平谷区2014初三数学一模试题及答案

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北京市平谷区2014届九年级上期末考试数学试题及答案

三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
1
13．解： 2sin 45 1 2 (tan60 1)0 1
2
2 2 ( 2 1) 1 2 -------------------------------------------------4 分
2
2 2 1 3 4 ----------------------------------------------------- 5 分
是
A ． 40°
B．50°
C． 55°
4．如果 a 2b 5 ，那么 a 的值是
b2
b
1
A．
2
B． 2
1
C．
5
D． 5
C O
D ． 80°
A
B
3 题图
5．如图，在平面直角坐标系中， P 是 1的边 OA 上一点，
点 P 的坐标为（ 3，4），则 sin 1的值为
A． 3
4
B． 4
3
C． 4
5
D． 3
六、解答题（本题 7 分）
24．以平面上一点 O 为直角顶点，分不画出两个直角三角形，记作△
AOB 和△ COD，
其中∠ ABO= ∠DCO=30°．
（1）点 E、 F、M 分不是 AC、CD、DB 的中点，连接 EF 和 FM ．
①如图 1，当点 D、C 分不在 AO、BO 的延长线上时， EF =_______；
又∵ BC=3，∴ BD=2 ．
在 Rt△ADB 中，∠ ADB=90 °， ∴tanB= AD 3 ．-----------------------------------------------------5 分

2014年北京市各城区中考一模数学——几何综合题24题汇总

ABCEDFGH CHFG EPBDA2014年北京市各城区中考一模数学——几何综合题汇总1、（2014年丰台门头沟一模）24.已知：在△ABC 中，∠ABC =∠ACB =α，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E . （1）如图12-1，当α=60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系；____ _ （2）如图12-2，当α=45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；（3）如图12-3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中090a <<）2、（2014年丰台一模）24.在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，（1）如图1，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AF ⊥BE 交BC 于点F ，连结EF 、CD 交于点H.求证，EF ⊥CD ；（2）如图2，AD=AE ，AF ⊥BE 于点G 交BC 于点F ，过F 作FP ⊥CD 交BE 的延长线于点P ，试探究线段BP,FP,AF 之间的数量关系，并说明理由。

B图12-1B图12-2图12-33、（2014年平谷一模）24．（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；（2）在△ABC 中， AB =AC ，点D 、E 分别为BC 边上的两点．①如图2，当∠BAC =60°，∠DAE =30°时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是_________________； ②如图3，当∠BAC =α，(0°<α<90°)，∠DAE =α21时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是_____________．【参考：1cos sin 22=+αα】A B CEF 图1B CDE 图2AD图3AMN4、（2014年顺义一模）24．已知：如图，MNQ △中，MQ NQ ≠．（1）请你以MN 为一边，在MN 的同侧构造一个与MNQ △全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠．求证：CD=AB ．QNMDCBA5、（2014年石景山一模）24．在矩形ABCD 中，AD =12，AB =8，点F 是AD 边上一点，过点F 作∠A F E =∠D F C ，交射线A B 于点E ，交射线C B 于点G ．（1）若FG =_____CFG ∠=︒；（2）当以F ，G ，C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB 的长；（3）过点E 作EH//CF 交射线CB 于点H ，请探究：当GB 为何值时，以F ，H ，E ，C为顶点的四边形是平行四边形．6、（2014年海淀一模）24．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC =100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC =100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．DCBAABC备用图7、（2014年西城一模）24. 四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

