编号27根的判别式

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九年级数学上册专题提高培优一元二次方程：根的判别式、根与系数的关系

九年级数学一元二次方程：根的判别式、根与系数的关系知识精讲【基础知识精讲】1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式: ac b 42-=∆⑴ 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0=∆时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0<∆时,方程没有实数根。

（以上三点反之亦成立）。

2．一元二次方程有实数根0≥∆⇔注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数0≠a(3)证明ac b 42-=∆恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。

3．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，则abx x -=+21，a c x x =⋅214．设21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，则：0,0121>>x x ）（时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x a b x x0,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x a b x x0,0)3(21<>x x 时，有021<=∙acx x 5．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 【例题巧解点拨】1---根的判别式：例1：1.方程012=--kx x 的根的情况是（）A ．方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.方程的根的情况与k 的取值有关2.若一元二次方程06)4(22=+--x kx x 无实数根，则k 的最小整数值是（） A.－1 B.2 C.3 D.43.若关于x 的方程0)()(22=-+-+a b x b a ax 有两个相等的实数根,则b a :等于( )A.-1或2B.1或12 C.-12或1 D.-2或1 4.若关于y 的一元二次方程43342+=--y y ky 有实根,则k 的取值范围是( )A.47->k B.047≠-≥k k 且 C.47-≥k D.047≠>k k 且例2：已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x 。

根的判别式

10、若一元二次方程x2-ax-2a=0的两根之和为、若一元二次方程的两根之和为4a-3，则的两根之和为，两根之积是（两根之积是（B ） A. 2 B. -2 C.-6或2 或 D.6或-2 或
例一（中考题中考题）分别是满足什么条件时分别是满足什么条件时，例一（98中考题）m分别是满足什么条件时，方程有两个相等实根；（ 2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,(1)有两个相等实根；（）有有两个相等实根；（2）两个不相实根；（；（3）无实根。两个不相实根；（）无实根。解：△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9 （） × × ）（1）当△=8m+9=0，即m= ），等的实根；等的实根；（2）当△=8m+9＞0，即m＞）＞，＞等的实根；等的实根；（3）当△=8m+9＜0，即m＜）＜，＜时，方程有两个相时，方程有两个不时，方程没有实根。方程没有实根。
64 解方程得 m1=4 , m2= 7
64 不是整数， ∵ m= 不是整数，应舍去 7
使方程两个实数根的平方和等于Rt△ ∴存在整数m=4 ，使方程两个实数根的平方和等于 △斜边的存在整数平方。平方。
a
特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0 , x1+ x2= -p, x1 x2=q （2）以x1, x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2 –(x1+ x2)x+ x1 x2=0
判别式与韦达道理课堂练习一、基础练习 1、一元二次方程2x2+3x-4=0的根的判别式△= 、一元二次方程的根的判别式△ 的根的判别式 2、不解方程，判断 2-6y+5=0的根的情况是、不解方程，判断2y 的根的情况是

华东师大初中数学九年级上册391227一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02a cbx ax 中，ac b 42叫做一元二次方程)0(02a cbx ax 的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定cb a .,的值；③计算ac b42的值；④根据ac b 42的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程002acbxax中，（1）方程有两个不相等的实数根ac b 42﹥0；（2）方程有两个相等的实数根ac b42=0；（3）方程没有实数根ac b42﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则ac b 42≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x 21，ac x x 21.注意它的使用条件为a ≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x xx x x x ；②12121211x x x x x x ；③2212121212()x x x x x x x x ；④2221121212x x xxx x x x 2121212()2x x x x x x ；⑤22121212()()4x x x x x x ；⑥12()()x k x k 21212()x x k x x k ；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x ；⑧22212121222222121212()211()xxx x x x xx x x x x ；⑨2212121212()()4x x x x x x x x ；⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x xx x x 2121212()22||x x x x x x ．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a 的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x 时，两根同号．当△≥0且120x x ，120x x 时，两根同为正数；当△≥0且120x x ，120x x 时，两根同为负数．②当△＞0且120x x 时，两根异号．当△＞0且120x x ，120x x 时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x ，120x x 时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根ab ，则必有一根ab （a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（2015?梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵ｂ2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴ａ的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【高清ID号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（2）】【变式】（2015?张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0.则k的非负整数值为1．2.已知关于x的一元二次方程2(1)10m x x有实数根，则m的取值范围是________【答案】54m且m≠1【解析】因为方程2(1)10m x x有实数根，所以214(1)450m m△，解得54 m，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m，∴ m的取值范围是54m且m≠1．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m，m≠1．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：利用根的判别式求字母范围---例4（1）】【变式】已知：关于x 的方程2(1)04k kxk x有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.【答案】102k k＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. （2016?绥化）关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【思路点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1?x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=﹣2x 1?x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【答案与解析】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜．∴m 的取值范围为m ＜．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣2，x 1?x 2=2m ，∴x 12+x 22=﹣2x 1?x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】【变式】不解方程，求方程22310x x 的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134；（2）3．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230xx 各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x 的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x ，1235x x ．设所求方程为20ypy q，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x ，221y x ，从而12121212122111125()335x x py y x x x x x x ，12121211153qy y x x x x ．故所求作的方程为225033yy，即23250y y ．【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x和x积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点：1. 根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为: (x+b 2a )2=b 2–4ac 4a 2因为a≠0，所以4a 2＞0，这样一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可由b 2－4ac 来判定。

