江苏省2014年普通高校对口单招文化统考数学试卷
江苏省普通高校对口单招文化统考数学试题及答案
江苏省2014年普通高校对口单招文化统考数 学 试 卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1．已知集合{1,2}M =，{2,3}xN =，若{1}M N =I ，则实数x 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．若向量(1,3),(,3),a b x =-=-r r 且//a b r r ，则||b r等于（ ）A ．2B ．3C D 3．若3tan 4α=-，且α为第二象限角，则cos α的值为（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．454．由1，2，3，4，5这五个数字排成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．60 5．若函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((0))f f 等于（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．36．若,a b 是实数，且4a b +=，则33ab+的最小值是（ ） A ．9B ．12C ．15D ．187．若点(2,1)P -是圆22(1)25x y -+=的弦MN 的中点，则MN 所在直线的方程是（ ） A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．20x y +=8．若函数()()f x x R ∈的图象过点(1,1)，则函数(3)f x +的图象必过点（ ）A ．(4,1)B ．(1,4)C ．(2,1)-D ．(1,2)-9．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成角的大小为（ ） A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o10．函数sin 3|sin |(02)y x x x π=+<<的图象与直线3y =的交点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．将十进制数51换算成二进制数，即10(51)=________。
2014年对口升学数学试题
数学试题卷 第 1 页（共 3 页）2014年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题卷考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效一、选择题（每小题3分，共30分。
每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合{}|,M z x y x A y B ==+∈∈中的元素的个数是A ．5B ．4C ．3D ．22．函数2()log (1)f x x π=+的定义域是A ．(1,1)-B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．R 3．若14()()25x x<，则x 的取值范围是A ．(,)-∞+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞ 4．假设函数()b f x kx =+是增函数，则A ．0k >B ．0k <C ．0b <D ．0b > 5．若cos θ与tan θ同号，则θ属于 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一、四象限角D ．第一、二象限角6．垂直于同一个平面的两个平面一定 A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．前三种情况都有可能7．等差数列{}n a 中，若35a =，59a =，则6S 等于A ．38B ．36C ．48D ．46 8．抛物线2160y x +=的焦点坐标是A ．(2,0)-B ．(0,4)-C ．(0,2)-D ．(2,0)9．已知向量 (3,1)-a =， (1,2)--b =， (1,1)-c =，则a +b +c 模长等于A ．5B ．4C ．3D ．2数学试题卷 第 2 页（共 3 页）10．4的展开式中，常数项是 A ．5 B ．8 C ．6 D ．12二、填空题（每小题3分，共24分)11．不等式2(2)10x --<的解集是 .12．若11(1)322x f x x +=⋅+，则(0)f = . 13．已知3sin(21)2y x =--+，则函数y 的最大值等于 .14．cos 20cos70sin 20sin 70-= .15．直线360x -=的倾斜角是 度.16．三个平面最多把空间分成 部分.17．向量a 的模为3，向量b 的模为2，二者的夹角为60，则二者的内积等于 .18．若随机事件A 与随机事件B 为互斥事件，且()()0.5P A P B +=，则()P A B = .三、计算题（每小题8分，共24分）19．设2()2()36f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =和21n n S a =-(其中n N *∈). （1）求数列{}n a 的前四项；（2）求数列{}n a 的通项公式.数学试题卷 第 3 页（共 3 页） 21．三个运动员练习篮球投篮，每个运动员投进的概率都是12，求 （1）三人都同时是投进的概率;（2）至少有两个人投进的概率.四、证明题（每小题6分，共12分）22．已知sin 2cos 0θθ-=，证明: 2222sin 2sin cos 5cos 1sin cos θθθθθθ+-=- 23．已知正方体1111ABCD A BC D -棱长是a ，求证:三角形1ACB 为等边三角形.五、综合题（10分）24．已知直线l ：30x y a ++=，它过圆22240x y x y ++-=的圆心（1）求a 的值，并写出直线l 的方程;（2）求出直线l 与两坐标轴的交点A 、B 的坐标，并求A 、B 两点间的距离.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
江苏2014年普通高校对口单招文化统考
江苏省2014年普通高校对口单招文化统考电子电工专业综合理论试卷本试卷分为第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分。
第Ⅰ卷1页至4页，第Ⅱ卷5页至1 6页。
两卷满分300分。
考试时间150分钟。
第Ⅰ卷（共120分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填写答题卡上的姓名、考试证号。
2.必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不涂写在答题卡上无效。
一、单项选择题（本大题共22小题，每小题4分，共88分。
在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1.如题1图所示的各电容的标称值分别为C 1：3μF/30V, C 2：4μF/20V , C 3：2μF/10V 。
则该电容组的等效电容量和耐压值分别为A.4.33μF ，60VB.4.33μF ，10VC.2μF ，40VD.2μF ，30V2.电路如题2图所示，吸收功率的电压源是A.1V 电压源B.2V 电压源C.3V 电压源D.4V 电压源题1图 题2图3.题3图所示电路中，当改变可变电阻R P 的电阻值时，检流计指针的偏转情况为A.增大R P 值时正偏B.增大R P 值时反偏C.减少R P 值时正偏D.改变R P 值时不偏转4.在题4图所示正弦交流电路中，已知R =Xc ，则电路总电流I 的大小为A.I =1AB. I =2AC. I =2AD. I =3.14A题3图 题4图5.三相对称负载Z L ，当电源线电压为220V 时做三角形连接，当电源线电压为380V 时做星形连接，则星形连接时的功率P Y 与三角形连接时的功率P △的关系为A. P Y =3P △B. P Y =3P △C. P Y =33P △ D. P Y =P △6.题6图所示电路原处于稳态，在t=0时开关S断开，则开关断开瞬间电感L上的电压u L的极性与L中电流的稳态值i L(∞)分别为A. u L>0V，i L(∞)=2 AB. u L>0V，i L(∞)=6 AC. u L<0V，i L(∞)=2 AD. u L<0V，i L(∞)=6 A 题6图7.有人选用I CM=20mA, U(BR)CEO=22V，P CM=100mW的三极管组成放大电路，其静态工作点I CQ=10mA, U CEO=15V，则该管A.可以正常放大B.可能击穿C.放大性能较差D.将过热或烧坏8.电路如题8图(a)所示，当输入正弦电压时，输出u o波形如题8图(b)所示，则该放大电路所出现的失真类型及减小失真所应采取的措施是A.出现饱和失真，应调小R PB.出现截止失真，应调小R PC.出现饱和失真，应调大R PD.出现截止失真，应调大R P9.在题9图所示电路中，级间反馈对放大器的影响，下列说法中正确的是A.能稳定静态工作点B.使放大器不稳定，可能产生自激振荡C.能稳定放大器的输出电流，减小输入电阻D.能稳定放大器的输出电压10.电路如题10图所示，下列说法正确的是A.该电路抑制零点漂移的能力主要来源于电阻R EB.因为电路不对称，所以该电路没有抑制零点漂移作用C.该电路抑制零点漂移能力仅来源于差分电路的对称性，与电阻R E无关D. R E对差模信号和共模信号都有深度负反馈作用题10图11.电路如题11图所示，则下列说法正确的是A.该电路为串联型石英晶体振荡电路，石英晶体在电路中等效为一个电感B.该电路为串联型石英晶体振荡电路，石英晶体在电路中等效为一个电容C.该电路为并联型石英晶体振荡电路，石英晶体在电路中等效为一个电感D.该电路为并联型石英晶体振荡电路，石英晶体在电路中等效为一个电容题11图题12图12.某组合逻辑电路的输出Y与输入A、B波形如题12图所示，则该电路的逻辑功能为A.与非B.或非C.异或D.同或13.题13图中可以实现Q n+1=D功能的时序电路是题13图14.系统误差表示测量结果偏离其真实值的程度，即反映了测量结果的A.精密度B.灵敏度C.准确度D.误差度15.具有补偿线圈的低功率因数功率表中补偿线圈的作用是A.消除角误差的影响B.消除摩擦引起的误差C.消除电流线圈功耗对测量的影响D.消除电压支路功耗对测量的影响16.万用表交流电压挡的准确度A.比其他挡的准确度低B.比其他挡的准确度高C.和其他挡的准确度一样D.低量程比高量程的准确度高17.用电子电压表测量非正弦交流电压时，下列说法正确的是A.用有效值电压表可以直接测量非正弦交流电压的有效值B.用峰值电压表测得的示值就是非正弦交流电压的峰值C.用峰值电压表和均值电压表对同一非正弦交流电压进行测量时，两表的读数相同D.用峰值电压表和均值电压表对同一非正弦交流电压进行测量时，峰值电压表产生的测量误差比均值电压表小18.示波器的使用，主要有以下环节：①调节光迹的亮度和清晰度；②接入被测信号，进行测量；③接上电源线，开机预热一段时间；④将垂直微调旋钮和水平微调旋钮顺时针旋至校准位置，接入校正信号，校正示波器。
2014年江苏省对口单招数学模拟试(一)
2104年江苏省对口单招数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1设全集U=R ，集合A=}0|{≤x x ，B=}3|{>x x ，则集合=⋃)(B A C U （ ） A ．}30|{>≤x x x 或B ．}30|{<<x xC ．}30|{≤≤x xD ．}30|{≤<x x 、2、“b a <<0”是“ba)31()31(<”成立的是 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3、已知向量a =)1,sin 4(α,向量 b =)1,(cos α,若 a ⊥b,则=α2sin （ ） A ．21 B ．21- C ．178 D ．1744、复数=--ii 2123（ ）A ．iB ．i -C ．i -22D ．i +-225、3封信投入4个邮箱，则不同的投法有（ ） A ．34种 B ．43种 C ．4种 D ．12种6、在△ABC 中，三顶点坐标为)0,1(),0,1(),4,2(C B A -，点),(y x P 在△ABC 内部及边界运动，则y x Z -=的最大值和最小值分别是 （ ） A ．3，1 B ．-1，-3 C ．1，-3 D ．3，-17、用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，该数字是奇数的概率是（ ） A 、53 B 、52 C 、21 D 、32 8、设二次函数c ax ax X f +-=2)(2在区间]1,0[上单调递减，且)0()(f m f ≤，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．]0,(-∞B ．),2[+∞C ．),2[]0,(+∞⋃-∞D ．]2,0[9、、一条直线经过点（)23,3--，且被圆2522=+y x 截得弦长为8，此这条直线方程为（ ）A 、3-=xB 、3-=x 或23-=y C 、01543=++y x D 、01543=++y x 或3-=x 10、函数x y sin lg =的定义域为 （ ）A 、),0(πB 、],0[πC 、)2,2(πππ+k k ，Z k ∈其中D 、)22,22(ππππ+-k k ，Z k ∈其中二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11、不等式3|21|<-x 的解集是 。