2024北京市平谷区中考一模数学试题

2024北京市平谷区中考一模数学试题1．从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计调水700亿立方米．其中70000000000用科学记数法表示为（）A ．8710⨯B ．9710⨯C ．10710⨯D ．11710⨯2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，点C 为直线AB 上一点，CD CE ⊥，若165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒4．已知10x -<<，下列四个结论中，错误的是（）A ．1x <B ．0x ->C ．1x ->D ．10x +>5．正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（）A ．5B ．6C ．7D ．86．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．237．已知两组数据（1）3005，3005，3003，3000，2994；（2）5，5，3，0，6-．设第一组数据的平均值为1x ，方差为21s ，设第二组数据的平均值为2x ，方差为22s ，下列结论正确的是（）A ．12x x >，2212s s <B ．12x x >，2212s s >C ．12x x =，2212s s =D ．12x x >，2212s s =8．如图，正方形ABCD 中，点E 、H 、G 、F 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的点，点K 、M 、N 为对角线BD 上的点，四边形EKNF 和四边形MHCG 均为正方形，它们的面积分别表示为1S 和2S ，给出下面三个结论：①12S S =；②2DF AF =；③12924ABCD S S S =+正方形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③91x -x 的取值范围是．10．分解因式：22ab ab a ++=．11．化简：3311x x x+--的结果为．12．请写出一个大于1小于4的无理数.13．如图，反比例函数()0ky k x=≠经过点A 、点B ，则m =．14．关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．15．如图，ABC 内接于O ，BC 为O 的直径，D 为O 上一点，连接AD CD 、．若20D ∠=︒，则ACB ∠的度数为．16．某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F 六道工序，其中A ，B 是前期准备阶段，C ，D ，E 是中期制作阶段，F 为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：阶段准备阶段中期制作阶段扫尾阶段工序ABC D EF 所需时间/分钟1115201763加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元100701008050不能缩短在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是元．17．计算：112cos3031122-⎛⎫︒++-- ⎪⎝⎭．18．解不等式组：32162x x x x >-⎧⎪⎨<-+⎪⎩．19．已知250x x +-=，求代数式()()()112x x x x +-++的值．20．我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题．21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点()0,3．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当0x >时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于0，直接写出n 的取值范围．22．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别是BC AB 、边的中点，连接DE 并延长，使2EF DE =，连接AF CE 、．(1)求证：四边形ACEF 是平行四边形；(2)若30B ∠=︒，求证：四边形ACEF 是菱形．23．如图，ABC 内接于O ，45ACB ∠=︒，连接OA ，过B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ．(1)求证：D OAD ∠=∠；(2)若BC =3tan4D =，求O 半径的长．24．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据：温度（℃）5101520253035404550光合作用产氧速0.020.180.300.400.580.821.420.900.400.02率（2mol/m s μ）呼吸作用耗氧速率（2mol/m s μ）0.030.100.150.200.280.370.420.600.820.60(1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为x ，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象；(2)结合函数图象，解决问题：（结果取整）①最适合草莓生长的温度约为______℃；②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．25．4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a ．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在8090x ≤<这一组的是：84858586868889c ．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：(1)补全a 中频数分布直方图；(2)七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是______；(3)已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22=-y x bx ．(1)当抛物线过点(2,0)时，求抛物线的解析式；(2)若抛物线上存在两点()11,A x y 和()22,B x y ，若对于112x ≤≤，22x b =+，都有120y y ⋅<，求b 的取值范围．27．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边中点，DE AB ⊥于E ，作EDC ∠的平分线交AC 于点F ，过点E 作DF 的垂线交DF 于点G ，交BC 于点H ．(1)依题意补全图形；(2)求证：DH BE =；(3)判断线段FD 、HC 与BE 之间的数量关系，并证明．28．平面直角坐标系xOy 中，已知O 和平面上一点P ，若PA 切O 于点A ，PB 切O 于点B ，且90180APB ︒≤∠<︒，则称点P 为O 的伴随双切点．(1)如果O 的半径为2①下列各点()11,0P -，()22,2P -，()33,3P ，()41,2P --是O 的伴随双切点的是______；②直线y x b =+上存在点P 为O 的伴随双切点，则b 的取值范围______；(2)已知点()()1,20,2E F -、，过点F 作y 轴的垂线l ，点()0C m ，是x 轴上一点，若直线l 上存在以CE 为直径的圆的伴随双切点，直接写出m 的取值范围.参考答案：1．C【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，将70000000000写成10n a ⨯的形式即可，其中110a ≤<，n 的值与小数点移动位数相同．【详解】解：7000000000010710=⨯，故选C ．2．D【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C ．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；故选：D ．3．B【分析】本题考查角的运算，垂线，平角的定义，解题的关键是熟练运用垂直的定义，平角的定义．根据垂直的定义可得90DCE ∠=︒，然后利用平角的定义即可求解．【详解】解： CD CE ⊥，∴90DCE ∠=︒，165∠=︒，∴21801180906525DCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．4．C【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得：10x -<<，A 、1x <的解集为：11x -<<，故该选项正确，不符合题意；B 、0x ->，则0x <，故该选项正确，不符合题意；C 、1x ->，则1x <-，故该选项错误，符合题意；D 、10x +>，则1x >-，故该选项正确，不符合题意；故选：C ．5．B【分析】设所求正多边形边数为n ，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n =360°，求解即可．【详解】解：设所求正多边形边数为n ，∵正n 边形的每个内角都等于120°，∴正n 边形的每个外角都等于180°-120°=60°．又因为多边形的外角和为360°，即60°•n =360°，∴n =6．故选：B【点睛】本题考查了多边形内角和外角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°并根据外角和求出正多边形的边数．6．A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【详解】解：列表如下：正反正正正正反反反正反反共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种，∴两次都是正面向上的概率为14．故选：A ．7．D【分析】本题考查了平均数的定义，方差的定义，解题的关键是掌握平均数的定义，方差的定义，先求出两组数据的平均数，再求出方差即可求解．【详解】解：（1）的平均数为：300523003300029943001.45⨯+++=，方差是：()()()()2222130053001.4230033001.430003001.429943001.417.045⎡⎤-⨯+-+-+-=⎣⎦，（2）的平均数是：523061.45⨯++-=，方差是：()()()()222215 1.423 1.40 1.46 1.417.045⎡⎤-⨯+-+-+--=⎣⎦，∴12x x >，2212s s =，故选：D ．8．C【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得12BH CH MH BC ===，BK EK KN ==，DN KN =，进而得到133EK BD ==，根据正方形的面积公式即可判断①；根据DF =，E F F =，FN EF =，即可判断②；由212299ABCD S BC S ==正方形，221144ABCD S BC S ==正方形，可判断③．【详解】解：① 四边形ABCD 是正方形，∴45ABD CBD ∠=∠=︒，四边形EKNF 和四边形MHCG 均为正方形，∴90BHM CHM ∠=∠=︒，90BKE NKE ∠=∠=︒，∴BEK △和BMH V 都是等腰直角三角形，∴12BH CH MH BC ===，BK EK KN ==，同理可得DN KN =，∴133EK BD ==，∴2221239S EK BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，22221124S MH BC BC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴12S S ≠，故①错误；② AEF △和DFN △都是等腰直角三角形，∴DF =，EF =，四边形EKNF 为正方形，∴FN EF =，∴2DF AF =，故②正确；③由①知：212299ABCD S BC S ==正方形，221144ABCD S BC S ==正方形，∴122919244249ABCD ABCD ABCD S S S S S ++=⨯⨯=正方形正方形正方形，故③正确；故选：C ．9．x ＜1．【分析】根据二次根式的性质可以得到x -1是负数，由此即可求解．∴x -1＜0，∴x ＜1．实数x 的取值范围是x ＜1．故答案为：x ＜1．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．10．()21a b +【分析】先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：()()2222211ab ab a a b b a b ++=++=+，故答案为：()21a b +．【点睛】本题主要考查了综合提取公因式和公式法进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式，并掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+．11．3【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算．【详解】解：3311x x x +--原式3311x x x =---331x x -=-()311x x -=-3=故答案为：3．12【分析】根据实数的大小关系，结合数轴和无理数的定义可分析出答案.只要是被开方数大于1而小于16，且不是完全平方数的都可．【详解】根据题意可知：大于1小于4的无理数有如π13．2【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把A 点坐标代入解析式求出k ，进而求出反比例函数的解析式，然后将3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数的解析式即可．【详解】解：由图可知()3,1A --，3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将()3,1A --代入()0k y k x=≠，得：()()313k =-⨯-=，∴3y x=，将3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：332m =，解得：2m =，故答案为：2．14．k ＜1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0-⨯⨯>，解得：k 1<，故答案为k 1<.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠中，若方程有两个不相等的实数根，则△=2b 4ac 0->”是解答本题的关键.15．70︒/70度【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．由BC 为O 的直径，可得90BAC ∠=︒，由 AC AC =，可得20ABC D ∠=∠=︒，根据180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠，计算求解即可．【详解】解：∵BC 为O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∵ AC AC =，∴20ABC D ∠=∠=︒，∴18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：70︒．16．38750【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键．求出各个阶段的工序最长时间和即可求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短4分钟，在制作阶段若缩短3分钟，最后1分钟则看两个阶段谁投入的费用少，即可求解．【详解】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行，则加工该件艺术品最少需要：1520338++=（分钟）；需将加工时间缩短到30分钟，则共需要缩短8分钟，在准备阶段若缩短4分钟，则需要投入470280⨯=（元），在制作阶段若缩短3分钟，则需要投入3100300⨯=（元），还要1分钟，在准备阶段缩短1分钟需要投入10070170+=（元），在制作阶段缩短1分钟需要投入10080180+=（元），170180<，综上，最少投入为：280300170750++=（元），故答案为：38，750．17．1【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算三角函数、负整数指数幂、绝对值和二次根式，再算加减即可．【详解】解：112cos3012-⎛⎫︒++- ⎪⎝⎭=2212+--=118．14x -<<【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：32162x x x x >-⎧⎪⎨<-+⎪⎩①②，解由①得，1x >-，由②得，4x <，∴14x -<<．19．9【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后将250x x +-=变形为25x x +=，最后代入计算即可．【详解】解：()()()112x x x x +-++2212x x x=-++2221x x =+-()221x x =+-250x x +-= 25x x ∴+=∴原式2519=⨯-=．20．250步【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设走路快的人走了x 步追上走路慢的人，根据走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，可知相同时间内走路慢的人所走路程为60100x 步，据此列出方程求解即可．【详解】解：设走路快的人走了x 步追上走路慢的人．由题意得，60100100x x =+解得：250x =，答：走路快的人250步追上走路慢的人21．(1)3y x =+(2)03n ≤≤【分析】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．（1）由题意结合函数图象平移的特点可得出1k =，再将()0,3代入，求出b 的值即可；（2）画出大致图形，结合图形即得出当03n ≤≤时，当0x >时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数3y x =+的值且大于0．【详解】（1）解：∵一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，∴1k =，∴y x b =+．∵该一次函数经过点()0,3，∴30b =+，即3b =，∴这个一次函数的解析式为3y x =+；（2）解：如图，由图可知当03n ≤≤时，当0x >时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数3y x =+的值且大于0，∴n 的取值范围是03n ≤≤．22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由点D 、E 分别是BC AB 、边的中点，可得∥DE AC ，且12DE AC =，则EF AC =，进而可证四边形ACEF 是平行四边形；（2）由E 为AB 中点，可得12CE AB AE ==，由30B ∠=︒，可得60BAC ∠=︒，证明AEC △是等边三角形，则AC EC =，进而可证四边形ACEF 是菱形．【详解】（1）证明：∵点D 、E 分别是BC AB 、边的中点，∴∥DE AC ，且12DE AC =，∵2EF DE =，∴EF AC =，∴四边形ACEF 是平行四边形；（2）证明：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，E 为AB 中点，∴12CE AB AE ==，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∴AEC △是等边三角形，∴AC EC =，∴四边形ACEF 是菱形．【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．23．(1)见解析(2)20【分析】（1）连接OB ，根据圆周角定理可得90AOB ∠=︒，然后利用平行线的性质即可解答；（2）过点B 作BH AD ⊥于点H ，直角三角形的性质以及勾股定理，得4BH HC ==，再证明MBH OAM D ∠=∠=∠即可．【详解】（1）证明：连接OB ，∵BD 是O 的切线，90OBD ∴∠=︒，45ACB =︒∠ ，90AOB OBD ∴∠=∠=︒，OA BD ∴∥，∴D OAD ∠=∠；（2）解：过点B 作BH AD ⊥于点H ，90AHB DHB ∴∠=∠=︒，∵45ACB ∠=︒，BC =ACB HBC ∴∠∠=，BH HC ∴=，222BH HC BC +=，4BH HC ∴==，90HBM BMH ∠+∠=︒ ，90OAM AMO ∠∠=︒＋，BMH AMO ∠=∠，MBH OAM D ∴∠=∠=∠，3tan 4D = ，3tan 4MBH ∴∠=，35MH BM ∴==，，设O 的半径为x ，5OM x ∴=-，53tan tan 4OM x OAM D OA x -∴∠====，解得20x =，O ∴ 半径的长20．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角函数，掌握切线的判定方法和性质，圆周角定理正确解答的关键．24．(1)见解析(2)①35；②57x ≤<或4250x <≤【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键．（1）描点并用光滑的曲线连接起来即可；（2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根据图象作答即可．【详解】（1）解：描点及图象如图所示：（2）①由图象可知，当35x =时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，故答案为：35；②由图象可知，当57x ≤<或4250x <≤时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率．25．(1)见解析(2)88.5；94(3)435【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，中位数和众数，从题目图表中获取有用信息是解题的关键．（1）根据频数分布直方图的数据可得成绩为7080x ≤<的学生人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）求出七、八年级学生参加活动的成绩为优秀的百分比可得答案．【详解】（1）解：成绩为7080x ≤<的学生人数为2011792----=（人），补全的频数分布直方图如图所示：（2）将七年级参加活动的20名学生成绩按从小到大的顺序排列，中位数是888988.52+=（分）八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94；故答案为：88.5；94；（3）69143003004352020+⨯+⨯=（人）答：估计这两个年级共有435人达到了优秀．26．(1)22y x x=-(2)12b <<或2b <-【分析】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）分情况讨论：当原点位于对称轴的左侧时，当原点位于对称轴的右侧时，根据112x ≤≤，22x b =+，都有120y y ⋅<，确定b 的取值范围．【详解】（1）解：∵抛物线过点(2,0)∴440b -=，解得：1b =∴抛物线的解析式为22y x x =-（2）解：∵抛物线的对称轴为x b =，当0y =时220x bx -=解得120,2x x b==故与x 轴的交点为()()0.02,0b ，情况1：当原点位于对称轴的左侧时，要满足对于112x ≤≤，22x b =+，都有120y y ⋅<，此时，有2222b b b+>⎧⎨<⎩解得12b <<情况2：当原点位于对称轴的右侧时要满足对于112x ≤≤，22x b =+，都有120y y ⋅<，此时，有220b b <+<，解得22b b <⎧⎨<-⎩，解得2b <-综上，12b <<或2b <-27．(1)见解析(2)见解析(3)222BE HC DF +=，见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）通过ASA 证明EDG HDG ≌，得到DE DH =，根据题意易得45B ∠=︒，由DE AB ⊥，可得BDE △为等腰直角三角形，于是BE DE DH ==；（3）过点F 作FN CD ⊥于点N ，得DE 为ABC 的中位线，则BD CD =，根据三角形内角和定理求得67.5CDF CFD ∠=∠=︒，于是CD CF BD ==，进而CN FN BE DE DH ====，以此得出CD DH CD CN -=-，即CH DN =，在Rt DFN 中，利用勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：补全图形如图所示．（2）证明：DF 平分EDC ∠，EDG HDG ∴∠=∠，EH DF ⊥ ，90EGD HGD ∴∠=∠=︒，在EDG △和HDG △中，EGD HGD ∠=∠，DG DG =，EDG HDG ∠=∠，(ASA)EDG HDG ∴ ≌，D E D H ∴=，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，ABC ∴ 为等腰直角三角形，45B ∴∠=︒，又DE AB ∵⊥，即90DEB ∠=︒，BDE ∴ 为等腰直角三角形，BE DE DH ∴==．（3）解：222HC BE FD +=，证明如下：如图，过点F 作FN CD ⊥于点N ，则CFN 为等腰直角三角形，90DEB CAB ∠=∠=︒ ，DE AC ∴∥，又E 为AB 的中点，DE ∴为ABC 的中位线，BD CD ∴=，45BDE ∠=︒ ，135CDE ∴∠=︒，DF 平分EDC ∠，67.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，45C ∠=︒ ，18067.5CFD CDF C ∴∠=︒-∠-∠=︒，即CDF CFD ∠=∠，CD CF BD ∴==，CN FN BE DE DH ∴====，CD DH CD CN ∴-=-，即CH DN =，在Rt DFN 中，由勾股定理得222DN FN DF +=，222HC BE FD ∴+=．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾股定理解决问题．28．(1)①2P ，4P ；②44b -≤≤(2)1m ≥或1m ≤【分析】（1）求出点P 为O 的伴随双切线的条件，①根据求出的条件进行判断即可；②根据得出的条件，判断原点到直线y x b =+的距离的关系，从而得出解；（2）根据（1）得出点P 存在的条件，判断以CE 为直径的圆的圆心和半径的数量关系，从而得解．【详解】（1）解：①根据定义，由PA ，PB 是O 的切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∵OA OB =，OP OP =，∴AOP BOP ≌△△，∴APO BPO ∠=∠．∵90180APB ︒≤∠<︒，∴4590APO ︒≤∠<︒，∴sin 12APO ≤∠<．∵sin OA OP APO =∠，=2AO ，∴2OP <≤．∵点1(1,0)-P ，2(22)P -，，3(3,3)P ，4(1,2)P --，∴12341OP OP OP OP ====，∵2OP <≤，∴点24P P ，是O 的伴随双切点．故答案为：24P P ，；②∵直线y x b =+上存在点P 为O 的伴随双切点．∴圆心O 到直线y x b =+的距离不大于设直线y x b =+与x 轴，y 的交点为C ，D ，过点O 作OE CD ⊥于点E ，如图．令0x =，则y b =，令0y =，则x b =-，∴点(,0)C b -，(0,)D b ，∴OC OD b ==，∴COD △为等腰直角三角形，∴2222OE b =，2222b ≤∴44b -≤≤．故答案为：44b -≤≤；（2）设CE 的中点为F ，∴1(,1)2m F +．∵l y ⊥轴，F 过直线l ，∴直线l 的表达式为=2y -，∴圆心F 到直线l 的距离为1(2)3--=，由（1）可知32EF ≤，∴322EF ≥∴32CE ≥，22(1)232m -+≥∴141m ≥+或114m ≤【点睛】本题是一道圆的综合问题，考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理等，准确的理解新定义是解题的关键。

2023-2024学年北京市平谷区九年级上学期期末数学试题+答案解析

2023-2024学年北京市平谷区九年级上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，那么下列比例式中成立的是()A. B. C. D.2.如图，，若，则等于()A. B. C. D.3.将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是()A. B. C. D.4.如图，的弦，于点M，且，则的半径为()A.3B.4C.5D.65.如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是()A.1B.C.D.6.关于反比例函数，下列说法正确的是()A.图象分布在第一、三象限B.在各自的象限内，y随x的增大而增大C.函数图象关于y轴对称D.图象经过7.已知：二次函数的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为()x35y0m24A.1B.2C.D.08.如图，矩形ABCD中，点E是DC边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在BC边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则上述结论一定正确的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.在函数中，自变量x的取值范围是__________.10.如图，点P是中AB边上的一点，请你添加一个条件使，这个条件可以是__________.11.在中，，如果，，那么AB的长为__________.12.如图，在中，AB是的直径，C，D是上的点，如果，那么的度数为__________.13.若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是__________.14.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为__________.15.图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________16.“十一”黄金周期间，明明和妈妈到某商场购物，得知该商场节日促销活动，单笔消费每满50元立减5元即单笔消费有几个50元，就减几个5元，不足50元部分不减，累计消费满200元返20元购物券，购物券当天可用，用券和减免部分不在累计范围内，明明和妈妈打算购买以下三件商品：商品A：80元，商品B：95元，商品C：160元，如果你是聪明的明明，帮妈妈参谋一下三件商品妈妈分次结账，可以享受最多优惠；按此优惠方案，只需付款__________元，即可购买以上三件商品．三、解答题：本题共12小题，共96分。