我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b 2－4ac 。

一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)，当⊿=b 2－4ac ＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=b 2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿=b 2－4ac ＜0时，没有实数根。

上述性质反过来也成立。

2. 判别式的应用(1) 不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3) 证明方程的根的性质；(4) 运用于解综合题。

二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。

正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。

三、例题解析例1 不解方程，判断下列方程根的情况(1) 2x2－5x+10=0(2) 16x2－83x+3=0(3) (3－2)x2－5x+10=0(4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数)(5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数)(6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数)解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根(2)⊿=(－83)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根(3) ⊿=（－5)2－4(3－2)×10=5－430+85＞0∴方程有两个不相等实根(4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴ 方程有实数根(5) ⊿=〔－(4m －1)〕2－4×2×(m －1)=16m 2－8m+1－8m+8=16m 2－16m+9=4(2m －1)2+5＞0∴ 方程有两个不相等实根(6) ⊿=(2n)2－4×4(n 2－2n+5)=4n 2－16n 2+32n －80=－12n 2+32n －80=－12(n －43)2－1763＜0 ∴ 方程没有实数根说明：① 解这类题目时，一般要先求出⊿=b 2－4ac ，然后对⊿=b 2－4ac 进行化简或变形，使⊿=b 2－4ac 的符号明朗化，进而说明⊿=b 2－4ac 的符号情况，得出结论。

根的判别式

满分冲关第23页
• 第8题如图，某小区规划在一个长30m、宽 20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为 m，由题意列得方程 •
第2题
D
20
B
C
(30-2X)(20-X)=6×78
2
则原方程为x -3x-4=0
2
x1 1, x2 4
命题3:一元二次方程根的实际运用
• 1、 D • n 原来的值（ 1 x) 现在的值
表示增长或降低的次数
2、 C
• 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644 米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( )
第2题
x
80
x
100
第3题
• 两年前,某种化肥的生产成本是2500/吨,随着生产技术的改进,今年,该化肥的生产成本下降到1600元/吨. • (1)求前两年该化肥成本的年平均下降率; 设年平均下降率为x 2500（1-x） =1600 1-x= ±0.8 x=0.2或x=1.8(舍去）
2
• (2)如果按此下降率继续下降,再过两年,该化肥的生产成本是否会降到1000元/吨,请说明理由. 2 • 1600×（1-0.2） • =1024>1000 所以不会降到1000元/吨
2
2
为
6
• 第2题：（2013昆明6题3分）一元二次方程
4x 2x 1 0
2
• • • • •
的根的情况是【】 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定

多项式方程根的判别式的六种常见应用

多项式方程根的判别式的六种常见应用介绍多项式方程的判别式是用来判断方程的根的性质和数量的一个工具。

在数学中，多项式方程的形式可以表示为：ax^n + bx^(n-1) + ... + cx^2 + dx + e = 0其中，a、b、...、e是实数或复数，n是多项式的次数。

通过判别式的计算，可以得出方程的解的一些重要信息。

六种常见应用以下是判别式在多项式方程中的六种常见应用：1. 二次方程的判别式二次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ = b^2 - 4ac如果判别式Δ大于0，方程有两个不相等的实根；如果判别式Δ等于0，方程有两个相等的实根；如果判别式Δ小于0，方程没有实根，但可以有两个共轭复根。

2. 三次方程的判别式三次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2如果判别式Δ大于0，方程有一个实根和两个共轭虚根；如果判别式Δ小于0，方程有三个实根；如果判别式Δ等于0，方程有一个实根和两个共轭重根。

