2020届吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校第六十八届高三上学期期末联考数学(理)试题

2020届吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校第六十八届高三上学期期末联考数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{|,A x x Z =∈且32Z x ⎫∈⎬-⎭，则集合A 中的元素个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l ”是“l m 且ln ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4512a a +=，则8S 等于（ ） A ．18 B ．36 C ．48 D ．724．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．22=14y x - B ．22=14x y - C ．22=14y x - D ．22=14x y - 5．若平面向量b 与向量(2,1)a =平行，且25b =，则b =（ ）A ．(4,2)B ．(4,2)--C ．(4,2)或(4,2)--D ．(6,3)-6．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ）A ．9-B ．12C ．12-D ．97．从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）A ．23B ．35 C ．12 D ．25 8．将函数y =sin (x −π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A ．y =sin 12xB ．y =sin (12x −π2)C ．y =sin (12x −π6)D ．y =sin (2x −π6) 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．2B ．52C ．2D ．110．四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．1211．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若121290,2,3PF F F PF c S ︒∠===△，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）A ．2π B ．4π C ．3π D ．6π 12．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有'()()?tan f x f x x >成立.则有（ ）A ()()43f ππ> B ()2cos1(1)6f π>⋅C ．2()()46f ππ< D ()()63f ππ<第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.14．设S n 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-,则63S S =________. 15．抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为______. 16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.三、解答题 17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,ab c ，且cos b A c =． （1）求B ；（2）若c =cos 10A =，求ABC 的面积． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)n n S na n n =+-（其中2n ≥），且5a 是2a 和6a 的等比中项.（1）证明：数列{}n a 是等差数列并求其通项公式；119．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．20．某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数y 与仰卧起坐个数x 之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50x x y x x ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算a 值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率；②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程；222B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.22．：已知二次函数2()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行． （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间与极值．参考答案1．D【解析】【分析】根据整数与整除的方法枚举即可.【详解】因为32Zx∈-,故23,1,1,3x-=--,即5,3,1,1x=-共四种情况.故集合A中元素个数为4.故选：D【点睛】本题主要考查了利用整除求解集合中元素的个数问题.属于基础题.2．A【解析】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“l m且ln”，反之若“l m且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“l m且ln”的充分不必要条件，选A．3．C【解析】【分析】根据等差数列的性质与求和公式求解即可.【详解】因为等差数列{}n a的前n项和为n S,故()()1884584482a aS a a+==+=.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的等和性与求和公式,属于基础题. 4．C【解析】试题分析：焦点在y轴上的是C和D，渐近线方程为ay xb=±，故选C．考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．C【解析】【分析】 求得a 后根据平行向量满足b a λ=求解即可.【详解】由题221a =+=又25b =且平面向量b 与向量a 平行.故2b a =±,即(4,2)b =或(4,2)--.故选：C【点睛】本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.6．B【解析】【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案.【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k+=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7．D【解析】【分析】先求出基本事件总数n ，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m ，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n ＝55A ＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1424C A ＝48， ∴这个五位数是偶数的概率p ＝m 4821205n ==． 故选：D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.8．C【解析】【分析】【详解】将函数y=sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －π3)，再向左平移π3个单位得到的解析式为y=sin(12（x+π3）－π3)= y=sin(12x －π6)，故选C9．C【解析】【分析】由三视图确定该几何体的直观图，利用三角形面积公式、正方形面积公式得出该几何体表面积．【详解】由题意该几何体的直观图是一个四棱锥构成，如下图所示，则该几何体的表面积为DBC、DCC、DB C、DBB、正方形BCC B''的面积之和，即该几何体表面积为1121111221=22 22故选C.【点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.10．C【解析】【分析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，可得PA的值.【详解】解：连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE ∥PA,OE⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得12R PC ==34932ππ⋅=， 解得PA=1, 故选C. 【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键. 11．C 【解析】 【分析】根据双曲线焦点三角形的面积公式求得b ,再根据2c =求得a ,进而求得渐近线的斜率与夹角即可. 【详解】由双曲线焦点三角形的面积公式有212123tan2PF F b S F PF ==∠△得23b =故2221a c b =-=.故渐近线的斜率b k a=±=故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为3π与23π.故双曲线的两条渐近线的夹角为3π. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的焦点三角形面积公式与渐近线的倾斜角与斜率的关系.属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】 ：先构造()()'·tan y fx f x x =-的原函数()y f x cosx =，由此题意，得出原函数()f x cosx 单增函数，由此判断函数值的大小．【详解】：先构造()()'·tan y fx f x x =-的原函数，因为x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cosx >，那么在不等式的两边同时乘以cosx 不等号不变，()()()()()'cosx cosx '0f x f x tanx f x f x sinx f x cosx ⎡⎤-=-=>⎣⎦'（），所以原函数()()g x f x cosx =单增函数，由此()g g g 1g 643πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，g 626f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g 424f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1g 323f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()g 111f cos =，所以1g g 43242343f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 错 ()()()g g 1112cos11666f cos f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒<⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 错g g 26426446f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎛⎫<⇒⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎝⎭，所以C 错 故选D ． 