北京市平谷区数学一模试卷及答案

北京市平谷区数学一模试卷及答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm平谷区2010～2011学年度第二学期初三第一次统一练习数学试卷 120分钟2011.4考生须知1.试卷分为试题和答题卡两部分;所有试题均在答题卡上．．．．．．作答;在试卷上作答无效..2.答在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证好..3.在答题卡上;选择题、作图题用2B 铅笔作答;其他试题用黑色字迹签字笔作答..4.修改时;用塑料橡皮擦干净;不得使用涂改液..请保持卡面清洁;不要折叠.. 一、选择题本题共8个小题;每小题4分;共32分在下列各题的四个备选答案中;只有一个是正确的． 1．9-的相反数是A ．19B ．19- C ．9- D ．92．北京市2010年暨“十一五”期间国民经济和社会发展统计公报显示;2010年末;全市共有公共图书馆25个;总藏量44 510 000册．将44 510 000用科学记数法表示应为 A ．810451.4⨯B ．710451.4⨯C ．61051.44⨯D ．8104451.0⨯3．如图;已知AB ∥CD ;∠C =35°;BC 平分∠ABE ;则∠ABE 的度数是A ．17.5°B ．35°C ．70°D ．105° 4．下列运算正确的是A ．224236x x x =· B ．22231x x -=- C ．2222233x x x ÷= D ．224235x x x += 5．某男子排球队20名队员的身高如下表：身高cm 180 186 188 192 208 人数个 4 6 5 3 2 则此男子排球队20名队员的身高的众数和中位数分别是单位：cm A ．186;186 B ．186;187 C ．208;188 D ．188;187 6．把多项式8822++x x 分解因式;结果正确的是 A ．()242+xB ．()242+xC ．()222-xD ．()222x +7．如图;一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域;并涂上了相应的颜色;转动转盘;转盘停止后;指针指向红色区域的概率是Ａ．16 Ｂ．13 Ｃ．12 Ｄ．238．如图;AB 是O ⊙的直径;弦2cm BC =;F 是弦BC 的中点;蓝蓝红红红黄60ABC ∠=°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着 A B A →→方向运动;设运动时间为()(03)t s t <≤;连结EF ; 当BEF △是直角三角形时;t s 的值为A ．47B ．1C ．47或1D ．47或1 或49二、填空题本题共16分;每小题4分9．在函数3y x =+中;自变量x 的取值范围是．10．已知113x y -=;则代数式21422x xy yx xy y----的值为．11．如图;⊙O 是△ABC 的外接圆;OD ⊥AB 于点D 、交⊙O 于点E ; ∠C =60°; 如果⊙O 的半径为2;那么OD = ． 12．如图所示;直线1+=x y 与y 轴交于点1A ;以1OA 为边作正方形111C B OA 然后延长11B C 与直线1+=x y 交于点2A ;得到第一个梯形211A OC A ；再以21A C 为边作正方形2221C B A C ;同样延长22B C 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形3212A C C A ；;再以32A C 为边作正方形3332C B A C ;延长33B C ;得到第三个梯形；……则第2个梯形3212A C C A 的面积是；第n n 是正整数个梯形的面积是用含n 的式子表示．三、解答题本题共30分;每小题5分13．计算：︒+⎪⎭⎫⎝⎛----30tan 6213220111．14．求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤--x x x x 22158)2(3＞的整数解.15．已知：如图;C F 、在BE 上;A D AC DF BF EC ∠=∠=，∥，．求证：△ABC ≌DEF ．16．已知0342=--x x ;求4)1)(1()1(22--+--x x x 的值．ABC FEDABOD CE17．列方程或方程组解应用题：服装厂为红五月歌咏比赛加工300套演出服．在加工60套后;采用了新技术;使每天的工作效率是原来的2倍;结果共用9天完成任务．求该厂原来每天加工多少套演出服．18．在平面直角坐标系中;A 点坐标为(04)，;C 点坐标为(100)，．1如图①;若直线AB OC ∥;AB 上有一动点P ;当P 点的坐标为时;有PO PC =；2如图②;若直线AB 与OC 不平行; 在过点A 的直线4y x =-+上是否存在点P ;使90OPC ∠=︒;若有这样的点P ;求出它的坐标．若没有;请简要说明理由.四、解答题本题共20分;第19题5分;20题5分;第21题6分;第22题4分19．已知;如图;梯形ABCD 中;AD ∥BC ;∠A =90°;∠C =45°;BE ⊥DC 于E ;BC =5;AD :BC =2:5.求ED 的长.20．如图;在ABC △中;AB AC =;AE 是角平分线;BM平分ABC ∠交AE 于点M ;经过B M ，两点的O ⊙交BC 于点G ;交AB 于点F ;FB 恰为O ⊙的直径．1求证：AE 与O ⊙相切； 2当14cos 3BC C ==，时;求O ⊙的半径． 21．小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图表;请你根据图表信息完成下列各题：项目月功能费基本话费长途话费短信费金额/元51该月小王手机话费共有多少元2扇形统计图中;表示短信费的扇形的圆心角为多少度 3请将表格补充完整； 4请将条形统计图补充完整.22．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点;每个点安装一个这种转发装置;使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：1能否找到这样的4个安装点;使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求在图1中画出安装点的示意图;并用大写字母M 、N 、P 、Q 表示安装点；O B GE C M AF E B C D A2能否找到这样的3个安装点;使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求在图2中画出示意图说明;并用大写字母M 、N 、P 表示安装点;用计算、推理和文字来说明你的理由．五、解答题本题共22分;第23题7分;第24题7分;第25题8分23．已知二次函数)0a (23bx ax y 2≠-+=的图象经过点(10)，;和(30)-，;反比例函数xk=1y x ＞0的图象经过点1;2．1求这两个二次函数的解析式;并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象；2若反比例函数x k =1y 0x >的图象与二次函数)0a (23bx ax y 2≠-+=的图象在第一象限内交于点00()A x y ，;0x 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数； 3若反比例函数2k y x =00k x >>，的图象与二次函数)0a (23bx ax y 2≠-+=的图象在第一象限内的交点为A ;点A 的横坐标0x 满足023x <<;试求实数k 的取值范围．24．已知点A ;B 分别是两条平行线m ;n 上任意两点;C 是直线n 上一点;且 ∠ABC=90°;点E 在AC 的延长线上;BC ＝k AB k ≠0.1当k ＝1时;在图1中;作∠BEF ＝∠ABC ;EF 交直线m 于点F .;写出线段EF 与EB 的数量关系;并加以证明；2若k ≠1;如图2;∠BEF ＝∠ABC ;其它条件不变;探究线段EF 与EB 的数量关系;并说明理由．25．已知：抛物线k k x k kx y ++++=22)2(32经过坐标原点． 1求抛物线的解析式和顶点B 的坐标；2设点A 是抛物线与x 轴的另一个交点;试在y 轴上确定一点P ;使PA +PB 最短;并求出点P 的坐标；3过点A 作AC ∥BP 交y 轴于点C ;求到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点的坐标．图CD 图CD平谷区2010～2011学年度第二学期初三第一次统一练习数学试卷参考答案及评分参考 2011.413．解：︒+⎪⎭⎫⎝⎛----30tan 6213220111=3362321⨯+-- …………………………………………………………………….4分=1- ………………………………………………………………………………………5分14．解：由3(2)8x x --≤得;1x -≥………………………………………………….1 分由1522x x -> 得;2x <…………………………………………………….2分12x -<∴≤. ……………………………………………………………………4分∴ 不等式组的整数解是.1,0,1- . ………….. ……………………………………………5分15．证明：AC DF ∥;ACE DFB ∴∠=∠.………………………………1分 ∴ACB DFE ∠=∠． …………………………….2分又BF EC =;BF CF EC CF ∴-=-;即BC EF =．………..3分在△ABC 与△DEF 中;⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,EF BC DFE ACB D A …………………………………………………………………4分 ABC FE DABC DEF ∴△≌△．………………………………………………………………………5分16．解：4)1)(1()1(22--+--x x x=4)1()12(222---+-x x x …………………………….…………………………...2分=142--x x …………………………………………….……………………………..4分 ∴ 原式=1)4(2--x x =213=-…………………….………………………………5分 17．解：设服装厂原来每天加工x 套演出服．……………………………………….1分根据题意;得 603006092x x-+=． (2)分解得 20x =．………………………………………………………………………3分经检验;20x =是原方程的根．………………………………………………………..4分答：服装厂原来每天加工20套演出服．……………………………………………….5分18．解：1(54)，……………………………………………………………………….2分2设(4)P x x -+，;连接OP PC ，;过P 作PE OC ⊥于E ;PN OA ⊥于N ;……………………………………3分因为222(4)OP x x =+-+; 222(4)(10)PC x x =-++-; 222OP PC OC +=;所以22222(4)(4)(10)10x x x x +-++-++-=. 2980x x -+=;11x =;28x =．………………………………………………………………….4分所以P 坐标(13)，或(84)-，．………………………………………………………....5分四、解答题本题共20分;第19题5分;20题5分;第21题6分;第22题4分 19．解：作DF ⊥BC 于F;EG ⊥BC 于G. ……………………………………………1分 ∵∠A =90°;AD ∥BC∴ 四边形ABFD 是矩形. ∵ BC =5;AD :BC =2:5.∴ AD=BF=2. ………………………………………..2分 ∴ FC=3.在Rt △DFC 中; ∵ ∠C =45°; ∴ DC=23.…………………………………………3分在Rt △BEC 中; ∴ EC =225……………………………………………….……………………………....4分 ∴ DE =2222523=-……………………………………………………………….5分20．解：1证明：连结OM ;则OM OB =． ∴ 12∠=∠．∵ BM 平分ABC ∠． ∴ 13∠=∠． ∴ 23∠=∠． ∴ OM BC ∥． ∴ AMO AEB ∠=∠．…………………………..1分在ABC △中;∵ AB AC =;AE 是角平分线; ∴AE BC ⊥．………………………………………………………………………..….2分∴ 90AEB ∠=°． ∴ 90AMO ∠=°． ∴ OM AE ⊥．O G EC M A F 12 3∴ AE 与O ⊙相切．………………………………………………………………………3分 2解：在ABC △中;AB AC =;AE 是角平分线;∴12BE BC ABC C =∠=∠，．∵14cos 3BC C ==，;∴2=BE ;.31cos =∠ABC在ABE △中;90AEB ∠=°; ∴6cos BEAB ABC ==∠．………………………………………………………………….4分设O ⊙的半径为r ;则6AO r =-． ∵OM BC ∥;∴AOM ABE △∽△． ∴ OM AO BE AB =． ∴ 626r r -=．解得32r =．∴ O ⊙的半径为32．………………………………………………………….5分 21．解：1总话费125元………….1分 272°……………………..2分 3基本话费50；………….3分长途话费45；……………4分PN M H A O短信费 25………………...5分 4……………………………6分22．解：12分 2画图正确给1分2图2图案设计不唯一将原正方形分割成如图2中的3个矩形;使得BE=OD=OC ．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处;设AE x =;则30ED x =-;15DH =．由BE=OD ;得22223015(30)x x +=+-;22515604x ∴==;22153030.2314BE ⎛⎫∴=+≈< ⎪⎝⎭;即如此安装3个这种转发装置;也能达到预设要求． ································ 4分或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形;使得31BE =;H 是CD 的中点;将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处;则22313061AE =-3061DE = ∴ 318.2615)61-(3022<≈+=DO ;如此装三个这个转发装置;能达到预设要求．五、解答题本题共22分;第23题7分;第24题7分;第25题8分 23．解：1把(10)，;和(30)-，分别代入解方程组;得 .1b ,21a ==………………1分 ∴ 抛物线解析式为23212-+=x x y …...2分∵ 反比例函数x k=1y 的图象经过点1;2;∴ k =2. ∴ x2y 1= ……………….…...3分2正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象 ……………………….4分由图象可知;这两个相邻的正整数为1与2. ………………………………………5分3由函数图象或函数性质可知：当2＜x ＜3时;对y=23212-+x x ;y 随着x 的增大而增大;对y 2=xkk ＞0;y 2随着x 的增大而减小.因为Ax 0;y 0为二次函数图象与反比A DCB图1 P Q M N例函数图象的交点;所以当x 0=2时;由反比例函数图象在二次函数的图象上方;得y 2＞y. 即2k ＞2322212-+⨯; 解得k ＞5. …………………………………………………………………………6分同理;当x 0=3时;由二次函数的图象在反比例函数图象上方的;得y ＞y 2; 即2333212-+⨯＞3k ;解得k ＜18. 所以k 的取值范围为5＜k ＜18. ………………………………………………7分24．解：1正确画出图形………………………………………….…………..1分EF EB =． ……………………………………………2分证明：如图1;在直线m 上截取AM AB =;连结ME ． BC kAB =;1k =;BC AB ∴=．90ABC ∠=;45CAB ACB ∴∠=∠=. m n ∥;45MAE ACB CAB ∴∠=∠=∠=;90FAB ∠=．AE AE =;MAE BAE ∴△≌△． ························· 3分 EM EB ∴=;AME ABE ∠=∠．……………………………4分 90BEF ABC ∠=∠=;180FAB BEF ∴∠+∠=．180ABE EFA ∴∠+∠=．又180AME EMF ∠+∠=; EMF EFA ∴∠=∠．EM EF ∴=. EF EB ∴=．…………………….………………………………..5分21EF EB k =．说明：如图2;过点E 作EM m ⊥;EN AB ⊥;垂足为M N ，．． m n ∥;90ABC ∠=; 90MAB ∴∠=．∴四边形MENA 为矩形．ME NA ∴=;90MEN ∠=．90BEF ABC ∠=∠=;MEF NEB ∴∠=∠．MEF NEB ∴△∽△． ········································································ 6分 ME EF EN EB ∴=．AN EF EN EB∴=．图2 A B C M E N m n F F M n mC B A E 图1在Rt ANE △和Rt ABC △中;tan EN BC BAC k AN AB ∠===; 1EF EB k ∴=． ………………………………………………………………………………7分25．解：1∵ 抛物线k k x k kx y ++++=22)2(32经过坐标原点;∴ k k +2=0. 解得 1,021-==k k .∵ 0≠k ;∴ 1-=k ∴ x x y 322+-=…1分∴ ()3,3B . ………………………….2分2令0=y ;得x x 322+-=0;解得 32,021==x x . ∴ ()0,32A ………..3分∴点A 关于y 轴的对称点A '的坐标为()0,32-.联结B A ';直线B A '与y 轴的交点即为所求点P.可求得直线B A '的解析式：233+=x y . ∴ ()2,0P ……………………………4分3到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点有四个．如图;由勾股定理得4===AC PA PC ;所以△PAC 为等边三角形．易证x 轴所在直线平分∠PAC ;BP 是△PAC 的一个外角的平分线．作∠PCA 的平分线;交x 轴于1M 点;交过A 点的平行线于y 轴的直线于2M 点;作△PAC 的∠PCA 相邻外角的平分线;交2AM 于3M 点;反向延长C 3M 交x 轴于4M 点．可得点1234M M M M ，，，就是到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点．可证△AP 2M 、△AC 3M 、 △PC 4M 均为等边三角形．可求得：①332331==OP OM ;所以点M 1的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,332；…………5分②42==AM AP ;所以点M 2的坐标为()4,32；………………………………....6分 ③点M 3与点M 2关于x 轴对称;所以点M 3的坐标为()4,32-；………………..…..7分 ④点4M 与点A 关于y 轴对称;所以点4M 的坐标为()0,32-．综上所述;到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点的坐标分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3321M ;()4,322M ;()4,323-M ;()0,324-M ．…………………………….. 8分。

