最新讲义三角形、梯形中位线

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数学中考复习课件：三角形和梯形中位线

的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C
移动而R不动时，那么下列结论成立的是
()
C
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减少
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长不能确定
5.直角梯形的中位线为a，一腰长为b，这个腰与底边所
成的角是30°，则它的面积是( B )
A.ab
B. 1 ab
证明：(1)∵AB∥DC ∴S△ADC=S△MDC=S△BDC，
即S1=S2=S3
∴S1= (S2+S3)பைடு நூலகம்
图5-5-7(1)
(2)如图5-5-7(2)所示，若AB与CD不平行，是否有 S1=1/2(S2+S3)?请说明理由.
(2)有
(3)如图5-5-7(3)所示，若AB与CD相交于O点，问S1与S2、S3有何相等关系?试证明你的结论.
1.梯形的高是6cm，面积是24cm2，那么这个梯形的中
位线长是( C ) A.8cm B.30cm C.4cm D.18cm
2.梯形的两条对角线与中位线的交点把中位线分成三等
分，则较短底边与较长底边的比为( A )
A.1∶2 B.2∶3 C.1∶3
D.2∶5
3.如图，EF是梯形ABCD的中位线，则△DEF的面积等于梯形ABCD面积的( B )
C.
1 4
ab
2
D. 1 ab
3
➢ 典型例题解析
【例1】如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC 与BD垂直相交于O，MN是中位线，∠DBC=30°，求证： AC=MN.
➢ 典型例题解析
【例2】 (1)如图(1)所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，点E为BC的中点，设△DEA面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，则S1与S2的关系是.

三角形和梯形中位线

三角形和梯形中位线【知识点精要】1．三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

它与三角形中线是不同的概念，三角形的中线有三条，其端点一个是中点，一个是顶点；三角形的中位线有三条，两个端点都是中点．2．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这个定理是一个题设，两个结论，表示了两线段间的位置关系（平行）与数量关系（倍分）．3．梯形的中位线连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：梯形的中位线是连结两腰中点的线段．而不是连结两底的中点的线段．4．梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半，这个定理也表明了几条线段间的位置关系及数量关系．5．梯形的面积公式设梯形面积为S ，上底为a ，下底为b ，中位线长为l ，则有S =12(a + b )h = lgh ，l =12(a + b )，即梯形的面积也等于中位线与高的乘积．【例题】例1．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AM = MB ，DN = NC ．求证：MN ∥BC ，MN =12(BC + AD )．例2．求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．例3．已知：三角形的各边分别为6cm 、8cm 和10cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．例4．如图，等腰梯形ABCD的周长是80cm，如果它的中位线EF与腰长相等，它的高是12cm．求这个梯形的面积．例5．已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别是AO、BO、CO、DO的中点．求证：（1）四边形A′B′C′D′是梯形；（2）梯形ABCD的周长等于梯形A′B′C′D′周长的2倍．例6．如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC、BD与MN交于F、E，AD = 30cm，BC = 40cm．求EF的长．例7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且BC = AB + DC．求证：BE⊥CE．例8．如图，在△ABC中，∠B = 2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点．求证：DM =12 AB．【练习与作业】一、选择题1．梯形ABCD中，AD∥BC，过A作AE∥DC，交BC于E，已知梯形周长为30cm，AD = 5cm，则△ABE的周长为（）A．25cm B．20cm C．15cm D．10cm2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB = 2cm，CD = 8cm，M、N分别为对角线AC、BD中点，则MN 的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．平行四边形4．顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形5．顺次连结四边形各边中点得到一个菱形，则原四边形是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．两条对角线相等的四边形6．一个梯形的中位线长为l，两对角线互相垂直，则这梯形的高为（）A．l B．2l C．12l D．不能确定其大小7．梯形的中位线长为20cm，高为4cm，则梯形面积为（）A．40cm2B．60cm2C．80cm2D．100cm2 8．若等腰梯形两底差等于一腰长，那长它的腰与下底的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．过Y ABCD对角线交点O，作OE∥AD，交AB于点E，则OE等于（）A．EB B．12AB C．OB D．12BC10．已知△ABC的周长为50cm，中位线DE = 8cm，EF = 10cm，则另一条中位线DF的长是（）A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm11．已知梯形中位线长为26cm，上，下底的比为1：3，则梯形的上、下底之差是（）A．26cm B．13cm C．39cm D．19.5cm12．已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE的周长等于（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题13．梯形中位线长9cm，上底长8cm，下底长cm．14．等腰梯形的中位线长6cm，腰长4cm，它的周长是．15．等腰梯形的中位线长30cm，一底角为60°，且一条对角线平分这个角，则此梯形的周长为cm．16．等腰梯形的对角线平分锐角，又分中位线成7cm和9cm两部分，则梯形周长是．17．四边形的两条对角线长分别是12cm和10cm，顺次连结各边中点所得的四边形的周长是．18．已知等腰梯形的腰长与中位线长相等，周长是32cm，则腰长为cm．19．已知梯形中位线长80cm，下底与上底的差为40cm，则梯形上底是，下底是．20．已知梯形上、下底的比是4：5，中位线长是18cm，则梯形上底是，下底是．21．等腰梯形的腰长为5cm，高为3cm，中位线长为8cm，则上、下底的长分别是．22．梯形的下底是20cm，上底是下底的34，则中位线长是．23．△ABC的三条中位线构成三角形的周长是6cm6cm，则△ABC周长是．24．三角形的一条中位线，把三角形分成两部分，其中三角形的面积是梯形面积的倍．25．已知梯形上、下底的比是4：5，中位线长是18cm，则下底是．三、解答题26．梯形ABCD中，AD∥BC，中位线MN为10cm，过顶点B作BE∥CD交AD于E，AE = 2cm，求梯形上、下底的长．27．如图，AA′∥EE′，AB = BC = CD = DE，A′B′ = B′C′ = C′D′ = D′E′，AA′ = 28mm，EE′ = 36mm，求BB′、CC′、DD′的长．28．已知：一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m，一个底角是45°．求这个梯形的面积和上、下底边的长．29．已知等腰梯形的两底差是4，中位线长是6，腰长是4，求等腰梯形的面积．30．等腰梯形的对角线分它的中位线成两部分，长分别为8，20，腰长为24，求梯形各内角度数．31．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，MN是中位线．求证：CD = MN．32．已知M、N分别是Y ABCD的AB、CD边的中点，CM交BD于E，AN交BD于F．求证：BE = EF = FD．33．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、DC 的中点．求证：GH =12(BC – AD )．34．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC = 3AD ，E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点．求证：四边形ADEF 是平行四边形．35．如图，M 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、AC 、AB 的中点，AD ⊥BC 于D ．求证：四边形DEFM 为等腰梯形．36．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，垂足为F，MN是梯形中位线．求证：DF = MN．。