3. 四次方程的判别式四次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd如果判别式Δ大于0，方程有两个实根和两个共轭虚根；如果判别式Δ小于0，方程有四个实根；如果判别式Δ等于0，方程有两个实根和两个共轭重根。

4. 五次方程的判别式五次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ = −b^6c^4 + 6a^2b^4c^2 + 36a^2b^2c^3 - 4a^3c^3d - 4a^3b^5d + 16a^4b^3d^2 -18a^4bc^2d^2 − 27a^4a^2d^4 + 144a^3b^2c^2d^2 - 80a^3bcd^3 - 6a^2b^6d +144a^2b^3cd^3 + 128a^2b^2c^4d − 27abc^4d^3 + 1458abc^2d^4 + 256b^4c^5d +16b^7d^2 - 128b^5c^2d^3 + 432b^5cd^4 + 256b^4c^6 −144b^3c^4d^2 - 128b^3c^5d如果判别式Δ大于0，方程有一个实根和四个共轭虚根；如果判别式Δ小于0，方程有五个实根；如果判别式Δ等于0，方程有一个实根和四个共轭重根。

华东师大版九年级上册数学22.2.4一元二次方程的解法——根的判别式

（2）a 3,b 2,c 1, 4 431 8 0. 不存在实数根.
（4）a 2,b 6,c 9 , 2
62 4 2 9 0. 2
有两个相等的实数根.
灿若寒星
• 例2：已知mx方2 程(2m 1)x m 0 根，求
x

2

0
,
24
x 5 1, 23
（3）b2 4ac 7,
b2 4ac 7, 不能进行开方，所以我们
即x1

1 4
,
x2

1 4
.
即x1

1,
x2

ห้องสมุดไป่ตู้
2 3
.
无法在实数范围内找到符合方程的解.
你发现了什么？
灿若寒星
知识梳理（概括）
• 我们把b2 4ac 叫做一元二次方程根的判别
灿若寒星
我思，我进步
通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。
灿若寒星
2
灿若寒星
• 解（1：）a 3,b 5,c 4,
52 43 (4) 83 0. 有两个不相等的实数根.
（3）原式化为4y2 4y 1 0, 则: a 4,b 4,c 1. 42 4 41 0. 有两个相等的实数根.
式，通常用符号
ax2 bx c 0(a 0)
“ ”表示，用它可以直接判断一元二次
方△程>0方程有两个不相等的实
的实根数．根情况：
当：△＝0方程有两个相等的实
数根．
△<0方程没有实数灿若根寒星．
掌握新知
例1.利用根的判别式判断下列方程根的情况.

八年级数学学案27根的判别式

NO .27一元二次方程的解法——根的判别式一.学习目标：班级：姓名：1.会用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．二.自学指导： 1.解下列方程：（1）210x x +-= （2）230x -+= （3）22210x x -+=归纳：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠240b ac -> ；240b ac -= ；240b ac -< ．三.自学检测：1.不解方程，判别根的情况：（1）2310x x +-=；．（2）2650x x -+=；．（3）22340y y -+=；．（4）25x +=；．2.k 取何值时，关于x 的一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根？求出此时方程的根.3.关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx m --++=．求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．思维与拓展：若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解．编号：27 一元二次方程的解法——根的判别式当堂训练 .3.13必做题：班级：姓名：1．把方程243x x -=化为一般形式为，其中a = ， b = ，c = ； 24b ac - = ，方程的根的情况：2．若一元二次方程23(1)40x m x +--=中的2473b ac -=，则m 的值为 . 3．下列一元二次方程中,没有实数根的是 ( )A . 2410x x -+= B . 2230x x --= C . 2210x x +-= D . 2240x x ++= 4．若关于x 的方程220x x a +-=有两个相等的实数根，求a 的值 . 5．一元二次方程2220x x ++=的根的情况是 . 6．用公式法解下列方程：（1）2124x x -+=；（2）231x +=；（3）2(5)250x x -+=；（4）22(1)13y y +-=；7.关于x 的一元二次方程2(31)12mx m x m --=-，其根的判别式的值为1．8．若关于x 的方程22(2)(21)10k x k x -+++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.。

中考数学知识点：一元二次方程根的判别式

中考数学知识点：一元二次方程根的判别式新一轮的中考已经逐步进入复习中，小编为大家整理了一元二次方程根的判别式，让我们一起学习，一起进步吧!一元二次方程根的判别式1.根的判别式念在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即△=b2-4ac(注意不是△=)2.根的判别式的应用(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号AB表示为A是命题的条件，B是命题的结论)于是有：定理1ax2+bx+c=0(a≠0)中，△>0方程有两个不等实数根定理2ax2+bx+c=0(a≠0)中，△=0方程有两个相等实数根定理3ax2+bx+c=0(a≠0)中，△ 注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，得另三个定理，那就是定理4ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根△>0定理5ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根△=0定理6ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根△ 显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理，定理3与定理6，互为逆定理。