平谷区初三数学一模试题

平谷区2013-2014初三数学统练二2014．5学校班级姓名考号下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．25-的绝对值是 A ．52 B ．52-C ．25D ．25-2．打开百度搜索栏，输入“数学学习法”，百度为你找到的相关信息约有12 000 000条，将12 000 000用科学记数法表示为 A ．1.2×107B. 61.210⨯ C ．61210⨯ D ．71210⨯3．一个正多边形的一个外角是40°，这个正多边形的边数是A ．10B ．9C ．8D ．54．有分别写数字1、2、3、4、5的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到的数是奇数的概率是 A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 5．如图，AB ∥CD ，O 为CD 上一点，且∠AOB =90°，若∠B =33°，则∠AOC 的度数是 A ．33° B ．60° C ．67° D ．57°6．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是20.65S =甲，20.55S =乙，20.50S =丙 20.45S =丁，则射箭成绩最稳定的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为．8. 如图，扇形OAB 的半径OA =6，圆心角∠AOB =90°，C 是»AB 上不同于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点H 在线段DE 上，且EH =32DE ．设EC 的长为x ，△CEH 的面积为y ，下面表示y 与x 的函数关系式的图象可能是CCA ．B ．C ．D. 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：339-=a b ab ．10．直线过点（0，-1），且y 随x 的增大而减小．写出一个满足条件的一次函数解析式．_________________． 11.如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 的度数为__________．12．如图，□ABCD 的面积为16，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边做□AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边做□AO 1C 2B ，对角线交于点O 2；…；依此类推．则□AOC 1B 的面积为_______；□AO 4C 5B 的面积为_______；□AO n C n+1B 的面积为___________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．如图，AD 平分∠BAC ，AD =AC ，E 为AD 上一点，且AE =AB ，连结BD 、CE ．求证：BD =CE ．14．计算：1012014tan 603-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭．15．求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜的整数解．16．已知a 2＋2a =3，求代数式22(1)(2)a a a ---的值． 17．已知一次函数y kx b =+(0)k ≠与反比例函数(my m x=的图象交于(23)(6)A B n -，、，两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）P 是y 轴上一点，且12ABP S ∆=，直接写出P 点坐标．18．A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，求A 型、B 型两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？2A B 12题图四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠ ∠C =60°，AB =5，AD =3．（1）求证：AD =DC ；（2）求四边形ABCD 的周长．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：BD =BF ；（2）若CF =1，cos B =35，求⊙O 的半径．21．某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题.（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是____________；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.22. 如图1，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP +BP 的值最小，做法是：作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP +BP 的最小值．（1）如图2，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小．做法是：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为；（2）如图3，已知⊙O 的直径CD 为2， AC 的度数为60°，点B 是 AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP +AP 的值最小，则BP +AP 的最小值为；（3）如图4，点P 是四边形ABCD 内一点，BP =m ，ABC α∠=，分别在边AB 、BC 上作出点M 、N ，使PMN ∆的周长最小，求出这个最小值（用含m 、α的代数式表示）．图4CB图3图2图1P DECBA五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．图2图1E DC A①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．上一点，且CE =AB ，(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．25.定义：任何一个一次函数y px q =+，取出它的一次项系数p 和常数项q ，有序数组][q p ，为其特征数.例如：y =2x +5的特征数是]52[，，同理，[]a b ，，c 为二次函数2y ax bx c =++的特征数。

2014北京初三各区一模数学分类汇编-22题

1. 图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=F=90°，∠EDF=30°，EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是.图2A BC备用图图12．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：、五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把他们分割成三部分（如图②），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形（如图③）．小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新正方形的边长为(0)x x>，可得25 x=，x=参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形如图④放置，用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形且所得矩形的邻边之比为1:2．具体要求如下：（1）设拼接后的矩形的长为a，宽为b，则a的长度为________．（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的矩形（只要画出一种即可）．3. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，E （8,0），F(0 , 6). （1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P ，使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）. 4. 阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连结EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．F E DCBAGF EDCBA图1 图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°．若∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF =BE +DF ；（2）如图4，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若BD =1， EC =2，求DE 的长．FE DCBA EDCBA图3 图45、阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在ABC △中，AB ，BC ，ACABC △的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出ABC △的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中ABC △的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个66⨯的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2DEF △； ②计算DEF △的面积为．（3）如图3，已知PQR △，以PQ ，PR 为边向外作正方形PQAF ，PRDE ，连接EF．若PQ =，PR =QR =AQRDEF 的面积为__________．6. 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分。

北京市平谷2013-2014学年九年级上学期期末考试数学试卷(纯word解析版)(新人教版)

