧知识间的内在联系，这样有助于学生理解记忆前后所学知识，并将其融会贯通，从而更好地加以运用．2.本节课的弱项是应用课件进展速度太快，学生思维节奏有点赶不上思维进程.八、板书设计。

《正态分布》教案

《正态分布》教案一、教学目标1. 让学生理解正态分布的概念和特点。

2. 让学生掌握正态分布的图形绘制和参数计算。

3. 让学生能够应用正态分布解决实际问题。

二、教学内容1. 正态分布的定义和性质2. 正态分布的概率密度函数和累积分布函数3. 正态分布的参数估计和假设检验4. 正态分布的应用实例三、教学方法1. 采用讲授法讲解正态分布的基本概念和性质。

2. 采用案例分析法分析正态分布的实际应用。

3. 采用互动讨论法引导学生探讨正态分布的问题解决方法。

四、教学准备1. 正态分布的教学PPT2. 正态分布的案例资料3. 正态分布的计算软件或工具五、教学过程1. 导入：通过一个与生活相关的正态分布实例，如身高、体重等，引出正态分布的概念。

2. 讲解：讲解正态分布的定义、性质、概率密度函数和累积分布函数。

3. 案例分析：分析正态分布的实际应用，如医学、工程等领域。

4. 实践操作：引导学生使用计算软件或工具，绘制正态分布图形，计算相关参数。

5. 互动讨论：引导学生探讨正态分布的问题解决方法，如参数估计、假设检验等。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正态分布的重要性和应用价值。

7. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学内容。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对正态分布概念的理解程度。

2. 练习题：布置针对性的练习题，检查学生对正态分布知识的掌握情况。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解他们能否将正态分布应用于实际问题。

七、教学拓展1. 对比其他概率分布：介绍与正态分布相关的其他概率分布，如二项分布、Poisson分布等，让学生了解它们的异同。

2. 正态分布的近似：讲解正态分布的近似方法，如68-95-99.7规则，让学生了解如何快速判断正态分布的数据范围。

八、教学难点与解决策略1. 正态分布的图形绘制和参数计算：通过示例和软件工具，让学生直观地理解正态分布的图形和参数。

2. 正态分布的假设检验：通过实际案例，讲解正态分布的假设检验方法，让学生掌握如何应用。

正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2，解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