梯形、三角形中位线

梯形、三角形中位线一.梯形、三角形中位线在证明平行、线段相等及线段的倍、半问题中起了重要的作用，对此我们应给予足够的重视。

二.知识要点：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。

推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。

2.三角形中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3.梯形中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

三.例题例1.如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点。

求证：OE=BE。

分析：已知D是AB中点，遇到中点我们应当考虑到可能要用中位线，有中位线就可以得到线段的一半，同样可能再得到线段的一半，从而可以得到某线段的；又已知3AE=2AC，得AE=AC，如果取AE中点F，连结DF就可得到△ABE的一条中位线。

证明：取AE中点F，连结DF，∵D是AB中点，∴DF是△ABE的中位线∴DF=BE且DF//BE（三角形中位线定理）∵3AE=2AC，∴AE=AC∴AF=FE=EC=AC在△CFD中，∵EF=EC且DF//BE即OE//DF，∴CO=DO（过三角形一边中点，与另一边平行的直线，必平分第三边）∴OE是△CDF的中位线∴OE=DF∴OE=BE。

说明：本题我们做了一条中位线，使得在两个三角形中可使用中位线定理。

遇中点，作中位线是常见的辅助线。

例2如图，在梯形ABCD中AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别与BD、AC 相交于M、N。

且AD=20cm，BC=36cm。

求MN的长。

分析：因为EF是中位线，所以EF//AD//BC，EF=(AD+BC)如果能求出EM和NF的长，就可以求出MN的长。

第12讲梯形及中位线(讲义)解析版

第12讲梯形及中位线本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．另外：等腰梯形是轴对称图形；【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．例题解析例1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为( )．A．4 B．6 C．4√3D．3√3【答案】B【分析】过点A作AE∥DC，可判断出△ABE是直角三角形，四边形ADCE是菱形，从而求出CE、BE即可得出BC的长度．【详解】过点A作AE∥DC，∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AC平分∠BCD，∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ADCE是菱形，∴CE=AD=AE=2，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠BCD=60°，又∵∠B=30°，∴∠BAE=90°，∴BE=2AE=4，∴BC=BE+CE=6.故答案为：6.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形.例2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为（）A．B．10 C．4D．【答案】C【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.【详解】根据题意画出图形，则DE=CD=CF ，AD=8，∠A=30°.因为DE ⊥AB ，∠A=30°，AD=8，所以DE=12AD=4，所以CD=4，因为DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，所以DE ∥CF. 因为CD ∥EF ，所以四边形CDEF 是平行四边形，所以EF=CD=4.因为CD=4cm ，，所以，所以梯形的中位线长为12故选C.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解.例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】B【分析】作梯形的两条高线，证明△ABE ≌△DCF ，则有BE=FC ，然后判断△ABE 为等腰直角三角形求解．【详解】如图,作AE ⊥BC 、DF ⊥BC,四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ，BC −AD=12，AE=6，∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AB=DC ，∠B=∠C ， ∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AEFD为矩形，∴AE=DF，AD=EF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=FC，∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，∴BE=6，∵AE=6，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°.故选B.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.例4．（2018·上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是（）A．等腰梯形的两底平行且相等B．等腰梯形的两条对角线相等C．等腰梯形在同一底上的两个角相等D．等腰梯形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形.【详解】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知B、C不符合题意;同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D不符合题意,而等腰梯形两底平行但不相等,因此A符合题意.故选A.【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.例5．（2017·上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰梯形或平行四边形【答案】D【解析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案．解：A 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故A 不正确；B 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故B 不正确；C 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故C 不正确；D 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故D 正确．故选D ．“点睛”本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质. 考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任何一种情况，要求培养严谨的态度.例6．（2019·上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（______）【答案】错误【分析】根据题设画出反例图形即可.【详解】解：反例：如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，90C D ∠=∠=︒，而梯形ABCD 不是等腰梯形.故该命题是假命题，故答案为：错误.【点睛】本题考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性质，举出反例是解题的关键. 例7．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，，AC AB ⊥，那么梯形ABCD 的周长等于__________．【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质得到DAC DCA ∠=∠，根据平行线的性质得到DAC ACB ∠=∠，得到DCA ACB ∠=∠，根据直角三角形的性质列式求出，根据直角三角形的性质求出BC ，根据梯形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：，DAC DCA ∴∠=∠，//AD BC ，，，//AD BC ，AB DC =，2B BCD ACB ∴∠=∠=∠，AC AB ⊥，，即390BCA ∠=︒，，28BC AB ∴==，，8BC =，梯形的周长444820=+++=，故答案为：20．【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含30的直角三角形的性质是解题的关键．例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是__________cm ．【答案】4【分析】根据梯形中位线定理解答即可．【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是x cm ，根据题意得：()1652x +=，解得：x =4，即该梯形的另一条底边的长是4cm ．故答案为：4．【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键．例9．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD AB =，BD ⊥BC ，则∠C =________．【答案】60°【分析】利用平行线及AB ∥CD ，证明，再证明，再利用直角三角形两锐角互余可得答案．【详解】解：因为：AB ∥CD ，所以：,ADB ABD ∠=∠ 因为：AD AB =，所以：BDC ABD ∠=∠ ，所以；，因为：等腰梯形ABCD ，所以：，设：BDC x ∠=︒ ，所以2BCD x ∠=︒，因为：BD ⊥BC ，所以：290x x +=，解得：所以：60C ∠=°．故答案为：60︒．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键．例10．（2019·上海上外附中八年级期中）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC BD ⊥，6AC =，8BD =，则梯形ABCD 的面积为__________．【答案】24【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式即可求得答案．【详解】解：如图所示，梯形对角线垂直，则11682422ABCD S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=．故答案是：24【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积公式；对角线垂直时，四边形可看成四个直角三角形的面积之和，可得对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半．例11．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12，AB ＝DC ＝8．∠B ＝60°．（1）求梯形的中位线长．（2）求梯形的面积．【答案】（1）8（2）【分析】（1）过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，则四边形AECD 是平行四边形，得AD ＝EC ，AE ＝DC ，证出△ABE 是等边三角形，得BE ＝AB ＝8，则AD ＝EC ＝4，即可得出答案；（2）作AF ⊥BC 于F ，则∠BAF ＝90°﹣∠B ＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF ＝12AB ＝4，AF ＝. 【详解】解：（1）过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ，AE ＝DC ， ∵AB ＝DC ， ∴AB ＝AE ， ∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝8，∴AD ＝EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣8＝4， ∴梯形ABCD 的中位线长＝12（AD +BC ）＝12（4+12）＝8；（2）作AF ⊥BC 于F ，则∠BAF ＝90°﹣∠B ＝30°，∴BF ＝12AB ＝4，AF ＝∴梯形ABCD 的面积＝12（AD +BC ）×AF ＝12（4+12）×【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30度角的性质.例12．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，CE ⊥BF 于点O ．（1）求证：四边形EBCF 是等腰梯形；（2）EF=1，求四边形EBCF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）94．【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF ，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．【详解】（1）∵点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴EF//BC ，BE=12AB=12AC=CF ，∴四边形EBCF 是等腰梯形；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，∵EF//BC ，即EF//CG ，且CG=EF ， ∴四边形EFGC 是平行四边形，又∵四边形EBCF 是等腰梯形， ∴FG=EC=BF ， ∵EF=CG ，FC=BE ， ∴△EFB ≌△CGF （SSS ）， ∴BFG EBCF S S=四边形，∵GC=EF=1，且EF=12BC ， ∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3． ∵FG//EC ，∴∠GFB=∠BOC=90°， ∴FH=12BG=32， ∴BFGEBCF 1393224S S==⨯⨯=四边形．【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．例13.如图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积．【难度】★★【答案】2cm ．【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =30°． ∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBC =30°，∴AB =AD∵BD ⊥CD ，∴∠DCB =60°，∴∠ABC =∠DCB ， ∴AB =CD ．设AB = CD = AD = x ，Rt △BCD 中，∵∠DBC =30°，∴BC = 2CD = 2x ，∴30 = x +x +x +2x ，解得：x =6．作AE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∵∠BAE =30°， ∴BE =3，AE =∴S =12（AD +BC ）AE =2cm ．【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．例14.如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长．【难度】★★ 【答案】5 【解析】联结CE∵EG 垂直平分CD ，∴EC =ED ，∠ECD =∠D =45°，∴∠CED =90°， ∵∠A =90°，AD ∥BC ， ∴四边形BAEC 是矩形， ∴BC = AE ．设BC =x =AE ，∴ED =EC =AB =5-x∵∠FEA =∠GED =45°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF =AE =x∴BF =BA +AF =5-x +x =5．【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF 的长．例15.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°，（1）求证：AB ⊥AC ；（2）若DC =6，求梯形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵AB =CD ，∴∠B =∠DCB =60°，∠BAD =∠D =120°∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30°∴∠BAC =∠BAD -∠DAC =120°- 30°=90°∴BA ⊥AC ；（2）∵AB =AD =DC ，DC =6， ∴CD =AD =AB =6在直角三角形ABC 中，∵∠ACB =30°， ∴BC =2AB =12作AE ⊥BC ，则AE =∴S 梯ABCD =1()2AD BC AE +=【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．例16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ．求证：AB =DC ．【难度】★★【解析】∵AC 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =12∠DCB∵DE //AC ，∴∠E =∠ACB =12∠DCB ∵∠B =2∠E ，∴∠B =∠DCB ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB =CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用．例17.如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD 相交于点O ，∠1=∠2．求证：梯形BDEC 是等腰梯形．