2014届北京市平谷九年级上学期期末考试数学试卷（带解析）1、的相反数是（）A．3 B．C．D．【答案】A.【解析】试题分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．-（-3）=3，故-3的相反数是3．故选A.考点: 相反数.2、如图，在中，DE∥BC，且AD:AB=2:3，则DE:BC的值为D．2A．B．C．【答案】2:3.【解析】试题分析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，则，代值即可求解. 考点: 相似三角形的判定与性质．3、如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C=40°，则∠AOB的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．80°【答案】D.【解析】试题分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°．考点: 圆周角定理．4、如果，那么的值是( )A．B．C．D．5【答案】A.【解析】试题分析：∵原式的两个内项分别是b、5，两个外项分别是a+2b、2，∴5b=2（a+2b），即2a=b，∴故选A.考点: 比例的性质．5、将抛物线先沿轴向右平移1个单位，再沿轴向上移2个单位，所得抛物线的解析式是( )A．B．C．D．【答案】B.【解析】试题分析：根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．二次函数y=3x2的图象沿x轴向右平移1个单位所得函数解析式为：y=3（x-1）2；二次函数y=3（x-1）2的图象沿y轴向上平移2个单位所得函数解析式为：y=3（x-1）2+2．故选B.考点: 二次函数图象与几何变换．6、如图，在中, ∠C＝90°，分别以A、B为圆心，2为半径画圆，则图中阴影部分的面积和为 ( )A．3πB．2π C．π D．【答案】C.试题分析：先根据直角三角形的性质求出直角三角形两锐角的和，再根据扇形的面积公式进行计算即可．∵△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵两圆的半径都为2cm，=.∴S阴影故选C.考点: 扇形面积的计算．7、如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点．动点P从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B，运动时间为t．分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D.【解析】试题分析：按等量关系“阴影面积=以AB为直径的半圆面积-以AP为直径的半圆面积-以PB为直径的半圆面积”列出函数关系式，然后再判断函数图象．设P点运动速度为v（常量），AB=a（常量），则AP=vt，PB=a-vt；则阴影面积由函数关系式可以看出，D的函数图象符合题意．故选D．考点: 动点问题的函数图象．8、在一个不透明的口袋中，装有5个红球4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为_______．【答案】.【解析】试题分析：先求出球的所有个数与白球的个数，再根据概率公式解答即可．试题解析：∵共9球在袋中，其中5个红球，∴摸到红球的概率为.考点: 概率公式．9、点和点分别为抛物线上的两点，则．（用“＞”或“＜”填空）．【答案】＞.【解析】试题分析：先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴x=1，再判断出两点P（-2，y1）、Q（-1，y2），在抛物线的同侧，由二次函数的性质即可得出结论．试题解析：∵抛物线中a=1＞0，∴此抛物线开口向上，对称轴∵-1＜1，-2＜1，∴两点P（-2，y1）、Q（-1，y2）均在对称轴的右侧，∵-2＜-1，∴y1＞y2．考点: 二次函数图象上点的坐标特征．10、如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，且AD＝2，将△ABD绕点A 逆时针旋转到△ACE的位置，这时点D走过的路线长为．【答案】【解析】试题分析：根据旋转的性质可知旋转角为90度，△ADE是等腰直角三角形，腰长AD=2，则可用弧长公式求出P点走过的路线长．试题解析：点D走过的路线长即DE弧=考点: 1.弧长的计算；2.旋转的性质．11、如图，P是抛物线上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝2相切时，点P的坐标为．【答案】（2+，1）、（2 -，1）、（0，3）、（4，3）.【解析】试题分析：根据⊙P的半径为1，以及⊙P与直线y=2相切，求出x的值即可得出答案．试题解析：设点P的坐标为（x，）则（1）当圆心P在直线y=2的下方时有2-（）=1，解得：，；（2）当圆心P在直线y=2的上方时有-2=1，解得，所以：点P的坐标为（2+，1）、（2 -，1）、（0，3）、（4，3）考点: 二次函数综合题．12、计算：．【答案】4.【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值，绝对值、非零数的零次幂，负整数的指数幂进行计算即可.试题解析：考点: 实数的混合运算.13、已知，求代数式的值．【答案】7.【解析】试题分析：首先把多项式去括号，合并同类项后，整体代入求值．试题解析：又∴把代入上式得：原式=2×1+5=7考点: 整式的混合运算—化简求值．14、如图，在△ABC中，∠C=60°，AC=2， BC=3．求tanB的值．【答案】.【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ADC中，根据三角函数求出AD、CD 的长，从而得到BD的长，再在Rt△BDC中，根据三角函数求出tanB的值．试题解析：如图，作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=60°，∴∠DAC=30°，∵AC=2，∴DC=1．由勾股定理得AD=．又∵BC=3，∴BD=2．在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∴．考点: 解直角三角形．15、如图，在边长为1的正方形网格中有两个三角形△ABC和△DEF，试证这两个三角形相似．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据勾股定理分别计算△ABC与△DEF三边长，根据三角形三边的比值相等可以证明三角形相似，即可解题．试题解析：由图可知，AB=3， EF=2，由勾股定理得CB=，AC=，DF=，DE=．∵，，∴∴△ABC∽△DEF考点: 1.相似三角形的判定；2.勾股定理.16、一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(1，4)、B(﹣2，m)两点，（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）画出草图，并根据草图直接写出不等式的解集．【答案】（1）y=2x+2；（2）或．【解析】试题分析：（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）画出两函数图象，利用图象即可得出满足题意x的范围．试题解析：（1）把A(1，4)代入中，得k=4，∴．把B(﹣2，m)代入中，得m=﹣2，∴B(﹣2，﹣2)．把点A(1，4)和B(﹣2，﹣2)代入中，得解得∴y=2x+2．（2）草图．解集为或．考点: 反比例函数与一次函数的交点问题．17、抛物线过点（2，-2）和（-1，10），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．【答案】(1);（2）6.【解析】试题分析：（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象过点（2，-2）和点（-1，10）两点，把两点坐标代入二次函数解析式，即可求出b、c的值，从而确定抛物线的解析式．（2）令y=0,求出A、B两点的横坐标，进而可求△ABC的面积．试题解析：（1）把点（2，-2）和（-1，10）代入中，得解得∴所求二次函数解析式为．（2）在中，令x=0，得y=4．∴C(0，4)．令y=0，得，解得x=1或x=4．∴A(1，0) ，B(4，0)．∴AB=3，OC=4∴考点: 待定系数法求二次函数解析式．18、在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E为DC的中点，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F．（1）求证：△BEC∽△ABF；（2）求AF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：由矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E为DC的中点，由勾股定理可求得BE的长，又由AF⊥BE，易证得△ABF∽△BEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF的长．试题解析：（1）证明：在矩形ABCD中，有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，∵AF⊥BE，∴∠AFB=∠C=90°∴∠ABF+∠BAF=90°∴∠BAF=∠EBC∴△BEC∽△ABF（2）解：在矩形ABCD中，AB=10，∴CD=AB=10，∵E为DC的中点，∴CE=5，又BC=12，在Rt△BEC中，由勾股定理得BE=13，由△ABF∽△BEC得即，解得AF=考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.矩形的性质．19、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AC＝，AD＝4，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】试题分析：（1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根据切线判定推出即可；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．试题解析：（1）证明：联结OC∵OA=OC，∴∠1=∠2∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OC//AD∴∠OCE=∠ADC∵AD⊥DC∴∠ADC=90°∴∠OCE=90°∴CD是⊙O的切线．（2）解：联结BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又∵∠ADC=90°，∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3，即，∴把AC＝，AD＝4代入，得AB=6．考点: 1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．20、如图，在Rt△ABC中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数在第一象限内的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若，(1)求反比例函数解析式；(2)求C点坐标．【答案】（1）；（2）（2，4）．【解析】试题分析：(1)由，且OB=4，可求BD的长，因此D点坐标可求，从而确定反比例函数解析式.（2）过点C作CE⊥OB于点E．在中，利用锐角三角函数可求出CE和OE的长，从而求出C点坐标．试题解析：（1）设D（x，y），则有OB=x，BD=y．由，得，， xy=8．由可得，k=xy，∴k=8，∴（2）过点C作CE⊥OB于点E．在中，，，，∴tan∠AOB，∴，CE=2EO，设C点坐标为（a，2a），把点C（a，2a）代入中，得，解得，∵点C在第一象限，∴a>0，取a=2．∴C点坐标为（2，4）．考点: 反比例函数综合题．21、老师要求同学们在图①中内找一点P，使点P到OM、ON的距离相等．小明是这样做的：在OM、ON上分别截取OA=OB，连结AB，取AB中点P，点P 即为所求．请你在图②中的内找一点P，使点P到OM的距离是到ON距离的2倍．要求：简单叙述做法，并对你的做法给予证明．【答案】作法见解析；证明见解析.【解析】试题分析：在OM、ON上分别截取OA=OB，连结AB．在∠MAB内做射线AH，并在AH上顺次截取AC=CD=DG，连结BG．分别过C、D两点做DP∥BG、CQ∥BG．点P 即为所求．试题解析：做法：（1）在OM、ON上分别截取OA=OB，连结AB．（2）在∠MAB内做射线AH，并在AH上顺次截取AC=CD=DG，连结BG．（3）分别过C、D两点做DP∥BG、CQ∥BG．点P即为所求．证明：作，，垂足分别为E、F．则有．∵OA=OB，∴∴ ∽∴∴ 点P即为所求．考点: （1）几何作图；（2）相似三角形的判定与性质.22、已知关于x的方程．（1）当k取何值时，方程有两个实数根；（2）若二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值并用配方法求出抛物线的顶点坐标；（3）若（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），写出n的取值范围．【答案】（1）；（2）k=1，（，）；（3）.【解析】试题分析：(1)要使方程有两个实数根，必须满足两个条件：从而可求出k的取值范围；(2)令y=0，得到一个一元二次方程，用含有k的代数式表示方程的解，根据题意求出k的值.(3)由（2）知k=1所以抛物线方程为y=x2-5x+4，它与x轴的交点坐标为A （1，0），B（4，0），顶点坐标为（，），由此可得n的取值范围为.试题解析：(1)依题意得整理得∵当k取任何值时，，∴∴当时，方程总有两个实数根.(2)解方程，得，．∵均为整数且k为正整数，∴取k=1．∴∴抛物线的顶点坐标为（，）．(3)考点: 二次函数综合题．23、以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF和FM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．【答案】(1)；（2）没有，证明见解析.【解析】试题分析：(1)1连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；2若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（0°＜＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由1的思路证明∠EMF=30°即可.（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为：OP-ON=-2；当P点在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=.试题解析：（1）①．② 不变．证明：如图，连结AD和BC．在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°．∴∠AOD=∠COB，．∴．∴．又∵E、F、M分别为AC、CD、BD中点，∴，．∴．（2）线段PN长度的最小值为-2，最大值为．考点: 相似形综合题.24、如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过A、C、B的抛物线的一部分与经过点A、D、B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线：的顶点．（1）求A、B两点的坐标．（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当为直角三角形时，直接写出m的值．______【答案】（1）A（-1，0）、B（3，0）；（2）存在使得面积最大的点P，最大面积是；（3）或.【解析】试题分析：（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线C的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于1Q，用待定系数法得到直线B的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．试题解析：（1）在中，令y=0，则，解得x=3或x=-1．∴A、B两点的坐标为：A（-1，0）、B（3，0）．（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为，把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入中，得解得∴ ．设过B（3，0）、C（0，）两点的解析式为，代入，得．设“蛋线”在第四象限上存在一点P，过P点作PH⊥AB，垂足为H，交BC于点G.设H点坐标为（x，0），则G（x，），P（x，）．则PG=-()=.∵∴“蛋线”在第四象限上存在使得面积最大的点P，最大面积是．（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，顶点M坐标（1，-4m），当x=0时，y=-3m，∴D（0，-3m），B（3，0），∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得或考点: 二次函数综合题．。

2024年北京平谷区初三一模考试数学及答案

2024北京平谷初三一模数学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计调水700亿立方米．其中70 000 000 000用科学记数法表示为( ) A ．8710⨯B ．9710⨯C ．10710⨯D ．11710⨯2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3. 如图，点C 为直线AB 上一点，CD ⊥CE ，若∠1=65°，则∠2的度数是 A.15° B.25° C.35° D.4. 已知1x −＜＜0，下列四个结论中，错误的是 A. x ＜1 B. 0x −＞ C. 1x −＞ D.x+1＞05. 如果正多边形的每个内角都是120°，则它的边数为（） A. 5B. 6C. 7D.86. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 237.已知两组数据（1）3005,3005,3003,3000,2994；（2）5,5,3,0，-6，设第一组数据的平均值为_1x ，方差为21s ，设第二组数据的平均值为_2x ，方差为22s ，下列结论正确的是：A.__221212,s x x s == B.__221212,s x x s >> C.__221212,s x x s => D.__221212,s x x s >=8. 如图，正方形ABCD 中，点E 、H 、G 、F 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的点，点K 、M 、N 为对角线BD 上的点，四边形EKNF 和四边形MHCG 均为正方形，它们的面积分别表示为S 1，和S 2，给出下面三个结论：①12S S =；②2DF AF =；③12ABCD 9=S +2S 4S 正方形； A. ② B ①.③C. ②③D. ①②③上述结论中，所有正确结论的序号是（）二、填空题（共16分，每题2分）659.x 的取值范围是______． 10. 分解因式：22x a a ax ++=__________________. 11.化简：3113x x x+−−的结果为． 12.写出一个大于1小于4的无理数：． 13. 如图，反比例函数(0)ky k x=≠经过点A 、点B ，则m=______． 14.若关于x 的一元二次方程220x x k +=+有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____.15. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，连接AD 、DC 若∠D=20°，则ACB ∠的度数为______．16．某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F 六道工序，其中A ，B 是前期准备阶段，C ，D ，E 是中期制作阶段，F 为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要_____________分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是_____________元.三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：112cos3012−⎛⎫︒+− ⎪⎝⎭18．解不等式组：32162x x x x −⎧⎪⎨−+⎪⎩＞＜．19. 已知250,x x +−=求代数式(1)(x 1)x(2)x x +−++的值.20. 我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步.今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题.21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k x ＋b (k≠0)的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(0，3)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞0时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数y ＝k x ＋b (k≠0)的值且大于0，直接写出n 的取值范围．22.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是BC 、AB 边的中点，连接DE 并延长，使EF=2DE ，连接AF 、CE.（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）若∠B=30°，求证：四边形ACEF 是菱形.23．如图，△ABC 内接于O ，∠ACB=45°，连接OA ，过B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，．（1）求证：D OAD ∠=∠；（2）若BC =tanD 34=，求O 半径的长．24.光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好.下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据：（1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为x ，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数.建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象:（2）结合函数图象，解决问题:（结果取整）①最适合草莓生长的温度约为______℃；②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢.25．4月24日是中国的航天日.为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情,某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛，现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；26.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y x bx =−．（1）当抛物线过点（2,0）时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在两点11(x ,y )A 和22(x ,y )B ,若对于11x 2,≤≤2x 2b =+都有120y y <，求b 的取值范围．27.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB =A C ,点D 为BC 边中点，DE ⊥AB 于E ，作∠EDC 的平分线交AC 于点F ，过点E 作DF 的垂线交DF 于点G ，交BC 于点H.(1)依题意补全图形； (2)求证：DH=BE ；(3)判断线段FD 、HC 与BE 之间的数量关系，并证明.28. 平面直角坐标系xOy 中,已知⊙M 和平面上一点P ，若PA 切⊙M 于点A ，PB 切⊙M 于点B ，且90°≤∠APB ＜180°则称点P 为⊙M 的伴随双切点. （1）如果⊙O 的半径为2① 下列各点1(1)P −，02,(2)P −，23,(3,3)P 4,(1,2)P −− 是⊙O 的伴随双切点的是；② 直线y x b =+上存在点P 为⊙O 的伴随双切点，则b 的取值范围；（2）已知：点E （1，2）、F （0，-2），过点F 作y 轴的垂线l ，点C （m ，0）是x 轴上一点，若直线l 上存在以CE 为直径的圆伴随双切点，直接写出m 的取值范围.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：112cos3012−⎛⎫︒++− ⎪⎝⎭=2212⨯++−−........................................................4 =1.. (5)18.解不等式组：32162x x x x −⎧⎪⎨−+⎪⎩＞＜解①得1x >−........................................................2 解②得4x <.. (4)14x ∴−<< (5)19.先化简，再求值：(1)(x 1)x(2)x x +−++2212x x x =−++........................................................2 2221x x =+−.. (3)22x 50,+x=5x x +−=∴........................................................4 10-19∴==原式.. (5)20. 解：设走路快的人走了x 步追上走路慢的人 (2)31005x x =+························································4 解得:x=250························································5 答：走路快的人250步追上走路慢的人 (6)（方法不唯一，其他方法依步骤给分）21.（1）∵一次函数y ＝k x ＋b (k≠0)的图象由函数y x =的图象平移得到∴k=1························································1 ∵经过点(0，3)∴b=3 (2)3y x ∴=+（2） 03n ∴≤≤时结论成立.························································5 22．解：（1）∵点D 、E 分别是BC 、AB 边的中点∴DE ∥AC ，且12DE AC =························································1 ∵EF=2DE∴EF=AC (2)∴四边形ACEF 是平行四边形 (3)（2）Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，E 为AB 中点， ∴12CE AB AE ==························································4 ∵∠B=30° ∴∠BAC=60°∴△AEC 是等边三角形························································5 ∴AC=EC∴四边形ACEF 是菱形 (6)23.（1）证明：连接OB ∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90° (1)∵∠ACB=45°∴∠AOB=90°························································2 ∴OA ∥BD∴ADB OAD ∠=∠· (3)（2）过点B 作BH ⊥AD 于点H ∴∠AHB=∠DHB=90°∵∠ACB=45°，BC =∴BH=HC=4 (4)∵∠HBM+∠BMH=90° ∠OAM+∠AMO=90° ∠BMH=∠AMO ∴∠MBH=∠OAM=∠D4tanD 3=∴tan ∠MBH 34=∴MH=3，BM=5························································5 设O 的半径为x ∴OM=x-5∵△AOM ∽△BHM 354x x −∴=解得x=20 (6)24.解（1)补全函数图象 (2)(2)①最适合草莓生长的温度约为___36___℃；(33-37均可)························································3 ②064250x x ≤≤≤≤℃℃或℃℃(答案不唯一）························································5 25.(1)补全a 中频数分布直方图； (1)(2)88.5; 94.························································3 (3)435. (5)26.（1）抛物线的对称轴为x=b (1)∵抛物线过点（0,0）和（2,0）∴b=1 (2)∴抛物线的解析式为22y x x =− （2）∵抛物线的对称轴为x=b ，∴（b+2,0）点一定位于对称轴的右侧························································3 情况1：当原点位于对称轴的左侧时此时，有2222b b b +>⎧⎨<⎩解得12b <<························································4 情况2：当原点位于对称轴的右侧时此时，有220b b <+<解得22b b <⎧⎨<−⎩ 解得2b <− (5)综上， 1∴<b<2或b<-2 (6)27.(1)补全图形 (1)(2) 证明： ∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∵DF ⊥EH∴∠EGD=∠HGD=90°∵∠1=∠2，DG=DG∴△EDG ≌△HDG (2)∴DE=DH∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=45°∵ DE ⊥AB∴∠BED=90°∴ ∠B=∠EDB=45°∴DE=BE∴DH=BE (3)（3）222BE HC DF += (4)方法1：作DM ⊥AC 于M (5)∵CD=BD ，∠DMC=∠BED=90°，∠B=∠C=45°∴△BED ≌△CMD ∴DE=DM ，∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∵CM=DM=BE=DH∴CF-CM=CD-DH∴FM=HC在Rt △FDM 中∵222FM DM DF +=∴.222BE HC DF += (7)方法2：在CF 上截取CK=CH ，连接DK 并延长使DM=DK ，连接BM ，EM..........................................5 ∵CD=BD ，DK=DM ，∠KDC=∠BDM∴△KDC ≌△BMD ∴KC=BM ，∠C=∠4∴KC ∥BM∴∠ABM=∠BAC=90°∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∵ CK=CH∴FK=DH∴DE=FK∵ED ∥AC∴∠EDM=∠5∴△EMD ≌△FDK.∴DF=ME∴222BE HC DF +=.........................................7 方法3：连接AD ，在AB 上截取BM=AF ，连接DM. Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D 为BC 中点 ∴AD=BD ，∠4=∠B=45°∵AF=BM∴△ADF ≌△BMD.........................................5 ∴DF=DM∵AB=AC ，BM=AF∴AB-BM=AC-AF∴AM=CF∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∴AM=CD∵DE ⊥AB ，∠BAD=45°∴AE=DE∴AE=DH∴ME=HC在Rt △EDM 中∵222EM DE DM +=∴222BE HC DF += (7)28．解：（1）①P 2，P 4； (2)②44b −≤≤ (4)（2）11m ≥+≤或m (7)。

平谷区初三第一次统练数学试卷

平谷区初三第一次统练数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分．）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．–3的相反数是Ａ．3 Ｂ．–3 Ｃ．31 Ｄ．–312．中新网2月1日电：民政部最新数据显示，截止到2008年1月31日18时，今年1月10日以来的低温雨雪冰冻灾害造成中国19个省、市、自治区和新疆生产建设兵团发生程度不同的灾害。

目前，因灾造成的直接经济损失已经达到了537.9亿元。

537.9亿元用科学记数法表示应为Ａ．1210379.5⨯元Ｂ．1010379.5⨯元 C ．910379.5⨯元Ｄ．810379.5⨯元3．数轴上，到原点的距离是5的数是Ａ．5 Ｂ．–5 Ｃ．5或–5 Ｄ．5 4．如图，AB ∥CD ，∠1＝70o ，∠AEF=90 o ，则∠A 的度数为Ａ．o 70 Ｂ．o 60 Ｃ．o 40 Ｄ．20o5．我市某一周的最高气温统计如下表：则这组数据的中位数与众数分别是A ．27，28B ．27．5，28C ．28，27D ．26．5，27 6．下列计算中，结果正确的是Ａ．a a a 222=- Ｂ．(a 5)2=a 10Ｃ．222ｂａ)ｂａ(-=-Ｄ．３２６＝a a a ÷ 7．在100张奖卷中，有4张中奖，小军从中任取1张，他中奖的概率是Ａ．41 Ｂ．201 Ｃ．251 Ｄ．10018．如图，圆锥的母线AB=6,底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形的圆心角α的度数为Ａ．90oＢ．100oＣ．120o Ｄ．150o 二、填空题（本题共16分，每小题4分．）9．若关于x 的一元二次方程04)2(22=-++-m x x m 的一个根为0，则m 值是．10．在函数1x y -=中，自变量x 的取值范围是．11．观察下列等式：223941401⨯=-，224852502⨯=-，225664604⨯=-，226575705⨯=-，228397907⨯=-…请你把发现的规律用字母表示出来：m·n ＝．12．如图是一个长方形色块图,由6个大小不完全相同的正方形组成,设中间最小的一个正方形边长为1, 则这个长方形的面积为．三、解答题（本题共20分，每小题5分.）13．计算：12)2008(1845tan 0o ---+ 14．解方程：11x 61x 1x 2=---+ 15．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ．求证：∠EBC ＝∠EDC16．已知01a 2a 2=--，求代数式22a2a 4a 22a 1+⋅⎪⎭⎫⎝⎛-++的值．四．（本题8分，每小题4分.）17．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin 270.45=，cos 270.89=，tan 270.51=）18．如图（1）是从长40cm 、宽30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm 、宽为10cm的矩形后剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．李师傅的做法是：设新正方形的边长为(0)x x >．依题意，割补前后图形的面积相等，有221030x +=．由此可知正方形的边长等于两个直角边分别为30cm 和10 cm 的直角三角形斜边的长．于是，画出如图（2）所示的正方形．请你仿照李师傅的做法，确定一个与李师傅方法不同的割补方法，在图（1）的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为10cm ）中用虚线画出拼接后的正方形，并在下面的横线上写出接缝的长.（不写分析过程和画法）解：接缝的长为_______ cm五、解答题（本题共22分，第19题6分，第20题5分，第21题5分，第22题6分．）19．2007年5月30日，在“六一国际儿童节”来临之际，某初级中学开展了向山区“希望小学”捐赠图书活动. 全校1200名学生每人都捐赠了一定数量的图书. 已知各年级人数比例分布扇形统计图如图①所示. 学校为了了解各年级捐赠情况，从各年级中随机抽查了部分学生，进行了捐赠情况的统计调查，绘制成如图②的频数分布直方图.根据以上信息解答下列问题：（1）从图②中，我们可以看出人均捐赠图书最多的是_______年级；（2）估计九年级共捐赠图书多少册?（3）全校大约共捐赠图书多少册?20．某商场用36000元购进A 、B 两种商品，销售完后共获利6000元，其进价和售价如下表：（1）该商场购进A 、B 两种商品各多少件?（2）商场第二次以原进价购进A 、B 两种商品．购进B 种商品的件数不变，而购进A 种商品的件数是第一次的2倍，A 种商品按原价出售，而B 种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，B 种商品最低售价为每件多少元?21．已知一次函数)0k (b kx y ≠+=和反比例函数x2k y =的图象交于点A （1，1）．（1）求两个函数的解析式；（2）若点B 是x 轴上一点，且△AOB 是直角三角形，求B 点坐标．22．如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E.（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若∠A=30o ，AB=8，F 是OB 的中点，联结DF 并延长交⊙O 于G ，求弦DG 的长．五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分．）23．如图，在正方形ABCD 中，点F 在CD 边上，射线AF 交BD 于点E ，交BC 的延长线于点G .（1）求证：ADE ∆≌CDE ∆；（2）过点C 作CE CH ⊥，交FG 于点H ，求证：GH FH =；（3）当AD ：DF=3时，试判断ECG ∆的形状并证明结论．24．已知：抛物线m ax 4ax y 2+-=与x 轴的一个交点为A （1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，且△ABC 的面积为3，求此抛物线的解析式；（3）点D 是（2）中开口向下的抛物线的顶点．抛物线上点C 的对称点为Q,把点D 沿对称轴向下平移5个单位长度,设这个点为P;点M 、N 分别是x 轴、y 轴上的两个动点，当四边形PQMN 的周长最短时,求PN+MN+QM 的长．（结果保留根号）25．在图中，把一副直角三角板ABC 和EFG （其短直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕点O顺时针旋转（旋转角α满足条件：o 0900<α<），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）联结HK ，在上述旋转过程中，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的161？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．。

