几何概型及随机模拟

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高考数学考点一遍过专题52 几何概型理-人教版高三全册数学试题

专题52 几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.一、几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3．几何概型的概率计算公式() P AA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．必记结论（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的几何概型.二、随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个X围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率()n Mf AN作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.考向一与长度有关的几何概型求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A的概率.典例1某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A．12B．13C．23D．35【答案】A故所求概率为201402=,选A ．典例2 在区间[]0,2上随机抽取一个数x ,则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】A【解析】区间[]0,2的长度为2, 由1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭可得302x ≤≤, 所以所求事件的概率为P =33224-=.1．公共汽车在7:00到7:20内随机到达某站,李老师从家里赶往学校上班,7:15到达该站,则她能等到公共汽车的概率为A ．13B ．23 C ．14D ．342．在长度为10的线段AB 上任取一点C (不同于A ,B ),则以AC ,BC 为半径的圆的面积之和小于58π的概率为A ．B ．C ．D ．考向二与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.典例3 在如图所示的扇形AOB中,∠AOB=,半圆C切AO于点D,与圆弧AB切于点B,若随机向扇形AOB内投一点,则该点落在半圆C外的概率为A．B．C．D．【答案】A则所求概率P=1-SS=1-,故选A．典例4 如图,已知A(a,0)(a>0),B是函数f(x)=2x2图象上的一点,C(0,2),若在矩形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为________.【答案】3．圆O 内有一内接正三角形,向圆O 内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为 A 33B ．3C ．33．34．已知1Ω是集合()22{,|1}x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){,|1}x y x y +≤所表示的区域，向区域1Ω内随机地投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为________.考向三与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是A．512B．23C．127D．425【答案】C5．如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食落在圆锥外面”的概率是A．π14B．π12C．π4D．π112-考向四随机模拟的应用利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()AP A=随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()随机取点构的成事全部件的区结果构成的区域面积域面积AP A=列等式求解.典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶3,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(3≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C6．如图,在一不规则区域内,有一边长为1 m 的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375,以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为A ．83 m 2 B ．2 m 2C ．38m 2 D ．3 m 21．在[]0,π内任取一个实数x ，则1sin 2x ≤的概率为 A ．2 3B ．1 2C ．13D ．1 42．若任取[]0,1、x y ∈,则点(),P x y 满足y x >的概率为A ．23B ．13 C ．12D ．343．在区间[]0,4上随机地选择一个数,p 则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为A ．13B ．23 C ．12D ．144．在直角坐标系中,任取n 个满足x 2+y 2≤1的点(x ,y ),其中满足|x|+|y|≤1的点有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4m n B ．4nmC ．2m n D ．2nm5．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为 A ．127B ．116C ．38D ．8276．如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,以A 为圆心、1为半径作圆弧DE ,点E 在线段AB 上,在圆弧DE 上任取一点P ,则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是A ．1 4B ．13C ．25D ．357．已知函数()2,01(e 1,1e x x f x x x⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为自然对数的底数)的图象与直线e 、x x =轴围成的区域为E ,直线e 1、x y ==与x 轴、y 轴围成的区域为F ,在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为A ．43e B ．23e C ．23D ．2e8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．3π 10B ．3π 20C ．3π110-D ．3π120- 9．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于18米的概率为__________. 10．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为__________.11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一天内随机到达,若两船同时到达则有一艘必须等待,试求这两艘轮船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.12．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.13．已知函数()22(,f x ax bx a a b =-+∈R ).(1)若a 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,b 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,求方程()0f x =有实根的概率;(2)若b 从区间[]0,2中任取一个数,a 从区间[]0,3中任取一个数,求方程()0f x =没有实根的概率.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．343．（2017某某）记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．4．（2016某某理科）在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9xy 相交”发生的概率为 .1．【答案】 C2．【答案】C【解析】设AC =x ,则BC =10-x ,0<x <10,由题意πx 2+π(10-x )2<58π,得x 2-10x +21<0,得3<x <7, 故所求的概率为.3．【答案】C4．【答案】2π【解析】易知1Ω的面积1πS =,2 Ω的面积22S =, 根据几何概型可得所求事件的概率为P=2.π5．【答案】D【解析】由题意可知,正方体的体积V =8,圆锥的体积V 1=212ππ1233⨯⨯⨯=,所以“鱼食落在圆锥外面”的概率是P=1π112V V V -=-. 6．【答案】A变式拓展【解析】由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到正方形不规则图形S S =3751000,所以该不规则图形的面积大约为1000375=83(m 2).1．【答案】C【解析】若1sin 2x ≤,则在[]0,π内π5π0π66或x x ≤≤≤≤，所以所求概率为π216π03P ⨯==-.选C ．2．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式可知P =11112112⨯⨯=⨯.故选C ．3．【答案】A【解析】因为方程2380x px p -+-=有两个正根,所以()243800,380p p p p ∆⎧=--≥⎪>⎨⎪->⎩所以8p ≥或 84,3p <≤ 又因为[]0,4,p ∈所以所求概率为841343P -==. 4．【答案】D5．【答案】D【解析】依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为(626-)3=827,故选D.6．【答案】B【解析】连接AC,交圆弧DE于点M.在Rt△ABC中,AB3BC=1,所以tan∠BAC=3BCAB=即∠BAC=π6.要使直线AP与线段BC有公共点,则点P必须在圆弧EM上,于是所求概率为P=π16π32=.故选B．7．【答案】A【解析】由题意，区域F的面积为e;区域E的面积S=1e2011d dx x xx+⎰⎰=31e0114|ln|33x x+=,所以在区域F内任取一点,则该点落在区域E内的概率为43e.8．【答案】D【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径r=8151732+-=，所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率P =18159π3π211208152⨯⨯-=-⨯⨯. 9．【答案】3410．【答案】【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为48π,所以这个正方体的棱长为4,而棱长为4的正方体的体积为43,该正方体的内切球的半径为2,体积为×23,所以所求概率P =.11．【解析】设甲船到达的时间为x ,乙船到达的时间为y ,则0≤x <24,0≤y <24.若有一艘在停靠泊位时必须等待,则|y-x|<6,如图中阴影部分所示,所以所求概率为1-=1-=.12．【解析】（1）用，x y 分别表示小陈、小李到班的时间，则][10,3010,30，x y ⎡⎤∈∈⎣⎦，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD ，如图所示．（2）小陈比小李至少晚到5分钟，即5x y -≥，对应区域为△BEF ，则所求概率为1151592202032△BEF ABCDS P S ⨯⨯===⨯．“b a ≥或0a =”.于是此时,a b 的取值情况为()()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,2,1,3,2,3,1,1,2,2,3,3,即A 包含的基本事件数为10．故 “方程()0f x =有实根”的概率为()105168P A ==．（2）从区间[]0,2中任取一个数,b 从区间[]0,3中任取一个数,a 则试验的全部结果构成区域(){,|03,02}a b a b ≤≤≤≤, 这是一个长方形区域,其面积为236⨯=,设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为(){,|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤>，其面积为162242-⨯⨯=．由几何概型的概率计算公式可得“方程()0f x =没有实根”的概率为()4263P B ==．1．【答案】B秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ．【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 2．【答案】B【解析】由题意，这是一个几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B ．【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 3．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．直通高考4．【答案】34【解析】直线y =kx 与圆22(5)9x y相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即3d =<，解得3344k -<<，而[1,1]k ，所以所求概率P =33224=.。