【难度】★★【解析】∵AB AC =， ∴∠DBC =∠ECB在△BCD 与△ECB 中，∠1=∠2，BC =BC ∴△BCD ≌△ECB ，∴BD =CE∵AB =AC ， ∴AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =1(180)2A ︒-∠=∠ABC =∠ACB∴DE //BC ，又∵BD 与CE 不平行∴四边形BDEC 是梯形，且BD =CE ，∴梯形BDEC 是等腰梯形【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．例18.如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由．【难度】★★【答案】（1）x =5；（2）不能．【解析】（1）由题可知：OC =5，BC =10，OA =14．∵BC //OA∴当Q 点在BC 上，且OP =CQ 时，四边形OPQC 是平行四边形即2x -5= x ，解得：x = 5；（2）作点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点Q 作QF ⊥OP 与点F∵AO //BC ，∴CE =QF当OE =PF =4时，△OCE ≌△PQF ，此时四边形OPQC 为等腰梯形，即OP =OE +CQ +PF ，∴x =4+（2x -5）+4，解得：x =-3（舍）， ∴四边形OPQC 不能成为等腰梯形．【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．例19.如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S =x 的值．【难度】★★★【答案】（1）BC =40-2x ；（2）2S =+（020x <<），x =4．【解析】（1）等腰梯形ABCD 中，AB =CD =x ，∴BC =40-x -x =40-2x ；（2）作BE ⊥AD ，CF ⊥AD在Rt △ABE 中，∵∠ABE =30°， ∴AE =12x ．同理FD =AE =12x ， ∴BE =CF ．∴EF =BC =40-2x ， ∴AD =40-x∴()1(4024022BC AD BE S x x +==-+-=+（020x <<），当S =x =4或683x =（舍）∴当S =x 的值为4．【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．例20.已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式．【难度】★★★【答案】（1）C （13，4）或（19，4）或（16，5）；（2）46433y x =-+或46433y x =-．【解析】由题可知：A （16，0），B （0，4）．当OB ∥AC 时，点C 坐标为（16，5），当BC ∥AO 时，点C 坐标为（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函数的图像经过A 、C 两点，∴C 点坐标不能为（16，5），当A （16，0），C （13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-+；当A （16，0），C （19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-．【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．例21.如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域；（2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）x =3时，PQ 平分梯形面积．【解析】（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则CD =AE =3，CE =4，可得：BC =5，所以梯形ABCD 的周长是18．∵PQ 平分梯形ABCD 的周长，∴x +y =9， ∵06y ≤≤， ∴39x ≤≤， ∴；（2）由题可知，梯形ABCD 的面积是18．因为P 不在BC 上，所以37x ≤≤．当3≤x ＜4时，P 在AD 上，此时12APQ S xy ∆=， ∵线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =可得方程组，解得：或（舍）；可得方程组，方程组无解，∴当x =3时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．模块二：辅助线知识精讲解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高等．例题解析例1.如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（）A ．20B ．21C ．22D ．23【难度】★★ 【答案】D【解析】∵AE BC ⊥，13AB =，12AE =， ∴BE = 5．∵梯形ABCD 中，//AD BC ，，AE BC ⊥， ∴，故选D ．【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．例2.已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长．【难度】★★ 【答案】CD = 8．【解析】作DE //AB ，则四边形ABED 是平行四边形．∴AD =BE =2，∠DEC =∠B =70°．在△DEC 中，∠C =40°，∴∠EDC =180°-40°-70°=70°，∴CD =CE =BC -BE =10-2=8．【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．例3.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】C【解析】分别过点F 做FG //AD ，FH //BC ，分别交BA 于点G ，H可得平行四边形DFGA 与平行四边形FCBH∴AG =FD =CF =BH =1122CD a =，∴GH =b -a∵∠A +∠B =90°， ∴可得直角△FGH ，E 是GH 中点∴EF =11()22GH b a =-，故选C ．【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．例4.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ．【难度】★★【解析】作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∵AD //BC ，∴AF =DE ．在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴AF =12BC ．∵BC =BD ， ∴DE =12BD ．∴在Rt△BDE中，∠DBC=30°，∴∠BCD=∠BDC=75°∴∠DOC=∠DBC+∠ACB=75°，∴∠CDO=∠COD=75°，∴CD=CO．【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，AC=10cm，求梯形的高DE的长．【难度】★★【答案】．【解析】等腰梯形ABCD中，∵OB=OC，∠BOC=60°，可得等边△OCB，∴∠DBC=∠ACB=60°∵AC=BD=10，∴在直角△BDE中，BE=152BD=，∴DE=cm．【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．例6.如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，则CE=__________．【难度】★★★【答案】4或6．【解析】过点B作DA的垂线交DA延长线于M，M为垂足,延长DM到G，使得MG=CE，联结BG，可得四边形BCDM是正方形．∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG，∴∠MBG=∠CBE∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10设CE=x，则AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x．在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6．故CE的长为4或6．【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．模块三：中位线知识精讲三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．例题解析例1（1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；（3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；（4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；（5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是；（7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是．