第六章 习题课

或
dy = h( x) g ( y ) dx M 1 ( x) N 2 ( y )dx + M 2 ( x) N1 ( y )dy = 0
解法： 解法：分离变量法
（2）齐次（型）方程 ）齐次（
dy y dx x = ϕ( ) 或 = ϕ( ) y dx x dy y x = u 或令 =u 解法： 解法：令 y x
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6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 ρ, 此时链条受力 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段
o x x
第六章习题课
本章内容： 基本概念与理论；微分方程的解法； 微分方程的应用 本课重点： 微分方程的解法
一、主要概念： 主要概念： 微分方程； 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的阶；
通解；特解）； 微分方程的解 （通解；特解）； 初始条件 二、解法：由 微分方程的类型决定 解法： 1、一阶 微分方程 、 1） （1）可分离变量的 微分方程
y "+ py '+ qy = eλ x [ Pl ( x)cos ω x + Pn ( x)sin ω x]
(1) (2) y ∗ = x k eλ x [ Rm ( x)cos ω x + Rm ( x)sin ω x]
0, λ + iω不是特征方程的根 k = 1, λ + iω是特征方程的单根
化为可分离变量的微分方程 3） （3）一阶线性微分方程
dy + P( x) y = Q( x) 或 dx
dx + P( y ) x = Q( y ) dy
解法：常数变易法；利用通解公式： 解法：常数变易法；利用通解公式：
y=e ∫
− P ( x ) dx
∫ P ( x ) dx dx + c) ( ∫ Q ( x )e
∂P ∂Q = ∂y ∂x
u ( x, y ) = ∫
( x, y )
( x0 , y0
Pdx + Qdy 通解：u ( x, y ) = c ； 凑微分法 通解： )
2 、二阶线性微分方程 （1）解的结构 ）
y"+ P( x) y '+Q( x) y = 0 通解 ： y = c1 y1 + c2 y2
当 x = 20 m 时, (s)
思考: 思考 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的 数学模型是什么 ?
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练习
1、用待定系数法求微分方程y ''− 2 y ' = xe x的特解时，应设y* = _________
2、通解为y = c1e x + c2 e − x的微分方程是（） A, y ''+ y = 0 C、y ''+ y = 0 B、y ''− y = 0 D、y ''− y ' = 0
分析：按框图所叙述的方法和思路， 分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常 见的已知类型的方程，即按通常的想法 见的已知类型的方程，即按通常的想法——将 x 当作自变 将
dy 1+ y =− 量，则方程为非线性方程 2 3。 dx x+ y + y
当作因变量， 但若将 y 当作因变量，即将方程改写为
m = max {l , n}
三、典型例题
1、 求微分方程 y′ = 1 + x + y 2 + xy 2 的通解 .
解：原方程等价于
y′ = (1 + x)(1 + y 2 ) ,
分离变量
dy = (1 + x)dx . 2 1+ y
x2 arctgy = x + + c , 2
积分得
1 即 y = tg ( x 2 + x + c) . 2
y '+ P ( x) y = Q ( x) y n , (n ≠ 0,1) （4）伯努利方程： ）伯努利方程： z = y1−n 解法： 解法： 令
化为一阶 线性微分方程
（5）全微分方程： P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0 ）全微分方程： 解法： 解法： 利用曲线积分与路径无关求
x
′ f ′(x) + f (x) = −sin x
f (0) = 0,
f ′(0) =1
5. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? ( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 提示: 设每分钟应输入 提示 t 时刻车间空气中含 的改变量为 则在 [t , t +∆t ]内车间内 0.04 x ∆t −k ⋅ ∆t ∆x = k ⋅ 100 5400 得微分方程
dx x + y2 + y3 x =− =− − y2 dy 1+ y 1+ y
此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。 此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。
解：因为
dy 1+ y =− dx x + y2 + y3
dx 1 所以 x = − y 2 为一阶线性微分方程 + dy 1 + y
其中 y1,y2 是方程的两个线性无关的解
y"+ P ( x) y '+Q( x) y = f ( x)
通解： 通解： y = Y + y
∗
∗
y 其中Y 是对应齐次方程的通解， 其中 是对应齐次方程的通解， 是其本身的一个特解
y1,y2,y3 是 y"+ P ( x ) y '+Q ( x ) y = R ( x ) 的三个线性无关的特解，则方程的通解为 的三个线性无关的特解，
αx r1, 2 = α ± iβ 为复根，方程通解为 y = e (c1 cos βx + c2 sin βx) 为复根，
非齐次方程 方程通解为
∗ k
y"+ py '+ qy = Pm ( x)eλx
y = Y + y∗ ,
λx
y∗
的求法： 的求法：待定系数法
y = x Qm ( x)e
0, λ 不是 特征方程的根 k = 1, λ 是 特征方程的单根 2, λ 是 特征方程的重根
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初始条件
解定解问题
dx k k + x= dt 5400 2500
x t = 0 = 0.12×54
得 k=?
0.06 ×5400= 0.06×54 t = 30 时 x = 100 k =180ln4 ≈ 250
3 m 新鲜空气 . 因此每分钟应至少输入 250
y = y1 + c1 ( y2 − y1 ) + c2 ( y3 − y1 )
通解： y"+ P ( x) y '+Q( x) y = f1 ( x) + f 2 ( x) 通解：
∗ ∗ y = Y + ( y1 + y2 )
（2）二阶常系数线性微分方程的解法 ） 齐次方程
y"+ py '+ qy = 0
−∫2d x
∫2dx dx +C ] [ ∫4e ⋅e
2x
= e−2x[ ∫4e4x d x +C ]
=e2x +C −2x e 将F(0) = f (0)g(0) = 0 代 上 ， C = −1 入 式 得
于是
F(x) = e −e
2x
−2x
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3、 、
的通解. 求微分方程 (1 + y )dx + ( x + y 2 + y 3 )dy = 0 的通解
2、 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 、 内满足以下条件: f ′(x) = g(x), g′(x) = f (x), 且f (0) = 0,
f (x) + g(x) = 2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) Q F′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
由公式得原方程的通解为
x=e
−
∫
1 dy 1+ y
[∫ − y e
2
∫
1 dy 1+ y
dy + C ]
1 = [ ∫ − y 2 (1 + y )dy + C ] 1+ y
1 y3 y4 (− = − + C) 1+ y 3 4
4、 、
且满足方程
f (x) =sin x −∫
求 f (x) .
x (x −t) f (t)dt 0
(03考研)
= g (x) + f (x)
2 2
=[g(x) + f (x)] −2 f (x)g(x)
2
=(2e ) −2F(x)
x 2
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: