(全国通用)2016届高考数学复习 第四章 第一节 三角函数.

cos α －cosα _______
－tan α
－sin α _______
－tanα _______
函数名改变 符号看象限
函数名不变符号看象限
【名师助学】 本部分知识可以归纳为： (1)一个口诀：
(2)一个图表：
同角三角函数关系式
同角三角函数基本关系式的应用技巧 sin θ (1)弦切互化法： 主要利用公式 tanθ ＝ 化成正弦、 余弦函数； cos θ (2)和积转换法：如利用(sinθ ±cosθ )2＝1± 2sin θ cos θ 的关系 进行变形、转化； (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ ＋cos2θ ＝cos2θ (1＋tan2θ )＝ sin θ
2
1 1＋tan2θ
.
【例 1】 (2014· 浙江镇海中学阶段性测试) 已知
3sin α＋4cos α＝5，求tan α.
解
法一 由题意得 3sin α ＝5－4cosα ，两边平方，得
9sin2α ＝25－40cosα ＋16cos2α ，则 25cos2α －40cosα 4 3 3 ＋16＝0，解得 cosα ＝ ，则 sinα ＝ ，故 tanα ＝ . 5 5 4
2．弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 用符号 rad 表示． (2)角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧 l 度数的绝对值是|α|＝ . r
(3)角度与弧度的换算
π 180 180 rad；②1 rad＝ ①1°＝_____ π °.
π ＝－cos 6
3 ， 3 3 . 3
即
5π cos 6
(2)∵cos(α －7π )＝cos(7π －α) 3 ＝cos(π －α)＝－cos α ＝－ ， 5 3 ∴cos α ＝ . 5 ∴sin(3π
＋α)· tanα 7 7 －tan π －α － π ＝sin(π ＋α)· 2 2 π sin －α 2 · π cos －α 2
(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α rad，半径为 r，则 l＝rα， 1 12 lr rα 2 2 扇形的面积为 S＝_____＝_____．
3．任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y y，cosα ＝__ x ，tanα ＝___ y)，则 sinα ＝__ x (x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正 弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起 点都是(1，0)．
π π 5π [解题指导](1)将 ＋α 看作一个整体，观察 ＋α 与 －α 的 6 6 6 关系． (2)先化简已知，求出 cos α 的值，然后化简结论并代入求值．
解
π (1)∵ 6
5π ＋α＋ 6
－α＝π
，
π 5π ∴ －α＝π － ＋α . 6 6 5π ∴cos 6 －α＝cosπ ＋α＝－ －α＝－ π － 6 ＋α
及应用、三角函
任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 负角、_____ 零角 ． 正角 、_____ ①按旋转方向不同分为 _____
轴线角 ． 象限角 和________ ②按终边位置不同分为________ (2)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ {β|β＝α＋k· 360°，k∈Z}．
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数 尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的 要求出值．
【例 2】 (1)已知
π cos 6
＋α＝
5π 3 ，求 cos －α 的值； 3 6
3 7 (2)已知π <α <2π ， cos(α－7π )＝－ ， 求 sin(3π ＋α)· tan(α－ π ) 5 2 的值．
3.六组诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2 kπ ＋ α(k∈Z) sinα cosα tan α 二 π ＋α ______ － sin α －cosα tan α 三 －α －sinα 四 π －α sinα 五 π －α 2 六 π ＋α 2 cosα
cos α ______
sinα
法四
因为 3sinα ＋4cosα ＝5sin(α＋φ)，
3 4 其中 cosφ ＝ ，sin φ ＝ ， 5 5 π 所以 sin(α＋φ)＝1，则 α＋φ＝2kπ ＋ (k∈Z)， 2 π 3 则 sin α ＝sin(2kπ ＋ －φ)＝cos φ ＝ ， 2 5 π 4 3 cosα ＝cos(2kπ ＋ －φ)＝sin φ ＝ ，故 tan α ＝ . 2 5 4
sin α cos α · tan α sin α ＝___________，cos α ＝ . tan α
2．角的对称
相关角的终边 α 与π ＋α α 与π －α α 与－α(或 2π －α) π α 与 －α 2 对称性
原点 对称 关于_____ y轴 对称 关于_____
关于 x 轴对称
y＝x 对称 关于直线______
概念、同角三
念．
角函数和诱导 2．同角三 数值符号的确定、 公式作为基础 4．能利用单位圆中的三角函数线推导出 角函数关 利用诱导公式与 内容，融于三 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公 系式. 同角三角函数关 角函数求值、 式，会用三角函数线解决相关问题． 3．诱导公 系化简三角函数 化简及解三角 5．理解同角三角函数的基本关系式： 式. 式及求三角函数 2 2 形的考查中. sin x＋cos x＝1，＝tan x，熟练运用公式 值等问题. 化简、求值与证明简单的三角恒等式
法二 把等式两边平方，整理得 9sin2α ＋24sinα cos＋16cos2α ＝25(sin2α ＋cos2α )， 两边同时除以 cos2α ， 整理得 16tan2α －24tan α＋9＝0， 3 解得 tan α ＝ . 4
法三 设 4sinα －3cosα ＝x，则 x2＋25＝(4sinα －3cosα )2＋(3sinα ＋4cosα )2＝25， 3 从而有 x＝0，则 tanα ＝ . 4
[ 点评 ]
同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号
的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方
时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
诱导公式的应用问题 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
(1) 思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用
公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．
第一节
三角函数的概念、同角三角
函数的关系式及诱导公式
考点梳理
考纲速览 1.了解任意角、弧度制的概念，能正确进
命题解密
热点预测
1.三角函 数的概
行弧度与角度的互化．
2．会判断三角函数值的符号． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正 切)的定义．
高考对该部
分内容主要考查 三角函数的定义
高考仍会
将三角函数的
正弦线 、 如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α 的________ 正切线 ． 余弦线 和________ ________
同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．同角三角函数基本关系式 (1)平方关系： sin2α ＋cos2α ＝1， 其等价形式为：
1－sin2α ． sin2α ＝1－cos2α ，cos2α ＝__________ sin α ＝tanα cos α (2)商数关系： _______________， 其等价形式为：
＝sin α
π ·tan 2
－α＝sin
α
cos α 3 ＝sin α · ＝cos α ＝ . 5 sin α
[点评] 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三 角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规
律技巧.