【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解． 13．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当6x π=时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，111261,34A T πππ-===，所以2ω=，当6x π=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6f x x π=+. 点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果. 14．12【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式求得3q ，再运用等比数列的前n 项和公式，表示()3631S S q =+，可得值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则36312a q a ==-,又()()()()61363331111111a q S a q qSq q q-+=--==+-，所以363111122S q S =+=-=, 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前n 和公式，注意在运用公式时应用整体代入法，属于基础题. 15． 【解析】 【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M 纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M 到坐标原点的距离即可. 【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=，可得OM ==故答案为 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题． 16．6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力. 17．（1）4π；（2）2 【解析】分析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理的推论可把cos b A c = 边化成角得sin cos sin B A C A =，用诱导公式变形为sin cos sin()B A A B A =+，再用两角和的正弦公式变形化简可得cos sin 02B A A -=，化简可得cos 2B =，进而求得4B π=．（2）由(1)的结论4B π=和条件10c A ==，要求三角形的面积，应先求一条边．所以应由正弦定理求一条边．先由cos 10A =，(0,)2A π∈ ，求得sin10A===．再由sin sin()C A B=+和两角和的正弦公式求得4 sin sin()sin cos cos sin=+1021025C A B A B A B=+=+⨯．再由正弦定理可得sin254sin5c BbC===．进而用三角形的面积公式可得11sin5222ABCS bc A∆==⨯⨯=．详解：(1)在ABC∆中，因为cos2b Ac a=-，所以sin cos sin2B AC A=-．所以sin cos sin()2B A A B A=+-，化简可得cos sin02B A A-=．因为sin0A≠，所以cos B=．因为(0,)2Bπ∈，所以4Bπ=．（2）因为cos A=，(0,)2Aπ∈，所以sin10A===．因为4Bπ=所以4 sin sin()sin cos cos sin=+1021025C A B A B A B=+=+⨯在ABC ∆中，由正弦定理可得sin 254sin 5c Bb C=== ．所以11sin 522210ABC S bc A ∆==⨯⨯= ABC ∆的面积为2.点睛：（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积；（2）知ABC ∆的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；18．（1）证明见解析，132n a n =-；（2）n T =12122nn-.【解析】 【分析】(1)根据通项n a 与前n 项和n S 的关系求出关于n a 的递推公式,再根据5a 是2a 和6a 的等比中项利用基本量法求解首项即可.(2)根据(1)中可得132n a n =-,再根据裂项相消求和即可. 【详解】（1）由(1)n n S na n n =+-得11(1)(1)n n S n a n n ++=+++, 所以11(1)2n n n n S S n a na n ++-=+-+,又11n n n S S a ++-= 所以12n n na na n +=+,故12n n a a +-=-.故数列{}n a 是公差为2-的等差数列,且5a 是2a 和6a 的等比中项,即2526a a a =,得()()()21118210a a a -=--,解得111a =,所以132n a n =-. （2）由题得111112132112n n n b a a n n +⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭, 121111111211997132112n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11121111212122n n n⎛⎫=--= ⎪--⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了根据通项与前n 项和的关系证明等差数列的方法,同时也考查了等比中项的运用与裂项相消的求和方法.属于中档题. 19．（1）见解析；（2）17- 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO ⊥BD ，而正方形中AC ⊥BD ，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦． 【详解】（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥ ∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD ABCD ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=, 又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD =====如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()0,0,0,,,0,,22A B C D P ⎛ ⎝ 设面PBC 法向量为()1,,n x y z =，()20,22,0,22BC CP ⎛==-- ⎝1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴22022x y ⎧=+-=⎪⎩， 1,0,z y x ===令则∴()16,0,1n =同理PCD 面的法向量()20,n =，1212121cos ,7n n n n n n ⋅== ∴求二面角B PC D --的余弦值17- 【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．20．（1）0.03a =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得a ；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望． 【详解】（1）0.010.010.05)101,0.03a a +++⨯=∴=（ （2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=（6分）②(0)0.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，(60)P δ=0.30.10.30.10.10.30.333+⨯+⨯⨯=， (100)10.0010.3330.5550.111P δ==---=，分布列如下：数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键.21．（1）2212x y +=；（2）以AB 为直径的圆过定点(0,0).【解析】 【分析】(1)根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线l 与圆222:3M x y +=相切得出,k m 的关系式,代入证明0OA OB ⋅=即可. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率e =,所以c a =,即a =.因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点,所以a =所以1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为y kx m =+.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()222214220k x kmx m +++-=, 所以设()()1122,,,A x y B x y ,则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 所以221212232221m k OA OB x x y y k --⋅=+=+.① 因为直线l 和圆M 相切,所以圆心到直线l的距离3d ==, 整理,得()22213m k =+,② 将②代入①,得0OA OB ⋅=,显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知,以AB 为直径的圆过定点(0,0). 【点睛】本题主要考查了抛物线与椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆方程利用韦达定理与向量的数量积证明圆过定点的问题等.属于难题.22．（1）2()23f x x x =--（2）见解析【解析】 【分析】 【详解】解：（1）由2()3f x ax bx =+-，可得()2f x ax b =+'．由题设可得(1)0,{(0) 2.f f ''==-即20,{ 2.a b b +==- 解得1a =，2b =-．所以2()23f x x x =--．（2）由题意得32()()42g x xf x x x x x =+=-+，。