高三数学复习几何概型专题

几何概型专题复习考点解读：1、了解几何概型的概念及基本特点2、熟练掌握几何概型中的概率计算公式3、会进行简单的几何概率运算4、会将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决实际问题重点：了解几何概型的概念，会解决与长度，面积、体积相关的几何概型的概率问题难点：1、古典概型与几何概型的区分2、怎样把随机事件的总体和随机事件A 都转化与之对应的区域的测度一、知识回顾：几何概型的概念：对于一个随机实验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域D 内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域的某个指定区域d 中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形、角等，用这样的方法处理随机实验称为——几何概型二、古典概型与几何概型的区别：相同点：两者基本事件发生都是等可能的不同点：古典概率要求基本事件有有限多个，古典概率要求基本事件有无限三、几何概型的概率公式:面积、体积、角度）的区域的测度（长度、试验的全部结果所构成面积、体积、角度）的区域的测度（长度、构成事件A A)(=P 四、题型分析题型一、与长度有关的几何概型例1、假设车站每隔10分钟发一班车，乘客随机到达车站，问乘客到达站台等车时间不超过3分钟的概率变式：已知地铁列车10分钟发一班车，在车站停留1分钟，问乘客到达站台等车时间不超过3分钟的概率训练1、已知[]()()()272151437,1223+--+--=∈x m m x m x x f m 则函数在实数R 上是增函数的概率。

2、在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长正方形，所作正方形的面积介于362cm 与812cm 之间的概率题型二、与面积有关的几何概型例2、甲乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才离开，求两人能会面的概率。

训练1、在一个圆上任取三点A、B、C，求能够成锐角三角形的概率题型三、与体积有关的几何概型例3、在长方体ABCD-A1B1C1D1内任意取一点，求该点落在四棱锥B1-ABCD的概率。

(1)了解均匀随机数的概念;(2)掌握利用计算机产生均匀随

3.3.2 均匀随机数的产生
（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算机产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关几何概型概率的问题。
新知识：1、[0，1]上均匀随机数的产生
利用计算器或计算机中的RAND函数可以产生 [0，1]之间的均匀随机数。
试验的结果是区间[0，1]内的任何一个实数，而且都是等可能出现的。 2、[a，b]上均匀随机数的产生
(1)利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数X1=RAND; (2)利用伸缩和平移变换：X=a+X1*(b—a) 计算X的值，则X为[a，b]上的均匀随机数.
试验的结果X是区间[a，b]内的任何一个实数，而且都是等可能人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.
3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
602 302
P(A)
2 602
87.5%.
例2、在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.
S圆 S正

落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数

4 落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数
例3、利用随机模拟方法计算由y=1和
y=x2 所围成的图形的面积. y

高中数学第三章第3节几何概型理知识精讲人教新课标A版必修3

高二数学第三章第3节几何概型理知识精讲人教新课标A 版必修3一、学习目标：（1）了解几何概型的概念及基本特点（2）熟练掌握几何概型中概率的计算公式（3）会进行简单的几何概率计算（4）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想二、重点、难点：重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。

难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。

三、考点分析：本部分内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。

（1）区别古典概型与几何概型（2）理解随机模拟求几何概型的概率1、几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型。

2、几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

3、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度。

说明：（1）D 的测度不为0；（2）其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。

（3）区域为“开区域”；（4）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。

4、模拟计算几何概型的步骤：（1）构造图形（作图）；（2）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率m n；（3）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量。