定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。

定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。

一元二次方程根的判别式练习题1、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是------______________.2.当#FormatImgID_0#a2(答案或提示：1.k>-1且k≠0;2.无实数根)3.下列方程中，有两个相等实数根的方程是()(A)7x2-x-1=0(B)9x2=4(3x-1)(C)x2+7x+15=0(D)#FormatImgID_1#x2-#FormatImgID_2#x+1=04.若方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不同的正整数根，则整数k的值是()。

华师大版初中数学九年级上册22.2.4《一元二次方程的根的判别式》ppt课件

一元二次方程的根的判别式
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
想一想
对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗?
在什么情况下，一元二次方程有解?有什
么样的解?
什么情况下一元二次方程无解?
25y2 20 y 4 0
3 2x2 3x 1 0
解：（ 3）2 4 21 5＜0
原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2x2 5x 4 0 2 7t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程
（ A）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
b2 4ac
D.根的情况无法确定 b2 4ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x2 3x k 0，问 k取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解：（ 3）2 41 k 9 4k
例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y
3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解：
（ 3）2 45（ 2） 49＞0
原方程有两个不相等的实数根。
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
的个数是( c )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2. 关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 2mx m 0

查数27的方法与技巧

查数27的方法与技巧-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该是全文的开篇，为读者提供对于本文主题的基本认识和背景知识。