江苏省2014年普通高校对口单招数学模拟试卷(四)及答案
江苏省2014年普通高校对口单招文化统考数学模拟试卷（四）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，只有一个正确选项，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1．若全集{}{}0,1,2,3,42,3U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 （ ▲ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个 2．函数2log 2-=x y 的定义域是 （ ▲ ）A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞3．函数1)4(cos 22--=πx y 是 （ ▲ ）A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数4．设向量)2(，x a -=，)31(，-=b ，且b a -与b 共线，则=x （ ▲ ） A ．31B ．32 C ．31- D ．32- 5．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，若4)1(2=+z i ，则=z （ ▲ ）A ．2B ．i 2C ．2-D ．i 2- 6．若d c b a >>,，则下面不等式中成立的一个是 （ ▲ ）A ．c b d a +>+B ．bd ac >C ．dbc a > D ．b c ad -<- 7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=-=2sin 31cos 3t y t x (t 是参数)，则曲线是 （ ▲ ）A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线8．关于直线m 、n 与平面α、β，下列四个命题正确的是 （ ▲ ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //；B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m //；D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 9．由点M(5,3)向圆222690x y x y +-++=所引切线长是 （ ▲ ）A ．B. C. 51 D . 110．设直线的方程是0=+By Ax ，从2，3，4，5，6这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是（ ▲ ）A ．20B ．19C ．18D ．16二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若αtan =3，则αα2cos 2sin ． 12．5()a x +展开式中2x 的系数为－10， 则实数a 的值为 .13．已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ．14．过点)1,4(-A 和双曲线116922=-y x 右焦点的直线方程为 ． 15．已知定义域为R 的偶函数)(x f 在区间[)+∞,0上单调增加，则满足)31()12(f x f <-的 x 取值范围是 ．三、解答题（本大题共10小题．其中17—20四小题中，考生可任选其中两题解答，每题9分，多解不给分．共计90分） 16．（8分）解不等式：22531649x x --⎛⎫<⎪⎝⎭．第17—20题是选做题，每题9分，考生可任选其中两题解答，多解不给分． 17．（9分）在一次面试中，有A ，B ，C 三位考官，当至少有两位考官认为应试者面试合格，才能认定应试者面试合格．①写出逻辑关系；②化简逻辑关系式．)0()1(2<+x x18．（9分）已知函数=y 8 )0(=x ，请画出程序框图，要求输入自变量x 的值， )1()1(2>-x x输出函数值y ．19．（9分）某旅游公司第一季度接待国内某旅游景点的游客双飞价格如下表（单位：游客①试用数组表示每月的旅游收入；②试用数组运算求第一季度旅行社接待到四个城市旅游的月平均收入．20．（9分）某项工程的网络图如图所示：第20题（1）写出所有不同的路径；（2）指出关键路径及总工期．21（11分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足-Aa．(1)求角B的大小；(2)若b＝7，c＝2，求ABCb3=sin2∆的面积．22．（12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率．23．（13分）在数列{}n a 中，1a =1，c a a n n +=+1(c 为常数，+∈N n )，且1a ，2a ，5a 成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设12+=n a n b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，①求证：数列{}n b 是等比数列；②求5T ．24．（14分）一辆新汽车使用一段时间后，就值不到原来的价钱了．假若一辆新车价值18万元，按下列方式贬值：从第二年起，每年的车价是上一年车价的32．如果从购买日起t 个月后汽车价贬值量为w 万元．（1）求出汽车贬值量w 万元关于使用时间t 个月的函数关系式（贬值量＝原价－汽车现在价值）；（2）求18个月后此车价值？（45.26≈）25．（14分）已知椭圆的离心率e =12,F F ，定点P (，点2F 在线段1PF 的中垂线上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线22,F M F N 的倾斜角分别为,,αβαβπ+=且，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．江苏省2014年普通高校对口单招文化统考数学模拟试卷（四）答案及评分参考11．6 12．－1 13．6 14．05=--y x 15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3231，三、解答题（本大题共10小题，共计90分．其中17—20四小题中，考生可任选其中两题解答，每题9分，多解不给分．） 16．（本小题8分）{}分或不等式解集为分或解得分分上是单调减函数，在分）解：由题意得：（8..............................................................316.....................................................................................311......................................................................................2521.................................................)()43(1.......................................................)43(4322522>-<∴>-<->--∴∞+-∞=<---x x x x x x x y x x x 第17—20题是选做题，每题9分，考生可任选其中两题解答，每题10分，多解不给分． 17．（本小题9分）解：（1）分4..................................................ABC C B A C AB BC A Y +++=（2）分9.......................................................................BC AC AB Y ++=解： 19．（本小题9分）（1）解： 1月份的旅游收入数组为：)9017180145(1，，，=a ，2月份旅游收入数组为： )5.1622251215.227(2，，，=a ，2月份旅游收入数组为：)5.7396605.94(3，，，=a …………………………… 4分 （2）解：第一季度旅行社四个城市的月平均收入[)5.1622251215.227()9017180145(31)(31321，，，，，，+=++=a a a b ]分，，，9.....................................)5.7396605.94(+ 20．（本小题9分）解：（1）路径有：EJ G A EC I G A E CD A EF B H A →→→→→→→→→→→→→→④③②① ……………………………4分（2）关键路径：E F B H A →→→→………………………………………9分分，是锐角三角形分，解：4 (3)23sin 2........................sin 2sin 323sin 0sin 23)1(π=∴=∴∆==∴=-B B ABC BAb a A A b a分分分是锐角三角形，11 (2)33sin 218 (14)213sin cos cos sin )sin(sin 6 (7)72cos 721sin sin sin sin )2(==∴=+=+=∴=∴∆==∴=∆A bc S C B C B C B A C ABC B b c C b B c C ABC22．（本小题12分）解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1. …………………………5分(2)（法一）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．…………………………………………9分②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15．……………………………………………12分（法二）从6所学校中抽取的2所学校均为小学记为事件B …………………6分则31153)(2623===C C B P ……………………………………………12分23．（本小题13分）{}分分舍去或成等差数列，，分，的等差数列是公差为解：6......................................................................................122)1(15........................................................................................).........(0241)1(2. (4111))1(25215211-=⨯-+=∴==∴+=+∴+=+=∴=∴+=+n n a c c cc a a a c a c a a c a c a a n n n n{}分，②分的等比数列是公比为，分①13 (13644)-1)4-1(41)1(410......................................................................447...........................................................................................422)2(55151121==--==∴=∴===++q q b T b b b b b n nn n n a n n 24．（本小题14分）解：（1）建立汽车的现价Q 与使用时间t 个月后的函数关系)(t f Q = 当0=t 时，即刚买来，显然)0(f ＝180000当12=t 时，即买了一年，)12(f ＝180000×32＝120000 当买了两年后，)24(f ＝180000×2)32(＝80000 一般地，)12(n f ⨯＝180000×n)32(设n t 12=，则)(t f ＝180000×12)32(t…………………………………………………6分则-=18w )(t f ，)()32(18000018000012N t w t∈⨯-=∴………………………9分分个月后汽车价值：13 (980003)632180000)32(180000)32(18000018)2(231218=⨯⨯=⨯=⨯=Q 25．（本小题14分）分得：由分，、，设分椭圆的方程为：分，分舍去，，解得：分的中垂线上，在，，，设解：8......................................0224)12(126..................................................................).........()()2(5. (12)4 (22)21.3....................).........(3712)3()2(1....................................................2)0()0()1(2222222112221222121221=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+=+∴=∴===-===+-∴==∴-m km x x k m kx y y x y x N y x M y x a a a c e c c c c c F F P F PF F c F c F分，9 (1)2221242221221+-=+-=+∴k m x x k km x x 直线22,F M F N 的倾斜角分别为,,αβαβπ+=且分直线过定点直线方程可化为：，分化得：，分14..............................................................................).........0,2()2(202)124()(1222212...................................................02))((2111110..........................................tan )tan(tan 22221212211221122∴-=∴-=∴=-+-⨯-++-⨯∴=-+-+-+-=-+∴--=-∴-=-=-==∴x k y km m k kmk m k m k m x x k m x kx x m kx x m kx x y x y k k N F M F ββπα。
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析) 答案解析
2014年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学答案解析1、【答案】【解析】由题意得．【考点】集合的运算2、【答案】21【解析】由题意，其实部为21．【考点】复数的概念．3、【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解．整数解为，因此输出的【考点】程序框图．4、【答案】【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．【考点】古典概型．5、【答案】【解析】由题意，即，，，因为，所以．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．6、【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为．【考点】频率分布直方图．7、【答案】4【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．【考点】等比数列的通项公式．8、【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．【考点】圆柱的侧面积与体积．9、【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．【考点】直线与圆相交的弦长问题．10、【答案】【解析】据题意解得．【考点】二次函数的性质．11、【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．12、【答案】22【解析】由题意，，，所以，即，解得．【考点】向量的线性运算与数量积．13、【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．14、【答案】【解析】由已知及正弦定理可得，，当且仅当即时等号成立．【考点】正弦定理与余弦定理．15、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.试题解析：（1）由题意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．16、【答案】证明见解析．【解析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.试题解析：（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．【考点】线面平行与面面垂直．17、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.试题解析：（1）由题意，，，，又，∴，解得．∴椭圆方程为．（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，，又，由得，即，∴，化简得．【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系．18、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1）点坐标炎，，因此要求的长，就要求得点坐标，已知说明直线斜率为，这样直线方程可立即写出，又，故斜率也能得出，这样方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决．试题解析：（1）如图，以为轴建立直角坐标系，则，，由题意，直线方程为．又，故直线方程为，由，解得，即，所以；（2）设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，由于，因此，∴∴，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大．【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.19、【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，．【解析】试题分析：试题解析：（1）证明：函数定义域为，∵，∴是偶函数．（2）由得，由于当时，，因此，即，所以，令，设，则，，∵，∴（时等号成立），即，，所以．（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在上有解，等价于，即．考察函数，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，，即，，因此当时，，当时，，当时，．【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．20、【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1）首先，当时，，所以，所以对任意的，是数列中的项，因此数列是“数列”．（2）由题意，，数列是“数列”，则存在，使，，由于，又，则对一切正整数都成立，所以．（3）首先，若（是常数），则数列前项和为是数列中的第项，因此是“数列”，对任意的等差数列，（是公差），设，，则，而数列，都是“数列”，证毕．【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．21、【答案】证明见解析.【解析】试题分析：这两个角直接证明相等不太可能，我们可以通过第三个角过渡，即证明他们都与第三个角相等，在本题中一个等腰三角形说明，另一方面与是同弧所对的圆周角，相等，故结论得证．试题解析：由题意，，又∵，∴，∴. 【考点】圆周角问题.22、【答案】【解析】试题分析：利用矩阵运算和矩阵相等列出关于的方程组，解出即可．试题解析：由题意得，解得.∴.【考点】矩阵的运算.23、【答案】【解析】试题分析：可以把直线参数方程化为普通方程，与抛物线方程联立解得的坐标，可求线段的长，也可直接把直线的参数方程代入抛物线方程，解关于的方程，利用此直线参数方程中的几何意义，可得．试题解析：直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.【考点】直线的参数方程.24、【答案】证明见解析.【解析】试题分析：直接利用算术－几何平均不等式可得，，两式相乘即得要证不等式．试题解析：∵，∴,,∴.【考点】算术平均值－几何平均不等式．25、【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）从9个球中抽2个球共有种方法，而两个球同色，可能同为红，同为黄或同为绿，方法为，概率为；（2）首先抽4个球中，红、黄、绿色球的个数至少有一个不小于2，因此的可能值为，，说明抽出的4个球都是红球，，说明抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，说明4个球中2个红球、其他两色各1个，或2个黄球、其他两色各1个，或2个绿球、其他两色各1个，当然求时，可用来求．试题解析：（1）由题意；（2）随机变量的取值可能为，，，，所以的分布列为.【考点】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值（数学期望）.26、【答案】(1)；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）本题首先考查复合函数的求导，如；（2）要找到式子的规律，当然主要是找式子的规律，为了达到此目标，我们让看看有什么特点，由（1），对这个式子两边求导可得，再求导，由引可归纳出，从上面过程还可看出应该用数学归纳法证明这个结论.试题解析：（1）由已知，，所以，，故.（2）由（1）得，两边求导可得，类似可得，下面我们用数学归纳法证明对一切都成立，（1）时命题已经成立，（2）假设时，命题成立，即，对此式两边求导可得，即，因此时命题也成立.综合（1）（2）等式对一切都成立.令，得，所以.【考点】复合函数的导数，数学归纳法。
江苏省对口单招数学模拟试卷
2014年对口单招试卷数学试卷(第I 卷)一 单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1．已知集合}02|{2>--=x x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A （ ） A.)3,1(- B.)2,1(- C.)3,2( D.（3,∞-）2．函数y =( ) A.［4,+∞) B. (-∞，4] C. (1,+∞) D. (0,4］3．已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且=，=，则=（ ）A.21+B.21-C.21+D.21-4．函数)32sin(π+=x y 图像的对称轴方程可能是（ ）A.6π-=x B.12π-=x C.6π=x D.12π=x5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若S 33－S 22＝1，则数列}{n a 的公差是( )A.12 B.1 C.2 D.3 6．若复数)(213R a iia z ∈++=是纯虚数，则a 的值为（ ） A.-6 B.-2 C.4 D.67．直线01=-+By Ax 在y 轴上的截距是1-，其倾斜角是直线333=-y x 的倾斜角的2倍，则（ ）A.1,3==B AB.1,3-=-=B AC.1,3-==B A D.1,3=-=B A8．函数2)1(22+-+=x a x y 在区间（－∞，]4上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a <－39. 二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x 表示的平面区域内的整点坐标个数有（ ）A.4个B.5个C.6个D.7个10．若直线06:1=++my x l 与023)2(:2=++-m y x m l 平行，则m 值为（ ）A.1-或3B.3-或1C.1-D.3-二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若54sin -=θ，0tan >θ，则=θcos ．12．已知偶函数)(x f 在),0[+∞上单调递增，且0)1(=f ，则0)(<x f 的解集为 ． 13．设锐角三角形ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2sin a b A =，则角B 的大小为 ．14．计算：=⋅64123)41()2(ππi i e e ． 15．过点)1,2(P 作圆C ：012222=+++-+a ay ax y x 的切线有两条，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题8小题，共90分）16．（8分）解不等式：02)6(log 22≤-++-x x17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且满足5522cos =A ，3=⋅（1）求ABC ∆的面积；（2）6=+c b 若，求a 的值．18．（10分）已知数列}{n a 是等差数列，且21=a ，12321=++a a a ， （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设12+=na nb ，求数列{n b }的前n 项和.19．（10分）已知函数()4cos sin ()16πf x x x =+- （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.20．（12分）已知函数b b x a x x f 2)1()(22--++=，且)2()1(x f x f -=-,又知x x f ≥)(恒成立.求：(1) )(x f y =的解析式；(2)若函数[]1)(log )(2--=x x f x g ，求函数g(x)的单调增区间.21．（12分）某种商品第一天销售价为42元,以后每天提价2元,且在开始销售的前10天内每天的销售量与上市天数的关系是x x g 5150)(-=(其中x 为天数).(1)写出上市10天内商品销售价格与天数x 的关系式.(2)求销售10天内,哪一天的销售额最大,并求出最大值.22．（12分）已知方程04222=+--+m y x y x ，(1)若此方程表示圆,求m 的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于N M ,两点,且ON OM ⊥(O 为原点),求m 的值；(3)在(2)的条件下,求以MN 为直径的圆. 23．（每题8分，共16分。
2014年对口单招数学模拟试卷
页眉内容2014年对口单招模拟试卷一、选择题1. 已知集合A={1,3，m }，B={1，m}，A ∪B=A ，则m= （ ） A.0或3 B.0或3 C.1或3 D.1或32.01＞-x 是012＞-x 的 （ ） A ．充要条件 B. 必要而非充分条件 C ．充分而非必要条件 D. 既非充分也非必要条件3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组依次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ） A.45 B.50 C.55 D.604. 已知实系数二次方程220x rx s ++=的一个根为2i-3，则S 的值为 （ ） A.6 B.12 C.13 D.265. 等式组0,30,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于 ( )A.32 B.23C.43 D.346.若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为 （ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3x e D ．34x e +7.若直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=020cos 20sin 2t y t x （t 为参数）则此直线倾斜角为（ ） A. 020 B. 070 C. 0160 D. 01108.在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，30B =°，△ABC 的面积为32，则________b = （ ）119.设m ＞0)10x y m +++=与圆22x y m +=的位置关系为（ ）A. 相切B. 相交C. 相切或相离D. 相交或相切 10.若方程0x a x a --=（a ＞0且a ≠1）有两个实数解，则a 的取值范围是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(0,)+∞ 二、填空题11.448log 3log 12log 4-+=__________.12.设向量与的夹角为θ，=（2,1），+2=（5,4），则tan （-θ）= .13.已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+，(ω＞0,0＜ϕ＜π)为偶函数， 且()y f x =的图像的两条对称轴之间的最小距离为2π，则____ω=，______ϕ= 14.设抛物线24y x =的焦点为F ，经过点(2,1)P 的直线与抛物线交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则AF BF +的值为15.()f x 是R 上的偶函数且()0f x <的解集为(3,3)-，()g x 是R 上的奇函数且()0g x <的解集为(4,2)--，则()()0f x g x ⋅<的解集为 ．三、解答题16.（6分）已知函数⎩⎨⎧-≤=)1(,)10(,log )(5.0＞＜x x x x x f ，解不等式f （x ）≤2．17.（12分）已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，a 7＝4a 3，前n 项和为S n ．(Ｉ) 求a n 及S n ； (Ⅱ) 设b n ＝44n n S a n--，n ∈N +，求b n 的最大值．18.（12分）已知函数f （x ）=2cosx （3sinx+cosx ）-1 （1）当x ∈[0，2π]时，求f （x ）的最值； （2）若f （α）=56，且α∈[4π，2π]，求cos2α的值.19.（12分）教室内有6个学生，分别佩戴1号到6号的校徽，任选3人，记录下他们的校徽号码.（1）求被选3人中最小号码为4的概率； （2）求3个号码中至多有一个偶数的概率； （3）求3个号码之和不超过8的概率.20.（10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，A B C D PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点．（1）证明：平面⊥PCD 平面PAD ； （2）求二面角D AC E --的正弦值．21.（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)22.（14分）已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.23.选做题（下面4题选作2题，每小题6分，共12分，全做或多做，以前2题计分）23-1.（1）若22ac bc >，则a b >；②在ABC ∆中，若6A π>，则1sin 2A >；③在ABC ∆中，若sin sin A B >，则cos cos A B <；④垂直于同一条直线的两条直线平行.其中，真命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3（2）将十进制数10(97)转化为二进制数.23-2.下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 。
江苏省2014年高职院校单独招生文化联合测试试卷
注意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题40分）、填空题（第11题～第15题，共5题20分）和解答题（第16题～第20题，共5题40分），满分100分。
考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
本次考试时间为75分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题卡上。
3. 请认真核对监考员在答题卡右上角所粘贴条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合。
4. 答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。
（第4题） 绝密★启用前江苏省2014年高职院校单独招生文化联合测试试卷数 学参考公式：椎体的体积公式1=3V Sh ，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{01,2}A =，，{1,23}B =，，则A B =I （ ） A ．{}0123，，， B ．{}3y 0， C ．{}3 D ．{}12，2．函数y x=的大致图象是 （ ）3．函数3()sin f x x x =+ （ ） A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数又不是偶函数4．据统计，某银行1号服务窗口每天上午10点钟时排队人数及对应的概率如下表，该窗口上午10点钟时最多有3人排队的概率为 （ ） A ． B ． C ． D ．排队人数 0 1 2 3 4 5≥概 率 0.05 0.05 0.15 0.30 0.25 0.205．某大奖赛上，7位评委给某参赛选手打出分数的茎叶图如上．按比赛规则，去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后将余下分数的平均值作为该选手的实际得分，该选手的实际得分是 （ ） A ．93.4 B ．91.8 C ．91.4 D ．88.48 8 99 1 2 2 3 4（第5题）6．将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，所得图象的函数解析式为 （ ） A ．sin(2)6y x π=+ B ．sin(2)6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-7．已知函数2()241f x x x =-+，则不等式(1)7f x +<的解集是 （ ） A ．(3,1)- B ．(2,2)- C ．(1,3)- D ．(0,4)8．已知两个单位向量12,e e u r u u r的夹角为60︒，12(1),a te t e t R =+-∈r u r u u r ．若2a e ⊥r u u r ，则t 的值为 （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．29．如图，在A 点和B 点分别测量某铁塔塔顶C 的仰角为30︒和45︒（,A B 与塔底D 在同一直线上）， ,A B 两点间的距离为40m ，则铁塔的高度CD 为 （ ）A ．20(31)m -B ．20(21)m +C ．20(31)m +D ．40(31)m +10．在ABC ∆中，“222sin sin sin A B C +<”是“ABC ∆为钝角三角形”的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知i 为虚数单位，复数2(13)z i i =-，则z = ．12．在等比数列{}n a 中，0n a >，若31125a a ⋅=，则7a = ．13．执行如图伪代码表示的算法，则输出S 的值为 ．14．如果正数,m n 中满足22log log 0m n +=，则2m n +的最小值是 ．15．已知M 为圆:C 2246120x y x y +--+=上的动点，P 为x 轴上的动点，定点(4,3)N ，则PM PN +的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题满分6分）已知4sin 5α=，(,)2παπ∈．求：（1）求cos 2,sin 2αα的值；（2）求sin 6πα+(2)的值. （第13题） I ←1While I <8 S ←2I +3 I ←I +2 End While Print S（第9题） 30︒45︒D C17．（本题满分6分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA ==BC =90CAB ∠=︒,M 是线段1A C 的中点，11A B AB O =I ．（1）求证：//MO 平面ABC ；（2）求三棱锥1A ABC -的体积． 18．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，长轴长为4．直线2y x =+是圆222x y b +=的切线．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）B 是椭圆顶点，直线2BF 与椭圆的另一个交点为N ，求1F BN ∆的面积． BCA1A 1B 1C MO（第17题）x19．（本题满分10分已知数列{}n a 中，141,55a a ==．在1a 和2a 之间插入1个数，2a 和3a 之间插入2个数…，n a 和1n a + 之间插入n 个数，…， 使得构成的新数列{}n b 是等差数列． （1）写出2a 和3a 之间插入的2个数的值；（2）求6a 的值； （3）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本题满分10分）已知函数()3235f x x x =-+，()(),01,0()f x x g x x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩． （1）求函数()f x 的极值；（2）写出函数()g x 的单调区间； （3）若函数()y g x s =-恰有两个零点，求实数s 的取值范围．江苏省2014年高职院校单独招生文化联合测试试卷 数学参考答案及评分建议说明：1．本参考答案给出的解法供参考，如果考生的解法与本参考答案不同，可根据试题的主要考查内容比照评分建议制定相应的评分细则．2．参考答案右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 3．评分只给整数分数，填空题不给中间分数．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．D 2．A 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．4 12．5 13．17 14．22 15．2101三、解答题（本大题共5小题，共40分）。
江苏对口单招数学高考13-14年
江苏省2013年普通高校对口单招文化统考数 学 试卷本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分。
第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷 3页至 8 页。
两卷满分150分。
考试时间150分钟。
第Ⅰ卷（共48分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号等项目。
2．用2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑。
答案不涂写在答题卡上无效。
一 单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1． 若集合}02|{>+=x x M ，}03|{<-=x x N ，则N M ⋂等于 （ C ） A ．（-∞，-2） B ．（-∞，3） C ．（-2，3） D ．（3，+∞） 2．如果向量)3,2(-=a ，)2,3(=b ，那么 ( B )A ．b a //B ．b a ⊥C ．a 与b 的夹角为060 D ．1||=a 3．在△ABC 中，“21sin =A ”是“030=A ”的 ( B ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若实数c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的交点个数是 ( A ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或者25．若0<<b a ，则下列不等式成立的是 ( A ) A ．ba33< B ．b a 11< C ．a a -->43 D ．b a )41()41(< 6．若直线l 的倾斜角是直线23+=x y 倾斜角的2倍，且过点（0，5）,则直线l 的方程是( B )A ．053=+-y xB ．053=-+y xC ．01533=+-y xD ．01533=++y x7．如果53)sin(=-απ，那么α2cos 等于 ( D ) A ．2516- B ．257- C ．2516 D ．2578．若抛物线px y 22= )0(>p 的准线与圆16)3(22=+-y x 相切，则p 的值为( C )A ．21B ．1C ．2D ．4 9．在二项式73)12(xx -的展开式中，常数项等于 ( D )A ．-42B ．42C ．-14D ．1410．如果一个圆锥的侧面展开图是半圆，那么其母线与底面所成角的大小是 ( C ) A ．030 B ．045 C ．060 D ．075 11．如函数)3sin(2)(π+=wx x f )0(>w 的最小正周期为π，则该函数的图像 ( A )A ．关于点)0,3(π对称 B ．关于直线4π=x 对称 C ．关于点)0,4(π对称 D ．关于直线3π=x 对称12．已知点M 的坐标为)2,3(，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在抛物线上移动。
(完整版)江苏省对口单招高一数学试卷
2013—2014学年第一学期第二次月考高一数学（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷(共60分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.设集合{|03,},M x x x N =≤<∈则M 的真子集个数为（ ）A.3B.6C.7D.82. 已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3. 下列函数在),0(∞+内是单调递减的是 （ ） A ．2x y = B . x y 1-= C . xy )21(= D . x y = 4.若偶函数()y f x =在(,1]-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．3()2f -< (1)f -< (2)f B ．(1)f - <3()2f - <(2)f C ．(2)f < (1)f -< 3()2f - D ．(2)f <3()2f - <(1)f -5.设函数(),(0,)y f x x =∈+∞，则它的图象与直线x =a 的交点个数为 （ ）A.0B.1C.0或1D.26.函数234x x y --=的定义域为 （ ）.A.]1,4[-B. ()1,4-C. (][)+∞⋃-∞-,14,D.]4,21[7.下列关系式中正确的是 （ ）1123331.52111A.2B .3222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.211233331.51.511112 D.22222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.已知函数)(x f 在),(+∞-∞上是偶函数，且)(x f 在)0,(-∞上是减函数，那么)43(-f 与)1(2+-a a f 的大小关系是 （ ）A. >-)43(f )1(2+-a a fB. ≥-)43(f )1(2+-a a fC. <-)43(f )1(2+-a a fD. ≤-)43(f )1(2+-a a f9. 函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a =( )A.21 B.2 C.4 D.41 10. 已知a>b ,ab >0，下列不等式：（1）a ²>b ² (2)2a >2b a > (4) 2a >2b (5) 1-a<1-b 中恒成立的有（ ）A.1个 B .2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题:（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题纸上.） 11．已知函数()f x 11x =+，则[(1)]f f = 12.设关于x 的不等式||x a -<1 的解集为(,3)b ，求a b +的值为 13. 已知函数22()(21)2f x x a a x a =-----在[1,)+∞上是增函数。
江苏省2014年普通高校对口单招文化统考数学试题及答案
江苏省2014年普通高校对口单招文化统考数 学 试 卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．已知集合{1,2}M =，{2,3}xN =，若{1}M N =,则实数x 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．若向量(1,3),(,3),a b x =-=-且//a b ,则||b 等于（ ）A ．2B ．3C D 3．若3tan 4α=-，且α为第二象限角,则cos α的值为（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．454．由1，2，3，4，5这五个数字排成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是( ) A ．24 B ．36 C ．48 D ．60 5．若函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,则((0))f f 等于（ )A ．3-B ．0C ．1D ．36．若,a b 是实数，且4a b +=，则33ab+的最小值是（ ） A ．9B ．12C ．15D ．187．若点(2,1)P -是圆22(1)25x y -+=的弦MN 的中点，则MN 所在直线的方程是（ ） A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．20x y +=8．若函数()()f x x R ∈的图象过点(1,1)，则函数(3)f x +的图象必过点（ ) A ．(4,1)B ．(1,4)C ．(2,1)-D ．(1,2)-9．在正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线AC 与1BC 所成角的大小为( ) A ．30B ．45C ．60D ．9010．函数sin 3|sin |(02)y x x x π=+<<的图象与直线3y =的交点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．将十进制数51换算成二进制数，即10(51)=________。
14对口单招数学测试
江苏省宿迁中等专业学校 2016—2017学年第学一期14级综高班《数学》试卷试卷分值：100分；考试时间：60分钟；适用班级：14对口单招班一、选择题（10*4=40）1.设集合{1,0,},{0,1}M a N =-=，若N M ⊆，则实数a 的值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.22.复数11z i =-的共轭复数为（ ） A. 1122i + B.1122i - C.1i - D.1i +3.二进制数2(1011011)转化为十进制数的结果是（ ） A. 10(89) B. 10(91) C. 10(93) D. 10(95)4.已知数组a (0,1,1,0),=b (2,0,0,3)=，则2a b +等于（ ） A. (2,4,2,3) B. (2,1,1,3) C. (4,1,1,6) D. (2,2,2,3)5.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的高是（ ）2C. 12D. 26.已知1sin cos 5αα+=，且324ππα≤≤，则cos 2α的值为（ ） A. 725- B. 725 C. 2425 D. 2425-7.若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为（ ）A. -B. 2C. 48.甲、乙两人从5门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种9.若二项式n2x 1x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中，含14x 的项是第3项，则n =（ ）A. 8B. 9C. 10D. 1110.若函数()()cos ,011x x f x f x x π≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，则5()3f 的值为（ ）A.12 B. 32 C. 2 D. 52二、填空题（5*4=20）11.题11图是一个程序框图，若输入x 的值为-25，则输出x 的值为 ▲12.题12表是某项工程的工作明细表，则完成此项工程的总工期的天数为 ▲ 题12表13.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()4()(2)f x f x f +=+，若(1)2f =，则(3)f = ▲14.逻辑式ABC ABC AB A +++= 。
2014江苏数学试题及标准答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =_______．【答案】{13}-，【解析】由题意得{1,3}A B =-．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______． 【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =． （4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______． 【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为d ==，所求弦长为l =． （10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】0⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得02m <<． （11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是________．【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-， 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()102，【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大， 7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =，2222222cos 22a b a b c C ab ab +-+-==22328a b ab +-=，当且仅当2232a b =，即a b =所以cos C二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α==， ()s i n s i n c o s c o s (c o s )4440αααααπππ+=++． （2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且2BF = （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴222a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=． （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴c a =． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC150=．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+． 当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ．．．．．．．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α， x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||8AB = （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y ≥0，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭， 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x xf x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+， 故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． （i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以1()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。
2014江苏省数学卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试
2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，则ϕ的值是 ．【答案】6π6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 【答案】255510．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】202⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是 ． 【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a=-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()102， 14．若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ． 【答案】624-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin 5α=．（1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分.（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-()210sin sin cos cos sin (cos sin )444210αααααπππ+=+=+=-；（2）∵2243sin 22sin cos cos2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b += ∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b y b c x +=--，即0bx cy bc --=① ∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴55c a =, 故离心率为5518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=--k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC =22(17080)(0120)150-+-=.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803.CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半 径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+ 设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点 证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值． 【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长． 【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB = D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则 4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为X 2 3 4 P111413631126故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()124442n n nf f -πππ+=成立．23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以12()()4442n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).新课标第一网系列资料 。
完整版江苏省对口单招高一数学试卷
2013— 2014 学年第一学期第二次月考高一数学（试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）第Ⅰ卷( 共 60 分)一、选择题（本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）1. 设会合 M{ x |0x 3, x N}, 则的真子集个数为（）MA.3B.6C.7D.82. 已知函数 f （x ）axbx a b是偶函数，且其定义域为［a 1 2a］，则＝2＋＋ 3 ＋ － ，（ ）A ． a1B ． a ＝－ 1， b ＝ 0C ． a ＝ 1，b ＝ 0D ．a ＝ 3， b ＝ 0， b ＝ 033. 以下函数在 (0,) 内是单一递减的是（）A ． y x 2B .y1 C .y ( 1) xD.y xx24. 若 偶 函 数 yf (x) 在 (, 1]上是增函数，则以下关系式中建立的是（ ）3 f ( 1)f (2)A ． f ()23)C ． f (2)f ( 1)f (2 B． f ( 1)f (3 f (2) )2D． f (2)f ( 3)f ( 1)25. 设函数 y f (x), x(0,) ，则它的图象与直线 x a的交点个数为 （）=A.0B.1C.0或1D.26. 函数 y4 3x x 2 的定义域为（）.A. [4, 1]B.4,1 C., 41,D. [1, 4 ]27. 以下关系式中正确的选项是（）211 12 1.53A.B . 3221 21 11.5331.5C. 2D.2221 12 332131 1222 38. 已知函数 f ( x) 在 ( ,) 上是偶函数，且 f ( x) 在 (,0) 上是减函数，那么f ( 3 ) 与 f (a 2 a 1) 的大小关系是（）4 3) 3)A. f ( f (a 2 a 1)B.f ( f (a 2 a 1)44C.f ( 3) f (a2a 1)D.f ( 3)f ( a 2a 1)449. 函数 ya x 在 0,1 上的最大值与最小值的和为3，则 a =( )A.1B.2C.4D.12410. 已知 a>b , ab >0 ，以下不等式： （ 1） a 2>b 2 (2)2a> 2b(3)a b(4)2a >2b(5)1-a<1-b中恒建立的有（）A.1 个B .2 个C. 3个D. 4 个二、填空题 : （本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分，把答案填写在答题纸上. ）11．已知函数 f (x)1 ，则 f [ f (1)]x112. 设对于 x 的不等式 | x a | <1 的解集为 (b, 3) ，求 a b 的值为13.已知函数 f (x)x 2 (a 22a 1)x a2在[1, ) 上是增函数。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题
2014年普通高等学校招生全国统一考试综合能力测试数学试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.(2014江苏,1)已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则A∩B=.答案:{-1,3}解析:由题意,得A∩B={-1,3}.2.(2014江苏,2)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.答案:21解析:由题意,得z=(5+2i)2=25+20i-4=21+20i,其实部为21.3.(2014江苏,3)下图是一个算法流程图,则输出的n的值是.答案:5解析:本题实质上是求不等式2n>20的最小整数解,2n>20的整数解为n≥5,因此输出的n=5.4.(2014江苏,4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.答案:13解析:从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为P=26=13.5.(2014江苏,5)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π的交点,则φ的值是.答案:π解析:由题意cosπ3=sin2×π3+φ ,即sin2π3+φ =12,2π3+φ=kπ+(-1)k·π6(k∈Z).因为0≤φ<π,所以φ=π.6.(2014江苏,6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm.答案:24解析:由题意,在抽测的60株树木中,底部周长小于100cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.7.(2014江苏,7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案:4解析:设公比为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4.8.(2014江苏,8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且S1S2=94,则V1V2的值是. 答案:32解析:设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1,h1,r2,h2,则2πr1h1=2πr2h2,ℎ12=r21.又S12=πr1222=9,所以r12=3,则V1 2=πr12ℎ1222=r1222·ℎ12=r12=3.9.(2014江苏,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为. 答案:2555解析:圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,-1),半径r=2,圆心C到直线x+2y-3=0的距离为d=1+2=5,所求弦长l=2r2-d2=24-95=2555.10.(2014江苏,10)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.答案:-2,0解析:根据题意,得f(m)=m2+m2-1<0,f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0,解得-22<m<0.11.(2014江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案:-3解析:由曲线y=ax2+b过点P(2,-5),得4a+b=-5.①又y'=2ax-bx2,所以当x=2时,4a-b4=-72,②由①②得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.12.(2014江苏,12)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是.答案:22解析:由题意知,AP=AD+DP=AD+14AB,BP=BC+CP=BC+34CD=AD−34AB,所以AP·BP= AD+1AB· AD-3AB=AD2−12AD·AB−316AB2,即2=25-1AD·AB−3×64,解得AB·AD=22.13.(2014江苏,13)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)= x2-2x+12.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案:0,12解析:作出函数f(x)= x2-2x+1,x∈[0,3)的图象(如图),f(0)=1,当x=1时,f(x)极大值=1,f(3)=7,方程f(x)-a=0在[-3,4]上有10个根,即函数y=f(x)的图象和直线y=a在[-3,4]上有10个交点.由于函数f(x)的周期为3,则直线y=a与f(x)的图象在[0,3)上应有4个交点,因此有a∈0,1.14.(2014江苏,14)若△ABC 的内角满足sin A+ 2sin B=2sin C ,则cos C 的最小值是 . 答案:6- 24解析:由sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得a+ 2b=2c.故cos C=a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 2-a + 2b222ab=3a 2+2b 2-2 2ab ≥2 6ab -2 2ab= 6- 2,当且仅当3a 2=2b 2,即ab = 2 3时等号成立.所以cos C 的最小值为 6- 2.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)(2014江苏,15)已知α∈ π2,π ,sin α= 55. (1)求sin π+α 的值;(2)求cos 5π-2α 的值.分析:(1)先结合范围,运用平方关系求出cos α,再用两角和的正弦公式求值;(2)由(1)运用二倍角公式求出sin 2α,cos 2α,再用两角差的余弦公式求值. 解:(1)因为α∈ π2,π ,sin α= 55,所以cos α=- 1-sin 2α=-2 55. 故sin π4+α =sin π4cos α+cos π4sin α= 22× -2 55 + 22× 55=- 1010.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 55× -2 55 =-45,cos 2α=1-2sin 2α=1-2× 5 2=3,所以cos 5π6-2α =cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α= - 32 ×35+12× -45 =-4+3 310.16.(本小题满分14分)(2014江苏,16)如图,在三棱锥P-ABC 中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点.已知PA ⊥AC ,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA ∥平面DEF ; (2)平面BDE ⊥平面ABC.分析:(1)证明线面平行可由线线平行证得,由条件中中点较多,故可用中位线构造线线平行证明;(2)证明面面垂直可由线面垂直证得.利用中位线结合勾股定理证明DE ⊥EF ,再由(1)结合已知可证DE ⊥AC ,用线面垂直的判定定理证得DE ⊥平面ABC ,从而证明面面垂直. 证明:(1)因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点,所以DE ∥PA.又因为PA ⊄平面DEF ,DE ⊂平面DEF ,所以直线PA ∥平面DEF.(2)因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以DE ∥PA ,DE=1PA=3,EF=1BC=4. 又因为DF=5,故DF 2=DE 2+EF 2, 所以∠DEF=90°,即DE ⊥EF. 又PA ⊥AC ,DE ∥PA ,所以DE ⊥AC.因为AC ∩EF=E ,AC ⊂平面ABC ,EF ⊂平面ABC , 所以DE ⊥平面ABC. 又DE ⊂平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABC.17.(本小题满分14分)(2014江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b ),连结BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结F 1C. (1)若点C 的坐标为 4,1 ,且BF 2= 2,求椭圆的方程; (2)若F 1C ⊥AB ,求椭圆离心率e 的值.分析:(1)利用椭圆的几何性质可得BF 2=a= 2,再把点C 的坐标代入即可求出椭圆方程;(2)写出B ,F 2的坐标,用b ,c 表示直线AB 的方程,联立椭圆方程表示出点A 的坐标,利用点A 与点C 的对称性,表示出点C 的坐标,利用直线F 1C 的斜率及k F 1C ·k AB =-1建立a ,b ,c 的关系,再结合平方关系求离心率. 解:设椭圆的焦距为2c ,则F 1(-c ,0),F 2(c ,0).(1)因为B (0,b ),所以BF 2=2+c 2=a. 又BF 2= 2,故a= 2. 因为点C 4,1 在椭圆上, 所以169a 2+19b2=1.解得b 2=1.故所求椭圆的方程为x 2+y 2=1. (2)因为B (0,b ),F 2(c ,0)在直线AB 上, 所以直线AB 的方程为x c+y b=1.解方程组 x c +y b =1,x 22+y 2b 2=1,得 x 1=2a 2c 22,y 1=b (c 2-a 2)a 2+c2, x 2=0,y 2=b .所以点A 的坐标为 2a 2c 22,b (c 2-a 2)22 .又AC 垂直于x 轴,由椭圆的对称性,可得点C 的坐标为 2a 2c 22,b (a 2-c 2)22. 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2-c 2)a 2+c 2-02a 2ca 2+c 2-(-c )=b (a 2-c 2)3a 2c+c 3,直线AB 的斜率为-b c,且F 1C ⊥AB , 所以b (a 2-c 2)3a 2c+c 3· -bc =-1. 又b 2=a 2-c 2,整理得a 2=5c 2. 故e 2=15. 因此e= 5.18.(本小题满分16分)(2014江苏,18)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=4.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?分析:法一:(1)运用坐标法求BC的长,由已知建立以O为坐标原点,OC所在直线为x轴的直角坐标系.设出点B 坐标,利用A,C坐标分别表示出k AB,k BC,建立方程组求出点B坐标,利用两点间的距离公式求解即可;(2)求圆形保护区的最大面积,即求圆的最大半径.由条件知,可转化为求点M到直线BC距离的最大值.由(1)可先求出直线BC的方程,设点M的坐标为(0,d),则半径r可用d表示,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值.法二:(1)延长CB,OA交于点F,在△OCF中,利用条件求OF,CF.利用AF=OF-OA求AF的长,再借助∠AFB+∠OCF=90°的关系,在△ABF中,求出BF的长,进而利用CB=CF-BF求值;(2)设MD=r m(半径),OM=d m,在△MDF中,利用sin∠CFO建立r,d的关系,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值.解:解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-43.又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=34.设点B的坐标为(a,b),则k BC=b-0=-4,k AB=b-60=3.解得a=80,b=120.所以BC=(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).由条件知,直线BC的方程为y=-4(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=4+3680-3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以r-d≥80, r-(60-d)≥80,即680-3d5-d ≥80,680-3d-(60-d )≥80.解得10≤d ≤35. 故当d=10时,r=680-3d最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长OA ,CB 交于点F. 因为tan ∠FCO=4, 所以sin ∠FCO=45,cos ∠FCO=35.因为OA=60,OC=170, 所以OF=OC tan ∠FCO=6803,CF=OCcos ∠FCO=8503,从而AF=OF-OA=5003. 因为OA ⊥OC ,所以cos ∠AFB=sin ∠FCO=4. 又因为AB ⊥BC ,所以BF=AF cos ∠AFB=400,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC 的长是150 m .(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ,连接MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ,所以sin ∠CFO=cos ∠FCO. 故由(1)知sin ∠CFO=MD=MD OF -OM=r6803-d=3,所以r=680-3d. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以 r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即680-3d-d ≥80,680-3d-(60-d )≥80.解得10≤d ≤35. 故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大.19.(本小题满分16分)(2014江苏,19)已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:f (x )是R 上的偶函数;(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围;(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)<a (-x 03+3x 0)成立.试比较e a-1与a e -1的大小,并证明你的结论.分析:(1)利用偶函数定义判断即可;(2)原不等式恒成立可分离参数转化为m ≤e -x -1e x +e -x -1恒成立,即求e -x -1e x +e -x -1的最小值.设t=e x >1,换元后利用基本不等式求最小值;(3)由条件构造函数g (x )=f (x )-a (-x 3+3x ),利用导数求出g (x )的最小值,利用g (x )min <0,求出a 的取值范围. 判断e a-1与a e -1的大小,即判断ln e a-1与ln a e -1的大小,即判断(a-1)-(e -1)ln a 的符号. 构造函数h (x )=x-1-(e -1)ln x ,利用导数求出h (x )在(0,+∞)上的单调区间和最小值. 利用h (1)=h (e)=0,对a 的值分三种情况讨论h (x )的符号,从而确定e a-1与a e -1的大小.(1)证明:因为对任意x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ),所以f (x )是R 上的偶函数.(2)解:由条件知m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立.令t=e x (x>0),则t>1,所以m ≤-t -1t 2-t+1=-1t -1+1t -1+1对任意t>1成立.因为t-1+1t -1+1≥2 (t -1)·t -1+1=3, 所以-1t -1+1t -1+1≥-13, 当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立. 因此实数m 的取值范围是 -∞,-1 .(3)解:令函数g (x )=e x +1ex -a (-x 3+3x ),则g'(x )=e x -1ex +3a (x 2-1).当x ≥1时,e x -1x >0,x 2-1≥0.又a>0,故g'(x )>0.所以g (x )是[1,+∞)上的单调增函数,因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是g (1)=e +e -1-2a.由于存在x 0∈[1,+∞),使e x 0+e -x 0-a (-x 03+3x 0)<0成立,当且仅当最小值g (1)<0,故e +e -1-2a<0,即a>e+e -1. 令函数h (x )=x-(e -1)ln x-1,则h'(x )=1-e -1. 令h'(x )=0,得x=e -1.当x ∈(0,e -1)时,h'(x )<0,故h (x )是(0,e -1)上的单调减函数; 当x ∈(e -1,+∞)时,h'(x )>0,故h (x )是(e -1,+∞)上的单调增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是h (e -1).注意到h (1)=h (e)=0,所以当x ∈(1,e -1)⊆(0,e -1)时,h (e -1)≤h (x )<h (1)=0; 当x ∈(e -1,e)⊆(e -1,+∞)时,h (x )<h (e)=0. 所以h (x )<0对任意的x ∈(1,e)成立. ①当a ∈e+e -12,e ⊆(1,e)时,h (a )<0,即a-1<(e -1)ln a ,从而e a-1<a e -1;②当a=e 时,e a-1=a e -1;③当a ∈(e,+∞)⊆(e -1,+∞)时,h (a )>h (e)=0,即a-1>(e -1)ln a ,故e a-1>a e -1. 综上所述,当a ∈e+e -12,e 时,e a-1<a e -1;当a=e 时,e a-1=a e -1;当a ∈(e,+∞)时,e a-1>a e -1.20.(本小题满分16分)(2014江苏,20)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ,总存在正整数m ,使得S n =a m ,则称{a n }是“H 数列”.(1)若数列{a n }的前n 项和S n =2n (n ∈N *),证明:{a n }是“H 数列”;(2)设{a n }是等差数列,其首项a 1=1,公差d<0.若{a n }是“H 数列”,求d 的值;(3)证明:对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{c n },使得a n =b n +c n (n ∈N *)成立.分析:在第(1)问中,先利用a n 与S n 的关系求出a n ,再根据“H 数列”的定义即可证明结论;在第(2)问中,可采用由特殊到一般的方法,先取n=2,结合“H 数列”的定义求出d 的值,然后可求出a n 与S n ,再根据“H 数列”的定义验证结论对任意的n 成立;在第(3)问中,a n =a 1+(n-1)d ,考虑到非零常数列不是“H 数列”,因而应考虑将a n 分解改写为两个等差数列和的形式a n =na 1+(n-1)(d-a 1),然后再分别按“H 数列”的定义证明{na 1}和{(n-1)(d-a 1)}为“H 数列”,即可证得结论.(1)证明:由已知,当n ≥1时,a n+1=S n+1-S n =2n+1-2n =2n .于是对任意的正整数n ,总存在正整数m=n+1,使得S n =2n =a m .所以{a n }是“H 数列”.(2)解:由已知,得S 2=2a 1+d=2+d.因为{a n }是“H 数列”,所以存在正整数m ,使得S 2=a m ,即2+d=1+(m-1)d ,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1,从而d=-1.当d=-1时,a n =2-n ,S n =n (3-n )是小于2的整数,n ∈N *.于是对任意的正整数n ,总存在正整数m=2-S n =2-n (3-n ),使得S n =2-m=a m .所以{a n }是“H 数列”. 因此d 的值为-1.(3)证明:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).令b n=na1,c n=(n-1)(d-a1),则a n=b n+c n(n∈N*).下证{b n}是“H数列”.设{b n}的前n项和为T n,则T n=n(n+1)a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n(n+1),使得T n=b m.所以{b n}是“H数列”.同理可证{c n}也是“H数列”.所以,对任意的等差数列{a n},总存在两个“H数列”{b n}和{c n},使得a n=b n+c n(n∈N*)成立.数学Ⅱ(附加题)21.(2014江苏,21)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D.分析:要证明∠OCB=∠D,因∠OCB=∠B,只需证∠B=∠D,而同弧所对的圆周角相等,即∠B=∠D成立,因此得证.证明:因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=-121x ,B=112-1,向量α=2y,x,y为实数.若Aα=Bα,求x+y的值.分析:要求x+y的值,只需分别求出x,y的值,而根据等式Aα=Bα,结合矩阵的乘法可得到关于x,y的一个方程组,解出即可.解:由已知,得Aα=-121x 2y=-2+2y2+xy,Bα=112-12y=2+y4-y.因为Aα=Bα,所以-2+2y2+xy =2+y4-y.故-2+2y=2+y,2+xy=4-y.解得x=-1,y=4.所以x+y=72.C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1-22t,y=2+22t(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.分析:求直线被抛物线所截弦长,可利用直线参数方程的几何意义解决.将直线的参数方程与抛物线方程联立可解得参数的值,代入即可.解:将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t代入抛物线方程y2=4x,得2+2t 2=41-2t.解得t1=0,t2=-82.所以AB=|t1-t2|=82.D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.分析:可利用算术几何平均不等式:a+b+c≥3abc3(a,b,c>0),将左边因式中的和化为积,实现不等式的证明.证明:因为x>0,y>0,所以1+x+y 2≥3 xy 23>0, 1+x 2+y ≥3 x 2y 3>0,故(1+x+y 2)(1+x 2+y )≥3 xy 23·3 x 2y 3=9xy.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)(2014江苏,22)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P ;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x 2,x 3,随机变量X 表示x 1,x 2,x 3中的最大数.求X 的概率分布和数学期望E (X ).分析:在第(1)问中,考虑到“2个球颜色相同”可分为3种情况:“同为红球”“同为黄球”“同为绿球”,故可用互斥事件的概率公式,结合排列组合及古典概型求得结果;在第(2)问中,先分析4个球中各类球的个数情况,确定X 的所有可能的取值,然后利用超几何分布求出各个概率值,列出表格即得X 的概率分布,最后根据数学期望的定义计算求得结果.解:(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P=C 42+C 32+C 22C 92=6+3+1=5. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P (X=4)=C 44C 94=1126; {X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球,或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P (X=3)=C 43C 51+C 33C 61C 94=20+6126=1363; 于是P (X=2)=1-P (X=3)-P (X=4)=1-1363−1126=1114. 所以随机变量X 的概率分布如下表:因此随机变量X 的数学期望E (X )=2×1114+3×1363+4×1126=209. 23.(本小题满分10分)(2014江苏,23)已知函数f 0(x )=sin x(x>0),设f n (x )为f n-1(x )的导数,n ∈N *.(1)求2f 1 π +πf 2 π 的值;(2)证明:对任意的n ∈N *,等式 nf n -1 π +πf n π = 2都成立.分析:在第(1)问中,先由已知条件通过求导数得到f 1(x )和f 2(x )的解析式,然后代入自变量的值即可求得结果;在第(2)问中,先将f 0(x )=sin xx改写为xf 0(x )=sin x ,然后对该式两边求导,整理后再继续对所得的式子两边求导,依次下去,可归纳猜想得到nf n-1(x )+xf n (x )=sin x +nπ对所有的n ∈N *都成立,再用数学归纳法证明其正确性.最后将该式中的变量x 换为π4,结合三角函数的诱导公式即可证得结论成立.(1)解:由已知,得f 1(x )=f'0(x )=sin x '=cos x −sin x2, 于是f 2(x )=f'1(x )= cos x '- sin x 2 '=-sin x −2cos x 2+2sin x3,所以f 1 π2 =-4π2,f 2 π2 =-2π+16π3.故2f 1 π2 +π2f 2 π2=-1.(2)证明:由已知,得xf 0(x )=sin x ,等式两边分别对x 求导,得f 0(x )+xf'0(x )=cos x ,即f 0(x )+xf 1(x )=cos x=sin x +π2,类似可得 2f 1(x )+xf 2(x )=-sin x=sin x +π ,3f 2(x )+xf 3(x )=-cos x=sin x +3π2 ,4f 3(x )+xf 4(x )=sin x=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin x+nπ对所有的n∈N*都成立.①当n=1时,由上可知等式成立.②假设当n=k时等式成立,即kf k-1(x)+xf k(x)=sin x+kπ.因为[kf k-1(x)+xf k(x)]'=kf'k-1(x)+f k(x)+xf'k(x)=(k+1)f k(x)+xf k+1(x),sin x+kπ'=cos x+kπ· x+kπ'=sin x+ (k+1)π,所以(k+1)f k(x)+xf k+1(x)=sin x+(k+1)π2.因此当n=k+1时,等式也成立.综合①,②可知等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin x+nπ2对所有的n∈N*都成立.令x=π4,可得nf n-1π4+π4f nπ4=sinπ+nπ(n∈N*).所以 nf n-1π+πf nπ=2(n∈N*).。
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江苏省2014年普通高校对口单招文化统考
数 学 试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在下列的每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上的对应选项涂满、涂黑）
{}{}
{}21
01,1,3,221.1．．．．的值为
则实数若，，．已知集合D C B A x N M N M x -=== 等于则∥且，．若向量b b a x b a ,),3,()3,1(2-=-= 10.5.3.2.D C B A
的值为为第二象限角，则，且．若αααcos 4
3tan 3-= 5
4.53.53.54.D C B A -- 个数是的四位数，其中偶数的个数字排成无重复数字这．由55,4,3,2,14
60.48.36.24.D C B A
等于，则＞．若函数))0((0,
30,log )(55f f x x x x f x ⎩⎨⎧≤= 3.1.0.3.D C B A -
的最小值是，则是实数，且．若b a b a b a 334,6+=+
18.15.12.9.D C B A
所在直线的方程是的中点，则的弦是圆，．若点MN MN y x P 25)1()12(722=+--
02..01.032.03.=+=-+=-+=--y x D y x C y x B y x A
的图像必过点，则函数的图像过点．若函数)3()1,1()()(8+∈x f R x x f
()2,1.)1,2(.)4,1(.)1,4(.--D C B A
所成角的大小为与中，异面直线．在正方体111119BC AC D C B A ABCD -
︒︒︒︒
90.60.45.30.D C B A
的交点个数是的图像与直线＜＜．函数3)20(sin 3sin 10=+=y x x x y π
4.3.2.1
.D C B A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） =10515111）换算成二进制数，即（．将十进制数
=y 行输出的结果图是一个程序框图，运题．1212
题12图
表：
三次成绩如题试，
年对口单招数学模拟考小王、小张参加了．某班三名学生小李、13201413
总评成绩，其中最高分数是
工程总工期的天数为（单位：天），则该项图是某项工程的网络图题．1414
题14图
为直径的圆的方程是
，则以线段，．已知两点MN N M )25(,)43(15. 三．解答题（本大题共8小题，共90分）
的解集．
＜求不等式分）．（8281622x x
- 的面积
求，若）（的大小；
求角）（成等差数列，且的对边分别是中，角分）在．ABC b c a B C a B b A c c b a C B A ABC ∆==+∆,21021.
cos ,cos ,cos ,,,,12(17的值
求）（；
求复数）的一个根方程，又是实系数一元二次满足关系式分）设复数．n m z n m x x i z z z ,21(.
4810(182=+++=+
{}{}{}.
3)21341219至少有一个黄球）（；
两球颜色相同（；
球恰有一个白球和一个黄）（求下列事件的概率：
取两个球，
个黄球，现从中随机抽个白球和、大小相同的分）袋中装有质地均匀．（===C B A []上的最大值和最小值．
在区间求函数）（的值；
求．
的面积为若．轴的交点分别为，与图像的顶点为设二次函数分）．2,1)(2)1(28,2
1)(10(202-∆+-=x f m ABC B A x C m x x f
{}{}{}{}．
项和的前求数列）（的通项公式；的值及数列
求）（；
的公比求数列）（是常数，且，其中项和为的前分）已知等比数列．n n n n n n n T n S a B A q a a B A B A S n a 3,213
,214(211=+⋅=
）．
最大利润（单位：万元出可获得最大利润？并求品各多少吨时，
期内生产甲、乙两种产问：该公司在本生产周吨．超过原料不吨、原料不超过产周期内消耗万元．该公司在一个生品可获利每吨乙产万元，销售获利吨．销售每吨甲产品可原料吨、原料用销售生产每吨乙产品需吨；原料吨、原料需用．已知生产每吨甲产品两种产品分）某公司生产甲、乙．181335312310(22B A B A B A
的方程．
求直线，为坐标原点两点，且满足、交于与曲线的直线过点）（的最大值；
上的任一点，求是曲线设点）（的普通方程；
求曲线为参数）．
的参数方程为已知曲线分）．l O OQ OP Q P C l N y x C y x M C y x C )()0,2(322),(2)1((,sin cos 214(23⊥+⎩⎨⎧==θθ
θ。