【难度】★【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形．【解析】利用三角形中位线性质可证明．【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．例2．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（）A．4 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．【详解】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∴DE=3，故选B．【点睛】此题考查三角形的中位线，解题的关键是熟练运用三角形的中位线定理，本题属于基础题型．例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（） A ．平行四边形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【答案】C【分析】由E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，得出EF ，HG ，FG ，EH 是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．【详解】如图所示，因为E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、BD ，因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点，所以EF=12AC ，同理可得HG=12AC ，FG=12BD ，EH=12BD ，又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD ，因此有EF=FG=GH=HE ，所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形. 故选C.【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于画出图形.例4．（2019·上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为4，6，则梯形的中位线长为_________【分析】作//DE AC 交AC 延长线于点E ，得到直角三角形BDE ，和平行四边形，运用平行四边形的性质和勾股定理求得BE 的长度，依据梯形中位线等于上下底和的一半即可. 【详解】解：如图，梯形ABCD ,//AD BC ,6AC =,4BD =,90BOC ∠=°，作//DE AC 交AC 延长线于点E ,∴四边形是平行四边形，, ∴CE AD =,6DE AC ==,, ∴,【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是通过作平行线把上下底的和看成一个整体.例5．（2019·上海上外附中）如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 中点，且6AB =，8CD =，则EF 的长度a 的范围是___________【答案】17a <≤【分析】连接BD ，取BD 的中点G ，连接GE GF 、，得到EG 是DBA 的中位线，FG 是DBC △的中位线，依据三角形中位线的性质求出132GE AB ==，142GF DC ==，分//AB DC ，AB DC 、不平行时，两种情况讨论，依据三角形三边关系即可.【详解】解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接GE GF 、，又∵E ，F 分别为AD ，BC 中点，∴EG 是DBA 的中位线，FG 是DBC △的中位线， ∴132GE AB ==，142GF DC ==， ①当//AB DC 时，；②当AB DC 、不平行时， ∵GF GE EF GE GF -<<+， ∴17EF <<；综上所述：17EF <≤，即17a <≤. 故答案为：17a <≤.【点睛】本题考查了三角形三边大小关系，构造三角形的中位线、分类讨论是解题的关键. 例6.（2017·上海闵行区·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是______．【答案】AD=BC．【解析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．解：条件是AD=BC．∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥=BC，GF∥=BC，∴EH∥=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，∴GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．例7.（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，将▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为_____．【答案】4【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF＝12BC＝12×8＝4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．例8．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE的长是6，则AC=____．【答案】12．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∴AC=2DE=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例9．（2019·上海上外附中）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点O 为对角线AC 中点，点M 为边AD 中点，则四边形ABOM 的周长为________【答案】18【分析】根据题意可知OM 是ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM 的周长．【详解】解：∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，，O 为AC 的中点，M 为AD 的中点，OM ∴为ADC 的中位线，142AM AD ==， 116322OM DC ∴==⨯=，，四边形ABOM 的周长346518OM AM AB BO =+++=+++=，故答案为：18．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大.例10.（1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，D EF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为．【难度】★【答案】（1）20cm ；（2）242cm ．【解析】（1）2()20ABC C AB BC AC DE EF DF ∆=++=++=cm ．（2）∵三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，且2223+45=，∴可知△ABC 是直角三角形， ∴168242S =⨯⨯=2cm ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．例11.如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥点F 在边AB 上，EF //BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2BF +AC =AB ．【解析】（1）延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CG ，AE 平分∠BAC∴△AEG 与△ACE 中，∠GAE =∠CAE ，AE =AE ，∠AEG =∠AEC∴△AGE ≌△ACE ∴AG =AC ，即△AGC 是等腰三角形，∴E 是GC 的中点．∵D 是CB 的中点，∴DE //BA ， ∵EF //BD ， ∴四边形BDEF 是平行四边形；（2）∵ED 是△BCG 的中位线， ∴ED =12BG ．又∵平行四边形BDEF ，∴ED =BF ，∴BF =12BG ，即BG =2BF ． ∵AG =AC ， ∴2BF +AC =BG +AG =BA ．【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．例12.如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ．【难度】★★【解析】∵AD //BC ， ∴∠ADO =∠DBC =30°．∴在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，OA =12AD ，OC =12BC ， ∴AC =OA +OC =1()2AD BC +． ∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN =1()2AD BC +， ∴AC =MN ．。