高中数学第3章概率3-3几何概型互动课堂学案

教学资料范本高中数学第3章概率3-3几何概型互动课堂学案编辑：__________________时间：__________________3.3 几何概型互动课堂疏导引导1.几何概型的定义在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D,又知区域d包含在区域D内（如下图所示）,而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D内投掷一点M,假设点M必落在D中,且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.2.几何概型的概率计算一般地,在几何区域D中随机地抽取一点,记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=的测度的测度D d .这里要求D的测度不为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. 疑难疏引（1）几何概型的概率的取值范围同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0≤P(A)≤1.这是因为区域d包含在区域D内,则区域d的“测度”不大于区域D的“测度”.当区域d的“测度”为0时,事件A是不可能事件,此时P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时,事件A是必然事件,此时P(A)=1. （2）求古典概型概率的步骤： ①求区域D的“测度”； ②求区域d的“测度”； ③代入计算公式.（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.案例1某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率. 【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t -5,t］内来到车站,于是D={x|t -5＜x≤t}. 若乘客候车时间不超过3分钟,必须t -3≤x≤t,所以A={x|t -3≤x≤t}据几何概率公式得P（A）=53=的长度的长度D d =0.6规律总结（1）把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键.然后寻找事件A发生的区域,从而求得d的测度.（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内. 案例2甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率. 【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题.设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系,x轴表示甲船到达的时间,y轴表示乙船到达的时间,则（x,y）表示的所有结果是以24为边长的正方形.事件A发生的条件是0＜x -y＜6或0＜y -x＜6,即图中阴影部分,则D的面积为242,d的面积为242-182.∴P（A）=167242824222=-. 规律总结 (1)甲、乙两船都是在0—24小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间；分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果（x,y）就对应于图中正方形内的任一点.（2）找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可. （3）这一类问题我们称为约会问题. 案例3在长度为a的线段上任取两点将线段分成三段,求它们可以构成三角形的概率. 【探究】解法一：假设x、y表示三段长度中的任意两个,因为是长度,所以应有x ＞0,y＞0且x+y＜a,即x、y的值在以（0,a）、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示.要形成三角形,由构成三角形的条件知,x和y都小于,且x+y＞(如图阴影部分).又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的,故能够形成三角形的概率为.解法二：如右图,作等边三角形ABC,使其高为a,过各边中点作△DEF.△DEF的面积占△ABC的面积的.因为从△ABC内任意一点P到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高（由等积法易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于,P点必须落在阴影部分即△DEF内（DM=）.所以符合题意要求的情况占全部情况的,即所求概率为.解法三：如下图,作一边长为a的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的.令AB上距离底边为x的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴影部分（y＜,z＜）.因此,符合题意要求的情况占全部情况的.所以所求的概率为.规律总结解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值a,且三边长分别小于a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.3.随机数的产生与随机模拟方法（1）随机数的产生利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x1*(b-a)+a,就可以得到［a,b］内的均匀随机数,试验的结果是［a,b］上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.（2）随机模拟试验用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.②由所有的基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围.③由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.（3）随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可由试验获得.案例4 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？【探究】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果（即基本事件）对应［0,3 ］上的均匀随机数,其中［1,2］上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在［1,2］内,也就是剪得两段的长都不小于1 m,这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的随机数个数之比就是事件A 发生的频率.【解析】记事件A={剪得两段的长都不小于1 m}.①利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.②经过伸缩变换,a=a1*3.③统计出试验总次数N和［1,2］内的随机数个数N1.④计算频率fn (A)=N1/N即为概率P（A）的近似值.规律总结用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.案例5利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x与x轴,x=±1围成的部分）的面积.【探究】在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.【解析】（1）利用计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数,a 1=RAND,b1=RAND.（2）进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=b1*2,得到一组［-1,1］上的均匀随机数和一组［0,2］上的均匀随机数.（3）统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1（满足条件b＜2a的点（a,b））.（4）计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.（5）用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=.∴≈.∴S≈即为阴影部分面积的近似值.规律总结解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.活学巧用1.判断下列概率模型是古典概型还是几何概型？（1）如下图,转盘上有8个面积相等的扇形.转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.(2)在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.解析：以上2个试验的可能结果个数无限,所以它们都不是古典概型.而是几何概型.2.利用几何概型求概率应注意哪些问题？解：应该注意到:（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.3.有一杯1 L的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1L水,则小杯水中含有这个细菌的概率为（）A.0B.0.1C.0.01D.1解析：1个细菌在1L的水中,在每一个位置都是可能的,那么只有这个细菌在这0.1L的水中,这件事件才能发生.由几何概型公式得P（A）==0.1.答案：B4.如下图,如果你向靶子上射200支镖,大概有多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域）（）A.50B.100C.150D.200解析：这是几何概型问题.这200支镖落在每一点的可能性都是一样的,对每一支镖来说,落在红色区域的概率P=,每一支镖落在红色区域的概率都是12,则200支镖落在红色区域的概率还是,则落在红色区域的支数=200支×=100支.答案：B5.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率分别为_____________________,___________________.解析：这是几何概型问题,在平面上随机撒一粒黄豆,那么黄豆既可能落在三角形内,也可能落在圆内空白区域,并且落在每一点的可能性是一样的,只有落在三角形内才说明事件A发生.①P（A）==.②P（A）==.答案：6.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒.当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.解：在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于几何概型.（1）P==；（2）P==；（3）P===.7.在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率是( )A. B. C. D.解析：在线段［0,3］上任取一点的可能性是相等的,若在其上任意取一点,此点坐标不小于2,则该点应落在线段[2,3]上.所以,在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率应是线段[2,3]的长度与线段［0,3］的长度之比,即为.答案：A8.圆O有一内接正三角形,向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率是_______.解析：向圆内投点,所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等,所以本题的概率模型是几何概型.向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角形的面积与圆的面积的比.答案：9.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？解析：如下图所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件,根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前得到报纸,即事件A发生,所以P(A)==87.5%.10.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落∠xOT内的概率.分析：以O为起点作射线OA是随机的,因而射线OA落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关,符合几何概型的条件.解：设事件A“射线OA落在∠xOT内”.事件A的角度是60°,区域D的角度是360°,所以,由几何概率公式得P（A）=.11.甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6小时和4小时,用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率.解析：设事件A：“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩变换,x=x1*24,y=y1*24得到两组［0,24］上的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N和满足条件-4≤x-y≤6的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.12.如右图,在长为4宽为2的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆,试用随机模拟法近似计算半圆面积,并估计π值.解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在半圆内”.（1）利用计算机或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x1*4-2,y=y1*2.（3）统计出试验总数N和满足条件x2+y2＜4的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.半圆的面积为S1=2π,矩形的面积为S=8.由几何概型概率公式得P（A）=,所以=.所以即为π的近似值.13.利用随机模拟法近似计算右图中阴影部分（曲线y=log3x与x=3及x轴围成的图形）的面积.解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x1*3,y=y1*3.得到两组［0,3］的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N和满足条件y＜log3x的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(B)=,即为频率P（A）的近似值.设阴影部分的面积为S,正方形的面积为9,由几何概率公式得P（A）=.所以=,故S=即为阴影部分面积的近似值.。