2014~2015学年度北京市平谷区2015年初三数学一模试题及答案

平谷区2014—2015学年度第二学期初三统练（一）2015.4下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．根据平谷区统计局发布的人口抽样调查情况，2014年末平谷区常住人口423 000人，将423 000用科学记数法表示应为A ．54.2310⨯B ．60.42310⨯C ．442.310⨯D ．44.2310⨯2．检查4个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，A ．1号B ．2号C ．3号D ．4号3．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在B C 边上，DE ∥AB ，若∠CDE =150°，则∠A 的度数为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是5．函数y =A ．1x ≠B ．1x > C ．1x ≥ D ．1x ≥-6．下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是7．某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校部分A ．41B ．51C ．52D ．2038．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：100后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.A C D B A0 510 20 25 30 35 40B ． D ．C ． A ．在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间x （min ）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是 A ．27分钟 B ．20分钟C ．13分钟D ．7分钟9．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =30°，CD 丄AB 于点E ，BE =2，则⊙O 的半径为A ．8B ．6C ．4D ．210．已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =12cm ，BD =16cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜8）．设四边形APFE 的面积为y （cm 2），则下列图象中，能表示y 与t 的函数关系的图象大致是二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．分解因式：32244a ab ab -+= ．12．甲、乙二人进行射击比赛，已知他们每人五次射击的成绩如下表（单位：环），那么二13角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为米． 14．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，若OA =4，OC =6，写出一个函数()0ky k x=≠，使它的图象与矩形OABC 的两边AB ，BC 分别交于点D ，E ，这个函数的表达式为．15．在学习二次函数的图象时，小米通过向上（或向下）平移y =ax 2的图象，得到y =ax 2+c 的图象；向左（或向右）平移y =ax 2的图象，得到y =a (x ﹣h )2的图象．小米经过探究发现一次函数的图象也应该具有类似的性质．请你思考小米的探究，直接写出一次函数y =2x +3 的图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为． 16．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6．若点P 在直线AC 上（不与点A ，C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为．A ．B ． D ．C ． A三、解答题(本题共30分，每小题5分) 17．如图，AB =AD ，AC =AE ，∠CAD =∠EAB ．求证：BC =DE ．18()112cos 45 3.144π-⎛⎫︒+-+- ⎪⎝⎭．19．解不等式组2141123x x x x -+<+⎧⎪-⎨-≤⎪⎩．20．已知实数a 满足22130a a +-=，求()()2212121121a a a a a a a +++-÷+--+的值.21．关于x 的一元二次方程()2121=0m x mx m --++有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 22．列方程或方程组解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且DE ∥AB ，EF ∥AC ．（1）求证：BE =AF ；（2）若∠ABC =60°，BD =12，求DE 的长及四边形ADEF 的面积．24．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：请结合图中信息解答下列问题：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为；（2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有多少人？25．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，∠BAC =2∠CBE ，交AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接AF ．（1）求证：∠CBE =∠CAF ；（2）过点E 作EG ⊥BC 于点G ，若∠C =45°，CG =1，求⊙O 的半径．26．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ．小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究．∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B 是直角时，如图1，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据“HL ”定理，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC =EF ，∠B =∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF =AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E >90°，求证：△ABC ≌△DEF ．五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分)27．已知抛物线y =ax 2+x +c （a ≠0）经过A （1 ，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，点D 为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC的距离为2时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，且∠EAO +∠EPO =∠α，当tan α=2时，求点P 的坐标．图1图3 O yx图228．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ∠，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是；（3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为．29．设a ,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ,b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ,我们就称此函数是闭区间[m .n ]上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当x =1时，y =3；当x =3时，y =1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[1,3]上的“闭函数”．（1）反比例函数y =x2015是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y =22x x k --是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ,n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．图2 图3图1平谷区2014—2015学年度第二学期初三统练答案（一）数学试卷2015.411.2(2)a ab -；12．乙；13．14．答案不唯一，如1y x=-(x <0)；15．y =2x +11；16．6或1分，多写扣1分）．三、解答题(本题共30分，每小题5分)17．证明：∵∠CAD =∠EAB ，∴∠CAD +∠BAD =∠EAB +∠BAD ．即∠CAB =∠EAD ． (1)∵AB =AD ，AC =AE ，…………………………………………………………………3 ∴△ABC ≌△ADE ．…………………………………………………………………4 ∴BC =DE ．……………………………………………………………………………5 18．解：原式=()2412⨯+-+..................................................................4 =3 (5)19．解：2141123x x x x -+<+⎧⎪⎨--≤⎪⎩①②解不等式①，得1x >-，………………………………………………………………2 解不等式②，得4x ≤，…………………………………………………………………4∴原不等式组的解集为：14x -<≤．…………………………………………………5 20．解：()()2212121121a a a a a a a +++-÷+--+ =()()()221212111a a a a a a +++-÷+--…………………………………………………………1 =()()()()()211211112a a a a a a a -+-⋅++-++ =()21111a a a --++…………………………………………………………………………2 =()()221111a a a a +--++=()221a +=2221a a ++ (3)∵22130a a +-=， ∴22=13a a +．∴原式=213+1 (4)=17 (5)21．解：（1）根据题意得m ≠1 (1)△＝(–2m )2－4(m －1)(m ＋1)＝4 …………………………………………………2∴m 的取值范围是m ≠1；（2）∴x 1＝()22121m m -=- (3)x 2＝()2221m m +-＝11m m +-x 2＝11m m +-=211m +- (4)∵方程的两个根都是正整数， ∴21m -是正整数， ∴m －1=1或2 ∴ｍ=2或3 . (5)22．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天加工1.5x 件新产品． (1)依题意得，1200120010.1.5x x =+ (2)解得40x =.………………………………………………………………………………3经检验，40x =是原方程的解，并且符合题意．………………………………………4∴1.560x =. 答：甲、乙两个工厂每天能加工新产品的件数分别为40件、60件．……………………5四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．（1）证明：∵DE ∥AB ，EF ∥AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，…………………………………………………………1 ∠ABD =∠BDE ． ∴AF =DE ．∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD =∠DBE ． ∴∠DBE =∠BDE ． ∴BE =DE ．∴BE =AF ． (2)（2）解：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，∵∠ABC =60°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD =∠EBD =30°， ∴DG =12BD =12×12=6．…………………………………………3 ∵BE =DE ，∴BH =DH =12BD =6． ∴BE =cos30BH︒=∴DE =BE= 4∴四边形ADEF 的面积为：DE •DG=． (5)24．解：（1）30%； (1)（2）小组合作学习后学生学习兴趣的统计图如下： (2)（3）小组合作学习前学生学习兴趣“中”的有100×25%=25（人），小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人）；………………………………3 小组合作学习前学生学习兴趣“高”的有100×30%=30（人），小组合作学习后学习兴趣提高了35﹣30=5（人）；小组合作学习前学生学习兴趣为“极高”的有100×25%=25（人），小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人），∴2000×555100++ =300（人）． (4)答：全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有300人．……………………525．（1）证明：∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠ABF +∠CBE =90°．…………………………………………………………1 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB =90°．∴∠ABF +∠BAF =90°． ∴∠CBE =∠BAF ． ∵∠BAC =2∠CBE ，∴∠BAF +∠CAF =2∠CBE ．即∠CBE =∠CAF ．………………………………………………………………2 （2）∵EG ⊥BC 于点G ，∴∠CBE +∠BEG =90°．∵∠CAF +∠AEF =90°， ∴∠BEG =∠AEF ．连接BD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．∴∠BDE =∠BGE =90°．∵BE =BE∴△BED ≌△BEG ．∴ED =EG ．………………………………………………………………………3 ∵∠C =∠CEG =45°， ∴EG =CG =1，CE∴DE =1．∴CD在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠C =45°， ∴∠BAC =45°． ∴AD =BD =CD∴AB……………………………………………………………………4 ∴⊙O的半径为2．……………………………………………………5 26．解：画出DF ，选择A （或画出D ’F ，选择B ） (1)画出DF 和D ’F ，选择C ……………………………………………………………………2 证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于点H ， ∵∠B =∠E ，∴180°﹣∠B =180°﹣∠E ，即∠CBG =∠FEH ，…………………………………………………………………………3 在△CBG 和△FEH 中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△CBG ≌△FEH （AAS ）， ∴CG =FH ，在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DFCG FH=⎧⎨=⎩，Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A =∠D ， (4)在△ABC 和△DEF 中，A D B E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（AAS）． (5)五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分)27．解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴10420a ca c-+=⎧⎨++=⎩，解得12ac=-⎧⎨=⎩．∴抛物线为y=﹣x2+x+2①； (1)∴顶点D（12，94）． (2)（2）如图，作EN∥BC，交y轴于N，过C作CM⊥EN于M，令x=0，得y=2,∴OC=OB=2．∴∠OCB=45°．∵EN∥BC，∴∠CNM=∠OCB=45°．∵CM⊥EN于M，∴∠CNM=∠CMN=45°．∴MN =CM∴CN=1．∴直线NE的解析式为：y把②代入①，解得1xy=⎧⎨=⎩∴E（1，2（3）过E作EF⊥AB于F∴tan∠EOF=2，又∵tan∠α=2，∴∠EOF=∠α，∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α，∠EAO+∠EPO=∠α，∴∠EPO=∠AEO，∵∠EAO=∠PAE，∴△AEP∽△AOE， (5)∴AP AEAE AO=，∵AE AO∴AP=8，∴OP=7，∴()7,0P由对称性可得，()'5,0P-∴()7,0P或()5,0-．28．解：（1）E………………………………………………………1 延长DA 到点E ，使AE =CN ，连接BE∵∠BAD +∠C =180°．∴∠EAB =∠C ．又∵AB =BC ，AE =CN ，∴△ABE ≌△CBN ．∴∠EBA =∠CBN ，BE =BN ．…………………………………………………………2 ∴∠EBN =∠ABC ．∵∠ABC =80°，∠MBN =40°，∴∠EBM =∠NBM =40°．∵BM =BM ，∴△EBM ≌△NBM ．∴EM =NM ．....................................................................................3 ∴MN =AM +CN ． (4)（2）……………………………………………………5 MN <AM +CN (6)（31 (8)29．解：（12015是闭区间[1,2015]上的“闭函数”．理由如下： 2015在第一象限，y 随x 的增大而减小， 12（2）由于二次函数22y x x k =--的图象开口向上，对称轴为1x =，……………………………………………………………………3 ∴二次函数22y x x k =--在闭区间[1,2]内，y 随x 的增大而增大．当x =1时，y =1，∴k =2-．当x =2时，y =2， ∴k =2-．即图象过点（1,1）和（2,2）∴当1≤x ≤2时，有1≤y ≤2，符合闭函数的定义，∴k =2-． (4)（3）因为一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，根据一次函数的图象与性质，有：（Ⅰ）当0k >时，即图象过点（m ,m ）和（n ,n ）mk b m nk b n+=⎧⎨+=⎩，……………………………………………………………………5 解得10k b =⎧⎨=⎩．∴y x =……………………………………………………………………………6 （Ⅱ）当0k <时，即图象过点（m ,n ）和（n ,m ）mk b n nk b m +=⎧⎨+=⎩，解得1k b m n =-⎧⎨=+⎩∴y x m n =-++，………………………………………………………………7 ∴一次函数的解析式为y x =或y x m n =-++．。

2013-2014学年北京市师大附中平谷分校九年级上第一次月考数学试卷(word版含解析)

2013-2014学年北京市师大附中平谷分校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择 1．（3分）﹣3的倒数是（）A ．3 B ．﹣3 C ．D ．考点：倒数．分析：直接根据倒数的定义进行解答即可．解答：解：∵（﹣3）×（﹣）=1， ∴﹣3的倒数是﹣．故选D ．点评：本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数． 2．（3分）最新统计，中国注册志愿者总数已超30 000 000人，30 000 000用科学记数法表示为（）A ． 3×107B ． 3×106C ． 30×106D ．3×105考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于30 000 000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．解答：解：30 000 000=3×107．故选A ．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．3．（3分）已知=，那么下列式子不成立的是（）A ．=B ． =C ． =D ． 3a=2b考点：比例的性质．分析：根据比例的性质进行判断．解答：解：∵=，∴3a=2b ．A 、由该比例式得到3a=2b ．故本选项不符合题意；B 、由该比例式得到2b=3a ．故本选项不符合题意；C 、由该比例式得到2a=3b ．故本选项符合题意；D 、3a=2b ．故本选项不符合题意；故选：C．点评：本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．4．（3分）如果两个相似三角形的相似比是1：3，则它们的周长的比为（）A．1：3 B．1：9 C．1：D．：3考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形的周长比等于相似比即可解得．解答：解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，∴它们的周长比为1：3．故选A．点评：此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．5．（3分）下列命题中不正确的是（）A．等腰直角三角形都相似B．顶角相等的等腰三角形一定相似C．全等形是相似形D．不相似的图形可能是全等形考点：命题与定理．分析：根据相似三角形的判定以及等腰三角形、直角三角形、全等形的性质分别进行分析即可．解答：解：A、等腰直角三角形都相似，正确；B、顶角相等的等腰三角形一定相似，正确；C、全等形是相似形，正确；D、不相似的图形一定不是全等形，错误；故选D．点评：此题考查了命题与定理，用到的知识点相似三角形的判定、等腰三角形、直角三角形、全等形的性质，熟练掌握常用的课本中的性质定理是本题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=5：3，则下列结论不正确的是（）A．AD：AB=5：8 B．A E：EC=5：3 C．D E：BC=3：5 D．BC：DE=8：5考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理分别对每一项进行判断即可．解答：解：∵DE∥BC，AD：DB=5：3，∴AD：AB=5：（5+3）=5：8，AE：EC=AD：DB=5：3，DE：BC=AD：AB=5：8，BC：DE=AB：AD=8：5，∴结论不正确的是C；故选C．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，对求的比例式进行变形．7．（3分）如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，则图中与△AEF相似的三角形的个数是（）（不包括它本身）A．1个B．2个C．3个D． 4个考点：相似三角形的判定．分析：根据等角的余角相等写出与∠A相等的角，再根据有一对锐角相等的直角三角形相似解答．解答：解：∵AD⊥BC于D，CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°，∴∠A=∠C，与△AEF相似的三角形有：△ADB、△CDF、△CEB共3个．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了有一对锐角相等的直角三角形相似．8．（3分）如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定．专题：压轴题；网格型．分析：三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形，可求出三边的长，即可得出．解答：解：原三角形的边长为：，2，．A中三角形的边长为：1，，．B中三角形的边长为：1，，．在，即相似；C中三角形的边长为：，，3．D中三角形的边长为：2，，．故选B．点评：本题考查相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形．9．（3分）顺次连接三角形各边中点所得三角形面积与原三角形面积的比是（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D． 4：1考点：三角形中位线定理．分析：根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出答案．解答：解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，S△DEF：S△ABC=．故选C．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形面积比等于相似比的平方．10．（3分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1 B．C．1D．考点：相似三角形的判定与性质；平移的性质．专题：压轴题．分析：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了．解答：解：设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′∴△BEA′∽△BCA∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2∵AB=∴A′B=1∴AA′=AB﹣A′B=﹣1故选A．点评：本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．二、填空11．（3分）分解因式：ax2+2ax+a=a（x+1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．解答：解：ax2+2ax+a，=a（x2+2x+1）﹣﹣（提取公因式）=a（x+1）2．﹣﹣（完全平方公式）点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．12．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是x≠2．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣2≠0，解可得自变量x的取值范围．解答：解：根据题意，有x﹣2≠0，解可得x≠2；故自变量x的取值范围是x≠2．故答案为x≠2．点评：本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0．13．（6分）两个相似三角形的相似比为3：5，则对应中线的比等于3：5，面积比为9：25．考点：相似三角形的性质．分析：直接根据相似三角形的性质进行解答即可．解答：解：∵两个相似三角形的相似比为3：5，∴对应中线的比等于3：5，面积比=（）2=9：25．故答案为：3：5；9：25．点评：本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．14．（3分）如图，已知DE∥BC，EC=6cm，DE=2.1cm，BC=6.3cm，则AC= 4.5cm．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似判断出△ABC和△ADE相似，根据相似三角形对应边成比例求出，然后根据EC=6cm求解即可．解答：解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴===，又∵EC=6cm，∴AC=6×=4.5cm．故答案为：4.5cm．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定方法并求出的值是解题的关键．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AB=20cm，BC=10cm，则AD=15 cm．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据同角的余角相等求出∠A=∠BCD，再根据两组角对应相等的三角形相似求出△ABC和△CBD相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，代入数据求出BD，再根据AD=AB﹣BD计算即可得解．解答：解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，又∵∠ACB=∠CDB=90°，∴△ABC∽△CBD，∴=，∵AB=20cm，BC=10cm，∴BD===5cm，∴AD=AB﹣BD=20﹣5=15cm．故答案为：15．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．16．（3分）如图，已知：∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD=或时，图中的两个直角三角形相似．考点：相似三角形的判定．分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可．解答：解：∵∠ACB=∠ADC=90°，BC=6，AC=8．∴AB===10，当BD：BC=AB：AC时，△ABC∽△ADC，则=，解得：BD=；当BD：AC=AB：BC时，△ABC∽△ACD，则=，解得：BD=．故当BD=或时，两个直角三角形相似．故答案是：或．点评：此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．17．（3分）如图：点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B、C重合的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，这样的直线共有3条．考点：相似三角形的判定．分析：根据题意可得过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意．解答：解：∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意．∴过点M作直线l共有三条，故答案为：3．点评：本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时，运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．18．（3分）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=；S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．解答：解：由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1•sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=•AB=，则D n C n=2﹣BnDn=2﹣=．△B n C n B n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．△B n+1D n C n面积为S n=•=•=．即第n个图形的面积Sn=．点评：本题考查了相似三角形的性质，题目新颖，同学们要好好掌握．三、解答题19．（6分）解方程：3x2﹣4x+1=0；（用配方法解）考点：解一元二次方程-配方法．专题：计算题．分析：用配方法解，首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，即可求解．解答：解：3x2﹣4x+1=03（x2﹣x）+1=0（x﹣）2=∴x﹣=±∴x1=1，x2=点评：本题考查了解一元二次方程的方法，配方法适用于任何一元二次方程．20．（6分））已知：如图，AB∥CD，AB=EC，BC=CD．求证：AC=ED．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECD，然后利用“边角边”证明△ABC和△ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠ECD，∵在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（ASA），∴AC=ED．点评：本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出∠B=∠ECD 是证明三角形全等的关键．21．（8分）一次函数的图象经过A（﹣3，2）和B（1，6）．（1）求这个函数的解析式，并画出函数的图象；（2）求这个函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积．考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征．分析：（1）设函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求得答案，再根据与坐标轴的交点可作出图形．（2）根据（1）所求的坐标，根据面积=|x||y|求解．解答：解：（1）设函数解析式为y=kx+b，将A（﹣3，2）和B（1，6）代入得：，解得：．∴函数解析式为：y=x+5．与x轴交点为（﹣5，0），与y轴交点为（0，5），所作图形为：（2）面积=×5×5=．点评：本题考查待定系数法求函数解析式及作图的知识，难度不大，注意掌握所围成三角形的面积=|x||y|．22．（6分）如图，△ABC和△DEF均为等边三角形，点D、F分别在BC、AC上，请找一个与△CDF相似的三角形，并证明．考点：相似三角形的判定；等边三角形的性质．分析：利用等边三角形的性质得出：∠A=∠C=∠EFD=60°，进而求出∠AMF=∠CFD，即可得出答案．解答：解：△CDF∽△AFM，理由：∵∠A=∠C=∠EFD=60°，∴∠AMF+∠AFM=120°，∠AFM+∠CFD=120°，∴∠AMF=∠CFD，又∵∠A=∠C，∴△CDF∽△AFM．点评：此题主要考查了等边三角形的性质与相似三角形的判定，得出∠AMF=∠CFD是解题关键．23．（6分）如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AD=4，DB=2，求：BC 的长．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，易证得△ACD∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CD的长，然后利用勾股定理，求得BC的长．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴AD：CD=CD：BD，∴CD===2，在Rt△BCD中，BC==2．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想的应用．24．（6分）己知：如图，AD⊥BC，垂足为D，矩形EFGH的顶点都在△ABC的边上，且BC=36cm，AD=12cm，=．求矩形EFGH的周长．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．分析：题中有EF：EG=5：9，要求矩形的周长，只要设EF=5x，FH=EG=9x，利用三角形相似的性质：对应边成比例，可求出x，即可求出周长．解答：解：设EF=5x，则EG=9x，∵矩形EFGH内接于△ABC且AD⊥BC，∴EG∥BC，EF∥AD，∴△AEG∽△ABC，△BFE∽△BDA，∴==，==即=，∴+=+=1．解得：x=，∴矩形的周长为：2（5x+9x）=42cm．答：矩形EFGH的周长为42cm．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，对于三角形相似类型的题目求边长，周长等，常常要用相似三角形的对应边成比例的性质来解题，这是常识，应记住并应用．25．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在线段AB上是否存在一点P，使得△PAD与△PBC相似？若不存在，说明理由；若存在，说出这样的点P有几个？并求出PA长？考点：相似三角形的判定．分析：由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．解答：解：存在．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，当△PAD∽△PBC时，=∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，∴AP=①；当△ADP∽△BPC时，=∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，∴PA=1或PA=6②；由①②可知，P点距离A点有三个位置：PA=；PA=1或PA=6．点评：本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．26．（5分）△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．考点：相似三角形的判定．专题：动点型．分析：（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF=135°，∠CPF+∠CFP=135°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：△BPE∽△CFP；（3）同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此PB：BE=PF：PE，进而求出，△BPE与△PFE相似．解答：（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°，∵∠EPF=45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．（2）解：△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°，∵∠EPF=45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．（3）解：△BPE与△PFE相似．证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此PB：BE=PF：PE．又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．点评：此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．。