八年级数学三角形、梯形的中位线人教版知识精讲

初二数学三角形、梯形的中位线人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角形、梯形的中位线二. 重点、难点：1. 重点：三角形、梯形中位线定理的内容及应用。

2. 难点：中位线与中点问题、面积问题、直角三角形等特殊的三角形的综合应用。

三. 知识要点：1. 三角形中位线中位线与中线的区别定理：中位线∥第三边=⎧⎨⎪⎩⎪122.()()梯形中位线定理∥两底，且上底下底面积：中位线高：·—，—==⎧⎨⎪⎩⎪+12S l h l h3. 梯形中位线的一些性质：A DE FG HB C （1）平分对角线；（2）对角线中点的连线=12（下底－上底）【典型例题】例1. 如图，AD∥BC，AB∥EG，AG∥BF。

求证：GD＝DCGA DB EC F证明：∵AG ∥BF ，AB ∥EG∴四边形ABFG 是平行四边形∴AB ＝GF同理，四边形ABEF 为平行四边形∴AB ＝EF∴GF ＝EF又FD ∥EC∴GD ＝DC （过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边）例2. 已知：△ABC 中，AB ＞AC ，CD 平分∠ACB ，AD ⊥DC ，F 为AC 的中点，延长FD 交AB 于E 点。

求证：EF BC =12AE FB C D 3 2 1证明：∵AD ⊥DC ，F 为AC 的中点∴DF ＝FC∴∠1＝∠3又CD 平分∠ACB∴∠1＝∠2∴∠2＝∠3∴FD ∥BC ，即EF ∥BC∴E 为AB 的中点∴EF BC =12例3. 如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 交于O ，且∠AOB＝60°，又E 、F 、G 分别为DO 、AO 、BC 的中点。

求证：△EFG 为等边三角形。

A BD C证明：连结EC∵四边形ABCD 为等腰梯形∴△ADC ≌△BCD （SAS ）∴∠ODC ＝∠OCD∴OD ＝OC又∠DOC ＝∠AOB ＝60°∴△DOC 为等边三角形又E 为DO 的中点∴CE ⊥DO∴△BEC 为直角三角形又G 为BC 的中点∴=EG BC 12同理，可证FG BC =12 ∵F 为AO 的中点，E 为DO 的中点∴=EF AD 12又AD ＝BC ∴=EF BC 12 ∴EF ＝EG ＝FG∴△EFG 为等边三角形例4. （中考题）（1）（重庆，2004）已知一个梯形的面积为22cm 2，高为2cm ，则该梯形的中位线的长等于____________。

三角形,梯形的中位线

1、什么叫做三角形的中位线？连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、叙述一下三角形中位线定理。三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. C
D E
A
AB 2
1、什么叫做梯形的中位线？连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 2、叙述一下梯形中位线定理。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
3、三角形，梯形中位线性质的应用.
驶向胜利的彼岸
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, 4 A E,F分别是AB,CD的中点。AD=3， 4 D 2 2 2 4 P3 3 F BC=5. E 1 P G 3 1 B C拓展1：若EF与对角线BD相交于 G, 求 EG 的长度。方案一方案二方案三
P EG是三角形ABD的中位线吗？怎样证明G是BD的中点呢？你有什么好的想法？
A D F E
E , F分别为AB, DC的中点， 1 EF // AD // BC, 且EF ( AD BC). 2
B
C
A E B
1
3
D F
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, E,F分别是AB,CD的中点。AD=3， BC=5. 拓展 1：若 EF与对角线BD相交于（ 1）求 EF的长度。 C G,求EG的长度。（2）连结BD，若BD平分∠ABC, 则AB的长度是多少？
1 1 所以： EH BC, EG AD, 2 2 1 1 1 所以： GH EH EG BC AD (BC AD). 2 2 2
所以： EH为 Δ ABC 的中位线， EG为 Δ BD的 A 中位线。
A E G 2
4 1
B
方案一
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, D E,F 3 G,H分别是分别为AB,CD BD,AC的中点。的中点 AC,BD 连结 AG交 BC于点 , P 解：分别交 EF于 H,G. 为： AD//BC, 所以： 3 AB,CD 4. H F 因思考：把上题中 E,F 为中因为： G是 BD中点，所以： DG BG. 点改为G,H为BD,AC的中点，则 1 3 4， GH ( BC C 在结论 P AD ) 还成立吗？ Δ AGD和 Δ PGB DG BG, 2中，

三角形梯形中位线

三角形梯形中位线知识点：1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。

（2）三角形的中位线与三角形的中线不同（3）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

定理符号语言表达：在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点，；。

2．梯形中位线：1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；∴ 。

注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：我们知道：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积3、中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。

2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。

3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。

ED BCAEBD A CF图2试一试：1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．2．一个三角形的中位线有_________条．3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。

沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-学生版讲义

三角形、梯形的中位线知识精要一、三角形的中位线1）、三角形的中位线定义：在△ABC 中①、BC AB F E 、为、的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点∴线段EF 是 △ABC 的 ∴ 线段MN 是△ABC 的2）、三角形有条中位线，它们构成的三角形叫。

3）、三角形的中位线定理：4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___ ______. 5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是_结论：中点三角形的周长等于原三角形的 .7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_ 二、中点四边形1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是；3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是。

5）、任意四边形的中点四边形是；菱形的中点四边形是；矩形、等腰梯形的中点四边形是；正方形的中点四边形是。

三、梯形中位线1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

2、梯形中位线定理：热身练习1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 cm 2。

2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是 cm ．5. 已知等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 cm 2．6. 已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( )A. (a+b+c)B. (a+b+c)C. (a+b+c)D. (a+b+c)7．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是（） A.1:2 B. 2:3 C.4:1 D. 3:5 8．直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（）A. B. a C. D. 都不对9．在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，则（） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 3：410. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点，AD ∥BC,试判断OA 与OB 的关系？（10题图）（11题图）11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．精解名题例1．已知：如图所示，Rt △ABC 中，∠=ACB D E 90°，、分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上，∠=∠FEC B 。

三角形、梯形的中位线PPT教学课件

叶片的立体结构和平面结构
叶脉
对照图，认识叶片各部分的结构，看一看叶肉细胞排列是否一样？内部绿色颗粒数目是否一样？想一想绿色颗粒与光合作用有什么关系？说出各部分结构适于光合作用的特点。
栅栏组织
叶肉
海绵组织叶脉
上表皮下表皮
气孔保卫细胞
填图练习
叶肉叶脉
气孔
表皮保卫细胞
叶片的结构:表皮、叶肉、叶脉。
合理密植，立体种植。
表皮：无色透明，有利于光线的透入；外有角质层，有保护作用；表皮上有保卫细胞、以及由保卫细胞围成的空隙——气孔，气孔是气体进出的门户。
叶肉：分栅栏组织和海绵组织。栅栏组织细胞呈圆柱形，排列整齐，细胞含叶绿体较多。海绵组织细胞形状不规则，排列比较疏松，细胞含叶绿体较少。
叶脉：有导管和筛管。导管运输水分和无机盐，筛管运输有机物。
3
求：（1）FG；
D
2
E
（2）BC；
3
F
G
（3）S梓形BCED
3
B
C
8、如图，A2B2是梯形A1A3B3B1的中位线，
A3B3是梯形A2A4B4B2的中位线，若A1B1=2，
A3B3=4，则A4B4=____，按上5述方法继，得
AnBn，则续下去AnBn=_____
n+1
A1 A2
A3 A4
B1
B2 B3 B4
极细光束
黑暗中
1装片中好氧菌集中在被光束照射到的部位附近。
光照下
2装片中好氧菌集中在叶绿体所有受照射的部位。
恩吉尔曼的水绵光合作用实验
为什么好氧细菌集中在叶绿体所有受光部位的周围？

三角形中位线和梯形中位线讲义+习题含答案

三角形中位线和梯形中位线要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.类型一、三角形的中位线1、如图，已知P 、R 分别是长方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【变式】在△ABC 中，中线BE 、CF 交于点O ，M 、N 分别是BO 、CO 中点，则四边形MNEF 是什么特殊四边形？并说明理由．2、如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是（） 1214A ．2B ．3 C. D ．43、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【变式】如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN⊥BE 于N ，AM⊥CF 于M ，求证：MN∥BC．4、（1）如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD ．（提示取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）52（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1类型二、中点四边形5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF 、FG 、GD ．（1）判断四边形DEFG 的形状，并说明理由；（2）若M 为EF 的中点，OM=2，∠OBC 和∠OCB 互余，求线段DG 的长．类型三、梯形中位线6、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。