正态分布示范教案

2.4正态分布（1）教材分析正态分布在概率统计学中是一种很重要的分布. 一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述.要求同学们学会从离散到连续用函数的观点解决问题.课时分配3原则放在了本节内容用2课时的时间完成，第一课时主要讲解正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.第二课时.教学目标重点: 正态分布曲线的特点及其所表示的意义.难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义．知识点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.能力点：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解.教育点：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神.自主探究点：讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成.考试点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.易错易混点：求系数最大项时的约分化简.拓展点：引导发现法.教具准备电子白板，多媒体，高尔顿试验板课堂模式学案导学一、创设情境学生上台演示高尔顿板试验．模拟高尔顿板试验截图师生活动：创设情境，为导入新知做准备．学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．【设计意图】让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．二、探究新知1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律． ⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图（如图1）．师生活动：引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率．【设计意图】通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．⑶随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线（如图2）．从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：()()()222,,,x x e x μσμσϕ--=∈-∞+∞师生活动：分析表达式特点：解析式中前有一个系数σπ21，后面是一个以e 为底数的指数形式，幂指数为222)(σμ--x ，解析式中含两个常数π和e ，还含有两个参数μ和σ，分别指总体随机变量的平均数和标准差，可用样本平均数和标准差去估计．【设计意图】该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观，学生更易理解正态曲线的来源．2．继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X 表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．提出问题：图3中阴影部分面积有什么意义？师生活动：引导学生得到：此时小球与底部接触时的坐标X 是一个连续型随机变量．启发学生回忆：频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是X 落在区间],(b a 的频率；再结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值，这样，概率与积分间就建立了一个等量关系．【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡．通过设疑，引起学生对问题的深入思考，加深对定积分几何意义的理解．直接问X 落在区间],(b a 上的概率，学生不容易反应过来，改为问面积的意义后，便于学生理解该问题．在前面分析的基础上，引出正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足：()()dx x b X a P b a σμϕ,⎰=≤＜，则称X 的分布为正态分布，常记作()2,σμN ．如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X ．师生活动：教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法．引导学生分析得，X 所落区间的端点能否取值，均不影响X 落在该区间内的概率．【设计意图】以旧引新，虽概念较抽象，但这样处理学生不会觉得太突兀，易于接受新知识．同时培养学生把前后知识联系起来进行思维的习惯．请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题，尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征： 1．小球落下的位置是随机的吗？2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里？是什么影响了小球落下的位置？ 3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗？哪个小球对结果的影响大？ 4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？师生活动：学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果： 1．它是随机的．2．竖直落下．受众多次碰撞的影响． 3．互不相干、不分主次． 4．不能，具有偶然性．然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．教师列举实例分析，帮助学生更加透彻的理解．【设计意图】“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？”是本节课的难点，采用问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题，能有效突破难点．同时采用小组讨论的形式，加强学生的合作意识，同时培养他们的辩证观．通过举例，让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用．教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：第一组：固定σ的值，μ取三个不同的数（如图4）；第二组：固定μ的值，σ取三个不同的数（如图5）；师生活动：学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可得：当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x 平移；当μ一定时，σ影响了曲线的形状．即：σ越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．【设计意图】针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．三、理解新知引导学生结合三幅图像（如图6）及高尔顿板试验，根据问题归纳正态曲线的性质： ⑴曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交； ⑵曲线是单峰的，图像关于直线μ=x 对称； ⑶曲线在μ=x 处达峰值σπ21；⑷曲线与x 轴之间的面积为1；⑸若σ固定, 随μ值的变化而沿x 轴平移, 故μ称为位置参数；⑹当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故σ称为形状参数.师生活动：引导学生联系三幅图像（如图6），结合高尔顿板试验思考以下问题： ⑴曲线在坐标平面的什么位置？曲线为什么与x 轴不相交？ ⑵曲线有没有对称轴？⑶曲线有没有最高点？坐标是？ ⑷曲线与x 轴围成的面积是多少？ ⑸曲线的位置与参数μ有什么关系？ ⑹曲线的形状与参数σ有什么关系？【设计意图】该环节借助计算机模拟及高尔顿板试验试验结果呈现了教学中难以呈现的课程内容，能很好地锻炼学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想．四、运用新知例1.下列函数是正态密度函数的是（B ）图622()2.(),,(0)x A f x μσμσσ--=>都是实数；22.()2x B f x e π-=；2(1)4.()x C f x --=；22.()x D f x e =师生活动：学生通过观察解析式的结构特征可知只有B 选项符合正态密度函数解析式的特点．例2.标准正态总体的函数为22(),(,).x f x x -=∈-∞+∞⑴证明()f x 是偶函数；⑵求()f x 的最大值； ⑶利用指数函数的性质说明()f x 的增减性．师生活动：学生结合函数知识自行解决问题．【设计意图】设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解．例3.把一条正态曲线a 沿横轴向右平移2个单位,得到一条新的曲线b ．下列说法中不正确的是(D )A . 曲线b 仍然是正态曲线．B . 曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相同．C . 以曲线b 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a 为概率密度曲线的总体的均值大2．D . 以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2．师生活动：学生易分析知：正态曲线a 经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值有关．故D 选项的说法不正确．【设计意图】通过该例，深化学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解．例4.某校某次数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图7： ⑴写出X 的正态密度函数；⑵若参加考试的共1200人（满分100分），你能估计及格人数吗？师生活动：学生通过观察图像，可知对称轴60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=x ex πϕσμ；第二问根据图像利用对称性知及格人数占总参考人数一半．【设计意图】通过一个贴近生活的实例，让学生体会到数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情．体现了数形结合的思想．练习：⒈判断正误：⑴正态密度曲线)(,x y σμϕ=关于直线0=x对称．（×）⑵正态总体)43(,N 的标准差为4．（×） ⑶正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0．（√） ⑷若)3(~2σ,N X ，则=<)3(XP 31．（×）【设计意图】通过一组判断题，进一步加深学生对正态分布的认识．五、课堂小结1.知识归纳：正态密度曲线→正态分布的意义↓ ↓正态密度曲线特点正态分布的实例↓参数对正态曲线的影响 2.思想方法：数形结合思想师生活动：教师引导学生从知识内容和思想方法两方面进行课堂小结．最后教师说明:正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中,我们研究它主要还是希望它能服务于我们的生活,那么它在实际中究竟有着怎样的妙用呢?我们下节课继续学习!【设计意图】通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,同时使学生自己内化知识，查漏补缺,使学生在认识上达到一个新的高度．（为了更好地突出本节课重点，同时更好地突破难点，考虑到本节课的课堂容量及学生的认知情况，σ3原则放在了第二课时．）六、布置作业1.（必做题）设随机变量X 服从正态分布)92(,N ，若=+>)1(c X P )1(-<c X P ,求c 的值并写出其正态密度函数解析式．2.（必做题）以学习小组（4人）为单位，搜集某项数据资料（如某年级学生的身高、体重等）．仿照课本的方法，研究该数据是否服从（或近似服从）正态分布？如果是，请估计参数μ的值． 3.（选做题）在高尔顿板试验中，为什么落在中间球槽的小球最多？七、教后反思1.数学知识间存在着内在的本质联系，本教案的亮点是充分注意了新旧知识间的内在联系，这样有助于学生理解记忆前后所学知识，并将其融会贯通，从而更好地加以运用．2.本节课的弱项是应用课件进展速度太快，学生思维节奏有点赶不上思维进程.八、板书设计。