几何概型

几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.知识梳理1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3.几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B).答案 A3.(必修3P146B4改编)如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为____________.解析由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S，由几何概型概率公式可得S4＝30200，∴S＝0.6.答案0.64.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.答案 B5.(2018·深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.16C.127D.38解析由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p ＝127.答案 C6.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A.p 1＝p 2B.p 1＝p 3C.p 2＝p 3D.p 1＝p 2＋p 3解析不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×（2）22－S 1＝π－2.区域Ⅱ的面积为S 2＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫222－S 3＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3.答案 A考点一与长度(角度)有关的几何概型【例1】 (1)(2019·孝感期末)在区间[－1，4]内任取一个实数a ，使得关于x 的方程x 2＋2＝a 有实数根的概率为( ) A.23B.25C.35D.34(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.解析 (1)若方程x 2＋2＝a 有实根，可知a －2≥0，即a ≥2，那么p ＝4－24－（－1）＝25.(2)连接AC ，如图所示tan∠CAB ＝CB AB ＝13＝33，所以∠CAB ＝π6，满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交时，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率p ＝∠CAB ∠DAB ＝π6π2＝13.答案 (1)B (2)13规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.2.(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求p ＝12. (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.【训练1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在π6角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.解析(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率p＝10＋10 40＝12.(2)因为射线OA在坐标系是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为p＝π2－π62π＝16.答案(1)B (2)16考点二与面积有关的几何概型多维探究角度1 与平面图形面积有关的问题【例2－1】(1)(2019·烟台诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316(2)(2018·黄冈、黄石联考)若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是( ) A.29B.13C.23D.79解析 (1)不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1，1，2，两个大等腰直角三角形的边长为2，2，22，即最大正方形的边长为22，则较大等腰直角三角形的边长分别为2，2，2，故所求概率p ＝1－12×2×2＋1×1×2＋12×22×228＝18.(2)设第一天工作的时间为x 小时，第二天工作的时间为y 小时，则⎩⎨⎧6≤x ≤9，6≤y ≤9，因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以x ＋y 2≥7，即x ＋y ≥14，⎩⎨⎧6≤x ≤9，6≤y ≤9表示的区域面积为9，其中满足x ＋y ≥14的区域面积为9－12×2×2＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是79.答案 (1)B (2)D角度2 与线性规划有关的问题【例2－2】 (2019·福州期末)关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为( ) A.π16B.π8C.14D.12解析关于实数x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，面积为12×4×4＝8，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的区域记为N ，且满足不等式组⎩⎨⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0的面积为12π，所以在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为12π8＝π16. 答案 A规律方法 (1)几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；(2)几何概型与线性规划的交汇问题：先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8 C.12D.π4(2)(2018·石家庄调研)在满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14B.34C.13D.23解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4. 又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π. 所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2. 由几何概型的概率公式，概率p ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域(即△ABC )，其面积为4.事件A＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3.所以事件A 发生的概率是34.答案 (1)B (2)B考点三与体积有关的几何概型【例3】 (1)在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是________.(2)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________.解析(1)“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，则P(A)＝取出的水的体积所有水的体积＝15.从而所求的概率为15.(2)设四棱锥M－ABCD的高为h，由于S正方形ABCD ＝1，V正方体＝1，且h3S正方形ABCD<16.∴h<12，则点M在正方体的下半部分，故所求事件的概率p＝12V正方体V正方体＝12.答案(1)15(2)12规律方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.【训练3】已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC＜12VS－ABC的概率是( )A.78B.34C.12D.14解析由题意知，当点P在三棱锥的中截面A′B′C′以下时，满足V P－ABC<12V S－ABC ，又V锥S－A′B′C′＝12×14V锥S－ABC＝18V锥S－ABC.∴事件“V P－ABC<12VS－ABC”的概率P＝V台体A′B′C′－ABCV锥S－ABC＝V锥S－ABC－V锥S－A′B′C′V锥S－ABC＝78.答案 A[思维升华]1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个.2.判断几何概型中的几何度量形式的方法：(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系.(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域. [易错防范]1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关.2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·安庆二模)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )A.486π5mm2 B.243π10mm2C.243π5mm2 D.243π20mm2解析设装饰狗的面积为S mm 2.由题意得Sπ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝150500，∴S ＝243π10 mm 2. 答案 B2.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为( )A.12B.14C.16D.18解析由图形的对称性知，所求概率为14π×12π×12＝14.答案 B3.(2018·潍坊一中质检)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34.答案 A4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )A.π8B.π16C.1－π8D.1－π16解析正方形的面积为82＝64，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为64－8π，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率p＝64－8π64＝1－π8.答案 C5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.34D.14解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则p1＝V半球V圆柱＝2π3×13π×12×2＝13.故点P到点O的距离大于1的概率p＝1－13＝23.答案 B6. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了 3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141592 6，3.141 592 7).如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A.0.16B.0.17C.0.18D.0.19解析设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17，故选B.答案 B7.(2019·西安调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1eB.1－1eC.e1＋eD.11＋e解析当0≤x <1时，恒有f (x )＝e x <e ，不满足题意.当1≤x ≤e 时，f (x )＝ln x ＋e.由ln x ＋e≥e，得1≤x ≤e.∴所求事件的概率p ＝e －1e ＝1－1e. 答案 B8.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解析如图，数对(x i，y i)(i＝1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知p＝S扇形S正方形＝14πR2R2＝π4，又p＝m n ，所以π4＝mn，故π＝4mn.答案 C二、填空题9.在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________.解析∵点M在直角边BC上是等可能出现的，∴“测度”是长度.设直角边长为a，则所求概率为33aa＝33.答案3 310.记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.解析由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3].故所求事件的概率p＝3－（－2）5－（－4）＝59.答案5 911.由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率p ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78.答案 7812.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.解析因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S矩形ABCD＝16V 长方体，故所求概率为V A －A 1BD V 长方体＝16. 答案 16能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·西北工大附中调研)设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )A.34＋12π B.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析由|z|≤1得(x－1)2＋y2≤1，由题意作图如图所示，则满足条件的区域为图中阴影部分，∴y≥x的概率为π4－12π＝14－12π.答案 D14.(2019·石家庄模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB→＋PC→＝PD→，因为PB→＋PC→＋2PA→＝0，所以PB→＋PC→＝－2PA→，得PD→＝－2PA→，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的1 2，所以S△PBC＝12S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为S△PBCS△ABC＝12.答案 D15.在平面区域⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x >0，y >0内随机取一点(a ，b )，则函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________.解析不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及边界AB (不包括边界OA ，OB )，则S △AOB ＝12×4×4＝8.函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a >0，且x ＝4b2a ≤1，满足⎩⎨⎧a >0，a ≥2b ，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC ，BC ，不包括边界OB )，由⎩⎨⎧a ＝2b ，a ＋b －4＝0，解得a ＝83，b＝43，所以S △COB ＝12×4×43＝83，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为838＝13.答案 1316.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________.解析设甲、乙两艘船到码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，y ∈[0，24]}.A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝（24－1）2×12＋（24－2）2×12242＝506.5576＝1 0131 152.答案1 013 1 152。