三角形中位线梯形中位线课件

行于BC且DE=1/2BC。又因为 AF=CF，所以三角形ADF与三角
形BDF全等（SAS）。因此， BD=DF。
解答2
由于AD平行于BC，所以EF是梯形ABCD的中位线。根据中位线
的性质，我们知道 EF=1/2(AD+BC)。
解答3
由于DE平行于BC且DE=1/2BC ，所以DE是三角形ABC的中位线。根据中位线的性质，我们知道
梯形中位线的定理
定理
梯形中位线长度等于上底和下底之和的一半。
证明
根据梯形中位线的性质，利用三角形中位线定理进行证明。
梯形中位线的应用
计算面积
利用梯形中位线长度计算梯形的面积。
求解问题
利用梯形中位线定理解决一些几何问题，如求线段长度、证明角相等等。
构造新图形
通过梯形中位线构造平行四边形或其他图形，进一步研究图形的性质。
未来可以尝试将三角形中位线和梯形中位线的研究拓展到其他几何图形中，例如平行四边形、多边形等，探索是否存在类似的性质和定理。
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三角形中位线梯形中位线ppt课件
目录
• 三角形中位线的基本性质 • 梯形中位线的基本性质 • 三角形中位线与梯形中位线的比较 • 三角形中位线与梯形中位线的习题与解答 • 总结与展望
01
三角形中位线的基本性质
定义与性质
01
02
03
三角形中位线定义
连接三角形两边中点的线段。
性质1
中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
对三角形中位线与梯形中位线未来研究的展望
深入研究三角形中位线的性质和定理
未来可以进一步探索三角形中位线的性质和定理，例如是否存在其他与三角形中位线相关的面积定理或几何定理。

三角形、梯形的中位线

三角形、梯形的中位线【知识要点】1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。

注意：三角形的中位线有3条。

2．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。

注意：（1）不是连结两底中点（2）梯形的中位线是唯一的3．（1）三角形的中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。

（）（）【典型例题】例1．求证：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

例2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 为AC 、AB 边上的中线，M 、N 是BG 、CG 的中点。

求证：（1）ME ∥ND ；（2）ME=ND例3．已知：如图所示，正方形ABCD 的对角线交于O ，∠BAC 的平分线交BO 于E ，交BC 于F ，A BC D E A D E F B C ABEDCM NGMN求证：OE=12FC 。

例4．如图，已知在口ABCD 中，BD=2AD ，E 、F 、G 分别是AO 、BO 、CD 的中点。

求证：EF=EG 。

例5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，问t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；等腰梯形？【练习与拓展】1．梯形的中位线长为8cm ，高为4cm ，则梯形的面积为。

2．△ABC 的面积为16cm 2，则三条中位线组成的三角形面积为。

3．梯形的中位线长为6，上下底之差等于3，则此梯形上下底长分别为。

4．顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形。

22.6三角形梯形的中位线

2.梯形的中位线
A
D
M
N
B
C
问题1：梯形中位线与梯形
上下两条底边有何位置关系？
问题2：梯形中位线与梯形上下两条底边有何数量关系？
2.梯形的中位线
已知:如图在梯形ABCD中,AD ∥BC,AM＝MB,DN ＝NC，求证：MN ∥ BC，MN＝（12 BC＋AD）
A
D
M
N
B
CE
2.梯形的中位线
A
D
M
N
B
C
梯形中位线定理梯形的中位
线平行于两底，并且等于两底
和的一半
3.基础练习 1.若梯形上底长4cm，下底长6cm，
则中位线长 5 cm
2.若梯形上底长4cm，中位线长 6cm，则下底长 8 cm
例7：
木工师傅制作了一把梯子，如图其中四边形AKLB是梯形.已知AC=CE=EG=GK，BD=DF=FH=HL，AB=0.6m， CD=0.7m，求EF、GH、KL的长.
1.三角形的中位线
A
联结三角形两边的中点
的线段叫做三角形的中
D
E 位线
DE//BC
DE=
1 2
BC
B
C
三角形中位线定理三角形的
中位线平行于第三边，并且等
于第三边的一半
2.梯形的中位线
A
D
M
N
B
C
联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线
2.梯形的中位线
判断：联结梯形一组对边中点的线段是梯形的中位线吗？
KL=2EF-AB=2 0.8-0.6=1(m)
例8：
已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为AB中点， AD+BC=DC.求证：DE ⊥ EC，DE平分<ADC，

三角形、梯形中位线

三角形、梯形中位线主讲教师：王春华【知识精讲】（一）本节课的知识点（1）三角形的中位线的定义：三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线．（2）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（3）梯形的中位线的定义：连接梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线．（4）梯形的中位线定理是：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.（二）本节课的重、难点（1）三角形、梯形的中位线定理的应用；（2）添加辅助线是难点．（三）本节课的易错点借助中点恰当的添加辅助线，构造三角形或梯形的中位线．【典例剖析】例1 在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为5，高为6，则它的面积是．例2 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．例3如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长度逐渐增大B．线段EF的长度逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定例4 如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD =BC ， ∠PEF =18°，则∠PFE 为例5 已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于N ．求证：NF ＝NC ．例6 如图，在四边形ABCD 中，AC =BD =6，E 、F 、M 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EM 2+FH 2= 。

例7 已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，E ，N ，F ，M 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，且EF 2+MN 2=8．则这个等腰梯形的对角线的长为．例8 如图，四边形ABCD 中，一组对边AB =DC =4，另一组对边AD ≠BC ，对角线BD 与边 DC 互相垂直，M 、N 、H 分别是AD 、BC 、BD 的中点，且30ABD ︒∠=.则MH = ； MN = 。