正态分布生活实例

正态分布生活实例某大学九班有100位学生，其中70%的学生身高在160cm至170cm之间，身高低于160cm或高于170cm的学生占30%。

这个班级的身高分布可以用正态分布描述。

小明是这个班级的一名学生，身高为175cm。

他发现他的身高比班级大多数同学要高，但不知道具体有多少人的身高比他低。

于是他利用班级身高分布的正态分布特征，进行了计算。

根据正态分布的性质，小明可以通过计算标准差找出与他身高相近的学生人数。

假设这个班级的身高分布的均值为165cm，标准差为5cm。

小明知道，根据正态分布的规律，约有68%的学生身高在均值加减一个标准差范围内。

也就是说，大约有68%的学生身高在160cm至170cm之间。

而小明的身高处于这个范围之外。

他和其他32%的学生一起构成了另一部分正态分布的尾部，也就是身高低于160cm或高于170cm的学生。

但小明想要确定具体有多少人的身高比他低，他需要计算出标准差的相对位置。

小明的身高距离均值的差距为175cm-165cm=10cm。

接下来，他需要计算这个差距相对于标准差的倍数。

计算公式为：差距倍数 = 差距 / 标准差差距倍数 = 10cm / 5cm = 2根据正态分布的性质，差距倍数为2的区域内有95%的数据。

也就是说，大约有95%的学生的身高低于小明的身高。

小明可以通过计算人数比例来确定具体有多少人的身高比他低。

根据正态分布的性质，差距倍数为2的区域内有95%的数据，而差距倍数为2之外的区域的数据占据了剩余的5%。

他可以估计，在班级的学生中，有5%的学生的身高高于他。

通过以上分析，小明可以得到结论：在他的班级中，大约有5%的学生的身高比他低。

这个实例展示了正态分布的应用。

通过了解正态分布的性质，我们可以利用正态分布来分析和估计不同情况下的数据分布和相对位置，从而得出一些有用的信息。

试验数据的正态性检验、数据的转换及卡方检验

试验数据的正态检验、数据的转换和卡方检验目录一、符合正态分布的例子 (1)二、不符合正态分布的例子 (6)三、不符合正态分布数据的转换及转换后数据的方差分析 (11)四、次数分布资料的卡方检验 (14)在对试验数据进行方差分析前，应对数据的三性（即同质性、独立性和正态性）进行检验。

本文介绍对资料的正态性进行检验的方法，主要介绍3种检验方法：（1）频数检验——作频率分布图、看偏度系数和峰度系数，（2）作Q-Q图检验，（3）非参数检验——单个样本K-S检验。

下面以两个试验数据为例，例1为84头育肥猪的体重数据，通常符合正态分布。

例2为生长育肥猪7个试验处理组的腹泻率（百分数资料）统计结果，这类资料往往不符合正态，而大多数人以为是符合正态分布，进行方差分析的，因而不能得出正确的结论，却可能得出错误结论。

一、符合正态分布的例子【例1】 84头生长育肥猪的“体重”数据如表1-1，检验该数据是否呈正态分布。

表1-1 84头育肥猪的“体重”数据（排序后）检验方法一：频数检验——作频率分布图、看偏度系数和峰度系数步骤1：数据录入SPSS中，如图1-1。

图1-1 体重数据录入SPSS中步骤2：在SPSS里执行“分析—>描述统计—>频率”，然后弹出“频率”对话框（图1-2a），变量选择“体重”；再点右边的“统计量”按钮，弹出图“频率：统计量”对话框（图1-2b），选择“偏度”和“丰度”（图1-2b）；再点右边的“图表”按钮，弹出图“频率：图表”对话框（图1-2c），选择“直方图”，并选中“在直方图显示正态曲线”图1-2a “频率”对话框图1-2b “频率:统计量”对话框图1-2c “频率:图表”对话框设置完后点“确定”后，就会出来一系列结果，包括2个表格和一个图，我们先来看看“统计量”表，如下：统计量体重N 有效84缺失0偏度.040偏度的标准误.263峰度-.202峰度的标准误.520偏度系数=0.040，峰度系数-0.202；两个系数都小于1，可认为近似于正态分布。