第5讲几何概型

第5讲几何概型一、知识梳理 1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）常用结论在几何概型中，如果A 是确定事件，(1)若A 是不可能事件，则P (A )＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P (A )＝0不能推出A 是不可能事件．(2)若A 是必然事件，则P (A )＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P (A )＝1不能推出A 是必然事件．二、教材衍化1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A.因为P (A )＝38，P (B )＝14，P (C )＝13，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．2．在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．解析：坐标小于1的区间为[0，1)，长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为13.答案：133．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为________．解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.答案：1－π4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ选用的几何测度不准确导致出错.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________．解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.答案：3与长度(角度)有关的几何概型(师生共研)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ，在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D的概率是________．【解析】由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59. 【答案】 59与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．1．从区间[－2，2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( )A.14 B ．13C.12D ．23解析：选A.令t ＝2x，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎨⎧Δ≥0t 1＋t 2>0t 1t 2>0⇒a ≥1，又a ∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1，2]，故P＝14，选A.2.如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为________．解析：设OA ＝3，则AB ＝33，所以AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.答案：14与面积有关的几何概型(多维探究) 角度一与平面图形面积有关的几何概型(1)(2020·黑龙江齐齐哈尔一模)随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3，宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为( )A.π24＋9π B ．4π24＋9πC.π18＋9πD ．4π18＋9π(2)(2020·辽宁五校联考)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点．点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C .从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12 B ．13C.23D ．25【解析】 (1)图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积为π×(32－22)＝5π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为4π24＋9π.故选B.(2)在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，所以S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为82－1623＝823.由概率比为面积比可得，点位于阴影部分的概率为82382＝13.故选B.【答案】 (1)B (2)B角度二与线性规划交汇命题的几何概型(2020·陕西咸阳模拟)已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，2x －y －3≤0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于1的概率为( )A.π3 B ．π12C.π24D ．3π32【解析】因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，2x －y －3≤0表示的平面区域为Ω，所以作出平面区域Ω为如图所示的△AOB .直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直，故∠AOB ＝π2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2x －y －3＝0，得点A (1，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，得点B (3，3)．OA ＝12＋（－1）2＝2，OB ＝32＋32＝32，在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于1的区域是如图所示的半径为1的14圆，即扇形OCD ，所以由几何概型得点到坐标原点的距离不大于1的概率P ＝S 扇形OCDS △AOB ＝14×π×1212×2×32＝π12.故选B. 【答案】 B角度三与定积分交汇命题的几何概型(2020·洛阳第一次联考)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.4π2 B ．4π3C.2π2 D ．2π3【解析】由题意知圆O 的面积为π3，正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得区域M 的面积S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝－2cos x ⎪⎪⎪π0＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3，故选B.【答案】 B角度四与随机模拟相关的几何概型从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n m B ．2n mC.4m nD ．2m n【解析】设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝π41＝m n ，所以π＝4mn，故选C.【答案】 C求与面积有关的几何概型的概率的方法(1)确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率计算公式求解．1．(2020·江西八校联考)小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是( )A.13 B ．14C.19D ．17解析：选D.如图，连接OB ，OA ，可得△OBM 与△OAN 全等，所以S 四边形MONB ＝S △AOB＝12×2×1＝1，即正方形ABCD 和OPQR 重叠的面积为1.又正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形面积为4＋4－1＝7，故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是17，故选D.2．(一题多解)如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2，在圆O 内，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段NM 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，…点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )A ．4π－6 3B ．1－332πC ．π－332D ．332π解析：选B.法一：依题意，得阴影部分的面积S ＝6×[16(π×22)－12×2×2×32]＝4π－63，所求概率P ＝4π－63π·22＝1－332π，故选B.法二：依题意得阴影部分的面积S ＝π×22－6×12×2×2×32＝4π－63，所求概率P＝4π－63π·22＝1－332π，故选B.与体积有关的几何概型(师生共研)已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC <12V S ABC 的概率是 ( )A.34 B ．78C.12D ．14【解析】由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足V P ABC <12V S ABC ，故使得V P ABC <12V S ABC 的概率：P ＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积＝78.【答案】 B与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．1．(2020·山西太原五中模拟)已知四棱锥P -ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝2.现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P -ABCD 内部的概率为________．解析：把四棱锥P -ABCD 扩展为正方体，则正方体的体对角线的长是外接球的直径R ，即23＝2R ，R ＝3，则四棱锥的体积为13×2×2×2＝83，球的体积为43×π(3)3＝43π，则该点取自四棱锥P -ABCD内部的概率P ＝8343π＝239π.答案：239π2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为________．解析：因为V FAMCD＝13×S四边形AMCD×DF＝14a3，V ADFBCE＝12a3，所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为14a312a3＝12.答案：12[基础题组练]1．(2020·江西九江模拟)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是()A.12B．13C.25D．35解析：选D.由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A，则P(A)＝610＝35.故选D.2．(2020·河南洛阳二模)在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为()A．1－36B．1－3π6C．1－33D．1－3π3解析：选B.若点P到三个顶点的距离都不小于1，则分别以A，B，C为圆心作半径为1的圆，则P的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为12×3×π3×12＝π2，△ABC的面积S＝12×22×sin 60°＝3，则阴影部分的面积S＝3－π2，则对应的概率P＝3－π23＝1－3π6.故选B.3．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B ．π12C.π4D ．1－π12解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.4.(2020·河北衡水联考)在如图所示的几何图形中，四边形ABCD 为菱形，C 为EF 的中点，EC ＝CF ＝3，BE ＝DF ＝4，BE ⊥EF ，DF ⊥EF .若在几何图形中任取一点，则该点取自Rt △BCE 的概率为( )A.19 B ．18C.17D ．16解析：选D.因为EC ＝3，BE ＝4，BE ⊥EC ，所以BC ＝5.又由题可知BD ＝EF ＝6，AC ＝2BE ＝8，所以S △BCE ＝S △DFC ＝12×3×4＝6，S四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝24.由几何概型概率公式可得，所求概率P ＝624＋6＋6＝16，即该点取自Rt △BCE 的概率为16.故选D.5.(2020·湖南宁乡一中、攸县一中联考)将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12≈0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C 称为线段AB 的黄金分割点．图中在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为( )A.5－12 B ．5－2 C.5－14D ．5－22解析：选B.所求概率为S △APQ S △ABC ＝PQ BC ＝BQ －BP BC ＝5－12BC －⎝⎛⎭⎪⎫1－5－12BC BC ＝5－2.故选B.6.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y ＝1x ，y ＝－1x ，y ＝x ，y ＝－x 及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14.答案：147．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是________．解析：y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，所以⎠⎛0π⎝⎛⎭⎫12－12cos 2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x ⎪⎪⎪π0＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.答案：128．已知O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C⎝⎛⎭⎫35，－15，动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，则点P到点C的距离大于14的概率为________．解析：因为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C⎝⎛⎭⎫35，－15，动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x＋y≤2，0≤x－2y≤2.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x＋y≤2，0≤x－2y≤2对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>14对应的平面区域为阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＝0，2x＋y＝2解得⎩⎨⎧x＝45，y＝25，即E⎝⎛⎭⎫45，25，所以|OE|＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255，所以正方形OEFG的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－π1645＝1－5π64.答案：1－5π649.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率．解：(1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记事件M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.10．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1，0，1，2}，y ∈{－1，0，1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A ＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1所表示的区域， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，如图，区域B 为图中的阴影部分去掉直线x －2y ＝0上的点，所以，P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.[综合题组练]1．(2020·安徽合肥模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4与y 轴负半轴交于点M ，圆C 与直线l ：x －y ＋1＝0相交于A ，B 两点，那么在圆C 内随机取一点，则该点落在△ABM 内的概率为( )A.378π B ．374πC.328πD ．324π解析：选A.由图可知，由点到直线距离公式得|OC |＝|1|2＝22，则|AB |＝222－⎝⎛⎭⎫222＝14，同理可得|MD |＝|0＋2＋1|2＝322，所以S △MAB ＝12|AB |·|MD |＝372，由几何概型知，该点落在△ABM 内的概率为S △MAB S 圆＝372π×22＝378π，故选A.2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )A.14 B ．13C.23D ．12解析：选D.以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2 P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.3．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是________．解析：如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.答案：344．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：根据题意，大圆的直径为函数y ＝3sin π6x 的最小正周期T ，又T ＝2ππ6＝12，所以大圆的面积S ＝π·⎝⎛⎭⎫1222＝36π，一个小圆的面积S ′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P ＝2S ′S ＝2π36π＝118.答案：1185．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为70.14＝50.由图易知第4，5，6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤109.5≤y ≤10.5，设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为116.6．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1，1；若a ＝3，则b ＝－1，1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，因为事件“分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ”的个数是15. 所以所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标C ⎝⎛⎭⎫163，83，故所求事件的概率P ＝S △BOC S △AOB ＝12×8×8312×8×8＝13.。

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练习
练习：课本：P142 A组 1, 2，3
1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子
随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，
求下列事件的概率：
（1）豆子落在红色区域；4
9
（2）豆子落在黄色区域；
1
3
（3）豆子落在绿色区域；
2
（4）豆子落在红色或绿色区域9 ；2
思考3、投射点落入矩形框内的概率如何求解呢？
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引例
为什么要学习几何概型?
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概率是多少? 能否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?
（4）代入公式 PA m 求概率
n
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问题导课：向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
有限性
等可能性
思考1、不可能事件的概率一定为零吗？
思考2、概率为零的事件一定是不可能事件吗？
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早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.
借助于古典概率的定义，设想仍用 “事件的概率”等于“部分”比“全体” 的方法，来规定事件的概率. 不过现在的 “部分”和“全体”所包含的样本点是无限的. 用什么数学方法才能构造出这样的数学模型？

随机模拟

随机模拟随机模拟又称为Monte Carlo 方法，是一种采用统计抽样理论近似地求解数学问题或物理问题的方法。

它既可以用来研究概率问题，也可以用来研究非概率问题。

基本想法：首先建立与描述该问题有相似性的概率模型。

利用这种相似性把概率模型的某些特征（如随机事件的概率或随机变量的平均值等）与数学分析问题的解答（如积分值，微分方程的解等）联系起来，然后对模型进行随机模拟统计抽样，再利用所得的结果求出这些特征的统计估计值作为原来的分析问题的近似解。

基本理论依据：大数定律。

一引入随机模拟方法用于近似数值计算领域已有近百年的历史。

可追溯到历史上著名的蒲丰（Buffon ）投针问题。

（1）蒲丰（Buffon ）投针问题平面上，画有等距离的平行线，平行线之间的距离为a ，（a>0），向平面上任意投一枚长为l （a l <）的针，试求针与平行线之间相交的概率。