在这个部分，我们可以进行以下内容的叙述：查数27的方法与技巧是一个着眼于探索数字27的特征和性质的文章。

在数学领域中，对于某个特定的数字进行研究和分析是一个常见的做法，以揭示其潜在的奥秘和有趣的特征。

而数字27作为一个具有特殊意义的数字，有着丰富的内涵和独特的属性。

本文旨在介绍关于查数27的方法和技巧，并将其应用于不同领域的实际问题。

通过深入探索27的特征和性质，有助于我们更好地理解和应用这个数字。

同时，本文也希望通过对查数27的研究，引发读者对于数字及其背后的数学规律的思考，促进数学思维的培养和数学知识的扩展。

在本文的正文部分，我们将介绍几种不同的方法来探索27的多个方面。

这些方法将包括数论、代数、几何等不同数学分支的技巧和思维方式，以期全面而深入地揭示27的奥秘。

每种方法将从不同的角度出发，通过具体的例子和推理过程，呈现出27的特殊性质和有趣的数学规律。

通过本文的研究和分析，我们将总结出关于27的重要结论，并探讨其在实际应用中的潜力。

此外，我们还将展望进一步拓展研究的可能性，以延伸对于数字27及其相关性质的认识。

最后，我们将对全文进行总结，强调27特殊性质的重要性和应用前景。

总之，本文将通过深入研究查数27的方法与技巧，帮助读者更好地了解和应用这个特殊的数字。

通过展示27的数学规律和特征，我们希望能够启发读者对于数学思考的兴趣，并拓宽他们的数学视野。

同时，我们也希望通过本文的探索，为进一步研究和应用数字提供一些思路和参考。

1.2 文章结构文章结构非常重要，它有助于读者理解整篇文章的组织和流程。

下面是本文的文章结构：2. 正文：本节将介绍四种不同的方法来查找数27，并给出每种方法的具体步骤和技巧。

2.1 方法一：在这个部分，我们将介绍第一种方法，即二进制法。

我们将解释如何将27转换为二进制数，并说明如何利用二进制运算快速查找目标数。

根的判别式

4、已知x1，x2是方程2x2+3x-1=0的两
1 1 个根，则值为 x1 x2
A 。
A. 3
C.
1 3
B.-3
D. -
1 3
5、关于x的方程 x² +(2k+1)x+k-1=０的根的情况是(A) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根
D. 根的情况无法确定
分析:Δ=(2k+1)2 - 4（k-1） = 4k2 + 5 > 0
分析:
方程整理为:(3 k -1)x²- 3x + 1= 0
由题意:Δ= b² －4ac = 9-4(3k-1)< 0
13 ∴ k > 12
∴ 整数k的最小值是 2.
8、若方程(1-k)x² －２x-1 =０有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（ D ） A．1 B．2 C．-1 D．0 Δ=b2－4ac=4+4(1-k)>0 ∴k < 2
注意：以三角函数为方程的根，有着丰富的内容，我们还可以有以下引申：
已知：a、b、c分别是ΔABC的三内角∠A、 ∠B、∠C 的对边，若∠C=90º ， (1)sinA，sinB是方程的根； (2)tanA，tanB是方程的根； (3)tanA，cotB是方程的根。
11、（河南）若一个直角三角形
相关知识：因式分解，三角形的三边关系
10、已知：a、 b、 c分别是 ΔABC的三内角 ∠A、 ∠B、∠C的对边,若∠C=90º ，且sinＡ、 cosB是关于x的方程ax² －４x＋１=0 的两根（1）求a的值；（2）试求ΔABC的面积。分析：在直角三角形中，sinA=cosB，因此,此方程有两个相等的实数根。解：由题意： ∠ C=90º ， ∴ sinA=cosB ∴ 方程有两个相等的实数根。 ∴ Δ= a ²－16=0， ∴ a= ±4(舍去负值) ∴ a 的值为4.

一元二次方程的根的判别式一教案

一元二次方程的根的判别式（一）1.知识结构：2.重点、难点分析（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3.教法建议：（1）引入要自然、合理新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.（2）利用多媒体进行教学本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.一、教学目标1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.二、重点·难点及解决办法1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

根的判别式

90 2x40 2x 72% 90 40.
即
解：设金边的宽为 x cm，根据题意得
x2+65x-350 ＝0.
解这个方程,得 x1 ＝5; x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金链的宽应是5cm.
练习1、一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数 1 的 8 的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是多少?你能解决这个问题吗? 解:设猴子总数是x只。
解设：增加了X行
(X+8)(X+12)=12×8+69
化简得
X² +20X=69
X1=3
,X =-23（舍）
2
答:增加了3行。
、解含有字母系数的一元二次方程
1、解关于X的方程mx 2 3x 1 0 1 解：当m 0，x 3 当m 0， 9 4m， 9 当9 4m 0，即m 时， 4
当x2 10 10时, 长40 2 x 20 2 10 25不合题意, 舍去. 答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的宽为 10 10 m.
解这个方程, 得 x1 10 10 ; x2 10 10.
x

. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙( 墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(1)设养鸡场的平行与墙的长为xm,根据题意得
E B
K
F H C
G D
2、课本55页问题解决2：
（课本55页1）如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为x米

一元二次方程根的判别式

当Δ>0时，方程有两个实根x1和x2，分别为-b+√Δ/2a和-b-√Δ/2a；当Δ=0时方程有两个根是重根x1=x2=-b/2a；当Δ<0时，方程无实数根。
上面结论反过来也成立，当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件也可以判断出方程有几个实数根
一元二次方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠O)中根的判别式为b2－4ac，用符号Δ表示。当Δ大于0时，有两个不同的实根；当Δ等于0时，有两个相同的实根；当Δ小于0时，无实根。根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，也可以判断出方程有几个实数根。

有趣的根的判别式

有趣的根的判别式
什么是代数的判别式？说到这个概念，大多数学生都比较熟悉，但是在实践中，却很少有人知道如何用简洁的数学符号来表达有趣的根的判别式。

其实，判别式的定义是以下的公式：ax^2 + bx + c = 0，它可以用来判断一个二次多项式的根是实
数根还是双根（复数根）。

而判别式的形式为：D=b^2 — 4ac，它可以用来检验根
的有无，及其根的性质。

若D>0，则说明多项式有实根；若D=0，则说明多项式有一个重根；若D<0，则说明多项式有两个不等的虚根。

从此，我们可以观察出一些规律性的表达式，即多项式的根的性质可以由代数的判别式来推断出来。

当D等于0时，表明多项式有一个重根；例如：ax^2+bx+c=0中，a=2，b=4，
c=2时，D=b^2-4ac=16-16=0，所以它有一个重根；
若D>0，则上面的多项式有两个不等实根。

如a=3，b=2，c=1时，D=b^2-
4ac=4-12= -8>0，所以它有两个不等的实根；
当D<0时，表明多项式没有实根，它有两个不等的虚根。

如a=1，b=2，c=3时，D=b^2-4ac=4-12=-8<0，所以它有两个不等的虚根。

通过此观察，我们可以看出遵循代数的判别式可以轻松地预测出一个二次多项式的根的性质，它展示了空间中图形的绝对完美，以及代数学知识在这类几何图形中的广泛应用。