又以φ表示针与此直线的夹角。

则：πφ≤≤≤≤02/0a x令A ：“针与平行线相交”，显然有“针与平行线相交”⇔“φsin 2lx ≤”。

则由几何概型有al d lS SA P a A ππϕϕπ2sin 2)(20=⋅==⎰Ω（*）若在（*）中以Nn 替代(估计))(A P ，⇒an lN2=π。

历史上有几位科学家做过此实验。

下表列出了其中的一部分实验结果：人名年份 N n 针长πWolf 1850 5000 2532 0.8 3.1596 Smith 1855 3204 1218 0.6 3.1514 Laggerini 1901 3408 1808 0.83 3.1415929 （2）用Monte Carlo 方法计算面积考虑积分dx x f I ⎰=1)(，设],1,0[∈x 1)(0≤≤x f 。

这时积分I 等于由曲线)(x f y =，ox 轴和oy 轴以及x ＝1所围成的区域G 的面积。

现在向单位正方形区域（010,1≤≤≤≤y x ）中，随机地投掷一点，即它的两个坐标),(y x d i i ..～]1,0[U 。

随机事件的概率及计算

随机事件的概率及计算随机事件的概率及计算随机事件的概率、古典概型、⼏何概型及随机模拟⼆. 课标要求：1、在具体情境中，了解随机事件发⽣的不确定性和频率的稳定性，进⼀步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会⽤列举法计算⼀些随机事件所含的基本事件数及事件发⽣的概率。

4、了解随机数的意义，能运⽤模拟⽅法（包括计算器产⽣随机数来进⾏模拟）估计概率，初步体会⼏何概型的意义；5、通过阅读材料，了解⼈类认识随机现象的过程。

三、命题⾛向本讲内容在⾼考中所占⽐重不⼤，纵观近⼏年的⾼考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有⼀定的灵活性、机动性。

纵观近⼏年的⾼考对概率要求降低，⼏何概型是新加内容，考试涉及的可能性较⼤。

预测⾼考：对概率考查的重点以互斥事件、古典概型、⼏何概型的概率事件的计算为主，⽽以实际应⽤题出现的形式多以选择题、填空题为主。

四、教学过程（⼀）基本知识要点回顾1、随机事件的概念在⼀定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在⼀定条件下可能发⽣也可能不发⽣的事件；（2）必然事件：在⼀定条件下必然要发⽣的事件；（3）不可能事件：在⼀定条件下不可能发⽣的事件。

2、随机事件的概率事件A的概率：在⼤量重复进⾏同⼀试验时，事件A发⽣的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3、事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发⽣的两个事件叫做互斥事件；（2）对⽴事件：不能同时发⽣，但必有⼀个发⽣的两个事件叫做互斥事件；4、事件间的运算+）（）=；个，即此试验由所有结果出现的可能性都相等，那么每⼀基本事件的概率都是。

如果某个事件=。

=。

（1）“抛⼀⽯块，下落”.（2）“在标准⼤⽓压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某⼈射击⼀次，中靶”；（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”;（5）“掷⼀枚硬币，出现正⾯”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取⼀张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有⽔分，种⼦能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。

3.3几何概型

(3)构造点 M (a, b) ，求出满足 a b 的个数 M (a, b) 的个数 m ，则可得：
2 2
1的点
4m . n
23/46
例3：利用随机模拟方法计算右图中阴影部分（由 y 1 2 和 y x 所围成的部分）的面积．
做题步骤如下： (1)利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数：
当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的
条件为a>b. 当a>b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1), (3,0),(3,1),(3,2),即A包含的基本事件数为6, ∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率 6 1 P( A) . 12 2
34/46
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,
b从区间[0,3]中任取一个数,则试
验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)| 0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形区域,其面积 S Ω 2 3 6. 设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b},即图中 1 阴影部分的梯形,其面积 S M 6 2 2 4. 2 由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率 P( B) S M 4 2 . SΩ 6 3
1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6
6/46
60 50 1 P( A) 60 6
例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
圆的面积 π a2 π P(A) 2 正方形面积 4a 4 π 答：豆子落入圆内的概率为 . 4

高考理科第一轮复习课件(10.6模拟方法、概率的应用)

【思路点拨】(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率.
(2)过点C在∠ACB内作射线CD与角度有关，利用几何概型的概
率公式求解.
【规范解答】(1)选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段长为 (12-x)cm，其中0＜x<12，由题意x(12-x)＜32得，0＜x＜4或
8 2 8＜x<12，则可选取的长度为4+4＝8(cm)，故概率为＝ . 12 3
无关，即P(点M落在G1)= G1的面积 ,则称这种模型为几何概型.
G的面积
空间中直线上（2）几何概型中的G也可以是_______或_______的有限区域,
体积之比长度之比相应的概率是_________或_________.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(
3
答案：2
3
4.在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是____. 【解析】如图，区域F表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E
12 表示单位圆及其内部，因此 P＝＝ . 4 4 16 答案： 16
)
(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等
的.(
)
(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )
（5）在区间［-1，1］内任取一个数，求取到的数是正数的概率，该问题中的概率模型为几何概型.( )

高中数学必修三讲义第3章 3.3.1~3.3.2 几何概型

§3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率.知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的.梳理(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.②每个基本事件出现的可能性相等.知识点二几何概型的概率公式思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？答案可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示.梳理事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 知识点三均匀随机数1.均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数.2.均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的.(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等.3.均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand ( )”.(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生.1.在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(√)2.与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.（×）3.随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.（√）类型一几何概型的识别例1下列关于几何概型的说法错误的是()A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性考点几何概型定义题点几何概型的判断答案 A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.反思与感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型.(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.考点古典、几何概型定义题点古典、几何概型的判断解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型.(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型.类型二几何概型的计算命题角度1与长度有关的几何概型例2取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率为多少？考点几何概型计算公式题点与长度有关的几何概型解如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝13.反思与感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率. 跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 考点几何概型计算公式题点与长度有关的几何概型解记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的.圆心在线段CD (不含点C ，D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －r a .命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求： (1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率. 考点几何概型计算公式题点与面积有关的几何概型解如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)， S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0,1)，F (1,0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝724＝78.(3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙OS 正方形ABCD＝4－π4. 反思与感悟如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解.跟踪训练3 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率. 考点几何概型计算公式题点与面积有关的几何概型解如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形.图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2). 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率.考点几何概型计算公式题点与体积有关的几何概型解如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78.反思与感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积.其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3πD.233π考点几何概型计算公式题点与体积有关的几何概型答案 D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.类型三均匀随机数及随机模拟方法例5 在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.考点均匀随机数的运用题点均匀随机数的运用解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值.反思与感悟用随机模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大.用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 跟踪训练5 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积. 考点均匀随机数的运用题点均匀随机数的运用解以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698，所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影部分的面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.1.在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 考点几何概型计算公式题点与体积有关的几何概型答案 A解析问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.2.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D.无法计算考点几何概型计算公式题点与面积有关的几何概型答案 C解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型.设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分.设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56 考点几何概型计算公式题点与长度有关的几何概型答案 C解析由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 .考点几何概型计算公式题点与面积有关的几何概型答案 π8解析不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.5.在区间[0,3]内任意取一个数，则此数大于2的概率为 . 答案 13解析由于区间[0,3]的长度为3，区间(2,3]的长度为1，故所求概率为P ＝13.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题.3.注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).一、选择题1.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925 B.1625 C.310 D.15 考点几何概型计算公式题点与长度有关的几何概型答案 D解析以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图). ∴所求概率P ＝210＝15.2.如图所示，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15B.14C.13D.12考点几何概型计算公式题点与角度有关的几何概型答案 D解析当MN ＝2R 时，∠NOM ＝90°，若MN 的长度超过2R ，则∠NOM 在90°与180°之间，所以概率为180°360°＝12.3.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45 考点几何概型计算公式题点与长度有关的几何概型答案 C解析设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)， ∴矩形面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4，∴0＜x ＜4或8＜x ＜12.∴所求概率为4＋412＝23，故选C.4.如图，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为a 3，a2，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )A.710B.57C.512D.58 考点几何概型计算公式题点与面积有关的几何概型答案 C解析 S 梯形＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋a 2b ＝512ab ，S 矩形＝ab . 所以P ＝S 梯形S 矩形＝512.5.在[0,5]之间随机取一个数作为x 的值，则使1<log 2(x －1)≤2成立的概率是( ) A.15 B.25 C.35 D.45 考点几何概型计算公式题点与长度有关的几何概型答案 B解析由1<log 2(x －1)≤2，得2<x －1≤4，即3<x ≤5，则对应的概率P ＝5－35－0＝25.故选B.6.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A.1－π4B.π2－1C.2－π2D.π4考点几何概型计算公式题点与面积有关的几何概型答案 A解析由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.7.如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC 的概率为( )A.33B.34C.32 D.14考点几何概型计算公式题点与角度有关的几何概型答案 D解析由题意，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，则AC ＝3AD ，即AD ＝33AC ，AB ＝3AC ＝3AD ，所以要使过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC ，只要AM <AD 即可，由DA ＝DC ，得∠ACD ＝∠CAD ＝180°－120°2＝30°，所以AM <33AC 的概率为30°120°＝14.故选D. 8.函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0使f (x 0)＞0的概率为( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 考点几何概型计算公式题点与长度有关的几何概型答案 C解析如图，在[－5,5]上函数的图象和x 轴分别交于两点(－1,0)，(2,0)，只有x 0∈[－5，－1)∪(2,5]时，f (x 0)＞0，由题意，知本题是几何概型问题.记事件A 为“任取一点x 0，使f (x 0)＞0”，事件A 的区域长度是区间[－5，－1)与(2,5]的长度和，全体基本事件的长度是[－5,5]的区间长度.由几何概型的概率计算公式，得P (A )＝4＋310＝0.7.故选C.9.在闭区间[－4,6]上随机取出一个数x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于39的概率为( )A.15B.25C.35D.45考点概率问题的综合题型题点概率与程序框图的综合答案 A解析由程序框图知，第一次循环，n ＝1，满足条件n ≤3，x ＝2x ＋1，n ＝2，第二次循环，n ＝2，满足条件n ≤3，x ＝2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3，n ＝3，第三次循环，n ＝3，满足条件n ≤3，x ＝2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，n ＝4，此时不满足条件n ≤3，输出8x ＋7，由8x ＋7≥39得x ≥4，又因为x ∈[－4,6]，所以4≤x ≤6，则输出的x 不小于39的概率P ＝6－46－(－4)＝210＝15.故选A. 二、填空题10.有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为 . 考点几何概型计算公式题点与面积有关的几何概型答案334π解析设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.11.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是 .考点几何概型计算公式题点与面积有关的几何概型答案 0.01解析由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，黄心的面积为14π×(12.2)2 cm 2，所以射中黄心的概率为＝14×π×(12.2)214×π×1222＝0.01.12.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝ .考点几何概型的综合应用题点几何概型与不等式的综合应用答案 3解析当m ≤2时，2m 6＝56无解.当2＜m ≤4时，由m ＋26＝56得m ＝3，综上m ＝3.三、解答题13.两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率. 考点几何概型的综合应用题点几何概型与线性规划的综合应用解设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点(0≤x ，y ≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.四、探究与拓展14.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( ) A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.8 考点概率问题的综合题型题点几何概型与不等式的综合应用答案 C解析画出图形(如图所示)，m ，n 所满足的区域为矩形ABCD ，而m >n 所满足的区域为梯形ABCE ，所以m >n 的概率P ＝S 梯形ABCE S 矩形ABCD＝15－9215＝0.7.故选C.15.某校早8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)考点几何概型的综合应用题点几何概型与线性规划的综合应用答案932解析设小张和小王到校的时间分别为y和x，则⎩⎪⎨⎪⎧30≤x≤50，30≤y≤50，y－x≥5，则满足条件的区域如图中阴影部分所示.故所求概率P＝12×15×1520×20＝932.。

几何概型和随机模拟方法

几何概型与随机模拟方法孙老师目录1几何概型2 2随机模拟方法31几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=S AS,其中S A=构成事件A的区域长度(面积或体积)，S=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).例1.1在区间[−1,1]上任取一个数x，则cosπ2x的值在区间[0,12]的概率为.解.这是一个典型的几何概型.0≤cos π2x≤12⇒−23≤x≤23所以S A=43,显然S=2.P=S AS=23.练习：假如你买了一件东西，快递员可能在早上6:30−−7: 30之间把快递送到你家，你离开家出去的时间在早上7:00−−8:00之间，那么你在离开家前能拿到快递(称为事件A)的概率是多少？2随机模拟方法随机模拟方法，也称为Monte Carlo方法，是一种基于“随机数”的计算方法。

这一方法源于美国在第二次世界大战期间进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。

该计划的主持人之一数学家冯·诺依曼用驰名世界的赌城–摩纳哥的Monte Carlo 来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

冯·诺依曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，MonteCarlo方法也是他的重要贡献。

事实上，Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。

早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来近似事件的“概率”。

18世纪下半叶，法国学者Buffon （蒲丰）提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。

这个著名的Buffon试验是Montc Carlo方法的最早尝试。

例2.1如图，正方形的边长为2，在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值.图1解.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积成正比.因此这是一个典型的几何概型.豆子落在圆内的概率P=S1S，其中S1是圆的面积，S是正方形的面积.而豆子落在圆内的概率可以由豆子落在圆内的频率来近似.所以P=S1S=π4≈落在圆中的豆子数/落在正方形中的豆子数.这样就得到了π的近似值.我们用计算机模拟上述过程，步骤如下：(1)用Excel的RAND函数产生两组[0,1]之间的均匀随机数a,b;(2)经平移和伸缩变换，x=2(a−0.5),y=2(b−0.5),此时x,y 是区间[−1,1]之间的随机数；(3)计算出落在圆内(x2+y2<1)的点(x,y)的个数N1，计算π≈4N1N(N代表试验次数).如下表，可以发现，随着试验次数的增加，得到的π的近似值的精度会越来越高.图2例2.2利用随机模拟方法计算图2中阴影部分（x ∈[0,π],y =sin x 和x 轴所围成的部分）的面积.图3解.在坐标系中画出矩形(x =0,x =π,y =0,y =1所围成的部分),用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.具体步骤如下：(1)用Excel 的RAND 函数产生两组[0,1]之间的均匀随机数a ,b ；(2)经平移和伸缩变换，x =π·a ,y =b ,此时(x ,y )是矩形区域上的一个随机点；(3)计算出落在阴影内(y <sin x )的点(x ,y )的个数N 1，计算S ≈N 1N·π(其中N 是落在矩形区域的点的个数).如下表，可以发现，随着试验次数的增加，得到的S 的近似值的精度会越来越高(由定积分理论可以准确计算出S =2).图4练习：利用随机模拟方法近似计算图形的面积：y=x2+1和y=6所围区域的面积.图5。

随机模拟方法

小结
了解随机数和均匀随机数的产生,体会用随机模拟方法近似计算概率及不规则图形的面积.
2、区域是平面图形的几何概型问题
设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的 4 边长都是6.现用直径为2的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率. 9 变形1:求硬币落下后与格线有公共点的概率. 变形2: 设有一个正方形网格,现用直径为2的硬币投掷到此网格上,方格边长要多少才能使硬币与格线没有公共点的概率大于0.04. 提示: 边长大于2.5
(2)每10个数作为一组,数出其中至少有2个数相同的组数m及试验总次数n; (3)求得概率的近似值m/n.
例3.在正方形内随机撒一把豆子,用随机模拟方法估计圆周率的值. Y 分析:随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,
-1 O 1 X
解 : (1)用计算机产生两组0 ~ 1之间的均匀随机数,a1 RAND, b1 RAND; (2)进行平移和伸缩变换,a (a 1 0.5) 2, b (b1 0.5) 2; (3)数出落在圆内的样本点数m及试验的总次数n; 4m (4)计算 . n
例4.用随机模拟方法近似计算图形: y x 1与y 6所围成区域的面积.
随机模拟方法
小知识
用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的, 它的奠基人是冯.诺伊曼.
例1.天气预报说,在今后的3天中,每一天下雨的概率均为0.4.求这3天中恰有2天下雨的概率. 分析:试验的结果有有限个,但每个结果出现的可能性不同,因此不能用古典概率计算.
2、区域是平面图形的几何概型问题

几何概型的常见交汇题型

几何概型的常见交汇题型作者：杨苍洲来源：《数理化学习·高三版》2012年第12期几何概型隐含着一定的几何特征，这也意味着“几何概型”与“线性规划”、“平面几何”、“定积分”、“随机模拟”等知识点有着自然的交汇在几何概型的综合题型中，基于交汇的试题精彩纷呈下面以“交汇”为着眼点，展示几类精彩的试题一、几何概型与线性规划例1（2012年泉州市质检）已知不等式组所表示的平面区域为Ω，从Ω中任取一点Q，则点Q横坐标大于2的概率为所表示的平面区域Ω为图1中△ABC的内部区域；当点Q横坐标大于2时，点Q所在的平面区域为图中△ADE的内部区域所以其概率变式1（2012年高考北京卷）设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）解析：题目中不等式组表示的区域如图2正方形所示而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此二、几何概型与定积分例2（2012年福州市质检）若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e的概率为（）解析：设从区间（0，e）内随机取两个数分别为其表示平面区域为图3中的正方形若这两个数之积不小于f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f ′（x）的部分图象如图4所示，其中，P为图象与y轴的交点，A、C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点（1）若φ=π6，点P的坐标为（0，332），则（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为解析：（1）易得ω=3（2）由图知AC=ABC与x轴所围成的区域的面积为S，则又因为f（a）=1，f（c）=-1，所以S=2由几何概型可知该点在△ABC内的概率为三、几何概型与随机模拟例3某同学由于求不出积分∫e1lnxdx的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分∫e1lnxdx他用计算机分别产生10个在[1，e]上的均匀随机数xi（1≤i≤10）和10个在[0，1]上的均匀随机数yi（1≤i≤10），其数据记录为如表1的前两行[FL）]则依此表格中的数据，可得积分的一个近似值为解析：当随机数组（xi，yi）落在x=1、x=e、x轴所围成的曲边梯形内时，需满足yi变式3：（2011年泉州市质检）定义函数CONRND（a，b）是产生区间（a，b）内的任一实数的随机函数，如图5所示的程序框图，可用来估计π的值.若输入N=200，则输出m=42，据此估计π的近似值为.解析：根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[-1，1]上的两个数A，B，求A2+B2>1的概率因为A∈[-1，1]，B∈[-1，1]，对应的平面区域面积为4，而A2+B2>1对应的平面区域的面积为：四、几何概型与实际问题例4平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（）解析：选（B）；平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑：平行线间的距离为3 cm，硬币半径为1 cm，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1 cm如图6，硬币中心只有落在阴影部分（不包括边界）时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，则硬币中心落在阴影部分的概率为13整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概率是13变式4：已知三座城市A、B、C两两相距40 km，在△ABC内部随机选择一个点建立一个污水处理站，则该污水处理站与三座城市的距离都大于20 km的概率是.解析：以A、B、C为圆心，以20为半径作圆，与△ABC相交出三个扇形（如图7所示）当P不在阴影部分时符合要求，所以福建省泉州第五中学（362000）。

几何概型 (1)

绿
黄
黄
绿绿绿红
情景1：
情景2：
转盘游戏
（研究指针位置）
面积
一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，遇到红灯和绿灯的概率那个大？为什么？
长度

A
1、几何概型是怎样定义的？事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型. 2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的？
0
A ( x, y) | y x,6.5 x 7.5,7 y 8 1 1 1 7 即图中的阴影部分，面积为： S A 1 2 2 2 8
6.5
7.5
x(送报人到
这是个几何概型，所以
SA 7 P( A) S 8
课堂小结
1.几何概型的特点. 2.几何概型的概率公式.
几何概型可以看作是古典概型的推广
例某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
例某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。 T1 T T2 解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻 T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示:·
（2）每个基本事件出现现的可能性相等.
同
两种概型、概率公式的联系 1.古典概型的概率公式:

高考数学第一轮知识点总复习第七节随机数与几何概型

1.
举一反三
（2009·山东）在区间［-1，1］上随机取一个数x,
cos的 x值介于0到12之间的
2
概率为
()
A. 1 B.
C.2
1
D.
2
3
2
3
解析：在区间［-1,1］上随机取一个实数x，cos 的x值位于［0,1］区间，若使
2
的值co位s 于x
2
公式可知
答案：A
区间，取0到, 12的实数x应在2 区1间 p 3
第七节随机数与几何概型
基础梳理
1. 几何概型的概念事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量成正比，而与A的位置和形状无关，此种试验称为几何概型.
2. 几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的. （2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是均等的.
6. 均匀随机数的应用（1）用随机模拟法估计几何概率; （2）用随机模拟法计算不规则图形的面积.
典例分析
题型一与长度、角度有关的几何概型
【例1】（2009·盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.
分析因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题.
因此,阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即
P S阴影部分 S单位正方形
1-（ 1 ）2
3 12
8. 9
学后反思对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域.